Эллиптические уравнения на квазимодельных римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛОСЕВ АЛЕКСАНДР ГЕОРГИЕВИЧ

р^^/гЛ^^ 'г

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА КВАЗИМОДЕЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

(01.01.02. - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Официальные оппоненты:

чл.-корреспондент РАН П.И.Плотников

доктор физико-математических наук В.А.Кондратьев

доктор физико-математических наук А.П.Копылов

Ведущая организация: Казанский государственный университет

Защита состоится ..^.^.^.^...Л^йРт. в ./^Г час. на заседании

диссертационного совета Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, Академгородок, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета \yjpw) В.С. Белоносов

оз

А. Общая характеристика работы

По своей проблематике диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа: теории уравнений в частных производных, теории функций, теории потенциала на римановых многообразиях и геометрии "в целом". Основным объектом исследования является весовой (в частности, обычный) оператор Лапласа-Бельтрами и ассоциированный с ним оператор Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат теории уравнений в частных производных и теории функций.

Актуальность темы. Исторические сведения. В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией уравнений в частных производных эллиптического типа второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: Л. Альфорса, М. Андерсона, С.Н. Бернштейна, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, В.А. Зори-ча, В.А. Кондратьева, А.П. Копылова, Е.М. Ландиса, П. Ли, О. Мартио, В.М. Миклюкова, Н.С. Надирашвили, O.A. Олейник, Ю.Г. Решетняка, Л. Сарио, Д. Сулливана, В.Г. Ткачева, H.H. Уральцевой, С.Т. Яу и ряда других авторов.

Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных классов на поверхностях и развитой в работах Л. Альфорса, А. Бейрлинга, Л. Сарио и других математиков. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического (гиперболического) типа является выполнение (не выполнение) для них теоремы Лиувилля, утверждающей, что всякая положительная супергармоническая функция на данной поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство служит основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на рима-новы многообразия размерности выше двух. А именно, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.

К числу одного из первых эффективных геометрических результатов в

определении типа риманова многообразия относится теорема С.Я. Ченга и С.Т. Яу [20], утверждающая, что полное многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее, чем R2 при R -» оо. Однако, существуют многообразия параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.

В работе [3] A.A. Григорьян доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия М эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта в М равна нулю. Заметим, что емкостная техника широко применялась и применяется в теории уравнений с частными производными и теории функций (см. работы Кондратьева В. А., Ланди-саЕ. М., ЛандкофаН. С., Мазьи В. Г., РешетнякаЮ. Г. и др.). Например, на основе емкостной техники получено обобщение параболичности типа для нелинейного уравнения

Ари = div(|Vu|p_2Vu) = 0.

Получению различных условий параболичности в терминах таких геометрических характеристик, как рост объема геодезического шара, изо-периметрические функции и т.д., посвящены работы A.A. Григорьяна, В.А. Зорича, П. Ли, В.М. Миклюкова, Дж. Милнора и других.

Вопросы существования нетривиальных гармонических и супергармонических функций естественным образом приводят к теоремам типа Ли-увилля. Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в R" функция является тождественной постоянной. Хорошо известна справедливость следующих утверждений, носящих название теорем типа Лиувилля.

1. Если гармоническая функция hbR" имеет конечный интеграл Дирихле, то и = const.

2. Если и е //(R") является гармонической функцией и 1 < р < оо, то и = 0.

3. Если функция и — гармоническая в R" и удовлетворяет неравенству |u(a;)| < С(1+|х|)гп, той — гармонический полином степени не превышающей т.

В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено

(Л, £)-лиувиллево свойство, если любое решение уравнения Ьи = 0, принадлежащее функциональному классу А, является тождественной постоянной.

Данным вопросам посвящен ряд математических работ. В [21] показано, что на полном римановом многообразии М любая неотрицательная ^-субгармоническая функция, где р 6 (1,оо), является конс'ап-той. В [12] доказано, что на полных односвязных римановых многобр-азиях неположительной секционной кривизны, а также полных мн,го-образиях неотрицательной кривизны Риччи любая неотрицательная£^-субгармоническая функция, где р 6 (0, оо), является константой. 1ам же приведены примеры многообразий, содержащих нетривиальную^3-гармоническую функцию и нетривиальную /^-гармоническую функщо, где р е (0,1).

Как уже говорилось выше, всякая гармоническая функция в П.", ино-щая конечный интеграл Дирихле, является константой, то есть выложена так называемая 1)-лиувиллева теорема. С другой стороны, сущеа_у-ют многообразия, содержащие нетривиальные гармонические фунт и с конечным интегралом Дирихле. Заметим, что по теореме Альф-с а, существование нетривиальной гармонической функции с конечными а-тегралом Дирихле влечет существование ограниченной нетривиалзо и гармонической функции.

В [4] прив&ен критерий существования на римановом многообр:и и нетривиальной ограниченной гармонической функции с конечным!и-тегралом Дирихле, а также метод нахождения размерности прострагтп таких функций. Заметим, что при квазиизометрических преобразовяи-ях (то есть диффеоморфизмах, изменяющих риманову метрику не баее, чем в константу раз) равенство емкости нулю сохраняется. Поэтом] понятие параболичности является инвариантом квазиизометрических 1ре-образований. В [4] доказано, что если римановы многообразия М\ I Л/Г% квазиизометричны, то выполнение -О-лиувиллевой теоремы на ^влечет выполнение 1)-лиувиллевой теоремы на М^. Заметим (см. [И]),что, вообще говоря, лиувиллево свойство для ограниченных гармониче:ких функций не сохраняется при квазиизометричных изменениях метрики. С другой стороны, существуют многообразия, которые при квазшзо-метричных изменениях метрики сохраняют лиувиллево свойство дли ограниченных гармонических функций.

Теоремам типа Лиувилля на римановых многообразиях посвящены

монография JI. Сарио, М. Накаи, Ш. Вонга и Л.О. Ченга [18], обзоры

A.A. Григорьяна [6], С.Т. Я у [22], а также многочисленные работы ряда других математиков.

Вместе с тем, класс полных многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно обширен. В последнее время наметилась тенденция к более общему подходу к теоремам типа Лиувилля, а именно, оцениваются размерности различных пространств гармонических функций. Так, например, в [7] показано, что если риманово многообразие М имеет неотрицательную кривизну Риччи вне некоторого компакта, то пространство ограниченных гармонических функций на нем имеет конечную размерность.

Данным вопросам посвящены работы A.A. Григорьяна, Г. Доннелли, Т.Х. Колдинга, П. Ли, В.П. Миникоззи II, Л.Ф. Тама.

Достаточно серьезный интерес вызывают вопросы разрешимости задачи Дирихле. Вообще говоря, на произвольном некомпактном римано-вом многообразии поставить задачу Дирихле о восстановлении гармонической функции по граничным данным на "бесконечности" достаточно затруднительно. Однако, в некоторых случаях геометрическая компак-тификация многообразия позволяет сделать это. В [2] и [19] доказано, что для односвязного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны sect М, удовлетворяющей условиям

-Ь2 < sect М < -а2 < О, *

существует геометрическая компактификация, добавляющая сферу на бесконечности 5(оо), и более того, на М = М U S(oo) разрешима задача Дирихле для непрерывных граничных данных на S(оо).

Вопросам разрешимости задачи Дирихле на различных многообразиях посвящены работы А. Анконы, М. Мураты, С.Я. Ченга, X. И. Чоя, Р. Шёна, С.Т. Яу и других математиков.

В работах A.A. Григорьяна, П. Ли, М. Мураты, Н.С. Надирашвили,

B. Хансена, С.Т. Яу и ряда других математиков решались аналогичные задачи для линейных уравнений, более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами. В частности, рассматривались различные множества решений стационарного уравнения Шрёдингера

Ли - с(х)и = 0, (1)

где с(х) — гладкая неотрицательная функция.

6

Так как в случае с(х) ф 0 ненулевая постоянная не является решением уравнения (1), то и теорема Лиувилля для него формулируется несколько иначе.

Будем говорить, что на многообразии М выполнено лиувиллево свойство для ограниченных решений уравнения (1), если любое такое решение есть тождественный нуль.

Известно (см. [8]), что существование ненулевого ограниченного решения уравнения (1) при с(х) = const > 0 эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия (многообразие стохастически полно, если стохастический процесс на нем имеет бесконечное время жизни). С другой стороны, выполнение лиувиллева свойства для решений уравнения (1) при с(х) 6 СЦ°(М) эквивалентно параболичности типа (см. [5]).

