Усреднение обобщенных операторов Бельтрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Джамалудинова Сайда Пахрудиновна Усреднение обобщенных операторов Бельтрами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

? л¿¿¿у 005061791

Владимир — 2013

005061791

Рабат выполнена на кафедре «Теории функций и функционального анаг лиза» Дагестанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сиражудинов Магомед Магоме-далиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет"

Защита состоится 27 июня 2013 г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.025.08 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, по адресу: 600000, г. Владимир, проспект Строителей, 3/7, корп. 3, ауд. 318.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

Автореферат разослан 25 мая 2013 г.

Учёный секретарь

Диссертационного Совета Д 212.025.08 при ВлГУ.

кандидат физико-математических наук

профессор Московского института радиотехники, электроники и автоматики Пастухова Светлана Евгеньевна

кандидат физико-математических наук, профессор Ковровской государственной технологической академии им. В. А. Дегтярева Барабанов Олег Олегович

доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о G-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, физические процессы, рассматриваемые в сильно неоднородных средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композиционных материалов. Непосредственное решение таких задач численными методами, ввиду того, что коэффициенты быег-ро осциллируют, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравненям, описывающим сильно неоднородную среда', называются усредненными. Основное требование, которому должно удовлетворять усредненное уравнение, это «близость решений» исходных и усредненного уравнения.

Таким образом актуальность исследования вопросов усреднения и G-сходимости эллиптических систем определяется приложениями к задачам теоретической и математической физики, а также внутренней логикой развития теории усреднения и С-сходимости.

Целью работы является 1) построение усредненных моделей для обобщенных уравнений Бельтрами 2) изучение вопросов £?-компактности и усреднения длн одного класса эллиптических систем второго порядка.

Методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы функционального анализа.

Научная новизна. Ранее вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались д.гя дивергентных эллиптических и параболических опре-аторов в работах Спаньоло С., Де Джорджи Е., Жккова В. В., Козлова С. М., Олейник O.A. Для линейных недивергентных эллиптических one-

раторов эти вопросы рассматривались Фрейдлиным М.И., Жиковым В.В., Сиражудиновым М.М. В настоящей диссертационной работе изучаются С-сходимость и усреднение недивергентных эллиптических систем двух уравнений первого и второго порядка на плоскости, записанных в виде одного уравнения в комплексной форме.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Усреднение уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

2. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с почти периодическими коэффициентами.

3. С-сходимость и усреднение одного класса эллиптических систем второго порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят как теоретический, так и практический характер. Они могут быть использованы при изучении маг-тематических моделей физических процессов и применены к прикладным задачам механики сплошных сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и динамические системы» (Суздаль, 2010г.), «Обобщенные функции и их приложения» (Тбилиси, 2011г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Дагестанского государственного университета (20072013 г.г.), на научных семинарах отделения математики и информатики Дагестанского научного центра РАН (2008-2013 г.г.), на научных семинарах профессора Жикова В. В.(2010-2013 г.г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [7] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, .трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы

из 32 наименований. Объем диссертации составляет 109 страниц машинописного текста.

Во введешш обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель исследования и приводятся основные результаты диссертации.

Рассмотрим задачу Римана-Гильберта1):

f Au = дги + рд2и + vdzü = / е L2(Q; С), \ u € Wq(Q; C), (1)

где ¡1, v комшекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию

vraiBup(|/i(a)| + |i/(®)|)<ftö<i1 (2)

xaQ v '

где Q — ограниченная область плоскости с кусочно-гладкой границей, й — комплексно-сопряженная к и функция, через <9г, дг обозначены дифференциальные выражения = + dz = \ {jL- ¿J-). Условие (2) есть условие эллиптичности уравнения (1). Следует отметить, что любую равномерно эллиптическую систему двух уравнений с действительными коэффициентами молено представить в комплексной сЬорме (1).

Здесь и датее Wa(Q\ С) есть подпространство пространства Соболева С), состоящее из элементов, удовлетворяющих условиям

Reu 6 Wi(Q), jIxaudx = 0. Q

Уравнение (1) при и = 0 называется уравнением Бельтрами. Как известно2^, задача Римана-Гильберта однозначно разрешима для любого / € Li{Q', С) и имеет место оценка:

(1 - ко) ||d5u||i2(Q;C) ^ \\Аи\\ш.с). (3)

Отметим, что норма в левой части (3) задает в W0(Q; С) норму эквиваг лентную норме пространства Соболева С).

'Символ С в обозначении пространства означает, что это пространство комплекснозначных функций над полем действительных чисел. Все используемые в работе пространства являются линейными над полем действительных чисел.

2Сиражудинов М.М.О G-сходимости и усреднении обобщенных операторов Бельтрами!I Матем сб. 2008. Т. 199, № 5. (I. 124-155.

