Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Оскорбин Дмитрий Николаевич

Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками

01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 Ил 2015

005571264

Барнаул - 2015

005571264

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО „Алтайский государственный университет".

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич.

Официальные оппоненты:

Славский Виктор Владимирович,

доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО „Югорский государственный университет", профессор;

Малькович Евгений Геннадьевич,

кандидат физико-математических наук, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, научный сотрудник.

Ведущая организация: ФГБУН Математический институт

им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва).

Защита состоится «3» сентября 2015 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 на базе ФГБУН Института математики им. С. J1. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коп-тюга, д. 4-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, http://math.nsc.ru.

Автореферат разослан « JA». 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент ^ / Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

Актуальность избранной темы и степень ее разработанности. Известно, что кривизна рнманова многообразия влияет па его геометрию и топологию и наоборот. Примерами этого являются теорема Адамара-Картана о полном односвязном римановом многообразии неположительной секционной кривизны [22], теорема М. Громова о римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема о сфере (см. подробнее в [23]), теорема сравнения углов треугольника А.Д. Алсксандрова-В.А. Топоногова [22], иссследования Дж. Милно-ра [24] по кривизнам левоинвариантных римановых метрик на группах Ли и ряд других результатов.

В случае однородных пространств знак кривизны даст более полную информацию о геометрии и топологии пространства. Так, например, теорема Бох-нера [25] утверждает, что однородное риманово многообразие отрицательной кривизны Риччи некомпактно. Исследование связи между кривизной Риччи и топологией однородного рнманова пространства представлено в работах Дж. Мил-нора [24], В.Н.Берестовского [26], а в случае одномерной кривизны - в работах Е.Д.Родионова, В.В.Славского [27]. Спектр оператора Риччи трехмерных групп Ли с левоипвариантнымп римановымн метриками исследован в работе Дж. Милнора [24], где он показал, что спектр оператора Риччи таких групп не может иметь сигнатур (+,+,—),(+,+,0), (+,—,0). Трехмерные локально однородные римановы многообразия с предписанным спектром оператора Риччи исследованы О. Ковальским и С. Никшсвич [28]. Сигнатуры спектра оператора Риччи на четырехмерных группах Ли с левоипвариатной рнмановой метрикой определены А.В.Кремлевым и Ю.Г.Никоноровым [29, 30].

В работах М. Берже [31], Н. Уоллача [32], Л. Бержери [32] получена классификация, с точностью до диффеоморфизмов, однородных пространств, допускающих инвариантные римановы метрики положительной секционной кривизны. В. Циллер [33], Ф. Валиев [34], Т.Путман [35] получили ряд результатов об одно-

родных рнмановых многообразиях положительной ¿-защемленной секционной кривизны.

В общем случае задачи об исследовании спектров операторов кривизны являются трудными даже в классе однородных пространств. Однако в случае, когда многообразие (Л/, д) является группой Ли с левоинвариатной римановой метрикой, такие задачи становятся обозримыми.

Вместе с тем исследования спектров оператора одномерной кривизны, а также оператора секционной кривизны, которые существенно влияют на геометрию и топологию однородного пространства, представлены недостаточно. Так, например, в случае трехмерных групп Ли не изучен вопрос о сигнатуре спектра оператора секционной кривизны, вопрос о предписанных значениях спектров операторов одномерной кривизны и секционной кривизны. Кроме того, в случае конформно плоских левоинвариантных римаиовых метрик на группах Ли представляется актуальным исследовать спектры операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны и секционной кривизны.

Данная диссертация посвящена исследованию операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи, секционной кривизны на группах Ли с левоинвариант-ной римановой метрикой, установлению связей между кривизной и топологией метрических групп Ли.

Цели и задачи диссертационной работы:

Целью диссертационной работы является изучение спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвариантных римановых метрик на группах Ли, а также операторов кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности. В частности, предполагается решить следующие задачи:

1. Определить сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

2. Найти критерии существования трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой и предписанными спектрами операторов одпомерой

кривизны и секционной кривизны. Обобщить данный результат на случай трехмерных локально однородных римановых многообразий.

3. Исследовать спектр операторов кривизны Риччи, одномерной кривизны, секционной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности.

4. Построить обобщенные базисы Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли. Определить спектры операторов кривизн в случае малой размерности пространства орбит римановых метрик.

