Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Усреднение нелинейных вариационных задач в некоторых моделях сред с двойной пористостью

§1. Вспомогательные вопросы.

§2. Основные теоремы о двухмасштабной сходимости

§3. Постановка задачи. Классическое усреднение.

§4. Вариационные модели двойной пористости.

2. Усреднение монотонных операторов

§1. Постановка задачи.

§2. Теорема усреднения.

§3. Усреднение в некоторых моделях сред с двойной пористостью

1. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам усред-щ нения для уравнений с частными производными. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными возник в основном за последние 30 лет и имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.

Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.

При рассмотрении математических моделей микронеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а{е~1х), где е > 0 - малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение ко* торых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициенты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.

Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Вахвалова, Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.

Рассмотрим одну модельную постановку задачи усреднения в перфорированной области

П£ = Q П Fc, (0.1) где Q - фиксированная ограниченная область в ШЛ, множество Fc = eF = {ех,х 6 F} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества F С JRN. Для наглядности можно представить себе, что F - это внешность периодически расположенной системы шаров в IR^.

В области (0.1) рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение f -Аи = /, fe £2(П), t\^0Fe = 0, (0.2)

I u\dnnFt = О с условием Неймана на части П П dFc границы области (0.1) и условием Дирихле на остальной части границы.

Уравнение (0.2) понимается в следующем смысле. Пусть Со°(П) - множество всех гладких финитных в области Q функций. Введем соболевское пространство We как замыкание Cq°(Q) по норме

М*+|v«is) 1. n.

Тогда по определению и£ СЕ We называется решением задачи (0.2), если выполнено интегральное тождество: щ е We, J Vue • V(p dx = J fipdx Vtp e С0°°(П). (0.3)

Смысл усреднения состоит в том, что решение ие, определенное только в перфорированной области Пе, должно в определенном смысле сходиться к решению "усредненного" уравнения, заданного уже во всей области П.

Введем в JRN меру dp = p(pc)dx с положительной плотностью />, где ^

JonFi в 0 вне F.

Соболевское пространство Wc определим теперь как замыкание Cq°(Q) по норме р(х) = / Iе™ I 0 в:

J(\u\2 + \Vu\2)dpey, где dp£ = p(e~1x)dx.

Тогда исходная задача (0.3) запишется в виде

Щ е W£, J Vu£ - V<pdp£ = J f<pdp£ У<р G С0°°(П).

Интегрирование ведется фактически только по перфорированной области Qc.

При усреднении в перфорированных областях используются различные методы, в том числе известный метод продолжения. На этой идее базируются многочисленные работы (см., например, работы Е.Я. Хруслова [7], D.Cioranescu, J.Saint-Jean-Paulin [8], В.В. Жикова [9], О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева [5], [10], E.Acerbi, V.Chiado Piat, G.Dal Maso, D.Percivale [11] и др.).

Метод продолжения встречает определенные затруднения для областей общего вида, особенно случайных. Например, для нелип-шицевых областей операторы продолжения могут не существовать.

В 1985 году в связи с некоторыми задачами из прикладной теории вероятностей В.В. Жиков и С.М. Козлов высказали гипотезу: для доказательства свойств усреднения операторы продолжения не нужны вообще, а достаточно обычной связности в ГОЛ. Обоснование этой гипотезы было дано В.В.Жиковым в 1993 году (см. [12]) применительно к линейным эллиптическим задачам в перфорированных областях. При этом выяснилось (см. [13], [14]), что условие связности можно ослабить.

Речь идет о так называемом условии р-связности множества F, которое определяется следующим образом.

Пусть С~Г(П) - множество всех гладких периодических функций, заданных на торе (ячейке) периодичности □ = [0,1)^. Введем пространство Wp£(Q) как замыкание множества С££Г(СЗ) по соболевской норме ( f (|u|p + |V-u|p) dx or\Q

Определение 0.1. Открытое периодическое множество Q называется р-связным на торе периодичности, если и G Wp£(Q), Vu = 0 п.в. на Q =>• и = const п.в. на Q .

Очевидно, что обычная связность Q на торе влечет р-связность при любом р > 1. Обратное, вообще говоря, неверно (см. [14]).

