Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На права / рун о гик и

Корнев Евгений Сергеевич

Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4

01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичес ких паук

ииаов14 12

Кемерово — 2007

003061412

Работа выполнена на кафедре математического анализа Кемеровского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Смоленцев Николай Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Никоноров Юрий Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич Ведущая организация Томский государственный университет

Здщигл состоится 3 сентября 2007 года в 11 00 на заседании диссертационного совей Д 003 015 03 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090, г Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Ав гореферат ра зос лап 2007 года

Ученый секретарь

дис с ер гациопного с овета

А Е гу™ан

Работа посвящена изучению специальных классов почти комплекс пых с 1румур па четрехмерных группах Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоинвариантных метрик Наряду с хорошо известным классом ортогональных почти комплексных с груктур вводятся еще три новых класса почти комплексных структур Первые два класса (приводимые и антиприводимме структуры) естественным образом возникают из I решет рических соображений, а третий класс возникает при переносе понятия приводимой и антиприводимой поч1и комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие пскоюрую симплек-тическую форму и описанные в [7] Впервые почти комплексная структура, инвариантно действующая на паре заданных двумерных распределений, была построена в работе П Годушона [7] при рассмотрении расслоения Хопфа £>3 х 51 Обобщение такой структуры на прои ¡вольные четномерные группы Ли приводит к понятию приводимых и антиприподичых почгп комплексных структур Вопрос об интегрируемости приводимых почти комплексных сфукгур на связных односвязных группах Ли размерности 4 исследован в |7] Можно также огмегигь, ню обобщенное понятие почти комплексной структуры - гиперкомплексная структура на группах Ли размерности 4 рассматривается в [7]

В работе также получены некоторые общие теоретические результаты В частности, получена классификация ортогональных почти комплексных структур относительно заданной метрики в зависимости от ее сигнатуры и теорема об интегрируемости почти приводимой комплексной структуры на группе Ли размерности 4 к, содержащей центр размерности 2 к Попутно исследуется вопрос о существовании на четырехмерных группах Ли левоинвариантных симплектических структур и левоинвариаптных кэлеровых метрик

Основными результатами работы являются

• полное описание двух известных и двух новых классов левоинвариаптных почти комплексных структур иа группах Ли размерности 4,

• доказательство классификационной теоремы для ортогональных леноинвариашпых почти комплексных структур в случае размерности 4

• построение новых классов левоинвариантиых римаповых и псевдори\ьшовых \ieipnk с различными и иногда даже уникальными свойствами

• вычисление различных характеристик этих метрик и описание их связи со структурой алгебры Ли группы Ли размерности 4

Важнейшим результатом является то, что в работе предьявляется вид левоинвариаптных комплексных структур всех рассматриваемых классов для всех трупп Ли размерности 4 с неизоморфными алгебрами Ли

В работе используются методы римановой геометрии, линейной алгебры и математическо-I о анализа А также и( пользуются расчеты с помощью компьютерной системы символьных вычие пений "Maple"

Основные теоре 1ич<ч кие результаты данной работы были опубликованы в издании "Вестник Новосибирского го(удар( 1 венного университета Математика"в номере 1 за 2007 год в статье " Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерное m 4" Отдельные части работы публиковались в журнале "Вестник Кемеровского те ^дарственною унивирсигета"в 2006 году и в электронном издании "Сибирские электронные математические известия"в 2007 году А также в тезисах научных конференций Томского го-(ударе гвенною университета (2003 год), института математики СО РАН (2004 год) и Кемеровского государе гвенного университета (2005 год) Различные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах

• Конференция, посвященная 120-летию Томского государственного университета, Томск, сентябрь 2003 юда

• Школа-конференция, посвященная 75-летию академика Ю Г Решетняка, Новосибирск, авеуст - сентябрь 2004 года

• Ежегодная научная конференция студентов и молодых ученых Кемеровского государ-с гвенною университета, Кемерово, апрель 2005 года

