Предельные теоремы для критических общих ветвящихся процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ТОПЧИЙ Валентин Алексеевич

УДК 519.218

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ ОБЩИХ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград 1989

Работа выполнена в Омском комплексном отделе Шчисли-тельного центра Сибирского отделения АН СССР

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Т.В.АРАК

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник В.А.ВАТУТИН доктор физико-математических наук, профессор В.М.ШУЕЕНКОВ

Ведущая организация: Московашй государственный университет

.Защита состоится " " 1982 года в

часов на заседании специализированного совета Д.0й3.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора фнзико -математических наук при Ленинградском ордена Ленина и ордена -. Трудового Красного знамени государственном университете. Адрес совета: 198904 Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Л1У.

Защита будет проводиться по адресу: 191011 Ленинград, набережная реки Фонтанки, д.27, 3 этаж, зал ЗП(помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Максима Горького по адресу: Ленинград, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан " " 1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общие ветвящиеся процессы или процессы Крампа-Мода-Ягерса §({), интерпретируется, как численность популяции частиц, существующих и не гибнущих в момент времени t . Частицы живут случайное время ^ и на протяжении всей жизни могут неоднократно порождать случайные количества потомков, численность которых определяется процессом . Последний интерпретируется, как численность прямого потомства у частиц, прожившей время t . После гибели частицы потомков не порождают, т.е. N0:)= // при t & .На зависимость между продолжительностью жизни ^ • моментами, количеством и величиной приращений процесса никаких других ограничений нет. Ветвящийся процесс начинается в нулевой момент времени t-0 с одной частицы. Превращения всех частиц имеют одинаковые распределения, и с момента появления частицы эти превращения не зависят от поведения остальных частиц.

Общие ветвящиеся процессы были определены и начали изучаться в работах Крампа, Мода, Ягерса в 1968-1969 годах. Эти процессы являются обобщением широко известных немарковских ветвящихся процессов Б.А.Севастьянова ( -А// ^ ^

и процессов Беллмана-Харриса (Л^) = И//^ ^ ^ ^ и л/ - независимы). Дальнейшее усиление ограничений на распределение

1 - экспоненциальность или РС4 - i)- { приводит к марковским ветвящимся процессам с непрерывным временем или дискретным (процессы Гальтона-Ватсона).

Ветвящиеся процессы являются моделями для исследования очень широкого спектра прикладных задач. Это - описание всевозможных биологических популяций, взаимодействие с превращениями физических частиц (как атсмов, так и элементарных частиц), химические превращения, задачи массового обслуживания, теория графов и многое другое.

Общие процессы дают возможность более адекватного описания

реальных процессов, чем перечисленные выше, за счет возможности неоднократно порождать потомков, не обязательно связывая это с актом гибели частицы родителя. Кроме того, возраст гибели частицы родителя, количества порожденных ею потомков и возраст, в котором частица их порождает, могут с /ладать произвольными связями (речь идет , ), чтг допустимо лишь в процессах Б.А.Севастьянова, но там порожде ие потомства означает гибель родителя.

По теории ветвящихся процессов в настоящее время имеется около десятка монографий: Т.Харрис (1966), Б.А.Севастьянов (1971), Над(1971), Атрея и Ней (1972), Ягерс (1975), Асмусен и Херинг (1983) и др. Довольно полную картину развития математической части теории ветвящихся процессов до 1982 года дают обзоры Кендалла (1966), Б.А.Севастьянова (1968) и А.Ы. Зубкова и В.А.Ватутина (1985), охватывающие порядка восьмисот публикаций. Однако ими не охвачен приблизительно такой же объем прикладных работ, основанных на теории ветвящихся процессов, и ряд исследований специальных моделей, которые авторы последнего обзора обещают описать позже.

