О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Светлов, Андрей Владимирович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ
2004 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях»
 
Автореферат диссертации на тему "О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях"

На правах рукописи

СВЕТЛОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

О ДИСКРЕТНОСТИ СПЕКТРА НЕКОТОРЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

(01 01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

Лосев А.Г.

Насыров С.Р. Григорьева Е.Г.

Ведущая организация:

Ах. *

Институт математики СО РАН им. С.Л. Соболева

<52°

Защита состоится 17 сентября 2004 г. в час. на заседании диссертационного совета К 212.029.05 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, Волгоград, ул. 2-я продольная, д. 30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан

г

Ученый секретарь диссертационного совета

Е.А. Мазепа

А. Общая характеристика работы

По своей проблематике диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа: теории операторов, спектрального анализа, теории уравнений в частных производных и геометрии «в целом». Основным объектом исследования является весовой оператор Лапласа — Бельтрами и ассоциированный с ним оператор Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат спектральной теории операторов.

Актуальность темы. Исторические сведения. Спектральный анализ операторов важен для математической физики, и многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике.

Работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами

и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера

на многообразиях специального вида.

В К" задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают монографии М'.А. Наймарка [61 и И.М. Глазмана [4]. На римановых многообразиях первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом этих исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [2]. Начало исследований спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относится

РОС НАЦИОНАЛЬНА« - 3 - БИБЛИОТЕКА

С.Т. Яу, С.Я. Ченга, М. Пински, X. Доннелли, П. Ли были получены оценки границ различных частей спектра оператора Лапласа — Бельтра-ми на римановых многообразиях при наложении некоторых условий на кривизну многообразия. Нахождению условий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на различных некомпактных римановых многообразиях посвящены работы А. Бейдера, Р. Брукса, В.А. Кондратьева, М.А. Шубина, Ж. Шена..

Отметим, что многообразия, исследуемые в диссертационной работе — это искривленные римановы произведения и многообразия с концами. Широкий круг задач на подобных многообразиях исследован в работах А.А. Григорьяна, А.Г. Лосева, В. Мюллера, В.И. Кузьминова, И.А. Шведова.

Цель работы. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий специального вида и структурой спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на этих многообразиях. А именно, получение критериев дискретности спектра этих операторов в терминах метрики многообразия через такие геометрические характеристики как объём и ёмкость шаров и шаровых слоев.

Методика исследования. Для получения представляемых результатов работе широко применяются методы теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов — стандартные для большинства задач математической физики. Применяются также некоторые дифференциально-геометрические, ёмкостные и другие методы исследований.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе исследована структура спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях специального вида. На квазимодельных многообразиях полученные результаты позволяют свести исследование структуры спектра эллиптических операторов к исследованию асимптотического поведения некоторых функ-

ций, зависящих от метрики многообразия. Все результаты являются новыми не только для квазимодельных многоообразий, но даже в классе модельных многообразий.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах; занимающихся изучением эллиптических операторов на римановых многообразиях» а также найти применение в теории уравнений в частных производных, спектральной теории операторов, дифференциальной геометрии, математической физике, квантовой механике и в других приложениях. Результаты, выносимые на защиту.

1. Доказаны критерии дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Найдено обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрё-дингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Найдены условия сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специального вида.

Структура и объем диссертации.. Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 49 наименований.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Моло-

дежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» • (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002); Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001-2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (20012004гг.). Кроме того, все результаты подробно докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Ми-клюков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] -[ 16].

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения, замечания и постоянное внимание к работе научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также д.ф.-м.н. В.М. Миклюкову и к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе.

В. Содержание работы.

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию.

Глава 1. «Эллиптические операторы на искривленных произведениях» Первый параграф этой главы носит вводный характер. Здесь приводятся некоторые сведения из теории операторов, которые используются в работе, и напоминаются основные понятия римановой геометрии. В частности, определяются множества, выделяемые в спектре неограниченных операторов; определяется и обсуждается существование у симметрических полуограниченных операторов самосопряженного расширения по Фридрихсу; формулируются некоторые важные спектральные свойства операторов, в частности, критерии дискретности спектра.

некоторых операторов второго порядка на EL).. Кроме того, определяется оператор Лапласа — Бельтрами на весовых римановых многоообразиях; напоминается понятие искривленного произведения, описываются простые искривленные произведения порядка k и квазимодельные многообразия; для последних многообразий приводятся явные формулы вычисления объёмов и ёмкостей шаров и шаровых слоев.