• Семинар профессора Е Д Родионова, Барнаул, октябрь 2006 года

• Семинар по геометрии и анализу института математики СО РАН, Новосибирск, сжтябрь 2006 I ода

• Семинар по геометрии и гопопогии института математики СО РАН, Новосибирск, декабрь 2006 года

В последнее время активно развивается изучение левоинвариантных симплектических и контактных структур, а также левоинвариантных кэлеровых и локально конформно кэлеро-вых метрик на ipyiniax Ли В связи с этим встает вопрос о классификации левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли Известно, что множество всех левоинвариантных почти комплексных структур на группе Ли размерности 2п можно отождествить с простран-с твом GL(2n,R)/ GL(n, С) Однако описать все множество левоинвариантных почти комплексных структур, даже па группе Ли размерности 4, практически невозможно, поскольку в общем случае «а задача сводится к решению системы нелинейных уравнений с большим числом неиз-вее гных Поэтому, как правило, рассматриваются почти комплексные структуры либо сохраняющие некоторую метрику, либо сохраняющие некоторую симплектическую форму В работе

предлагается другой подход к построению почти комплексных структур, не требующий задания метрики или симплектической формы Однако показываете и, что таким с труктурам можно сопоставить метрику и внешнюю 2-форму, которые инвариантны относительно этих с груктур Для каждого класса почти комплексных структур, представленных и работе, исследуется вопрос об интегрируемости, а для кажд01 о класса ас с оциированиых метрик не с ледуюте я с войс тва их кривизн Так как неизоморфных алгебр Ли всего 17, то преде тавляенн возможным изучить введенные классы почти комплексных структур и ассоциированных с ними метрик па всех группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли Более того, с помощью комплексных с lpvKiyp рассматриваемых типов на некоторых группах удаемся получить левоиивариаитпые эшшпей-новы, кэлеровы и локально конформно кэлеровы метрики

В первой главе сначала дается классификация четырехмерных iруин Пи по их ашебрам Ли Также дсжазывается классификационная теорема для oproiопальных почти комплексных структур, которая описывает множества этих структур в завис имос i и ем с ш натуры метрики Затем вводится понятие приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры, описывается вид этих структур в выбранном базисе и предъявляются левоннвариантные метрики, ассоциированные с этими структурами В заключение главы 1 выводятся необходимые вычислительные формулы

В главе 2 изучаются четырехмерные прямые произведения lpynn Пи Для каждой lpynribi дается критерий интегрируемости ортогональных, приводимых и аптиприводимых почт комплексных структур и находится оценка нормы их тензора Нейенхейса На ipynnax SO(3) х 51 и SL(2,R) xR при помощи формы Киллинга-Картапа вводится биипвариангная метрика На всех группах из главы 1 вводится семейство ассоциированных с приводимыми почти комплексными структурами метрик и исследуются свойства их кривизн

В главе 3 рассматриваются те же вопросы и методы, что и в главе 2, но уже на четырехмерных полупрямых произведениях групп Ли В некоторых случаях удается получить одпопара-метрическое семейство групп Ли, снабженных целым семейством левоинвариантныч комплексных структур и кэлеровых метрик

Глава 4 посвящена изучению обобщения понятия антиприводимой почти комплекс пой структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие заданную внешнюю 2-форму Для таких структур на всех четырехмерных группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли дасчся критерий шгтрируемости, а также дается вид ассоциированных с такими cipviuypaMii метрик и исследуются свойства их кривизн

В конце работы приводится текст процедур, позволяющих реализовать основные вычисления в пакете "Maple"

Почти комплексной структурой на труппе Ли называется эндоморфизм 7(c) касательной) расслоения TG такой, что для любою х 6 g,J2(x) = - id Если е - единица группы G, то

левоиивариапгпой почти комплексной структурой называется структура 3 такая, что 3(х) = ¡1Ь]3{е)(1Ьт-\, где (1ЬХ - дифференциал левого сдвига на элемент х

