Вероятностные неравенства и предельные теоремы для критических ветвящихся процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Вероятностные и моментные неравенства

§1. Экспоненциальное неравенство.

§2. Неравенства в терминах срезок.

§3. Некоторые следствия.

§4. Моментные неравенства.

Глава 2. Большие уклонения в крамеровском случае

§1. Формулировка основных результатов.

§2. Вспомогательные результаты.

§3. Доказательство теоремы 2.1.

§4. Доказательство теоремы 2.2.

Глава 3. О локальной предельной теореме

§1. Формулировка результатов.

§2. Вспомогательные результаты.

§3. Доказательство предложения

§4. Доказательство теоремы 3.1.

Пусть £ — случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения. Через обозначим распределение т.е. Рк = Р(£ = к) для всякого к. Процессом Гальтона—Ватсона называется однородная во времени цепь Маркова переходные вероятности которой задаются равенствами

Процесс Гальтона—Ватсона можно рассматривать как стохастическую модель динамики популяции однотипных частиц, которые не взаимодействуют друг с другом. В этом случае величина интерпретируется как число частиц в п-м поколении.

Процесс Гальтона—Ватсона является простейшим из всех ветвящихся процессов, и, как следствие, достаточно хорошо изученным. Однако несмотря на это, теорию этих процессов нельзя считать завершенной. Это в частности относится к такому важному разделу, как большие уклонения. Важность исследования этой проблемы обуславливается, в частности, тем, что вероятности ошибок многих статистических критериев оказываются тесно связанными с большими уклонениями соответствующих случайных процессов. Кроме того, к большим уклонениям ветвящихся процессов сводится исследование условий стабильности стохастических моделей.

Большая часть настоящей диссертации посвящена восполнению этого пробела: изучению вероятностей больших уклонений для критических (Е£ = 1) процессов Гальтона—Ватсона. Кроме того, в последней главе при минимальных моментных ограничениях доказывается локальная предельная теорема для критических процессов Гальтона—Ватсона.

Мы начнем с краткого обзора результатов, имеющих отношение к прилагаемой диссертации.

Введем сначала необходимые обозначения. Положим /(в) = Е^, В = /"(1), С = /'"(1). Во избежание детерминированного случая /(я) = з всюду в дальнейшем будем предполагать, что ро > 0. Через обозначим вероятность продолжения процесса т.е. фп = Р(£п > 0). Положим для краткости

Известно, что критический процесс Гальтона—Ватсона вырождается с вероятностью один, т. е. 0 при п оо. А.Н. Колмогоров [1] показал, что при выполнении условия С < оо имеет место соотношение

При том же самом условии A.M. Яглом [2] доказал интегральную предельную теорему, которая в терминах Рп(и) выглядит следующим образом

Pn(u)=p(^>u\Zn>0).

Вп

0.1) п-+ оо lim Рп(и) = е U

0.2) для любого фиксированного и. Кестен, Ней и Спитцер [3] показали, что соотношения (0.1) и (0.2) остаются верными и при менее ограничительном условии В < оо. * В работе C.B. Нагаева и Р. Мухамедхановой [4] при соответствующих моментных ограничениях получены несколько следующих членов в разложении величины Qn, а в работе Р. Мухамедхановой и А. Ганиева [5] выводятся полные асимптотические разложения для величины Qn. В случае В = оо асимптотика вероятности продолжения и интегральная предельная теорема для критического процесса Гальтона — Ватсона получены Слэком [6]. Для неоднородных во времени ветвящихся процессов соотношения, аналогичные (0.1) и (0.2), получены в работе К.А. Боровкова [7].

Впервые оценка скорости сходимости в (0.1) была получена в работе [4j, а именно

An:=supk(w)-e"w =о(—) (0.3)

U I \ П / при выполнения условия С < оо. К.А. Боровков [7] распространил данный результат на неоднородные ветвящиеся процессы. у Первая работа, в которой доказывается локальная предельная теорема для ветвящихся процессов, принадлежит, по-видимому, В.М.Золотареву [8]. В этой работе исследуется асимптотическое поведение величины Р (Zt — к) при фиксированном к для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. Для процесса

Гальтона—Ватсона этот вопрос изучался в работе [3], а именно lim -n2P(Zn = j) = ß(j) < оо, пчоо А при выполнении условия В < оо.

В предположении о существовании четвертого момента числа прямых потомков В.П.Чистяков [9] вывел асимптотику Р(Zt = к) при t,k -» оо для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. В [9] также упоминается, что для дискретного времени аналогичный результат получен Н.В. Смирновым. Однако с момента появления работы В.П. Чистякова ни формулировка, ни доказательство не были опубликованы. г В работе [3] при условии В < оо формулируется следующий результат: если к и п стремятся к бесконечности так, что их отношение остается ограниченным, то где d — н.о.д.{& : рь > 0}. Но доказательство этого соотношения авторы работы [3] провели при условии

Е£21п(1 + О<оо. (0.5)

Они отмечают также, что условие (0.5) накладывается ими ради простоты изложения. Однако доказательство (0.4) без условия (0.5) до настоящего времени не было опубликовано.