Во втором параграфе первой главы рассматривается риманово многообразие Z, изометричное произведению X X Y (где X и Y — произвольные многообразия размерностей n и m, соответственно) с метрикой

где 7(х) — С1-гладкая положительная функция, сЫ2 и dy2 метрики на X и Y соответственно. Предполагаем, что на Z задана борелевская мера Ц, обладающая плотностью cr(z) = т(х)г](у).

Исследуем на таком многообразии спектры ассоциированных с мерой многообразия операторов Лапласа — Бельтрами

и Шрёдингера где

Предполагаем, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии Y дискретен. Обозначим через Ai(K) — первое собственное число оператора на многообразии Y, и пусть, кроме того, —

мера плотности 7т(х)т(х) на многообразии X. Тогда через Ао обозначаем оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X с мерой а ассоциированный с ним оператор Шрёдингера — через Центральным результатом первой главы является следующая теорема. Теорема 8. Оператор Шредингера на многообразии (Zt/j) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора на многообразии дискретен.

Эта теорема является обобщением аналогичного критерия А. Бейдера (см. [1]) для оператора Лапласа — Бельтрами на невесовых произведениях.

Основной интерес представляют следствия из этой теоремы, которые относятся к многообразиям вида где — компактное многообра-

зие. Для компактного многообразия, как известно, спектр оператора Лапласа — Бельтрами дискретен и Ai(F') = 0. В частности, относительно оператора Шрёдингера на многообразии X X У справедлива следующая теорема.

Теорема 10. Оператор Шредингера на многообразии (XxY',ß) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда спектр оператора Bq на многообразии (X, и) дискретен.

Положив в операторе Шрёдингера с(г) = 0, мы получаем, что аналогичные теоремы справедливы и для оператора Лапласа — Бельтрами.

Результаты первой главы опубликованы в работах [11], [12]:

Глава 2. «Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях» Во этой главе исследуются спектры тех же операторов на простых искривленных произведениях порядка и квазимодельных многообразиях.

Полное риманово многообразие D называют простым искривленным произведением порядка k, если D изометрично произведению

а — компактные римановы многообразия без края) с метрикой

ds2 = dr2 + ql(r)de2 + ■ •. + q\{r)d6l,

где dd2 метрика на S,( а qt{r) — С1-гладкие положительные на R+ функции. Будем считать, что dimS,- = 7il (г = 1 Заметим, что

такие многообразия являются частным случаем простых скрещенных произведений порядка Поведение гармонических функций (то есть решений уравнения Аи = 0) на этих многообразиях достаточно подробно исследовано А.Г. Лосевым (см., например, [5]). Такие многообразия, очевидно, являются обобщением модельных (сферически симметричных)

многообразий.

Введём здесь обозначения:

где г > 1. Кроме того, будем обозначать V(*) и cap (•) объём и ёмкость соответствующих объектов, а В(г) = {[р,6) € D : р < г} — шар радиуса г с центром в начале координат на многообразии D. Доказан следующий критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии D.

Теорема 11. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

или

Кроме того, замечено, что этот результат может быть сформулирован в более геометрической форме.

Следствие 11.1. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д на многообразии D дискретен тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

V(D\B(r))

V{D) <оо и lim

cap (B(l),B(r))

= 0,

или

cap B( 1) > 0 и lim

V{B( г)) cap B(r)

= 0.

Отметим, что в §2.4 показано, что эти же требования являются достаточными для дискретности спектра оператора Шрёдингера, если потенциал с(г,6) неотрицателен.

Далее во второй главе мы рассматриваем полное некомпактное ри-маново многообразие М, представимое в виде В и и • • • и Ир, где В — компакт. Такие многообразия являются многообразиями с концами. В случае, когда концы .О, — простые искривленные произведения, такие многообразия называют квазимодельными (см. [5]).

В §2.2 показано, что для дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельном многообразии необходимо и достаточно, чтобы условие следствия 11.1 было выполнено на каждом конце этого многообразия.

Этот результат имеет следствие, форма которого позволяет увидеть, что на квазимодельных многообразиях достаточное условие дискретности Р. Брукса (см. [3]) следует из нашего результата.

