Секционные кривизны однородных метрик на сферах и проективных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СО РАН

РГ6 1 1

ВОЛЬПЕР Дмитрий Евгеньевич

СЕКЦИОННЫЕ КРИВИЗНЫ ОДНОРОДНЫХ МЕТРИК НА СФЕРАХ И ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1996

ОД

На правах рукописи

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Омского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор БЕРЕСТОВСКИЙ В.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ТАЙМАНОВ И.А., доктор физико-математических наук, профессор СМОЛЕНЦЕВ Н.К.

Ведущая организация - кафедра геометрии Харьковского

государственного университета.

Защита состоится ХР Умз^но^ьд 1996 г. в часов на заседании специализированного Совета К 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте Математики СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики СО РАН.

Автореферат разослан ^ддб г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной римановой геометрии большое значение в качестве модельных пространств, на которых проверяются различные гипотезы, играют однородные римано-вы многообразия, допускающие транзитивные группы изометрий. Класс таких пространств сложился не сразу. Вслед за классическими евклидовыми пространствами появились неевклидовы пространства: пространства Лобачевского и сферические и эллиптические пространства Ркмана. Они имеют постоянную секционную кривизну и могут быть охарактеризованы как однородные многообразия с внутренней метрикой, группа изометрий которых действует транзитинно на касательных 2-мерных подпространствах.

Последующим естественным обобщением являются однородные изотропные римановы многообразия, состоящие из евклидовых и так называемых римановых симметрических однородных пространств (РОСП). Все такие пространства, в свою очередь, охватываются римановыми симметрическими пространствами, классификация и выражение для тензора кривизны которых были в основном получены Э. Картаном к началу 30-х годов 20-го века. В связи с этим интересно отметить, что общие однородные римановы многообразия начали изучать по-настоящему лишь около двадцати лет назад, когда в работах О'Нейла, Дж. Милнора, Чигера-Эбина и других были получены формулы для вычисления секционных кривизн инвариантных римановых метрик на группах Ли и их однородных пространствах.

Цель работы. Все компактные однородные римановы пространства КРОСПы получаются как базы обобщенных расслоений Хоп-фа

1) 32п+1{1) СР",

2) 84'1+3(1) НРП,

3) 815(1) -> 88(|),

4) СР2п+1 -> НР".

со слоями соответственно Э1, Э3, Э', 82, если опустить плоскость

Клли. Числа ь скобках 3"К<А->Ыва.1и1 радиусы сфер с сиилидшыл пространствах, снабженных индуцированными римановыми метриками. Последнее расслоение известно под названием твистор-ного. Требование, чтобы эти расслоения были римановыми суб-мерсиями, определяет на базах классические метрики Фубини-Штуди. При фиксированных метриках на базах можно домножать метрики в слоях расслоений на положительные множители таким образом, что расслоения по-прежнему будут римановыми субмер-сиями. Такие однопараметрические вариации метрик в тотальных пространствах упомянутых расслоений называются каноническими. Эти метрики изучались в работах В. Циллера, Г. Йенсена, Ж.-П. Бургиньона и Г. Кархерас целью нахождения однородных эйнштейновых метрик; для первого расслоения некоторое подсемейство метрик рассматривал И. Чавел с целью распространения результатов М. Берже об однородных римановых многообразиях с малым радиусом инъективности. Интересно, что никто (кроме И. Чавела) не рассматривал задачу вычисления точных границ секционных кривизн указанных канонических вариаций римановых метрик. Эта задача в полном объеме решается в диссертации. Также затрагивается вопрос о радиусе инъективности.

Методы исследования. Основным инструментом диссертации является формула О'Нейла для римановых субмерсий изучаемых пространств на проективные пространства (обобщенные расслоения Хопфа). В отдельных главах используются также клиффордовы алгебры и вычисление тензора кривизны с помощью бивекторов.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы в изучении геометрии обобщенных расслоений Хопфа и в целом в теории однородных римановых многообразий.

Апробация работы. Результаты, приведенные б диссертационной работе, докладывались и обсуждались на студенческих конференциях Омского государственного университета (1991-1993), совместных семинарах кафедр математического моделирования и

математического анализа ОмГУ (1992-1995), международной конференции " Группы а анализе и геометрии" (г. Омск, 1995), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (г. Новосибирск, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приведен в конце автореферата. Результаты совместной статьи, используемые в диссертации, получены лично автором.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 90 страницах и состоит из введения и пяти глав, которые разбиты на пункты. Библиография содержит 26 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагаются полученные резз'льтаты и дается небольшой обзор работ российских и зарубежных математиков, непосредственно примыкающих к теме исследования.

В первой главе диссертации дается достаточно полное изложение известных необходимых сведений об однородных римановых многообразиях, римановых субмерсиях и формулах для вычисления секционных кривизн инвариантных римановых метрик па группах Ли и их однородных пространствах.