Одновременно с [3] появилась статья [4], в которой при условии существования четвертого момента случайной величины £ доказывается равенство

Я2п2 / Ik \

P(Zn = к) = ехр(--^) + <*ы + 0(k~l Inn), (0.6) где ctkn —0 при п оо равномерно по всем к.

Соотношение (0.4) следует из (0.6) только при к~1\пп -» оо. С другой стороны, из (0.6) вытекает, что (0.4) остается верным, если к/п стремится к бесконечности достаточно медленно.

Отметим, что соотношения (0.2) и (0.4) не позволяют найти порядок убывания Р(Zn >к) и Р(Zn = к) при к/п —> оо. Некоторую информацию о поведении Р(Zn > к) можно извлечь из оценки (0.3). Если положить ип = Inn— (2+е) In Inn, то согласно (0.3) lim sup еиРп(и) = 1. (0.7) n-*00u<un

Если же и > In п — (2 — е) In In п, то из (0.3) вытекает лишь независящая от и верхняя оценка

Таким образом, соотношения (0.2) и (0.3) содержат не слишком много информации о величине Рп{и) при больших значениях и, и, следовательно, этот вопрос требует специального изучения. . ч

• Как и в схеме суммирования независимых случайных величин, проблема оценки P(Zn > к) при больших значениях к гораздо проще решается в случае, когда выполнено условие Крамера (R — радиус сходимости функции f(s) — строго больше единицы).

В этом предположении С.В. Нагаев и Н.В. Вахрушев [10] получили аналог неравенства Бернштейна для критического процесса Гальтона—Ватсона. В работе Г.Д. Макарова [11] показано, что если выполняется условие Крамера, то соотношение (0.7) верно при и = о(п/Inning) п). Здесь 1п(^)п обозначает N-ю итерацию функции In х. В этой статье при дополнительном ограничении d = 1 доказывается локальная предельная теорема для значений к, соответствующих зоне 0 < и < ип. Более точно, соотношение (0.4) справедливо при к = о(п2/\пп\п^)п). В другой работе Г.Д. Макарова [12] формулируются результаты, касающиеся асимптотического поведения величин P(Z„ = к) и P(Zn > к) при к = о(п2/1п(лг)п). Необходимо однако отметить, что ключевой технический результат этой статьи — лемма 2 — приводится без доказательства. В [13] утверждения работы [11] переносятся на ветвящиеся процессы, близкие к критическим.

В случае, когда условие Крамера не выполняется, большие уклонения критического процесса Гальтона—Ватсона изучались в работе Атрейи и Видьяшанкара [14]. А именно, в этой статье доказано, что для любого е > 0 e\Zn > о) = д(е) < оо. (0.8)

При выводе этого соотношения предполагается, что Е£2+г < оо при некотором 6 > 0.

Отметим также, что большие уклонения для надкритических процессов Гальтона—Ватсона изучалась в работах Биггинса и Бингхама [15], Атрейи [16] и Атрейи и Видьяшанкара [14, 17]. Более точно, в [15] исследуется поведение хвоста распределения величины W = \\mZn/mn (т = /'(!)), а в [14] и [17] получены аналоги limnpf %tl-l n-УОО VI Z„ соотношения (0.8) соответственно надкритических процессов с одним или с несколькими типами частиц.

Обратимся теперь к результатам, касающимся поведения случайного процесса Мп = тах*;<п Zk^ Линдвал {18] доказал, что Нш1+00а;Р(Моо > х) = 1 при выполнении условия В < оо. К. А. Боровков и В. А. Ватутин [19] распространили этот результат на случай /(з) = з+(1—з)1+а.£((1 —я)-1), а € (0,1], где Ь{х) — медленно меняющаяся функция.

В работах [18, 19, 20, 21, 22, 23] изучалась асимптотика математического ожидания величины Мп при п —> оо. Вайнер [21] и Кеммерли и Шу [22] получили асимптотические оценки для величин ЕМ£ и EZ¡¡. В статье Пэйкса [24] исследовалось предельное поведение распределения Мп для близкого к критическому процессу Гальтона—Ватсона, начинающегося с большого числа частиц.

