Римановы метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

4845144

Матвиенко Иван Викторович

Римановы метрики положительной кривизны Риччи на многообразиях с торическими действиями

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Новосибирск — 2011

4845144

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Новосибирского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н.

Базайкин Ярослав Владимирович

д. ф.-м. н., профессор

Медных Александр Дмитриевич,

д. ф.-м. и., профессор Панов Тарас Евгеньевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится <? ' » мая 2011 года в '_ на заседании

диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан _» апреля 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из важных и интересных проблем римановой геометрии является задача о связи свойств кривизны и топологического строения риманова многообразия. Ставший классическим вопрос о топологии ри-мановых многообразий положительной секционной кривизны, как показывает опыт, является весьма сложным; гораздо более слабое свойство положительной скалярной кривизны практически не доставляет геометрических ограничений. Промежуточный вопрос о многообразиях положительной кривизны Риччи представляется в этом свете весьма правильно поставленным: с одной стороны, это свойство значительно слабее свойства положительности секционной кривизны, и известны серии примеров; с другой стороны примеров не так уж много и задача представляется нетривиальной.

Классическими примерами многообразий положительной кривизны Риччи являются нормально однородные пространства с конечной фундаментальной группой и их римановы произведения, например Sn, CP™, Sn х Sm.

Более сложные топологические типы впервые были сконструированы Дж. Ша и Д. Янгом [10] в 1991 г. Они построили метрику положительной кривизны Риччи на связных суммах любого числа 5™ х Sm при фиксированных п, тп:

#fcSn х Sm Ук > 1 Vn,m > 2.

Этот результат показал неограниченность чисел Бетти многообразий положительной кривизны Риччи при фиксированной размерности (что находится в контрасте с положительной секционной кривизной).

Подход Дж. Ша и Д. Янга оказался продуктивным. Д. Рейт [12] в 2007 г. обобщил их результат для связных сумм произвольных Sni х Smi:

Sni х Smi Vfc > 1 Vrij, mi > 2, щ + пи = const.

В основе обеих работ лежит метод хирургии с сохранением положительности кривизны Риччи.

На связных суммах двух комплексных проективных пространств:

С± СРп

известна метрика Чигера [4] неотрицательной секционной кривизны, для которой, как очевидно, кривизна Риччи является положительной.

Метрики положительной кривизны Риччи на связных суммах произвольного числа комплексных проективных пространств известны лишь

в размерности четыре. Дж. Ша и Д. Янг [11] в 1993 г. показали, что _2

связные суммы СР2 и СР :

&СР2#/СР2 \/к,1> О

обладают метриками положительной кривизны Риччи. Чуть позже, в 1997 г. Г. Перельман [9] частично повторил этот результат, построив метрики на связной сумме одинаково ориентированных проективных пространств:

фкСР2 Мк > 1.

Все вышеупомянутые примеры в четной размерности 2п допускают действие компактного тора Тп = Б1 х ... х Б1. В связи с этим возникает вопрос о существовании метрик положительной кривизны Риччи в более общих классах многообразий с действием Тп.

Основное внимание в работе уделяется в квазиторическим и момент-угол многообразиям. Эти два класса многообразий впервые были введены М. Дэвисом и Т. Янушкиевичем в [5] в 1991 г. Их топология тесно связана с комбинаторикой выпуклых многогранников. До сих пор они изучались в основном с точки зрения алгебраической топологии. В этом свете изучение свойств кривизны квазиторических и момент-угол многообразий представляет весьма интересным.

Цель работы.

Целью настоящей работы состоит в построении новых примеров ри-мановых многообразий положительной кривизны Риччи. А именно, в основную задачу работы входит поиск римановых метрик положительной кривизны Риччи на некоторых квазиторических и момент-угол многообразиях.

Объект исследований.

Объектом исследований настоящей диссертации являются квазито-рические и момент-угол многообразия, снабженные римановыми метриками. Топология этих пространств тесно связана с комбинаторикой выпуклых полиэдров. Оба класса многообразий допускают действие компактного тора Тп, факторпространство по которому является простым многогранником.

Методы исследований.

Получение основных результатов опирается на методы дифференциальной и алгебраической геометрии, в частности, теории римановых субмерсий, теории раздутий орбифолдных особенностей и теории тори-ческих многообразий.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. На каждом односвязном четырехмерном Т2-многообразии построена риманова метрика положительной кривизны Риччи, относительно которой тор Г2 действует изометриями.