Отметим, что теорема усреднения для нелинейных вариационных задач в перфорированных областях в предположении р-связности Q доказана В.В.Жиковым в работах [15], [16].

Дальнейшие исследования привели к естественному обобщению понятия р-связности множества до понятия р-связности произвольной периодической борелевской меры /г (которое означает, что функция есть константа, если она принадлежит соболевскому пространству периодических функций и имеет нулевой градиент) и к общей формулировке задач усреднения в терминах мер.

Это новое развитие техники усреднения, предложенной В.В. Жи-ковым в 1993 году, нашло отражение в работах [14], [16] и в зарубежной литературе получило название "measure approach".

Теория усреднения требует предварительного исследования фундаментальных свойств соболевских пространств, отвечающих данной мере. По сравнению с классическим случаем, когда dfi есть мера Лебега, здесь имеется много особенностей. В частности, нет единственности градиента.

В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая G. Nguet-seng [17] и развитая в работах G. Allaire [18] применительно к мере Лебега. Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Damlamian, U. Hornung [19], М. Neuss-Radu [20] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой /i (см. [21]), объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Им также найдено другое - двойственное - определение соболевского пространства (см. [22]), отвечающего борелевой мере, что позволило существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости.

Главные свойства двухмасштабной сходимости обнаруживаются при совместном рассмотрении последовательности функций (решений исходной задачи) и последовательности их градиентов. Здесь основную роль играет понятие р-связности меры.

Целью настоящей диссертации является применение техники рсвязности и двухмасштабной сходимости к усреднению нелинейных краевых задач второго порядка, формулируемых в терминах мер. При этом изучаются различные постановки: усреднение нелинейных вариационных задач и усреднение нелинейных монотонных операторов. Кроме того, целью данной работы было дальнейшее развитие указанного нового подхода применительно к усреднению нелинейных задач в некоторых моделях сред с двойной пористостью (так называемые модели double-porosity), а также разработка соответствующих примеров.

Остановимся на этом подробнее. Пусть все пространство разбито на две непересекающиеся периодические части - жесткую и мягкую фазы, имеющие малый период. Можно рассматривать их как отдельные пористые среды со своей внутренней структурой и изучать, например, фильтрацию в такой композитной системе. Если коэффициент проницаемости, отвечающий данной системе, равен 1 на жесткой фазе и квадрату периода - на мягкой, то получаем простейшую модель double-porosity. Если коэффициент проницаемости положить равным нулю на мягкой фазе, то данная система становится перфорированным пространством. В частности, когда перфорация отсутствует, мы имеем дело с усреднением во всем пространстве.

Как правило, жесткая фаза F является связной в евклидовом пространстве RN. Весьма интересен случай, когда она состоит, скажем, из к связных компонент F\,.Fk, тогда получаем модель к параллельных потоков, связь между которыми осуществляется через мягкую фазу Fo- В этом случае получаем предельное уравнение, имеющее многофазный характер.

Усреднению в моделях double-porosity посвящено много работ (см. Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [23], [24], Г.В. Сандраков [25], [26] и др.), где предполагается, что жесткая фаза не только связна, но представляет из себя достаточно гладкую область.

В рамках данной диссертации используется общая версия модели "параллельных потоков", описываемая в терминах произвольной периодичекой меры. Дается обоснование основных свойств усреднения без ограничений гладкости на жесткие фазы. Требуется лишь их р-связность. На мягкую фазу не накладывается никаких ограничений. Это становится возможным благодаря применению метода двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой р-связности.

Приведем соответствующий пример.

Пример 2.1 (Два параллельных слабо связанных потока). Пусть Fi и F2 - две непересекающиеся решетки в IR3, F0 = IR3 \ F\ U F2. Коэффициент проницаемости равен 1 на каждой из жестких фаз Ff = efijjpi = eF2 и е2 на мягкой фазе Fq (см. рис. 6).

Рис. 6.

Установлено, что в типичной модели double-porosity усредненное уравнение имеет "двухмасштабный" характер, то есть последовательность решений исходной задачи сходится не к функции и(х) из классического соболевского пространства, а к функции вида гг(х, г/), существенно зависящей от компоненты у. В связи с этим пришлось ввести и изучить соответствующее функциональное пространство, на котором можно определить решение усредненного уравнения.

