Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородных и случайных средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

1 Ветвящееся случайное блуждание в неоднородной среде

1.1. Описание модели.

1.2. Производящие функции.

1.3. Дифференциальные уравнения для моментов.

1.4. Интегральные уравнения для моментов

1.5. Случайное блуждание на Zd (без ветвления).

1.5.1. Асимптотика переходных вероятностей ж, у).

1.5.2. Функция Грина случайного блуждания.

1.6. Спектральные свойства ¿-возмущенного оператора А.

1.7. Критичность. Основные результаты.

1.8. Спектральная классификация асимптотического поведения процесса. Монотонность т^, 0,0).

1.8.1. Задача Коши для уравнения йт/сИ = (А +• /35о)т.

1.8.2. Задача Коши с начальным условием т(0) = 6У.

1.9. Надкритический случай.

1.10. Предельная теорема для надкритического случая.

1.11. Общие методы исследования в критическом и докритическом случаях

1.12. Критический случай.

1.12.1. Первые моменты в размерностях ¿<5.

1.12.2. Первые моменты в размерностях d > 5. Старшие моменты.

1.13. Докритический случай.

1.13.1. Первые моменты.

1.13.2. Старшие моменты.

2 Ветвящееся случайное блуждание в случайной среде

2.1. Описание модели.

2.2. Производящие функции.

2.3. Дифференциальные уравнения для моментов.

2.4. Неоднородная задача Коши для неслучайного потенциала

2.5. Неоднородная задача Коши для случайного потенциала

2.6. Представления Фейнмана-Каца для моментов.

2.7. Асимптотика статистических моментов {тf).

2.8. Асимптотика статистических моментов (т.

2.9. Перемежаемость моментов. Заключительные замечания

Центральная задача теории ветвящихся случайных блужданий — изучение эволюции процессов во времени в зависимости от структуры среды. В представленной работе исследуется предельное поведение ветвящихся случайных блужданий на ¿-мерной целочисленной решетке в ситуации, когда ветвящаяся среда (т.е. совокупность процессов рождения и гибели частиц в узлах решетки) пространственно неоднородна либо случайна.

Со времени появления основополагающей статьи Б. А. Севастьянова [17] ветвящимся процессам с диффузией частиц было посвящено большое количество публикаций (см., например, обзоры В.А. Ватутина, A.M. Зуб-кова [5,45]). В частности, многие важные результаты для ветвящихся диффузионных процессов и ветвящихся случайных блужданий связаны с именами Б. А. Севастьянова, А. В. Скорохода, С. Асмуссена, Д. Биггинса, П. Ре-веса и многих других математиков. Однако эти работы в основном либо ограничивались рассмотрением одномерного случая, либо исходили из предположения об однородности ветвящейся среды (т.е. характеристик ветвления в точках пространства). Отметим также создание в последние годы теории нового класса процессов — так называемых супердиффузионных процессов, возникающих как "диффузионный" предел ветвящихся случайных блужданий в больших системах частиц (см., обзор Д. Доусона с соавторами [37] и приведенную там библиографию).

Особую актуальность модели и задачи теории ветвящихся процессов с диффузией частиц стали приобретать в последнее десятилетие в связи с развитием теории случайных сред, благодаря которой была осознана важная роль среды в формировании свойств и закономерностей эволюционных процессов (см., например, [41]). Основная особенность случайных сред состоит в том, что в них велико влияние редких флуктуаций, поэтому осредненное описание, типичное при классическом подходе, далеко не всегда адекватно. Для процессов в случайных средах характерно возникновение нерегулярных структур с ярко выраженной неоднородностью пространственного распределения, связанной с наличием "сильных центров", в окрестности которых происходит основной рост процесса [42,43]. В физической литературе для подобных явлений принят термин "перемежаемость".

Таким образом, на первый план выходит анализ ветвящихся процессов с диффузией частиц (и в частности, ветвящихся случайных блужданий) в пространственно неоднородных, "каталитических" средах [36,38,39]. Принципиальную роль здесь играет модель с конечным числом источников ветвления, которую в этом контексте можно рассматривать как учет главных членов "теории возмущений" в соответствии с иерархией каталитических центров.

