О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СВЕТЛОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

О ДИСКРЕТНОСТИ СПЕКТРА НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

(01 01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

Лосев А.Г.

Насыров С.Р. Григорьева Е.Г.

Ведущая организация:

Ах. *

Институт математики СО РАН им. С.Л. Соболева

<52°

Защита состоится 17 сентября 2004 г. в час. на заседании диссертационного совета К 212.029.05 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, Волгоград, ул. 2-я продольная, д. 30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан

г

Ученый секретарь диссертационного совета

Е.А. Мазепа

А. Общая характеристика работы

По своей проблематике диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа: теории операторов, спектрального анализа, теории уравнений в частных производных и геометрии «в целом». Основным объектом исследования является весовой оператор Лапласа — Бельтрами и ассоциированный с ним оператор Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат спектральной теории операторов.

Актуальность темы. Исторические сведения. Спектральный анализ операторов важен для математической физики, и многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике.

Работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами

и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера

на многообразиях специального вида.

В К" задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают монографии М'.А. Наймарка [61 и И.М. Глазмана [4]. На римановых многообразиях первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом этих исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [2]. Начало исследований спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относится

РОС НАЦИОНАЛЬНА« - 3 - БИБЛИОТЕКА

С.Т. Яу, С.Я. Ченга, М. Пински, X. Доннелли, П. Ли были получены оценки границ различных частей спектра оператора Лапласа — Бельтра-ми на римановых многообразиях при наложении некоторых условий на кривизну многообразия. Нахождению условий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на различных некомпактных римановых многообразиях посвящены работы А. Бейдера, Р. Брукса, В.А. Кондратьева, М.А. Шубина, Ж. Шена..

Отметим, что многообразия, исследуемые в диссертационной работе — это искривленные римановы произведения и многообразия с концами. Широкий круг задач на подобных многообразиях исследован в работах А.А. Григорьяна, А.Г. Лосева, В. Мюллера, В.И. Кузьминова, И.А. Шведова.

Цель работы. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий специального вида и структурой спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на этих многообразиях. А именно, получение критериев дискретности спектра этих операторов в терминах метрики многообразия через такие геометрические характеристики как объём и ёмкость шаров и шаровых слоев.

Методика исследования. Для получения представляемых результатов работе широко применяются методы теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов — стандартные для большинства задач математической физики. Применяются также некоторые дифференциально-геометрические, ёмкостные и другие методы исследований.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе исследована структура спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях специального вида. На квазимодельных многообразиях полученные результаты позволяют свести исследование структуры спектра эллиптических операторов к исследованию асимптотического поведения некоторых функ-

ций, зависящих от метрики многообразия. Все результаты являются новыми не только для квазимодельных многоообразий, но даже в классе модельных многообразий.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах; занимающихся изучением эллиптических операторов на римановых многообразиях» а также найти применение в теории уравнений в частных производных, спектральной теории операторов, дифференциальной геометрии, математической физике, квантовой механике и в других приложениях. Результаты, выносимые на защиту.

1. Доказаны критерии дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Найдено обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрё-дингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Найдены условия сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специального вида.

Структура и объем диссертации.. Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 49 наименований.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Моло-

дежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» • (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002); Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001-2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (20012004гг.). Кроме того, все результаты подробно докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Ми-клюков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] -[ 16].

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения, замечания и постоянное внимание к работе научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также д.ф.-м.н. В.М. Миклюкову и к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе.

В. Содержание работы.

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию.

Глава 1. «Эллиптические операторы на искривленных произведениях» Первый параграф этой главы носит вводный характер. Здесь приводятся некоторые сведения из теории операторов, которые используются в работе, и напоминаются основные понятия римановой геометрии. В частности, определяются множества, выделяемые в спектре неограниченных операторов; определяется и обсуждается существование у симметрических полуограниченных операторов самосопряженного расширения по Фридрихсу; формулируются некоторые важные спектральные свойства операторов, в частности, критерии дискретности спектра.

некоторых операторов второго порядка на EL).. Кроме того, определяется оператор Лапласа — Бельтрами на весовых римановых многоообразиях; напоминается понятие искривленного произведения, описываются простые искривленные произведения порядка k и квазимодельные многообразия; для последних многообразий приводятся явные формулы вычисления объёмов и ёмкостей шаров и шаровых слоев.

