Некоторые классы гармонических отображений и чебышёвские сети в римановых субмерсиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В РИМАНОВЫХ

СУШЕРСИЯХ.

§ I. Гармонические отображения римановых пространств.

§ 2. Римановы субмерсии.

§ 3. Гармонические отображения римановых субмерсии . •.

§ 4. Гармонические, взаимно-однозначные отображения подмногообразия на базе в свой прообраз в пространстве субмерсии.

§ 5. Примеры. Отображения в сферическое, штифелово и грассманово пространство

ГЛАВА II. ЧЕБЫШЁВСКИЕ СЕТИ В РИМАНОВЫХ СУЕМЕРСИЯХ

§ I. Чебышёвские сети и гармонические отображения

§ 2. Чебышёвские сети в римановой субмерсии, проекция которых на базу - линия, а проекция в типовой слой - поверхность.

§ 3. Чебышевские сети в римановой субмерсии, проекция которых на базу и в типовой слой вырождается в линию.

Основным объектом исследования настоящей работы являются гармонические отображения римановых пространств специальных типов друг в друга, в частности, так называемые киралъные поля, то есть гармонические отображения псевдоевклидовой плоскости в римановы пространства.

Хорошо известна роль, которую в геометрии и физике играет функционал энергии Е являющийся многомерным обобщением функционала Дирихле. Гармонические отображения гладкого компактного ориентированного риманова многообразия М в гладкое риманово многообразие № вводятся как критические точки функционала энергии в пространство гладких отображений из М в М Исследованию этого функционала и его экстремалей посвящены работы ^Ее^^Ь-Ьетс^ , И. 5а/т,р/>оога Й,[з],[б] и других авторов [х], [12]»[хз], [14]. Частные случаи этих экстремальных отображений это известные понятия из дифференциальной геометрии, например, геодезические, гармонические функции. Киральные поля, имеющие приложения в теоретической физике, с геометрической точки зрения это гармонические отображения псевдоевклидовой плоскости в риманово пространство. Поэтому выделение некоторых новых классов гармонических отображений римановых пространств и изучение их геометрических свойств представляет интерес с теоретической точки зрения, позволяет продвигаться в решении общих вопросов.

В диссертации рассматриваются гармонические отображения в римановых субмерсиях. Римановы субмерсии часто встречаются в римановой геометрии главным образом как однородные римановы расслоения. Основные уравнения римановой субмерсии получил

OVeillB f который в работе ¡IO] определил риманову субмерсию при помощи тензора Т- Яг^о фундаментального тензора слоя и так называемого тензора неголономности А . В I9U Надь П исследовал структурные уравнения субмерсий методом внешних форм.

Предлагаемая диссертация состоит из введения и двух глав.