Для исследования неоднородных (финитных) сред в первой главе диссертации предлагается рассмотреть ветвящееся случайное блуждание с непрерывным временем на решетке Z¿ {й > 1) с одним источником ветвления. Эта "точно решаемая" модель позволяет детально изучить эффекты, обусловленные следующими двумя принципиально важными обстоятельствами: 1) неоднородностью (финитностью) ветвящейся среды и 2) неограниченностью пространства, в котором происходит блуждание. С одной стороны, неоднородность среды приводит к формированию аномальных свойств процессов переноса. С другой стороны, некомпактность пространства разрушает чисто точечный спектр оператора, связанного с процессом [18]. В надкритическом случае это несущественно, поскольку предельное поведе6 ние процесса по-прежнему определяется старшим (перроновым) собственным значением. Однако в критическом и докритическом случаях основной вклад в асимптотику вносит правый край непрерывной части спектра, что усложняет применение спектральных методов.

Если ограничиться изучением полного числа частиц, то при нашу модель можно рассматривать как процесс Беллмана-Харриса, т.е. как ветвящийся процесс с превращениями, зависящими от возраста [25], в котором роль времени жизни частицы играет время возвращения случайного блуждания в источник ветвления. Для локальных численностей частиц в узлах решетки такая интерпретация отсутствует. Это связано, по-видимому, с тем, что стандартная теория таких процессов здесь непосредственно не применима: например, при с? > 3 распределение времени жизни является несобственным вследствие невозвратности случайного блуждания; кроме того, это распределение трудно исследовать в явном виде.

Во второй главе диссертации основное внимание уделяется ветвящимся процессам в случайной среде и, в частности, анализу явления перемежаемости в терминах старших моментов процесса. В работах Я. Б. Зельдовича с соавторами [8,9,47] явление перемежаемости было впервые изучено для стационарной (не зависящей от времени) случайной среды на примере задачи Коши для оператора Андерсона со случайным потенциалом:

Здесь дг := д/дЬ обозначает частную производную по t1 оператор А, задающий "диффузию" частиц, действует как разностный лапласиан на решет к > 0 — коэффициент диффузии, а потенциал У(х,и>), х Е Zaf, отвечающий наличию ветвления (размножения и гибели), представляет собой кАи + У(х,и>)и, ж)|*=о = 1.

0.0.1) ке Ъ*: совокупность независимых одинаково распределенных гауссовских случайных величин. Как было обнаружено в цитированных работах, количественным критерием перемежаемости является аномально быстрый рост старших статистических моментов решения и(Ь,х) (прогрессивный по номеру момента): и2)^{и)\ (г/4) » (и2)2, . здесь и далее угловые скобки (•) обозначают математическое ожидание относительно распределения случайной среды).

Позднее С. А. Молчановым и Ю. Гертнером [40] задача (0.0.1) была изучена в общем случае пространственно однородного случайного потенциала У(х,и). В частности, в этой статье с помощью представления решения по формуле Фейнмана-Каца были доказаны существование и единственность решения уравнения (0.0.1) в классе всех неотрицательных функций на и дано строгое математическое определение перемежаемости. Кроме того, здесь были установлены необходимые и достаточные условия перемежаемости полей «(£, ж) при £ —> оо, а также вычислены моментные показатели Ляпунова для х).

В рассматриваемой во второй главе диссертации модели простого случайного блуждания с размножением и гибелью частиц уравнение (0.0.1) описывает эволюцию среднего числа частиц (при фиксированной случайной среде). Однако в контексте упомянутых результатов представляется естественной постановка вопроса об изучении старших моментов ветвящегося случайного блуждания. Оказывается, в этом случае соответствующие уравнения (типа уравнения Андерсона) также могут быть выписаны, но они уже являются неоднородными. Для дальнейшего исследования потребовалось получить представление их решений в виде функционалов типа Фейнмана-Каца. В диссертации изучена асимптотика последовательных статистических моментов решений таких неоднородных уравнений в предположении, что "хвост" распределения потенциала V имеет вейбулловский вид. Вычисленные в работе старшие моментные показатели Ляпунова показывают, что для старших моментов также имеет место перемежаемость, которая, однако, в основном определяется перемежаемостью первого момента, что подтверждает высказанную ранее гипотезу С. А. Молчанова.