Е( ли злфикс ировать левоинвариднтный базис алгебры Ли д, то левоинвариантные почти комплекс ные структуры отождествляются с матрицами, квадрат которых равен единичной матрицы Это задает способ классификации таких структур Поскольку в общем случае задача нахождения среди всех матриц порядка 4, матриц представляющих почти комплексную структуру, является крайне сложной, то обычно рассматривают специальные, более узкие, классы почти комплексных структур

Первый с псциальпый класс - это Ортогональные структуры Пусть на группе Ли й задана левоинвариангная мехрика д почти комплексная структура 3 называется д-ортогональной, ее ли для всех X и У алгебры Ли группы й, д(ЗХ, ЗУ) = д(Х, У) Для случая размерности 4, в рабом1 получена классификация ортогональных почти комплексных структур в зависимости сн с И1 натуры метрики

Теорема 1 Ну/ ть д - левоиивариаптная псевдориманова метрика, на группе Ли, размерно/ та 4 и ] - матрица почти комплексной структуры в ортонормироваппом относительно м/ трипа д б/нас/' Тогда

1) Еиш метрика д - римаи/юа, то мно исество д-ортогопальныа почти комплексны! структур образует двулистное накрытие двумерной сферы Каждой точке (а,Ь,с) на сфере, соответствует пара (труктур

0 а ь с

—а 0 с -Ь

-Ь —с 0 а

—с Ь —а 0

0 а Ъ с

-а 0 —с Ь

-Ъ с 0 —а

—с -Ь а 0

2) Еиш метрика g имеет / илштуру (—, —, +, +), то мно исество д-орто^ональныг почти компл/ к сим/ /труитур, обр/чует двулистное накрытие двумерной псевдосферы Каждой точ-«р (а,Ь,/) на п/евдасфере //¡ответствует naj>a структур

0 а Ь с

—а 0 с -Ъ

Ь с 0 а

с -Ь —а 0

0 а Ъ с

—а 0 —с Ь

Ъ -с 0 -а

с Ь а 0

3) Если метрика д имеет сигнатуру (—, 4-, +, +), то на группе Ли не существует д-ортогональнъи почти комплекснъи структур

Замечание 2 Если ограничиться только структурами, со граняющими ориентацию на группе, то получаем что все д-ортогональные почти комплексные структуры однозначно параметризуются точками соответствующих повертостей

Пусть теперь ~ фиксированная д-ортогональная почти комплексная структура Если ввести внешнюю 2-форму П(Х, У) = д(Х,3оУ), то все почти комплексные структуры, сохраняющие форму П,т с такие что Л( ЗХ, JY) = П(Х, У), находятся по формуле

J = М1А+Р)(1А-Р)-\ где Р - эндоморфизм алгебры Ли группы (3, удовлетпоряющий следующим свойствам

Р1о = - р,

Оператор Р симмегричсн относительно метрики д, и оператор 1с1 —Р~2 - невырожден Это еще один специальный класс структур, определяемый формой П Классификация таких почти комплексных структур сводится к описанию операюров Р

Основным достижением работы является введение двух новых классов почти комплексных структур, не требующих задания на группе метрики или внешней 2-формы

Пусть й - группа Ли размерности 4 к, и В и В1 - пара взаимодополняющих подпрос транств алгебры Ли группы О, размерности 2к Приводимой почти комплексной структурой ассоциированной с парой распределений В и В-1-, называется почти комплексная структура J такая, что для любых X, У из алгебры Ли группы й таких, что X 6 В, У 6 В-1, ./А' € В, ЗУ € Вх Антиприводимой почти комплексной структурой ассоциированной с парой распределений В и В-1, называется почти комплексная структура J такая, что ]Х 6 В7У е В

Пусть теперь (5 - группа Ли размерности 4, и е\, е2, ез, в4- фиксированный базис алгебры Ли группы й, ортонормированный относительно некоторой заданной метрики Имеется три пары двумерных распределений, ортогональная сумма которых образует всю алгебру Ли

{ех, е2} ® {е3, е4}, {еь е3} в {е2, е*}, {ех, е4} ® {е2, е3}

Классификацию приводимых и аитиприводимых почти комплексных структур, п таком базисе, даю г с ледующие теоремы

