Предельные теоремы и вероятностные неравенства для полного и максимального числа потомков ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Л ) А К А ^ Е М И Я Н А У 1С С с. С Р

сибирской отдттт ,

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 519.218.20

Карпенко Анярой Вячес.кгшопич

предельные теорем и вегоптностнне неравенства для полного и максимального числа потажоп ветвящегося процесса гальтоца-ватсопа

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Авторвфа ат диссертации на соисквнио ученой степени кандидата физико-математических наук

новосибирск - 1990

Работа выполнена в Институте математики Сибирского Огдвлаш« Академии Hays СССР,

Научный руководитель - д.ф.-м.к.. профессор с.В.Ногам»

Официальные оппоненты; д.Ф,-м,н. В.А.Ватутин,

к.ф.-м.н. В.А.ТопчиМ Вед/тая организации - Институт математики АН Узбекской ССР им. Романовского

Зашита состоится _____19У0 г. в 1В часов на заседании Специализированного совета К 002.23.01 по присуждению ученой стег. и кандидата физико-математических наук в Ичституте математики 00 АН СССР. | 5 Адрес института; 630090, Новосибирск-90, Университетский пр. 4.

С диссертацией ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан ___"_______,1_______1930 г.

Учвщй секретарь • # Рповда^вдзироранногр совета к oo3.sa.oi

-м.н, , - д у ю.л.баси.щ?ев

ОШЛЯ X A i' А !СГ БРИСТ Hit А РАБОТЫ

Актуальность теми. В диссертации изучаются распределения полного чиста потомков до момента времени п в ветвящемся процессе Гальтона-Ватсона.

Рассматриваются два случая: 1) момент п яшшется моментом вырождения процесса, 2) в момент времени л имеется неггуле! i число потомков. Первый случай л, i процессов Гальтона-Ватсона ранее на исследовался. В диссертационной работо особое внимание уделяется изучении процессов близких к критическому. Полное число потомков в таких процессах ранее не изучалось, в работе также исследуется распределение максимального числа потомков до мрмадца, вырождения.

Цель работу,. Основной цельп диссертационной работы явля-. ется изучение асимптотически;«; св.рфст& распределония полного числа потомков до момента времен», л„ а, такие изучение свойств распределения максимального числа потомков до момента вырождения.

Научная новизна. Для рассматриваемого в диссертации полного числа потомков получены сладущие новые результаты:

- доказаны предельные теоремы при фиксированном среднем процесса для первого случая.

- доказаны предельные теоремы для процессов близких к критическому для первого и второго случая.

Кроме того, в работе дается оценка для вероятяоетей больших уклонений максимального числа потомков до момента вырождения.

Апробация работы. Основные рбз:, >таты диссертации докладывались на 0-й международной Вильнгсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (г. Вильнюс, 1863 г.), на, заседании семинара по дискретной математике и кибернетике математического Института им. В. А. Стеклова (г. Москва, рук. чл,-корр. АН СССР Б.А. Севастьянов), на заседаниях семинара по теории вероятностей и .. »тематической статистике Института математики СО АН СССР (г. Новосибирск, рук чл.-корр. АН СССР A.A. Воронков).

Цубликациии. По тома диссертации автором омубликонани работы ЦВ-Е01.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 69 наименований. Объем работы - 90 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотри ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона, начинавшейся о одной частицы в нулевом поколении. Через ?, л=о,1..., обозначим число потомков в п-ом поколении. В нашем случае zu=i. Пусть pk=p iF)=p(Z = к), F-ip^ï* - распределение случайной величины Мы будеы предполагать, что Ра>0- Пусть л -коэффициент размножения, т.е. Ла]^ *р , Если л<1, то процесс называется докритнческш, если А>1 - надкритическим, если л-1 - критически:.

г

Половим rjx)=E(х "J, ix-isj, rtx)=r (х>. мы будем использовать обозначения H=f"fl), L=f"'(3J. Пусть - наименьший из корней уравнении s~i(s/, osS£i. Известно, что х - вероятность, выроядания процесса, Положим л =/' M, в -с ' IX), Заметил!, что если ли, то х=1 и, следовательно, л =л, so=s, Если л>1, то и А <1,

Пусть //=ainCn; z ~о) - момент вырождения процесса, = ГХ - полное число потомков до момента п, и - сах г

О 1 п „ ^ 1

OiiSn

максимальное число потомков до момента л.

Начало исследованию предельного поведения случайной величины Sn било полонено Харрисом в 1946 году в работе Г1J. Харрис для А>1 получил теорему о сходимости случайной иеличиш

Iîpn доказательстве этой теоремы Харрис показал, что при <®, A>1, V*0, rues, ииоет место

S/А" 5 b'A/IA-}) .