В настоящее время интенсивно исследуются несколько десятков моделей ветвящихся процессов, в том числе и более общие, чем описываемые нами. Однако мы их не затрагиваем, а исследуем только критические общие ветвящиеся процессы с одним типом частиц. Условие критичности означает, что средняя численность потомков каждой частицы равна единице, т.е. М/У - I, Если МЛ^С * 1 ( МЛ/ > I ), то процессы называются докритическими (надкритическими). Условие критичности, докритичности или надкритичности процессов делит их на три качественно различных класса. Из них наиболее богатую структуру имеют критические процессы, что отражается в преобладании объема исследований указанных процессов над остальными. С другой стороны, свойства докритических и надкритических процессов преимущественно описываются экспоненциальными функциями (рост численности частиц, рост или убывание средней численности и т.д.), что плохо согласуется с многими практическими задачами на

больших интервалах времени. Критические процессы или близкие к ним (1 ) имеют более широкую сферу приложений.

Глубокие качественные и структурные исследования марковских ветвящихся процессов проведены в работах А.М.Яглома(1947), Б.А.Севастьянова (1951), В.М.Золотарева (1957), Слэка (1968, 1972) и др. Целостное описание процессов Беллмана-Харриса с проявлением качественно новых свойств (предельных теорем) было завершено в последние года В.А.Ватутиным.

Основой для тонких исследований процессов Беллмана-Харриса послужил метод Гольдштейна (1971). Суть этого метода состоит в двусторонней оценке производящей функции исходного процесса через производящую функции специально подобранного процесса Гальтона-Ватсона и сверки распределения £ . Этот метод был развит Хольте (1976) и для общих ветвящихся процессов. Однако он плохо приспособлен к исследованию последних процессов и результаты получались только в ситуациях мало отличающихся от характерных для процессов Беллмана-Харриса с довольно сильными моментными ограничениями.

В свете сказанного выше актуальными задачами для развития теории ветвящихся случайных процессов являются: разработка методов исследования тонких свойств общих ветвящихся процессов, описание этих свойств при вариации условий на исходные характеристики процессов и изучение возможностей получения качественно новых предельных теорем, возникающих за счет усложнения модели.

Цель работы. Разработать методы исследования общих ветвящихся процессов, адекватные их довольно сложной структуре, и детально описать основные асимптотические свойства критических общих ветвящихся процессов (вероятности не-выроздения процесса к фиксированному большому моменту времени, моменты процесса, всевозможные нормированные вероятности уклонений).

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации изложены принципиально новые подходы к исследованию ветвящихся процессов - метод одного

вероятного пространства и метод мультипликативной регуляризации. Суть их состоит в подмене характеристик исследуемых процессов на близкие, но обладающие дополнительными условиями регулярности, что почти не изменяет асимптотических свойств процессов, но качественно улучшает аналитические свойства уравнений для производящих функций, или представлении решений уравнений в виде произведения некоторой регулярной функции и необходимой для равенства, а в итоге доказывается, что эта регулярная функция либо грубо эквивалентна, либо просто эквивалентна искомой функции. Эти методы позволяют глубоко исследовать структуру критических общих ветвящихся процессов и обнаружить ряд качественно новых свойств общих процессов, которые в принципе невозможно реализовать на более простых моделях. Интерпретируя процессы Беллмана -Харриса и Б.А.Севастьянова, как частные случаи общих, за счет методов исследования наши результаты часто являются более общими, чем имевшиеся ранее. Большая форма общности заключается в менее ограничительных предпосылках теорем и получении критериев, тогда как ранее утверждения имелись толь ко в одностороннем виде. Эти методы могут применяться и при исследовании других моделей. В частности, с их помощью можно доказывать некоторые утверждения из теории восстановления, что продемонстрировано в диссертации при описании;математического ожидания процесса (получена теорема восстановления в неисследованной ранее области).

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательской темы ВЦ СО АН СССР "Разработка и исследование детерминированных и стохастических моделей и методы их анализа", № гос.рег^ , 81054408. Результаты публикаций по теме диссертации используются другими авторами, отражены в научных обзорах и включены в некоторые справочники. у

Основными результатами и положениями, определяющими научную новизну и выноеимые на защиту, являются следующие:

-. методы одного вероятностного пространства иыультиплика-тивной регуляризации для ветвящихся процессов; ■.