Во втором параграфе первой главы рассматривается риманово многообразие Z, изометричное произведению X X Y (где X и Y — произвольные многообразия размерностей n и m, соответственно) с метрикой

где 7(х) — С1-гладкая положительная функция, сЫ2 и dy2 метрики на X и Y соответственно. Предполагаем, что на Z задана борелевская мера Ц, обладающая плотностью cr(z) = т(х)г](у).

Исследуем на таком многообразии спектры ассоциированных с мерой многообразия операторов Лапласа — Бельтрами

и Шрёдингера где

Предполагаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии Y дискретен. Обозначим через Ai(K) — первое собственное число оператора на многообразии Y, и пусть, кроме того, —

мера плотности 7т(х)т(х) на многообразии X. Тогда через Ао обозначаем оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X с мерой а ассоциированный с ним оператор Шрёдингера — через Центральным результатом первой главы является следующая теорема. Теорема 8. Оператор Шредингера на многообразии (Zt/j) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора на многообразии дискретен.

Эта теорема является обобщением аналогичного критерия А. Бейдера (см. [1]) для оператора Лапласа — Бельтрами на невесовых произведениях.

Основной интерес представляют следствия из этой теоремы, которые относятся к многообразиям вида где — компактное многообра-

зие. Для компактного многообразия, как известно, спектр оператора Лапласа — Бельтрами дискретен и Ai(F') = 0. В частности, относительно оператора Шрёдингера на многообразии X X У справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Оператор Шредингера на многообразии (XxY',ß) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора Bq на многообразии (X, и) дискретен.

Положив в операторе Шрёдингера с(г) = 0, мы получаем, что аналогичные теоремы справедливы и для оператора Лапласа — Бельтрами.

Результаты первой главы опубликованы в работах [11], [12]:

Глава 2. «Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях» Во этой главе исследуются спектры тех же операторов на простых искривленных произведениях порядка и квазимодельных многообразиях.

Полное риманово многообразие D называют простым искривленным произведением порядка k, если D изометрично произведению

а — компактные римановы многообразия без края) с метрикой

ds2 = dr2 + ql(r)de2 + ■ •. + q\{r)d6l,

где dd2 метрика на S,( а qt{r) — С1-гладкие положительные на R+ функции. Будем считать, что dimS,- = 7il (г = 1 Заметим, что

такие многообразия являются частным случаем простых скрещенных произведений порядка Поведение гармонических функций (то есть решений уравнения Аи = 0) на этих многообразиях достаточно подробно исследовано А.Г. Лосевым (см., например, [5]). Такие многообразия, очевидно, являются обобщением модельных (сферически симметричных)

многообразий.

Введём здесь обозначения:

где г > 1. Кроме того, будем обозначать V(*) и cap (•) объём и ёмкость соответствующих объектов, а В(г) = {[р,6) € D : р < г} — шар радиуса г с центром в начале координат на многообразии D. Доказан следующий критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии D.

Теорема 11. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

или

Кроме того, замечено, что этот результат может быть сформулирован в более геометрической форме.

Следствие 11.1. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

V(D\B(r))

V{D) <оо и lim

cap (B(l),B(r))

= 0,

или

cap B( 1) > 0 и lim

V{B( г)) cap B(r)

= 0.

Отметим, что в §2.4 показано, что эти же требования являются достаточными для дискретности спектра оператора Шрёдингера, если потенциал с(г,6) неотрицателен.

Далее во второй главе мы рассматриваем полное некомпактное ри-маново многообразие М, представимое в виде В и и • • • и Ир, где В — компакт. Такие многообразия являются многообразиями с концами. В случае, когда концы .О, — простые искривленные произведения, такие многообразия называют квазимодельными (см. [5]).

В §2.2 показано, что для дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельном многообразии необходимо и достаточно, чтобы условие следствия 11.1 было выполнено на каждом конце этого многообразия.

Этот результат имеет следствие, форма которого позволяет увидеть, что на квазимодельных многообразиях достаточное условие дискретности Р. Брукса (см. [3]) следует из нашего результата.

