Гармонические функции на римановых многообразиях с концами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Корольков Сергей Алексеевич

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КОНЦАМИ

01.0].01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003470650

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций ГОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 17 июня 2009 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С текстом диссертации можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан <44» мая 2009 года

профессор Лосев Александр Георгиевич

профессор Авхадиев Фарит Габидинович

доктор физико-математических наук, профессор Лобода Александр Васильевич

Ведущая организация: Институт Математики Сибирского

Отделения РАН, г. Новосибирск

Учёный секретарь Совета Д 212.081.10 к.ф.м.-н., доцент

Е.К. Липачёв

А. Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию решений уравнения Лапласа— Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера на некомпактных ри-мановых многообразиях. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат теории функций, теории потенциала и теории уравнений в частных производных.

Актуальность темы. Исторические сведения. В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера, и геометрией рима-новых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: М. Андерсона, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, A.A. Клячина, В.А. Клячина, Е.М. Ландиса, П. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы, В.Г. Мазьи, В.М. Миклюкова, Н.С. Надира-швили, Л. Ниренберга, O.A. Олейник, Ю.Г. Решетняка, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, Л.Ф. Тама, В.Г. Ткачева, H.H. Уральцевой, С.Т. Яу и ряда других авторов.

Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке математического анализа, теории уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии. Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Ж" функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (Л,£)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Lu = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Достаточно подробно об этой тематике написано в обзоре A.A. Григорьяна [2], в работе А.Г. Лосева [7] и др. Оценки раз-

мерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях были получены в работах ряда математиков (см. [1]-[8] и др.).

Многие работы были посвящены изучению решений эллиптических уравнений на многообразиях с концами. Так, П. Ли, Л.Ф. Там в [5] доказали, что если многообразие M имеет m концов, то размерность пространства гармонических на M функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, не меньше, чем т. Там же было доказано, что если M имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на M функций также не меньше, чем гп.

На многообразиях с регулярными концами A.A. Григорьяном в работе [1] была доказана разрешимость некоторых краевых задач для положительных гармонических функций и были получены оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций. Здесь под регулярностью конца понимается выполнение неравенства Харнака для неотрицательных гармонических функций на соответствующем конце. А.Г. Лосевым в работе [6] были получены условия выполнения теорем типа Лиувилля на многообразиях с модельными концами, а также даны точные оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на таких многообразиях.

В работах A.A. Григорьяна, C.B. Кима, Я.Х. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы и других математиков также рассматривались решения эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, решения стационарного уравнения Шредингера (далее — ¿-гармо-нические функции)

Lu = Д и — с(х)и = 0, (1)

где с(х) — гладкая неотрицательная функция.

Так, А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [8] были найдены условия разрешимости задачи Дирихле для ограниченных ¿-гармонических функций на многообразиях с квазимодельными концами.

В работе C.B. Кима, Я.Х. Ли [4] была получена оценка размерности конуса положительных и пространства ограниченных ¿-гармонических функций на многообразиях с ¿-регулярными концами. Здесь ¿-регулярность означает выполнение неравенства Харнака для неотрицательных ¿-гармонических функций на соответствующих концах.

Целью работы является дальнейшее исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и поведением решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера на таких многообразиях, получение необходимых и достаточных условий разрешимости некоторых краевых задач для рассматриваемых уравнений и оценка размерностей различных пространств решений уравнений Лапласа— Бельтрами и Шредингера на некомпактных римановых многообразиях.

Методика исследования. В работе применяется техника априорных оценок решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера, метод Фурье и другие методы, относящиеся к теории потенциала и теории уравнений с частными производными. Используются также теоретико-функциональные методы, связанные с исследованием поведения решений рассматриваемых уравнений на римановых многообразиях специального вида.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе исследованы свойства гармонических и ¿-гармонических функций на римановых многообразиях, введено понятие Ь-параболичкости типа риманова многообразия, получены условия выполнения теорем типа Лиувилля для различных классов гармонических и ¿-гармонических функций. В работе развивается подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях с концами, основанный на введении понятия класса [/] эквивалентных на каждом конце многообразия М непрерывных ограниченных функций.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением решений эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, а также найти применение в специальных курсах по математическому анализу.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Получено обобщение понятия параболичности и гиперболичности типа некомпактного риманова многообразия и любого его открытого подмножества для стационарного уравнения Шредингера (1). Доказана теорема Лиувилля для ограниченных ¿-гармонических функций на многообразиях ¿-параболического типа.

2. Получен критерий ¿-строгости конца многообразия.

3. Получены оценки размерностей различных пространств Ь-гармони-ческих функций на римановых многообразиях с произвольными концами, найдены условия точности данных оценок.

4. Получены условия существования и единственности решений некоторых краевых задач, аналогичных, так называемой, третьей краевой или смешанной задаче.

5. Получены необходимые и достаточные условия на вид метрики квазимодельных концов многообразия, при которых а) концы являются ¿-регулярными; б) на таком многообразии выполнена теорема типа Лиувилля; в) на таком многообразии разрешимы, причем единственным образом, некоторые краевые задачи.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 100 страниц и состоит из введения, трех глав и приложения. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 60 наименований.

Апробация работы. Основные результаты данной работы докладывались на Международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (г. Волгоград, 2004 г.); Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (г. Казань, 2004 г.); Международной школе-конференции "Современные методы теории краевых задач" (г. Воронеж, 2007); Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007); 8-й Международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (г. Казань, 2007); 7-й молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2008" (г. Казань, 2008); на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002 — 2008 гг.), в разное время на семинарах ВолГУ "Геометрический анализ и его приложения" (рук. проф. В.М. Миклюков) и "Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях" (рук. проф. А.Г. Лосев); на семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (рук. проф. О.П. Филатов); на семинаре по геометрической теории функций кафедры математического анализа Казанского государственного университета (рук. проф. Л.А. Аксентьев).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 12 печатных работах автора. Все результаты из совместных статей, выносимые автором на защиту, получены им самостоятельно.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благодарность за полезные обсуждения и замечания по теме настоящей работы своему научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе и В.Ю. Чебаненко.

В. Содержание работы

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию. В работе рассматриваются ¿-гармонические функции, т.е. решения уравнения (1) на некомпактных римановых многообразиях с пустым краем.

Глава 1. "¿-параболичность типа римановых многообразий" Первый параграф данной главы носит вводный характер. Здесь содержатся сведения, которые используются в работе и напоминаются некоторые понятия анализа на римановых многообразиях. В частности, определяется оператор Лапласа—Бельтрами и стационарный оператор Шрединге-ра на римановом многообразии, приводятся определения функции Грина оператора Лапласа—Бельтрами на многообразии, емкости конденсатора и параболичности типа риманова многообразия, а также определение гармонической и ¿-гармонической функции. Кроме того, излагаются характеристические свойства многообразий параболического типа.

Во втором параграфе первой главы вводится определение ¿-параболичности типа произвольного открытого подмножества многообразия М, а затем и всего многообразия.

Определим сначала понятие ¿-гармонической меры произвольного непустого открытого множества П СС М с гладкой границей Всюду далее предполагаем, что М — многообразие без края.

Пусть {Вк— гладкое исчерпание М, т.е. последовательность пред-компактных открытых подмножеств с гладкими границами дВк такая, что Вк С Вк+1 для всех к > 1 и = М. При этом предполагаем, что

исчерпание выбрано таким образом, что дВк и ЭП трансверсальны для

всех к. Пусть ик является решением следующей задачи Дирихле в П П Вк

Luk ~ 0 в Q П Вк, < щ = О на дй П Вк, щ = 1 на дВь П Ü.