- описание методов получения оценок и асимптотика вероятности продолжения процесса в момент времени t при различных ограничениях на исходные характеристики процесса (от конечности моментов до условий существенно более слабых, чем правильное изменение производящих функций и хвостов распределений для случайных величин, определяющих превращения отдельной частицы);

- асимптотика вероятностей уклонений процесса при разнообразных ограничениях на случайные величины, определяющих превращения отдельных чаетиц (включая отказ от конечности ряда математических ожиданий), и при различных нормировках;

- асимптотика вероятностей уклонений общего числа частиц, появляющегося в процессе, вырождающемуся к моменту времени при вариации ограничений на процесс и нормировок ( каки в предыдущем абзаце), а также асимптотика моментов всех порядков для указанной случайной величины.

Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: научных семинарах в ИМ СО АН СССР (Новосибирск, 1979-1988), в МГУ (Москва, 1984), в МИнАН СССР (Москва, 1987), в ЛОМИ АН СССР (Ленинград, 1989^УССР (Киев, 1987, 1988), в ИПМЫ АН УССР (Донецк, 1988), в ОКО ВЦ СО АН СССР (Омск, 1979-1988); ряде региональных школ и конференций, Четвертой международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюе, 1985), Первом всемирном конгрессе общества им.Бернулли (Ташкент, 1986), Ш Ферганской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Фергана, 1983).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ в ДАН СССР, ж.Теория вероятностей и её применения, ж. Сибирский математический журнал, трудах ИМ СО АН СССР и ВЦ СО АН СССР, тезисах и трудах международных и всесоюзных конференций.

Основные результаты изложены в (1-10).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы,

насчитывающего 87 наименований и изложена на 227 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор состояния теории изучаемых в диссертации ветвящихся процессов, формулируются цели исследования и приводится сводка полученных результатов. Отсутствие близких исследований для общих процессов заставляет нас прибегать к сравнению с результатами для процессов- Бел-лмана-Харриса.

Глава I - "Асимптотика вероятности продолжения и математического ожидания процесса" - посвящена описанию поведения первого момента и скорости сходимости к нулю веро-

ятности невыроядения процесса ОЦ) = Р (§(■£)> 0 ) . При этом получаются результаты в глобальной форме в очень широком классе распределений для ^И)) , а затем в качестве следствий, часто нетривиальных, получаются легко воспринимаемые частные случаи, которые охватывают все имеющиеся традиционные результаты.

Для подробного изложения результатов введем ряд определений и обозначений.

Функции и назовем грубо эквивалентными на

бесконечности, если ^^ р-т.

Грубая эквивалентность обозначается .

Если указанные выше пределы равны единице, то функции называются эквивалентными и обозначается это так: ■

Введем классы неотрицательных функций, заданных на или ого подмножествах. При этой под о/ всюду подразумевается О либо е>-=>

-Т£ - ; $(х)! £€ (о,™)} ;

1ЛЫ]-

Приведем названия введенных классов: функции из

(ЛР

называются надстепенными, из (Л(с1) - слабо осциллирующими в Л (в нуле или на бесконечности), из - асимптотически по-

стоянными, из - медленно меняющимися в е£ , из

X (р, ) - правильно меняющимися в с1 с показателем р .

положим ^£тл/ау} т^р(г^)^

со

^=/ЧЛ/; в = а--\tdMHii);

о

--{а-уН+у, т, са), щ

и Е(£) - решения уравнений ] ш ~-}(1) -й) > ш» ? ^•Ш) =

= | е:\х)с1х = - ^ь, еш'Ь) •

Е(+) О °

(Е(б))с!б , соответственно, - функция обрат-

ная к Щ) .т.е. (С(х)) = х ; 1<га,у)* +

+ а(мш).

В §1.1 строится модель вероятностного пространства для приводятся основные свойства асимптотики вероятности продолжения процесса при минимальных ограничениях и производится детальный качественный анализ условий и утверждений теорем, их взаимосвязь с предшествующими результатами.

Теорема 1.1.1. Пусть зЬ 1, * ^ Ш))* 01 ? и верны соотношения

и

тогда

отма)* ш* т + тхЕН

Это утверждение дает качественную картину поведения в терминах сложно определенной функции ЕЮ и сравнительно простых функций и . Аналогов для этой

теоремы нет.