Два круга задач, рассмотренных в первой и второй главах, объединены в работе общим методом исследования [2, 40, 46], основанным на анализе асимптотики старших статистических моментов для случайных числен-ностей частиц. Пусть в начальный момент имеется одна частица в точке х G Zd (d > 1), которая затем совершает случайное блуждание. Предположим на решетке выделено некоторое множество узлов ("источников"), попадая в которые частица может дать случайное число потомков (в частности, погибнуть). При этом механизм ветвления в каждом источнике независим от блуждания. Если количество источников ветвления конечно, то мы говорим о финитной (неоднородной) ветвящейся среде. Характеристики ветвления в каждом источнике могут быть случайными, тогда мы имеем дело со случайной средой. Основными объектами исследования являются локальное число частиц fit (у) рассматриваемого процесса в момент времени t > 0 в точке решетки у Е Zd и общее число частиц fit = Ylyeid № (у) ? а также их последовательные статистические моменты mn(t,x,y) = Ех${у) и mn(t,x) — Е(n Е N), где Еж обозначает математическое ожидание при условии //()(•) = ^ж(-).

В первой главе рассматривается случайное блуждание в финитной ветвящейся среде (с одним источником). Пусть А = {a(x,y))Xiyezd — матрица переходных интенсивностей (генератор) случайного блуждания, а(х,у) > 0 при х ф у, а(х,х) < 0 и Yhya{x->y) = 0- Предполагается, что блуждание однородно (а(х,у) = а(0,у —ж)), симметрично (а(х,у) = а(у,х)) и неприводимо (т.е. все точки у £ ЪА достижимы), причем скачки имеют конечную дисперсию.1 Механизм ветвления в источнике хо — 0 независим от блуждания и задается с помощью инфинитезимальной производящей функции /(и) := Ьпип, где Ъп > 0 при п ф 1, < 0 и Ьп = 0. Таким образом, частица, находящаяся в точке х, за малое время к с вероятностью а(х, у)к + о(Н) переходит в точку у ф ж, с вероятностью 6о(х)Ьпк + о(К) умирает, породив п ф 1 потомков в точке х (каждый из потомков частицы продолжает свою дальнейшую эволюцию из точки х), или же с вероятностью 1 + а(х, х)к + 8(^{х)Ь1Н + о(К) остается в х.

Предположим, что Д := /М(г/)|м=1 < оо при всех г £ N5 т.е. число потомков частицы имеет конечные моменты всех порядков. Обозначим для краткости (3 := (3\ и рассмотрим оператор Н = А + /36о(х), действующий по формуле Нф(х) = а(х,х')ф(х') + (36$(х)ф(х). В силу известного критерия Шура следует, что Н является ограниченным самосопряженным (вследствие симметрии случайного блуждания) оператором в 12{ЪЛ). Рассмотрим функцию Грина С*а (ж, у) = /0°° х, у) сИ, где х, у) — переходная вероятность случайного блуждания. В силу локальной предельной теоремы имеем = 7^, где > 0 — некоторая константа. Поэтому £а(0, 0)|а=о < оо при с1 > 3 и, следовательно, случайной блуждание транзиентно, если с? > 3, и возвратно, если й = 1,2.

