Кратное отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

данилова ольга викторовна

КРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ АБЕЛЯ-ЯКОВИ ДЛЯ

ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧБСКИХ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ярославского государственного университета имени П. Г. Демидова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физико-математических наук, доцент

КРАСНОВ ВЯЧЕСЛАВ АЛЕКСЕЕВИЧ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор

Онищик АРКАДИЙ Львович

кандидат физико-математических наук, доцент

ШЕНДЕРОВСКИЙ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ

Ведущая организация — Ярославский государственный педагогический университет имени К.Д. Ушинского.

Защита диссертации состоится « » астлЛя 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.002.06/при Ярославском государственном университете имени П.Г. Демидова по адресу: 150008, Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова.

Автореферат разослан « »•

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цели работы. Диссертация посвящена геометрии вещественных алгебраических кривых. Исторически вначале рассматривались именно такие кривые. Однако пезамкнутость поля вещественных чисел порождает некоторые трудности в разработке этой темы. С другой стороны, комплексные алгебраические кривые, благодаря замкнутости поля комплексных чисел, были изучены более подробно. Одним из методов изучения комплексных алгебраических кривых является отображение Абеля-Якоби. Это отображение возникло вначале в рамках анализа в связи с изучением эллиптических и абелевых функций, которые, в свою очередь, возникли из эллиптических и абелевых интегралов. В дальнейшем природа возникновения отображения Абеля-Якоби была фактически забыта, хотя классическое его определение по-прежнему дается через интегралы.

Это отображение перебрасывает мостик между геометрией алгебраической кривой и теорией абелевых многообразий. Глобальная теорема Торелли (см. [1]) показывает, что замена алгебраической кривой на ее многообразие Якоби полностью описывает геометрию исходной кривой.

Помимо обычного отображения Абеля-Якоби в комплексной геометрии рассматривается также кратное отображение Абеля-Якоби. Свойства этого отображения тесно связаны с линейными системами дивизоров на кривой. В частности, с помощью этого отображения получается тэта-дивизор ва многообразии Якоби, который исторически определялся с помощью тэта-функций. Особые точки тэта-дивизора играют важную роль в описании специальных линейных систем на кривой. Соответствующие результаты описаны, в частности, в работах Гриффитса Ф., Харриса Дж. [1], Ганнинга P. Ш], Мамфорда

Д. [13}.

Вещественная алгебраическая кривая может быть рассмотрена в двух смыслах: как множество вещественных решений алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами, а также как множество неподвижных точек инволюции комплексного сопряжения на комплексной алгебраической кривой. Благодаря второму подходу, имеется возможность определить отображение Абеля-Якоби, а также кратное отображение Абеля-Якоби, для вещественной алгебраической кривой. Свойства этого отображения описывают геометрию исходной алгебраической кривой.

В диссертации в основном рассматриваются гиперэллиптические кривые. Каждая такая аффинная кривая задается уравнением у2 = 0(х), где — многочлен без кратных корней с вещественными коэффициентами степени 2d > 6. Дополним множество решений этого уравнения на бесконечности двумя точками, тогда мы получим неособую проективную кривую рода д = d — 1. С комплексно аналитической точки зрения эта кривая является компактной гиперэллиптической римановой поверхностью рода д с вещественной структурой. Вещественная структура на ней — это инволюция комплексного сопряжения. Далее алгебраическую кривую и ее риманову поверхность мы будем обозначать через Множество вещественных точек 5^) этой поверхности представляет собой объединение замкнутых кривых (овалов), число которых равно половине числа в е щ е I] = 0.

БИБЛИОТЕКА | СПетервург /> //1 09 тЧ**ЬЭЧ\

Пусть 3 — многообразие Якоби римановой поверхности 5. Рассмотрим вещественное отображение Абеля-Якоби

ц : 5(К) ./(К).

Множество вещественных точек ./(К) многообразия Якоби является компактной коммутативной группой Ли, строение которой изучил Комессатти [10]. Он показал, что она изоморфна группе Т9 х (2/2)", где Т* — ^-мерный вещественный тор, а число п равно </ — 1, если уравнение (Цх) = 0 имеет 2(1 вещественных решений. Следовательно, множество вещественных точек ./(Ж) состоит из 2Л~1 компонент связности. В работах В.А. Краснова (см. [8, 9]) было показано, что при отображении Абеля-Якоби разные овалы кривой 5(И) отображаются в разные компоненты связности группы •/(&)-

Цель настоящей работы — описать структуру кратного отображения Абе-ля-Якоби

: 5(К)(*> ДИ)

для вещественной гиперэллиптической кривой при к ^ д, где — сим-

метрическая степень 5(Н).

Методы работы и научная новизна. В диссертации применяются методы исследования кратного отображения Абеля-Якоби в комплексной ситуации, которые корректируются и переделываются для исследования вещественных алгебраических кривых. В частности, приходится применять вещественную теорию дивизоров и комплексных линейных расслоений с вещественной структурой.

Основные результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении геометрии вещественных алгебраических кривых. А также они- могут быть применены к изучению общих вещественных интегралов-с квадратичными иррациональностями.

Апробация» Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского, а также на Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им.- П.Г. Демидова в 2003 году.

Публикации. Результаты диссертации изложены в пяти печатных статьях [3,4,5,6,71.

Структура работы* Диссертация изложена на 77 страницах и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 13 наименований. Диссертация содержит также 6 рисунков.

Введение.

Во введении формулируются задачи, решаемые в диссертации, показывается актуальность темы настоящей работы, дается краткий обзор результатов и методов исследований, а также описывается содержание диссертации по главам.

