Об усреднении монотонных эллиптических оператороввторого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Владимирский государственный е

педагогический университетР Г О и«

1 Я ДЕК 7П00

На правах рукописи

Рычаго Михаил Евгеньевич

Об усреднении монотонных эллиптических операторов второго порядка

01.01.02. — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир — 2000 /Г7>

Работа выполнена на кафедре математического анализа

Владимирского государственного педагогического ' университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор уКиков В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, ведущий научный сотрудник Шамаев A.C.

кандидат физико-математических наук, доцент Валиков К.В.

Ведущая организация - Московский Энергетический

Институт (Технический Университет)

Защита диссертации состоится 22 декабря 2000г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослал I&ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом университете, доктор физико-математических наук, доцент

П) - Л_ Степанов С.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При рассмотрении математических моделей микропеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а(е~1х), где е > G -малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициенты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.

Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.

Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными было начато в семидесятые годы. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.

Теория усреднения краевых задач в перфорированных областях и тесно связанная с ней теория дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами в настоящее время интенсивно развиваются многими отечественными и зарубежными математиками. Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова, Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная: библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.

Рассмотрим некоторые вопросы усреднения в перфорирован-

ных областях. Перфорированной областью принято называть пересечение

(1)

где О. - фиксированная ограниченная область в Ш.^, множество = = {ех, х £ С}} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества <2 С 21^. Для наглядности можно представить себе, что С) - это внешность периодически расположенной системы шаров в П1Л".

Классический метод усреднения эллиптических краевых задач основан на продолжении решения ие, заданного в перфорированной области, на всю исходную область О с сохранением энергетических оценок. На идее продолжения базируются многочисленные работы по теории усреднения (см. работы Е.Я.Хруслова, Б-Сюгапевки к. Л.Бат!-Леап-РаиИп, О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна, А.С.Шамаева, Т.А.Шапошниковой, И.В.Скрьшника, А.А.Ковалевского и др.). Этот метод основан на предположении, что область Ц не только связна в (этого было далеко недостаточно), но удовлетворяет условию "сильной связности", что означает существование операторов продолжения

Р£ : И^'Р(Г2 П <2е) И^'Р(П) со специальными оценками типа

у"|Уй£|рйз:<со У |Уи£|рйх,

а ппсЭг

где й€ — Реие, а константа со не зависит от е. Существование таких операторов возможно только при определенных ограничениях на периодическую область С}. Наиболее общая формулировка такова: подходящие операторы продолжения существуют, если <3 связна и удовлетворяет условию Липшица (см.[7]). Для не-липшицевых областей такие операторы могут не существовать, например, если Ж3 \ - плотная кубическая упаковка шаров в В3 (см. [6, с. 123]). Заметим, что в этом примере (Э связна.

В 1985 году в связи с некоторыми задачами из прикладной теории вероятностей В.В.Жиков и С.М.Козлов высказали гипотезу: для доказательства свойств усреднения операторы продолжения не нужны вообще, а достаточно обычной связности ф

в IR,V. Обоснование этой гипотезы было дано В.В.Жиковым в 1993 году (см. [8]) применительно к линейным эллиптическим задачам в перфорированных областях. При этом выяснилось (см. [9], [10]), что условие связности можно ослабить. Речь идет о так называемом условии р-связности множества Q.

Дальнейшие исследования в этом направлении привели к естественному обобщению понятия р-связности множества Q до понятия р-связности произвольной периодической борелевской меры д. Это новое развитие техники усреднения нашло отражение в работах В.В. Жикова [10], [11] и в зарубежной литературе получило название "measure approach".

Целью работы является применение указанного нового подхода к усреднению нелинейных краевых задач второго порядка. При этом изучаются различные постановки, например: об усреднении нелинейных вариационных задач, об усреднении нелинейных невариационных эллиптических уравнений в перфорированных областях, а также вводятся новые объекты - монотонные эллиптические операторы на евклидовом пространстве с мерой, формулируется соответствующее понятие р-связности и строится обобщенная теория усреднения.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории монотонных операторов, теории меры, а также техника усреднения дифференциальных операторов, основанная на методе компенсированной компактности и его обобщениях.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана теорема усреднения для нелинейных вариационных задач, частным случаем которых являются вариационные задачи в перфорированных областях и вариационные задачи с вырожденными интегрантами.