Последовательность функций {«/t}^! в силу принципа максимума убывает и ограничена. Тогда существует предельная функция un =

= lim щ, которую мы будем называть L-гармонической мерой множе-

к—»00

ства П. В случае П = М, функцию Ьм = им называют функцией Jluy-вилля многообразия М (см. [3], [4]).

Нам также понадобится понятие L-потенциала произвольного открытого множества Q многообразия М, которое мы вводим по аналогии с определенным в работе [9] понятием L-потенциала многообразия. Пусть {vk)kLi — последовательность решений следующих задач Дирихле

!Lvk = 0 в Вк П fi, vk = l на дС1ПВк, vk = 0, на дВк П О,.

Последовательность функций {v*;}^ в силу принципа максимума монотонно возрастает и сходится к предельной функции vn(x) = lim vk(x),

oo

которая является I-гармонической в Q и 0 < vsi{x) < 1 в Ü. Функция vq(x) называется L-потенциалом множества О. Определение 1.4. Будем говорить, что множество Q имеет Ь-параболи-ческий тип, если его L-гармоническая мера uq = 0. В противном случае будем говорить, что П имеет L-гиперболический тип. Будем говорить, что многообразие М имеет L-параболический тип, если функция Лиувилля многообразия Ьм = 0. В противном случае будем говорить, что М имеет L-гиперболичесшй тип.

Основным результатом первой главы является следующее утверждение.

Теорема 1.2 (Теорема Лиувилля). Пусть М — многообразие Ь-парабо-лического типа, с(х) ^ 0. Тогда всякая ограниченная L-гармоническая на М функция является тождественным нулем.

В третьем параграфе первой главы вводится определение многообразия с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие

и В с М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту Д С М \ В такую, что ЗД — компакт, будем называть концом М по отношению к В (см., например, [2]). Если число концов М относительно некоторого компактного множества равномерно ограниченно сверху целым числом, то говорят, что М имеет конечное число концов. В этом случае существует такой компакт В, что М \ В имеет ровно к неограниченных компонент.

В третьем параграфе показано, что многообразие с конечным числом концов имеет ¿-параболический тип тогда и только тогда, когда все его концы имеют ¿-параболический тип.

Зафиксируем некоторый конец Д. Пусть {B%k}^=l — гладкое исчерпание конца Д, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств с гладкими границами дВк такая, что <ЭД С Вгк с Di, ~Ё?к \ <ЭД с В'к+1 для всех к > 1 и LSf=1B'k = Д. Будем говорить, что непрерывные ограниченные на Di функции fi(x) и f2{x) эквивалентны на Di, и использовать обозначение fi(x) ~ /2(а;), если выполнено равенство

lim sup \fi{x) - f2(x)\ = 0.

Понятие эквивалентных функций не зависит от выбора исчерпания конца Д. Обозначим класс эквивалентных / функций через [/].

Будем говорить, что функции fi и /г слабо эквивалентны на Д, если

\h(x)-f3{x)\<CvDi{x)

на Di для некоторой константы С. Здесь — ¿-потенциал конца Di. В параграфе 3 первой главы показано, что введенное отношение слабой эквивалентности действительно является отношением эквивалентности. Обозначим класс слабо эквивалентных / функций через [/]*.

В дальнейшем нам потребуется определение ¿-строгого конца многообразия и ¿-регулярного конца многообразия. При этом, понятие L-строгого конца мы введем по аналогии с определением ¿-строгого многообразия, приведенного в работе Мазепы Е.А. [9]. Определение 1.7. Будем говорить, что конец является L-строгим, если его L-потенциал уц{ е [0].

Определение 1.8 ([4]). Говорят, что конец Di является L-регулярным, если на нем выполнено неравенство Харнака для всякой неотрицательной

L-гармонической функции, т.е. существует такая константа С > 0, что для всех достаточно больших г > О и для всякой неотрицательной L-гармонической на (Вгг(о) \ Вг/2(о)) П Д- функции f выполнено

sup / < С inf /.

8Br(o)nDi dBr{o)r\Di

Здесь Бг(о) — геодезический шар радиуса г с центров в точке о е В.

Отметим, что введенные определения ¿-строгого конца и конца ¿-гиперболического типа не эквивалентны.

В четвертом параграфе первой главы приводится определение квазимодельного конца и указаны необходимые и достаточные условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых он имеет ¿-гиперболический тип.

Результаты первой главы опубликованы в работах [11], [16], [18], [20]. Глава 2. "¿-гармонические функции на многообразиях с концами" Данная глава посвящена изучению свойств ¿-гармонических функций на римановых многообразиях с концами.

Пусть Д — некоторый конец многообразия. Будем говорить, что функция fi принадлежит классу допустимых на конце Di функций, если на конце Di существует ¿-гармоническая функция и такая, что и ~ /, на Д.

Всюду далее через /С, будем обозначать класс допустимых на конце Д функций.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Следующие условия эквивалентны.

(A) Существует L-гармоническая на Di функция и(х) такая, что

u{x)\dDi < 1, д ~ ид.

(B) Существует L-гармоническая на Di функция й(х) такая, что

> 1, u{x)\Di ~ VDi.

(C) Для любой непрерывной на dDi функции Ф и для любой непрерывной ограниченной на Di функции fi € Ki существует L-гармоническая на Di функция h{x) такая, что h € [fi], h\goi = Ф-

(D) Конец Di является L-строгим.

Замечание. Импликация (D) —> (С) доказана в [9].

Всюду далее будем считать, что М = В и Д и... и Д— произвольное многообразие без края с концами Д,..., Д+ь где Д,..., Д — концы ¿-параболического типа, Д+ь... , Д+; — концы ¿-гиперболическрго типа. При этом предполагаем, что компакт В выбран таким образом, что многообразие М имеет ровно в +1 концов относительно любого другого компакта В' э В.

Обозначим через ВЩ(М), И£(М) и Н¿(М) пространство ограниченных ¿-гармонических на М функций, конус неотрицательных ¿-гармонических на М функций и пространство ¿-гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно.

Отметим, что из некомпактности многообразия М следует, что оно имеет как минимум один конец, откуда э +1 > 1.

Во второй главе были получены следующие утверждения.

Теорема 2.2. Пусть М — многообразие, имеющее й концов ¿>1,..., Д Ь-параболического типа и I концов Д+1,...,Д+; Ь-гиперболического типа, с(х) ^ 0 на Д, г = 1,... я. Тогда

длтШ^М) > I, <ШпН£(М) > в + 1, ШтИ^(М) > 5 + I.

Замечание. В случае I = 0 под записью сШпВН^М) = 0 будем понимать справедливость теоремы Лиувилля для ограниченных ¿-гармонических на М. функций.

Теорема 2.3. Пусть М — многообразие, имеющее в концов Д,..., Д Ь-параболического типа и I концов Д+1,...,Д+/ Ь-гиперболического типа, с(х) ^ 0 на Д, г = 1,... з, и все концы Ь-регулярны. Тогда

сНтН 1(М) = сУтН^(М) = в +1, <ИтВЩ(М) = I.

Замечание. Условие с(х) ф 0 на Д, г = 1,... в в формулировках теорем 2.2 и 2.3 является существенным. Например, для неотрицательных гармонических функций выполнена теорема Лиувилля на многообразиях параболического типа (случай I = 0), т.е. сИтН£(М) = 1 вне зависимости от количества в концов параболического типа.