Пусть теперь ß .= v = v(x) — почти периодические функции

Бора, ß, V е АР (R2). И пусть для них выполнено условие эллиптичности (2) на всей плоскости. Рассмотрим семейство задач Римана-Гильберта:

Аеиг = д2и£ + ßedzue +1= / 6 L2(Q\ С), .

щ € Wo(Q; С),

где (Is — ßie'^-x), Vе = v{e~lx), 0 < £ ^ 1.

Дадим понятие усреднения семейства {Аг}о<г<1-

Определение 1. Скажем, что семейство {А£} допускает усреднение, если для любого / € I^CQi С) семейство решений {ие} задачи (4) слабо в Wq(Q] С) сходится при е 0 к решению задачи

Ааи = д2и + n°dzu + u°d-zü = / € L2{Q\ С), и e W0(Q; С),

где и0 — константы, |/i°| + |г/°| < fco-

В первой главе рассматривается вопрос усреднения уравнения Бель-трами с почти периодическим коэффициентом. Важное значение при усреднении играет вопрос о существовании решений сопряженного уравнения —А*р = дгр + ds(ßp) = 0 из пространства Безиковича В2- Под решением уравнения А'р = 0 понимается элемент р € такой, что справедливо равенство

-(А'р, ч>) = Re {{dzV + д-г{рф)) ■ Р) = О, Ф € Trig (R2),

где (•, •) — значение функционала-, {/) — среднее значение функции /,

Trig (R2) — множество тригонометрических полиномов, т. е. конечных сумм

вида Y,a\eiiXlXl+X:iX2), А, х <5 R2. л

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть А = дг + цдх, ß € АР (R2), тогда существует единственное (с точностью до множителя из С) решение уравнения А*р = О, такое, что среднее значение (р) = 1.

Сформулируем теорему об усреднении оператора Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

Теорема 2. Для семейства

Ае = дг + ¡Iе дг,

где // = /х(г-1 а) имеет место усреднение, коэффициент усредненного оператора А0 постоянен и вычислятся по формуле

/ = (Р^).

где р 6 £?2 мз теоремы 1.

Приведем несколько примеров по усреднению.

Пример 1. Пусть /! = (1(х 1) — почти периодическая функция одной переменной. Тог,г;а усредненный оператор дается равенством

Ао = дги + 11°д2и,

где

Пример 2. Пусть

Д ((1 + Д)-1) "

Ъ{х2) + а{х 1)'

. где а, Ь — почти периодические функции Бора, такие, что /и удовлетворяет условию эллиптичности (2). Тогда

п (Ь)-{а)

' (Ь) + (а)'

Операторы дг = 2"1 - , 8, = 2"1 + г^), очевидно не симметричны относительно а;1, х2. Поэтому не приходится ожидать сохраг нения формулы из примера 1, когда коэффициент д — функция только одной переменно а х2.

Пример 3. Пусть ц = ц{х2) — почти периодическая функция Бора одной переменно а. Тогда

(дО-дП

Во второй главе рассматривается вопрос усреднения обобщенных уравнений Бельтрами (1) с почти периодическими коэффициентами ц, и.

Как и в случае оператора Бельтрами важную роль при усреднении играет вопрос о существовании решений уравнения А*р = 0 из пространства Безиковича Вг. Под решением уравнения А'р = 0 понимается элемент р € Д>, такой, что справедливо равенство

- (А'р, ц>) = Не ((д,<р + цд;<р + I>дг(р) ■ р) = 0, ср € (К2).

Имеет место следующая

Теорема 3. Множество решений уравнения А'р = 0 образует двухмерное подпространство в В?, причем один из базисов этого подпространства {рх, р2} удовлетворяет условиям {р\) = 1, (рг) = ^^ В случае оператора Бельтрами (и = 0) рг = гр\.

Справедлива следующая

Теорема 4. Для семейства Ае : Аеи = д2и + цедги + и£дги, // = ц{е~1х) и Vе = 1/(е_1а;) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Ао постоянные и вычисляются по формулам

= + и0 = <&&> + ,

где

= 2_1(р1 + гр2), & = + т), Рх, рг — базисные векторы из теоремы 3.

Приведем несколько примеров по усреднению.

Пример 4. Пусть (1 = 0, и = и{х\) — почти периодическая функция одной переменной. Тогда

((1 - ¡и2)-1) т

м ((1 - и2)-1*2 -1<"(1 - И2)-1)!2

(К1-И2)-1) " ((1-И2)-1)2-1М1-И2)-1>Г

В частности, при д = 0, v = koemixi, т ф С, ш G Е, имеем:

= и0 = 0.

При усреднении уравнения Бельтрами мы также получаем уравнение Бельтрами (см. теорему 2). Пример 4 показывает, что класс операторов вида А : Au = dzU + ид ¿и не замкнут относительно усреднения, при усреднении таких операторов могут получиться и операторы Бельтрами.