Значительный интерес вызывает изучение поведения решений эллиптических уравнений на искривленных римановых произведениях и, в частности, на сферически-симметричных многообразиях, которые также называют модельными многообразиями. Данным вопросам посвящены работы Л. Альфорса, В.М. Гольдштейна, В.А. Клячина, В.И.Кузьминова, В.М. Миклюкова, Дж. Милнора, М. Мураты, К. Холопайнена, И.А. Шведова и других математиков.

Таким образом, качественная и асимптотическая теория решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера представляет собой активно развивающуюся область исследований благода-" ря богатым связям с такими разделами анализа, как нелинейная теория потенциала, геометрия "в целом", теория стохастических процессов на римановых многообразиях и др.

Цель работы. Целью работы является исследование поведения решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на классе некомпактных римановых многообразий, обобщающих искривленные римановы произведения (и, в частности, сферически-симметричные многообразия).

В качестве модельного примера для построения общей теории и выявления ее главных направлений, как правило, используется теория гармонических (субгармонических) функций в евклидовом пространстве R".

С общей точки зрения, представляет особый интерес выявление такого класса некомпактных римановых многообразий, который, с одной

стороны, включал бы в себя евклидово пространство, гиперболическое пространство, и все пространства со сферически-симметричной метрикой (далее — модельные многообразия), и, с другой стороны, для которого существовала бы возможность построения достаточно полной и законченной теории указанных ранее операторов и их обобщений. Необходимость построения такой теории прежде всего диктуется наличием общего подхода к постановке классических задач теории потенциала и уравнений в частных производных, а также возможностью их полного решения для целого класса многообразий.

В настоящей диссертационной работе вводится класс римановых многообразий, обобщающих как модельные многообразия, так и искривленные римановы произведения, и, на основе спектральных свойств таких многообразий, получена законченная качественная теория решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на них. При этом важно отметить, что технические средства для построения данной теории (в частности, описание спектральных свойств) позволяют рассматривать класс задач, далеко выходящий за пределы настоящей диссертационной работы.

Другой важной особенностью введенного класса многообразий является его обширность, позволяющая конструировать ряд контрпримеров к теории уравнений в частных производных на некомпактных римановых многообразиях, а также предугадывать возможные пути и направления анализа на римановых многообразиях.

Методика исследования. В работе широко применяется емкостная техника оценок решений уравнений Лапласа-Бельтрами и Шрёдингера, метод Фурье и другие методы, относящиеся к теории потенциала и теории уравнений с частными производными. Применяются также различные теоретико-функциональные, дифференциально-геометрические и другие методы исследований.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе заложены основы построения качественной теории линейных эллиптических операторов, ассоциированных с оператором Лап-ласа-Бельтрами, на классе римановых многообразий с концами изомет-ричными скрещенным произведениям (далее — квазимодельные многообразия), обобщающих класс модельных многообразий. В рамках данной теории, на основе предложенных автором методов, получены следующие результаты.

Впервые получен ряд точных результатов, относящихся к теоремам типа Лиувилля для гармонических функций (в форме необходимых и достаточных условий выполнимости) и решениям предписанного роста в терминах внутренних характеристик таких многообразий. Также доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдин-гера на квазимодельных многообразиях. Установлена взаимосвязь между лиувиллевым свойством для ограниченных гармонических функций и стохастической полнотой многообразия. Кроме того, получены условия знакопостоянства и условия существования предела на "бесконечности" для решений нелинейного уравнения Шрёдингера с предписанным ростом интеграла Дирихле и предписанным ростом абсолютной величины на многообразиях "трубчатого" типа.

Все упомянутые результаты являются новыми даже для класса модельных многообразий.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории уравнений с частными производными, классификационной теории римановых многообразий, теории потенциала, теории случайных процессов, дифференциальной геометрии, а также в приложениях.

Структура диссертации. Диссертация содержит 188 страниц и состоит из введения, четырех глав и приложения. Главы разделяются на параграфы и пункты с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 112 наименований.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Школе-конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1997 г.), 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 1998 г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения — IX" (Воронеж, 1998 г.), Международной конференции по анализу и геометрии (Новосибирск, 1999 г.); 10-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2000 г.), 4-м Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000 г.); а также в разное время на научных семинарах МГУ (рук. проф. В.А. Кондратьев), ПОМИ (рук. акад. O.A. Ладыженская), ИГ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН В.Н. Мо-

нахов, чл.-корр. РАН П.И. Плотников), и ряде семинаров ИМ СО РАН (рук. акад. М.М.Лаврентьв, акад. Ю.Г. Решетняк, проф. В. С. Белоно-сов, проф. A.M. Блохин, проф. Т. И. Зеленяк, проф. А.П. Копылов, проф. И.А. Тайманов). Все результаты подробно докладывались на семинаре "Геометрический и нелинейный анализ" ВолГУ (рук. проф. В.М. Мик-люков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23] —[37]. Все результаты из совместных статей, изложенные автором в диссертации, получены им самостоятельно.

Охарактеризуем кратко содержание работы.

Первые два параграфа носят вводный характер. В них приводятся некоторые сведения, которые используются в работе, и напоминаются основные понятия римановой геометрии. Определяется оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях и на весовых римановых многообразиях, излагаются определения емкости конденсатора и функции Грина риманова многообразия, а также приводится понятие параболичности типа римановых многообразий. Кроме того, вводится понятие скрещенного произведения и дается явный вид оператора Лапласа-Бельтрами на различных скрещеных произведениях. Также приведены асимптотические оценки для собственных значений и собственных функций ассоциированного эллиптического оператора на компактных римановых многообразиях.

Оставшаяся часть первой главы посвящена изучению асимптотического поведения гармонических функций на квазимодельных римановых многообразиях.

Рассмотрим тройки ,/,), где г = 1, • • •, к, Si — компактное ри-

маново многообразие без края (далее — замкнутое многообразие), d&f — метрика на 5,-, /; — положительная гладкая функция на 5,-.

Многообразие D будем называть простым скрещенным произведением порядка к, если D изометрично прямому произведению [го, оо) х 5i х • • • х Sk с метрикой

ds2 = п m)dr2 + £ яКг) П /Мие (2)

«=1 ¿=1

Здесь qi(r) — положительные гладкие на [го, со) функции. В случае к = 1, то есть когда D изометрично прямому произведению [го, оо) х S с метри-

кой

й82 = 12{в)<1 г2 + д2(г)^2,

такие многообразия будем называть элементарными скрещенными произведениями.

Многообразия, представимые в виде М = ВИ Их и Б2 и...II £>р, где В — компакт, а Д- — простые (элементарные) скрещенные произведения, будем называть квазимодельными многообразиями (элементарными квазимодельными многообразиями.)

В первой главе исследовано поведение гармонических функций на элементарных скрещенных произведениях и, в частности, получены необходимые и достаточные условия выполнения теоремы Лиувилля и однозначной разрешимости задачи Дирихле на элементарных квазимодельных многообразиях. Кроме того, построена шкала функций, с помощью которых получены точные оценки размерностей пространств гармонических функций предписанного роста.

Во второй главе изучается асимптотическое поведение решений весового стационарного уравнения Шрёдингера на квазимодельных многообразиях. В частности, получены точные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле и выполнения лиувиллева свойства на квазимодельных многообразиях. Кроме того, на основе полученных критериев выполнимости теоремы Лиувилля приводится пример стохастически неполного многообразия, на котором выполнено лиувиллево свойство для ограниченных гармонических функций.

В третьей главе изучается взаимосвязь между теоремами типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях. Установлено, что на элементарных скрещенных произведениях (и, в частности, на модельных многообразиях) из выполнения теоремы Лиувилля для ограниченных гармонических функций следует стохастическая полнота.

Кроме того, здесь же рассматриваются римановы многообразия, представимые в виде прямого произведения Я = МхБ, где М — некомпактное риманово многообразие, а Б — компакт. Показано, что Д является стохастически полным и на нем выполнена теорема Лиувилля для ограниченных гармонических функций тогда и только тогда, когда аналогичными свойствами обладает многообразие М.

В четвертой главе изучается асимптотическое поведение решений нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера на более общих рима-

новых многообразиях "трубчатого" типа.

Найдены достаточные условия знакопостоянства, а также условия существования предела на "бесконечности" для решений нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера с указанным ростом интеграла Дирихле и указанным ростом абсолютной величины.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения и замечания по теме настоящей работы A.A. Гри-горьяну, В.М. Миклюкову, В.Г. Ткачеву и своим коллегам по семинару "Геометрический и нелинейный анализ".

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию. Глава 1 "Гармонические функции на элементарных квазимодельных многообразиях".