Эта глава носит подготовительный характер. 6 ней изложены основные понятия и теоремы комплексной теории кратного отображения Абеля-Якоби. Эта теория потребуется в следующей главе, посвященной непосредственно теме диссертации — вещественной теории кратного отображения Абеля-Яко-би гиперэллиптических римановых поверхностей с вещественной структурой. Римановым поверхностям и отображению Абеля-Якоби посвящены целые книги (см., например, [1, 11, 13]), но в этой литературе я яе нашла подробного описания кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей. Так как в диссертации рассматриваются в основном такие поверхности, то пришлось прежде всего ликвидировать этот пробел комплексной теории. Прежде, чем сформулировать соответствующий результат, введем необходимые понятия и обозначения.

Пусть S — гиперэллиптическая риманова поверхность рода д, и пусть o>i,...,w3 € H"(S,fli) — базис голоморфных дифференциальных 1-форм на ней. Тогда определена решетка периодов Л С Cs этих дифференциалов, а также многообразие Якоби J = С9/Л поверхности S. Выберем некоторую базисную точку ро € S. Тогда можно корректно определить отображение

Абеля-Якоби

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

действующее по пр;

P-.S-+J, р(р) = а)1,...,/ыг) modA.

р р

Тис как многообразие Якоби обладает структурой компактной коммутативной группы, то это отображение может быть продолжено до отображения которое задается формулой

(¿к)(р1 + • • • + Рк) = + • •. +

и называется кратным отображением Абеля-Якоби. Пусть IV/, — образ симметрического произведения

по действию отображения Для каждой точки а € назовем слоем кратного отображения Абеля-Якоби множество точек € 5'*'. Так как поверхность 5 — гиперэллиптическая, то

каноническое отображение

/к : 5 СР*~\

действующее по правилу

является двулистным накрытием рациональной кривой, разветвленным в 2<?+ 2 точках. Рассмотрим на поверз£ности 5 инволюцию } : 5 -+ 5, переставляющую листы этого накрытия, она называется гиперэллиптической инволюцией. Обозначим через

подмножество точек из вада р! + 3^1) +. •. + р/ + ;(Р1)+Р1+1 + -" +Рк-и где / = ..,[§] и [|] — целая часть числа |. Тогда оказывается справедливой следующая

Теорема 1. Пусть 5 — гиперэллиптическая риманова поверхность рода о. Тогда отображение

,,<*>: <?<*>_► Ж*

является бирациональным при к д и удовлетворяет следующим свойствам:

1) Отображение

/1(д,) : оБ1" -» \Ук

является вложением.

2) Образ отображения

равен + 1до, где <?„ = МЫ)-

3) Отображение

является локально тривиальным расслоением со слоем СР1.

Из теоремы 1 следует, что для описания кратного отображения Абеля-Якоби ¡г- ' достаточно вычислить каждое из множеств

Глава 2.

В этой главе изучается кратное отображение Абеля-Якоби гиперэллиптических римановых поверхностей с вещественной структурой. Такие поверхности называются вещественными. Прежде всего это отображение исследуется для случая произвольного рода g > 1. Однако соответствующие результаты требуют некоторого пояснения в силу громоздкости проводимых построений. Поэтому здесь также рассматриваются два геометрически наглядных частных случая поверхностей рода 2 и 3.

Пусть 5 — вещественная гидерэллицтическая риманова поверхность и пусть г : 5 5 — вещественная структура на ней. Множество точек из 5, неподвижных относительно г, обозначим через 5(К) и будем называть множествам вещественных точек поверхности 5. Если это множество не пусто, то оно представляет собой объединение конечного числа овалов. Гарна-ком было доказано, что количество компонент связности 5(К) не превосходит д + 1, если д — род поверхности 5. Вещественная структура г индуцирует на многообразии Якоби 3 вещественную структуру в : 3 множество

вещественных точек которого обозначим через ./(К). Выберем точку ро € 5(К), тогда определено отображение Абеля-Якоби /1: 5 —► .7 и оно вещественно, т.е. коммутативна диаграмма

/а II* 3 «7.

Поэтому имеет место отображение Абеля-Якоби на множестве вещественных точек

а также его степени

рт : .7(11).

Заметим, что на пространстве 77°(5, Я1) можно ввести вещественную структуру . •

<т : Я^.П1) Т/0^.«')

с помощью формулы а(ш) = т*(ш). Назовем 1-форму ы вещественной, если имеет место равенство <т(ы) = ы. Выберем в качестве базиса Я°(5,П1) базис из вещественных голоморфных 1-форм. В этом случае каноническое отображение 1к будет вещественным отображением. Гиперэллиптическая инволюция з : 5 —> 5 коммутирует с отображением 1к и поэтому также является вещественным отображением.

Прежде, чем сформулировать основные результаты диссертации, сделаем одно важное замечание о симметрическом произведении .

Рассмотрим подпространство /5(51)^ симметрического произведения 5(К)(,с), состоящее из точек видаpl-+■j(pl)+..-+р1+Лр1)+Р1+1+-• -+Р*-ь где 3 : 5(К) — гиперэллиптическая инволюция. Так как подпространство

симметрического квадрата состоящее из точек р + Цр), совпадает

с факторпространством 5(11)/у, то можно отождествить с прямым

произведением х оЗСК)01-20.