Пример Ji. Пусть ¡л = ц(х{), и — i/(xi) — почти периодические функции Бора одной переменной. Тогда

0 = ___((i + dfli + gp-m'r1}__

Kcn-^ai+^-H^-^r-iKii+^-M2)-1)!2 '

^ =__(KIl+^-M2)-1) _

К(3. + д)(|1 + - kl2)-1)!2 - IMIi + p|2 - И2)"1)!2'

Пример (>. Пусть ß = /i(x2), v = v{x2) — почти периодические функции Бора одной переменной. Тогда

о =!__((l-^gi-^p-H2)-1)

i((! - m)(|i - tA2 - Н2)-1)12 -IM|i -/42 - Н2)"1)!2

^ =__Hi-zip-M2)-1) . _

|((i - м)(И - д|2 - И2)"1)!2 - IM|i - /42 - И2)"1)!2'

В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос усреднения обобщенного уравнения Бельтрами (1) с коэффициентами р, и из эргодической алгебры. Дадим понятие эргодической алгебры,3' следуя Жи-кову В. В.

Пусть X С Loo(R2; С) — линейное (над полем R) пространство ком-плекснозначных. функций на К2. Говорят, что X есть алгебра со средним, если

1)для любых f,g из X их произведение fg принадлежит X;

2)Х инвариантно относительно сдвига;

3)любая функция из X ограничена на R2, равномерно непрерывна на

3 а) Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. 1993г., гл.7, §5; б) Жиков 1!.В., Кривенко E.B. Усреднение сингулярно возмущенных эллиптических операторов// Мат. зам. :.983. Т. 33, № 4. С. 571-582.

R2 и имеет среднее значение.

Пополнение множества X по норме Безиковича

и/»?-Si / mx)?dx

I -

есть гильбертово пространство, которое обозначим через W2.

Алгебру со средним X называют эргодической алгеброй, если в со-отвествующём пространстве W2 равенство f(x +1) = f{x), ж € Ж2 для любого фиксированного i € R2 возможно только для констант.

Совокупность функций вида / * Л, где / пробегает LX(R2-, С), a h пробегает C,f(M2\0) обозначим через Х0. Здесь h — преобразование Фурье f * h — свертка.

Отметим некоторые свойства Хо:

1) ЯаХо с Хо для любого мультииндекса а;

2) множество Хо плотно в подпространстве {/ g W2 | (/) = 0}. Как и в почти периодическом случае рассмотрим вопрос существования решений сопряженного уравнения А*р = 0 из пространства W2. Под решением уравнения А"р = 0 понимается элемент р g W2 такой, что справедливо равенство

Re ((dz<p + ¡idzip + ид0) р) = 0, 95 6 Х0.

Имеет место следующая

Теорема 5. Множество решений уравнения А*р = 0 образует двухмерное подпространство в W2, причем один из базисов этого подпространства {Ръ Рг} удовлетворяет условиям (j>i) - 1, (рг} = i-В случае оператора Белътрами (у = 0) рг = ipi ■

Справедлива следующая теорема об усреднении.

Теорема 6. Для семейства Ас : А£и = дги+ц£д2и+и£д2и, це = ц{е~1х) и i/£ = (р, и принадлежат эргодической алгебре X) имеет,место

усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Aq постоянные и вычисляются по формулам

/ = (/¿¿Г + V&), Vй = + ,

где &> = 2~1(pi + ip2), & = 2_1(рГ +гр2), pi, р2 — базисные векторы ис теоремы 5.

В третьей г лаве рассматриваются вопросы усреднения и G-сходимости эллиптических операторов второго порядка следующего вида:

А: Аи = д%и + ßd]ziL + udj-fi, (5)

где fi, v —комплекгнозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию (2). Это условие обеспечивает эллиптичность оператора (5).

Класс таких операторов обозначим через .г/(fco; Q), Q ~ ограниченная гладкая область плоскости класса С2+", 0 < а < 1. Рассмотрим краевую задачу Пуанкаре:

Аи = / € L2(Q; С), (6)

где Л е ¿/(fco; Q): Щ<Э\ €) =

= |u е Wl | Reu |sq= 0, Reöjii |öq= 0, J Imudx = 0, j^\md-zudx = o}. Справедлива следующая

Теорема 7. Краевая задача Пуанкаре (6) однозначно разрешима для любой правой части / 6 L2(Q; С). Более того, имеют место априорные оценки

(1 - fco) |HHL((?;C) < llA"il£2(«;C) < (1 + fco) ||öL-"IL2(<?;C).

(1 - fco) ll^iull^Q-Q < Re I Audf^dx, и 6 W(Q; C).

Q

Заметим, что норма в левых частях этих соотношений ||д|ги||£а(0;С) задает в подпространстве W(Q; С) норму эквивалентную норме прстран-ства Соболева (Q; С).