Указанная техника двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой р-связности позволила доказать в диссертации основные свойства усреднения: сильную двухмасштабную сходимость решений и сходимость энергий в вариационной постановке, а также слабую сходимость потоков и сильную двухмасштабную сходимость решений в невариационной постановке (усреднение монотонных операторов).

2. В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("measure approach"). Классическая теория усреднения таких задач имеет дело с простейшим случаем dfi = dx. Подходящим выбором меры // получаются и другие хорошо известные постановки: об усреднении в перфорированных областях, об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений, об эффективной проводимости электрических цепей и др.

В §1 рассмотрены вспомогательные вопросы сходимости в соболевских пространствах, связанных с периодической мерой, приведены определения слабой и сильной двухмасштабной сходимости, а также их основные свойства.

Итак, пусть ц - периодическая борелева мера на ЩЛ, = [0,1)^ - ячейка периодичности, J dfi = 1.

Для постановки задачи усреднения введем меру /ге равенством fi£(B) = £Nfi(e~1B) для любого борелевского множества В С ШЛ. Мера ц£ имеет период е и слабо сходится к мере Лебега: dfie —* dx.

Соболевское пространство W^g = (n,dfi) определяется как замыкание множества пар (р € С^г(а)} в произведении jcfyi) x LP(a,<ln)N (см. [16], [21], [27]). Элементами этого замыкания служат пары (и, v), где и - функция, v - вектор, причем

3<Рп € (□), J \и- (pnVdfi -О, J\v - V<pn\pdn - 0. □

Компонента v обозначается Vw и называется градиентом функции и. Иногда первую компоненту и называют функцией из соболевского пространства. Тогда, в отличие от классического случая, когда /1 есть мера Лебега, эта функция может иметь много градиентов.

Определим также пространство потенциальных векторов Vpol = Vp0l(0,dn) как замыкание множества {V^, <р G С££Г(П)} в L£er(□,dfi)N.

Из определения ясно, что u,vu)ew*?r=>vuevpp0t, т.е. градиент функции из соболевского пространства есть потенциальный вектор. Обратное утверждение справедливо лишь при некоторых дополнительных условиях, в частности, таким условием служит неравенство Пуанкаре

J М pdfi <с JI VipYdfr <р е с~( □), J ipdfi = 0. (0.4) □ □ □

Здесь же приводится эквивалентное определение соболевского пространства, позволяющее существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости. Доказывается теорема о совпадении этого пространства с определенным ранее.

Рассмотрим последовательность ограниченную в //(Q, dfie), и введем для нее понятие двухмасштабной сходимости (см., например, [27]).

Определение 1.4. Последовательность ис слабо двухмасштабно сходится в к функции и = и(х,у) G If(Q х U,dx х dfi), и£(х) и(х,у), если lim J Ф(х,е~1х)и£(х) dfj,£ = J j Ф(x,y)u(x,y) dxdfi(y) n fi □ для любой пробной функции Ф вида Ф(х,у) = <р(х)Ь(у), где <р G Cq°(Q),

Дадим теперь определение сильной двухмасштабной сходимости. Определение 1.5. Ограниченная в последовательность и£ сильно двухмасштабно сходится в к функции и = и(х,у) Е

If(Q х □), и£(х) —► и(х,у), если lim J u£(x)z£(x) djie — J J u(x,y)z(x,y) dx dft(y) и « □ 2 / как только z£ ограничена в LP (Q,dfi£) и z£(x) —■- z{x,y) в If (Q,dfic),

P' = Л • r P-1

Указаны некоторые примеры р-связных мер (перфорированное пространство, шахматная структура, квадратная сетка, а также составная структура).

Следующие теоремы, приведенные в §1, §2, обобщают главные результаты по двухмасштабной сходимости, полученные G. Nguetseng, G. Allaire и В.В. Жиковым на случай произвольного р > 1. Теорема 1.6. Пусть и£ (Е C°°(Q) ии£, еЧи£ ограничены в Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем и£(х) а ф?2/) g (□,<*/!)), 2 eVu£(x) Vyu(x,y).

Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную В.В.Жиковым в [16] и доказываем основные свойства усреднения, опираясь на свойство р-связности.

Определение 1.7. Мера ц называетсяр-связной, если любая функция и G (1ц), обладающая нулевым градиентом, есть константа ц-п.в.