Пайке £21 получил пределыше теораш для условного распределения PlSt<xI zn>0> при .пл. Предельное поведение в случаях А<1, А~1, д>1 оказалось различным, Для докритнческого

случая имеет мси :o сход. <ость к вырожденному распределении и центральная продельная теорема;

Теорема А. Пусть л<1, е<®. Тогда для любого,е>о

. i .

Л ta PI 15 /(с>1 ; л—ll-»cl г >о) я о,

■ ~ п п

II-*®

г'д8 С¡И/Л! 1-Л).

Теорема в. nycfb ¿огда

И» p((Hn)~"2(s -nfcvjHsxi г

i; о

гдо w е .20-СЛ, 0.9 (L + 5п-а/ + Вг/(1~М + SARI/ЗА(1—А)1 0(к1 - стандартный нормальный аакон, В надкритическом случае доказана:

Теорема с nyctb í<M<®. Тогда су"(остн"ог последовательность полокителышх констант (с , mif, о с /с -л при

ЦП I f| 1

»¿> таких, что

На PIS «с х| г >0) я P(VsA(A-i}x\ V>0)', 0sx<®,

где v - иевироадйЦиая случайная величина, для которой >'(v=oi . х, имевшая непрерывное распределение на положительной полуоси.!

В критическом случае доказывается сходимость к распределению, заданному преобразованием Лапласа;

Теорема D. Пусть 0<®. Ту. да ' .■ . ' ,

11а Р($/пгтI Z >0) s FIX), 0&x<a>,

Il ' .

<х>

где I в"1 dFtx)*í2Bt)UZQOBecbt2B'1иг, Ott«x.

о *

.Ватутиным и Сагитовым 181 получена предельная теорема для

совместного распределения 2п и Sn при условии z>п гтри л-*» для

критического npouet ■.& Гальтона-Ватсона с одаим типом частиц.

Ока получена при более слабом условии, чом у Пяйкса:

t(b =s+(t~$)**ai(i-s>, где «ч(о, и, L(x) - медлено меняете«

при х->о. Теорем^ ,D является ей. частным случаем.

В главй 1 диссертационной работы исследуется распредели -ннй суммы а до момеша вырошюкии. Рассмотрение функционалов от процесса Гальтона- Ватсона до момента вырождении процесса ранее не проводилось. Традишшшшм было изучение процесса при услонии ого непырожденип (см., например, теоремы А-»>.

Для общего ветвящегося процессу Крампа Мода-Ягерса Топчий 14-71 изучал поведение общей численности частиц на вырождающихся траекториях. Отличие теорем Топчии в том. что в них рас-сматриваится псе траектории процесса, вырождающиеся до момента л, а в нашем учае - траектории, вырождашшеи точно в момент л. Предельные теоремы, которые доказывается в главе 1, является а некотором смысле локальными по отношении к теоремам Топчня.

Кестен, ließ я Спитцер 181 показали, что для критического Процесса n¿P(H*pf = у (t+o(UJ при л-»®. Теорема 1.1 дает асимптотический вид остаточного члена в этом соотношении, а такие асимптотику г ->цого момента случайной величину SN при условии N-i¡. •

Теорема iri. Пусть 4=1, в>о и нг^'8», Тогда

при п-«и ! ' S

1 ) »ЧМ-«> ?= ~ <l+Q(n'Sl),

' '.■•■• * гп"

2 У E($J f - (¡г>г (l+o i'n'&) I.

Асиыитэтический виц fíw-jij дай иекритичоских слунаиэ. ириииденшй, и теореме 1.8, является. простым следствием из соотношений работы, Нагаева и Мухамадхановой tul,

Теорема í,a, Пусть A=tton8t*i, в>о и а случае .и i D<¿<. Тогда при л-« ,

1] P(N=ah* + ^П-Лр/Лц1"'" +

и эсли osä< в случае л<1, то

2) £/3j¡ ftfcifJ-1 - (i+i)n t x6ln),

i'Jlv h\ Kx, Kqjfguf.}

величины, эарирчще 'fpJiwp от вида

Г о(п), А<1, Ь=0, С(х1 | ц(п) = {

( с+о(11 в остальных случаях. ,

Отметим, что условное математическое ожидание N-n)

имеет порядок пг п критическом случае и порядок п в некритических, Этот' факт позволяет отличать критический процесс оТ . некритического по величине SN.