2. Доказана теорема усреднения для нелинейных монотонных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях.

3. Установлены все основные свойства усреднения для монотонных эллиптических операторов второго порядка на эвклидовом пространстве с мерой.

Теоретическая и практическая значимость. Получен-

ные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании различных прикладных задач, например, краевых задач в теории композитных и перфорированных материалов, в теории неоднородных упругих сред.

Отдельные вопросы могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех ВУЗах, в которых ведется работа по близкой тематике, таких как Московский государственный университет, Воронежский государственный университет, Харьковский государственный университет, Владимирский государственный педагогический университет и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов - 96" (Москва, МГУ, 1996), на конференциях "Понтрягинские чтения - VII", "Пон-трягинские чтения - VIII" (Воронеж, 1996, 1997), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (1995 -1999гг.).

Многие вопросы, затрагиваемые в диссертации неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В.Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете (1994 - 2000 гг.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [23].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов и списка литературы из 33 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 64 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор работ, посвященных краевым задачам для эллиптических уравнений с быстроосциллиру-ющими коэффициентами, возникающих при описании процессов в сильно неоднородных средах. Рассмотрена модельная поста-

новка задачи усреднения в перфорированных областях и описаны основные методы исследования таких задач. Сформулирована цель работы и кратко изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи, частным случаем которых являются вариационные задачи в перфорированных областях и вариационные задачи с вырожденными интегрантами.

Рассматривается вариационная задача Дирихле вида:

те = inf

u£Cg°( n;

Q

J a£(\Vu\p + \u\p-ug)dx, g € Lp'(fi), p > 1, (2)

где П - ограниченная липшицева область в RA, а(х) = a(xi,x2, - • • ,xn) - периодическая с периодом 1 по каждому своему аргументу, полунепрерывная снизу функция на R , подчиненная оценке 0 < а(х) < М, а^(х) = х).

После "естественного расширения" пространства Со°(Г2), позволяющего infimum заменить на minimum, решение этой задачи существует и единственно. Ожидаемое свойство усреднения состоит в том, что при £ —> 0 энергии гпс и решения ие должны в определенном смысле сходиться к энергии то и решению и0 задачи Дирихле:

т0 = min / (/о(Vu) + |u|p - ug) dx. (3)

«<= iv0l p(n) У

Здесь /о(£) - усредненный интегрант, определяемый однозначно для каждого £ € КЛ' с помощью вспомогательной вариационной задачи на ячейке периодичности:

/о(О = inf [аШ + j)\pdy , (4)

a

к которой мы также применяем некоторую процедуру "расширения" пространства C^r(D) с тем, чтобы функционал (4) имел минимум.

В качестве примера функции а(х) можно взять функцию

a(z) = { J' _______TT3.V

если х € Q, если х € lRiv \ Q,

где Q - открытое периодическое множество в . Ясно, что, если Qe = {сх, х £ Q} - гомотетическое сжатие Q в с-1 раз, то

. ! ( I, если х 6 Qe,

аЕ(х) = а(е *) = { 0, если г € 1RN \Qe

и мы видим, что задача (2) принимает вид вариационной задачи в перфорированной области fi П Qe.

В общем случае, в силу полунепрерывное™ снизу функции а(х) периодическое множество

Q={xem.N : а(х) > 0}

будет открытым. Мы требуем, чтобы Q было связно в ГО.Л и предполагаем, что

У а-^ dx < +оо. (5)

□nQ

В этих условиях доказана следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть открытое периодическое множество Q — {х € : а(х) > 0} связно е R и выполнено (5). Тогда

(a) усредненный интегрант /о(О коэрцитивен :

Ш > co|i|p V£ е MN, со > 0;

(b) имеет место сходимость энергий :

lim те — то",

(c) имеет место сходимость решений :

lim I аЛие -u°\pdx = 0 ,

e-iOj Q

где и£ - решение исходной задачи (2), а и0 - решение усредненной задачи (3).

Вторая глава диссертации посвящена усреднению нелинейных монотонных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях.