Отметим, что достаточным условием р-связности является выполнение неравенства Пуанкаре (0.4).

Определение 1.8. Мера ц называется невырожденной, если inf [ |f + V™|pd/i>c0|C|p, со > 0.

О) J □

Следующая теорема дает ответ на вопрос, когда двухмасштаб-ный предел не зависит от у.

Теорема 1.11. Пусть мера ц р-связна и выполнены условия г) ис(х) и(х,у); И) 0. Тогда двухмасштабный предел не зависит от у, т.е. и(х,у) = и(х).

Теорема 1.12. Пусть мера ц р-связна и невырожденна. Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем и£(х) - и(х) е VWc(ar) ^ Vu(x)+ <;(*,</), где v в If(n,V?ot). где If(Q,Vp0t) - это те векторы v 6 х □), для которых v(x,-) Е

V£oi (□) для п.в. х в П.

В §3 с помощью двухмасштабной сходимости устанавливаются основные свойства усреднения для нелинейных вариационных задач. В ограниченной липшицевой области П рассматривается вариационная задача Дирихле вида:

Г= inf (\f{£~lx,Vu) + \u\p-gu\dnc, (0.6) u£Cg°(Q) J fi

0.5) где д G С°°(П), лагранжиан /(ж, О - периодический и //-измеримый по х, выпуклый по f и подчиненный следующему условию роста по £ lp</(*,0<Ci|£|p + l, Р>1 (0.7) и условию /(я,0) = 0.

В частности, можно взять f(x,£) = |p-2f , где Л(я) - периодическая //-измеримая симметрическая матрица, удовлетворяющая условию ограниченности и эллиптичности:

Чтобы определить решение задачи (0.6), введем пространство WQ'p(Q,dfie) как замыкание множества пар {(у?, Vy?), (р G Со°(Г2)} в произведении х I/(Q,dfic)N. Тогда задача (0.6) примет вид min /[/(e"lar»Vu) + lulP-^u]rf^» u,vu)ew**{ntdvt) J n и из общей теории следует, что решение этой задачи (минимизант) существует в пространстве W01,p(fi,d//e).

Свойство усреднения состоит в том, что при е —> 0 энергии /£ и решения ис данной задачи сходятся к энергии Ihom и решению и усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега: hom = min [[/hom ('Vu) + |w|p - ди] dx, (0.8)

GVy01,p(fi) J где /hom - усредненный лагранжиан, определяемый однозначно для каждого f е JRN с помощью вспомогательной вариационной задачи на ячейке периодичности hom(0 = inf [ f(x,£ + Vti/) dn = min [ /(*,£ + v) rf/i. □

В этих условиях доказана следующая теорема. Теорема 1.14. Пусть мера р является р-связной и невырожденной, и£ - решение задачи (0.6) и и - решение усредненной задачи (0.8). Тогда при е —> 0 имеют место (г) слабая сходимость решений: jmJ<pu£dp£ = J<pudx V<£ £ С°°(П); (0.9) ft гс

И) сходимость энергий: Hm/£ = Ihom, а также lim J f(e-lx,4ue)dp€ = J fhom(Vu)dx, о ft lim J \u£\pdp£ = J \u\pdx. (0.10) о ft

Отметим, что свойства (0.9) и (0.10) в совокупности означают сильную сходимость функций в переменном пространстве 1/(0, dfi£).

В §4 изучаются вариационные задачи в некоторых моделях сред с двойной пористостью (double-porosity).

Пусть ц - периодическая борелевская мера в IR^. И допустим, что пространство ШЛ разбито на две /z-измеримые периодические части

JRn = F£UFS, F£ = eF, F* = eF0, имеющие период е. Каждая из этих частей есть отдельная пористая среда, но коэффициент проницаемости равен 1 в Fc и е2 в Fq. Например, F - это периодическая сетка, F0 - дополнение к ней, ц -естественная мера на составной структуре.

Часто жесткая фаза F не является связной в ШЛ и распадается на отдельные связные компоненты, например, F = F\ U F2, где F\, F2 - непересекающиеся решетки в IR3 (см. рисунок в примере 2.1).

Основное предположение: сужение есть р-связная невырожденная мера.