Вид математического ожиданн... как и вид предельных зако-'j нов (см. теоремы 1.6, 1.6) в докритическом и надкритическом случаях совпадайт. Ото объясняется тем, что надкритический процесс эквивалентен на вирокдашихся траекториях докритичос-кому процессу fг*с производящей функцией г'(х)=п\х)/\ (см., например, СЮ, теорема 3, с. БЯ1 ).

Теорема 1.3 дабт оценку вероятностей малых уклонений величины при условии н=п для критического процесса.

Основным результатом первой главы является ггредельные теоремы для распределения суммы sM (теоремы 1.Б, 1.6): причем в отличие от Пэйкса (теоремы A-D), который исследовал условное распределение P(Sn<x| , рассматривается альтернативное

условное распределение pîsh<xI Самым трудным является/

случай, когда одновременно л-*», л-»* (процессы, близкие к критическим) (теорема 1.Б), который у Пэйкса вообае не изучен. Кроме того, рассматривается случай фиксированного среднего, который для условия z >о был полностью исследован ПэЙксоМ . (теоремы A-D). Для условия при ¿sconst** в диссертации доказана теорема 1.6; случаю л»* соответствует следствие 1-6. из теоремы 1.8. Как и у Пэйкса (теоремы А-В) теорема 1.в состоит из двух частей; теоремы о сход> )СТИ к вырожденному распре делению и центральной предёлькой теорв*м. ,

Пусть m »mJ w=n/. s .

Ли

" , Теорема 1.0. Пусть A*conat*it В>0 in п случав й«а. Тогда для любого е>0 ' /

11в РПЗ/т,. - 11>с| Wen/ « О.

п-Р " "

Если ь<« в случае л<1, то, кроме того,

НИ ft (Sb~l t+v)N)/TNU*<x\ N*h) a I x),

i'/10 Ых) - стандартный нормалышй закон; », т зависят только от вида fx).

Понятие процесса близкого к гчитичоском1' ввел п рассмот-ренио Севастьянов till для ветвящихся процессов с непрерпшшм впомонем. Поскольку на практике чудно допустить, что точно ылюлноло равенство л*J, препполагается, что A-»J.

Влизкг-i к к,/итичог.кому процессы Гальтона-Ватсона иьоле-допа л Нагаев и Мухамодханова [121 и Фахади, КуаЯн и Вер-JLkohc Г'Л1. Они доказали, что

На FtZ /а >х| Z >О) я в"*, (I)

л п 1 п

А-» 1

где „•E.-zj V7'-

Пусть К - класо аспределений на решетке неотрицательных цйуг'х чисел, и нлетворяших. еле душим условиям:

Л) К f-ifp (Fl>p >'у ДЛ5- некоторого Рд И ЛСО'^ГО

В> Нш вир 1гр <F)*0,

п-«'» FEK П

Р0(р)>аи>п ДЛЯ некоторого а0 И ЛОбОГО FnK.

Класс а введен Фахали, Куайног и Вер-Джонсом П31. Мы будем предполагать, что сходимо ть при л-«", A-i осу-ществлнется пс классу распред.'л^чий к.

Асимптотический вид л>л, а такжи Р(Н*п) для с„*/чая п-*>, А-1 дает теорема i 1.

Для процессов, близких к критическому, имеет место: Теорепа 1.6, 1) Пусь Ни n}l-A\=r<°>. „.да '

п -* ® 1

lie РО.н/ты<х\ К-п) я С(х,г), хг.0, •

гл9

» ( 3l/nhZ( (3t.) 1/г) ,

J a'l"d (31 x,r! s- {

n * ( glt, r) , Oer-г®,

Ost«, gtt,x! пнрк.твтш в терликах элементарна*, функций, ï Пусть lia ni 1 -.il ."о. form ллл люб< о е>о

П-ГО

А* 1

Ив P(\J /т - Л>с' N:гп) - о.

Если то. ¡громе того, '

IIa PI I)-А0)э'*(Зк- tl+ï)H)/noN*ri<x\ N*n)

где '»(*. - стандарт!' й нормалып.'Ч «'закон, j известно,

Заметим, что если предельный ¡закон для Р(7, /а >х] ,

' П !? ' П

при n-®, \+1 (см. (1) , нп зависит от скорг-ти сходимости л к 1 с ростом п, то у полольного з ас Ol ia для l'is^/r .<*( Ni: ni при п-зд, л+) такая зависимость есть, СогласнЬ теореме 1.5 fi качестве "редельньл могут выступать,три различных типа iкснов п зависимости от скорости су пимссти л к i о ростом и, 13 зош! быстрой сходимости ( r-i> ) мы получаем тот яе пррпелышЛ ôàvtoHi .что и ! критическом ( .учао {см.- с. 'дствие 1.0), В' айв yi. ipea* ной скорости сходимости; (0*г«-».1. возникает другой ".тип преде ль-них законов Gfx.r), зависящих от,.параметра г.. заметимчто На gft, r)=3t/Bb?f (3t и') и IIb gft, 'г1яе~\ Вазоне медлен-1