Замечание. В случае, когда многообразие М содержит хотя бы один ¿-строгий конец ¿-гиперболического типа, не являющийся ¿-регулярным, пространство ВН^(М) а, следовательно, и Н¿(М), и конус И¿(М), могут быть бесконечномерными (см. [8]).

Теорема 2.4. Пусть М — многообразие, имеющее в концов ¡¿-параболического типа и I > 1 концов Ь-гиперболического типа. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций 5 Кр з = з + + 1 ,...,з + 1, существует функция и е ВН¿(М) такая, что и е [}]]* на ^ - в + 1,..., в +1.

Теорема 2.5. Пусть М — многообразие, имеющее в концов Ь-парабо-лического типа и I > 1 концов Ь-гиперболического типа, причем все его концы Ь-гиперболического типа являются Ь-строгими. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций е Кр j = а + + 1 ,...,з + 1, существует единственная функция и € ВЩ(М) такая, что и е {}]} на Dj, j = 3 + 1,...,з + 1.

Отметим, что в работе [4] утверждалось (без приведения доказательства), что всякая неотрицательная ¿-гармоническая функция на многообразии, содержащем лишь концы ¿-параболического типа, есть тождественный ноль. Однако, в случае с(х) ф 0, это не так, что легко проверить, рассмотрев, например, решения уравнения Аи - и = 0 на цилиндре в К3. Более того, из теоремы 2.2 следует, что на таком многообразии размерность конуса неотрицательных ¿-гармонических функций будет не менее числа концов многообразия.

Другой целью второй главы является рассмотрение случая с(х) = О, т.е. гармонических функций. Заметим, что не все сформулированные выше утверждения будут справедливы без изменений и для гармонических функций. Например, как уже указывалось, на многообразии, содержащем лишь концы ¿-параболического типа, теорема Лиувилля выполнена для ограниченных и не выполнена для неотрицательных ¿-гармонических функций. В то же время, на многообразии, содержащем только концы параболического типа, теорема Лиувилля выполнена как для ограниченных, так и для неотрицательных гармонических функций (см., например, [2]). При рассмотрении гармонических функций появляется возможность постановки задач с условиями на концы не только гиперболического, но и параболического типа. Соответственно, происходит расширение функционального класса, в котором ищутся решения рассматриваемых задач. Для постановки краевых задач нам потребуется понятие потока гармонической функции по концу многообразия.

Определение 2.1. Потоком гармонической функции и по концу Д назо-

вем число ^

flux и = / -г-di/, Di J dv

dDÍ\dD¡

где v — единичная внешняя нормаль к Вхк, к — произвольный фиксированный номер.

Заметим, что в силу формулы Грина определение потока не зависит от выбора к.

Обозначим через ВН(М), Н+(М) и И'(М) пространство ограниченных гармонических на М функций, конус неотрицательных гармонических на М функций и пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. Справедливы следующие утверждения

Теорема 2.6. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1. Тогда для любых констант ai,..., as и любых непрерывных ограниченных функций fj б 6 Kj, j = s + 1,... ,s + l, существует функция u{x) e Ш'(М) такая, что

fluxu(a:) = a¿, i = 1,..., s, u(x) £ [fj]* на j = s + 1,..., s +1. Dx

Теорема 2.7. Пусть M — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1, при этом все концы гиперболического типа являются A-строгими, а концы параболического типа регулярными. Тогда для любых констант ai,...,as и любых непрерывных ограниченных функций fjSKj,j = s + l,...,s + l, существует единственная функция и{х) £ И'(М) такая, что

flux «(ж) — a¿, i = 1,..., s, и(х) 6 [fj] на Dj,j = s + l,...,s + l.

Теорема 2.8. Пусть М — многообразие, имеющее s концов параболического типа и I концов гиперболического типа. Если все концы многообразия регулярны, то

dimH'(A/) = s + l.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [13]-[15]. Глава 3. "L-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами" Данная глава посвящена изучению

свойств L-гармонических функций на римановых многообразиях с квазимодельными концами. Всюду далее считаем, что M — многообразие с квазимодельными концами, т.е. каждый конец Д многообразия M изо-метричен прямому произведению (r0, +00) х Su х Si2 х ••• х Sik с метрикой

ds2 = dr2 + gUr)K + - + 9Ur)del,

где Sij — компактные римановы многообразия без края, дц{г) — положительные гладкие на (го, +оо) функции, ddfj — метрика на 5у, j = 1,..., к, к — k{i). Будем также предполагать, что с(х) = а (г) на каждом конце Д. Пусть nij = dim S'y. Введем обозначения

00

*(*) = $'(*)•■■«). ^ = Qi=:Iw)dt'

13 г0

00 / t \ оо/оо \

Jij = J -щ I У Qij(z)dz j dt, Nij = J щ IJ qij{z)dz j dt,

ro Vo 1 r0 \ t /

где j = 1,..., k.

В первом параграфе третьей главы рассматриваются гармонические функции, т.е. случай c(z) = 0 на М.

Теорема 3.1. Пусть Д — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения.

(i) Если конец Di имеет гиперболический тип, то Di является регулярным тогда и только тогда, когда J^ = 00 для всех j — 1,..., к.

(И) Если конец Di имеет параболический тип и Ny = 00 для всех j = 1,..., к, то Di является регулярным.

Замечание. Конец Д имеет гиперболический тип тогда и только тогда, когда Qi < 00. Кроме того, всякий квазимодельный конец гиперболического типа является Д-строгим.

Будем говорить, что квазимодельный нерегулярный конец Д гиперболического типа является нерегулярным концом порядка (к, s;) (1 < s,- < к), если Jij < 00 для всех j < S{ и Jy = 00 при j > s,-.

Следующее утверждение является следствием теоремы 3.1 и результатов, полученных во второй главе диссертации.

Следствие 3.2. Пусть М имеет в квазимодельных концов Д,Д параболического типа, I квазимодельных регулярных концов Д+ь,.., Д+; гиперболического типа и р квазимодельных нерегулярных концов Дг-и+1.....Ан-г+р гиперболического типа порядков (£1,61), ..., (кр,зр), соответственно. Пусть 1+р > 1. Тогда для любого набора (аь...,а5) Фа+1+1,...,Фа+1+р), где а^а3, Ь,+ь...,Ьа+г — произвольные константы, а Ф; = Ф{(9ц.....в^) — непрерывные на Бц х ... х функции (г = й +1 + 1,..., 5 +1 + р), существует функция и е ЩМ) такая, что

При этом, если все концы параболического типа Д,...,Д являются регулярными, то решение краевой задачи (2) будет единственным в

Существование решения задачи (2) без условий на концы параболического типа среди функций и е ®Н(М) ранее было доказано А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [8]. В следствии 3.2 получено обобщение данного результата: в постановке задачи появляются условия на концы параболического типа, решения ищутся в пространстве ЩМ); кроме того, найдены точные условия единственности решения данной задачи.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются ¿/-гармонические функции, т.е. случай с(х) ^ 0 на каждом конце Д многообразия. Обозначим

Теорема 3.2. Пусть Di — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения.

(О Если конец Д имеет Ь-гиперболический тип, то Д является Ь-регулярным тогда и только тогда, когда Зц — оо для всех э = к.

(И) Если конец Д имеет Ь-параболический тип и ЛГу = оо для всех 3 = ,к, то Д является Ь-регулярным.