Распространим вышесказанное на общий случай, когда имеется к жестких компонент. Жесткую фазу F = F\ U F2 U. U Fk определим как объединение периодических //-измеримых множеств, непересекающихся в том смысле, что i) эд б ад» v^|F = o,

Ei\Fj = 6{j - символ Кронекера. Это условие очевидно выполнено, если, например, FiDFj = 0 (г ф j). Кроме того, мы будем предполагать, что ii) меры fi\Fi, (г = 1,.,к) р-связны и невырожденны. Мягкую фазу определим как дополнение Fo = JRN \ F. На нее не накладывается никаких условий, кроме fi(Fo) > 0.

Обозначим, как и выше, через F® = eFi, i = 0,1,.А; гомотетиче-ские сжатия множеств F,-. Область Q распадается на части: Q П F[ (г = 1,2,. к) — жесткие фазы,

Qq = Q П Fq — мягкая фаза.

Отметим, что мы требуем невырожденности мер //|^ (г = 1,., к) только ради упрощения формулировки; требование р-связности этих мер - существенно.

В области Q рассмотрим задачу Дирихле

Г = inf [ fi(e-1xiVu)d/ie+ [ f0(£~lx,£Vu)dfie+ ес0°°(п) J J

Ч ns (0.12) J \u\pdfie- J где лагранжианы /,(#, f) (i = 0,1,. к) - периодические и //-измеримые по х €Е Ш^, выпуклые по £ 6 ГОЛ и удовлетворяющие условию роста

0.7).

Доказывается сходимость энергий Iе и решений ис(х) к энергии /Ьогп и решению и(х, у) усредненной задачи к hom =rmng J ff°m(Vui)dx + J J f0(y,Vyu)dxdfx+ i=1 n a F0 (0.13) J J(\u\p-gu)dxd^, n □ где /j10"1^) - усредненный лагранжиан вида p€ anFi

Пространство V здесь определяется следующим образом:

Полезно записать функцию и G V в виде к и(х> </) = £ щ{х)Е{[у) + и0(х, у), (0.14) i=1 где Ei - разделяющие функции (0.11), щ G 2/(0, Л"),

X = {hew£(u,dp): h\p = 0}.

Укажем плотное в V множество пробных функций <р(х,у), удовлетворяющих условию Каратеодори, именно: к р(х> У) = У2 <Pi(x)Ei(y) + a(x)h(y), i=i (0.15) a,Vii.••,¥>* еС0°°(П), /*€ X, - разделяющие функции (0.11).

Лемма 1.15. Линейная оболочка функций (0.15) плотна в пространстве V.

Единственность представления (0.14) следует из легко проверяемых неравенств

J \Ui\pdx<^~ j J \u\pdxdp, n ft □

J J + ^ + ^ + + J J \u\pdxdfi, n F0na n □ где wi = |D HFi\.

Пусть u£ - решение задачи (0.12). Тогда из условий, накладываемых на лагранжианы /,• и /0, следуют оценки:

Шп I \uc\pdfi£ < С, Ш j \Vue\pdfi£ < С, Пш£р / IVu£\pdfi£ < С. £—♦0 J е—>0 J е—»0 J a n? ng

В частности, ис, eVu£ ограничены в и, по теореме 1.6,

2 / Л - Г„/Л ттн.«ч / ч 2 щ(х) ± и(х,у) 6 Lp(n,Wl*), eVu£(x) ± Vy

Сформулируем основной результат этого параграфа. Теорема 1.16. Пусть мера ц является р-связной и невырожденной, и£ - решение задачи (0.12) и и - решение усредненной задачи (0.13). Тогда при е —► 0 имеют место г) сильная двухмасштабная сходимость решений: и£ —и(х,у); (и) сходимость энергий: lim/* = Ihom.

3. Вторая глава диссертации посвящена усреднению нелинейных монотонных эллиптических уравнений второго порядка.

В §1 приводятся некоторые сведения из теории монотонных операторов и ставится задача усреднения.