При усилении ограничений верна

Теорема 1.1.2. Пусть ¿М, /¿^¿$о)Для лвбой

, верны (I) и (2), А[+)£01(<™) и при ЛГ)боы £ £ (О, 1) справедлива оценка

тогда

оаьед.

Из .теоремы 1.1.2 выделено два частных случая Теорема 1.1.3. Пусть , МЦ) = о ЩЩ

для любой у а) £ и верны (I) и (2), тогда

Теорема 1.1.4. Пусть Ж * I , верны (I) и (2), А&)

Щ* о(ма)), ч&Ц* оЦ*)Ав) при любом

£¿(0,4) . тогда

В теореме 1.1.3 отражена ситуация основного влияния долго живущих частиц, т.е. асимптотика О(^) совпадает с распределением максимума продолжительности жизни всех частиц, присутствующих в реализации процесса. Далее она доказывается прямыми методами в менее ограничительных предположениях.

В теореме 1.1.4 выделен случай маложивущих частиц, т.е. вероятность продолжения процесса ведет себя также как и для процессов с конечной фиксированной продолжительностью жизни частиц (при & ).

. В такой форме общности даже для более простых процессов (кроме теоремы 1.1.3, о чем скажем позже) результаты ранее не получались. В этих теоремах впервые отражены свойства только общих процессов: у долго живущих частиц может наблюдаться резкий рост численности потомства. Этот факт, в частности, выражается в необходимости использовать вместо

В §1.2 исследуется асимптотика т(Ь) - Математическое

ожидание м(Ь) удовлетворяет уравнению восстановления. Кроме известных ранее, доказывается и новая теорема восстановления, позволяющая описывать поведение м 1Ь) в более широкой области. Эти исследования носят второстепенный характер, но вынесены в начало с двумя целями: показать качественное усложнение исследований при переходе от процессов Беллмана-Харри-са на очень простой характеристике (для последних всегда = 1 ); продемонстрировать на незатененном другими техническими проблемами случае суть одного из основополагающих методов - мультипликативной регуляризации. Суть его состоит в представлении исследуемой функции в виде произведения один из сомножителей которого обладает максимально возможными свойствами регулярности и в дальнейшем оказывается главным членом асимптотики, а второй записывается из условий обычного равенства и сначала удается доказать, что он сравним с I, а затем и сходимость его к I.

В §1.3 излагается другой метод(одного вероятностного про-

странства для ветвящихся процессов), позволяющий существенно упрощать исследования.

Основная масса технических исследований функций E(i), M(t)} C(t) и L(i) и их взаимосвязей вынесена в §1.4. Эти функции, с одной стороны, являются основой для определения асимптотики вероятности продолжения процесса, с другой стороны, в их терминах определяются практически все зоны применимости предельных теорем.

Отметим эквивалентное определение E(t)- это решение дифференциального уравнения

где $(0)-i и производная берется справа.

В §1.5-1.9 получаются уравнения для асимптотики вероятности продолжения, а затем, используя в несколько этапов методы регуляризации, приходим к утверждениям теорем I.I.I и I.I.2.

В §1.10 обосновывается исчезновение ограничений в следствиях теоремы I.I.2 - теоремах I.I.3 и I.1.4.

Следующий §1.11 посвящен частному случаю теоремы I.I.2 -

Он ранее исследовался многими авторами для разных процессов при наличии ряда дополнительных ограничений. Здесь решается довольно сложная задача вывода из общих уравнений для E(i) простых соотношений, дающих асимптотику Q(i).

Теорема I.II.6. Пусть где

i(t,fi)L№¿DIM И ifttf)L(№(M(i))+i^П

при всех Xc ■ J/rfty/M^ft), где ^{01i\> tji)*

О

и для любых ¿>U верна оценка

B(t)~S(i),

где S(i) - решение уравнения •

sah ut'w [s i(sct)) -1a,sm.

Эта теорема включает в себя все три случая С- 0) о■=)

и с= «> поведения Q(i) , описанные для процессов Беллма-на- Харриса (в наших терминах <^(i) = o(G{H(i)))> tf(i) пропорционально С-Ш)) , либо >.

Для общих процессов ранее были известны только частные случаи теоремы I.II.6 - требовалось по крайней мере выполнения

условий б*во, Cj.(i) = о (i г) t ¡и dhN(u) = о (Vе).