йихи = = 1,..., й; Мти = ¿»¡, г = в 4-1,..., 5 + 1\ Ит и(г, в(и... в{к) = Фг(%,..., ви>) на Д,

г-юо

г = й + I + 1, ....й + 1+р.

(2)

ЩМ).

Замечание. Конец Д- имеет ¿-гиперболический тип тогда и только тогда, когда Ii < 00. Кроме того, всякий квазимодельный конец ¿-гиперболического типа является ¿-строгим.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [10]—[12], [16]-[21].

Список литературы

[1] Григорьян, А.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях специального вида / А.А. Григорьян // Изв. вузов. Матем. — 1987. № 2. — С. 3037.

[2] Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds / A. Grigor'yan // Bull. Amer. Math. Soc. - 1999. - V. 36. - P. 135249.

[3] Grigor'yan, A. Liouville property for a Schro"dinger operator / A. Grigor'yan, W. Hansen // Math. Ann. - 1998. - V. 312. - P. 659716.

[4] Kim, S.W. Generalized Liouville property for Shrodinger operator on Riemannian manifolds / S.W. Kim, Y.H. Lee // Math. Z. - 2001. -V. 238. - P. 355-387.

[5] Li, P. Harmonic functions and the structure of complete manifolds / P. Li, L.F. Tam // J. Diff. Geom. - 1992. - V. 35. - P. 359-383.

[6] Лосев, А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида / А.Г. Лосев // Изв. вузов. Матем. — 1991. № 12. - С. 15-24.

[7] Лосев, А.Г. Стационарное уравнение Шредингера на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Труды кафедры МАТФ ВолГУ. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета. — 2002. — С. 94-124.

[8] Лосев, А.Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Алгебра и анализ. - 2001. Т. 13. Вып. 1. - С. 84-110.

(9] Мазепа, Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шре-дингера на римановых многообразиях / Е.А. Мазепа // Сиб. мат. журнал. - 2002. Т. 43. №. 3. - С. 591-599.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[10] Корольков, С.А. Решения уравнения Лапласа—Бельтрами на многообразиях с модельными концами / С.А. Корольков // Вестник ВолГУ. Сер.9: Исследования молодых ученых. — 2005. Вып. 4. Ч. 2. — С. 11-17.

[11] Корольков, С.А. О разрешимости некоторых краевых задач для гармонических функций на многообразиях с модельными концами / С.А. Корольков // Избранные труды молодых ученых математического факультета ВолГУ. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета. — 2005. — С. 25-30.

[12] Корольков, С.А. Решения стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях с квазимодельными концами / С.А. Корольков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы. Тез. докл. — Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета. — 2007. - С. 93-94.

[13] Корольков, С.А. О разрешимости некоторых краевых задач для гармонических функций на римановых многообразиях с концами / С.А. Корольков // Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Тез. докл. — Новосибирск: Издательство Новосибирского государственного университета - 2007. - С. 208-209.

[14] Корольков, С.А. Гармонические функции на римановых многообразиях с концами / С.А. Корольков // Сиб. Мат. Журнал. — 2008. Т. 49. №. 6. - С. 1319-1332.

[15] Корольков, С.А. L-гармонические функции на многообразиях с концами / С.А. Корольков // Труды математического центра

им. Н.И. Лобачевского (Материалы Седьмой молодежной научной школы-конференции). Тез. докл. — Казань: Издательство Казанского математического общества. — 2008. Т. 37. — С. 94-96.

[16] Корольков, С.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа—Бельтрами на модельных многообразиях / С.А. Корольков, А.Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер.1: Математика. Физика. — 20032004. Вып. 8. - С. 48-61.

[17] Корольков, С.А. Решения стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях / С.А. Корольков, А.Г. Лосев // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского (Материалы международной научной конференции). Тез. докл. — Казань: Издательство Казанского математического общества. — 2004. Т. 25. — С. 148-149.

[18] Корольков, С.А. Ограниченные решения стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях / С.А. Корольков, А.Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер.1: Математика. Физика. — 2005. Вып. 9. - С. 15-26.

[19] Корольков, С.А. Гармонический функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами / С.А. Корольков, А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского (Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции). Тез. докл. — Казань: Издательство Казанского математического общества. — 2007. Т. 35. — С. 136-138.

[20] Корольков, С.А. О гармонических функциях на римановых многообразиях с квазимодельными концами ( С.А. Корольков, А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Вестник СамГУ. Математика. — 2008. № 3. — С. 175-191.

[21] Лосев, А.Г. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на модельных многообразиях / А.Г. Лосев, С.А. Корольков // Геометрический анализ и его приложения: тез. докл. международной школы-конференции. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета. — 2004. — С. 115-118.

Подписано в печать 07.05 2009 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 150 экз. Заказ 96.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100.

Введение

1 ¿-параболичность типа римановых многообразий

1.1 Вводные определения.

1.2 Многообразия ¿-параболического типа.

1.3 Многообразия с концами.

1.4 Квазимодельные концы.

2 ¿-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С КОНЦАМИ

2.1 ¿-гармонические функции на концах многообразия.

2.2 ¿-гармонические функции на ¿-регулярных концах.

2.3 Теоремы типа Лиувилля для ¿-гармонических функций

2.4 Разрешимость краевых задач для гармонических функций

3 ¿-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С КВАЗИМОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

3.1 Гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами.

3.2 ¿-гармонические функции на римановых многообразиях с квазимодельными концами.

В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шре-дингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: М. Андерсона, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, A.A. Клячина, В.А. Клячина, Е.М. Ландиса, П. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы, В.Г. Мазьи, В.М. Ми-клюкова, Н.С. Надирашвили, Л. Ниренберга, O.A. Олейник, Ю.Г. Решет-няка, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, Л.Ф. Тама, В.Г. Ткачева, H.H. Ураль-цевой, С.Т. Яу и ряда других авторов.

Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке математического анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.

Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Мп функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (А, Ь)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Lu = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Достаточно подробно об этой тематике написано в обзорах A.A. Григорьяна [6], С.Т. Яу [60], а также в работах В.М. Миклюкова [46], А.Г. Лосева [34] и др.

Многие работы были посвящены изучению решений эллиптических уравнений на многообразиях с концами. Так, П. Ли, Л.Ф. Там в [29] доказали, что если многообразие M имеет m концов, то размерность пространства гармонических на M функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, не меньше, чем т. Там же было доказано, что если M имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на M функций также не меньше, чем т.

На многообразиях с регулярными концами A.A. Григорьяном в работе [4] была доказана разрешимость некоторых краевых задач для положительных гармонических функций и были получены оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических'функций. Здесь под регулярностью конца понимается выполнение неравенства Харнака для неотрицательных гармонических функций на соответствующем конце.

А.Г. Лосевым в работе [30] были получены условия выполнения теорем типа Лиувилля на многообразиях с модельными концами, а также даны точные оценки размерности пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на таких многообразиях.

В работах A.A. Григорьяна, C.B. Кима, Я.Х. Ли, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы и других математиков также рассматривались решения эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, решения стационарного уравнения Шредингера (далее — L-гармо-нические функции)

Lu = Au — с(х)и = 0, (1) где с(х) — гладкая неотрицательная функция.

Так, А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40] были найдены условия разрешимости задачи Дирихле для ограниченных L-гармонических функций на многообразиях с квазимодельными концами.

В работе C.B. Кима, Я.Х. Ли [11] была получена оценка размерности конуса положительных и пространства ограниченных ¿-гармонических функций на многообразиях с ¿-регулярными концами. Здесь ¿-регуляр-ность означает выполнение неравенства Харнака для неотрицательных //-гармонических функций на соответствующих концах.