5. Исследовать однородные инвариантные солитопы Риччи и алгебраические солитопы Риччи на четырехмерных группах Ли с левоиивариантной римановой метрикой.

Методология и методы диссертационного исследования. Методология исследования ориентирована на использование методов математического анализа, дифференциальной геометрии, линейной алгебры, теории групп и алгебр Ли. Кроме того, в проведенных исследованиях используются базисы Дж. Милнора, построенные в алгебрах Ли, а также формулы для нахождения инвариантых тензорных полей на однородных римановых пространствах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и вносят существенный вклад в теорию однородных римановых многообразий, теорию метрических групп и алгебр Ли, теорию солитонов Риччи.

Обобщены результаты О.Ковальского и С.Никитович [28] о предписанных значениях спектра оператора Риччи трехмерных локально однородных римановых многообразий на случаи операторов одномерной кривизны и секционной кривизны.

Доказана теорема о том, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны конформно плоских метрических групп Ли произвольной размерности содержат не более двух различных значений с учетом кратпостей. В случае оператора секционной кривизны таких значений не более трех.

С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора, построенных для иеко-

торых четырехмерных вещественных алгебр Ли, вычислены значения спектра операторов кривизны в случае малой размерности пространства модулей лево-инвариантных рнмановых структур на алгебре Ли.

Через структурные константы алгебры Ли получена классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой, что дает ответ на вопрос L. Cerbo, поставленный в работе [36], о существовании инвариантных солитонов Риччи на неунимодулярных метрических группах Ли в размерности 4.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретическое значение и могут быть использованы в теории однородных рнмановых многообразий, теории многообразий Эйнштейна, теории солитонов Риччи, а обобщенные базисы Дж. Милнора, построенные в случае четырехмерных метрических алгебр Ли, могут найти применение в теории операторов на однородных пространствах. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы при подготовке спецкурсов по геометрии и топологии, теории однородных рнмановых многообразий.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Найдены формулы для нахождения структурных констант трехмерных метрических алгебр Ли через спектры операторов одномерной кривизны и секционной кривизны.

2. Определены сигнатуры спектра оператора секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Найдены критерии существования трехмерных метрических групп Ли с предписанными спектрами операторов одномерной и секционной кривизн, полученные результаты распространены на случай трехмерных локально однородных рнмановых многообразий.

3. Доказана теорема о структуре спектров операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны левоинвариантных рнмановых

метрик на конформно плоских группах Ли произвольной размерности п ^ 4. Установлено, что спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны содержат не более двух значений с учетом кратности, а в случае оператора секционной кривизны - не более трех. Вычислен спектр оператора секционной кривизны на всех четырехмерных конформно плоских метрических группах Ли.

4. В случае четырехмерных вещественных алгебр Ли построены обобщенные базисы Дж. Милнора, вычислены значения спектра операторов кривизны в случае малой размерности пространства модулей левоинвариаитных римано-вых структур на алгебрах Ли.

5. С помощью обобщенных базисов Дж. Милнора получепа классификация однородных инвариантных и алгебраических солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами.

Результаты диссертации докладывались на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН Ю.Г. Решстняк); на семинаре „Геометрия, топология, и их приложения" Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (рук. акад. РАН И.А. Тайманов); на семинаре „Геометрия, топология и математическая физика" отдела геометрии и топологии МИАН совместно с кафедрой высшей геометрии МГУ (рук. акад. РАН С.П. Новиков, чл.-корр. РАН В.М. Бухштабер); на семинаре „Геометрия и математическое моделирование" (рук. проф. Е.Д. Родионов).

Результаты диссертации были представлены на Международных и Всероссийских конференциях: IV Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Д. Александрова (г. Санкт-Петербург, Институт им. Эйлера, 2012); Международной конференция „Дни геометрии в Новосибирске - 2014", посвященной 85-летню академика Юрия Григорьевича Ре-шетняка (г. Новосибирск, Институт математики им. С.Л. Соболева, 2014); семи-