Из формулировки этой теоремы видно, что однозначно определяемые одна по другой функции A(i) и ¿j-(~t) в случае процессов Беллмана-Харриса для общих процессов переходят в две самостоятельные функции А (i) и , которые при соответствующем подборе распредеяания процесса , могут варьироваться в очень широких пределах почти независимо друг от друга.

Приводимые ниже следствия из теоремы I.II.6 дают явные выражения для асимптотики вероятности продолжения и включают в себя все известные ранее результаты для общих и более простых процессов. j i-tp-i.

Следствие I.II.3. Пусть зМ, A(i) = p i fCL(i)J

при всех 0 , тогда__

Следствие 1.И.4. Пусть d = i, Щ+лр\ где JefOj]^

AM-jrf+tfai где ^mi т^н, MiM-mh

для любой ^ (i) ^ dtс при ^ $ > fty) - непрерывна

на [0, оо) , тогда

где у» О- единственное решение уравнения tf* -4>(tf).

Здесь же доказывается критерий отсутствия эффектов долго-живущих частиц при а .

В §1.12 проводится прямое исследование случая отсутствия эффектов маложивущих частиц.

Теорема I.I2.8. Пусть зМ, j(t01 {*>)для любой

a(i) и верно

Здесь же приводится частный случай последней теоремы для процессов Беллмана-Харриса, обобщающей все известное ранее.

Завершается глава краткими библиографическими замечаниями и комментариями.

Во второй главе - "Предельные теоремы, связанные с распределением численности частиц в общем ветвящемся процессе" исследуется асимптотика нормированной вероятности уклонений

при вариации и i -»«-=> . При этом ЦЛ^) подбирается из условия

и(х) = Jtm^ u(i,x) $ ccnit е'[0, o°J при ао 0.

В §2.1 на основе критерия С.М.Сагитова приводятся следствия из теоремы I.I.4 и следствия I.II.4.

Теорема 2.I.I. Пусть р , 0< а«*L(i) =o(M(i))

и верно (I), тогда слабый предел

существует тогда и только тогда, когда Cr(y) е

для некоторого 1] и его преобразование Лапласа имеет

ВИД -¿р/

Теорема 2.1.2. Пусть ,0*а<ь<>,

где и верно соотношение

для любой при ^ > ) -непрерыв-

на при £ 0 , тогда ($) слабо сходится к функции распределения с преобразованием Лапласа

I' (Г+

где у - единственное положительное решение уравнения

ч- У1**

Эти теоремы обобщают все имевшиеся ранее результаты. Аналоги теоремы 2.1.1 даже для более простых процессов сразу

содержат условие О-(у) л, 0) при

Для общих процессов у Хольте и Дурхэма имелись утверждения типа теоремы 2.1.1 с условием ¿<оо и ряд других излишних ограничений.

В теореме 2.1.2 качественно новой является возможность

ст& и то, что она относится к общим процессам. Здесь же приводится краткий обзор исследований всей главы, в том числе процедура сведения теоремы для обычных общих ветвящихся процессов к аналогам для процессов, начинающихся с большого числа частиц.

В §2.2 сначала в очень слабых предположениях при чистых эффектах долгоживущих'частиц получается асимптотика производящей функции

Ра,2)= М* (точнее Оа^-р^) при. ? фиксированном и i■*lxз ).

Положим РШ-1-бЦ) и Ш,*)

- решение уравнения

Теорем* 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.12.8 и справедливы соотношения

и м{i-p''Ш;>l>*i1^<fi(t)'-D, (3)

и^-» оо

■ь

{¿т I о а-и)имА/(и )&*({). о (4)

-Ь-*^, ЯП Иг '

тогда верно

он,*)

(5)

Из теоремы 2.2.3 легко получить критерий существования условного дискретного предельного распределения для "%({.),

Теорема 2.2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.3 и для некоторой функциии </° (с-) при всех 0^(0,1] верно соотношение тогда предел

Л'т. Р(ф)--</%(*)> 0) при всех К > 0 существует тогда и только тогда, когда

для некоторого Л ¿(0,1] , при этом производящая функция предельного распределения 4.-<('(и) определяется решением уравнения

Функция (р0 (С.) имеет очень простую вероятностную интепре-тацию - это предельное преобразование Лапласа для

д1{е-емМ1г>*] при .