Отметим, что каноническое отображение 1к может иметь вещественные точки ветвления, причем их число всегда четно. Пусть'/*- имеет 2т (1 < т < д + 1) вещественных точек ветвления. Выберем в качестве ро одну из них. Следовательно, до = 0. Тогда множество вещественных точек 5(И) топологически отождествляется с несвязной суммой т стандартных окружностей х3 + у2 = 1, причем на каждой из них инволюция } : 5(К) —>• 5 (К) действует по правилу Да?,у) = (х,—у). Обозначим эту стандартную окружность с такой инволюций через Е. Тогда факторпространство ТИЦ гомеоморфно диаметру £> этой окружности. Произведение О*'1' х ... х будем обозначать через .....где »1 ^ 0,..., ^ 0, причем считается, что если в произведении

1>(<1) х ... хО(1') х ...£>(<"')

степень »V равна нулю, то сомножитель отсутствует в этом произведении. Аналогично, произведение оЕ'*1* х ... Хо мы будем обозначать через

оЕ**1'""' кт\ Тогда подпространство симметрического произведения

топологически отождествляется с несвязпой суммой

у у - д('ь->11») х

и справедлива следующая

Теорема 2. Пусть каноническое отображение 1к 5 С имеет 2т (1 ^ я» ^ 9 + 1) вещественных точек ветвления. Тогда отображение

при к < д удовлетворяет свойствам:

1) Отображение

р<*> : 0Е(к1-- ИЪ(К) (к!+... + к„1=к)

является вложением.

2) Образ отображения

.....0Е(к1.....*"■>-+

где«1 + ... + »т = {, Л1 + -.. + А;т = к-21, равен ц<-к~2,) .....

3) Отображение

: £>«».....<-> х 0Е(к1-- *т) оЕ^1'-' *т)),

где »1 + ... + »т — I, к1+... + кт = к — 21, является проекцией, стягивающей множество ,т) хЬ в точку множества.....

Случай, когда каноническое отображение 1к не имеет вещественных точек ветвления, на самом деле, содержит в себе две возможности, что показывает

Лемма 1, Пусть 5 — вещественная гиперэллиптическая риманова поверхность рода д и •. Б СР1 = С - вещественное каноническое отображение, которое является двулистным накрытием, не имеющим вещественных точек ветвления. Тогда, есл,и множество вещественных точек БЩ) не пусто, то оно состоит из одной компоненты связности при д четном, в противном случае оно состоит из двух компонент связности.

Будем сначала предполагать, что поверхность 5 имеет четный род д. Тогда множество вещественных точек 5(К) топологически отождествляется со стандартной окружностью Е, заданной уравпением х3+у2 = 1, причем инволюция 3 :—► Е действует по правилу з{х, у) — (—г, —у). В этом случае факторпро-странство ЪЦ оказывается гомеоморфным этой окружности 12. Множество 15(1?)^ топологически отождествляется с прямым произведением множеств и имеет место следующая

Теорема 3. Пусть каноническое отображение 1к ■ 5 —» С не имеет вещественных точек ветвления и пусть род д поверхности Б четен. Тогда отображение

м«.> . 5(К)<*> ^(к) при к ^ д удовлетворяет свойствам:

1) Отображение

р(к) : о£(к) -*■ Щ (К)

является вложением.

2) Образ отображения

: Е(1> х оЕ(*_2,) ИЪ(И)

ровен ^<»-»)(оЕ(*-м>) + ¡до, где д0 = мО'(ро))-

3) Отображение

ц™ : Е<'> х о2<4-»> -*У*-4%Е(к-г'>) + 1»

является проекцией, стягивающей множество Е*'* х Ь в точку Ь + 1до множества

£<*-*>) + /,„.

Осталось рассмотреть случай, когда поверхность 5 имеет нечетный род д. Множество ее вещественных точек 5 (К) топологически отождествляется с несвязной суммой двух окружностей 1а,Ег, причем инволюция з : 5(Н) 5(К) переставляет их друг с.другом. Заметим, что множество точек {р + ^(р)} С Е1 х Е» образует диагональ Д тора Ег х Ег = Е1 х Е1, если мы отождествим Е1 с Ез с помощью отображения 3 : Е1 -> Ез. Поэтому подмножество ^(К)**' симметрического произведения топологически отождествляется с несвязной суммой

Ц Д»х,Е«'«-''>

к1+к2-к-а

и справедлива

Теорема 4. Пусть каноническое отображение 1к • S -У С не имеет вещественных точек ветвления и пусть род g поверхности S нечетный. Тогда отображение

M(k): S(R)W Wi,(R)

при k ^ g удовлетворяет свойствам:

1) Отображение

ft(h): 0S(kb *s) -* Wk(R) (fci + Jfc, = it)

является вложением.

2) Образ отображения

fi{k) : Д(0 х 0Е(*Ь fcl) Wt(R) равен + t?o, где fc, + k3 = k - 2/ и 9o = Mi(Po))-

,,<*> : Д<'> x 0S(tl-fc*>) + /go,

где hi + кз = к, является проекцией, стягивающей множество Л^ х b в точку Ь + Iqo множества (оЕ^1' *а)) + /до-

полученные результаты требуют некоторой поясняющей иллюстрации. Случаи g = 2 и 3 служат такой иллюстрацией, благодаря своей геометрической наглядности.

Итак, пусть поверхность S имеет род g = 2. Тогда каноническое отображение ¡к имеет 6 точек ветвления. Рассмотрим сначала случай, когда среди них есть вещественные точка и будем считать, что фиксированная точка ро является одной та них. Если имеется 2,4,6 вещественных точек ветвления, то множество 5(R) состоит, соответственно, из одной, двух, трех хомпонепт связности. Каждая компонента может быть топологически отождествлена со стандартной окружностью Е : х1 + у1 = 1, причем гиперэллшггическая инволюция j : Е —► £ действует отражением относительно оси Ох.

В первом случае, симметрический квадрат S(R)*3' можно топологически отождествить с листом Мебиуса М3 = Е^3', полученного из квадрата склеиванием с переворотом двух противоположных сторон. Множество iS(R)'3^ = {p+j(p)} отождествляется с линией на Л/3, которая получается из этих сторон после склейки. Обозначим эту линию через 7 и назовем отрезком.