Г■*() . г-»«' '' '■'* r:i ' *'

ной сходимости 'г-®) имеет ме;то сходимос . к вырожденному рас ¡рололению и центральная лподельная теорема, что w тог чно

С.ЧУ'ШП А • Ol. ttt. '• ,

г. глазе 2, как и в работе Яэйкеа tSI, исследуется условное раегчодолонив Pts <х\ 7^0)% но ù отличие, .гг последнего рассматривай гя ранее но изучений ~лучь>', когда одновременно л«>, А->1,

Пусть | / . П теореме 2.1 находится асимтоги-

ческий ий- "" и Р(и~п! при n«, A-j. ..сновннм результатом второй главк j ляется с дующая теорема.

Теорома й.8. 1) Пусть Ив nli-AI=r<TO. Тогда n*e

Ht

II® PIS /пР<хI 2 >V) = Gn I x, r), xi(),

П II tl

ri-».T t •> 1

^ f '^cosechret;1'2, r=o,

ni» / о o , ri — л . .

H ' l .7tft,r>, 0<г<ъ,

oít«ii, <f <t,x) выражается в тесинах илементарнчх функции, и ± соответствует и» 1 и

Я) Пусть 11н лИ-Л1=™, Д" i. Тогда для любого с>0

! .п-»®

*■» i

lia PUS /m°-í 1>с| / >о) = О. • " " *

Если L<«<®, то, кроме того,

lie PI(t-AJ3"'(S -п+|/п//впиг<х| z >£?/ я «ч-*;, 0 "

*•» i

гдо - стандартный нормальный закон, i известно. 3) Пусть 11« nlí-Л!»®, A4, Тогда

А-» 1

Ils PIS /го°<*| г >О) * i-e", хгО. V .

« в 1 п

*■»! -

Отметим, что в теореме 8.В в отличиэ от теоремы 1.б продельный закон зависит не только от скорости.но и от направления сходимости а к i с ростом п. в теореме выделяется пять различных предельных законов. В зоне быстрой сходимости (г*о) независимо от направления сходимости получается то *е предельное распределение, что и в критическом случае (теорема 0). Теорема о является следствием теоремы 2V2. В зоне умеренной сходимости (0<т<») доказывается сходимость к предельным распределениям. которые различны в случаях л<1 и л>1, Если л

стремится к 1 медленно снизу, ми получаем сходимость к

вырожденному распределению и центральную продольную лоргму. как и в случае .-¡-«mut.--1, рассмотренном ГЫйссом (теорема А," D). В случае медленного стремления Л к ? свотлу, предельным является показательный закон. Заметим, что lim у±(tг/ -

l6t)U2coBBßhtetlu'\ lia g (t, г)=в~1, lim gjt, r),=l/(i+t).

В главе О изучается максимальное число потомков до момента п. Доказывается неравенство для вероятностей больших уклог нений случайной величины м^. Заметим, что величину £Мп исг надевали Вайиер 1141. Камлерле и Счач 1101, и Пэйхс Ив), Теорема 3.1. Для о<est имеет место неравенство

HZ *vl

Pitt гх) s-----.

»In PC/ *м| г -ж}

lSkSf-1

Разумеется, ато неравенство можно раальнр иенольуоьать только при наличии оценок для величин, стоящих в прзиий части. Различные оценки для р<% *"I <'а~>-> при условии o-.fi<* дают теорема 8.2 н прв драения 3.1-0.4 дисссртаци-аинои работы. Заметим, что вероятность pîZî*), правда, для более частного случая, оценивается в работе Нагаева и Вахрушева С171,

Основным результатом третьей главы явлиатся норарйкст:«-, д,..т максимального числа потомков в процессе до' момента вырождения. Величины Р(и гх) и pin *х), ci сдано'ß правой части это-

n m

го неравенства, моинр, и сна»- сч(ф0дьг онепить по иарвпе^стеу •reo ре мы îi.l,

Т орема 8.3, Пусть 1*т*п% и в случае 4s? IU--, Тогда для хи имеет масто неравенство

* чГПП- { -

* j 57/biT ) "v*' }-

где рил f%, f t ч>.( известен.