2. Построены римановы метрики положительной кривизны Риччи на некоторых момент-угол многообразиях, отвечающих многогранникам, которые получаются из трёхмерного куба срезанием непересекающихся наборов вершин и рёбер. В частности, построен пример неформального момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи.

Отметим, что односвязные четырехмерные Т2-многообразия в точности являются четырехмерными квазиточескими многообразиями.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами по дифференциальной геометрии и интересны специалистам, занимающимся положительной кривизной Риччи, квазиторическими и момент-угол многообразиями.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на международных и российских конференциях:

• «Современные проблемы анализа и геометрии» (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, сентябрь 2009),

• «Топоноговские чтения» (Институт математики им. С. Л.Соболева СО РАН, март 2010).

Кроме того, результаты докладывались на следующих семинарах:

• «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством С. П. Новикова, В. М. Бухштабера (Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова),

• «Геометрия, топология и их приложения» под руководством И. А. Тайманова (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН),

• «Риманова геометрия» под руководством И. А. Тайманова, Я. В. Базайкина (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН),

• «Интегрируемые системы» под руководством А. Е. Миронова (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН).

Публикации.

Результаты диссертации изложены в трёх работах автора [13, 14, 15], которые приведены в конце автореферата.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 25 наименований. Общий объём диссертации составляет 59 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты и даётся краткий обзор исследований по теме диссертации.

Первая глава содержит определения и понятия, необходимые в дальнейшем. Значительное внимание уделяется квазиторическим и момент-угол многообразиям, их взаимосвязи и базовым фактам о геометрии пространств. Кроме того, вводятся квазиторические орбифол-ды как многообразия с особенностями, которые появляются в качестве естественного обобщения для квазиторических многообразий. В конце главы приведены некоторые факты римановой геометрии и элементы теории римановых субмерсий, в частности приведены формулы О'Нила для кривизны, которые используются в дальнейшем как инструмент при построении метрик положительной кривизны Риччи.

Введём определение квазиторического многообразия. Для этого нам потребуется ряд вспомогательных понятий.

Представление тора Тп диагональными матрицами из II(п) мы будем называть стандартным действием на С™. Пространством орбит стандартного действия является положительный конус К". Каноническая проекция

отождествляет Сп с факторпространством (К™ х Тп)/~. Это фактор-пространство служит «локальной моделью» для квазиторических многообразий.

Многообразие М размерности 2п с заданным действием п-мерного тора будем называть Тп-многообразием. Карту и для Тп-многообразия, инвариантную относительно действия тора, будем считать стандартной, если II эквивариатно гомеоморфно С" со стандартным действием тора. Скажем, что действие тора Тп на М является локально стан-дартнъш, если М допускает атлас из стандартных карт.

Многообразием с углами назовём гладкое многообразие с краем, которое локально моделируется открытыми подмножествами в положительном конусе К.™. Простейшими примерами многообразий с углами являются простые многогранники. Простым многогранником является выпуклый га-мерный многогранник, который задаётся в Мп системой неравенств

«общего положения». Последнее означает, что в каждой вершине пересекается ровно п гиперграней.

Определение. Пусть Р — простой многогранник размерности п. Ква-зитпорическим многообразием над Р называется 2га-мерное ^-многообразие М, удовлетворяющее следующим двум условиям:

а) действие тора является локально стандартным;

б) пространство орбит диффеоморфно, как многообразие с углами, многограннику Р.

Теперь введём определение момент-угол многообразий. Обозначим как и раньше через Р простой многогранник размерности п. Р\,..., Рт

К™ х Т" Сп : (Х1,...,®„) х

п) 1 ^ ) • • * ) ХпЬп)

П

— его гиперграни. Для д 6 Р обозначим через С(ц) наименьшую (по включению) грань, в которой содержится точка д. Рассмотрим Р х Тт, где Тт — стандартный ш-мерный тор, в котором нумерация координат соответствует нумерации граней Р. Обозначим через Тр' окружность 51 С Тт, отвечающую г-ой грани. Теперь для любой грани С многогранника Р положим

С! _

Определение. Рассмотрим факторпространство

гР = (Рх Тт)/

где ) ~ (<7,£г) тогда и только тогда, когда р = д и 1 е На Zp можно ввести структуру гладкого многообразия такую, что естественное действие Тш будет гладким [2, 3]. Многообразие Ир (с некоторой Гт-инвариантной гладкостью) будем называть момент-угол многообразием для простого многогранника Р.