В данной главе изучается поведение ограниченных решений уравнения

на элементарных квазимодельных многообразиях, где — весовой оператор Лапласа-Бельтрами. Здесь V и сИу, соответственно, градиент и дивергенция в римановой метрике на М.

Напомним, что каждый конец такого многообразия О — элементарное скрещенное произведение. Наиболее простыми примерами таких многообразий являются евклидово пространство И" (/(в) = 1,д(г) = г), гиперболическое пространство Н™ (/(в) = 1, д(г) = бЬ г), а также все модельные многообразия.

Будем предполагать, что на И выполнено <т(х) = к(в), где Ъ{9) — положительная гладкая функция на 5. Решения уравнения (3) являются гармоническими функциями на соответствующем весовом многообразии. В дальнейшем будем называть их а-гармоническими, если речь идет о решениях на квазимодельном многообразии, и, соответственно, Ь,-гармоническими, если решения рассматриваются только на скрещенном произведении.

Введем обозначение

В. Результаты, выносимые на защиту.

Ааи = <r_1div(<7Vu) = О

(3)

где r0 = const > 0, n = dim M.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.8. Если J = оо, то для любой ограниченной h-гармоничес-кой на D функции u(r, 9) существует предел lim^oc u(г, в), не зависящий от 9.

Теорема 1.10. Если J < оо, то для любых непрерывных на S функций Ф(0) и существует h-гармоническая на D функция u(r, 9) такая, что

«(го,б) = Ф(0) я Шп<г,0) = Ф(0).

Пусть М — полное риманово многообразие, представимое в виде объединения М= B\JD, где В — некоторое, не обязательно компактное множество, a D — элементарное скрещенное произведение. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.11. Пусть риманово многообразие М таково, что на D выполнено J < 00. Тогда для любой непрерывной на S функции Ф(9) существует a-гармоническая функция и такая, что

Hjn иМ) = Ф(0).

Пусть теперь Mi — полное риманово многообразие, представимое в виде объединения М\= B(jD, где В — некоторое компактное множество, a D описано выше. Тогда, опираясь на указанные выше утверждения, доказано, что если J = оо, то на Mi всякая положительная гармоническая функция является тождественной постоянной, а если J < 00, то на М\ однозначно разрешима задача Дирихле. Последнее обобщает результаты, полученные Дж. Милнором [15] для двумерных модельных многообразий, и условия разрешимости задачи Дирихле, полученные М. Муратой [17] для модельных многообразий.

Заметим, что область D имеет параболический тип тогда и только тогда, когда

оо

к = f qx~n{t)dt = 00. то

Последнее доказано в различных вариациях и для различных модельных многообразий рядом авторов (см., например, [1], [15], [17]).

Пусть А* — к-е собственное число заданного на 5 оператора —Ьд, где

и = <И/^г

Обозначим решение уравнения

«2<г) + (п - 1 )^'к(г) - А^г^г) = 0 (4)

с краевыми условиями г^(го) = 0 и о) = 1 через ^(г). В этом случае 4(г) будет монотонно возрастающая и положительная на (го,+оо) функция, а в случае / = оо выполнено 1/.(г) оо при г -> оо. Доказано следующее утверждение.

Теорема 1.12. Пусть М\ — полное непараболическое многообразие, описанное выше, и 3 = оо. Предположим, что Хк-1 < А^ для некоторого к > 1. Тогда размерность пространства всех а-гармонических функций на М\, удовлетворяющих условию

и{г, 0) = о(и(г)) г —> оо ,

равна к.

Последнее утверждение обобщает теорему, доказанную Т.Х. Колдин-гом и В.П. Миникоззи II [10] для конусов.

В случае, когда / = оо, любое решение уравнения (4) г;„(г) с краевым условием ип(го) = 1 в зависимости от значения ^(го) либо стремится к бесконечности, либо стремится к нулю при г оо. Последние будем обозначать е„(г).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.13. Пусть М такое, что J = оо. Если и —о-гармоническая на М функция такая, что для всех п в области И справедливо;

и(г, 9) = о(е„(г)) при г —^ оо,

то 11 = 0.

Кроме того, в первой главе получены точные размерности пространства ограниченных гармонических функций и конуса положительных гармонических функций на элементарных квазимодельных многообразиях.

Результаты первой главы опубликованы в работах [31] и [32], случай гармонических функций на искривленных римановых произведениях в [23] и [25].

Глава 2 "Весовое уравнение Шрёдингера на квазимодельных многообразиях". Во второй главе изучается поведение на D решений уравнения

Lu = cr-1(x)div(cr(a;)Vii) — с(х)и = 0, (5)

где D — простое скрещенное произведение порядка к, то есть изометрич-но прямому произведению [го, оо) xS1xS2---X.Sk (где Sj — замкнутые римановы многообразия) с метрикой (2). Обозначим S = Si х S2 ■ ■. х Sk, а в = (#1,..., 9k). Введем несколько определений.

Будем говорить, что D является L-строго гиперболическим скрещенным произведением порядка (k,s) (0 < s < к), если для любой непрерывной на S функции х(#) и любой непрерывной на S функции Ф(03+1, ...,6k) на D существует решение уравнения (5) такое, что

и(т0,в) = Х(в) и Дти(г,б) = Ф(03+1,...А)-

Будем говорить, что D является L-гиперболическим скрещенным произведением, если для любой непрерывной на S функции х{@) и любой константы С на D существует решение уравнения (5) такое, что

и(го,9)=х(в) и НтиМ) = а

Будем говорить, что D является L-слабо гиперболическим скрещенным произведением, если D имеет непараболический тип, и для любого ограниченного решения уравнения (5) справедливо

lim и(г,в) = 0.

г—>00 v ' '

Заметим, что любое непараболическое скрещенное произведение принадлежит одному из названных выше типов. Последнее следует из полученных в данной главе критериев определения типа скрещенного произведения.

Пусть М — полное риманово многообразие, представимое в виде объединения М— B\JD, где В — произвольная, не обязательно компактная область, а D — простое скрещенное произведение порядка к. Тогда справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.1. Пусть D является L-строго гиперболическим скрещенным произведением порядка (k,s). Тогда для любой непрерывной на S функции ... ,&к) на М существует решение уравнения (5) такое,

что в области D выполнено

\\ти(г,9) = У(еа+и...Л)-

15

Теорема 2.2. Пусть Б является Ь-гиперболическим скрещенным произведением. Тогда для любой константы С на М существует решение уравнения (5) такое, что в области Б выполнено

Далее будем предполагать, что в области Б выполнено

«=1

где Ы(9() и <У(г) — гладкие положительные функции на 5,- и [го, оо). Кроме того, будем предполагать существование таких положительных констант Ах, Ач и такой гладкой положительной функции С1(г), что выполнено неравенство

А1а(г) < с(г,6) < А2С1(г). Пусть сПт Б] — п^. Введем обозначения:

«(0 = «11(*)-?т =

ФУ

°° 1 /1 \ 00-.it \ ОО «

где г0 > 0, з = 1,..., к.

Тогда справедливы следующие утверждения. Теорема 2.3. Пусть в области Б выполнено I < оо и

= оо при } < э, где 0 < э < к,

< оо при } = 5 + 1,■. ., к.

Тогда Б является Ь-строго гиперболическим скрещенным произведением порядка (к, в).

Теорема 2.4. Пусть в области Б выполнено / < оо и .Ту = оо для всех у. Тогда Б является Ь-гиперболическим скрещенным произведением.

16

Теорема 2.5. Пусть в области О выполнено I = оо, К < со. Тогда Б является Ь-слабо гиперболическим скрещенным произведением.

Пусть М — квазимодельное многообразие, то есть полное риманово многообразие, представимое в виде М = В и II Ог и ... II где В — некоторый компакт, а каждая область £>,• — простое скрещенное произведение. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.6. Пусть риманово многообразие М имеет ] Ь-сильно гиперболических концов порядка (к(г), ¡(г)) и т Ь-гиперболических концов, где ] -\-т>1. Тогда для любого заданного набора (Фь...,Ф,-, С}+1,..., С/+т), где = ■ • •, 9к(г)) — непрерывные

на х ... х функции, а С; — произвольные константы, существует единственное ограниченное решение уравнения (5) и(х) такое, что

Нт и(т, 0Ь..., 9т) = Ф;(6>„(0+1,..., 9щ) по Ь-сильно гиперболической области Д порядка (¿(г), з(г')), и

Кт и(г,вь... Ам) = С;

яо Ь-гиперболической области Д-.

Теорема 2.7. Пусть М — квазимолельное многообразие. Тогда на нем выполнено лиувиллево свойство тогда и только тогда, когда оно не содержит Ь-сильно гиперболических концов любого порядка и Ь-гиперболических концов.