Однородные метрики на сферах классифицированы Монтгомери, Самельсоном и Борелем. Среди них только три семейства сфер с непостоянной кривизной

1) и,1+1/ип ~ Э2"41,

2) 8Ргт/5рп ~ 84п+3,

3) Бртэ/Бртт - Э15.

С точностью до подобия метрик 1) - однопараметрическое семейство ип+1-инвариантных метрик, 2) - трехпараметрическое семейство Эрл-ц-инвариантиых метрик, 3) - однопараметрическое семейство Бртд-инвариантных метрик.

(к

В случае 2) можно выделить подслучай - однопараметрическое семейство Зр,,^! к Зрз-инсариактшл^ .метрик на однородном пространстве 8р„_ц х Бр^Бр,, х Эр]. Обозначим соответствующие пространства за где Т > 0 - параметр. Обозначим про-

странства из семейств 1) и 3) за З^11"1"1 и Бу соответственно, где Т > 0 - параметр.

Все эти семейства были изучены с целью нахождения эйнштейновых метрик (Зри3 - в работе Г. Йен сена [5], Бу - Ж.-П .Бур-гиньеном и Г. Кархером в работе [3]). Целью этих работ было нахождение эйнштейновых метрик на соответствующих пространствах. Поэтому секционные кривизны были вычислены лишь в "базисных" касательных площадках. Под "базисными" площадками мы понимаем те касательные площадки, которые содержат два вектора из наперед выбранного базиса касательного пространства.

В работе доказаны следующие утверждения:

Теорема. 2.11 Секционная кривизна Кх пространства 8|-'г+1 не зависит от размерности и удовлетворяет точному неравенству

гшп(4 - ЗГ,7) «С КТ ^ шах(4 - 3Т,Т).

Теорема. 3.14 Секционная кривизна Кт многообразия не зависит от размерности и удовлетворяет неравенству К,тп ^ КТ ^ А'тая, где

К \Х\\п —

Т,

о тг-т

49—=-

11Т + 1

4-3 Т,

Т 4 - ЗГ,

О < Т < |

5'

< т 1,

5 1

^•тах —

4-ЗГ,

Т2 -Т 49г. _ . 4- 4 - ЗГ,

11Г+ 1

причем неравенства точные

О

| ^т^ 1,

1 с г,

Теорема. 4.10 Секционная кривизна Кг многообразия удовле-

и160рлсГп триъьп^то</ /¿"гит ^ ^Т ^

т,

тг-т

4 - 3 Г,

0 < Г 5$

л'тт = Г9ТТуТТ +4 ~зт' И 71 <

1 т,

0 <74 5,

1 < т,

причем неравенства точные. Отметим два факта:

1) Максимумы и минимумы секционной кривизны пространств 8у-'1+3 и Бу совпадают.

2) Для пространств Б^"43 и Б-р существует экстремальное значение секционной кривизны, которое не получается как "базисное'' в работах [3] и [5]).

К„

4-3 Т, Т2 -Т

49

1174 1

4 4 - ЗТ,

Как показал А.Л. Ошнцик, с точностью до подобия существует единственное семейство инвариантных метрик на проективных пространствах СР2"+1 с нестандартной секционной кривизной. Это однопараметрическое семейство 8рп+гишзариантных метрик на однородном пространстве 8рп+1/(8рп х 17]). Обозначим однородное пространство с такой метрикой за СР^-"+1, где Т > 0 -параметр. Заметим, что секционные кривизны в "базисных" направлениях были вычислены в работе В. Циллера [6] с целью нахождения эйнштейновых метрик.

В главе 5 доказывается следующее утверждение

Теорема. 5.3 Секционная кривизна Кх многообразия СР^1+1 не зависит от размерности и удовлетворяет неравенству Кт¡„ ^

Кт ^ К ты, где

^т 'т ~

Г, О < Т ^ 1, 4 - ЗГ, 1 ^ Г,

Ки

± Т'

4,

12Т2+92'-4

2Г2 - 4Т - 1 причем неравенства точные.

0 < Т < 1,

1 ^Т^ 5,

5 < Т

2 ^ 1 5

Заметим, что существует экстремальное значение секционной кривизны, которое не получается как "базисное" в работе [6].

Для рассмотренных метрик можно дать следующее общее описание. Определим каноническую вариацию метрики на тотальном пространстве римановой субмерсии: пусть ж : М В - риманова субмерсия, V и Н - вертикальное и горизонтальное подпространства относительно этой субмерсии. Тогда каноническая вариация t > 0, римановой метрики д на М определяется формулами:

91 |у = ¿зк, —9\п,

н) = 0.