Следствие 13.1. Оператор Лапласа — Бельтрами — Д на квазимодельном многообразии М имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного объёма выполнено условие

а на всех концах бесконечного объема — условие

В §2.3 рассматривается весовое квазимодельное многообразие М. Считаем, что плотность борелевской меры заданной на этом многообразии, такова что на каждом конце Их её плотность имеет вид ТЧГ)'?1№)' "1?к{Щс)- Показано, что на таких многообразиях все результаты §2.2 остаются верными без каких-либо изменений, только объёмы и ёмкости заменяются своими весовыми аналогами. В формулировке полагаем

Теорема 15. Оператор Лапласа — Бельтрами — Д на квазимодельном весовом многообразии (Л/, д) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного весового объёма

выполнено условие

ад\д(г))

jjm 'il_

r->oo сар^ (Д(1),Д(г))

а на всех концах бесконечного весового объёма — условия саря £,(1) >0 и

Г-.00 сар^ В,(г)

Сформулируем теперь критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера

на квазимодельных многообразиях, наложив некоторые условия на потенциал и метрику многообразия. Далее везде считаем, что существует некоторая К = const, такая что с(г) ^ —К, и, кроме того, с(г) — абсолютно интегрируема во всяком конечном интервале. Получению этого критерия посвящен четвертый параграф этой главы.

Пусть, сначала, D — простое искривленное произведение порядка такое что коэффициенты его метрики — положительные на R+ функции. Напомним, что dimS, = п, и обозначим

Ыг)) '

Для формулировки следующего результата нам потребуется еще одно обозначение:

где вторую производную функции s(r) в возможных точках разрыва доопределяем её пределом справа.

Теорема 16. Если F(r) > —С (С = const > 0), то для дискретности спектра оператора Шрёдингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произвольного и) > 0 выполнялось

Для квазимодельного многообразия М условие теоремы 16 должно быть выполнено на каждом конце этого многообразия.

В §2.5 исследуется вопрос сохранения дискретности спектра при преобразовании метрики простого искривленного произведения D. Предположим, что метрика д многообразия D претерпевает преобразование, задаваемое матрицей следующего вида:

Здесь 6t(r) — гладкие положительные функции, а ЕПг — единичные матрицы щ х щ. Обозначим 2(г) = detcr(r) = S§(r)Sfni(r) ■

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом.

Теорема 20. Спектр оператора - Д дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий:

I)

II)

Пусть теперь матрица удовлетворяет следующим условиям для некоторой константы для всех

и а~п ^ Е ^ ап. Тогда эта матрица описывает квазиизометрическое

или

преобразование метрики. Сравнивая условия теорем И и 20, нетрудно увидеть, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами остается дискретным при преобразовании метрики описанного типа. Следствие 20.1. Если на многообразии D оператор Лапласа — Бельтрами — Д имел дискретный спектр, то при квазиизометричном изменении метрики многообразия D диагональной матрицей ||<т(г)|| спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д останется дискретным. Аналогично, недискретный спектр останется недискретным. Результаты второй главы опубликованы в работах [7]—[11], [13]—[16].

Литература

[1] Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff Geom. - 1979 - V. 14 - p. 41-57.

[2] Берже М., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variété Riemannienne - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. - 251p. - (Lecture Notes in Math.; V. 194)

[3] Брукс Р. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z. - 1981 - V. 178 - p. 501-508.

[4] Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов - М.: Физмат-гиз, 1963. - 339с.

[5] Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимодельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализа и теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград - Изд-во ВолГУ, 2002. - с. 94-124.

[6] Наймарк М А. Линейные дифференциальные операторы - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. - 352с.

- 1 3 -

Список работ, опубликованных по теме диссертации-

[7] Светлов А.В. Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида // VI межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области (г. Волгоград, 13.11—16.11 2001г.). Тез. докл. - 2002 - Вып.4: Физика и математика - с. 61-63.

[8] Светлов А.В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения -2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань, 2001. - с. 57-58.

[9] Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 2002. - с. 188-189.

[10] Светлов А.В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова: Тез. докл. -Новосибирск, 2002. - с. 65-66.

[11] Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. - 2002 - Т. 43, № 6 - С. 1362-1371.

[12] Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенных произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика -2002 - вып. 7 - с. 12-19.

[13] Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида // VII межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области (г. Волгоград, 12.11-15.11 2002г.). Тез. докл. - 2003 - Вып.4: Физика и математика - с. 57.

[14] Светлов А.В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19 (Теория функций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции - Казань, 2003. - с. 192-193.

[15] Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. - Изд-во инст. математики - 2003 - с. 376-383.

[16] Светлов А.В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. - Волгоград, 2004. - с. 162-163.

04"1459 1

Подписано в печать 23.07.2004 г. Формат 60 >^4/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 195.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, ул. 2-я Продольная, 30.