Здесь же приводится следствие для процессов Беллмана-Хар-риса, обобщающее известные ранее результаты данного типа, и эквивалентное утверждение для процессов, начинающихся с большого числа частиц.

Результаты атого параграфа соответствуют случаю

В следующем §2.3 описывается случай £ - £, в котором

сохраняется соотношение (5) (охватывает класс функций

таких, что ^¿Ь» и

Теорема 2.3.6. Пусть $--1, (Схо), *&)

такая, что иЦ)\0 и

Ашшмта-гЩ&у1 - (б>

кроме этого верны оценки: и,если Мо-оо а ¿ж то

/ ^ мсщ -тщ-'ф -о, (8>

иначе

&т ^f fj+ , f(£i) )мШ-№)кЬ)=0

*-*~>,Гч-о 0<(<l-f 1 i-Mrf(Et)J J >

<9)

тогда

mrtVhL(tx+)) - ^ (сыщш) ■ (I0)

Одним из упрощенных вариантов последней теоремы является Следствие 2.3.2. Пусть §(i) - процесс Беллмана-Харриса,

I-/, fdhOtH, -1- уи({) , где u(t) * (ЛМ

такая, что и верно (6), ¿jfe^ ^ft^)

три » , тогда верно (10),

На основе (10) легко получается критерий существования штривиальных пределов у нормированных вероятностей уклонений. Теорема 2.3.7. Пусть J--i, ffi)^<ЛМt i(i)'tctpJ-Л f,]>

где %(i)(rüt(°b) такая, что %Ci)?^ и верно (6), кро-ге этого справедливы (7) и дилемма (8)-(9), тогда невырохден-

ный предел

им % ш ю а))

существует тогда и только тогда, когда ) £ О) при

некотором о(. «= (0,и

% ак шщ®)*^ с* (о,*-)

В этом случае

и(х) Г'Ш^Г).

Обратное утверждение теоремы 2.3.7 можно записать в виде Теорема 2.3.9. Пусть дМ, где

¿.¿(0,1], *({) - е*р '*&)} , где такая, что

и верно (6), кроме этого справедливы (7) и дилемма (8)-(9), тогда при 0(%И)) выполняется соотношение

В данном параграфе приводится эквивалентная формулировка теоремы 2.3.7 в терминах процессов, начинающихся с большого числа частиц.

В §2.4 изучен случай ^ ({) X £ при отсутствии

эффектов маложивущих частиц у процессов ) и обсуждаются свойства пределов и(-Ь,х) при более высокой скорости роста

Теорема 2.4.10. Пусть 4*1, £(%) * 2 АШ £ ¡¿¿('о) где

°Ш) при любом ^(04) верно

мШ-т); 2*1}= о ШН), ±А'*Ш М{И; ^} = О

и, если = «>«», «^roo f т0 верно (8), а иначе верно (9), тогда существует предел

Ji^ Р(и(+)$(4)>Х)Г1'Х(0 - UÍX)

с преобразованием Лапласа 011(А) = V(X)\ , где М) - решение дифференциального уравнения

с начальными условиями

11(0) -Í при И 11(0) = 0,

v\0)-^(l-jlf при

Для процессов Беллмана-Харриса имеется аналогичный результат В.А.Ватутина, однако усложнение модели приводит к расширению спектра предельных функций. В частности для более простых моделей в принципе невозможны случаи р < У A(í)g J ИЛИ оо, л

Далее для полноты картины рассматриваются случаи более высокой скорости роста % (i) = и'1 (i) , чем в теореме 2.4.

10. Это удается делать в разных зонах в зависимости от того, что f>* Í или f- 9 1 . Пределы и(х) здесь при подходящем подборе ^(í) получаются только постоянные на (0,

В §2.5 мы возвращаемся к ситуации, когда возможны эффекты маложивущих частиц. Приводимые здесь результаты являются дополнением к полученным в §§2.1,2.2.