Верхние оценки для хвоста распределения Мп были предметом изучения в диссертации А. В. Карпенко [25]. В частности в этой работе получено неравенство, связывающее распределения величин Мп и 2п

Р(МП > к) < —-^--, 0 < I/ < 1. (0.9) п~ ' ~ > ик\г0 = к)' ~ ~ К '

Диссертация состоит из трех глав. Нумерация утверждений и формул двойная: например, теорема 1.2 является второй теоремой первой главы. Список литературы содержит 47 наименований, расположенных в порядке цитирования. Работы автора помещены в конце списка.

Первая глава посвящена выводу вероятностных неравенств для величины Мп при различных моментных ограничениях на распределение числа потомков отдельной особи. В первом параграфе уточняется неравенство из работы [10]. В параграфах 2 и 3 исследуется случай, когда существует лишь конечное число степенных моментов. Полученные неравенства аналогичны неравенствам Нагаева—Фука для сумм независимых случайных величин. При доказательстве теорем 1.2 и 1.3 используется метод урезания случайных величин с последующим оцениванием производящих функций срезок. Как выяснилось возможен и другой подход, который основан на применении вероятностных неравенств Фука для мартингалов [26]. Этот подход реализуется в параграфе 3. Заметим, что неравенства Фука неприменимы непосредственно к процессу гп (который, как известно, является мартингалом), так как условные моменты Е{|£п+1 — Zn\t\Zn = к} не являются ограниченными по к. Однако оказалось, что это условие выполняется для процесса \Уп = который является супермартингалом. Нетрудно показать, буквально повторяя рассуждения Фука, что его неравенства являются справедливыми и для супермартингалов. Применяя к процессу \Уп следствие из теоремы 2 работы [26] и используя затем тождество Р (Мп > к) = Р(тах,<„ И^ > Щ мы получим верхнюю оценку, которая составляет содержание теоремы 1.5. Четвертый параграф первой главы посвящен выводу моментных неравенств для максимального и общего числа потомков в критическом процессе Гальтона—Ватсона.

Во второй главе изучается асимптотическое поведение вероятностей Р(.£п = к) и Р(гп > к) при выполнении условия Крамера. Основным результатом является локальная предельная теорема, действующая в зоне к = о(п2) — теорема 2.1. Опираясь на этот результат, мы получаем интегральную теорему о больших уклонениях (теорема 2.2), из которой следует, что при и = о(п)

Рп(и) = е~иехр(-^и1пгг)(1 + о(1)), где 7=1 — 2С/(ЗВ2). Из этого представления для Рп(и) следует, что соотношение (0.5) выполняется при и = о(п/\пп).

Результаты этой главы усиливают утвеждения работ [11] и [12]. Автор этих работ для изучения вероятностей больших уклонений в крамеровском случае использовал аппарат анализа Фурье, тогда как наш подход базируется на модификации известного метода Крамера (относительно последнего см., например, [27], гл.8, §2). А именно, с помощью преобразований Крамера строится такой вспомогательный ветвящийся процесс, что большие уклонения исходного процесса переходят в нормальные уклонения для вспомогательного. Затем доказывается локальная предельная теорема для вспомогательного процесса, из которой вытекает утверждение теоремы 2.1.

Последняя глава посвящена доказательству локальной предельной теоремы при минимальном моментном ограничении В < оо. Отказ от условия (0.5) приводит к появлению новых по сравнению с доказательством из [3] технических трудностей. Для преодоления возникших проблем приходится привлекать комплексный анализ, тогда как авторы [3] обошлись анализом производящих функций в действительной области. Результатом применения аналитических методов явилась оценка (3.29): Р {7,п — к) < с/(пк). Следующим и самым сложным этапом в представленном доказательстве локальной предельной теоремы является оценка функции концентрации процесса — неравенство (3.2). Вследствие (0.1) эту оценку можно записать следующим образом: БирА>1 Р(£(") = к) < с/щ где — случайная величина, распределение которой совпадает с условным распределением 2п при условии 2п > 0. Прежде всего заметим, что при к >п желаемая оценка вытекает из неравенства (3.29), т.е. остается рассмотреть случай к < п. Далее с помощью неравенства (3.29) удается доказать, что эир^! + £2^ = < с/п, где и ^ независимые копии величины Отсюда, используя известное неравенство Кестена, мы получаем оценку функции концентрации суммы +. при всех ^ > 2. Оказалось, что при к < п величину

Р(£<п> = к) можно выразить через Р(£ = к) и Р(^п) + .ф = к), 3 = 2Д. Собирая описанные выше оценки, мы приходим к (3.2). Интересным является следующий факт: мы используем оценки функции концентрации сумм для того, чтобы с приемлемой точностью оценить функцию концентрации отдельного слагаемого. Последним важным шагом является доказательство равномерной по классу производящих функций {/л(з)}п>1 теоремы восстановления — лемма 3.20. С помощью стандартных методов теории восстановления этот результат получить невозможно, так как вторые производные /¿'(1) неограниченно возрастают с ростом п.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Сергею Викторовичу Нагаеву за постановку задачи, ценные рекомендации, помощь и постоянное внимание к работе.