Введение

1 Эллиптические операторы на искривленных произведениях

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Дискретность спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на искривленных римановых произведениях

2 Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях

2.1 Оператор Лапласа — Бельтрами на простых искривленных произведениях порядка к.

2.2 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях. Примеры.

2.3 Спектр оператора Лапласа — Бельтрами на весовых квазимодельных многообразиях

2.4 Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера

2.5 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики

Настоящая работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами А = —divV (1) и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера

L = —divV-f- с (2) на многообразиях специального вида.

Спектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Более того, многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике, где, например, гамильтониан — это неограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Непрерывный спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе.

В Rn задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают известные монографии М.А. Наймарка [27] и И.М. Глазмана [9]. Среди этих результатов отметим здесь только лишь критерии дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля в R1, принадлежащие A.M. Молчанову [25], И.С. Кацу и М.Г. Крейну [16] — эти критерии мы используем при изучении спектров упомянутых операторов на многообразиях и их точные формулировки будут приведены ниже.

Что касается римановых многообразий, то первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [3]. В частности, хорошо известно, что спектр лапласиана на компактном римановом многообразии непременно дискретен, первое собственное число равно нулю и оно всегда имеет единичную кратность.

Первые исследования спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относятся к 70-м годам. Перечислим здесь некоторые результаты.

• Х.П. МакКин [23], С.Т. Яу [49] получили нижнюю оценку инфи-мума спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С.Я. Ченг [45].

• М. Пински [28] указал двусторонние оценки инфимума спектра оператора Лапласа — Бельтрами и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили X. Доннелли и П. Ли [12].

• В. Мюллер [26] исследовал структуру спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с концами. Заметим, что многообразия, рассмотренные им, являются частным случаем квазимодельных многообразий, рассматриваемых в нашей работе.

• А. Бейдер [2] доказал критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на искривлённых римановых произведениях. Его результаты мы опишем подробнее немного ниже.

• Р. Брукс [5], [6] получил двусторонние оценки точной нижней грани Aqss непрерывной части спектра. Из этих оценок легко можно получить достаточное условие дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии. Ниже мы приведём результаты Р. Брукса и исследуем их связь полученным нами критерием.

• В.А. Кондратьев, М.А. Шубин [17] нашли условия дискретности спектра оператора Шрёдингера на многообразиях ограниченной геометрии.

• Ж. Шен [48] получил критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера в терминах поведения потенциала на бесконечности. При этом, правда, накладываются достаточно жёсткие условия на геометрию многообразия (которые, впрочем, выполнены на всяком многообразии ограниченной снизу кривизны Риччи) и сам потенциал. Ниже мы опишем их подробнее и обсудим их в сравнении с нашим результатом.

По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и структурой спектра эллиптических операторов на этих многообразиях. Следующие результаты диссертации являются новыми:

1. Доказан критерий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях. Результат является обобщением аналогичного критерия А. Бей-дера [2] для оператора Лапласа — Бельтрами.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Показано обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Исследован вопрос сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специальным образом.

Методы, использованные для получения представляемых результатов являются стандартными методами теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001-2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2001-2004гг.). Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Миклюков).

Исследовательская работа, представленная на научную конференцию профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ВолГУ (2001г.), отмечена дипломом I степени; работа «Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида» удостоена поощрительной премии по направлению «Физика и математика» на VI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2001г.); работа «О спектре оператора Лапласа — Бельтрами» награждена дипломом за лучший доклад на «Лобачевских чтениях - 2001»; исследование, представленное на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2002г.), отмечена дипломом II степени; работа «Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида» на VII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2002г.) удостоена диплома I степени; работа «О дискретности спектра оператора Шрёдингера», представленная на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2003г.), по направлению «Математика» награждена дипломом I степени. Некоторые из представляемых результатов были получены автором в ходе работ по гранту РФФИ проект № 03-01-00304.

Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. В первой главе вводятся основные определения и формулируются известные ранее результаты, используемые в работе. Представляются также обобщения некоторых из известных фактов, также полезные в дальнейшем. Кроме того, в этой же главе доказываются критерии дис

1. Агмон С. (Agmon S.) Lectures on elliptic boundary value problems - Van Nostrand, 1965. - 242p.

2. Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff.Geom. 1979 - V. 14 - p. 41-57.

3. Берже M., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variete Riemannienne Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. - 251p. - (Lecture Notes in Math.; V. 194)

4. Богачев В.И., Рёкнер М. Об LP-единственности симметричных диффузионных оператров на римановых многообразиях // Мат. сб. 2003 - т. 194, № 7 - с. 15-24.

5. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian 11 Math. Z. 1981 - V. 178 - p. 501-508.

6. Брукс P. (Brooks R.) On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984 - V. 187 - p. 425-432.

7. Гафни M. (Gaffney M.) The harmonic operator for exterior differential forms // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1951 - V. 37 -p. 48-50.

8. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: пер. с англ. М.: Наука, 1989. - 464с.

9. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов -* М.: Физматгиз, 1963. 339с.

10. Григорьян А.А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых мноообразиях // Мат. сб. -1985 Т. 128, № 3 - с. 354-363.

11. Григорьян A.A. (Grigor'yan A.A.) Analytic and geometricbackground of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bulletin of Amer.Math.Soc. -1999 V. 36 - p. 135-249.

12. Доннелли X., Ли П. (Donnelly H., Li P.) Pure point spectrum and negative curvature for non-compact manifolds / f Duke Math.J. -1979 V. 46 - p. 497-503.

13. Донскер М.Д., Варадхан C.P.C. (Donsker M.D., Varadhan S.R.S.) On variational formula for principal eigenvalue for operators with maximum principle // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1975 - V. 72 -p. 780-783.

14. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic щ operators // Bull. London Math. Soc. 1985. - V. 17, N 5.p. 417-436.

15. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967. - 430 с.

16. Кац И.С., Крейн М.Г. Критерий дискретности спектра сингулярной струны // Изв.вузов. Математика 1958 - № 2(3) -с. 136-153.

17. Кондратьев В.А., Шубин М.А. (Kondratev V., Subin М.) Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators onmanifolds of bounded geometry Operator theory: Advances and Applications - 1999 - V. 110 - p. 185-226.

18. Кузьминов В.И., Шведов И.А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996 - Т. 37, № 2. -с. 324-337.

19. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля иДирака М.: Наука, 1988. - 432с.

20. Лосев А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998 -т. 39, № 1. - с. 87-93.

21. Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимо-т дельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализаи теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград Изд-во ВолГУ, 2002. - с. 94-124.

22. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях // Алгебра и анализ 2001 - т. 13, вып. 1 - с. 84-110.

23. МакКин Х.П. (McKean Н.Р.) An upper bound for the spectrum ofД on a manifold of negative curvature // J.Diff.Geom. 1970 -V. 4 - p. 359-366.

24. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными: пер. с япон. М.: Мир, 1977. - 504с.

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряжённых дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Моск.Матем.Об-ва 1953 - № 2 - с. 169-200.

26. Мюллер В. (Muller W.) Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math.Nachr. 1983V. Ill p. 197-288.

27. Позняк Э.Г., Шикин E.B. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384с.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фит зики: Т. 1. Функциональный анализ, пер. с англ.: в 4 т.М.: Мир, 1977. 360с.

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость, пер. с англ.: в 4 т. М.: Мир, 1978. - 400с.

30. Садовничий В.А. Теория операторов М.: Дрофа, 2001. - 384с.

31. Саймон Б. (Simon В.) Essential self-adjointness of Schrddingeroperators with singular potentials // Arch.Rational Mech.Anal. -1973 V. 52 - p. 44-48.

32. Салоф-Косте Jl. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. No 36, p. 417-450.

33. Светлов А.В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения 2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань, 2001. - с. 57-58.

34. Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Лапласа —Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2002. - с. 188-189.

35. Светлов А.В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова: Тез. докл. Новосибирск, 2002. - с. 65-66.

36. Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. 2002 - Т. 43, № 6 - С. 1362-1371.

37. Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенныхФ произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика 2002 - вып. 7 - с. 12-19.

38. Светлов А.В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19 (Теорияфункций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции Казань,2003. с. 192-193.

39. Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. -Изд-во инст. математики 2003 - с. 376-383.

40. Светлов А.В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. Волгоград, 2004. -с. 162-163.

41. Шехтер M. (Schechter M.) Spectra of partial differential operators Amsterdam: North-Holland, 1971. - 295p.

42. Шен Ж. (Shen Z.) The spectrum of Schrodinger operatorswith positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. of Amer.Math.Soc. 2003 - V. 131, N. 11 - p. 3447-3456.

43. Яу С.Т. (Yau S.T.) Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann.Sci.Ecole Norm.Sup. -1975 V. (4) 8 - p. 487-507.