Рассматривается нелинейное эллиптическое уравнение вида:

-¿^{а^х, Ъие)) + |и£|""V = / (С)

в перфорированной области П П , которое дополняется краевым условием Неймана на части £1С\дС}е границы области (1) и условием Дирихле - на остальной части границы. Предполагается, что а(х, £) - периодическая и измеримая по х функция на С}, сильно монотонная по £ € ТЕЛ' для п.в. х 6 <5 и удовлетворяющая определенным условиям роста по £ € Ш.^. Более точно, мы предполагаем, что функции а(х,£) и /(х) удовлетворяют следующим условиям:

1) а('>£) ~~ периодическая с периодом 1 и измеримая по х функ-

ция на ф;

2) существует показатель р, 1 < р < оо ,такой, что для п.в.

О СММ,Ш-6) Ч-И = 2

и) кх,Ь) < {«:;<!+-Р > 2

1« 16. , 1 <Р< 2,

где 0 < а < +оо;

3) а(х,0) = 0; / € р' =

В качестве примера функции а(х, £) укажем функцию а(х,£) — где матрица А(х) — (а^(х)), не обязательно

симметрическая, такова, что

а).ац 6 =

б) За > 0, такое, что

n г,1=1

для п.в. х 6 ГОЛ и Щ е И*.

Несложно проверить, что определенная таким образом функция а(х,£) удовлетворяет условиям 1) - 3) с р = 2.

Решение us € V*5 уравнения (б) понимается в смысле интегрального тождества:

j (afc-^.W^-Vp+luT-Vp) dx= J fipdx Vip 6 Vs

nnqc fin qc

(7)

где пространство Ve определяется как замыкание множества Cg°(fi) но норме f / (|Vu-jp + \u'\P)dx

Левую часть (7) можно рассматривать как некоторый элемент V* - пространства, сопряженного с Ve, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над VE. Другими словами, мы имеем оператор А : Ve —> V*, который, как несложно проверить, будет монотонным, коэрцитивным и удовлетворяющим подходящим условиям роста, так что согласно теории монотонных операторов решение задачи (6) существует и единственно.

Отметим, что усреднение монотонных операторов во всей области П (Q = К , перфорация отсутствует) изучалось многими авторами, см. работы L.Tartar, N.Fusko & G.Moscariello, V.Chiado Piat & A.Defranceschi, А.А.Панкова и др. По поводу общих свойств монотонных эллиптических операторов см. Ж.-Л.Лионе [12], Ю.А.Дубинский [13], И.В.Скрыпник [14].

В предположении связности множества Q в К мы доказываем, что решение и£ исходной задачи сходится к решению и0 усредненной задачи:

и0 € Wo1,p(fi), -div(a0(Vu0)) + = 0/, (8)

где д — f х(х) dx - плотность множества Q, х ~ ег0 характери-□

стическая функция, □ = [0,1)л' - ячейка периодичности.

Усредненный операторной) = J а(у, £ + v(y)) dy опреде-

□ng

ляется с помощью вспомогательной периодической задачи: v G Vpot(Q)> J a(y,t + v)^dy = 0 WeVppot(Q).

□ n q

Здесь пространство Vp0t(Q) определено как замыкание множе-

ства {V(y3 : tp € C~r(D)} по норме f \V<p\pdx

Vpng

Основные свойства усреднения сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2.1.Предположим, что периодическое открытое множество Q связно в IR^ и функция а(у,£) удовлетворяют условиям 1) — 3). Тогда имеет место слабая сходимость потоков:

Хе(х)а(е~1х, V?/) -»• a0(Vu°) слабое Lp'{Q)N, (9) а также справедлива сходимость решений в смысле:

lim J \ие -u^dx = 0, (10)

QnQE

где и£ - решение задачи (б), а и0 - решение усредненной задачи (8).

Кроме того, в §2.4 установлены некоторые свойства усредненного оператора, в частности, доказана оценка:

ao(£)-£>ao!£|p а0 > 0 ,

обеспечивающая его коэрцитивность.

В третьей главе рассматривается более общая постановка задачи усреднения для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, которые изучались в предыдущей главе. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("measure approach").