Во втором случае, множество £?(R) отождествляется с несвязной суммой двух стандартных окружностей Ei,Ej. Симметрический квадрат 5(R)*l) состоит тогда из двух листов Мебиуса М* = Е^3', М* = Ej3* и тора Т2 = Ei х Ег, а его подмножество iS'(R)'3^ отождествляется с двумя отрезками 71 С Aif ,73 С Mi.

Наконец, в третьем случае множество S(R) отождествляется с несвязной суммой трех стандартных окружностей Ei,Ej,E3. Симметрический квадрат 5(R)(3) состоит из трех листов Мебиуса М? = Е^г),М| = Е^'.М3 = Е^' и трех торов Т3 = Ei х Е»,Т3 = Ei х Ез,Тз = Ej х Ез, а его подмножество iS(R)(3) отождествляется с тремя отрезками 71 С 7а С Л/,г),7з С

В результате мы получаем, что имеет место

Теорема 5. Пусть каноническое отображение 1к • Э -* С имеет вещественные точки ветвления, тогда справедливы утверждения:

1) Если каноническое отображение //с : 5 -)• С имеет две вещественные точки ветвления, то симметрический квадрат является листом Мебиуса М3, причем можно так осуществить топологическое отождествление, что при отображении

ц™ : М1 .7(1*)

отрезок у С М3 стягивается в точку 0 € /(й), вне которого это отображение инвективно.

2) Если каноническое отображение ¡к • 5 —»■ С имеет четыре вещественные точки ветвления, то симметрический квадрат состоит из двух листов Мебиуса М3,М3 и тора Т3, причем можно так осуществить топологическое отождествление, что при отображении

(1т : М? и М1иТ3-> ЛЩ

отрезки

71 С А/?, 73 С М\

стягиваются в точку О С ./(й), ене которых это отображение инъективно.

3) Если каноническое отображение 1к : 5 —У С имеет шесть вещественных точек ветвления, то симметрический квадрат состоит ш трех листов Мебиуса и трех торов Т? ,Тз ,Т|, причем можно так осуществить топологическое отождествление, что при отображении

М(5) : М1 и А/| и М\ и Т3 и Г? и Т|

отрезки

71 С М1, 7а С Мз, 7» С М| стягиваются в точку 0 € J(R), вне которых это отображение инъективно.

В случае, когда отображение 1к не имеет вещественных точек ветвления, в силу леммы, множество 5(Н) состоит из одной окружности 53, причем инволюция ] : И —53 действует отражением относительно начала координат О. Следовательно, симметрической квадрат является листом Мебиуса М3, а подмножество его образует среднюю линию М3. Таким образом, справедлива

Теорема 6. Пусть каноническое отображение ¡к : <5 —► С не имеет вещественных точек ветвления, тогда симметрический квадрат яв-

ляется листом Мебиуса М3, причем можно так осуществить топологическое отождествление, что при отображении

цт : М3 .7(К)

средняя линия листа Мебиуса стягивается в точку = /*0(Ро)) € .7(1*), вне которой это отображение иньективно.

Пусть теперь риманова поверхность 5 имеет род д — 3. Рассмотрим сначала отображение

/1(3>: 5(К)(г) -+ ИЪ(Н) С /(К).

Каноническое отображение ¡к имеет 8 точек ветвления. Случай, когда среди этих точек есть вещественные не носит ничего нового и здесь оказывается справедливой теорема 7, аналогичная теореме 5. Аналог теоремы б формулируется уже по-другому. Действительно, из леммы следует, что множество сотоит из двух компонент связности. Отождествим одну из них со стандартной окружностью Е, а вторую компоненту связности отождествим с первой с помощью инволюции } : 5(Я) —> Тогда состоит из двух листов

Мебиуса М\, Мз и тора Т1 = Е х Е, причем множество лежит на торе

и образует его диагональ Д. Имеет место следующая

Теорема 8. Пусть каноническое отображение ¡к 5 -» С не имеет вещественных точек ветвления, тогда симметрический квадрат можно топологически отождествить с несвязной суммой двух листов Мебиуса М{, и тора Т3 = Е х Е

5(Н)(3) = Л/12иЛ/22иТ2,

причем это можно сделать так, чтобы при отображении

диагональ А С Т3 стягивается в точку до = А»0(ро)) € И^К), в в вне ее отображение инвективно.

Рассмотрим теперь отображение : 5(И)(3) -> И'з(Й) = ./(К). Сначала изучим случай, когда каноническое отображение ¡к имеет вещественные точки ветвления. Тогда в качестве фиксированной точки ро возьмем одну из них. Следовательно, до — 0. Множество ¿> (К) состоит в этом случае из стандартных окружностей 1 ^ » ^ т. Рассмотрим три вида топологических тел:

У3 = Е,<3\ V? = Е< х (» ф з), Уцк = Е< х Е, х Е* (» < з < к).

Каждое тело V,3* является трехмерным тором, каждое тело представляет собой произведение листа Мебиуса на окружность. Бели воспользоваться стандартным отображением тела V;3 = (ИР1)*3* в ИР3, построенное с помощью симметрических функций, то получим, что каждое такое тело получается из проективного пространства выбрасыванием полнотория. Таким образом мы имеем разложение симметрического куба на рассмотренные тела

5(К)»ЧП*3)И(ЦУ.3.)11( П О-

Подмножество = {Р1+}(Р1)+Рз} симметрического куба может

быть отождествлено с прямым произведением 15(К)'3' х 5(К). Из сформулированных выше результатов для поверхности рода 2 в свою очередь видно, что множество ^(К)*2' топологически представляет собой один или несколько

отрезков, поэтому множество 1отождествляется с тривиальной вещественной линейчатой поверхностью

Ф = 15(й)(2) х

Пересечение этой поверхности с каждым из торов У^ оказывается пустым, пересечение с телом Уу равно цилиндру 7< х Е^, а пересечение с телом У^ — цилиндру 7< х Е<.