Пусть Q — ограниченная липшицева область в JRN. Рассматривается нелинейное эллиптическое уравнение вида:

- div(a(e"1x, Vu£)) + \u£\p~2u£ = g£, (0.16) дополненное краевым условием Дирихле = 0. Предполагается, что д£ д в l/(Qtdfie)f а функция а(у,£) - каратеодориева (см. [28]) и подчинена оценке

Wy,OI< cider1+ i) veent". (0.17)

Кроме того, а(т/,£) удовлетворяет следующим условиям строгой монотонности и коэрцитивности:

1) Мг/,6) - ФШ) • (6 - Ь) > о для /z-п.в. nt";

2) а(у,0 • £ > сьКГ, Со > 0, для /z-п.в. у £ И" и Vf £ R";

3) а(у,0) = 0.

В качестве примера функции а(х,£) укажем функцию а(х,£) = А(х)£, где матрица Л(х) = (a,j(x)), не обязательно симметрическая, такова, что а) a,j £ L°°(JR,n) Vi,j = l,.,2V; б) Зс0 > 0, такое, что А(у)£ • f > c0|f|2 для п.в. у £ IR^ и Vf £ ШЛ Непосредственно проверяется, что определенная таким образом функция а(х,£) удовлетворяет условиям 1) - 3) с р = 2.

Решение £ WQ'p(Q1dp£) уравнения (0.1G) понимается в смысле интегрального тождества:

J (a(e-lx,Vu£)-Vip + \u£\p-2u£<p)dp£ = Jg£<pdp£ Vy> £ С0°°(П), (0.18) о ft в котором Vu£ - некоторый градиент функции и£.

Левую часть (0.18) (при фиксированных (w£, Vue)) иможно рассматривать как некоторый элемент X* - пространства, сопряженного с X, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над X. В качестве X здесь выступает пространство Wt'p(Q,dpe). Другими словами, мы имеем оператор А : X —► X*, который, как несложно проверить, будет монотонным, коэрцитивным и удовлетворяющим подходящим условиям роста, так что согласно теории монотонных операторов решение задачи (0.16) существует и единственно.

Отметим, что усреднение монотонных операторов во всей области Q (F = ШЛ, перфорация отсутствует) изучалось многими авторами, см. работы L.Tartar [29], N.Fusko, G.Moscariello [30], V.Chiado Piat, A.Defranceschi [31], А.А.Панков [32]. По поводу общих свойств монотонных эллиптических операторов см. Ж.-JI.Лионе [33], Ю.А.Дубин-ский [34], И.В.Скрыпник [35].

В §2 в теореме усреднения устанавливаются все основные свойства сходимости решения исходной задачи к решению и усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега: щ е w01,p(n), -div(a(Vti)) + \и\р~2и = д. (олэ)

Здесь усредненная функция а(£) определена равенством:

2(0 = Ja(y,£ + v(y))dfi VteJR", □ в котором v(y) = v(y,£) - решение вспомогательной периодической задачи: v € Vppot , J а(у, £+ v). Vy-wdn = 0 Vw в (О). □

Разрешимость этой задачи также следует из теории монотонных операторов. В данном случае X = VpGt (□, dfi), а оператор А : X —► X* определяется следующим образом

Av, (р) = J а(у, f + v(yj) • ipdfi V<p G X □

В силу строгой монотонности функции а(у,£) задача на ячейке имеет единственное решение.

Пусть и£ - решение задачи (0.16). Возьмем у? = и£ в интегральном тождестве (0.18). Тогда с помощью условия коэрцитивности 2) легко получить оценку limsup / (|Vue|p + \u£\p)dfi£ < оо. е-»0 J и

Переходя, если это необходимо, к подпоследовательностям, по теореме 1.12 имеем сходимость (0.5). Последовательность a{e~lx, Vu£) ограничена в в силу (0.17). Поэтому можем считать, что р£(х) = a(e~lx, Vu£(x)) ^р(х,у) <= 1/'(П х D)N.

Теорема 2.6. Пусть мера ц являетсяр-связной и невырожденной, и£ - решение исходной задачи (0.16), и - решение усредненной задачи (0.19). Тогда имеет место сильная сходимость решений и£ —► и и слабая сходимость потоков a(e~lx, Vwe) —k a(Vw).