Положим

при ti. О; E(í)=0 при i<0; 3 0<ct<c¿<со; оЛ (LühМШ) * Ш ± ct (L(é) +М(Щ. Теорема 2.5.12. Пусть аг~1 , верны (I) и

(2), MtítOtH

при любых £ ^ (0,1) справедлива оценка

И(а/~Ш); o(G.(£(i))/E(i))^

и при Е(í)^ ¿ выполняются соотношения 'Т. .

JUu, {l'E(i-i)})dF(u)-^(i)+o(£(E(i))),

тогда при любом фиксированном ^ е СО, £) где £ г) - решение уравнения

1 * т

( Аа. (Л. (Л^Щ^А.

ен,*) Щ)' > о

Теорема 2.5,13. Пусть Щ)*О)> где и* (0,1] ■

Где ^[0,1],

при любом £ е (0) 4) при любых

/У- ЕЦч)))с1Г(и) - оШЩ-СЫфШ),

Т0Гда еШ

где - единственное положительное решение уравнения

А*)* у**^)- С (4-5).

Завершается глава краткими библиографическими замечаниями и комментариями.

Последняя 3 глава - "Свойства общей численности частиц на вырождающихся к моменту времени "£ траекториях" посвящена изучению свойств численности всех частиц, появляющихся в

на интервале У6 ГО,^) (-обозначаемой ) на

вырождащихся к моменту времени t траекториях.

В §3.1 приводится краткий обзор результатов главы, формулируется несколько результатов в легко воспринимаемой форме и обсуждается вид двойственных утверждений к доказанным в главе 3, если рассматривать процессы, начинающиеся с большого числа частиц. Теорема 3.1.1. Пусть Л«У, О* , О* а «ев ,

> тогда

mji) - Mitftk = vJi)Q-*n+i(il

где Vji)^ Q(i)(&Q(i)+ а при к>1 w .

vM) -- B0{i) & c:-1

bQttb (Zn-i)ai'1

Ранее аналогичные результаты имелись только для процессов Беллмана-Харриса (Вайнер) с множеством излишних ограничений и не очень четким доказательством. Теорема 3.1.2. Пусть d-1, PfcD)=0, Q(t)* Ot(~),

при t , тогда

P(R(t)>z(t); Y^WJ^ (х'Ъ)).

Последнее является следствием из теоремы 3.6.6, и аналогов для него не было.

Вспомогательный характер носит §3.2. Здесь определяются классы регулярных функций и исследуются их свойства для использования их в методе одного вероятностного пространства.

В §3.3 и §3.4 доказывается теорема 3.1 и некоторые ее следствия, сначала для « = 1 , а затем методом математической индукции для всех целых п.,

Ь §3.5 в качестве приложений теоремы 3.1.I доказываются теоремы об асимптотике уклонений для R(~t) на множестве

; = 0] , Они качественно отличаются друг от друга при наличии или отсутствии эффектов долгоживущих частиц.

Стя теоремы могут быть получены, как следствия из доказан-:гх далее, но особый интерес они представляют в силу того, -г>'о описывают те малочисленные случаи, в которых удается

найти явный вид пределов Ы(х) J > * ^ ('¡У; )-0)

или преобразований Лапласа от них.

Аналогов результатов из §3.6 ранее не было. Мы уже приводили теорему 3.1.2, являющуюся следствием основного результата данного параграфа. Приведем его самого.

Теорема 3.6.6. Пусть Л = {] = 0Ц)е (%(**) и фик-

сирована такая Б-непрерывная функция (т.е. монотонная

и удовлетворяющая соотношению У №¿+1)^ V/'} для

некоторой последовательности / ^ ), что и

при т , тогда для существова-

ния конечного в области х £(0,со) предела

%а)Р№№<?№))>*; мп+1

необходимо и достаточно, чтобы (Цу) <? "3(1+<4, 9) для некоторого <¿¿(0,4.} и существовал конечный предел

&Н)е-1 (ч>№Ш)) = о>0.

Если С(у) е 2(1*4,0), ¿¿(0,1] и С = 1 , то 1'пи и К,*) -

В §3.7 исследуется случай чистых эффектов долгоживущих частиц.