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 9. Пусть каноническое отображение 1к : 5 С имеет 2т вещественных точек ветвления, тогда симметрический куб можно

топологически отождествить с несвязной суммой тел .

т

причем это можно сделать так, чтобы при отображении

ц(3): 5(К)(3) .ДК)

цилиндры 7; х С УД 7< х С стягиваются вдоль отрезков 7< не кривые ¿<(Е«)| ° вне этих цилиндров отображение иньективно.

В случае, когда каноническое отображение 1к не имеет вещественных точек ветвления, множество вещественных точек 5(К) отождествляется с двумя стандартными окружностями Ех,Ез, причем инволюция } : 5(К) —► 5(К) переставляет их друг с другом. Множество состоит тогда из тел

Ух3 = Б^.У/ = = Е<*> х Ез, УД = Е<2) х Ех.

Тела Ух3, У23 не пересекаются с линейчатой поверхностью Ф, а пересечение У$ПФ состоит из множества точек {р1+У(р1)+рг}. гдерх,рз 6 Ех. Множество точек {р1+>(рг)} С Е1 хЕз образует диагональ Дх тора ЕххЕз = ЕххЕ», если мы отождествим Е1 с Ез с помощью инволюции ) : Ех Ез. Следовательно, множество точек {рх + ¿(Р1) + ра} образует тор Дх х Ех. Аналогично можно-показать, что пересечение У23 П Ф является тором Дз х Ез. Тогда имеет место

Теорема 10. Пусть каноническое отображение ¡¡с в С не имеет вещественных точек ветвления, тогда симметрический куб можно

топологически отождествить с несвязной суммой тел

Я^)™ - Ух3 и У23 и Ух3 и У,3,,

причем это можно сделать так, чтобы при отображении

р(3): 5(К)(3) -V ЛИ)

торы Дх х Ех, Дз х Ез стягиваются вдоль Дь Дз «л кривые до +р(Ех), да + ц(Ез), а вне этих торов отображение иняективно.

Заключение.

Эта часть диссертации является своего рода первой попыткой исследования кратного отображения Абеля-Якоби ¡/-^ : —> для негипер-зллиптических римановых поверхностей, и может как дополнение к основной теме диссертации. Здесь это отображение изучается для поверхности рода 3 в только для к < 3.

Прежде всего заметим, что комплексное кратное отображение Абеля-Якоби : —► 3 при к = 2 является вложением (см. (13)), а поэтому будет вложением отображение ¡¿^ : —» У (К). Таким образом остается

изучить отображение

ц(3): 5(К)<3) ./(К).

При исследовании этого отображения используется геометрическая переформулировка результатов про комплексное отображение Абеля-Якоби в [13].

Пусть ы1,и>з,ыз — вещественный базис пространства П1). Канони-

ческое отображение /к : 5 —> СРг оказывается вложением, причем его образ является неособой кривой четвертой степени. Поэтому мы можем считать, что поверхность 5 задается однородным уравнением четвертой степени

Р(хо,Х1,а) = 0

с вещественными коэффициентами, и множество вещественных точек 5(К) С ЯР2 является множеством вещественных решений этого уравнения. Рассмотрим теперь множество V С которое состоит из сумм точек р1,рз,рз € 5(К), удовлетворяющих условиям:

если точхи Р1,Р2)Рз — различные, то они лежат на одной прямой; если р1 = рз = р,рз ф р, то точка рз лежит на касательной к 5 (К) в точке

р;

если р 1 =г рз = рз = р, то касательная к кривой 5(К) в точке р имеет не ниже трех порядок касания в этой точке.

Множество V может быть пустым, это произойдет в случае, когда кривая 5(К) состоит из одного выпуклого овала. В противном случае множество V представляет собой поверхность с кусочно-гладкой границей, причем корректно определена проекция тг: V —> £(К). Граница поверхности состоит из точек вида 2р + рз. Обозначим через IV образ проекции п. Оказывается, что справедлива

Теорема 11, Существует вложение IV С ./(К) такое, что диаграмма

V? С ./(К) коммутативна, причем отображение

/»(*> : 5(К)(3) \ V ./(Л)

является

вложением.

Доказательство этой теоремы проводится по следующей схеме. Сначала формулируется результат Мамфорда (см. [13]) про отображение

I, затем он переформулируется в более геометрической форме. Из этой переформулировки будет немедленно вытекать ваша теорема.

Список литературы

[1J Гриффите Фм Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии. I// Мир, М: 1982.

[2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

[3] Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби вещественных римано-вых поверхностей рода 3.// Современные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 3//Яросл. гос. ун-т, Ярославль, 2000, с. 40 - 45.

[4] Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей.// Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова. (Математика), Ярославль, 2003, с. 70-81.

[5] Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби для вещественных негиперэл-липтических римановых поверхностей рода 3.// Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. б. Ярославль, 2004. С. 11 - 15.

[6] Данилова О.В., Краснов В.А., Отображение Абеля-Якоби для вещественной гиперэллиптической римановой поверхности рода 3.// Матем. заметки. Т. 75, Вып. 5 (2004), с. 644-651.

[7] Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей.// Математические заметки (принято к печати).