§3 посвящен усреднению нелинейных монотонных операторов второго порядка в средах с двойной пористостью. Будем использовать обозначения, введенные в §4 главы I. Пусть а(у,£) - каратеодориева вектор-функция, удовлетворяющая (0.17) и указанным ранее условиям 1) — 3). Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение

- div т£(х) + \и£\р~ги£ = д£ в Q, (0.20)

I а(£~гх, Vue) в Q\Qq, т£{х) = <

I еа{е 1x,e'Vu£) в fig? дополненное краевым условием Дирихле и£\оп = 0. Предполагается, что д£(х) д{х,у) в 1/(П,<//2г).

Из теории монотонных операторов следует, что задача (0.20) имеет единственное решение ис £ W01,p(fi,c?/ie). По определению оно удовлетворяет интегральному тождеству

У^ j а(£-1х, Vu£) • Vipdnc + £ J a(£~lx,£Vuc)-Vi})dnc-\ J КГЧ^ад = J9d>dpt w e C0°°(Q), в котором Vue - некоторый градиент функции ис.

Наша цель - перейти к пределу в этом интегральном тождестве и получить усредненное уравнение. Двухмасштабным пределом решений ие будет уже не функция и{х) £ W01,P(Q), как это было ранее, а функция вида и(х,у), существенно зависящая от у. Опишем соответствующее функциональное пространство.

Определение 2.7. Скажем, что и = и(х,у) £ V, если u\Fi = щ(х) £ W01,p(fi) (г = 1,2k).

С каждой жесткой фазой Fi свяжем свой усредненный оператор

0= J <*Ы + Ау)№ (г = 1,2,.,&),

П Fi где v% = v*(y, f) - решение периодической задачи на ячейке: v'eV&tin.dp'), J a(2/,e + ^)-VyW/i = 0 Vu/eC£(D). nFj

Здесь V£ot(p,dnl) определяется как замыкание множества {Vip : ip £ C~(D)} В .

Определение 2.8. Скажем, что и G V есть решение усредненной задачи, если для любой пробной функции (р G V выполнено интегральное тождество

У^ J а,(Уи,) • Vipi dx + J J a(y, Vyu) • Vy<pdxd}i+

1=1 « n °nF0 (0.21) УУ \u\p~2u(pdxdfi = J J gipdxdfi, no fi □ в котором Vyu - некоторый градиент функции и.

Существование и единственность решения как пары (и, Vyu) легко следует из теории монотонных операторов.

Благодаря условиям, наложенным на функцию а(у,£), для решений ие задачи (0.20) справедливы оценки: limsup / \u£\pd^£ < оо, limsup / \Vu£\pdfi£ < оо, с—О J е—0 J lim sup ер / \S/u£\pdfi£ < оо. е~*0 J «5

Сформулируем основной результат второй главы.

Теорема 2.10. Пусть и£ - решение исходной задачи (0.20). Тогда имеет место сильная двухмасштабная сходимость и£{х) —и(х,у), где и - решение усредненной задачи (0.21).

Несколько слов о структуре диссертации. Каждая глава начинается с небольшого введения, в котором ставится задача и намечаются методы ее решения. Вспомогательные вопросы, как правило, выносятся в отдельный параграф. Нумерация теорем, лемм и формул независимая в каждой главе, причем первая цифра указывает на номер главы, а вторая - на порядковый номер теоремы, леммы или формулы. Список литературы составлен в порядке цитирования и оканчивается работами автора [4G] - [50] по теме диссертации.

В заключение, автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

1. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наукова Думка, 1974.

2. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. Amsterdam: Noth Holland, 1978.

3. Санчес-Паленсия E. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

4. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

5. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990.

6. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. Наука, М., 1993.

7. Хруслов Е.Я. Асимптотическое поведение второй краевой задачи при измельчении границы области // Математический сборник. 1987. - Т. 306. №4. - С. 604-621.

8. Cioranesku D., Saint-Jean-Paulin J. Homogenization in open sets with holes // J. Math. Anal. Appl. 1979. - V. 71. - P. 590-607.

9. Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Известия АН СССР, серия математическая. 1986. - Т. 50, №4. - С. 675-711.

10. Acerbi E., Chiado Piat V., Dal Maso G., Percivale D. An extention theorem for connected sets and homogenization in general periodic domains // Nonlinear Anal. 1992. - V. 18, №5. - P. 481-496.

11. Жиков В.В. Об усреднении в перфорированных случайных областях общего вида // Математические заметки. 1993. - Т. 53, т. - С. 41-58.