Дадим понятие G-сходимости в классе sd(fco; Q)-

Определеш1е 2, Скажем, что последовательность А к € s</(ko] Q) G-сходится в облс.сти Q к А € £/(fc0; Q), если ßf^1 слабо сходится к л/'1, где ¿/к и ¿г/ операторы краевых задач Пуанкаре: AfcUfc = / € С),

uk € С); Аь. = / 6 L2(Q; С), и € W(Q-, С).

С-предел последовательности Ак 6 &/{ко\ С}) опеределен единственным образом.

Имеет место следующая

Теорема 8. Класс С}) О-компактен, то есть из любой последо-

вательности операторов из .афсо; ф) можно выделить С-сходящуюся подпоследовательность.

Рассмотрим подкласс М)(к0; ф) класса ф), состоящий из операторов с и = 0. Имеет место

Теорема 9. Класс я/о(ко; Я) компактен относительно С-сходимости.

Дадим понятие усреднения. Рассмотрим семейство задач Пуанкаре

Г Аещ = д2г,щ + гие + и'д^Щ = /е ь2(<д; С),

где /Xе = ц(£~хх), = и{е~1х), о < £ <1; ф), и(х) - периодические или почти периодические функции, удовлетворяющие условию эллиптичности (2) на всей

плоскости. Очевидно, что Аг принадлежит классу ¿г/(ко', ф).

Определение 3. Скажем, что для семейства {Л£}0<е<1 имеет место усреднение, если найдется оператор Ао е ¿¿(ко; ф) такой, что АЕ А0 в области С? при е 0. При этом Ао называется усредненным оператором (а соответствующее уравнение — усредненным уравнением).

Рассмотрим сначала вопрос усреднения в случае периодических коэффициентов ц(х) и у(х). Важную роль при усреднении играет ядро оператора А*: ^(П, С) ^~2(П, С), сопряженного оператору периодической краевой задачи:

Аи = д%и + цд^и + ид^и = / б С), и е С), (8)

где -2?2(П; С) — пространство Лебега периодических функций, С) —

пространство Соболева И^22 периодических функций, - пространство сопряженное Ж2{р.\ С).

Сопряженное однородное уравнение дается равенством;

-А'р = д%Р+эирр + М = о. (9)

где производные понимаются в смысле распределений. Имеет место

Теорема 10. Ядро оператора А* : ШЯ С) С) - двухмерное

подпространство С), причем один из базисов ядра {ръ Рг} удовле-

творяет условиям

Ы = 1, Ы = (10)

Кроме того, в случае и = 0 базисные векторы, можно выбрать так, что Рг = гР1-

Имеет месте следующая теорема об усреднении.

Теорема 11. Для семейства А£ : Аси = д^и + ^д2гхи + ^д^й, // = ц{£~1х) и иЕ = ц, и - периодические функции, имеет место

усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора А0 постоянные и вычисляются по формулам

где (Iй = + , Vй = + и?),

& = 2_1(рх + гр2), & = 2~г(рГ + т),

рь р2 — базисные векторы из теоремы 10

Рассмотрим теперь вопрос усреднения в случае почти периодических коэффициентов.

Аналогично периодическому случаю, важную роль при уреднении играет вопрос о существовании решений уравнения -А'р = д^р + ¿ЫДр + ир) = 0 из пространства Безиковича В2. Под решением уравнения А*р = 0 понимается элемент р е В2 такой, что справедливо равенство

Ие (+ + "дЩ ■ р) = 0, 6 Тгщ(К2).

Имеет место следующая

Теорема 12. Множество решений уравнения А*р — 0 из В2 образует двухмерное подпространство В2, причем один из базисов {ръ Рг} этого подпространства удовлетворяет условиям (р\) = 1, (р2) =

Теперь сформулируем теорему-об усреднении.

Теорема 13. Для семейства Ае : Аеи = д^и + HEd\zu + и'д^й, це =

¡л, v — почти периодические функции, имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора А0 постоянные и вычисляются по формулам

ß° = + V&),' . I/0 = (Ц& + ,

где

& = 2-l(p1+ip2)y ^ = 2-1(рГ+гН), Pi, Р2 — базисные векторы из теоремы 12.

В § 5 главь13 даются примеры по усреднению. Приведем один из них

Пример 7. Пусть ß = 0,u = koe™*, т ф 0 целое, 0 < fco < 1. Тогда fj° = -kl = 0.

Этот пример показывает, что подкласс операторов вида А : Аи = + vd—u класса ¿¡/(fco; Q) не является G-компактным (сравните с теоремой 8).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Сиражудинову Магомеду Магомедалиеви-чу за постановку задачи и постоянное, внимание к работе.