Теорема 3 Пусть .7 - приводимая почти комплексная структура на -четыре ¡мерной группе Ли б, ассоциированная г парой распределений В и В^ Тогда 1) Е<ли В = {ех,е2},ВХ = {ез,е4}, то

(1)

а 6 0 0

с —а 0 0

7 =

0 0 а /3

0 0 7 —а

{62,64}, то

ах 0 Ьх 0

0 02 0 ь2

J =

Сх 0 -ах 0

0 С2 0 -а2

3) Если В = {е1,е4},В-1- = {е2,е3},

3 =

а 0 0 6

0 а £ 0

0 7 —о 0

с 0 0 —а

причем

а2 + Ьс = а2 + (3 7 = -1 а^ + = а2 + ¿2^2 = —1

(2)

(3)

(4)

(5)

Теорема 4 Пцстъ ех, е2, ез, - бате алгебры Ли группы Ли размерности 4, " 3 ~ антиправо-димая почти комплексная структура ассоциированная с парой левоипвариантных двумерныг распределений В а Втогда

■л

1) Если Ь= {е^ег^-В-1 = {ез,ел}, т° 3 имеет вид

О О -й/Б Ъ/Б О О с/Б -а/23 а Ь О О сё О О

2) Если В = {ех,е3}, = {е2,е4}, то 3 имеет вид

О -¿¡В О Ь/Б а 0 6 О

с/Б О

-а/Б

3) Если В = {е1,е4},В1 = {в2,ез}, то 3 имеет вид

О -<1/Б Ь/Б

З3 =

с/Б -а/Б О

где Б = аё — Ьс ^ О

Обозначим через 91,в2,в^,в'1 - дуальный базис лгвоинвариантных 1-форм, и введем три внешние 2-формы

п1 = 91лб2 + $3лвЛ, п2=¥ ле3 + е2лб4, п, = е1 л б>" + б2 л е3

Оказывается что приводимые почти комплексные структуры вида (1) (охраняют форму Пь структуры вида (2) сохраняют форму Г22, а структуры вида (3) сохраняют форму Пз Теперь, пользуясь известным фактом, что если почти комплексная структура 3 сохраняет внешнюю 2-форму П, то форма gJ[X,Y) = $1(3X, У) является левоипвариантной метрикой, получаем что с каждой приводимой почти комплексной структурой можно связать метрику, коэффициентами которой являются коэффициенты матрицы почти комплексной с груктуры Такая метрика называется ассоциированной с почти комплексной структурой

Таким образом получен интересный класс левоинвариангных метрик В работе это1 класс метрик изучается для каждого класса четырехмерных групп Ли с неизоморфныыи алгебрами Ли (таких классов всего 17)

Для почти комплексных структур важнейшим является понятие интегрируемости Почти комплексная структура 3 на группе Ли размерности 2п называется интегрируемой или комплексной, если па группе можно ввести вещественные координаты (х\, ,хп,уг, ,у„) согла-с опаниые с действием структуры 3 те для канонических базисных векторных полей должно выполняться условие д/дук = Зд/дх^ для всех к от 1 до N

Основным критерием для выяснения интегрируемости почти комплексных структур, является следующий известный факт

Теорема 5 Пусть 3 левоинвариантная почти комплексная структура па группе Ли размерности 2 п Тогда структура ] является интегрируемой(комплексной) тогда, и только тогда, когда гпенюр Ы, определенный на алгебре Ли группы Ли следующим образом

ЩХ, Г) = 2 ([УХ, ЗУ] - з[зх, Г] - з [X, ЗУ] - [X, У})

то>к.дествсппо равен нулю

Тензор N называется тензором Нейенхейса или тензором не1 олономности почти комплексной структуры Этот тензор отвечает за антиголоморфную часть скобки Ли двух комплексных векторных полей

для приводимых почти комплексных структур, в работе получен следующий важный результат