Связь между квазиторическими и момент-угол многообразиями проявляется в следующем универсальном свойстве момент-угол многообразий, которое доказано в [5].

Пусть Р — простой многогранник размерности пет гипергранями. Если рассмотреть некоторый тор Тт~п с Тт, действие которого свободно на Ир, то М = Ир/Тт~п будет являться квазиторическим многообразием. И наоборот, для любого квазиторического многообразия М над Р существует тор Тт~" С Тт, свободно действующий на Ир таким образом, что Гп-многообразис Ир/Тт~п слабо эквивариант-но гомеоморфно М. При этом возникает главное Тт-п-расслоение

я-: 2р -»■ М.

Приведённое утверждение играет важную роль в работе при построении римановых метрик на квазиторических и момент-угол многообразиях.

Вторая глава посвящена построению Т2-инвариантных метрик положительной кривизны Риччи на четырёхмерных квазиторических многообразиях, которые в точности являются четырёхмерными односвяз-ными Т2-многообразиями с эффективным действием двумерного тора.

Ещё в 1970 г. П. Орлик и Ф. Раймонд [8] показали, что любое од-

носвязное Т2-многообразие гомеоморфно связной сумме конечного чис-

_2

ла экземпляров в2 х Б2, СР2 и СР . С учётом результатов Дж. Ша и Д. Янга [10, 11] любая такая сумма обладает римановой метрикой положительной кривизны Риччи. Но конструкция в [10] не позволяет строить Т2-инвариантные метрики. Кроме того, до сих пор оставался не исследованным вопрос о том, существует ли риманова метрика положительной кривизны Риччи в каждом Т2-эквивариантном классе односвязных четырехмерных Т2-многообразий.

Основным результатом второй главы является следующая теорема:

Теорема. На каждом односвязном четырехмерном Т2-многообразии существует риманова метрика положительной кривизны Риччи, относительно которой тор Т2 действует изометриями.

В доказательстве теоремы каждое четырёхмерное квазиторическое многообразие М над двумерным многогранником Р с т сторонами моделируется как факторпространство Zp|Tm~2 момент-угол многообразия Zp по свободному действию тора Тт~2 с Тп. Любая Тга-инвариантная метрика на Zp при факторизации по Тт~2 индуцирует Т2-инвариантную метрику на М. При этом возникает риманова субмерсия 7Г : Zp —> М. Выбор подходящей метрики на Zp и применение формул О'Нила для кривизны Риччи [1, 7] даёт искомую метрику на М.

Третья глава содержит результаты о метриках положительной кривизны Риччи на момент-угол многообразиях. Интерес к последним возникает не случайно. Например, момент-угол многообразие Zp над любым двумерным многоугольником Р обладает метрикой положительной кривизны Риччи. Действительно, Ф. Бозио и Л. Меерссеман [3] посчитали, что Zp является связной суммой типа х Б"1', для которой из результатов Д. Рейта [12] следует существование метрики положительной кривизны Риччи. В главе 3 строится серия более сложных примеров, которые получаются из трёхмерного куба.

Положим за, <3 — [0,1]3 трёхмерный куб. Рассмотрим всевозможные наборы непересекающихся вершин и рёбер. С точностью до изо-метрий куба их существует ровно 80. Обозначим вершины буквами АВСБА'В'С'О' и рассмотрим совокупность <5, состоящую из следующих 50 наборов:

1) А] 2) А,В- 3) А,С\ 4) А,С'; 5) А, В', С; 6) А, В, С, Б;

7) А,С, А',С'-, 8) А, В, С,О, А', В', С',Б'- 9) АЛ'; 10) ЛЛ',ВВ';

11) АА',СС; 12) АА', ВС-, 13) АЛ',ВВ',СС'; 14) АА', ВВ', СБ\

15) АА', ВС, С'Б'- 16) АА!, ВВ', СС', £>£>'; 17) АА', ВВ', СБ, С'П'-,

18) АА', В; 19) АА',С; 20) ЛА',В,В'; 21) АЛ',С,С';