Публикации по теме диссертации:

1. Джамалудинова С. П. О поведении решений одной задачи Римана- . Гильберта// Матер, межд. конф. «Современные проблемы математики», 2006, с. 38-39.

2. Сиражудинов М. М., Джамалудинова С. П. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с коэффициентами из эргодической алгебры // Дагестанский Матем. сборник, т. З, с. 93-101. 2007.

3. Джамалудинова С. П. Усреднение недивергентных эллиптических систем второго порядка с почти периодическими и случайными коэффициентами/Дагестанский Матем. сборник, т. 6, с. 42^44. 2008.

4. Сиражудинов М. М., Джамалудинова С. П. Усреднение обобщенных уравнений Бельтрами с почти периодическими коэффициентами // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 4, с. 12-16. 2009.

5. Сиражудинов М. М., Джамалудинова С. П. О G-сходимости одного класса эллиптических систем второго порядка // Дагестанский Маг тем. сборник, т. 5, с. 50-54. 2010.

6. Sirazhudinov М. М., Dzhamaludinova S. P. On G-compactness of a classes elliptic systems 1-rst and second order// Proc. of the intern. Conf. Tbilisi, Georgia. 2011.

7. Джамалудинова С. П. Задача Пуанкаре для одного эллиптического уравнения второго порядка// Вестник ДГУ, Вып. 1, с. 65-67. 2013.

Формат 60x84.1/16. Печать ризографная. Бумага № 1. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. -1 изд. печ. л. - 1. Заказ - 1405-01. Тираж 100 экз. Отпечатано в «Деловой мир» Махачкала, ул. Коркмасова, 356

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дагестанский государственный университет»

На правах рукописи

04201357953

Джамалудинова Сайда Пахрудиновна

Усреднение обобщенных операторов Бельтрами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Сиражудинов М. М.

Махачкала - 2013

>

Содержание

Введение 8

глава 1. Усреднение уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом 20

§1.1. О (^-сходимости обобщенных операторов Бельтрами 20

§ 1.2. Оценки 25

§1.3. О ядре оператора, сопряженного оператору Бельтрами с почти периодическим коэффициентом 29

§ 1.4. Теорема об усреднении оператора Бельтрами с почти периодическим коэффициентом 32

§1.5. Примеры 35

Глава 2. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с почти периодическими коэффициентами 39

§2.1. О ядре сопряженного оператора 39 2.1.1. Оценки .......................... 39

2.1.2. Ядро сопряженного оператора..........................43

§2.2. Теорема об усреднении 45

§2.3. Примеры 54

§ 2.4. Усреднение обобщенного уравнения Бельтрами с коэффициентами из эргодической алгебры 58

2.4.1. Ядро сопряженного уравнения..........................58

2.4.2. Усреднение................................................60

Глава 3. С-копмактность и усреднение одного класса эллиптических систем второго порядка с комплексными

коэффициентами 61

§3.1. Задача Пуанкаре 63

§3.2. (7-компактность класса я/(ко] ф) 66

§3.3. Ядро сопряженного опрератора 69

3.3.1. Неравенство острого угла................................69

3.3.2. Ядро сопряженного оператора..........................72

§ 3.4. Усреднение (периодический случай) 77

3.4.1. Понятие усреднения......................................77

3.4.2. Усреднение................................................77

§ 3.5. Примеры 81

§ 3.6. Усреднение (почти периодический случай) 92

3.6.1. Ядро сопряженного оператора............. 92

§3.7. Теорема об усреднении 95

Список литературы 106

Список обозначений

Приведем ряд обозначений и понятий, используемых в работе. Е2 — плоскость, (х, у) — х\у\ + Х2У2 — скалярное произведение. В первых двух главах С Ш.2 — ограниченная односвязная область класса (т. е. граница области д— кусочно гладкая замкнутая

кривая, которая состоит из конечного числа дуг класса С1+а, 0 < а < 1; г/17г,..., ит7г — внутренние углы при угловых точках, причем 0 < ^ 2, j — 1,... ,т), а в третьей главе ф — ограниченная односвязная гладкая (класса С2+а) область плоскости. (5 — замыкание области

- 2 ^Зц ^ Ьдх2)1 ~ 2 1дх2)-

дХ1 = ^ дх2 = Ъ — мнимая единица.

Через дг, д2г обозначены дифференциальные выражения, определяемые формулами:

(дг) и = дги, (д2^ и = д^щ

где черта означает комплексное сопряжение.

1/2 (ф; С) — пространство Лебега комплекснозначных квадратично суммируемых функций. (Символ С здесь и далее в обозначении пространства означает также, что это пространство есть линейное пространство над полем действительных чисел М.) Скалярное произведение в /^(^С) дается равенством

(и, г>)£2(<?;С) = /Ь2{Я] С), Я

где V - комплексно-сопряженная V функция.