[8] Краснов В.А., Отображение Альбанезе для вещественных алгебраических многообразий.// Матем. заметки. Т. 32, Вып. 3 (1982), с. 365 - 374.

[9] Краснов В. А., Отображение Альбанезе для GMZ-многообразий.// Матем. заметки. Вып. 35, № 5(1984), с. 739 - 747.

[10] Comessatti A., Sulle varieta reali//Anali Mathematici 2 (1924-1925), pp. 67 -106.

[11] Gunning R.C. Lectures on Riemann surfaces, Jacobi varieties,// Princeton University Press, New Jersey, 1972.

[12] Morton H.R., Symmetric products ofthe circle.// Proc. Cambridge PhiL Soc. 63 (1967), pp. 349 - 352.

[13] Mumford D., Curves and their Jacobians. - Ann Arbor: University of Michigan Press, 1975.

Лицензия ПД 00661. Формат 60x84 1/16. Печл. 1,0. Заказ 1409. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-65-63.

" 1 582 8

Введение

Глава 1.

Комплексное отображение Абеля-Якоби

1.1. Компактные римановы поверхности.

1.2. Симметрические произведения.

1.3. Дивизоры и линейные расслоения на римановой поверхности.

1.4. Отображение Абеля-Якоби и его степени.

1.5. Слои кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей.

Глава 2.

Вещественное отображение Абеля-Якобй

2.1. Вещественная структура на комплекЬных геометрических объектах

2.2. Вещественные римановы повё|5$Ьюсти.

2.3. Симметрические произведения пространств с инволюцией.

2.4. Кратное отображение Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей.

2.5. Гиперэллиптические поверхности рода 2 и

§

Диссертация посвящена геометрии вещественных алгебраических кривых. Исторически вначале рассматривались именно такие кривые. Однако незамкнутость поля вещественных чисел порождает некоторые трудности в разработке этой темы. С другой стороны, комплексные алгебраические кривые, благодаря замкнутости поля комплексных чисел, были изучены более подробно. Одним из методов изучения комплексных алгебраических кривых является отображение Абеля-Якоби. Это отображение возникло вначале в рамках анализа в связи с изучением эллиптических и абелевых функций, которые, в свою очередь, возникли из эллиптических и абелевых интегралов. В дальнейшем природа возникновения отображения Абеля-Якоби была фактически забыта, хотя классическое его определение по-прежнему дается через интегралы. Чтобы связать тему диссертации с предыдущими исследованиями, мы вернемся к истокам возникновения отображения Абеля-Якоби из интегралов от алгебраических функций.

Рассмотрим интегралы вида где Q(x) — многочлен с вещественными коэффициентами без кратных корней степени 2d ^ 6, а Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами степени ^ d — 2. Ограничение, накладываемое на степень многочлена Р(ж), обусловлено методами, применяемыми для изучения этих интегралов. Если интеграл (1) комплексифицировать, т.е. считать, что переменная х комплексная, то задача изучения этого интеграла упрощается благодаря рассмотрению римановой поверхности S, заданной уравнением у2 = Q(x). Тогда мы можем заменить неопределенный интеграл (1) на криволинейный интеграл с переменным верхним пределом по кривой Т(р) на римановой поверхности 5, соединяющей фиксированную точку ро £ 5 с переменной точкой р Е 5

1)

2) г(р) см. рис. 1.) Если добавить к римановой поверхности 5 С С2 на бесконечности две точки, то она будет представлять собой с точки зрения топологии сферу с д = d — 1 ручками (см. рис. 2).

Рис. 1. Рис. 2.

Эта поверхность, с индуцированной на ней комплексно аналитической структурой, называется компактной гиперэллиптической поверхностью рода д, мы будем обозначать ее также через S. Комплексные интегралы вида (2) на римановой поверхности S изучались в XIX веке. Рассмотрим теперь базисные интегралы вида (2)

- dx, [ — dx,., f -— dx. (3)

У J У J У

Г(р) Г(р) Г (р)

Они задают отображение ц : S —> С5, определяемое с помощью равенства м(р) = ( I ~ dx, [ — dx,., [ -— dx\. J У J У J У >

Г(р) Tip) Г (р)

Это отображение является многозначным, так как интегралы (3) зависят от формы кривой Г(р), соединяющей точки ро,р. Чтобы избавиться от многозначности отображения ¡1 поступают следующим образом.

Если заменить кривую Г(р) на другую кривую Г(р), также соединяющую точки ра, р, то каждый из интегралов (3) будет отличаться на интеграл по замкнутой кривой а = Г(р) — Т(р) с началом и концом в точке ро (см. рис. 3). ж

Рис. 4.

Обозначим через Л множество векторов в С9

О Г - йх, / — ., / --,

2/ УаУ Уа У ' где а — произвольная кривая на 5 с началом и концом в точке ро. Множество Л является дискретной подгруппой ранга 2д абелевой группы С5, и она называется решеткой периодов голоморфных 1-форм х уЛх (см. рис.

4, случай д = 1). Тогда факторгруппа 3 = С9/А является комплексным тором и называется якобианом, или многообразием Якоби римановой поверхности 5. Теперь мы можем рассмотреть однозначное отображение ц : 5 —> которое и называется отображением Абеля-Якоби. Таким образом, изучение интегралов вида (2) заменяется исследованием отображения Абеля-Якоби ц : $ —> 3.

В XIX, XX веках оно было глубоко изучено, в частности, было показано, что в случае, когда д > 1 оно является вложением. Это отображение перебрасывает мостик между геометрирЦ алгебраической кривой и теорией абелевых многообразий. Глобальная теорема Торелли (см. [1]) показывает, что замена алгебраической кривой на ее многообразие Якоби полностью описывает геометрию исходной кривой.