1. Колмогоров А. Н. К решению одной биологической задачи. Изв. НИИ Мат. и Мех. при Томском университете, 1938, т.2, с. 783-786.

2. Яглом А. М. Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся случайных процессов. ДАН, 1947, т.56, с. 795-798.

3. Н. Kesten, Р. Ney, F. Spitzer The Galton—Watson process with mean one and finite variance. Теор. вероятн. и ее примен., 1966, т.11, в.4, с.579-611.

4. Нагаев С. В., Мухамедханова Р. Некоторые предельные теоремы из теории ветвящихся процессов., в. сб.: Предельные теоремы и статистические выводы. Ташкент: Фан, 1966, с.90-112.

5. Мухамедханова Р., Ганиев А. Асимптотическое разложение для вероятности ветвящегося случайного процесса с дискретным временем в критическом случае. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат., 1969, т.13, вып. 6, с. 59-61.

6. Slack R. S. A branching process with mean one and possibly infinite variance. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und Verw. Geb., 1968, В. 9, s.139-145.

7. Боровков К. А. Анализ переходных явлений для ветвящихся процессов. Теор. вероятн. и ее примен., 1994, т.39, в.З, с.449-468.

8. Золотарев В. М. Уточнение ряда теорем теории ветвящихся случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. 2, вып. 2, с. 256-266.

9. Чистяков В. П. Локальные предельные теоремы теории ветвящихся процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. 2, вып. 3, с. 360-374.

10. Нагаев С.В., Вахрушев Н.В. Оценка вероятности больших уклонений для критического процесса Гальтона—Ватсона. Теор. вероятн. и ее примен., 1975, т.20, в.1, с.181-182.

11. Макаров Г. Д. Большие уклонения для процесса Гальтона—Ватсона. Теор. вероятн. и ее примен., 1980, т.25, в.З, с.490-501.

12. Макаров Г. Д. Асимптотика вероятностей больших уклонений для критических марковских ветвящихся процессов. Вестник МГУ, Сер. мат., мех., 1983, №1, с.7-9.

13. Макаров Г. Д. Большие уклонения в ветвящихся процессах, близких к критическим. Теор. вероятн. и ее примен., 1982, т.27, в.31, с.142-147.

14. Athreya К.В., Vidyashankar A.N. Large deviations rates for critical and supercritical branching processes. Classical and Modern Branching Processes, 1-18, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, v. 84, Springer, New York.

15. Biggins J. D., Bingham N. H. Large deviations in the supercritical branching process. Adv. Appl. Prob., 1993, v. 25, p. 757-772.

16. Athreya К. B. Large deviations rates for branching processes. I. Ann. Appl. Probab., 1994, v. 4, p. 779-790.

17. Athreya К. В., Vidyashankar A. N. Large deviations rates for branching processes. II. Ann. Appl. Probab., 1995, v. 5, p. 566-576.

18. Lindvall T. On the maximum of a branching process. Scand. J. Statist Theory Appl., 1976, v.3, p.209-214.

19. K. A. Borovkov, V. A. Vatutin On distribution tails and expectations of maxima in critical branching processes. J. Appl. Probab., 1996, v.33, p.614-622.

20. Athreya К. B. On the maximum sequence in a critical branching processes. Ann. Probab., 1988, v.16, p.502-507.

21. Weiner H. J. Moments of the maximum in a critical Galton—Watson process. J. Appl. Prob., 1984, v.21, p. 920-923.

22. K. Kaemmerle, H.-J. Schuh, The maximum in critical Galton — Watson and birth and death processes. J. Appl. Prob., 1986, v.23, p.601-613.

23. Ватутин В. А., Топчий В. А. Максимум критических процессов Гальтона— Ватсона и непрерывные слева случайные блуждания. Теория вероятн. и ее при-мен., 1997, т. 42, вып. 1, с. 21-34.

24. Pakes A. G. A limit theorem for the maxima of the para-critical simple branching process. Adv. Appl. Prob., 1998, v. 30, p.740-756.

25. Карпенко А. В. Предельные теоремы и вероятностные неравенства для полного и максимального числа потомков ветвящегося процесса Гальтона — Ватсона. Кандидатская диссертация, Новосибирск, 1990.

26. Фук Д. X. Некоторые вероятностные неравенства для мартингалов. Сиб. матем. журн., 1973, т. 14, в. 1, с. 185-193.

27. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин, М.: Наука, 1972.

28. Т. Харрис, Теория ветвящихся процессов, М.: Мир, 1966.

29. Дуб Дж. JI. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

30. Фук Д. X., Нагаев С. В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, в. 4, с. 660-675.