По проблематике данная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является дальнейшее исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и поведением решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера на таких многообразиях, получение необходимых и достаточных условий разрешимости некоторых краевых задач для рассматриваемых уравнений и оценка размерностей различных пространств решений уравнений Лапласа— Бельтрами и Шредингера на некомпактных римановых многообразиях.

В настоящей работе развивается подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, примененный Е.А. Мазепой в работе [44], основанный на введении понятия класса [/] эквивалентных на каждом конце многообразия непрерывных ограниченных функций.

В работе применяется техника априорных оценок решений уравнений Лапласа—Бельтрами и Шредингера, метод Фурье и другие методы, относящиеся к теории потенциала и теории уравнений с частными производными. Используются также теоретико-функциональные методы, связанные с исследованием поведения решений рассматриваемых уравнений на римановых многообразиях специального вида.

Следующие результаты диссертации являются новыми.

1. Получено обобщение понятия параболичности и гиперболичности типа некомпактного риманова многообразия и любого его открытого подмножества для стационарного уравнения Шредингера (1). Доказана теорема Лиувилля для ограниченных ¿-гармонических функций на многообразиях ¿-параболического типа.

2. Получен критерий ¿-строгости конца многообразия.

3. Получены оценки размерностей различных пространств ¿-гармонических функций на римановых многообразиях с произвольными концами, найдены условия точности данных оценок.

4. Получены условия существования и единственности решений некоторых краевых задач, аналогичных, так называемой, третьей краевой или смешанной задаче.

5. Получены необходимые и достаточные условия на вид метрики квазимодельных концов многообразия, при которых а) концы являются Ь-регулярными; б) на таком многообразии выполнена теорема типа Лиувилля; в) на таком многообразии разрешимы, причем единственным образом, некоторые краевые задачи.

Основные результаты данной работы докладывались на Междуна родной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (г. Волгоград, 2004 г.); Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (г. Казань, 2004 г.); Международной школе-конференции "Современные методы теории краевых задач" (г. Воронеж, 2007); Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007); 8-й Международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (г. Казань, 2007), 7-й молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2008" (г. Казань, 2008); на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2002 — 2008 гг.), в разное время на семинарах ВолГУ "Геометрический анализ и его приложения" (рук. проф. В.М. Миклюков) и "Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях" (рук. проф. А.Г. Лосев); на семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (рук. проф. О.П. Филатов); на семинаре по геометрической теории функций кафедры математического анализа Казанского государственного университета (рук. проф. Л.А. Аксентьев).

Основные результаты опубликованы в работах [14]-[24], [36]. Все результаты из совместных статей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. В первой главе вводится определение £-параболичности типа как самого многообразия, так и любого его подмножества; также получена теорема Лиувилля для ограниченных Ь-гармонических функций на многообразиях Ь-параболического типа. Во второй главе рассматривается вопрос о разрешимости некоторых краевых задач на римановых многообразиях с концами и вопрос единственности решений рассматриваемых задач. Также во второй главе получены оценки размерностей некоторых пространств решений стационарного уравнения Шредингера и некоторых пространств гармонических функций на многообразиях с концами. В третьей главе рассматриваются многообразия, имеющие концы специального вида. Получены условия- выполнения теорем типа Лиувилля в терминах метрики концов многообразия. В приложении приведены необходимые сведения, касающиеся решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, которые используются в третьей главе.

Перейдем к точным формулировкам. В работе рассматриваются Ь-гар-монические функции, т.е. решения уравнения (1), на некомпактных римановых многообразиях М с пустым краем.

В первой главе вводится понятие Ь-параболичности типа произвольного открытого подмножества многообразия М и всего многообразия.

Определим сначала понятие ¿/-гармонической меры произвольного непустого открытого множества О. СС М с гладкой границей <90. Всюду далее предполагаем, что М — многообразие без края.

Пусть — гладкое исчерпание М, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств с гладкими границами дВ& такая, что Вк с Вк+1 для всех к > 1 и и™=1Вк = М. При этом предполагаем, что исчерпание выбрано таким образом, что дВк и д£1 трансверсальны для всех к. Пусть ик является решением следующей задачи Дирихле в £1Г)Вк buk — 0 в П Вк, ик = О на dil П Вк, ик = 1 на дВк П

Последовательность функций {ик}^=1 в силу принципа максимума убывает и ограничена. Тогда существует предельная функция uq = = lim Uk, которую будем называть L-гармонической мерой множества к—>оо В случае ü = М, функцию Ьм = им называют функцией Лиувилля многообразия М (см. [7], [11]).

Нам также понадобится понятие L-потенциала произвольного открытого множества Г2 многообразия М, которое мы вводим по аналогии с определенным в работе [44] понятием L-потенциала многообразия. Пусть — последовательность решений следующих задач Дирихле /

Lvk = 0 в Вк П П, < Vk — 1 на <90 П Вк, vk = 0, на дВк П П.

Последовательность функций {г^}^ в силу принципа максимума монотонно возрастает и сходится к предельной функции vq(x) = lim vk(x), k—>oo которая является L-гармонической в П и 0 < vq(x) < 1 в Г2. Функцию vq(x) будем называть L-потенциалом множества Q. Определение 1. Будем говорить, что множество fl имеет Ь-параболичес-кий тип, если его L-гармоническая мера иц = 0. В противном случае будем говорить, что О, имеет L-гиперболический тип. Будем говорить, что многообразие М имеет L-параболический тип, если функция Лиувилля многообразия Ьм = 0. В противном случае будем говорить, что М имеет L-гиперболический тип.

Замечание. Истоки проблемы классификации римановых многообразий восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных классов на поверхностях и развитой в работах А. Альфорса, А. Бейрлин-га, JI. Сарио и других математиков. Из теоремы Ф. Клейна, П. Кебе и А. Пуанкаре об униформизации (см., например, [54]), в частности, следует, что всякая односвязная риманова поверхность конформно эквивалента одной из следующих поверхностей:

1. сфере (поверхность эллиптического типа);

2. комплексной плоскости (поверхность параболического типа);

3. гиперболической плоскости с ее комплексно-аналитической структурой (поверхность гиперболического типа).

Определение эллиптичности типа достаточно просто и заключается в определении компактности поверхности.' Значительно больший интерес вызывает задача определения параболического и гиперболического типов. Отличительным свойством двумерных поверхностей параболического (гиперболического) типа является выполнение (не выполнение) для них теоремы Лиувилля, утверждающей, что всякая положительная супергармоническая функция на данной поверхности является тождественной постоянной. Данное свойство служит основой для распространения понятий параболичности и гиперболичности на римановых многообразиях размерности выше двух. А именно, многообразия, на которых всякая ограниченная снизу супергармоническая функция равна константе, называют многообразиями параболического типа.

К числу одного из первых эффективных геометрических результатов в определении типа риманова многообразия относится теорема С.Я. Ченга и С.Т. Яу [57], утверждающая, что полное риманово многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее, чем R2 при R —> оо. Однако, существуют многообразия параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.

A.A. Григорьян [3] доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия М эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта в М равна нулю. Заметим, что вообще емкостная техника широко применялась и применяется в теории уравнений с частными производными и теории функций (см. работы Е.М. Ландиса [25], В.Г. Мазьи [45], Ю.Г. Решетняка [53] и др.). Например, на основе емкостной техники, получено обобщение параболичности типа для нелинейного уравнения Ари = div(|Vw|p^2Vii) = 0 (см., например, [9], [10]).