Wp (Q) (к £ N, 1 ^ p < oo) — обычное пространство Соболева;

о

Wp(Q) — подпространство Wk(Q), состоящее из элементов с нулевыми следами на границе.

Wp(Q; С) — пространство Соболева комплекснозначных функций. — квадрат со стороной Т, параллельной оси координат (квадрат периодов); |Q| = Т2 — площадь квадрата |0|.

Напомним понятие среднего значения функции многих переменных. Пусть д(х) — ограниченная измеримая функция на Rn. Рассмотрим семейство функций д£ — д(е~1х), 0 < е ^ sq = const. Скажем, что число (д) — есть среднее значение функции д(х), если д£ —^ (д) в .i?2ioc(Rn) при £ —> 0.

Знак —" (здесь и далее) означает слабую сходимость в соответствующем пространстве.

Периодической будем называть функцию периода Т по каждой переменной. Как известно, если д(х) (х € R2) — периодическая функция, д € С), то она имеет среднее значение

(д) = ¡Щ-1 J д(х) dx. п

Жк(П) = W}(Q), щп- С), Jifk(n- С) ее W2*(ii; С) - пространства Лебега и Соболева периодических функций.

Jif'1 = Jf _1(0; С) — пространство, сопряженное Jif1(Q; С). Пространство, сопряженное Jz?2(fi; С), отождествляем с С),

что возможно в силу теоремы Рисса.

Trig (R2) — множество тригонометрических многочленов, т. е. конечных сумм вида и(х) = А, х€ R2.

А

АР (R2) — пространство почти периодических функций Бора, т. е. по-

полнение множества Trig(R2) по норме sup |м(х)|. Как известно, для три-

x€R2

гонометрического полинома и(х) — ]Г] адег(л,а;) существует среднее значе-

л

ние, равное ао. Отсюда легко следует, что каждая функция из АР (R2) имеет среднее значение.

Введем еще одно пространство почти периодических функций. Пополнение множества Trig (R2) по норме ||w||ß2 — есть гильбертово несепарабельное пространство «почти периодических функций Безикови-ча» Z?2- Функционал среднего значения (и), определенный первоначально на Trig(R2), очевидно, непрерывен по норме В2. Его продолжение по непрерывности на В2 обозначим тем же символом (и).

Wo(Q] С) — подпространство W^iQ] С), элементы которого удовлетворяют соотношениям

ReuGW^Q), Jlmudx = 0. Q

W(Q] С) — подпространство пространства Соболева (Q] С) ком-плекснозначных функций над полем 1R, определенное равенством

yP(Q) = С) = G W%{Q] С) I Reu = 0 на dQ, Redzu = 0 на dQ,

J lmudx = 0, Jlmdzudx = 0^.

Q Q

QA — образ оператора A.

Введение

Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о С-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, физические процессы, рассматриваемые в сильно неоднородных средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитивных материалов. Непосредственное решение таких задач численными методами, ввиду того, что коэффициенты быстро осциллируют, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравненям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Основное требование, которому должно удовлетворять усредненное уравнение, это «близость решений» исходных и усредненного уравнения.

Таким образом актуальность исследования вопросов усреднения и С-сходимости эллиптических систем определяется приложениями к задачам теоретической и математической физики, а также внутренней логикой раз-

вития теории усреднения и G-сходи мости.

Целью работы является 1) построение усредненных моделей для обобщенных уравнений Бельтрами 2) изучение вопросов G-компактности и усреднения для одного класса эллиптических систем второго порядка.

Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А.Пуанкаре, H.H. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [3].

Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие G-сходи мости последовательности операторов было введено в работах С. Спаньоло ([28], [29]) в 1967 г. и в применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([26], [28], [29]). В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В. А. Марченко, Е. Я. Хруслова [11], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау [25], Э. Санчес-Паленсии [13], Н. С. Бахвалова, Г. П. Панасенко [1], В. В. Жикова, С. М. Козлова, O.A. Олейник [5] и др.

Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G-

сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова В.В., Козлова С.М., Олейник O.A. и Ха Тьен Нгоана [6].

Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [24], Жикова В.В., Си-ражудинова М.М. [7]-[9], [14]—[19], [27], [30]—[32]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов (такими и являются операторы, рассматриваемые в работе) представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов

В работе принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.

В параграфе § 1.1 в виде предложений собраны известные результаты по G-сходимости эллиптических систем первого порядка, которые требуются в дальнейшем. Новые результаты оформлены в виде теорем, лемм, следствий.

Рассмотрим следующую задачу Римана-Гильберта:

Au = d-Zu +¡idz + vd-zü = f е L2{Q; С), и е Wo(Q; С),

где fi, и — комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию

vrai sup{\ß{x)\ + \v{x)\) ^ к0 < 1. (2)

xeQ

Условие (2) есть условие эллиптичности уравнения (1).