Теорема 6. Пусть 3 - лево инвариантная приводимая почти комплексная структура па группе Ли в размерности 4п, ассоциированная с парой 2 п-мериыт левоинвариантпъи касатель-ны! распределений пусть также алгебра Ли группы С имеет нетривиальный центр Тогда, если одно распределение лежит в центре алгебры Ли, а на другом тензор Нейенхейса структуры 3 тождественно равен нулю, то структура 3 - интегрируема

для доказательства достаточно показать что тензор Нейенхейса структуры 3 равен нулю на всей алгебре Ли группы С

не смотря гга двойственность приводимых и антиприводимых почти комплексных структур, свойство интегрируемости для этих двух классов, как правило, совершенно различны, и из интегрируемости структур одного вида не следует интегрируемость структур другого вида

Основная часть работы отводится изучению вопроса об интегрируемости всех введенных выше классов почти комплексных структур, и описанию вида комплексных структур, для каждого класса четырехмерных групп Ли с неизоморфными алгебрами Ли Также для каждого класса таких групп изучаются, ассоциированные с приводимыми почти комплексными структурами, метрики Особенно интересно то, что с помощью этих метрик на различных группах Ли часто удается получить левоинвариантные эйнштейновы, кэлеровы или локально конформно

юлеровы метрики В работе также предъявлены формулы, которые выражают тензор Нейеп-хейса почти комплексной структуры, и основные характеристики левоинвариантных метрик на группе Ли через структурные константы алгебры Ли группы Ли и коэффициенты матрицы почти комплексной структуры или метрики в заданном базисе Как побочный результат, на каждом классе четырехмерных групп Ли дается ответ на вопрос о существовании па группе левоинвариантных симплектических структур, и описывается их вид в дуальном базис с

С помощью обобщения понятия приводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие фиксированную внешнюю 2-форму, в работе получен новый класс почти комплексных структур и левоинвариантных метрик, которые иарамсчри !уюгся одним комплексным параметром г \z\ ф 1 Таким образом в данной работе собраны все геометрически обоснованные классы почти комплексных структур, и показан способ получения с помощью таких структур левоинвариантных метрик

Список литературы

[1] Baibens M 1 Hypeicomplex •itrucUnes on /our-dimensional Lie i)ioup<, //Pioc Amer Math Soc V 125, No 4, 1997, p 1043-1054

[2] Смоленцев H К Пространства римаповьп метрик // Современная математика и ее приложения, г 31, 2003, С 69-146

[3] Корпев Е С Левоинвариапгппые почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4 // Вестник Новосибирского Государственного Университета, серия "Математика № 1 за 2007 год, Новосибирск, 2007, С 33-58

[4] Корнев Е С Приводимые почти комплексные структуры па пдиосвязныт грцпппт Ли размерности 4 // Вестник Кемеровского государственного университета, серия "Математиках» 1 (25), Кемерово, 2006, с 39-42

[5] П Годушон Повертосгпи Хопфа - Квазикомплексные многооб]тшя paiMepnocmu 4 // доклад VII, в кн "Четырехмерная риманова геометрия семинар Артура Бсссе 1978/79 г Москва, Мир, 1985, с 120-138

Введение

1 Классификационные теоремы

1.1 Классификация четырехмерных алгебр Ли.

1.2 Классификация левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур

1.3 Ассоциированные и приводимые почти комплексные структуры.

1.4 Вывод основных вычислительных формул.

2 Случай прямого произведения

2.1 Группа 80(3) х 51.

2.2 Группа 8Ц2,М) хМ.

2.3 Группа #3 х М.

2.4 Группа Е( 1) х Ж2.

2.5 Группа Е(1) х Е{ 1).

3 Случай полупрямого произведения

3.1 Группа (?1.

3.2 Группа в2.

3.3 Группа Gz.

3.4 Группа

3.5 Группа (?5.

3.6 Группа <36.

3.7 Группа С?7.

3.8 Группа

3.9 Группа Сгд.

ЗЛО Группа С?ю.

3.11 Группа

3.12 Группа Си.