Как следствие, получены точные условия выполнения лиувиллева свойства и однозначной разрешимости задачи Дирихле на элементарных квазимодельных многообразиях. Последнее обобщает результаты, полученные Л.А. Каффарелли, В. Литтманом (см. [9]) и М. Муратой (см. [16]) для различных видов уравнения Шрёдингера в евклидовом пространстве.

В качестве следствия к теоремам о разрешимости задачи Дирихле, на простых скрещенных произведениях получены примеры многообразий с одним концом, содержащих бесконечно много линейно независимых ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера, однако, не обладающих свойством разрешимости задачи Дирихле.

С другой стороны, в качестве следствия к теоремам типа Лиувилля для простых скрещенных произведений порядка к, построен пример стохастически неполного многообразия, на котором справедлива теорема Лиувилля для ограниченных гармонических функций. В дальнейшем будем

называть его LNSC-мнотообразие (лиувиллево, но не стохастически полное).

Результаты второй главы опубликованы в работах [28] — [30], [33] — [37]. Пример ¿./VSC-многообразия анонсирован в [24].

Глава 3 "Взаимосвязь теорем типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях". В третьей главе рассматриваются ограниченные гармонические функции и решения уравнения

Аи — ци = 0, (6)

где /х = const > 0, на некоторых римановых многообразиях. В первой части главы исследуется следующий вопрос: на каких многообразиях выполнение теоремы Лиувилля для ограниченных гармонических функций влечет выполнение аналогичной теоремы Лиувилля для уравнения (6), то есть стохастическую полноту. Существование ¿Л^С-многообразия показывает, что это выполнено не всегда.

Доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть на элементарном квазимодельном многообразии М множество положительных гармонических функций имеет конечную размерность. Тогда многообразие М является стохастически полным.

В следующей части главы рассмотриваются несколько иные многообразия. А именно, пусть риманово многообразие R\ представимо в виде прямого произведения Ri = Н х S, где Н — некомпактное риманово многообразие, a S — компакт.

Будем называть многообразие Ь°°-лиувиллевым, если на нем всякая ограниченная гармоническая функция является тождественной постоянной.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пусть риманово многообразие Ri представимо в виде прямого произведения Ri = Н х S, где S — компактное риманово многообразие. Многообразие Ri одновременно является стохастически полным и -лиувиллевым тогда и только тогда, когда Н — стохастически полное и L°°-лиувиллево.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [27], [29].

Глава 4 " Эллиптические уравнения на римановых многообразиях "трубчатого" типа". В четвертой главе рассматриваются более общие многообразия, а именно, римановы многообразия гомеоморфные

18

прямому произведению /2+ на компакт. Предлагаемые методы позволяют изучать на них решения более общих уравнений. В данном случае изучаются асимптотические свойства решений уравнения

Ари — с(х)\и\р~2и = 0, (7)

где

р > 1 и с(х) > 0.

Пусть р(х) — функция исчерпания многообразия М, = {х Е М : р{х) = £} и и С 5(2) — открытое подмножество с непустым краем 81}. Введем следующие характеристики множества {/:

S IV^pYfc /([|Vi^|2 + -f c{x)4?)d8

\JU) = infv————, fxJU) = inf 2--j-,

34 ' Ф J ЩЫв w ; Ф,к + '

где точная нижняя грань берется по всем липшицевым функциям ф Е Cl{U), обращающимся в нуль на 8U и всем h > 0 на U, а символ Vi^ означает градиент ф в метрике S(i). Заметим, что XP(U) — первое собственное число соответствующей краевой задачи для р-лапласиана на U. Кроме того, определим еще две характеристики множества U С 5(f):

Ш N) = inf 1 g Лi{Ui), Hp(U, N) = inf 1 £

где нижняя грань берется по всем открытым, непустым 1/, С U таким, что Ui П Uj = 0 при г ф j. Первая величина, известная под названием TV-средняя фундаментальной частоты, была введена В.М. Миклюковым в работе [13], и в более общей форме в [14]. Если N — 1, то

AP(tf,l)= inf A f ([/'), и fiJU, 1)= inf fiJU').

PV ' U'cVfiVW 4 PV ' U'cU,dU'i9

Вначале исследуется асимптотическое поведение решений уравнения (7) при ограничениях на рост интеграла Дирихле. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 4.1. Пусть и — решение уравнения (7) такое, что limmf exp j - / nP{S(t),2)dt\ J [|Vii|p + c(x)\u\p]dx = 0,

где го = const, B(R) = {i£ M : p(x) < R}. Тогда функция u не изменяет знака на многообразии М.

Следствие 4.1. Пусть и — решение уравнения (7) такое, что

liminf ехр | —сз(р) f Ap(5(i),2)cii| J [|Vu|p + c(x)\u\p}dx = О, I т<> J B(R)

где

max{2^—2—г, 1}, р> 2,

(p-i)'t-

сз(р) =

-Лег, Р<2.

(p-i)V

Тогда функция и не изменяет знака на М.

Теорема 4.2. Пусть и — положительное решение уравнения (7) такое, что

lim inf ехр | — J^ l)d£ j f [|Vu|p + c{x)\uf}dx = 0.

Л_>0° Г° ' B(R)

Тогда функция u имеет предел Итд-^ооИ (конечный или бесконечный).

В третьем параграфе данной главы исследуется асимптотическое поведение решений уравнения (7) при ограничениях на рост абсолютной величины. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 4.6. Пусть и — решение уравнения (7) такое, что

Kmmfexp j-/ /ip(S(i),2)diJ (max\u\p)x

х |сарр(В(Д),Я(аЯ))+ J c{x)dx =0, \ B(aR)

где го = const, а — произвольная константа, большая единицы. Тогда функция и не изменяет знака на М.

Результаты четвертой главы опубликованы в работе [26]. Последняя глава диссертации "Приложение" содержит доказательства вспомогательных утверждений, которые используются для получения основных результатов предыдущих разделов.

Литература

[1] Альфорс JL В. (Ahlfors L. V.) Sur le type d'une surface de Riemann // C.R. Acad. Sci. Paris. 1935. V. 201. P. 30-32.

[2] Андерсон M.T. (Anderson M.T.) The Dirichlet problem at infinity for manifolds with negative curvature //J. Diff. Geom. 1983. v. 18. p. 701722.

[3] Григорьян А. А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых многообразиях // Мат. сб. 1985. Т. 128. N 3. С. 354-363.

[4] Григорьян А. А. О лиувиллевых теоремах для гармонических функций с конечным интегралом Дирихле // Мат. сб. 1987. Т. 132(174). N 4. С. 496-516.

[5] Григорьян А. А. Ограниченные решения уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях // Труды семинара И.Г.Петровского. 1989. N 14. С. 66-77.

[6] Григорьян А.А. (Grigor'yan A.) Analitic and geometric background of recurence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135-249.

[7] Доннелли X. (Donnelly H.) Bounded harmonic functions and positive Ricci curvature // Math.Z. 1986. V. 191. P. 559-565.

[8] Дэвайс E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic operators // Bull. London Math. Soc. 1985. V. 17. N 5. P. 417-436.

[9] Каффарелли Л. А., Литтман В. (Caffarelli L.A., Littman W.) Representation formulas for solutions to Au — и = 0 in Rn // Stud, in PDE. MAA Stud, in Math. 23. Math. Association of America. Washington. 1982. P. 249-263.

[10] Колдинг Т. X., Миникози И В. П. (Colding Т. Н., Minicozzi II V. Р.) Harmonic functions with polynomial growth //J. Diff. Geom. 1997. V. 461. P. 1-77.

[И] Лайнс Т. (Lyons Т.) Instability of the Liouville property for quasi-isometric Riemannian manifolds and reversible Markov chains //J. Diff. Geom. 1987. V. 19. P. 33-66.

[12] Ли П., Шён P. (Li P., Schoen R.) L? and mean value properties of subharmonic functions on Riemannian manifolds // Acta Math. 1984. V. 153. N 3-4. 1984. P. 279-300.

[13] Миклюков В. M. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображениях с ограниченным искажением // Матем. сб. Т. Ill, N 1. 1980. С. 42-66.

Миклюков В. М., Ткачев В. Г. (Miklyukov V., Tkachev V.) Denjoy-Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal surfaces // Comm. Anal, and Geom. 1996. V. 4. N 4. P. 547-587.

Милнор Дж. (Milnor J.) On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic // Amer. Math. Monthly. 1977. V. 84. P. 43-46.