Итак, пусть ц - неотрицательная 1-периодическая по каждому аргументу х\, Х2, - - •, х^ мера на R , нормированная условием f d/j. = 1, где □ = [0; 1)N - тор или ячейка периодичности .

□

Для постановки задачи усреднения введем меру ц( равенством /¿£(Л) = enц(е~1А) для любого борелевского множества А С К^ , е~1А = iGi}. Мера fis имеет период е и слабо

сходится к мере Лебега: dne —1 dx.

Пусть П - ограниченная липшицева область в RjV. Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение

—rfiu(a(e-1cc, Vue)) + |ite|P"V = / на П , (И)

дополненное краевым условием Дирихле: = 0 .

Мы предполагаем, что /(х) € C(fl),p > 1 , а функция а(х,£) /¿-измерима по х £ fl и сильно монотонна по £ 6 КЛ' для /¿-п.в. i£ilc подходящими условиями роста по £ £ R'V (типа 1) — 3), см. выше).

Чтобы определить решение задачи (11), введем сначала пространство ХЕ как замыкание множества пар {(и, Vu), и б Со°(Г&)} в произведении LF(Q,dfie) х Lp(Cl, d/ie)N. Элементами Х£ служат пары (u,z), где и - функция, а я - вектор. Условимся вектор 2 обозначать Vu и называть градиентом функции и. Совокупность первых компонент и назовем соболевским пространством W^'p(Q,dfi£). Функция и е №0liP(fi,d/O может иметь много градиентов, но это не является препятствием для определения решения задачи (11).

Определение 3.1. Функция и£ 6 Wq 'р(П, d/ue) называется решением задачи (11), если выполнено интегральное тождество

У (а(е_1г, Vus) ■ Vip + \uc\p~2ueV)dne = J ftpd^ Vy> G , и a

(12)

в котором Vue - некоторый градиент функции ие.

Левая часть (12) непрерывна по ip € Хе (при фиксированных (гг, Vir)) и представляет собой некоторый элемент X* -пространства, сопряженного с Хе, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над Хе. Таким образом, получаем оператор А : Хе —»• X*, который удовлетворяет условиям монотонности, коэрцитивности и роста типа ii) , что согласно теории монотонных операторов обеспечивает существование и единственность решения задачи (11). Отметим, что единственность здесь двоякая: одна функция иЕ £ Wq'p(Q, и только один из ее градиентов удовлетворяют интегральному тождеству (12).

В теореме усреднения устанавливаются все основные свойства сходимости решения исходной задачи к решению и° усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега:

it0 6 Wo1'"^), -div(a0(Vti0)) + \и°\р-2и° = f, (13) где о,о(С) - усредненный оператор, определенный однозначно для

каждого £ £ RiV с помощью вспомогательной периодической задачи, которую мы здесь не выписываем.

Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную В.В.Жиковым в [11] и доказываем основные свойства усреднения, опираясь лишь на одно достаточно прозрачное свойство меры р., именно, свойство р-связности, которое к тому же необходимо для усреднения.

Определение 3.2. Периодическая мера р, называется р-связной на торе периодичности, если и = const р-п.в., как только найдутся ип £ □), такие, что

lim I |u„ - u\pdp — 0 , lim / \Vun\pdp = 0 .

П—»DO J п—*оо J

□ □

Сформулируем основной результат третьей главы.

Теорема 3.1. Пусть мера р, является р-связпой, ие - решение исходной задачи (11), и0 - решение усредненной задачи (13). Тогда имеет место слабая сходимость потоков:

(i) Jim J а(£_1а;,Уг<£)-^ф£ = J a0(Vu°)-<pdx V<p € ,

i2 fi а также сходимость решений:

(ii) lim J цтЧр,. = J ipu° dx V<p € C£°(fi) ;

n n

(Iii) lim J \u-\pdße = J\u°\pdx . n n

Отметим, что свойство (ii) означает слабую сходимость гт —^ и0 в "переменном" пространстве Lp(il,dne), а совокупность свойств (ii) и (iii) эквивалентна сильной сходимости функций в Lp(fl,dßc).