22)ЛЛ',В,С; 23) АЛ',В, С"; 24) ЛЛ',В,£>; 25) АА',В,Г>';

26) АА', В, С', £>; 27) ЛЛ', В, С, В', С'; 28) АА',В, Д В', £>';

29) АЛ', ВВ', С; 30) ЛА', СС", В; 31) ЛЛ', ВС, £>;

32) ЛА', ВС, £>'; 33) АА', ВВ', С, С'; 34) АА', ВВ', С, В-,

35) АЛ', ВВ', С, £>'; 36) АА!, СС', В, В'; 37) ЛЛ', СС', В, £>;

38) ЛА', СС, В, £>'; 39) АА', ВС, В', С'; 40) АА!, ВС, В',

41) АА', ВС, С', 1?; 42) ЛА', ВС, С', £>';

43) АА', В В', С, £>, С', ГУ; 44) ЛЛ', СС', В, £>, В', £>';

45) АЛ', ВВ', СС', £>; 46) АА', ВВ', СД С';

47) ЛЛ', ВС, С'£>', В'; 48) ЛА', ВВ',СС',Я,£>';

49) ЛЛ', ВВ', СБ, С', £>'; 50) АА', ВС, С'В', В', £>.

Главный результат третьей главы заключается в теореме:

Теорема. Пусть для каждого 5 £ © многогранник Рз получается из куба <2 срезанием плоскостями малых окрестностей вершин и рёбер из набора Б. Тогда на момент-угол многообразии Zps существует ри-манова метрика положительной кривизны Риччи.

Не все наборы из © представляют одинаковый интерес. В частности, момент-угол многообразия, отвечающие наборам 9, 10,11, 13, 16 со срезанными параллельными рёбрами, являются прямыми произведениями. Действительно, соответствующие многоугольники являются произведением отрезка I = [0,1] на двумерный многоугольник Р. Из определения момент-угол многообразия следует, что Z¡xp — ZlX Zp = 53 х 2р. Как отмечалось выше, Zp обладает требуемой метрикой. Отсюда с помощью риманово произведения получаем метрику положительной кривизны Риччи на 2/хр.

Более интересным является случай 1: куб со срезанной вершиной. В [6] исследована топология соответствующего момент-угол многообразия, в частности оно не может быть представлено в виде связной суммы произведений сфер. Другой интересный пример получается из набора 12: куб с двумя срезанными накрест лежащими рёбрами. В. М. Бухшта-бер и Т. Е. Панов [2] показали, что момент-угол многообразие, построенное по этой схеме, не является формальным, т. к. его когомологии содержат нетривиальные произведения Масси. Тем самым мы можем сформулировать следствие.

Следствие. Существует неформальное момент-угол многообразие положительной кривизны Риччи.

Напоследок в диссертации формулируются два открытых вопроса, которые кажутся вполне естественными.

Вопрос. Существуют ли метрики положительной кривизны Риччи на всех момент-угол многообразиях?

В качестве одной из предпосылок к утвердительному ответу (помимо результатов настоящей диссертации), указывается следующее: если Р — двумерный многоугольник, либо если Р получен из многомерного тетраэдра многократным применением операции срезания малой окрестности некоторой вершины, то, как показали Ф. Бозио и Л. Меерссеман [3], Zp диффеоморфно определенной связной сумме произведений сфер различных размерностей, и положительный ответ на вопрос в этом случае дает работа Д. Рейта [12]. Второй вопрос представляется гораздо более сложным и неоднозначным.

Вопрос. Существуют ли метрики положительной кривизны Риччи на всех квазиторических многообразиях?

В качестве вероятного положительного ответа на этот вопрос указывается лишь, что в четырёхмерном случае, как следует из результатов диссертации, ответ утвердительный.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность Я. В. Базайкину за постановку задачи и поддержку в работе, Т. Е. Панову за полезные консультации, а также всему коллективу кафедры геометрии и топологии Новосибирского государственного университета за тёплую дружескую учебную атмосферу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

Bosio F., Meersseman L. Real quadrics in C™, complex manifolds and convex polytopes // Acta Mathematica. 2006. V. 197, N 1. P. 53-127.

Cheeger J. Some examples of manifolds of nonnegative curvature // Journal of Differential Geometry. 1973. V. 8, N 4. P. 623-628.