паре, посвященном 85-лстню со дня рождения В.А. Топоногова (Новосибирск, Институт математики им. C.JI. Соболева, 2015); Международной молодежной конференции „Геометрия и управление" (г. Москва, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2014); Международной конференции „Геометрия и анализ на метрических структурах" (г. Новосибирск, Институт математики им. C.JI. Соболева, 2013); Международной конференции ,.Ломоносовские чтения на Алтае" (г. Барнаул, АлтГУ, 2011, 2012, 2013, 2014); Всероссийской молодежной школе-семинаре ,Диализ, геометрия и топология" (г. Барнаул, АлтГУ, 2013); Всероссийской конференции по математике „МАК" (г. Барнаул, 2012, 2013, 2014, 2015).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 21 работе, в том числе в 19 печатных работах и двух электронных ресурсах, из них 8 статей в рецензируемых журналах, содержащихся в списке ВАК, 9 статей в сборниках трудов семинаров и конференций и 4 тезисов докладов. Результаты работ в соавторстве получены авторами совместно, при равном вкладе и являются неделимыми.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые па защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Результаты параграфа 2.3 главы 2 получены автором совместно с О.П. Хромовой(Гладуновой), результаты параграфов 3.4, 3.5 главы 3 получены совместно с Е.Д. Родионовым и П.Н. Клепиковым, остальные результаты получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 108 страниц, из них 97 страниц текста. Библиография включает 77 наименований на 11 страницах.

Содержание работы

Нумерация теорем соответствует тексту диссертации. Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе исследованы спектры операторов одномерной кривизны и секционной кривизны трехмерных групп Ли с лсвоинвариаптиой римановой метрикой.

Параграф 1 носит вспомогательный характер. В частности, приводятся

следующие конструкции.

Пусть (М,д) - га-мерное риманово многообразие, V — связность Леви-

Чивита, X, У//,У гладкие векторные поля на М, ЩХ, У) г = [Уу, +

V [х,У]2 — тензор кривизны Римана, г (ЛГ, V) = Ьг(У Л(Х, У)У) — тензор

Рнччи, 5 = 1г(г) — скалярная кривизна, А = —-— (г--- | — тензор

п - 2 \ 2(п — 1)/

одномерной кривизны.

Известно разложение (см., например [37]): Я = IV + Л®д, где IV — тензор Вейля, Л@д — произведение Кулкарни-Номидзу.

Риманова метрика д порождает скалярное произведение в касательных пространствах Х2ТхМ, х 6 М расслоения бивекторов Л2ТЛ/: (А^ЛУ!, Х2ЛУ2) = <■1^(дх(Х1,У))), где X;, У{, г = 1,2 значения соответствующих векторных полей в точке х, которые будем обозначать теми же буквами.

С тензором кривизны Римана можно ассоциировать оператор кривизны 7Z : Х2ТхМ —А.2ТХМ, задаваемый равенством:

(X Л У, Щи А У)) = Нх(Х, У, и, V),

где Ях(Х, У, и, V) = дг(Я(Х, У)и, V). Определим также оператор Риччи р равенством д (р{Х), У) = г(Х, У), и оператор одномерной кривизны А равенством

g(A(X),Y) = A(X,Y).

Главные значения оператора Рнччн будем обозначать рь р2, •••, Рп, оператора одномерной кривизны через аь а2,..., а„, секционную кривизну в двумерном направлении e¿ Л е^ (e¿, e.j е ТХЛ/) через I<¿j = Kn{e¿ Л ej).

В случае dimM = 3 главные значения операторов Рнччн, одномерной кривизны и секционной кривизны связаны формулами (см. [38]):

,, , Р1+Р2 + Рл K-ij = a¿ + a-j, aj = p¿----■

В параграфе 2 главы 1 доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.2. Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоипвариант-ной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора одномерной кривизны аь а2, а3 существует в том и только в том случае, если два числа из набора {01,02,03} равны —(ai + 02 + 03), либо ai < а2 < —(ai + а2 4- а3) < а3, либо —(ai + а2 + а3) < ai < а2 < а3.

Теорема 1.3. Трехмерная неунимодулярная группа Ли с левоинвариапт-ной римановой метрикой и предписанными главными значениями оператора одномерной кривизны ai, а2, а3 существует в том и только в том случае, если (с точностью до перенумерации) для некоторой константы А выполнены условия: \2{2ai + 3а2 + 3а3) = -4, Л4(а3 - а2)2 > 16(Л2(а3 + а2) + 1) > 0, либо ai — а2 = а3 < 0.

Аналогичные теоремы для оператора секционной кривизны (теоремы 1.5, 1.6 текста диссертации) доказаны в параграфе 3 главы 1.

Параграфы 4 и 5 посвящены исследованию сигнатур спектра оператора секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой при помощи функции дельта-защемлеиности спектра оператора секционной кривизны, что продолжает исследования Дж. Милиора [24] сигнатур спектров оператора Риччи.