Если теперь коэффициенты многочлена С£{х) вещественные, то операции комплексного сопряжения в С2, С5 определяют соответственно инволюции

Рис. 3. т:5—>-5,0:«7—>,/, множества неподвижных точек которых обозначаются через б'(К), </(К) и называются множествами вещественных точек соответственно римановой поверхности 5 и многообразия Якоби 1. В этом случае отображение Абеля-Якоби задает отображение множеств вещественных точек : 5 (Ж) —> исследование которого заменяет изучение интегралов вида (1). Множество вещественных точек Б (К) представляет собой объединение замкнутых кривых (овалов), число которых равно половине числа вещественных решений уравнения (¡}(х) = 0 (см. рис. 5, на котором указаны решения этого уравнения и знаки многочлена (¿(х) при д = 1). Множество вещественных точек многообразия Якоби J(Ш) является компактной коммутативной группой Ли, строение которой изучил Комес-сатти [10]. Он показал, что она изоморфна группе Т9 х (2/2) , где Т9 — ^-мерный вещественный тор, а число п равно (1—1, если уравнение С^(х) = 0 имеет 2(1 вещественных решений. Следовательно, множество вещественных точек </(Е) состоит из 2<*~1 компонент связности. В.А. Красновым было показано, что при отображении вещественных точек ¡1 : ¿>(К) —> 7(Ж) разные овалы кривой 5(М) отображаются в разные компоненты связности группы <7(К) (см. [8, 9]).

Рис.5.

Дальнейшее изучение интегралов вида (2) связано с кратным отображением Абеля-Якоби к-ой симметрической степени римановои поверхности 5 : 5<*> ->

4) которое определяется равенством

М(А)(Рь •••,Рк) = А*(Р1> + • • • + МЫ

Исследование кратного отображения Абеля-Якоби заменяет изучение сумм интегралов вида (2) где Гх,., Тк — некоторые кривые на которое проводил Абель, а затем применил Якоби для обращения гиперэллиптических интегралов. Скажем несколько слов об этой задаче Якоби. В случае, когда 2(1 = 6, обращение гиперэллиптических интегралов приводит к четырежды периодическим функциям х(щ) и х(щ), поведение которых показалось Якоби абсурдным. Эта позиция Якоби справедлива, если рассматривать только однозначные аналитические функции, но в его время не было точного определения аналитической функции, в частности, не было понимания функции как отображения области на область. Отрицание возможности обращения гиперэллиптического интеграла заставило Якоби искать выход в другом направлении. Он строит две суммы х X И и рассматривает симметрические функции Х\+Х2 и Х\-Х2 верхних пределов. Эти функции являются четырежды периодическими в обычном смысле (и, в частности, однозначными) функциями двух переменных щ и щ.

С современной точки зрения подход Якоби к задаче обращения гиперэллиптического интеграла (2) содержится в утверждении: если д — род римановой поверхности 5, то отображение : 5(0) —У <7 является бимероморфным отображением, а поэтому обладает обратным мероморф-ным отображением. Не менее интересным оказывается рассмотрение кратного отображения Абеля-Якоби при к < д. Свойства этого отображения оказались тесно связаны с линейными системами дивизоров на кривой. В частности, с помощью этого отображения получается тета-дивизор на многообразии Якоби, который исторически определялся с помощью тета-функ-ций. Особые точки тета-дивизора играют важную роль в описании специальных линейных систем на кривой. В силу интересных свойств и обширной области применения как в теории римановых поверхностей, так и в других разделах математики, кратное отображение Абеля-Якоби /л^ : —>• <7 привлекло внимание многих ученых и было глубоко изучено. Соответствующие результаты изложены в разных работах, и в частности, в монографиях Ф. Гриффитса , Дж. Харриса [1], Р. Ганнинга [11], Д. Мамфорда [13].

Предположим теперь, что коэффициенты многочлена (¿(х) вещественные, тогда имеет место кратное отображение Абеля-Якоби на множестве вещественных точек к) : 5(К)<*> -ч /(К). (6)

Изучению этого отображения при к < д в случае, когда риманова поверхность в гиперэллиптическая, и посвящена настоящая работа. Данная тема представляет интерес с точки зрения анализа, как геометрический подход к изучению гиперэллиптических интегралов вида (1), которые исторически рассматривались с вещественными коэффициентами. С другой стороны, эта тема интересна для вещественной алгебраической геометрии. Так как кратное отображение Абеля-Якоби было одним из основных инструментов изучения комплексных алгебраических кривых, то оно должно быть полезным для изучения вещественных алгебраических кривых.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 77 страниц, библиография — 13

Заключение.

В этой части диссертации сделана попытка получить результаты аналогичные предыдущим для негиперэллиптической поверхности. Прежде всего заметим, что комплексное кратное отображение Абеля-Якоби : Я<*> 3 при к = 2 является вложением (см. [13], с. 53-54), а поэтому будет вложением отображение ЭД^ 7(Ц),

Таким образом, остается изучить это отображение при к = 3.

Пусть со?2, — базис пространства голоморфных 1-форм на 5. Мы можем предполагать, что эти формы вещественные, т.е. выполняются равенства т*(щ) ■= Щ при г — 1,2,3. Для негиперэллиптической поверхности 5 каноническое отображение

1К : 5 СР2, определенное равенством

Ыр) = Ы{Р) 1 I ^з(р)), оказывается вещественным вложением, причем его образ является неособой кривой четвертой степени (см. {!]). Следовательно, можно считать, что поверхность 5 задается однородным уравнением четвертой степени хъ х2) ~ О с вещественными коэффициентами, и множество вещественных точек $(Ж) С МР2 является множеством вещественных решений этого уравнения.