4 Другие ассоциированные почти комплексные структуры и связанные с ними метрики

4.1 Общие конструкции.

4.2 Случай прямого произведения.

4.3 Случай полупрямого произведения.

Работа посвящена изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоин-вариантных метрик. Наряду с хорошо известным классом ортогональных почти комплексных структур вводятся ещё три новых класса почти комплексных структур. Первые два класса (приводимые и антиприводимые структуры) естественным образом возникают из геометрических соображений, а третий класс возникает при переносе понятия приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраг няющие некоторую симплектическую форму и описанные в [9]. Впервые почти комплексная структура, инвариантно действующая на паре заданных двумерных распределений, была построена в работе П. Годушона [15] при рассмотрении расслоения Хопфа 53 х 51. Обобщение такой структуры на произвольные четномерные группы Ли приводит к понятию приводимых и антиприводимых почти комплексных структур. Вопрос об интегрируемости приводимых почти комплексных структур на связных односвязных группах Ли размерности 4 исследован в [13]. Можно также отметить, что обобщенное понятие почти комплексной структуры - гиперкомплексная структура на группах Ли размерности 4 рассматривается в [81В работе также получены некоторые общие теоретические результаты. В частности, получена классификация ортогональных почти комплексных структур относительно заданной метрики в зависимости от ее сигнатуры и теорема об интегрируемости почти приводимой комплексной структуры на группе Ли размерности А к, содержащей центр размерности 2 к. Попутно исследуется вопрос о существовании на четырехмерных группах Ли левоинвариантных симплектических структур и левоинвариантных кэлеровых метрик.

Основными результатами работы являются: полное описание двух известных и двух новых классов левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли размерности 4, доказательство классификационной теоремы для ортогональных левоинвариантных почти комплексных структур в случае размерности 4, построение новых классов левоинвариантных римановых и псевдоримановых метрик с различными и иногда даже уникальными свойствами, вычисление различных характеристик этих метрик и описание их связи со структурой алгебры Ли группы Ли размерности 4. Важнейшим результатом является то. группах Ли размерности 4". Отдельные части работы публиковались в журнале "Вестник Кемеровского государственного университета"в 2006 году и в электронном издании "Сибирские электронные математические известия"в 2007 году. А также в тезисах научных конференций Томского государственного университета (2003 год), института математики СО РАН (2004 год) и Кемеровского государственного университета (2005 год). Различные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Конференция, посвященная 120-летию Томского государственного университета, Томск, сентябрь 2003 года.

• Школа-конференция, посвященная 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск, август - сентябрь 2004 года.

• Ежегодная научная конференция студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета, Кемерово, апрель 2005 года.

• Семинар профессора Е. Д. Родионова, Барнаул, октябрь 2006 года.

• Семинар по геометрии и анализу института математики СО РАН, Новосибирск, октябрь 2006 года.

• Семинар по геометрии и топологии института математики СО РАН, Новосибирск, декабрь 2006 года.

В последнее время активно развивается изучение левоинвариантных симплектических и контактных структур, а также левоинвариантных кэлеровых и локально конформно кэле-ровых метрик на группах Ли. В связи с этим встает вопрос о классификации левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли. Известно, что множество всех левоинвариантных почти комплексных структур на группе Ли размерности 2 п можно отождествить с пространством СЬ(2п,К)/ОЬ(тг,<С). Однако описать всё множество левоинвариантных почти комплексных структур, даже на группе Ли размерности 4, практически невозможно, поскольку в общем случае эта задача сводится к решению системы нелинейных уравнений с большим числом неизвестных. Поэтому, как правило, рассматриваются почти комплексные структуры либо сохраняющие некоторую метрику, либо сохраняющие некоторую симплектическую форму. В работе предлагается другой подход к построению почти комплексных структур, не требующий задания метрики или симплектической формы. Однако показывается, что таким структурам можно сопоставить метрику и внешнюю 2-форму, которые инвариантны относительно этих структур. Для каждого класса почти комплексных структур, представленных в работе, исследуется вопрос об интегрируемости, а для каждого класса ассоциированных метрик исследуются свойства их кривизн. Так как неизоморфных алгебр Ли всего 17, то представляется возможным изучить введенные классы почти комплексных структур и ассоциированных с ними метрик на всех группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли. Более того, с помощью комплексных структур рассматриваемых типов на некоторых группах удается получить левоинвариантные эйнштейновы, кэлеровы и локально конформно кэлеровы метрики.