Мурата M. (Murata M.) Structure of positive solutions to (—A + V)u = 0 in Rn. // Duke Math. J. 1986. V. 53. N 4. P. 869-943.

Мурата M. (Murata M.) Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds // Potential Theory, ed. by M. Kishi. 1992. P. 251-259.

Сарио JI., Накаи M., Вонг Ч., Чанг Л. О. (Sario L., Nakai М., Wang С., Chung L. О.) Classification theory of Riemannian manifolds // Lect. Notes Math. 1977. V. 605.

Сулливан Д. (Sullivan D.) The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds // J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 723-732.

Ченг С.Я., Яу C.T. (Cheng S.Y., Yau S.T.) Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications // Comm. Pure and Appl. Math. 1975. V. 28. N 3. P. 333-354.

Яу C.T. (Yau S.T.) Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifolds and their applications to geometry // Ind. Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 659-670.

Яу C.T. (Yau S.T.) Nonlinear analysis in geometry // L'Enseigenement Mathematique. - 1987. V. 33. P. 109-158.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Лосев А. Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв.вузов. Математика. 1991. N 12. С. 15-24.

Лосев А. Г. Об одном контрпримере к теоремам лиувиллева типа // Тез. докл. XII научн. конф. проф.-преп. состава ВолГУ. Волгоград. 1995.

Лосев А. Г. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых многообразий специального вида // Мат.заметки. 1996. Т. 59. N 4. С. 558-564.

Лосев А. Г. Об асимптотическом поведении решений уравнения Дpu — с(х)\и\р~2и = 0 на некомпактных римановых многообразиях. // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1996. N 1. С. 17-25.

[27] Лосев А. Г. О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на рима-новых многообразиях специального вида // Изв.вузов. Математика. 1997. N 10. С. 31-37.

[28] Лосев А. Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб.мат.журн. 1998. Т. 39. N. 1. С. 8490.

[29] Лосев А. Г. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1998. N 3. С. 18-31.

[30] Лосев А. Г. О поведении ограниченных решений уравнения Аи — с(х)и = 0 на римановом многообразии специального вида // Мат.заметки. 1999. Т. 65. N 2. С. 215-221.

[31] Лосев А. Г. (Losev A. G.) Elliptic partial differential equation on the warped products of Riemannian manifolds // Applicable Analysis. 1999. V. 71(1-4). R 325-339.

[32] Лосев А. Г. Гармонические функции на искривленных римановых произведениях // Сборник научных школ ВолГУ. Геометрический анализ и его приложения. 1999. С. 274-287.

[33] Лосев А. Г. Ограниченные решения уравнение Шрёдингера на искривленных римановых произведениях // Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. 2000. С. 81-82.

[34] Лосев А. Г., Мазепа Е. А. О поведении ограниченных решений уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1998. N 3. С. 32-43.

[35] Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях // Изв.вузов. Математика. 1999. N 6(445). С. 41-49.

[36] Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида И ДАН. 1999. Т.367. N 2. С. 166-167.

[37] Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Стационарное уравнение Шрёдингера на римановых произведениях // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1999. N 4. С. 37-51.

0 Введение

1 Гармонические функции на элементарных квазимодельных многообразиях

1.1 Вводные определения.'.

1.2 Собственные функции и собственные значения.

1.3 Лиувиллево свойство для гармонических функций

1.4 Разрешимость задачи Дирихле для гармонических функций

1.5 Гармонические функции, предписанного роста

1.6 Гармонические функции на многообразиях с концами

1.7 Примеры.

Актуальность темы.

В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией уравнений в частных производных эллиптического типа второго порядка, в частности уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: Л. Альфорса, М. Андерсона, С.Н. Бернштейна, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, В.А. Зорича, В:А. Кондратьева, Е.М. Ландиса, П. Ли, О. Мартио, В.М. Миклюкова, Н.С. Надирашвили, O.A. Олейник, Ю.Г. Решетняка, Л. Сарио, Д. Сулливана, В.Г. Ткачева, H.H. Уральцевой, СТ. Яу и ряда других авторов.

Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных классов на поверхностях и развитой в работах Л. Альфорса, А. Бейрлинга, Л. Сарио и других математиков. Из теоремы Ф.Клейна, Н.Кебе и А.Пуанкаре об униформизации (см., например, [94]), в частности, следует, что всякая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из следуюп];их модельных поверхностей:

1. Сфере (поверхность эллиптического типа);

2. Комплексной плоскости (поверхность параболического типа);

3. Единичному диску, или, что то же самое, гиперболической плоскости с ее комплексно аналитической структурой (поверхность гиперболического типа).

Определение эллиптичности типа достаточно просто и заключается в определении компактности поверхности. Значительно больший интерес вызывает задача определения параболического и гиперболического типов. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического (гиперболического) типа является выполнение ,(не выполнение) для них теоремы Лиувилля, утверл<:даюш;ей, что всякая положительная супергармоническая функция на данной поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство служит основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на рима-новы многообразия размерности выше двух. А именно, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.

К числу одного из первых эффективных геометрических результатов в определении типа риманова многообразия относится теорема С.Я. Ченга и СТ. Яу [104], утверждающая, что полное многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее, чем RA' при R оо. Однако, существуют многообразия параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.

В работе [20] A.A. Григорьян доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия М эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта в М равна нулю. Заметим, что вообще емкостная техника широко применялась и применяется в теории уравнений с частными производными и теории функций (см. Кондратьев В. А. [40], Ландис Е. М. [49], Ландкоф Н. С. [52], Мазья В. Г. [76], Решетняк Ю. Г. [89], а также многочисленные работы других математиков). Например, на основе емкостной техники, получено обобщение параболичности типа для нелинейного уравнения

ApU = div(|Vw|A~AV^) = О см., например, [31], [36], [101]).

С проблемой параболичности типа тесно связаны вопросы существования положительной функции Грина оператора Лапласа-Бельтрами. При исследовании данного вопроса получен ряд достаточно интересных. оценок функции Грина на различных многообразиях (см., например, [16], [20], [57], [58], [59]).

Теоретико-функциональный подход к • проблеме параболичности типа римановых поверхностей и многообразий развит в работах Л. В. Альфорса, Л. Сарио, Р. Неванлинны, С. Т. Яу и других математиков (см., например, [2], [3], [85], [112]).

Получению различных условий параболичности в терминах таких геометрических характеристик, как рост объема геодезического шаpa, изопериметрические функции и т.д., посвящены работы A.A. Гри-горьяна, В:А. Зорича, В.М. Кессепьмана, П. Ли, В.М. Миклюкова, Дж. Милнора и других (см. [20]', [31], [36], [55], [78], [80], [92]).

Вопросы существования нетривиальных гармонических и супергармонических функций естественным образом приводят к теоремам типа .Лиувилля. Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в R" функция является тождественной постоянной. Хоропю известна справедливость следующих утверждений, носящих название теорем типа Лиувилля.

1. Если гармоническая функция и в R" имеет конечный интеграл Дирихле, то и = const.

2. Если и G i7(R") является гармонической функцией и 1 < р < оо, то ^ = 0.

3. Если функция и — гармоническая в R" и удовлетворяет неравенству \и{х)\ < С{1 + |ж|)™, то и— гармонический полином степени не превышающей т.

В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено {А, Ь)-лиувиллево свойство, если любое решение уравнения Ьи = О, принадлежавдее функциональному классу Л, является тождественной постоянной.

Данным вопросам посвящен ряд математических работ. В [111] показано, что на полном римановом многообразии М любая неотрицательная LP-субгармоническая функция, где р G (1,оо), является константой. Немногим ранее в [27] было доказано, что на полном рима-новом многообразии неотрицательной секционной кривизны любая неотрицательная LP-субгармоническая функция, где р G [1,оо), является константой. В [56] доказано, что на полных односвязных римано-вых многообразиях неположительной секционной кривизны, а также полных многообразиях неотрицательной кривизны Риччи, любая неотрицательная LP-cyбгapмoничëcкaя функция, где р Е (0,оо), является константой. Там же приведены примеры многообразий, содержащих нетривиальную LA-гapмoничecкyю функцию и нетривиальную Ьл-гармоническую функцию, где р Е (0,1).

Как уже говорилось выше, всякая гармоническая функция в 7?", имеющая конечный интеграл Дирихле, является константой, т.е. выполнена, так называемая, 1)-лиувиллева теорема. С другой стороны, существуют многообразия, содержащие нетривиальные гармонические функции с конечным интегралом Дирихле (см.,например, [42]). Заметим, что по теореме Альфорса (см. [92]) существование нетривиальной гармонической функции с конечным интегралом Дирихле влечет существование ограниченной нетривиальной гармонической функции.