Обозначим Д := 1/0^(0^0), тогда Д = 0 при с? = 1,2иД>0 при й > 3. Значение Д является критическим в том смысле, что при (3 > Д = 1/(?о(0,0) у оператора Н имеется единственное собственное значение Ао > 0, которое определяется из уравнения /Юа(0,0) = 1. (В случае (3 = (Зс корень Ао = 0 является собственным значением лишь при д, > 5). Таким образом, для финитной (неоднородной) среды с одним источником частности, в этот класс входит простое симметричное случайное блуждание, для которого а(х, у) = а/(2(1) при \у — х\ = 1, а(х, х) — —а и а(х, у) = 0 в противном случае.

10 установлено наличие нетривиальной критической точки относительно параметра, характеризующего интенсивность источника. Спектральный анализ оператора £Г, фигурирующего в уравнениях Колмогорова для моментов, показывает, что надкритичность процесса связана с существованием положительного собственного значения Ао (перронова корня), играющего роль параметра Мальтуса. Во всех режимах найдена точная асимптотика целых моментов числа частиц, при этом в критическом и докритическом случаях обнаружен дополнительный фазовый переход по размерности решетки.

Теорема 1.7.1. При всех п Е N и £ оо тп(1,х,у) ~ Сп(х,у)ип(г), гап(£,ж) ~ С„(ж)г;п(*),

0.0.2) где Сп(х,у), Сп(х) — положительные константы, которые в каждом из указанных ниже подпунктов определяются рекуррентно с помощью явных уравнений, а функции ип, уп имеют следующий вид: а) при Д > Д б) при (3 = Д в) при Д < ре, ип{1;) = епХ°\

1 > 5: «„(*) = Г1"1, = 4; ип(г) = гп-1(Ш)1~2п, й = гг„й =Г1/2(1П4)П~1, й = 2: ип(1) = Г\

1=1: «„(*) = Г112(Ш)п~1, > 3: ип(1) = Г^2, й = 2: ип(г) = (Пп2 г)-1, = 1: ип(1) = Г^2, = епХ°г; = г2*-1; уп(г) = г2п-1(Ш)1~2п, = г-1/2, = (1п = &-1У2; ее 1; vn(t) = (ШУ1;

V. = Г'/».

В надкритическом случае доказана предельная теорема для локальных численностей, а также для полного числа частиц.

-11

Теорема 1.7.2. Если ß > ßc, то в смысле сходимости моментов lim ßt(y) e-Aot = ШЙ, ,lim ^ е~Ло' = ^ (°-0-3) t—¥ ОО t—XX> где £ — невырожденная случайная величина, такая, что Ех£п = Сп(х) (п £ N), где моменты Сп(х) совпадают с соответствующими константами в (0.0.2). Более того, если ßr = 0{r\rr~l), то моменты Сп(х) однозначно определяют распределение £ и, таким образом, соотношения (0.0.3) справедливы также и в смысле сходимости по распределению.

Во второй главе механизм блуждания частиц описывается простым случайным блужданием с непрерывным временем на Zd. Принципиально важным предположением является то, что ветвящаяся среда, т.е. набор интен-сивностей деления и гибели частиц в каждом из источников, — случайна. Ветвление может происходить в каждом узле решетки. Среда задается набором пар случайных величин х Е Zrf (интенсивностей рождения и гибели соответственно), определенных на некотором вероятностном пространстве (0,5Г,IP). Предполагается, что пары (£+(х),(х)) независимы и одинаково распределены. Рассмотрим потенциал который представляет собой совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин. Случайные моменты mn(t,x) и mn(t,x,y) удовлетворяют следующим задачам Коши.

Теорема 2.3.1. Моменты mn(t,x,y) и mn(t,x) (п — 1,2,.) удовлетворяют дифференциальным уравнениям dtmi = /cAmi + V(x)m\,

Kl—1 dtmn = кАтп + V(x)mn + £+(ж) С^тг-тпг-, n > 2, i=1 с начальными условиями тп(0,-,у) = Sy(-) и тп(0,-) = 1 соответственно, где CI = тт п\

П — г!(га—1)!'

Тем самым моменты численностей частиц являются случайными величинами, для которых (0.0.1) служит уравнением для первого момента.