Davis M. W., Januszkiewicz T. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions // Duke Mathematical Journal. 1991. V. 62, N 2. P. 417-451.

Gitler S., Medrano S. L. Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums // arXiv:0901.2580v2 [math.GT]

O'Neill B. The fundamental equations of a submersion // Mich Math. J. 1966. V. 13. P. 459-469.

Orlik P., Raymond F. Actions of the torus on 4-manifolds //I. TAMS. 1970. V. 152. P. 531-559.

Perelman G. Construction of Manifolds of Positive Ricci Curvature with Big Volume and Large Betti Numbers // Comparison Geom. MSRI. 1997. V. 30. P. 157-163.

Sha J., Yang D. Positive Ricci curvature on the connected sums of Sn x Sm j j journai 0f Differential Geometry. 1991. V. 33, N 1. P. 127-137.

Sha J., Yang D. Positive Ricci curvature on compact simply connected 4-manifolds // Differential geometry. Part 3: Riemannian geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Pure Math. 1993. V. 54, Part 3. P. 529-538.

Wraith D. J. New connected sums with positive Ricci curvature // Annals of Global Analysis and Geometry. 2007. V. 32, N 4. P. 343360.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[13] Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О четырехмерных ^-многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 973-980.

[14] Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О момент-угол многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2011. Т. 52, № 1. С. 15-29.

[15] Матвиенко И. В. Момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи, отвечающие трёхмерному кубу // Успехи математических наук. 2011. Т. 66, № 2. С. 233-234.

В работах [1?., 14] вклад авторов равноценный.

Автореферат диссертации:

Формат 60x84 1/16,0,95 п. л. Тираж 100 экз.

Заказ №863. 05.04.2011

Отпечатано ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» ул. Кутателадае, 4г, т. 330-7202

Введение

1 Определения и предварительные сведения

1.1 Квазиторические многообразия.

1.2 Момент-угол многообразия.

1.3 Квазиторические орбифолды.

1.4 Крнвизпа Риччи и римаповы субмерсии.

2 Четырехмерные квазиторические многообразия положительной кривизны Риччи

2.1 Конструкция .метрики на универсальном пространстве.

2.2 Положительность кривизны Риччи.

3 Момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи

3.1 «Хорошие» квазиторические орбифолды.

3.2 Раздутие многообразий положительной кривизны Риччи в особых точках.

3.3 Построение римановых метрик положительной кривизны Риччи

3.4 Поднятие метрики на момент-угол многообразие с сохранением положительности кривизны Риччи.

Цели и результаты работы

Целью настоящей работы является построение римановых метрик положительной кривизны Риччи на многообразиях с действием компактного тора Тп.

Одной из важных и интересных проблем римаповой геометрии является задача о'связи свойств кривизны и топологического строения риманова многообразия. Ставший классическим вопрос о топологии римановых многообразий положительной секционной кривизны, как показывает опыт, является весьма сложным; гораздо более слабое свойство положительной скалярной кривизны практически не доставляет геометрических ограничений. Промежуточный вопрос о многообразиях положительной кривизны Риччи представляется в этом свете весьма правильно поставленным: с одной стороны, это свойство значительно слабее свойства положительности секционной кривизны, и известны серии примеров; с другой стороны примеров не так уж много и задача представляется нетривиальной.

Классическими примерами многообразий положительной кривизны Риччи являются нормально однородные пространства с конечной фундаментальной группой и их римановы произведения, например Sn, СРп, Sn х Sm.

Более сложные топологические типы впервые были сконструированы Дж. Ша и Д. Янгом [19] в 1991 г. Они построили метрику положительной кривизны Риччи на связных суммах любого числа Sn х Sm при фиксированных п, тп: kSn х Sm Vfc > 1 Vn, m > 2.

Этот результат показал неограниченность чисел Бетти многообразий положительной кривизны Риччи при фиксированной размерности (что находится в контрасте с положительной секционной кривизной).

Подход Дж. Ша и Д. Янга оказался продуктивным. Д. Рейт [22] в 2007 г. обобщил их результат для связных сумм произвольных Snг х Snh:

5Пг х Sm* Vfc > 1 Vrij, тпг >2, пг+тпг = const.

В основе обеих работ лежит метод хирургии с сохранением положительности кривизны Риччи.