В [21] приведен критерий существования на римановом многообразии нетривиальной ограниченной гармонической функции с конечным интегралом Дирихле, а также метод нахождения размерности пространств таких функций. Ряд утверждений, посвященных вопросам существования нетривиальных гармонических функций с конечным интегралом Дирихле, получен в [106а.

Заметим, что при квазиизометрических преобразованиях (то есть диффеоморфизмах, изменяющих риманОву метрику не более, чем в константу раз) равенство емкости нулю сохраняется. Поэтому поня-. тие параболичности является инвариантом квазиизометрических преобразований. В [21] доказано, что если римановы многообразия Мх и М2 квазиизометричны, то выполенение 1)-лиувиллевой теоремы на Мх влечет выполнение выполенение 1)-лиувиллевой теоремы на Мг. Заме

ТИМ (см. [45]), что, вообще говоря, пиувиплево свойство для ограниченных гармонических функций не сохраняется при квазиизометричных изменениях метрики. С другой стороны, существуют многообразия, которые при квазиизометричных изменениях метрики сохраняют ли-увиллево свойство для ограниченных гармонических функций. Так, в [110] было показано, что на полных многообразиях неотрицательной кривизны Риччи любая положительная гармоническая функция является константой. Позднее, в [91] было показано, что на таких многообразиях' лиувиллево свойство для положительных гармонических функций сохраняется при квазиизометрических изменениях метрики.

Теоремам тина Лиувилля на римановых многообразиях посвящены монография Л. Сарио, М. Накаи, Ш. Вонга и Л.О. Ченга [92], обзоры A.A. Григорьяна [24], СТ. Яу [112], а также многочисленные работы ряда других математиков.

Вместе с тем класс полных многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно обширен. В последнее время наметилась тенденция к более общему подходу к теоремам типа Лиувилля, а именно, оцениваются размерности различных пространств гармонических функций. Так, например, в [28] показано, что если риманово многообразие М имеет неотрицательную кривизну Риччи вне некоторого компакта, то пространство ограниченных гармонических функций на нем имеет конечную размерность. Позднее, в [96] доказано, что на таких многообразиях размерность множества положительных гармонических функций равна числу концов М.

Данным вопросам посвящены работы A.A. Григорьяна, Г. Доннел-ли, Т.Х. Холдинга, П. Ли, В.П. Миникоззи П, Л.Ф. Тама (см., например, [22], [28], [39], [54], [55], [96]).

Достаточно серьезный интерес вызывают вопросы разрешимости задачи Дирихле. Вообще говоря, на произвольном некомпактном ри-мановом многообразии поставить задачу Дирихле о восстановлении гармонической функции по граничным данным на "бесконечности" достаточно затруднительно. Однако в некоторых случаях геометрическая компактификация многообразия позволяет сделать это. В [5] и 95] доказано, что односвязное риманово многообразие отрицательной секционной кривизны sect М, удовлетворяющей условиям

-Ьл < sect М < -ал < О, содержит бесконечно много линейно независимых ограниченных гармонических функций. Точнее, для М существует геометрическая компактификация, добавляющая сферу на бесконечности 5(00) и доказано, что на М = Ми 5(00) разрешима задача Дирихле для непрерывных граничных данных на 5(оо). Более точное описание пространства гармонических функций на многообразиях отрицательной секционной кривизны (в терминах границы Мартина) предъявлено в [6'.

В [107] была доказана разрешимость задачи Дирихле на сферически-симметричных многообразиях с секционной кривизной, не превышающей — j.2^gj. вне некоторого компактного множества.

Вопросам разрешимости задачи Дирихле на различных многообразиях посвящены работы А. Анконы, М. Мураты, С.Я. Ченга, X. И. Чоя, Р. Шёна, СТ. Яу и других математиков (см., например, [4], [6], [83], 103], [107], [109]).

В работах A.A. Григорьяна, П. Ли, М. Мураты, Н.С. Надирашвили, В. Хансена, СТ. Яу и ряда других математиков (см. [23] - [26], [51], 57], [84]) решались аналогичные задачи для линейных уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами. В частности, рассматривались различные множества решений стационарного уравнения

Шрёдингера

Ли - с{х)и = О, (0.1) где с{х) — гладкая неотрицательная функция.

Так как в случае с{х) ф О ненулевая постоянная не является решением уравнения (0.1), то и теорема Лиувилля для него формулируется несколько иначе.

Будем говорить, что на многообразии М выполнено лиувиллево свойство для ограниченных решений уравнения (0.1) {Ь°°-лиувиллево свойство), если любое такое решение есть тождественный нуль.

Известно (см. [29]), что суп];ествование ненулевого ограниченного решения уравнения (0.1) при с{х) = const > О эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия (многообразие стохастически полно, если стохастический процесс на нем имеет бесконечное время жизни). С другой стороны, выполнение лиувиллева свойства для решений уравнения (0.1) при с{х) £ cq°{M) эквивалентно параболичности (см. [23]).

Значительный интерес вызывает изучение поведения решений эллиптических уравнений на искривленных римановых произведениях и, в частности, на сферически-симметричных многообразиях,. которые также называют модельными многообразиями. Данным вопросам посвяш;ены работы Л. Альфорса, В.М. Гольдштейна, В.А. Клячина, В.И.Кузьминова, В.М. Миклюкова, Дж. Милнора, М. Мураты, К. Хо-лопайнена, И.А. Шведова и других математиков (см., например, [2], 19], [37], [82], [101]),.

Таким образом, качественная и асимптотическая теория решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера представляет собой активно развивающуюся область исследований благодаря богатым связям с такими разделами анализа, как нелинейная теория потенциала, геометрия "в целом", теория стохастических процессов на римановых многообразиях и др.

Цель работы. Целью работы является исследование поведения региений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на классе некомпактных римановых многообразий, обобщающих искривленные римановы произведения (и, в частности, сферически-симметричные многообразия).

В качестве модельного примера для построения общей теории и выявления ее главных направлений, как правило, используется теория гармонических (субгармонических) функций в евклидовом пространстве КА.

С общей точки зрения представляет особый интерес выявление такого класса некомпактных римановых многообразий, который, с одной стороны, включал бы в себя евклидово пространство, гиперболическое пространство, и все пространства со сферически-симметричной метрикой (далее — модельные многообразия), а с другой стороны, для которого существовала бы возможность построения достаточно полной и законченной теории указанных ранее операторов и их обобщений. Необходимость построения такой теории прежде всего диктуется наличием общего подхода к постацовке классических задач теории потенциала и уравнений в частных производных, а также возможностью их полного решения для целого класса многообразий.

В настоящей диссертационной работе вводится класс римановых многообразий, обобщающих как модельные многообразия, так и искривленные римановы произведения и, на основе спектральных свойств таких многообразий, получена достаточно законченная качественная теория решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на них. При этом важно отметить, что технические средства для построения данной теории (в частности, описание спектральных свойств) позволяют рассматривать класс задач, далеко выходящий за пределы настоящей диссертационной работы.

Другой важной особенностью введенного класса многообразий является его обширность, позволяющая конструировать ряд контрпримеров к теории уравнений в частных производных на некомпактных ри-мановых многообразиях, а также предугадывать возможные пути и направления анализа на римановых многообразиях.

Методика исследования.

В работе широко применяется емкостная техника оценок решений уравнений Лапласа-Бельтрами и Шрёдингера, метод Фурье и другие методы, относящиеся к теории потенциала и теории уравнений с частными производными. Применяются также различные теоретико-функциональные, дифференциально-геометрические и другие методы исследований.

Научная новизна и практическая значимость.

В настоящей диссертационной работе заложены основы построения качественной теории линейных эллиптических операторов, ассоциированных с оператором Лапласа-Бельтрами, на классе римановых многообразий с концами изометричными скрещенным произведениям (далее — квазимодельные многообразия), обобщающих класс модельных многообразий. В рамках данной теории, на основе, предложенных автором методов, получены следующие результаты.

Впервые получен ряд точных результатов, относящихся к теоремам типа Лиувилля для гармонических функций (в форме необходимых и достаточных условий выполнимости) и решениям предписанного роста в терминах внутренних характеристик таких многообразий. Также доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для уравнения'Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на квазимодельных многообразиях. Установлена взаимосвязь между лиувилпевым свойством для ограниченных гармонических функций и стохастической полнотой многообразия. Кроме того, получены условия знакрпостоянства и условия сугцествова-ТТШ предела на "бесконечности" для решений нелинейного уравнения Шрёдингера с предписанным ростом интеграла Дирихле и предписанным ростом абсолютной величины на многообразиях "трубчатого" типа.