Рассмотрим теперь множество V С которое состоит из сумм точек РьР2гРа £ удовлетворяющих условиям: если точки РъР2>Рз ~ различные, то они лежат на одной прямой; если рх = р2 = р, рз Ф р, то точка рз лежит на касательной к 5(11) в точке р; если р\ — р2 = рз = Р, то касательная к кривой 5(М) в точке р имеет не ниже трех порядок касания в этой точке.

Множество V может быть пустым, это произойдет в случае, когда кривая 5(М) состоит из одного выпуклого овала. В противном случае множество V представляет собой поверхность с кусочно-гладкой границей. Граница состоит из точек вида 2р + рз. Определена проекция ж : V $(Ж), которая устроена следующим образом:

Если точки РьРг, Рз ~~ различные, то они лежат на одной прямой, которая пересекает кривую 3 (Ж) в четвертой точке р4, либо касается в одной из точек Рг,Р2,Рз- В первом случае полагаем, что ж(р\ + Р2 + рз) — Р4, а противном случае 7г(р1 + р2 + Рз) равняется точке касания.

Если р\ = р2 = р, рз ф р, то точка рз лежит на касательной к 5(Ж) в точке р, которая пересекает кривую 5(Ж) в точке р4, либо касается в точке рз, либо р — тройная точка касания. В первом случае полагаем, что ж(р\ +Р2 +Рз) — = Р4- Если касательная к кривой ¿>(М) в точке р касается ее еще в точке рз, то полагаем ж(р\ + Р2 + рз) = рз, в противном случае, т.е. когда точка р является тройной точкой касания, ж(р\ + Р2 + Рз) — Р

Если рх = рч — рз = р, то касательная к кривой 5 (Ж) в точке р пересекает ее в точке р4 либо точка р является точкой касания четвертого порядка. В первом случае полагаем, что ж(р\ + р2 + Рз) — Р4, в противном случае +Р2 +рз) =Р

Обозначим через \¥ образ проекции ж : V —> 5(Ж). Оказывается, что справедлива

Теорема 2.14. Существует вложение IV С /(Ж) такое, что диаграмма

7с 5(1)^

7Г

4» *4"

Ш С 7(Ж) коммутативна, причем отображение /л^ : \ V —> /(Ж) я&ляется вложением.

Доказательство этой теоремы будет проводиться по следующей схеме. Сначала мы сформулируем результат Мамфорда про отображение /л^ : <7, затем переформулируем его в более геометрической форме. Из этой переформулировки будет немедленно вытекать наша теорема.

Если ш — голоморфная форма на 5, то ее дивизор нулей (и) имеет степень 4. Поэтому выполняется равенство (а;) = р\ + р2 + рз + Р4, причем в этой сумме могут быть и совпадающие точки. Обозначим через X множество точек р\ + р2 + рз из

5(3) таких, что найдется точка р4 € Б и голоморфная форма и, для которых выполняется равенство (и) = р\ + р2 + Рз + Ра-Через 7Г : X 5 обозначим отображение, которое сумме р\ + р2 + рз сопоставляет однозначно определенную верхним способом точку Р4. Для каждой точки р4 е Б существуют точки Р1,Р2,Рз € 5 и голоморфная форма со такие, выполняется равенство (ш) = Рг +р2 +Рз • Поэтому отображение 7г : X —> 5 сюръективно. В [13] доказывается это отображение определяет на X структуру линейчатой поверхности. Обозначим через V : Б —> I, отображение, которое определяется равенством у{ра) = /¿(Р1)+м(Р2)+/л(рз)т где р1 + р2 -+- Рз + Р4 — дивизор голоморфной формы. Оказывается, что это отображение определено корректно и является вложением. В [13] доказана

Теорема 2.15. Диаграмма

X -► 5<3>

Б 3 коммутативна, причем отображение : Б^ \ X —> <7 является вложением.

Переформулируем теперь определение комплексной поверхности X. Если вложить риманову поверхность 5 в СР2 с помощью канонического отображения 1к • Б —> СР2, то голоморфные формы на Б отождествляются с сечениями линейного расслоения 0( 1). Поэтому дивизоры нулей голоморфных форм являются дивизорами нулей сечений расслоения 0(1), т.е. они являются сечениями вложенной римановой поверхности Я прямыми в СР2. Таким образом комплексная поверхность X состоит из сумм р\+ р2+ рз £ для каждой из которых существует четвертая точка 6 5 и прямая Ь С СР2 такие, что имеет место равенство дивизоров 5ПХ = Р1+Р2+Рз+Р4-Из верхней переформулировки определения комплексной поверхности X вытекает равенство V = X где V — поверхность с краем в теореме

2.14. Следовательно, теорема 2.14 вытекает из теоремы 2.15.

1. Гриффите Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии. I// Мир, М: 1982.

2. Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

3. Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби вещественных римановых поверхностей рода 3.// Современные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов, Вып. 3//Яросл. гос. ун-т, Ярославль, 2000, с. 40 45.

4. Данилова О.В., Краснов В.А., Отображение Абеля-Якоби для вещественной гиперэллиптической римановой поверхности рода 3.// Матем. заметки. Т. 75, Вып. 5 (2004), с. 644-651.

5. Comessatti A., Sulle varietà reali//Anaïi Mathematici 2 (1924-1925), pp. 67 106.

6. Gunning R.C. Lectures on Riemann surfaces, Jacobi varieties.// Princeton University Press, New Jersey, 1972.

7. Morton H.R., Symmetric products of the circle.// Proc. Cambridge Phil. Soc. 63 (1967), pp. 349 352.

8. Mumford D., Curves and their Jacobians. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1975.