Пример 3.1. Пусть Q - открытое периодическое множество в Если положить dp = p{x)dx, где

р{х) = {

' w \ 0 вне Q,

то получим задачу усреднения вида (6) в перфорированной области П П Qe, которой была посвящена вторая глава. Из определения 3.2 следует, что обычная связность Q в R влечет р-связность меры ¡i и теорема усреднения действует.

Отметим также, что в первой главе мы имели дело с абсолютно непрерывной относительно меры Лебега мерой /г, заданной равенством (1ц — а (я) dx, в котором вес о (ж) удовлетворяет интегральному условию (5). Можно показать [11], что такая мера является р-связной и усредненный интегрант /о (О коэрци-тивен.

Различные примеры р-связных мер (фрактальные меры, периодические графы и др.) и связанные с ними другие важные постановки задач усреднения (об эффективной проводимости электрических цепей и пр.) можно найти в работах [10], [11].

В заключении автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова Думка, 1974.

[2] Bensoussan A.,Lions J.L.,Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. - Amsterdam: Noth Holland, 1978.

[3] Санчес-Паленсия E. Неоднородные среды и теория колебаний. - М.:Мир, 1984.

[4] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.:Наука, 1984.

[5] Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. -М.:МГУ, 1990.

[6] Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.:Физматлит, 1993.

[7] Acerbi E., Chiado Piat V., Dal Maso G., Percivale D. An extension theorem for connccted sets and homogenization in general periodic domains // Nonlinear Anal.. - 1992. - Vol. 18, No. 5. - pp. 481 - 496.

[8] Жиков В.В. Об усреднении в перфорированных случайных областях общего вида // Математические заметки. - 1993. - Т. 53, No.l. - С. 41 - 58.

[9] Zhikov V.V. On the Homogenization of Nonlinear Variational Problems in Perforated Domains // Russian Journal of Mathematical Physics. - 1994. - Vol. 2, No. 3. - pp. 393 -408.

[10] Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Математический сборник. - 1996. - Т. 187, No.8. - С. 3 - 40.

[11] Жиков В.В. К технике усреднения вариационных задач // Функциональный анализ и его приложения. - 1999. - Т. 33, No.l. - С. 14 - 29.

[12] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.:Мир, 1972.

[13] Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения // УМН. - 1968. - Т. 23, No.l. - С. 45 -90.

[14] Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. - М.: Наука, 1990.

Публикации автора по теме диссертации

[15] Рычага М.Е. Усреднение монотонных операторов в перфорированных областях // Материалы конференции молодых ученых: - Владимир: ВГПУ, 1995. - С. 133 - 136.

[16] Рычаго М.Е. Об усреднении некоэрцитивных вариационных задач // " Понтрягинские чтения - VII": Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ, 1996. - С. 157.

/

[17] Рычаго М.Е. Об усреднении нелинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях // "Понтрягинские чтения - VIII": Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ, 1997. -С. 132.

[18] Рычаго М.Е. Нелинейные эллиптические задачи в перфорированных областях и их усреднение // Нелинейное моделирование и управление: Тезисы докладов международного семинара. - Самара, 1997. - С. 129 - 130.

[19] Рычаго М.Е. Об усреднении нелинейных вариационных задач // Вестник ВГПУ. Выпуск 3. - Владимир: ВГПУ, 1998.

- С. 193 - 202.

[20] Рычаго М.Е. Об усреднении монотонных операторов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, Август 21 - 26, 2000: Тезисы докладов. - Владимир: ВлГУ, 2000. - С. 171

- 174.

[21] Рычаго М.Е. ОБ усреднении некоторых нелинейных вариационных задач // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. - Т. 6, No.2. - С. 549 - 563.

[22] Жиков В.В., Рычаго М.Е. Об усреднении некоэрцитивных вариационных задач / / Труды семинара имени И.Г.Петровского. Выпуск 19. - М.: МГУ, 1996. - С. 202 -217.

[23] Жиков В.В., Рычаго М.Е. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Известия РАН, серия математическая. - 1997.

- Т. 61, No.l. -- С. 69 - 88.

Подписано в печать 03.11.2000 Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 0,93 Уч. изд. л. 1,0

Заказ 2М Тираж 100

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО "РС-КОМ" г.Владимир, ул. Кремлевская, 12