Теорема 1.9. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с лево-инвариантной римановой метрикой, g - ее алгебра Ли. Сигнатуры таблицы

Таблица 1.3. Возможные сигнатуры

№ 1 2 3 4 5

Сигнатура (-,-,+) (-,0,0) (-,о,+)

№ 0 7 8 и 10

Сигнатура (-+■+) (0,0,0) (0,0,+) (0,+,+) (+,+,+)

1.3 реализуются как сигнатуры спектра оператора секционной кривизны для некоторого скалярного произведения на д в случаях, помеченных знаками „+" в таблице 1-4-

Таблица 1.4. Сигнатуры спектра оператора секционной кривизны

К! сигнатуры

Алгебра Ли 1 2 3 4 5 е 7 8 9 10

.,„(2) - - - - - + - - + +

»/(2,«) - - + - + + - - - -

е(2) + + - - -

е(1,1) - - + - + + - - - -

к - - - - - + - - - -

/?3 - - - - - - + - - -

Теорема 1.10. Пусть (7 - иеунимодуляриая трехмерная группа Ли с ле-воинвариаитной римановой метрикой, д - алгебра Ли группы (3. В качестве сигнатуры спектра оператора секционной кривизны для некоторого скалярного произведения па д реализуются сигнатуры 1, 2, 3, 4, 5, 6 таблицы 1.3.

В параграфе б главы 1 получен критерий для предписанного спектра оператора секционной кривизны в случае трехмерных локально однородных ри-мановых многообразий, что дополняет результаты работы О.Ковальского и С.Никшевнч [28]:

Теорема 1.11. Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М,д) с предписанными главными значениями оператора секционной кривизны (<72:1! 013, СГ12) существует в том и только в том случае, если числа а^ (с точностью до перестановок) удовлетворяют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

1. Два числа из набора {<Ту} равны нулю.

2. (<712 + сг2з)("23 + 031Х031 + С12) > 0, или по крайней мере два из чисел 0Ч2 + 023, а23 + ст;П, сг31 4- <712 - пули.

3. <т31*12 < 3 < , < Ст23.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1-7, 20].

Во второй главе рассматривается спектр операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны конформно плоских (то есть IV = 0) групп Ли с левоипвариантной римановой метрикой.

Однородные конформно плоские римановы многообразия изучались в работах Д.В.Алексеевскою, Б.Н.Кимельфельда [39].

Основной результат параграфа 1 главы 2:

Теорема 2.1. Главные значения операторов Риччи и одномерной кривизны па п-мерной конформно плоской группе Ли с левоипвариантной римановой метрикой могут принимать не более двух различных значений с учетом кратности. При этом, если р; ^ pj (соответственно а; ^ ато Кц = 0.

В параграфе 2 главы 2 построены различные примеры п-мерных конформно плоских групп Ли, спектры операторов кривизны Риччи и одномерной кривизны которых состоят из двух значений различных кратностей.

В параграфе 3 главы 2 доказана

Теорема 2.3. Пусть д — вещественная 4-мерная алгебра Ли конформно плоской группы Ли б с левоинвариаитной римановой метрикой. Тогда спектр зрес(72-) оператора секционной кривизны Л- определяется таблицей 2.2.

В параграфе 4 рассмотрены четырехмерные торповы и антиторповы конформно плоские метрические группы Ли.

Результаты второй главы опубликованы в работах [8-13, 21].

В третьей главе с помощью обобщенных базисов Дж. Милпора исследованы спектры операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Лн с левоинвариаитной римановой метрикой, а также изучены однородные инвариантные и однородные алгебраические солитоны Риччи па четырехмерных мет-

Таблица 2.2. Четырехмерные алгебры Ли конформно плоских метрических групп Ли: спектр оператора секционной кривизны

№ Алгебра Л» 8рес(7г) = {Кх2, А-13, Кы,Кп, /<"24, Л"з1>

1 4А, {0,0,0,0,0,0}

2 Аз,з е А! {-а2,-а2,0, -а2,0,0}

3 Аз.6 е А1 {0,0,0,0,0,0}

4 а?.7 е А[ {—а2, —а2,0, -а2,0,0}

5 Аз,9 е А] ¿111=^,0,^^,0,0}

6 А^,а = /3 = 1 {—а2, —а2, -а2, —а2, —м2, -а2}

7 ка {-а2,-а2,-а2,-а2,-«2,-а2}

8 А4,12 {—а2, —а2,0, -а2,0,0}

рических группах Ли.