Теоретико-функциональный подход к проблеме параболичности типа римановых поверхностей и многообразий развит в работах J1.B. Альфор-са [1], Р. Неванлинны [50], С.Т. Яу [60] и других математиков. Получению различных условий параболичности в терминах таких геометрических характеристик, как рост объема геодезического шара, изопе-риметрические функции и т.д. посвящены работы A.A. Григорьяна [3], В.А. Зорича, В.М. Кессельмана [9], П. Ли [29], В.М. Миклюкова [46] и других.

В данной работе получено обобщение параболичности и гиперболичности типа некомпактного риманова многообразия для стационарного уравнения Шредингера (1).

Всюду далее в данной работе рассматриваются некомпактные рима-новы многообразия и некомпактные подмножества римановых многообразий. Отметим, что если ¡Q — ограниченное множество, то, в силу принципа максимума и введенного определения L-параболичности типа, оно имеет L-параболический тип.

Основным результатом первой главы является следующее утверждение.

Теорема 1.2 (Теорема Лиувилля). Пусть М — многообразие L-парабо-лического типа, с{х) ф 0. Тогда всякая ограниченная L-гармоническая на М функция является тождественным нулем.

Во второй главе рассматриваются многообразия с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие и В С М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту D с М\В такую, что 8D — компакт, будем называть концом М по отношению к В (см., например, [6]).

Рис. 1. Многообразие М с концами Dь D2,

Зафиксируем некоторый конец Д. Обозначим через {Вгк}^=1 гладкое исчерпание конца Д, т.е. последовательность предкомпактных открытых подмножеств с гладкими границами дВгк таких, что <ЭД Вгк с Д,

T?k \ dDi с В\+1 для всех к > 1 и Ujg^ = Д. Пусть Л (ж) и /2(ж) -непрерывные ограниченные на Д функции. Будем говорить, что функции fi(x) и /2(ж) эквивалентны на Di, и использовать обозначение Л (ж) ~ ~ /2(ж), если для некоторого исчерпания {-В^.}^ конца Д выполнено равенство lim sup \fi(x) - /2{х)\ = 0.

Понятие эквивалентных функций не зависит от выбора исчерпания конца Di. Обозначим класс эквивалентных / функций через [/].

Будем говорить, что функции /1 и /2 слабо эквивалентны на Di, если h(x)~ f2{x)\<CvDi{x) на Di для некоторой константы С. Здесь vdi — L-потенциал конца Di. В главе 1 данной работы показано, что введенное отношение слабой эквивалентности является отношением эквивалентности. Будем обозначать класс слабо эквивалентных / функций через [/]*.

В дальнейшем нам потребуется определение L-строгого конца многообразия и L-регулярного конца многообразия. При этом, понятие L-строгого конца мы введем по аналогии с определением L-строгого многообразия, приведенного в работе Мазепы Е.А. [44].

Определение 2. Будем говорить, что конец Di является L-строгим, если его L-потенциал V£>t € [0].

Определение 3 ([11]). Говорят, что конец Di является L-регулярным, если на нем выполнено неравенство Харнака для всякой неотрицательной L-гармонической функции, т.е. существует такая константа С > 0, что для всех достаточно больших г > 0 и для всякой неотрицательной L-гармонической на (В2г{о) \ Вг/2(о)) П Di функции f выполнено sup / < С inf /. dBr{o) ПА сШг(о)пД

Здесь Вг(о) — геодезический шар радиуса г с центром в точке о е В.

Отметим, что введенные определения L-строгого конца и конца L-гиперболического типа не эквивалентны (см. пример 1.1 в первой главе).

Пусть Dt — некоторый конец многообразия. Будем говорить, что функция fi принадлежит классу допустимых на конце Di функций, если на конце Di существует L-гармоническая функция и такая, что и ~ fi на Д.

Всюду далее через Ki будем обозначать класс допустимых на конце Д функций.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Следующие условия эквивалентны.

A) Существует L-гармоническая на Di функция и(х) такая, что u{x)\dDi<l, u{x)\Dl~vD%.

B) Существует L-гармоническая на D% функция й(х) такая, что й{х)\дЕ>1 > 1, й(x)\Dt ~ vDi.

C) Для любой непрерывной на dDi функции Ф и для любой непрерывной ограниченной на Di функции fг 6 I<i существует L-гармоническая на Di функция h{x) такая, что h е [fi], h\gD% = Ф

D) Конец Di является L-строгим.

Всюду далее будем считать, что М = В U Di U . U Ds+i — произвольное многообразие без края с концами D\,., Ds+i, где Di,., Ds — концы L-параболического типа, Ds+1,., Ds+i — концы L-гиперболического типа. При этом предполагаем, что компакт В выбран таким образом, что многообразие М имеет ровно s +1 концов относительно любого другого компакта В' э В.

Обозначим через ВЩ(М), Н£(М) и Ш'Ь{М) пространство ограниченных L-гармонических на М функций, конус неотрицательных L-гармони-ческих на М функций и пространство L-гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. При этом, ВЩ(М) С Ш'Ь(М).

Отметим, что из некомпактности многообразия М следует, что оно имеет как минимум один конец, откуда s +1 > 1.

Во второй главе были получены следующие утверждения.

Теорема 2.2. Пусть М — многообразие, имеющее s концов Di,., Ds L-параболического типа и I концов Ds+i,., Ds+i L-гиперболического типа, с(х) ф 0 на Di, г — 1,. s. Тогда dimBHi(M) > I, dimHj(М) >s + l, dimH^M) > s + I.

Теорема 2.3. Пусть M — многообразие, имеющее s концов Di,.,Ds L-параболического типа и I концов Ds+i,., Ds+i L-гиперболического типа, с(х) ф 0 на Dl} i = 1,. s, и все концы L-регулярны. Тогда dim Н£(М) = dim В!Ь{М) = s + I, dimBHL(M) = I.

Заметим, что в работе [11] утверждалось (без приведения доказательства), что всякая неотрицательная L-гармоническая функция на многообразии, содержащем лишь концы L-параболического типа, есть тождественный ноль. Однако это не так, что иллюстрирует пример 1.2 в первой главе данной работы. Кроме того, из теоремы 2.2 следует, что на таком многообразии размерность конуса неотрицательных L-гармонических функций будет не менее числа концов многообразия.

Теорема 2.4. Пусть М — многообразие, имеющее в концов Ь-парабо-лического типа и I > 1 концов Ь-гиперболического типа. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций /э е К), ^ — в + + 1,., 5 + I, существует функция и е ВШ[^(М) такая, что и € [¡3]* на 5 + 1, . . . , 5 +

Теорема 2.5. Пусть М — многообразие, имеющее в концов Ь-парабо-лического типа и I > 1 концов Ь-гиперболического типа, причем все его концы Ь-гиперболического типа являются Ь-строгими. Тогда для любого набора непрерывных ограниченных функций € К3, 3 = з + + 1,., в + I, существует единственная функция и е ШШь(М) такая, что и е [/у] на у = 5 + 1,., в + I.

Другой целью второй главы является рассмотрение случая с(х) = О, т.е. гармонических функций. Отметим, что не все сформулированные выше утверждения будут справедливы без изменений и для гармонических функций. Например, на многообразии, содержащем лишь концы Ь-пара-болического типа, теорема Лиувилля выполнена для ограниченных и не выполнена для неотрицательных Ь-гармонических функций. В то же время, на многообразии, содержащем только концы параболического типа, теорема Лиувилля выполнена как для ограниченных, так и для неотрицательных гармонических функций (см., например, [6]).