Автор выражает глубокую блах'одьрность C.lii Нагаеау за постановку задачи, ценщо col .ги, помершу >'-и- да4мание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

Harris Т.Е. Branching processes // Ann. aettu statist, -ma. -Vol, 18.VP. 474-494. Я. Palces Д.а. ваше limit theorems far fhe tbtul progeny at a ' ' ranching process ft Adv. eppl.probab. -1971Д -Vol. 3, No.

l, -p. m-tea.

0, Ватутин в A.. Сагйтов C.M. Разложимый критический ветвя-цийся процесс с двумя типами.частиц // Вероятностные задачи дискретной математики; Сб. статей -(Труды МИА.. СССР; Т. 177), -М.: Наука, 1Шв. -С. 0-20. 4. TopiI1 V.A. Limit theorems for i. critical branching Cramp-• Kode-Jagera • ргоремм ■; ' Тез. докл. 1 всемирн. конгресс ' об-ва им. Бернулли, Ташкент,^ свит. И38вг, -М.: Наука, ; 1966. гГ. 1. -С, 427. 6. Topchll V.A. alt theorems for в critical branching CruspT-Mode~Jagerp processes // Prop. 1 World C.'ongr. of the Bernoulli Sac., Tashkent, sept. 1986, -'Utrecht: Science Press, 188/. -Vol. 3. -P. 717-720. 6, Топчий В.А. Умеренные уклонения для общей численности частиц в критических ветвящихся процессах // Теория вероятностей и ее применения. -1908. -Г. 83, * 2. -С. 406-409. Топчий В, А. Свойства общей численности чает-ц на еыровда«*--v щихся т. лекториях ветвящихся процессов П Сиб. мат. журн. -1388. -Т. 83, JS 6. -С. 185-143. ' -

8. Kesten Н-, Hey P. , Spltzer F. The. Galton-Vstson process with nean oj\e and finite variance К Теория вероятностей и её применения. -1966. -Т. 11, * 4, -С. 579-611, а. Нагаев С.В., Мухамедханова Р. Некоторые предельные теоремы из теории ветвящихся случайных процессов Н Предельные теоремы и. статистические Чййййн. -Ташкент; Фан, 1960. -С, 30,- 112. -

10. Athraya К.В., i!oy Р.Е. Branching processes. -Dorlin а.о.: Sprlnger-Verlag, 1972. -2S7 р.

11. Сер стьянов Б. А. Переходные явления в ветвящихся случайных процессах // Теория вероятностей и её при. линия. ~1ййЗ. -Т. 4. Я 2. -С. 121-185.

12. Нагаев С.В., Мухямедханова Р. Переходные явления в ветвящихся случайных процессах с дискретным временем-// Предельные теоремы и статистические ьиводы,' -Ташкент; Фан, 1038. -С, 83-09.

i? Fahady К.В., Quins П.P., Ve?o-Jone3 D. Heavy traffic approximations for .the Galton-Vatson process ft Adv. appl. probab. -1871. -Vol. 3, Ho, 2. -P. 232-200.

14. Vainer H.J. Hoaento of tha naxtntn In a critical branching process // J, appl. probab. -1Э84. • ol. 21, !fo. 4. -P. 320-933.

15. Kasaaarle X., Schah H.-J, Tim aaxipus in critical Galton-tiatson and hearth and death processed // J. appl. probab.

-1S33. -Vol. 23, По. 3. -P. 601-813.

18. Pafcee A.O. Пе-aria on the naxiaa of a cartlngal» soauenca yith application to the olaplo critical nrnrichinrj proceas it J. appl.. probab. -1537. -Vol. 24, Ho. 3. -P. 768-772.

17. Нагаев С.В., Вахрушев Н.В, Оценка вероятностей больших уклонений для критического процесса ГальтонатВатоона // Теория вероятностей и ей'применения. -1.97S. -Т, 20, il i. -С, 181-183.

Результата автора по теме диссертации

18. Нагаев C.B., Карпенко A.B. Предельные теоремы для полного числа потомков в ветвящемся процессе Гальтона-Батсона. -Новосибирск. 1У8?. -88 с. -(Препринт/Alt СССР. Сиб, отд-ние. Ин-т математики ; Î5 30 ), la. Нагаев C.B., Карпенко A.B. Преаелыгае теоремы для полного числа потомков в ветвящемся процессе Гальтона-Ватеона // Тез. докл. б межвунар. Вильнюсской воиф. 'по тдор. вер. и мат. статист.. Вильнюс, и». . 1988г, -Вильшэс, 1509. -с. ?у-ео.

по. Карпенко A.B. Переходные явления для полного числа потомков в ветвящемся процессе Г&льтона-Ватсоиа. -Новосибирск, 1990. -Р.0 с. -(Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ниа. Ии-т математики; * fi).

Г