Все упомянутые результаты являются новыми даже для клгюса модельных многообразий.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение как в самой математике (теория уравнений с частными производными, классификационная теория ри-мановых многообразий, теория потенциала, теория случайных процессов, дифференциальная геометрия), так и в приложениях.

Структура диссертации. Диссертация содержит 188 страниц и состоит из введения, четырех глав и приложения. Главы разделяются на параграфы и пункты с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 112 наименований.

4.4 Заключение

Значительное количество задач, исследуемых в теории уравнений с частными производными, обязаны своим происхождением классической теории функции комплексного переменного. К числу таких задач относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств региений и, в частности, с различными вариантами принципа Мс1ксимума для региений в неограниченных областях — так называемыми теоремами тина Фрагмена-Линделёфа (см. [47], [48], [50], [77], 79], [75], [86]).

Данная глава посвягцена распространению теорем типа .Лиувилля и типа Фрагмене-Линделефа на решения нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера. Метод доказательства основывается на специальных оценках интеграла Дирихле с использованием понятия М-средних фундаментальной частоты и близких к ней характеристик. Заметим, что последняя характеристика является подходяш;иал обобщением первого собственного значения задачи Дирихле для оператора .Папласа-Бельтрами. Все полученные утверждения формулируются в терминах, близких к основной частоте множеств, полученных в сечениях многообразия геодезическими сферами.

Первый параграф данной главы в основном посвящен сравнению вновь введенной величины А~,р{8{ф с основной частотой сечений, и носят, в каком-то смысле, вспомогательный характер. Во втором параграфе доказано утверждение, близкое к теореме типа Фрагмена-.Линделёфа для решешш нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера с ограничениями на рост интеграла Дирихле. Данное утверждение также близко к так называемым 1)-лиувиллевым теоремам. В третьем параграфе рассматриваются решения нелинейного стационарного уравнения Шрёдингера с ограничениями на рост аб 156 — солютной величины. Как и вьше, доказаны утверждения, близкие к теореме типа Фрагмена-Линделёфа и ЬА-лиувиллевой теореме.

Основной целью данной главы было расширение класса рассматриваемых многообразий. Однако применяемые методы позволяют рассматривать более широкий класс уравнений, чем линейное стационарное уравнение Шрёдингера.

Глава 5

1. Азенкотт P. (Azencott R.) Behavior of diffusion semi-groups at infinity // Bull. Sec. Math. (France). 1974. V. 102. P. 193-240.

2. Альфорс Л. В. (Ahlfors L. V.) Sur le type d'une surface de Riemann // C.R. Acad. Sci. Paris/1935. V. 201. P. 30-32.

3. Альфорс Л. В., Сарио Л. (Ahlfors L.'V., Sario L.) Riemann surfaces // Princeton math, series 26. Princeton Univ. Press. 1960.

4. Анкона A. (Ancona A.) Negatively curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary // Ann. of Math. 1987. V. 125. P. 495-536.

5. Андерсон M. T. (Anderson M. T.) The Dirichlet problem at infinity for manifolds of negative curvature / / J . Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 701-721.

6. Андерсон M. Т., Шён P. (Andersop M. Т., Schoen R.) Positive harmonic functions on complete manifolds of negative curvature // Ann. of Math. 1985. V. 121. P. 429-461.

7. Баккенбах Э., Беллман P. Неравенства.- М.: Мир. 1965.

8. Бакельман И. Я., Вернер А. П., Кантор Б. Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом".- М.: Наука. 1973.

9. Барлс Ж. (Barles G.) Remarks on uniqueness results of the first eigenvalue of the p-Lapiacian // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 1988. V. IX. N 1. P. 65-75.

10. Береоин Ф. A., Шубин M. A. Уравнение Шрёдингера // M.: МГУ. 1983.

11. БержеМ., Гандюшон П., Мазет Е. (Berger M., Gandushon P., Mazet E.) Le Spectre d'une variété Riemannienne // Lecture Notes in Math. N 194. Springer-Verlag. 1971.

12. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Высшая школа. 1991.

13. Бишоп Р., О'НеЙлл Б. (Bishop R., O'Neill В.) Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 145. P. 1-49.

14. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z, 1981, v. 178, p. 501-508.

15. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства.- Л.: Наука, 1980.

16. Варополос Н. (Varopoulos N.) The Poisson kernel on positively curved manifolds // J. Functional Analysis. 1981. P. 359-380.

17. Варополос H. (Varopoulos N.) Potential theory and diffusion on Riemannian manifolds // Conf. on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund. V. 1, 2. Wadsworth Math. Ser., Wadsworth, Belmont, OA. 1983. P. 821-837.

18. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ.-М.: Наука, 1989.

19. Гопьдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О формуле Кюннета для Ьр-когомологий искривленных произведений // Сиб. мат. жури. 1991. Т. 32. N 5. С 29-47.

20. Григорьян А. А. О существовании положительных решенрш уравнения .Лапласа на римановых многообразиях // Мат. сб. 1985. Т. 128. N 3. С. 354-363.

21. Григорьян А. А. О Лиувиллевых теоремах для гармонических функций с конечным интегралом Дирихле // Мат. сб. 1987. Т. 132(174). N 4. С. 496-516.

22. Григорьян А. А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1987. N 2. С. 30-37.

23. Григорьян А. А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных' римановых многообразиях // Труды семина1эа И.Г.Петровского. 1989. N 14. С. 66-77.

24. Григорьян А. A.(Grigor'yan А.) Analytic and geometric backgroung of recurrence and non-explosion of the brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135249.

25. Григорьян A. A., Надирашвили H. C. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи // Изв.вузов. Математика. 1987. N 5. С. 25-33.

26. Григорьян А. А., Хансен В. (Grigor'yan А., Hansen W.) Liouville property for a Schrodinger operator // Math. Ann. 1998. V. 312. P. 659-716.

27. Грин P. Е., By X. (Greene R. E., Wu H.) Integrals of subharmonic functions on manifolda of non-negative curvature // Invent. Math. 1974. V. 27. P. 265-298.

28. Доннеппи X. (Donnelly H.) Bounded harmonic functions and positive Ricci curvature // Math. Z. 1986. V. 191. P. 559-565.

29. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) properties of second order elliptic operators // Bull. London Math. Soc. 1985. V. 17. N 5. P. 417-436.

30. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) Heat kernel bounds, conservation of probability and the Feller property // J. d'Analyse Math. 1992. V. 58. P. 99-119. '

31. Зоррхч В. A., Кессельман В. М. О конформном типе риманова многообразия // Функ. анализ и его приложения. 1996. Т. 30. N 2. С. 40-55.

32. КасзАе А. (Kasue А.) Harmonic functions with growth conditions on a manifolds of asymptotically non-negative curvature II //Advanced Studies in Pure Mathematics 18-1, 1990. Recent Topics in Differential and Analytic Geometry. P. 283-301.

33. Каздан Л. (Kazdan L.) Parabolicity and the Liouville property on complete Riemannian manifolds // Seminar on New Results in Nonlinear Partial Differential Equations, A Publication of the MaxPlank- Inst, fur Math., Bonn. 1987. P. 153-166.

34. Камке Э. Справочнгпс по обыкновенным дифференциальным уравнениям // М.: Наука. 1965.

35. Каффарелли Л. А., Литтман В. (Caffarelli L.A., Littman W.) Representation formulas for solutions to Au — U = 0 in // Stud.in PDE. MAA Stud, in Math. 23. Math. Association of America. Washington. 1982.- P. 249-263.

36. Кессельман В. М. О римановых многообразиях р-параболического типа // Изв. вузов. Математика. 19,85. N 4. С. 81-83.

37. Клячин В. А., Миклюков В. М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренце-вых произведениях // Мат. сб. 1996. Т. 187. N 11. С. 67-88.

38. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2.: Пер. с англ.-М.: Наука, 1981.

39. Колдинг Т. X., Миникоои П В. П. (Colding Т. Н., Minicozzi II V. Р.) Harmonie functions with polynomial growth / / J . Diff. Geom. 1997. V. 461. P. 1-77.

40. Кондратьев В. A. 0 разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений // Труды Моск. мат. об-ва. 1967. Т. 16. С. 293-318.

41. Крылов П. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёльдера // Пер. с англ.-Новосибирск. Научная книга. 1998.

42. Кузьменко Ю. Т., Молчанов С. А. Контрпримеры к теоремам ли-увиллева типа // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. 1979. N 6. С. 39-43.

43. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1951.

44. Ладылсенская О. А., Уральцева Н. Н. .Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа // М.: Наука. 1967.