Следствие 13.1. Оператор Лапласа — Бельтрами — Д на квазимодельном многообразии М имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного объёма выполнено условие

а на всех концах бесконечного объема — условие

В §2.3 рассматривается весовое квазимодельное многообразие М. Считаем, что плотность борелевской меры заданной на этом многообразии, такова что на каждом конце Их её плотность имеет вид ТЧГ)'?1№)' "1?к{Щс)- Показано, что на таких многообразиях все результаты §2.2 остаются верными без каких-либо изменений, только объёмы и ёмкости заменяются своими весовыми аналогами. В формулировке полагаем

Теорема 15. Оператор Лапласа — Бельтрами — Д на квазимодельном весовом многообразии (Л/, д) имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда на каждом его конце конечного весового объёма

выполнено условие

ад\д(г))

jjm 'il_

r->oo сар^ (Д(1),Д(г))

а на всех концах бесконечного весового объёма — условия саря £,(1) >0 и

Г-.00 сар^ В,(г)

Сформулируем теперь критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера

на квазимодельных многообразиях, наложив некоторые условия на потенциал и метрику многообразия. Далее везде считаем, что существует некоторая К = const, такая что с(г) ^ —К, и, кроме того, с(г) — абсолютно интегрируема во всяком конечном интервале. Получению этого критерия посвящен четвертый параграф этой главы.

Пусть, сначала, D — простое искривленное произведение порядка такое что коэффициенты его метрики — положительные на R+ функции. Напомним, что dimS, = п, и обозначим

Ыг)) '

Для формулировки следующего результата нам потребуется еще одно обозначение:

где вторую производную функции s(r) в возможных точках разрыва доопределяем её пределом справа.

Теорема 16. Если F(r) > —С (С = const > 0), то для дискретности спектра оператора Шрёдингера L на многообразии D необходимо и достаточно, чтобы для произвольного и) > 0 выполнялось

Для квазимодельного многообразия М условие теоремы 16 должно быть выполнено на каждом конце этого многообразия.

В §2.5 исследуется вопрос сохранения дискретности спектра при преобразовании метрики простого искривленного произведения D. Предположим, что метрика д многообразия D претерпевает преобразование, задаваемое матрицей следующего вида:

Здесь 6t(r) — гладкие положительные функции, а ЕПг — единичные матрицы щ х щ. Обозначим 2(г) = detcr(r) = S§(r)Sfni(r) ■

Оператор Лапласа — Бельтрами при таком изменении метрики преобразуется следующим образом.

Теорема 20. Спектр оператора - Д дискретен тогда и только тогда, когда выполнена одна из групп условий:

I)

II)

Пусть теперь матрица удовлетворяет следующим условиям для некоторой константы для всех

и а~п ^ Е ^ ап. Тогда эта матрица описывает квазиизометрическое

или

преобразование метрики. Сравнивая условия теорем И и 20, нетрудно увидеть, что спектр оператора Лапласа — Бельтрами остается дискретным при преобразовании метрики описанного типа. Следствие 20.1. Если на многообразии D оператор Лапласа — Бельтрами — Д имел дискретный спектр, то при квазиизометричном изменении метрики многообразия D диагональной матрицей ||<т(г)|| спектр оператора Лапласа — Бельтрами — Д останется дискретным. Аналогично, недискретный спектр останется недискретным. Результаты второй главы опубликованы в работах [7]—[11], [13]—[16].

Литература

[1] Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff Geom. - 1979 - V. 14 - p. 41-57.

[2] Берже М., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variété Riemannienne - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. - 251p. - (Lecture Notes in Math.; V. 194)

[3] Брукс Р. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z. - 1981 - V. 178 - p. 501-508.

[4] Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов - М.: Физмат-гиз, 1963. - 339с.

[5] Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимодельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализа и теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград - Изд-во ВолГУ, 2002. - с. 94-124.

[6] Наймарк М А. Линейные дифференциальные операторы - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. - 352с.

- 1 3 -

Список работ, опубликованных по теме диссертации-

[7] Светлов А.В. Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида // VI межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области (г. Волгоград, 13.11—16.11 2001г.). Тез. докл. - 2002 - Вып.4: Физика и математика - с. 61-63.

[8] Светлов А.В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения -2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань, 2001. - с. 57-58.

[9] Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 2002. - с. 188-189.

[10] Светлов А.В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова: Тез. докл. -Новосибирск, 2002. - с. 65-66.

[11] Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. - 2002 - Т. 43, № 6 - С. 1362-1371.

[12] Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенных произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика -2002 - вып. 7 - с. 12-19.

[13] Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида // VII межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области (г. Волгоград, 12.11-15.11 2002г.). Тез. докл. - 2003 - Вып.4: Физика и математика - с. 57.

[14] Светлов А.В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19 (Теория функций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции - Казань, 2003. - с. 192-193.

[15] Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. - Изд-во инст. математики - 2003 - с. 376-383.

[16] Светлов А.В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. - Волгоград, 2004. - с. 162-163.

04"1459 1

Подписано в печать 23.07.2004 г. Формат 60 >^4/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 195.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, ул. 2-я Продольная, 30.