На связных суммах двух комплексных проективных пространств:

СР"# ± С Рп известна метрика Нигера [7[ неотрицательной секционной кривизны, для которой, как очевидно, кривизна Риччи является положительной.

Метрики положительной кривизны Риччи на связных суммах произвольного числа комплексных проективных пространств известны лишь в размерности че2 тыре. Дж. Ша и Д. Япг [20] в 1993 г. показали, что связные суммы СР2 и СР : кСР2^1СР2 У/г, / > 0 обладают метриками положительной кривизны Риччи. Чуть позже, в 1997 г. Г. Пе-рельман [16] частично повторил этот результат, построив метрики на связной сумме одинаково ориентированных проективных пространств: фкСР2 Ук > 1.

Все вышеупомянутые примеры в четной размерности 2п допускают действие компактного тора Тп = 51 х. х в1. В связи с этим возникает вопрос о существовании метрик положительной кривизны Риччи в более общих классах многообразий с действием Тп.

Объектом исследования насюящей работы являются квазиторические и момент-угол многообразия. Эти два класса многообразий впервые были введены М. Дэвисом и Т. Янушкиевичем в [8] в 1991 г. Их топология тесно связана с комбинаторикой выпуклых многогранников. До сих пор они изучались в основном с точки зрения алгебраической топологии. В этом свете изучение свойств кривизны квазиторичсских и момент-угол многообразий представляет весьма интересным.

Целью работы является построение метрик положительной кривизны Риччи на некоторых квазиторичсских и момент-угол многообразиях.

Диссертация состоит из трёх глав и десяти разделов. Далее мы рассмотрим вкратце содержание всех разделов, введём базовые определения и сформулируем основные результаты.

1. Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11-32.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

3. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

4. Bérard-Bergery L. Certains fibrés â courbure de Ricci positive // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Séries A et B. 3978. V. 286, N 20. R A929-A931.

5. Bosio F., Meersseman L. Real quadrics in C", complex manifolds and convex polytopes // Acta Mathematica. 2006. V. 197, N 1. P. 53-127.

6. Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Annales Scientifiques de l'E'cole Normale Supe'rieure. Quatrie'me Se'rie. 1979. V. 12, N 2. P. 269-294.

7. Cheeger J. Some examples of manifolds of nonnegative curvature // Journal of Differential Geometry. 1973. V. 8, N 4. P. 623-628.

8. Davis M. W., Januszkiewicz T. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions // Duke Mathematical Journal. 1991. V. 62, N 2. P. 417-451.

9. Gao L. Zh. The construction of negatively Ricci curved manifolds // Mathematische Annalen. 1985. V. 271, N 2. P. 185-208.

10. Gilkey P. В., Park J., Tuschmann W. Invariant metrics of positive Ricci curvature on principal bundles // Mathematische Zeitschrift. 1998. V. 227, N 3. P. 455-463.

11. Gitler S., Medrano S. L. Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums // arXiv:0901.2580v2 math.GT]

12. Joyce D. D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford, 2000.

13. Nash J. C. Positive Ricci curvature on fibre bundles // Journal of Differential Geometry. 1979. V. 14, N 2. P. 241-254.

14. O'Neill B. The fundamental equations of a submersion // Mich Math. J. 1966. V. 13. P. 459-469.

15. Orlik P., Raymond F. Actions of the torus on 4-manifolds // I. TAMS. 1970. V. 152. P. 531-559.

16. Perelman G. Construction of Manifolds of Positive Ricci Curvature with Big Volume and Large Betti Numbers // Comparison Geom. MSRL 1997. V. 30. P. 157-163.

17. Poor W. A. Some exotic spheres with positive Ricci curvature // Mathematische Annalen. 1975. V. 216, N 3. P. 245-252.

18. Thurston W. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. // Princeton University lecture notes, 1978—1981.

19. Wraith D. J. New connected sums with positive Ricci curvature // Annals of Global Analysis and Geometry. 2007. V. 32, N 4. P. 343-360.Работы автора по теме диссертации

20. Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О четырехмерных Т^-многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 973-980.

21. Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О момент-угол многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2011. Т. 52, № 1. С. 15-29.

22. Матвиенко И. В. Момент-угол многообразия положительной кривизны Риччи, отвечающие трёхмерному кубу // Успехи математических паук. 2011. Т. 66, № 2. С. 233-234.