Теорема 3.7.7. Пусть Ф-1, ?& §МШ)~Н>(зЦШ)№Н) для любой ^с » где и верно

АШШ/е(М)}= оШ,

тогда для

из теоремы

3.6.6 конечный при всех х>0 предел и(х)=^лт иЦ,х.)

существует тогда и только тогда, когда (г(у) (2.(1**, О) для некоторого

. При этом его преобразование Лапла-- 22 -

са нения

Т -Лг

1¡(\)- J С u(x)dx. является единственным решением урав-

В частном случае, когда в теореме 3.7.7 U(tJ

можно найти в явном виде

имьгиш^Г'Н^х^-гм+^х), i '

где

- неполная Г-функция, Г

х

= 0) - Г-функция. Это отражено в работе в виде следствия. Аналогичное утверждение для процессов Беллмана-Харриса может быть извлечено из работ В.А.Ватутина, но при в более

ограничительных предположениях на (i) и при условии

Для общих процессов аналогов нет. В §3.8 изучаются те же вопросы, что и в предыдущем, но при наличии эффектов маложивущих частиц.

Теорема 3.8.8. Пусть á--I> ( Oj} где ¿€ (0,1]з

где ре(0,П> cj- (i, §(i) МШ)-(ч>($У

** Шт)

для любой

ПРнепрерывна на [0, £*=>) и при любом £ £ (0ti)

HiÑ-ÑÍZÍ); i ¿i} o(A(i)fJJ, тогда существует предел

ц(х) -á^ M~J(i)P(R(i)e-(M(i))>* ; l(i) ,0Л

и его преобразование Лапласа И(А) удовлетворяет соотношению

v(A)*A-(Í+¿)\V'(A) = f( v(A)\

где v(A)= к V(A)+f , v(O) - j>, f=fU*+if(f).

Из результатов других авторов теоремы 3.8 8 может быть получена только при условии приводящих к Q(-t)~M(i)u о , Это работы В.А.Ватутина и С.М.Сагитова для процессов Гальтона-Ватсона, Беллмана-Харриса и общих процессов.

Заключается глава краткими библиографическими замечаниями и комментариями.

В заключении дана краткая характеристика работы и перечислены полученные результаты.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Топчий В.А. Об асимптотике вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов. - ДАН СССР, 1980, т.252, »I, с.55-57.

2. Топчий В.А. Асимптотика вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов,- Теория вероятн. и её прим., 1982,т.27, в.4, с.667-668.

3. Топчий В.А. Асимптотика вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов без второго момента у численности потомства.- В кн.: Предельные теоремы для сумм случайных величин (Тр..ИМ СО АН СССР). Новосибирск: Наука, 1984, с.181-197.

4. Топчий В.А. Вероятность продолжения общих критических ветвящихся процессов без моментных ограничений. - В кн.: 1У Вильнюсская международная конференция. Тезисы, т.З, Вильнюс, 1985, с.198-201.

5. Топчий В.А. Свойства вероятности продолжения общих критический ветвящихся процессов при слабых ограничениях. -Сиб.матем.журн.,1987, т.28, *б, с.178-192.

6. Топчий В.А. Обобщение результатов о вероятности продолжения общих критических ветвящихся процессов.- В кн.: Стохастические модели и информационные системы (Тр.ВЦ СО АН СССР), Новосибирск, 1987, с.143-179.

7. Топчий В.А. Предельные теоремы для критических общих ветвящихся процессов с долгодвижущими частицами.- В кн.: Детерминированные и стохастические модели сложных систем (Тр.ВЦ СО АН СССР), Новосибирск, 1988, с.114-153.

8. Topcii Т.A. Limit theorem for a critical branching Crump-liode-Jagers processes.- Ins Proceedings of the 1-st World congress of Bernoulli Society. 7.2. Utrecht.-The Netherlands, Scienc Press, 1987, p.717-720.

9. Топчий В.А. Умеренные уклонения для общей численности частиц в критических ветвящихся процессах.- Теория вероятн. и ее

прим., 1988, т.33, в.2, с.406-409. Ю. Топчий В.А. Свойства общей численности частиц на вырождающихся траекториях ветвящихся процессов,- Сиб.матем.журн., 1988, т.29, №6, с.135-143.