В случае с(х) = 0 появляется возможность постановки задач с условиями как на концы гиперболического, так и параболического типа. Соответственно, происходит расширение функционального класса, в котором ищутся решения рассматриваемых задач. Для постановки таких задач нам потребуется понятие потока гармонической функции по концу многообразия.

Определение 4. Потоком гармонической функции и по концу Иг называется число дВ\\дОг где и — единичная внешняя нормаль к В%к, к — произвольный фиксированный номер.

Заметим, что в силу формулы Грина определение потока не зависит от выбора к.

Обозначим через ВН(М), Ш+(М) и Ш'(М) пространство ограниченных гармонических на М функций, конус неотрицательных гармонических на М функций и пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия, соответственно. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.6. Пусть М — многообразие, имеющее в концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1. Тогда для любых констант 01,.,а5 и любых непрерывных ограниченных функций Е е Кр э = б + 1,., я 4- I, существует функция и{х) е Ш'(М) такая, что

Аих?х(ж) = йг, г — 1,., й, и{х) € [/■,■]* на В^ 3 = б + 1,., в + I.

Теорема 2.7. Пусть М — многообразие, имеющее в концов параболического типа и I концов гиперболического типа, I > 1, при этом все концы гиперболического типа являются А-строгими, а концы параболического типа регулярными. Тогда для любых констант а1,.,а8 и любых непрерывных ограниченных функций fj е К^, j = 5 + 1,., з + I, существует единственная функция и(х) е Ш'(М) такая, что

Яихи(ж) = а^ г = 1,., в, и{х) £ У)] на , з = б + 1,., й -+-1.

Теорема 2.8. Пусть М — многообразие, имеющее в концов параболического типа и I концов гиперболического типа. Если все концы многообразия регулярны, то

ИшН'(М) = 8 + 1.

В третьей главе рассматриваются гармонические и ¿-гармонические функции на многообразиях М с квазимодельными концами. Конец Бг многообразия М называется квазимодельным, если он изометричен прямому произведению (го,+оо) х х ^ х . х с метрикой где ¿Эу — компактные римановы многообразия без края, д^(г) — положительные гладкие на (го, +оо) функции, — метрика на э = 1,. ,к, к = к(г). Будем также предполагать, что с(х) = сДг) на каждом конце Д. Пусть Пу = Шш'б'у. Введем обозначения где з = 1,к.

В первом параграфе третьей главы рассматриваются гармонические функции, т.е. случай с(х) = 0 на М.

Справедливо следующее утверждение, в котором получены некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является регулярным.

Теорема 3.1. Пусть Д — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения.

7) Если конец Д имеет гиперболический тип, то Д является регулярным тогда и только тогда, когда 3^ = оо для всех з = 1,. ,к.

И) Если конец Д имеет параболический тип и = оо для всех j = 1,к, то Д является регулярным.

Будем говорить, что квазимодельный нерегулярный конец Д гиперболического типа является нерегулярным концом порядка (к, 5г-) (1 < < < к), если Зц < оо для всех j < и Зц = оо при у > в*.

Следующее утверждение является следствием теоремы 3.1 и результатов, полученных во второй главе диссертации. с1з2 = (1г2 + 91{г)ав1 +. + 91{т)ав1

Следствие 3.2. Пусть М имеет s квазимодельных концов .,DS параболического типа, I квазимодельных регулярных концов Ds+i,., Ds+i гиперболического типа и р квазимодельных нерегулярных концов Ds+i+\,., Ds+i+p гиперболического типа порядков (ki, s\), ., (kp, sp), соответственно. Пусть l+p > 1. Тогда для любого набора (ai,.,as, bs+1, .,bs+i, Ф8+1+1,.,Ф3+1+р), где ai,.,aa, ba+1, .,b8+l — произвольные константы, а Ф; = Ф¿(#¿1, .,OiSi) — непрерывные на Sn х . х Sis. функции (г — s + I + 1,., s + / + р), существует функция и G Ш'(М) такая, что fluxu = ai,i — 1,., s; limu = bi, i = s + 1,. s + I: Di Dt lim u(r, Вц,. 9ik) = Фг(6>г-Ь • • •, Oi8i) на Dh (2) r—> oo i — S + 1 + 1, ., S + I +p.

При этом, если все концы параболического типа Ds являются регулярными, то решение краевой задачи (2) будет единственным в И '(М).

Отметим, что существование решения задачи (2) без условий на концы параболического типа среди функций и 6 ВН(М) ранее было доказано А.Г. Лосевым и Е.А. Мазепой в работе [40]. В следствии 3.2 получено обобщение данного результата: в постановке задачи появляются условия на концы параболического типа, решения ищутся в пространстве Ш'(М); кроме того, найдены точные условия единственности решения данной задачи.

Во втором параграфе третьей главы получено следующее утверждение, содержащее некоторые условия на вид метрики квазимодельного конца, при которых конец является L-регулярным.

Теорема 3.2. Пусть D% — квазимодельный конец. Справедливы следующие утверждения. i) Если конец Di имеет L-гиперболический тип, то Di является L-регулярным тогда и только тогда, когда Jij — оо для всех j = 1,., к. i¿) Если конец Di имеет L-параболический тип и Nij — оо для всех j = 1,. ,к, то Di является Ь-регулярным.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность за полезные обсуждения и замечания по теме настоящей работы своему научному руководителю д.ф.-м.н. А.Г. Лосеву, а также к.ф.-м.н. Е.А. Мазепе и В.Ю. Чебаненко.

Список обозначений.

М — гладкое связное некомпактное риманово многообразие без края, п = dim М.

ШШь(М) — пространство ограниченных L-гармонических на М функций.

ЕГ£(М) — конус неотрицательных L-гармонических на М функций.

Ш'Ь(М) — пространство L-гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия.

ВН(М) — пространство ограниченных гармонических на М функций.

Щ[+(М) — конус неотрицательных гармонических на М функций.

И'{М) — пространство гармонических на М функций, ограниченных с одной стороны на каждом конце многообразия.

Di — конец многообразия М. flux-a — поток гармонической функции и по концу Dit

1 Ь-параболичность типа римановых многообразий

1. Ahlfors, L. V. Riemann surfaces / L.V. Ahlfors, L. Sario // Princeton math, series 26. Princeton Univ. Press. — 1960.

2. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ. / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М.: Наука, 1989. 464 с.

3. Григорьян, А.А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых многообразиях / А.А. Григорьян // Мат. сб. 1985. Т. 128. № 3. - С. 354-363.

4. Григорьян, А.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях специального вида / А.А. Григорьян // Изв. вузов. Матем. — 1987. № 2. — С. 3037.

5. Григорьян, А.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях / А.А. Григорьян // Труды семинара И.Г.Петровского. — 1989. № 14. — С. 66-77.

6. Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds / A. Grigor'yan // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. - V. 36. - P. 135249.

7. Grigor'yan, A. Liouville property for a Schro"dinger operator / A. Grigor'yan, W. Hansen // Math. Ann. 1998. - V. 312. - P. 659716.

8. Grigor'yan, A. Stability results for Harnack inequalities / A. Grigor'yan, L. Saloff-Coste // Ann. Inst. Fourier. — 2005. — V. 55. № 3. P. 825-890.