В параграфе 1-3 при помощи алгоритма Н. Кос1ата, А. ТакаЬага, Н. Татаги [40] описано построение ортонормированных базисов - обобщенных базисов Дж. Милнора четырехмерных метрических алгебр Ли (теорема 3.6).

В параграфе 4 доказана теорема 3.7 о спектрах операторов одномерной кривизны, кривизны Риччи и секционной кривизны некоторых четырехмерных групп Лн с левоинвариантпой римановой метрикой и теорема 3.8 об изометрич-ности двух специальных четырехмерных конформно полуплоских групп Ли с левоинвариантпой римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля.

В параграфе 5 главы 3 рассмотрены солитопы Риччи на четырехмерных группах Ли с левоинвариантпой римановой метрикой.

Определение 3.3. Полное риманово многообразие (М, д) называется со-литоном Риччи, если метрика д удовлетворяет уравнению:

г = С-д + Ьхд, (3.1)

где г - тензор Риччи, С £ К - константа, Ьх9 ~ производная Ли метрики д по направлению полного дифференцируемого векторного поля X.

Определение 3.5. Однородная римапова метрика д па однородном пространстве С/Н, где (7 - связная группа Ли, Н - связная замкнутая подгруппа, удовлетворяющая уравнению (3.1) называется однородным солитоном

Риччи.

Определение 3.7. Пусть б — группа Ли с левоипвариаптпой римановой метрикой д. Если метрика д является однородным солитоном Риччи, причем поле X в ■уравнении (3.1) левоинвариаптно, тогда метрика д назва-ется однородным инвариантным солитоном Риччи.

Определение 3.6. Группа Ли С? с левоиивариантиой римановой метрикой д называется алгебраическим солитоном Риччи, если метрика д в некотором ортобазисе удовлетворяет уравнению: р(д) = С- 1+Б, где р(д) - матрица оператора Риччи, С е К. - константа, I - единичная матрица, В - матрица оператора некоторого дифференцирования алгебры д.

Основным результатом параграфа 5 является доказательство теорем о классификации алгебраических солитонов Риччи и однородных инвариантных солитонов Риччи на четырехмерных группах Ли с левоиивариантиой римановой метрикой в терминах структурных констант алгебр Ли, что дополняет классификацию X. Лауре алгебраических солвсолитонов Риччи [41]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3.9. Левоинвариантная римапова метрика на четырехмерной конформно плоской группе Ли является алгебраическим солитоном Риччи тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли входит в табли-

чу 3.4.

Таблица 3.4. Нетривиальные алгебраические солитоиы Риччи, соответствующие четырехмерных конформно плоским метрическим группам Ли

Ал г. Ли Структурные константы С О

А.ч,з 0 А] с} з = с^з — а, а > 0 -2а2 (Наг (0, 0,0, 2а2)

А".7 © А! с!,з = <2.3 = «. 4.3 = -с?,3 = Ь,а1Ь>0 -2а2 (0,0,0,2а2)

Аз.э в А, с1,з = ~с1.2 — ~с2,з ~ я, а > 0 а2 (0,0,0,

Теорема 3.11. Пусть (3 — четырехмерная действительная группа Ли с левоипвариаптпой римановой метрикой д. Тогда па С? не существует петри-виальиых однородных инвариантных солитонов Риччи.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [14-19].

В заключении приведены основные результаты и перспективы продолжения исследований. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, профессору Е.Д. Родионову за помощь и поддержку в проведении данных исследований.

Список публикаций

1. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. — 2012. — № 1/1(73). - С. 107-109.

2. Гладупова, О.П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию спектра оператора кривизны на метрических группах Ли [Текст] / О.П Гладупова, Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. - 2013. - № 1/1(77). - С. 19-23.

3. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов // Доклады Академии паук. — 2013. — Т. 450, № 3. — С. 271-273.

4. Оскорбин, Д.Н. Применение пакетов символьных вычислений для исследования спектра оператора кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию: сб.ст. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. — С. 36-42.

5. Гладупова, О.П. Об исследовании сигнатур оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли [Текст] / О.П Гладупова, Д.Н Оскорбин // Сборник научных статей международной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 8-11 ноября, 2011 : в. 4 ч.: — Барнаул : АлтГПА, 2011. - Ч. 1. - С. 74-76.

6. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбин // Сборник научных статей международной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 8-11 ноября, 2011 : в. 4 ч. : — Барнаул : АлтГПА, 2011. - Ч. 1. - С. 124-126.

7. Оскорбии, Д.Н. О спектре оператора кривизны трехмерных локально однородных рнмановых многообразий [Текст] / Д.Н Оскорбин // Труды всероссийской молодежной школы-семинара «Анализ, геометрия и топология», Барнаул, 2-4 октября, 2013 : в 2 ч. — Ч. 1. Барнаул : ИП Колмогоров H.A., 2013. - С. 210-217.

8. Оскорбин, Д.Н. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)нлоских римановых метрик [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Известия Алтайского государственного университета. — 2013. - № 1/2(77). - С. 28-31.

9. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбин, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Сборник научных статей международной молодежной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 5-8 ноября, 2013 : в 6 ч. Под редакцией Родионова Е.Д. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. - Ч. 1. - С. 49-51.

10. Оскорбин, Д.Н. О спектре оператора кривизны конформно плоских лево-инвариантных римановых метрик 4-мерных групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбии, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Тези доповщсп м1жнародио1 конференцп Теомстр1я в Одсгл - 2014". — Одеса : БлагодШний фонд "Наука", 2014. — С. 47.

11. Khromova, О.P. On the spectrum of the curvature operator of conformally flat riemannian metrics [Electronic resource] / O.P Khromova, D.N Osko-rbin, E.D Rodionov // International conference "Geometric Control Theory and Analysis on Metric Structures" (2014, August 3-8, at the Lake Baikal). — 2014. — P. 15. — URL: http://gct.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/uploads/2014/07/Thesis_baikal.pdf (accessed: 01.06.2015).

12. Oskorbin, D.N. The spectrum of the curvature operators on conformally flat metric Lie groups [Электронный ресурс] / D.N Oskorbin // Тезисы Международной конференции "Дин геометрии в Новосибирске - 2014", посвященной 85-лстию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск, 24 - 27 сентября 2014 года. — Новосибирск : 2014. — С. 119-120. — Режим доступа: math.nsc.ru/confercnce/geomtop/2014/abstracts/G-Days=2014.%20E-Abstracts.pdf. (дата обращения: 01.06.2015).

13. Оскорбин, Д.Н. О вычислении спектра оператора кривизны конформно плоских метрических групп Ли [Текст] / Д.Н Оскорбин // Сборник трудов

семнадцатой региональной конференции по математике "МАК-2014 посвященной 40-лстию факультета математики и информационных технологий.

- Барнаул : [б. и.], 2014. - С. 29-30.

14. Гладунова, О.П. Об изометрнчностп четырехмерных групп Ли с гармоническим тензором Вейля [Текст] / О.П Гладунова, Д.Н Оскорбнн, Е.Д Родионов // Материалы пятнадцатой конференции по математике "МАК - 2012".

— Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2012. — С. 20.

15. Оскорбил, Д.Н. Исследование гармоничности тензора Вейля левоинвари-аптных римановых метрик четырехмерных групп Ли с помощью универсальных математических систем [Текст] / Д.Н Оскорбнн, О.П Хромова // Сборник научных статей международной молодежной школы-семпнара "Ломоносовские чтения на Алтае", Барнаул, 5-8 ноября, 2013 : в 6 ч. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2013. — Ч. 1. — С. 45-48.

16. Оскорбнн, Д.Н. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / Д.Н Оскорбнн, Е.Д Родионов, О.П Хромова // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 4G1, № 5. - С. 513-515.

17. Клепиков, П.Н. Построение обобщенных базисов Милнора некоторых четырехмерных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбил // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — № 1/1(85). - С. 75-78.

18. Клепиков, П.Н. Однородные инвариантные солнтоны Риччи на четырехмерных группах Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — № 1/2(85). — С. 115-122.

19. Клепиков, П.Н. О спектрах операторов кривизны некоторых четырехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбнн, Е.Д Родионов // Известия Алтайского государственного университета. — 2015. — № 1/2(85). — С. 123-126.

20. Клепиков, П.Н. Обобщенные базисы Мнлнора некоторых 4-мерных вещественных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскорбин // Избранные труды международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 11-14 ноября, 2014 г. Под редакцией Е.Д. Родионова. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2014. - С. 48-71.