12. Zhikov V.V. On the Homogenization of Nonlinear Variational Problems in Perforated Domains // Russian Journal of Mathematical Physics. -1994. V. 2, №3. - P. 393-408.

13. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сборник. 1996. - Т.187, №8. С. 3-40.

14. Zhikov V.V. On the Homogenization of Nonlinear Variational Problems in Perforated Domains // Russian Journmal of mathematical physics. 1994 - V.2, №. - P. 393-408.

15. Жиков В.В. К технике усреднения вариационных задач // Функц. анализ и его приложения. 1999. - Т. 3, №1. - С. 14-29.

16. G. Nguctscng, A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1989. - V. 20 - P. 608-623.

17. G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. - V. 23. - P. 1482-1518.

18. Allaire G., Damlamian A., and Hornung U. Two-scale convergence on periodic surfaces and applications // Mathematical Modelling of Flow through Porous Media, editors: Bourgeat A., Carasso C., Luckhaus S., Mikelic A. Singapore. 1995. - P. 15-25.

19. Neuss-Radu M. Some extension of two-scale convergence // C.R. Acad. Sciences Paris. 1996. - V. 322, Seria I. - P. 899-904.

20. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Матем. сб. 2000. - Т.191, №7. - С. 31-72.

21. Zhikov V.V. A Note of Sobolev Spaces // Contemporary Mathematics and its Applications. 2003. - V.10, part 4. - P. 94-97.

22. Arbogast T, Douglas J, Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. 1990. - V. 21, №4. - P. 823-836.

23. Hornung U. (editor). Homogenization and Poros Media. Springer-Verlag, 1997.

24. Жиков В.В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2003. - Вып. 23. - С.149-186.

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.: Наука, 1974.

26. Tartar L. Cours Peccot au College de France. Paris, 1977

27. Fusko N., Moskariello G. On the homogenization of quasilinear divergence structure operators // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. - V. 146. - P. 1-13.

28. Chiado Piat V., Defranceschi A. Homogenization of monotone operators // Nonlinear Anal. 1990. - V. 14 - P. 717-732.

29. Панков А.А. Об усреднении и G-сходимости нелинейных эллиптических операторов // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 278, т. - С. 37-41.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

31. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения // УМН. Т. 23, №. 1. - С. 45-90.

32. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

33. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярный структурах // Изв. РАН. Серия мат. 2002. Т. 66. №2. С. 81-148.

34. Chiado Piat V., Zhikov V.V. Relaxation problem in Sobolev spaces with respect to a measure // preprint N.18. Politecnico di Torino, Italia, 2003.

35. Треногин В.А. Функциональный анализ. M.: Наука, 1970.

36. Данфорд Н., Шварц Дж.Г. Линейные операторы. Общая теория.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1962

37. Экланд Н., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

38. Jost J. Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 2002.

39. Жиков В.В., Рычаго М.Е. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Изв. РАН. Серия мат. 1997. - Т. 61, №1. - С. 69-88.

40. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об усреднении на периодических сетках // Доклады РАН. 2003. - Т.391, №4. - С. 443-447.

41. Пастухова С.Е. Усреднение задач теории упругости на периодических ящичных структурах критической толщины // Доклады РАН. 2002. - Т.387, №4. - С. 447-451.

42. Bouchitte G., Fragala I. Homogeneization of thin structures by two-scale method with respect to measures // SIAM J. Math. Anal. 2001. - V. 32. - P. 1198-1226.

43. Шульга С.Б. Усреднение нелинейных вариационных задач с помощью двухмасштабной сходимости // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2002. - Т. 236. - С. 371-377.

44. Шульга С.Б. Усреднение нелинейных вариационных задач с помощью двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов Международной школы по динамическим и управляемым системам. Суздаль, Август 12-22, 2001. Владимир: ВлГУ, 2001. - С. 43-46.

45. Шульга С.Б. Усреднение монотонных операторов в некоторых моделях сред с двойной пористостью // Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, Июль 1-6, 2002. Владимир: ВлГУ, 2002. - С. 144-145.

46. Шульга С.Б. Об усреднении вариационных задач в некоторых моделях сред с двойной пористостью // Вестник ВГПУ. Владимир: ВГПУ. 2004. - Вып. 9. - С. 355-358.