Уравнение (1) при и = 0 называется уравнением Бельтрами. Как

известно (см. [17], более подробно об этом смотрите в Главе 1), задача (1) однозначно разрешима для любого / € С) и причем имеет место

оценка [17]:

где с > 0 — постоянная, не зависящая от и.

Пусть теперь ¡1 — /¿(я), V = и(х) — почти периодические функции Бора, ц, и £ АР (Е2). И пусть для них выполнено условие эллиптичности (2) на всей плоскости. Рассмотрим семество задач Римана-Гильберта:

Дадим понятие усреднения семейства {^4г}о<е«£1-

Определение 1. Скажем, что семейство {Ае} допускает усреднение, если для любого / € С) семейство решений {ме} задачи (4) слабо в

С) сходится при е —У 0 к решению задачи

А0и = д-ги + ц°дги + и%й = / е ¿2(<3; с), ие \VoiQ-, с), где /Д Vй — константы, + ^ /со-

В §1.1 рассматривается вопрос усреднения уравнения Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

Важное значение при усреднении играет вопрос о существовании решений уравнения —А*р = дгр + ¿^(Др) = 0 из пространства Безиковича Въ- Под решением уравнения А*р = 0 понимается элемент р 6 В^ такой, что справедливо равенство

С\\и\\шц<з-,С) ^ \\Аи\\ь2(д-,с)

(3)

(4)

-(А*р, <р) = Ие ({д-2<р + рдм) ■ р) = 0, <ре Тпё (М2),

где (•, •) — значение функционала. Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть А = с^ + ^ 6 АР (К2), тогда существует единственное (с точностью до множителя) решение уравнения А*р = 0; такое, что среднее значение (р) = 1, р Е В2.

Теорема доказана в параграфе 1.3.

Сформулируем теорему об усреднении оператора Бельтрами с почти периодическим коэффициентом.

Теорема 2. Для семейства

Л£ = дг + // дг,

// = х) имеет место усреднение, коэффициент усредненного оператора Ао дается формулой ¡1° = {рц), где р из теоремы 1.

В § 2.1 рассматривается вопрос усреднения обобщенных уравнений Бельтрами (1) с почти периодическими коэфициентами.

Как и в случае оператора Бельтрами важную роль при усреднении здесь играет вопрос о существовании решений сопряженного уравнения А*р — 0 из пространства Безиковича В2. Под решением уравнения А*р = О понимается элемент р € В2 такой, что справедливо равенство

~(А*р, <р) = Ые {{дцр + /¿<92<^ + ид-гф) ■ р) = 0, (ре Тщ (М2).

Имеет место следующая

Теорема 3. Множество решений уравнения А*р = 0 из В2 образует двухмерное подпространство в В2, причем один из базисов этого подпространства {^1, Р2} удовлетворяет условиям (рх) = 1, (рг) =

Теорема доказана в параграфе 2.1. В параграфе 2.2 доказана следующая

Теорема 4. Для семейства Ае : Аеи — д^и 4- цедги + // =

¡1{е~1х) и Vе — у{е~1х) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Ао постоянные и вычисляются по формулам

В параграфе 2.3 приведены примеры по усреднению. В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос усреднения обобщенного уравнения Бельтрами (1) с коэффициентами ц, и из эргодической алгебры. Дадим понятие эргодической алгебры, следуя Жи-

Пусть X С Loo(R2¡ С) — линейное (над полем R) пространство ком-плекснозначных функций на R2. Скажем, что X есть алгебра со средним, если

1)для любых f,g из X их произведение fg принадлежит Х\

2)Х инвариантно относительно сдвига;

3) любая функция из X ограничена на R2, равномерно непрерывна на R2 и имеет среднее значение.

Пополнение множества X по норме Безиковича

= (/¿^ + V&>), и0 = {Ji&> + v&)

где

& = 2-\Р1 + гр2), & = 2~\pi + т)

Pi, Р2 — базисные векторы из теоремы 3.

кову В.В. (см. [23], [5, гл.7, §5]).

есть гильбертово пространство, которое обозначим через W2.

Алгебру со средним X называют эргодической алгеброй, если в со-отвествующем пространстве W2 равенство f(x + t) = f{x), х Е R2 для любого фиксированного t Е R2 возможно только для констант.

Совокупность функций вида / * h, где / пробегает L^R2; С), a h пробегает Cq°(R2\0) обозначим через Xq. Здесь h — преобразование Фурье /г; / * h — свертка.

Отметим некоторые свойства Хо (см. [23], [5, гл. 7, §5]):

1) @аХ0 С Х0 для любого мультииндекса а;

2) множество Xq плотно в подпространстве {/ Е W2 | (/) = 0}.

Как и в почти периодическом случае рассмотрим вопрос существования решений сопряженного уравнения А*р — 0 из пространства W2. Под решением уравнения А*р = 0 понимается элемент р Е W2 такой, что справедливо равенство

Re {(dzip + ¡idzip + vdzip)p) = 0, </? E Xq.