Обозначим через (xt,Px) простое случайное блуждание на Zd с генератором к А, и пусть Рх — распределение вероятностей процесса при условии, что блуждание началось из точки х 6 Zd, а Ех — математическое ожидание относительно Рх. Решения уравнений для локализованных численностей mn(t,x,y) и полного числа частиц mn(t,x) (п > 1) можно записать в виде интегралов по траекториям случайного блуждания Xt. Положим = £+(0) и V = V"(0), а также ln+ х = Ina:, если х > е и 1п+ х = 1, если х < е.

Теорема 2.6.1. Пусть ' \ ln+ V оо.

Тогда для тх(£, ж, у) и тх(£, х) справедливы почти наверное представления т^х,у) = Ех {е/о , т^х) = Ех .

Если функции х, г/) := тахо<и<^ т^и, х, ?/) и Мг-(£, ж) тахо<гг<г Шг(м, ж) при каждом I почти наверное удовлетворяют условиям

1 < г < гг- 1, ln+M^z^) |х|—Уоо Ы1пЫ ' то для моментов mn(t, ж, ?/) гг mn(i, х) IP-п.н. имеет место представление mn{t,x,y)=mi(t,x,y) + In(t,x,y), mn(t,x) = mi(t,x) + In{t,x), п > 2, где

71— 1 рг ti ^ п-1 „i n(£,z) = У2СгпЕх {+(xs)efoSv(^dumi(t - s,xs)mni(t - s,xs) ds. fei Уо

- 13

Основной результат второй главы состоит в нахождении логарифмической асимптотики средних {тдля случая вейбулловских "хвостов" потенциала V.

Теорема 2.8.1. Пусть 0 < < 00 пРи каждом к £ N. Если

1п1Р{У > г} ~ — ст1 при т оо и некоторых 7 > 1 « с > 0, то для р-х моментов от тп(Ь,х,у) и тп{р,х) при всех п,р £ N имеет место предельное соотношение:

При доказательстве теорем 2.6.1 и 2.8.1 развиты методы, предложенные в работе [40] для исследования однородного уравнения (0.0.1).

Из теоремы 2.8.1 виден прогрессивный рост моментов решений тх, Ш2,., тп с увеличением порядкар:

Это объясняется наличием перемежаемости в распределении решений шх, ТП2,. • • ? тп- С другой стороны, полученные результаты показывают, что перемежаемость старших моментов в основном определяется перемежаемостью первого момента, т. е. {т?) « {гщр).

Основные результаты диссертации изложены в работах [2,3,27-33,35].

Автор искренне благодарен своему научному руководителю доценту Л. В. Богачеву за постоянное внимание к работе и профессору С. А. Молчанову за постановку задач.

У(х,ш) -— независимые одинаково распределенные случайные величины, т\) > (шх>2, (т?)>(тх>{т?),. т2п) > (шп>2, (т^)>(тп)(т2),.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 543 с.

2. Богачев Л.В., Яровая Е.Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником. Доклады Академии наук, 1998, т. 363, №4, с. 439-442.

3. Богачев JI.B., Яровая Е.Б. Предельная теорема для надкритического ветвящегося случайного блуждания на Zd с одним источником. Успехи математических наук, 1998, т. 53, вып. 5, с. 229-230.

4. Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961, 247 с.

5. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы I. Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985, т. 23, с. 3-67.

6. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов, т. И. М.: Наука., 1973, 640 с.

7. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, 534 с.

8. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость пассивных полей в случайных средах. Журн. эксперим. и теор. физ., 1985, вып. 6(12), с. 2061-2072.- 120

9. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде. Успехи физ. наук, 1987, т. 152, вып. 1, с. 3-32.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740 с.

11. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.

12. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 331 с.

13. Красносельский М.А., Забрейко А.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966, 499 с.

14. Лоэв. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962, 720 с.

15. Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения. Итоги науки и техники. Теория вероятн. Матем. статистика. Теор. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986, т. 24, с. 53-110.

16. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971, 567 с.

17. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся случайные процессы для частиц, диффундирующих в ограниченной области с поглощающими границами. Теория вероятн. и ее примен., 1958, т. 3, №2, с. 121-136.

18. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.

19. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969, 472 с.

20. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971, 264 с.- 121

21. Федорюк M.B. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987, 544 с.

22. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1,2. М.: Мир, 1984, 528 е., 752 с.

23. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III, изд. 3-е, стереотипное. М.: Физматгиз, 1963, 656 с.

24. Функциональный анализ, под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972, 544 с.

25. Харрис Т.Е. Теория ветвящихся случайных процессов. М: Мир, 1966, 355 с.

26. Шубин М.А. Псевдоразностные операторы и их функция Грина. Известия АН СССР, серия математическая, 1985, т. 49, 3, с. 652-671.

27. Яровая Е.Б. Перемежаемость старших моментов в модели ветвящегося процесса с диффузией в случайной среде. Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика, 1990, №4, с. 79-82.

28. Яровая Е.Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве. Теоретическая и математическая физика, 1991, т. 88, №1, с. 25-30.

29. Яровая Е.Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания в случайной среде. Деп. ВИНИТИ, Jß 2813-В99. М., 1999, 23 с.

30. Яровая Е.Б., Богачев Л.В. Асимптотика моментов ветвящегося случайного блуждания на Zd с одной точкой ветвления. Труды Средне-волжского математического общества, 1998, т. 1, №1, с. 122-123.- 122

31. Albeverio S., Bogachev L.V., Yarovaya E.B. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source. Comptes Rendus Acad. Sei. Paris, Ser.I, Math., 1998, t. 326, p. 975-980.

32. Albeverio S., Bogachev L.V., Yarovaya E.B. Branching random walk with a single source: a moment approach. Preprint No. 586, Universität Bonn, 1998, 14 p.

33. Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes. Berlin: Springer-Verlag, 1972, 287 p.

34. Bogachev L.V., Albeverio S., Yarovaya E.B. Branching random walk with a single source. In: Extended Abstracts, Fourth International Conference on Difference Equations and Applications (Poznan, 1998), Poznan, 1998, p. 49-52.

35. Dawson D.A., Fleischmann K. A super-Brownian motion with a single point catalyst. Stoch. Processes Appl., 1994, v. 49, № 1, p. 3-40.

36. Dawson D.A., Fleischmann K., LeGall J.-F. Super-Brownian motions in catalytic media. In: Branching processes. Proc. First World Congress, 1993, Varna (Heyde C.C., ed.), Led. Notes Stat., 1995, v. 99, p. 122-134.

37. Fleischmann K. Superprocesses in catalytic media. In: Measure-valued processes, stochastic partial differential equations, and interacting systems. Montreal, 1992, P. 99-110.

38. Fleischmann K., LeGall J.-F. A new approach to the single point catalytic super-Brownian motion. Probah. Theory and Relat. Fields, 1995, v. 102, №1, p. 63-82.

39. Gärtner J., Molchanov S.A. Parabolic problems for the Anderson model. Commun. Math. Phys., 1990, v. 132, p. 613-655.- 123

40. Greven A., den Hollander F. Branching random walk in random environment: phase transition for local and global growth rates. Probab. Theory and Relat. Fields, 1992, v. 91(2), p. 195-249.

41. Molchanov S.A. Lectures on random media. Lect. Notes in Math., 1994, v. 1581, p. 242-411.

42. Shohat J.A., Tamarkin J.D. The Problem of Moments. New York: Amer. Math. Soc., 1943, 144p.

43. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes II. J. Sov. Math., 1993, v. 67, №6, p. 3407-3485.

44. Willekens E. On Higher Moments of the Population Size in a Subcritical Branching Process. J. Appl. Prob., 1988, v. 25, p. 413-417.

45. Zeldovich Ya.B., Molchanov S.A., Ruzmaikin A.A. Sokoloff D.D. Intermittency, diffusion and generation in nonstationary random medium. Math. Phys. Rev., 1988, v. 7, p. 3-111.