9. Зорич, В.А. О конформном типе риманова многообразия / В.А. Зо-рич, В.М. Кессельман // Функ. анализ и его приложения. — 1996. Т. 30. № 2. С. 40-55.

10. Кессельман, В.М. О римановых многообразиях р-параболического типа / В.М. Кессельман // Изв. вузов. Математика. — 1985. № 4. С. 81-83.

11. Kim, S.W. Generalized Liouville property for Shrödinger operator on Riemannian manifolds / S.W. Kim, Y.H. Lee // Math. Z. 2001. — V. 238. - P. 355-387.

12. Кобаяси, III. Основы дифференциальной геометрии. Т.2.: Пер. с англ. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.; Наука, 1981. 416 с.

13. Colding, Т.Н. Harmonie functions with polynomial growth / Т.Н. Colding, V.P. Minicozzi II // J. Diff. Geom. 1997. - V. 46. № 1. - P. 1-77.

14. Корольков, С.А. Решения уравнения Лапласа—Бельтрами на многообразиях с модельными концами / С.А. Корольков // Вестник ВолГУ. Сер.9: Исследования молодых ученых. — 2005. Вып. 4. Ч. 2. — С. 11-17.

15. Корольков, С.А. Гармонические функции на римановых многообразиях с концами / С.А. Корольков // Сиб. Мат. Журнал. — 2008. Т. 49. №. 6. С. 1319-1332.

16. Корольков, С.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа—Бельтрами на модельных многообразиях / С.А. Корольков, А.Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер.1: Математика. Физика. — 20032004. Вып. 8. С. 48-61.

17. Корольков, С.А. Ограниченные решения стационарного уравнения Шредингера на модельных многообразиях / С.А. Корольков, А.Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер.1: Математика. Физика. — 2005. Вып. 9. С. 15-26.

18. Корольков, С.А. О гармонических функциях на римановых многообразиях с квазимодельными концами / С.А. Корольков, А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Вестник СамГУ. Математика. — 2008. № 3. — С. 175-191.

19. Ландис, Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа / Е.М. Ландис. — М.: Наука, 1971. — 288 с.

20. Li, P. Harmonic functions of polinomial growth / P. Li // Math. Res. Lect. 1997. - V. 4. - P. 35-44.

21. Li, P. Symmetric Green's functions on complete manifolds / P. Li, L.F. Tam // Amer. J. Math. 1987. - V. 109. - P. 1129-1154.

22. Li, P. Linear growth harmonic functions on a complete manifold / P. Li, L.F. Tam // J. Diff. Geom. 1989. - V. 29. - P. 421-425.

23. Li, P. Harmonic functions and the structure of complete manifolds / P. Li, L.F. Tam // J. Diff. Geom. 1992. - V. 35. - P. 359-383.

24. Лосев, А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида / А.Г. Лосев // Изв. вузов. Матем. — 1991. № 12. С. 15-24.

25. Лосев, А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Сиб. мат. журн. — 1998. Т. 39. №. 1. С. 84-90.

26. Лосев, А.Г. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. 1998. Вып. 3. - С. 18-31.

27. Лосев, А.Г. Гармонические функции на искривленных римановых произведениях / А.Г. Лосев // Сборник научных школ ВолГУ. Геометрический анализ и его приложения. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета. — 1999. — С. 274287.

28. Лосев, А.Г. Стационарное уравнение Шредингера на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Труды кафедры МАТФ ВолГУ. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета. — 2002. — С. 94-124.

29. Лосев, А.Г. Гармонические функции предписанного роста на квазимодельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев // Украинский математический вестник. — 2004. Т. 1. № 2. — С. 230-243.

30. Лосев, А.Г. О поведении ограниченных решений уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. — 1998. Вып. 3. С. 32-43.

31. Лосев, А.Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // ДАН. 1999. Т. 367. № 2. - С. 166-167.

32. Лосев, А.Г. Стационарное уравнение Шредингера на римановых произведениях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. — 1999. Вып. 4. — С. 37-51.

33. Лосев, А.Г. Ограниченные решения уравнения Шредингера на римановых произведениях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. Вып. 1. - С. 84-110.

34. Losev, A.G. Unbounded solutions of the Stationary Shrodinger equation on Riemannian manifolds / A.G. Losev, E.A. Mazepa, V.Y. Chebanenko // Computational Methods and Function Theory. — 2003. V. 3. № 2. - P. 443-451.

35. Лосев, А.Г. О неограниченных решениях стационарного уравнения Шредингера на модельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев, Е.А. Мазепа, В.Ю. Чебаненко // Изв. вузов. Матем. — 2006. № 7- С. 46-56.

36. Лосев, А.Г. Решения стационарного уравнения Шредингера предписанного роста на модельных римановых многообразиях / А.Г. Лосев, В.Ю. Чебаненко // Вестник ВолГУ. Сер.1: Математика. Физика. — 2003-2004. Вып. 8. С. 62-72.

37. Мазепа, Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях / Е.А. Мазепа // Сиб. мат. журнал. 2002. Т. 43. №. 3. - С. 591-599.

38. Мазья, В.Г. Пространства С.Л.Соболева / В.Г. Мазья. — Ленинград: ЛГУ, 1985.

39. Миклюков, В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей / В.М. Миклюков // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60. № 4. - С. 111-158.

40. Miklyukov, V. Denjoy-Ahlfors Theorem for Harmonic Functions on Riemannian Manifolds and External Structure of Minimal surfaces / V. Miklyukov, V. Tkachev // Comm. Anal, and Geom. — 1996. — V. 4. № 4. P. 547-587.

41. Murata, M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds / M. Murata // Potential Theory (Nagoya, 1990).- Berlin: de Gruyter, 1992. P. 251-259.

42. Nakai, M. On Evans potential / M. Nakai // Proc. Japan. Acad. — 1962. V. 38. - P. 624-629.

43. Nevanlinna, R. Uber die Existenz von Beschrankten Potentialfunktionen auf Flachen von unendlichen Geschlecht / R. Nevanlinna // Math. Zeitschrift. 1950. - V. 52. - P. 599-604.

44. Troyanov, M. Liouville type theorems for mappings with bounded (co)-distortion / M. Troyanov, S. Vodop'yanov // Ann. Inst. Fourier,. Grenoble. 2002. - V. 52. №. 6. - P. 1753-1784.

45. Позняк, Э.Г. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. / Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

46. Решетняк, Ю.Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными / Ю.Г. Решетняк // Сиб. мат. журн. — 1969. № 5. С. 1109-1138.

47. Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. Пер. с англ. / Дж. Спрингер. М.: ИЛ, 1960. - 344 с.

48. Sario, L. Classification theory of Riemannian manifolds / L. Sario, M. Nakai, C. Wang, L.O. Chung. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl. — 1977.

49. Sullivan, D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds / D. Sullivan // J. Diff. Geom. 1983. - V. 18. - P. 723732.

50. Cheng, S.Y. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications / S.Y. Cheng, S.T. Yau // Comm. Pure and Appl. Math. 1975. - V. 28. - № 3. - P. 333-354.

51. Хейман, У. Субгармонические функции. Т. 1: Пер. с англ. / У. Хей-ман, Н. Кеннеди. М.: Мир, 1980. - 304 с.

52. Yau, S.T. Harmonic function on complete Riemannian manifolds / S.T. Yau // Comm. Pure and Appl.Math. 1975. - V. 28. - P. 201228.

53. Yau, S.T. Nonlinear analysis in geometry / S.T. Yau // L'Enseigenement Mathematique. 1987. - V. 33. - P. 109-158.