45. Лайнс Т. (Lyons Т.) Instability of the Liouville property for quasi-isometric Riemannian manifolds and reversible Markov chains // J. Diff. Geom. 1987. V. 19. P. 33-66.

46. Лайнс Т., Сулливан Д. (Lyons Т., Sullivan D.) Function theory, random paths and covering spaces // J. Diff. Geom. 1984. V. 19. P. 299-323.

47. Лаке П. Д. (Lax P. D.) A Phragment-Lindelof theorem in harmonic analysis and application to some question in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. N 3. P. 361-389.

48. Ландис E. M. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. XVIII. В. 1(109). С. 362.

49. Ли П., Там Л. Ф. (Li Р., Tarn L. F.) Linear growth harmonic functions on a complete manifold // J. Diff. Geom. 1989. V. 29. P. 421-425.

50. Ли П., Там Л. Ф. (Li P., Tam L. F.) Harmonic functions and the structure of complete manifolds / / J . Diff. Geom. 1992. V. 35. P. 359383.

51. Ли П., ШёН P. (Li P., Schoen R.) and mean value properties of subharmonic functions on Riemannian manifolds // Acta Math. 1984. V. 153. N 3-4. 1984. P. 279-300.

52. Ли П., Яу С. Т. :(Li P., Yau S. Т.) On the parabolic kernel of the Schrodinger operator // Acta Math. 1986. V. 156. P. 153-201.

53. Литтман H., Стампакья Ж., Вайнберг Г. Ф. (Liftman N., Stampaccia G., Weinberg H.F.) Regular points for elliptic equations with discontinuos coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa(3). 1963. V. 17. P. 43-77.

54. Лосев A. Г. Гармонические функции на многообразиях отрицательной кривизны // Мат. заметки. 1986. Т.40. N 6. С. 738-742.

55. Лосев А. Г. Некоторые лиувиллевы • теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1991. N 12. С. 15-24.

56. Лосев А. Г. Об одном контрпримере к теоремам лиувиллева типа // Тез. докл. ХП научн. конф. проф.-прей, состава ВолГУ. Волгоград. 1995.

57. Лосев А. Г. Об одном критерии гиперболичности некомпактных римановых многообразий специального вида // Мат. заметки. 1996. Т. 59. N 4. С. 558-564.

58. Лосев А. Г. Об асимптотическом поведении решений уравнения ApU — c(x)\u\p~'^u = О на некомпактных римановых многообразиях. // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1996. N 1. С. 17-25.

59. Лосев А. Г. О взаимосвязи некоторых лиувиллевых теорем на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Математика. 1997. N 10. С. 31-37.

60. Лосев А. Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. N. 1. С. 84-90.

61. Лосев А. Г. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римано-вых многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика.1998. N 3. С. 18-31.

62. Лосев А. Г. (Losev А. G.) Elliptic partial differential equation on the warped products of Riemannian manifolds // Applicable Analysis.1999. V. 71(1-4). P. 325-339.

63. Лосев A. Г. Гармонические функции на искривленных римановых произведениях // Сборник научных школ ВолГУ. Геометрический анализ и его приложения. 1999. С. 274-287.

64. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях // Изв. вузов. Математика. 1999. N 6(445). С. 41-49.

65. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Ограниченные решения зфавнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида // ДАН. 1999. Т. 367. N 2. С. 166-167.

66. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Стационарное уравнение Шрёдингера на римановых произведениях // Вестник ВолГУ. Сер. Математика. Физика. 1999. N 4. С. 37-51.

67. Мазепа Е. А. Задача Дирихле для некоторого класса эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях // Автореферат канд. диссертации. Казань. 2000.

68. Мазья В. Г. О поведении вблизи грайицы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Мат. заметки. 1967. Т. 9. В. 2. С. 209-220.

69. Мазья В. Г. Пространства С.Л.Соболева // Ленинград: .ЛГУ, 1985.

70. Миклюков В. М. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображениях с ограниченным искажением // Матем. сб. Т. 111, N 1. 1980. С. 4266.

71. Миклюков В. М. Некоторые признаки нараболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60. N 4. С. 111-158.

72. Миклюков В. М., Ткачев В. Г. (Miklyukov V., Tkachev V.) Denjoy-Ahlfors Theorem for Harmonie Functions on Riemannian Manifoldsand External Structure of Minimal surfaces ,// Comm. Anal, and Geom. 1996. V. 4. N 4. P. 547-587.

73. Милнор Дж. (Milnor J.) On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic // Amer. Math. Monthly. 1977. V. 84. P. 43-46.

74. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных // М.: Наука. 1983.

75. Мурата М. (Murata М.) Structure of positive solutions to (—A 4-V)u = 0 in // Duke Math. J. 1986. V. 53. N 4. P. 869-943.

76. Мурата M. (Murata M.) Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds // Potential Theory, ed. by M. Kishi. 1992. P. 251-259.

77. Надирашвили H. C. Об одной теореме лиувиллева типа на ри-мановых многообразиях // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40. N 5. С. 259-260.

78. Неванпинна Р. (Nevanlinna R.) Uber die Existenz von Beschrankten Potentialfunktionen auf Flachen von unendlichen Geschlecht // Math. Zeitschrift. 1950. V. 52. P. 599-604.

79. Олейник 0. А., Радкевич E. В. Аналитичность и теоремы типа Фрагмена-Линделефа для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1974. Т. 95(137). С. 130-145.

80. Пинчевер H.(Pinchover У.) On non-existence of any Ло-invariant positive harmonic function, a counter example to Stroock's conjecture // Comm. Partial Differential Equations. 1995. V. 20. P. 1831-1846.

81. Позняк Э. Г., Шикин E. В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство // М.: Изд-во МГУ. 1990.

82. Решетняк Ю. Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными // Сиб. мат. yiiypB. 1969. N 5. С. 1109-1138.

83. Репгетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением // Новосибирск: Наука. 1982.

84. Салофф-Косте Л. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. V. 36. P. 417-450.

85. Сарио Л., Накаи М., Вонг Ч., Чанг Л. О. (Sario L., Nakai М., Wang е., Chung L. О.) Classification theory of Riemannian manifolds // Lect. Notes Math. 1977. V. 605.

86. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике // М.: Наука. 1988.

87. Спрингер Дж. (Springer J.) Введение в теорию римановых поверхностей // Пер. с англ.-М.: ИЛ. 1960.

88. Сулливан Д. (Sullivan D.) The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifold // J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 723-732.

89. Там Л. Ф. (Tam L. F.) Harmonic functions on connected sums of manifolds // Math. Z. 1992. V. 211. P. 315-322.

90. Уракава X. (Urakawa H.) Stability of harmonic maps and eigenvalues of the Laplacian // Trans, of AMS. 1987. V. 301. N 2. P. 557-589.

91. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Пер. с англ.-М.: Мир. 1970.

92. Хасминский Р. 3. (Khas'minskii R. Z.) Ergodic properties of recurrent diffusion prossesses and stabilization of solution to the Cauchy problem for parabolic equation // Theor. Prob. Appl. V. 5. N 2. 1960. P. 179-195.

93. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ // Пер. с англ.-М.: Мир. 1987.

94. Холопайнен И. (Holopainen I.) Solutions of elliptic equations on manifolds with roughly Euclidean ends // Math. Z. 1994. V. 217. P. 459-477.

95. Чавел П., Фелдман E.A. (Chavel I., Feld man E.A.) Modified isoperimetric constants, and large time heat diffusion in Riemannian manifolds // Duke Math. J. V. 64. 1991. N 3. P. 473-499.

96. Ченг С.Я. (Cheng S.Y.) The Dirichlet problem at infinity for nonpositively curved manifolds // Comm. Anal, and Geom. V. 1. 1993. N 1. P. 101-112.

97. Ченг СЛ., Яу СТ. (Cheng S.Y., Yau S.T.) Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications // Comm. Pure and Appl. Math. 1975. V. 28. N 3. P. 333-354.

98. Ченг С.Я., Ли П. (Cheng S.Y., Li P.) Seminar of differential geometry // Ann. of Math. 1982. N 102. P. 22.

99. Ченг С.Я., Там Л. Ф., Ван Я. X. (Cheng S.Y., Tam L.F., Wan Y.H.) Harmonic maps with finite total energy // Proceedings of the AMS. 1996. V. 124. N l.'P. 275-284.

100. Чой X. И. (Choi H. L) Asimptotic Dirichlet problems for harmonic functions on Riemannian manifolds // Trans, of Amer. Math. Soc. 1984. V. 281. N 2. P. 691-716.

101. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука. 1969.