21. Клепиков, П.Н. Обобщенные базисы Милнора некоторых четырехмерных вещественных метрических алгебр Ли [Текст] / П.Н Клепиков, Д.Н Оскор-бин // Сборник научных статей международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования», Барнаул, 11-14 ноября, 2014. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2014. ISSN 2309-463Х - С. 298-302.

Цитированная литература

22. Громол, Д. Риманова геометрия в целом [Текст] / Д Громол, В Клингенберг, В Мейер. - М. : Мир, 1971.

23. Громов, М. Знак и геометрический смысл кривизны [Текст] / М Громов. — Ижевск : Изд.дом «Удмуртский университет», 1999.

24. Milnor, J. Curvature of left invariant metric on Lie groups [Text] / J. Milnor // Advances in mathematics. — 1976. — Vol. 21. — P. 293-329.

25. Bochner, S. Vectors fields and Ricci curvature [Text] / S. Bochner // Bull. Ann. Math. Soc. — 1946. — Vol. 52. — P. 776-797.

26. Берестовский, B.H. Однородные римановы многообразия положительной кривизны Риччи [Текст] / В.Н Берестовский // Мат. заметки. — 1995. — Т. 58, № 3. - С. 334-340.

27. Родионов, Е.Д. Одномерная секционная кривизна однородных римановых многообразий [Текст] / Е.Д Родионов, В.В Славский // Труды конференции „МОНА - 2001". - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2001.

28. Kowalski, О. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemannian 3-manifolds [Text] / O. Kowalski, S. Nikcevic // Geom. Dedicata. — 1996. — no. 1. — P. 65-72.

29. Кремлев, А. Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли. Унимодулярный случай [Текст] / А.Г Кремлев, Ю.Г Никоноров // Матем. тр. - 2008. - Т. 11, № 2. -С. 115-147.

30. Кремлев, А.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик па четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай [Текст] / А.Г Кремлев, Ю.Г Никоноров // Матем. тр. - 2009. - Т. 12, № 1. -С. 40-116.

31. Berger, M. Les varietes Riemannienes homogenes normales a courbure strictement positive [Text] / M. Berger // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1961. — Vol. 15. — P. 179-246.

32. Bergery, L.B. Les varietes Riemannienes invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive [Text] / L.B Bergery // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. — 1976. — Vol. 55, no. 1. — P. 47-68.

33. Verdiania, L. Positively curved homogeneous metrics on spheres [Text] / L Verdiania, W Ziller // Math. Zeitschrift. — 2009. — Vol. 261. — P. 473-488.

34. Валиев, Ф.М. Точные оценки секционных кривизн однородных римановых метрик на пространствах Уоллача [Текст] / Ф.М Валиев // Сиб. матем. журнал. — 1979. — Т. 20, № 2. — С. 248-262.

35. Puttmann, Т. Optimal pinching constants of odd dimensional homogeneous spaces [Text] / T. Puttmann // Invent, math. — 1999. — Vol. 138. — P. 631-684.

36. Cerbo, L. D. Generic properties of homogeneous Ricci solitons [Text] / Luca Di Cerbo // Adv. Geom. — 2014. — Vol. 14-2. — P. 225-237.

37. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна [Текст] / A Becce. — M. : Мир, 1990.

38. Rodionov, E.D. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups [Text] / E.D Rodionov, V.V Slavskii // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. Brno, August 10-14, 1998. - Masaryk University, Brno, Czech Republic. — 1999.

39. Alexeevskii, D.V. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature [Text] / D.V Alexeevskii, B.N Kimel'fel'd // Funktional. Anal, i Pril. — 1975. — Vol. 9-2. — P. 5-11.

40. Kodama, H. The space of left-invariant metrics on a Lie group up to isometry and scaling [Text] / H. Kodama, A. Takahara, H. Tamaru // manuscripta math. — 2011. — Vol. 135. — P. 229-243.

41. Lauret, J. Ricci soliton solvmanifolds [Text] / J Lauret // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. — 2011. — Vol. 650. — P. 1-21.

Научное издание

Оскорбин Дмитрий Николаевич

9юг т ъ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Спектры операторов кривизны на группах Ли с левоинвариантными римановыми метриками

Издательство Алтайского государственного университета Издательская лицензия ЛР 020261 от 14.01.1997 г. Подписано в печать 25.06.2015 г. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 219.

Типография Алтайского государственного университета: 656099, Барнаул, ул. Димитрова, 66.