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Светлов, Андрей Владимирович

Введение

1 Эллиптические операторы на искривленных произведениях

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Дискретность спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на искривленных римановых произведениях

2 Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях

2.1 Оператор Лапласа — Бельтрами на простых искривленных произведениях порядка к.

2.2 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях. Примеры.

2.3 Спектр оператора Лапласа — Бельтрами на весовых квазимодельных многообразиях

2.4 Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера

2.5 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики

 
Введение диссертация по математике, на тему "О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях"

Настоящая работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами А = —divV (1) и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера

L = —divV-f- с (2) на многообразиях специального вида.

Спектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Более того, многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике, где, например, гамильтониан — это неограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Непрерывный спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе.

В Rn задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают известные монографии М.А. Наймарка [27] и И.М. Глазмана [9]. Среди этих результатов отметим здесь только лишь критерии дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля в R1, принадлежащие A.M. Молчанову [25], И.С. Кацу и М.Г. Крейну [16] — эти критерии мы используем при изучении спектров упомянутых операторов на многообразиях и их точные формулировки будут приведены ниже.

Что касается римановых многообразий, то первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [3]. В частности, хорошо известно, что спектр лапласиана на компактном римановом многообразии непременно дискретен, первое собственное число равно нулю и оно всегда имеет единичную кратность.

Первые исследования спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относятся к 70-м годам. Перечислим здесь некоторые результаты.

• Х.П. МакКин [23], С.Т. Яу [49] получили нижнюю оценку инфи-мума спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С.Я. Ченг [45].

• М. Пински [28] указал двусторонние оценки инфимума спектра оператора Лапласа — Бельтрами и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили X. Доннелли и П. Ли [12].

• В. Мюллер [26] исследовал структуру спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с концами. Заметим, что многообразия, рассмотренные им, являются частным случаем квазимодельных многообразий, рассматриваемых в нашей работе.

• А. Бейдер [2] доказал критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на искривлённых римановых произведениях. Его результаты мы опишем подробнее немного ниже.

• Р. Брукс [5], [6] получил двусторонние оценки точной нижней грани Aqss непрерывной части спектра. Из этих оценок легко можно получить достаточное условие дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии. Ниже мы приведём результаты Р. Брукса и исследуем их связь полученным нами критерием.

• В.А. Кондратьев, М.А. Шубин [17] нашли условия дискретности спектра оператора Шрёдингера на многообразиях ограниченной геометрии.

• Ж. Шен [48] получил критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера в терминах поведения потенциала на бесконечности. При этом, правда, накладываются достаточно жёсткие условия на геометрию многообразия (которые, впрочем, выполнены на всяком многообразии ограниченной снизу кривизны Риччи) и сам потенциал. Ниже мы опишем их подробнее и обсудим их в сравнении с нашим результатом.

По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и структурой спектра эллиптических операторов на этих многообразиях. Следующие результаты диссертации являются новыми:

1. Доказан критерий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях. Результат является обобщением аналогичного критерия А. Бей-дера [2] для оператора Лапласа — Бельтрами.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Показано обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Исследован вопрос сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специальным образом.

Методы, использованные для получения представляемых результатов являются стандартными методами теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001-2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2001-2004гг.). Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Миклюков).

Исследовательская работа, представленная на научную конференцию профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ВолГУ (2001г.), отмечена дипломом I степени; работа «Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида» удостоена поощрительной премии по направлению «Физика и математика» на VI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2001г.); работа «О спектре оператора Лапласа — Бельтрами» награждена дипломом за лучший доклад на «Лобачевских чтениях - 2001»; исследование, представленное на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2002г.), отмечена дипломом II степени; работа «Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида» на VII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2002г.) удостоена диплома I степени; работа «О дискретности спектра оператора Шрёдингера», представленная на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2003г.), по направлению «Математика» награждена дипломом I степени. Некоторые из представляемых результатов были получены автором в ходе работ по гранту РФФИ проект № 03-01-00304.

Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. В первой главе вводятся основные определения и формулируются известные ранее результаты, используемые в работе. Представляются также обобщения некоторых из известных фактов, также полезные в дальнейшем. Кроме того, в этой же главе доказываются критерии дис

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Светлов, Андрей Владимирович, Волгоград

1. Агмон С. (Agmon S.) Lectures on elliptic boundary value problems - Van Nostrand, 1965. - 242p.

2. Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff.Geom. 1979 - V. 14 - p. 41-57.