Из этого определения и способа задания метрики на рассмотренных пространствах можно заключить, что метрики на пространствах ву£+1, и Бу являются каноническими вариациями метрик постоянной секционной кривизны 1 на соответствующих сферах, относительно римановых субмерсий

82«+1 срп)

84,1+3 НР", Б15 -> Э8.

У

Метрика на пространстве СРу"1"1 является канонической вариацией симметрической метрики на СР2п+1 с секционной кривизной, меняющейся от 1 до 4, относительно римановой субмерсии

Ср2„+1 ^ дрп

Заметим, что это твисторное расслоение для кватернионного многообразия НР".

Перечисленные субмерсии называются обобщенными расслоениями Хопфа.

Для случая 1) в размерности 3 (для п — 1) существует еще одно описание: назовем Тв2^, А) - сферическое расслоение векторов длины Л над сферой Б2 радиуса 1/2. Введем метрику на ТБ2(|, Л) следующим образом: на горизонтальном и вертикальном подпространствах (касательных к и Э^Д) соответственно) метрика совпадает с естественной, и горизонтальное и вертикальное подпространства ортогональны. Таким образом определенная метрика является метрикой Сасаки сферического касательного расслоения над Я2.

В пункте 4 главы 2 доказано

Следствие. 2.14 Однородное пространство Б? локально изометрич но сферическому касательному расслоению Т32(^, •£).

Заметим, что пространства (Б^3 при п — 1) и Э^-5 не являются локально изометричными сферическим касательным расслоениям над четырех- и восьмимерными сферами. Это легко видно из сравнения секционных кривизн сфер и соответствующих расслоений, кривизна которых получена в работе А.Л. Ямпольского

И-

Рассмотрим произвольную точку р на римановом многообразии М. В касательном пространстве ТРМ в точке р обозначим через

U,5 шар радиуса 8 с центром в 0 G ТРМ.

Определение. 1.14 Точная верхняя граница dp чисел 5 таких, что отображение ехр|ц. определено и инъективно, называется радиусом ииъективности в точке р.

В. Клингенберг доказал, что для четномерных многообразий с секционной кривизной К, 0 < К ^ 1 радиус инъективности ограничен снизу величиной ж. Для нечетномерного многообразия он доказал эту же оценку в предположении ' < К < 1, которое затем было ослаблено до j gj К ^ 1.

М. Берже в [2] построил пример метрики на трехмерной сфере, для которой при секционной кривизне Л ^ К ^ 1, где А < существуют замкнутые геодезические, длина которых меньше чем 2тг, то есть радиус инъективности меньше ж.

Сфера Берже строится как однородное пространство SU2 х R/SUj х R. В работе [4] И. Чавела этот пример был продолжен на однородные пространства SUn+i х R/SUn х R, причем в каждой размерности получается результат, аналогичный результату Берже.

Пространство Чавела диффеоморфно S2u+I и имеет ип+1-инва-риантную метрику, то есть содержится в семействе 2) (но не равно ему). В пункте 5 главы 2 изучаются замкнутые геодезические пространств UlH.i/U„, и получается оценка на радиус инъективности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ямпольский А.Л. Экстрем-алъпые значения секционной кривизны метрики СасакиТ\{Мг", К). // "Укр. геом. сб. - 1989. - Т.32. - С. 127-137.

2. Berger M. On the diameter oj some riemannian manifolds. // Mimeographed notes, University of California, Berkeley, 1962.

3. Bourguignon J.P., Karcher H. Curvature operators: Pinching estimates and geometric examples, // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. -1978. - V.ll. - P.71-92.

4. Chavel I. A class of riemanman homogeneous spaces. // J. Difi. Geom. 1970. - V.4. - К13-20.

5. Jensen J.R. Imbeddings of Stiefel manifolds into Grassmanians. // Duke Math. J. - 1975. - V.42. - P.397-407.

6. Ziller W. Homogeneous Einstein metrics on spheres and projective spaces.// Math. Ann. - 1982. - V.259. - P.351-359.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

7. Берестовский В. Н., Вольпер Д. Е. Класс U(n)-инвариантных римаповых метрик на многообразиях, диффеоморфных сферам нечетной размерности. // Сиб. Мат. Журн. - 1993. - Т.34,№4. - С.24-32.

8. Вольпер Д. Е. Секционные кривизны диагонального Sp(n+1)-инвариантного семейства метрик на 4п+3-сферах. // Сиб. Мат. Журн. - 1994. - Т.35, №6. - С.1230-1242.

9. Вольпер Д. Е. Секционные кривизны однородных метрик на сферах. // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике, посвященный памяти А.А.Ляпунова, А.П.Ершова и И.А.Полетаева: Тезисы докладов, часть I / Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996, С.70-71.

исано в печать 1S.09.96. Печ. л. 0,7. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ . гельско-полиграфический отдел ОмГУ - НОФ 644077, Омск-77, пр. Мира, 55а