Имеет место следующая

Теорема 5. Множество решений уравнения А*р = 0 образует двухмерное подпространство в W2, причем один из базисов этого подпространства {pi, Р2] удовлетворяет условиям (р\) = 1, (^2) = i-

В случае оператора Бельтрами (и = 0) = ip\.

Справедлива следующая теорема об усреднении.

Теорема 6. Для семейства Ае : Аеи = dzu + ¡i£dzu + v£dzu, /¿£ = ji{e~lx) и v£ = v{e~lx), (fi, v принадлежат эргодической алгебре X) имеет место усреднение, причем коэффициенты усредненного оператора Aq

постоянные и вычисляются по формулам

= + , и0 = +

где & = 2 + гръ), & = 2 + грг), VI, Р2 — базисные векторы из теоремы 5.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена краевая задача Пуанкаре:

Аи = д2г-ги + + Уд\^ч = / € Ь2(д; С), и е С), (5)

где г/ —комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условию (2), — ограниченная гладкая (класса С2+а, 0 < а < 1) область плоскости. Доказана следующая

Теорема 7. Краевая задача Пуанкаре (5) однозначно разрешима для любой правой части / £ Ь2(Я] С). Более того, имеют место априорные оценки

Заметим, что норма в левых частях этих соотношений задает в С)

норму эквивалентную норме прстранства Соболева С).

Обозначим через <е/(/со; Я) — множество операторов вида (5). Дадим понятие С-сходимости в классе .с/(/со; ф).

Определение 2. Скажем, что последовательность {АС £?{ко\ ф) С-сходится в области ф к А £ ¿¿(ко; Я), если слабо сходится

(1 - ко) \\д]-ги\\ы^с) < \\Аи\\ыег.,с) ^ (1 + ко) \\д

ь2(0;С)

Я

к , где и операторы краевых задач Пуанкаре: А^и^ = / € Ь2(<Э; С), щ е С); Аи = }е С), и е С).

Иначе говоря, С-сходимость означает слабую сходимость решений щи в С) при к —У оо.

С-предел последовательности {Л/с} С ¿/(/со; О) опеределен единственным образом. Действительно, если имеем два предела, то для них справедливо равенство

+ /11(9> + и^ъи = + /¿2<9> + V™ е ^(ф С). (*)

Пусть го Е. С} — произвольная точка области (3; к;2 — финитные (в О) функции равные г2/2, г г2/2 в окрестности точки го- Рассмотрим функцию и) = гиг — ъс\ — 1(г + г)с2, где действительные числа С1, с2 определяются равенствами

°2 = 11т ^^ ^Х Я

с\ = Щ У 1тгу1 ~ J сЬс ■ J XI ¿х, где |<Э| — мера <2.

я я я

Очевидно, что ги £ С), после подстановки т в (*) получим, что в

точке го имеем /¿1 + щ = ¡12 + г/2. Аналогично, используя ги2, получим ¿¿1 — г/1 = ¡12 ~ Следовательно, /¿1 = /л2, = почти всюду в Справедлива следующая

Теорема 8. Класс (ко] <3) С-компактен, то есть из любой последовательности операторов из £#(ко] можно выделить С-сходящуюся подпоследовательность.

Эта теорема доказана в параграфе 3.2.

Имеет место теорема о сходимости «произвольных решений»

Теорема 9. Пусть Акик = /ь /* —> / в Ь2{Я\ С), ик и в ТУ22(<5; С), и пусть в-Нт Ак = А. Тогда Аи = /.

Рассмотрим подкласс £?о{ко\ О) класса «с/(/со; ф), состоящий из операторов с г/ = 0. Имеет место

Теорема 10. Класс я/о{ко\ компактен относительно С-сходимости.

Рассмотрим семейство задач Пуанкаре

Аеие = д2г-гие + ¡1ед^и£ + и£д-г,Щ = / е ь2(д; С),

(6)

и£ € С),

где [Iе = /¿(е-1:г), и£ = г/(е:-1а;), 0 < е ^ 1; /¿(ж), г/(ж) — периодические (почти периодические) функции, удовлетворяющие условию эллиптичности (2) на всей плоскости. Очевидно, что Ае принадлежит классу (ко] О). Дадим понятие усреднения для семейства (6):

Определение 3. Скажем, что для семейства {имеет место

о*

усреднение, если найдется оператор Ао 6 £?(ко] такой, что Ае —> Ао в области ф при £ —>• 0. При этом Ао называется усредненным оператором (а соответствующее уравнение — усредненным уравнением).

Рассмотрим сначала вопрос усреднения в случае периодических коэффициентов /¿(ж) и и(х). Важную роль при усреднении играет ядро опер