3. Берже M., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variete Riemannienne Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. - 251p. - (Lecture Notes in Math.; V. 194)

4. Богачев В.И., Рёкнер М. Об LP-единственности симметричных диффузионных оператров на римановых многообразиях // Мат. сб. 2003 - т. 194, № 7 - с. 15-24.

5. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian 11 Math. Z. 1981 - V. 178 - p. 501-508.

6. Брукс P. (Brooks R.) On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984 - V. 187 - p. 425-432.

7. Гафни M. (Gaffney M.) The harmonic operator for exterior differential forms // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1951 - V. 37 -p. 48-50.

8. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: пер. с англ. М.: Наука, 1989. - 464с.

9. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов -* М.: Физматгиз, 1963. 339с.

10. Григорьян А.А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых мноообразиях // Мат. сб. -1985 Т. 128, № 3 - с. 354-363.

11. Григорьян A.A. (Grigor'yan A.A.) Analytic and geometricbackground of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bulletin of Amer.Math.Soc. -1999 V. 36 - p. 135-249.

12. Доннелли X., Ли П. (Donnelly H., Li P.) Pure point spectrum and negative curvature for non-compact manifolds / f Duke Math.J. -1979 V. 46 - p. 497-503.

13. Донскер М.Д., Варадхан C.P.C. (Donsker M.D., Varadhan S.R.S.) On variational formula for principal eigenvalue for operators with maximum principle // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1975 - V. 72 -p. 780-783.

14. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic щ operators // Bull. London Math. Soc. 1985. - V. 17, N 5.p. 417-436.

15. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967. - 430 с.

16. Кац И.С., Крейн М.Г. Критерий дискретности спектра сингулярной струны // Изв.вузов. Математика 1958 - № 2(3) -с. 136-153.

17. Кондратьев В.А., Шубин М.А. (Kondratev V., Subin М.) Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators onmanifolds of bounded geometry Operator theory: Advances and Applications - 1999 - V. 110 - p. 185-226.

18. Кузьминов В.И., Шведов И.А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996 - Т. 37, № 2. -с. 324-337.

19. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля иДирака М.: Наука, 1988. - 432с.

20. Лосев А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998 -т. 39, № 1. - с. 87-93.

21. Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимо-т дельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализаи теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград Изд-во ВолГУ, 2002. - с. 94-124.

22. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях // Алгебра и анализ 2001 - т. 13, вып. 1 - с. 84-110.

23. МакКин Х.П. (McKean Н.Р.) An upper bound for the spectrum ofД on a manifold of negative curvature // J.Diff.Geom. 1970 -V. 4 - p. 359-366.

24. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными: пер. с япон. М.: Мир, 1977. - 504с.

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряжённых дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Моск.Матем.Об-ва 1953 - № 2 - с. 169-200.

26. Мюллер В. (Muller W.) Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math.Nachr. 1983V. Ill p. 197-288.

27. Позняк Э.Г., Шикин E.B. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384с.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фит зики: Т. 1. Функциональный анализ, пер. с англ.: в 4 т.М.: Мир, 1977. 360с.

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость, пер. с англ.: в 4 т. М.: Мир, 1978. - 400с.

30. Садовничий В.А. Теория операторов М.: Дрофа, 2001. - 384с.

31. Саймон Б. (Simon В.) Essential self-adjointness of Schrddingeroperators with singular potentials // Arch.Rational Mech.Anal. -1973 V. 52 - p. 44-48.

32. Салоф-Косте Jl. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. No 36, p. 417-450.

33. Светлов А.В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения 2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань, 2001. - с. 57-58.

34. Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Лапласа —Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2002. - с. 188-189.

35. Светлов А.В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова: Тез. докл. Новосибирск, 2002. - с. 65-66.

36. Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. 2002 - Т. 43, № 6 - С. 1362-1371.

37. Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенныхФ произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика 2002 - вып. 7 - с. 12-19.

38. Светлов А.В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19 (Теорияфункций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции Казань,2003. с. 192-193.

39. Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. -Изд-во инст. математики 2003 - с. 376-383.

40. Светлов А.В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. Волгоград, 2004. -с. 162-163.

41. Шехтер M. (Schechter M.) Spectra of partial differential operators Amsterdam: North-Holland, 1971. - 295p.

42. Шен Ж. (Shen Z.) The spectrum of Schrodinger operatorswith positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. of Amer.Math.Soc. 2003 - V. 131, N. 11 - p. 3447-3456.

43. Яу С.Т. (Yau S.T.) Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann.Sci.Ecole Norm.Sup. -1975 V. (4) 8 - p. 487-507.