В первой главе сначала даётся классификация четырехмерных групп Ли по их алгебрам Ли. Также доказывается классификационная теорема для ортогональных почти комплексных структур, которая описывает множества этих структур в зависимости от сигнатуры метрики. Затем вводится понятие приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры, описывается вид этих структур в выбранном базисе и предъявляются левоинвари-антные метрики, ассоциированные с этими структурами. В заключение главы 1 выводятся необходимые вычислительные формулы.

В главе 2 изучаются четырехмерные прямые произведения групп Ли. Для каждой группы дается критерий интегрируемости ортогональных, приводимых и аитиприводимых почти комплексных структур и находится оценка нормы их тензора Нейенхейса. На группах S0(3) х 51 и SL(2,R) х R при помощи формы Киллинга-Картана вводится биинвариантная метрика. На всех группах из главы 1 вводится семейство ассоциированных с приводимыми почти комплексными структурами метрик и исследуются свойства их кривизн.

В главе 3 рассматриваются те же вопросы и методы, что и в главе 2, но уже на четырехмерных полупрямых произведениях групп Ли. В некоторых случаях удается получить однопараметрическое семейство групп Ли, снабженных целым семейством левоинвариант-ных комплексных структур и кэлеровых метрик.

Глава 4 посвящена изучению обобщения понятия антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие заданную внешнюю 2-форму. Для таких структур на всех четырехмерных группах Ли с неизоморфными алгебрами Ли дается критерий интегрируемости, а также дается вид ассоциированных с такими структурами метрик и исследуются свойства их кривизн.

В конце работы приводится текст процедур, позволяющих реализовать основные вычисления в пакете "Maple". тш ияийьэи э1яшгеао(1ии*юээв и McLCxMjfdxo эгаюмэтшоя ихьон эинхнки^аниояэ^,, эчхвхэ я tfoa ¿002 be х ixfewon янтаихтшэх«до "ехэхиэс1эяин£ оаоннэяхэсЫтЯэол оло^идиэояоц мин -хээд„ иинейеи я гпгеяоншгд/Сио ишчд nxoged goHiretf мхтгхчюС^ эихээьихэ<1оэх эганяонэо

ЦИНЭГГЭИЫЧЯ Х1ЧНЧ1ГОЯ

-ииэ ииэхэиэ 0ОН<1ЭХО1ЧЦИОИ ontaowou э Nxahaud BDXoijCcqirouoH эжзгех у -вситенв оаомээь -ихвиэхви и wdgDjire иощ}эни1г 'nndxawoaj yoaoirewHd ni/охэи юхоиСечиоши axogwd д

HJf HWBdgSJIfB HWI4IKf)dOWO£H9H Э Ь HXOOHdawCBd ИТС UIlMl умя ктЛт" CTn-vwii-u viaft

1. N. Bourbaki. Groupes et algèbres de Lie. Fase. XXV1. XXXVII. Chap. I-III (Paris: Hermann, 1971,1972).

2. Chu B.-Y. Symplectic Homogeneous Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 197, 1974, P. 145159.

3. Ghanam R., Thompson G., Miller E.J. Variationality of Four-Dimensional Lie Group Connection // J. of the Lie Theory, Vol. 14, 2004, P. 395-425.

4. Jensen G.R. Homogeneous Einstein spaces of dimension four // J. Diff. Geom. Vol. 3, 1969, P. 309-349.

5. Ishihara S. Homogeneous Riemannian spaces of four dimensions //J. Math. Soc. Japan. Vol. 7, no. 4,1955, P. 345-369.

6. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Advances in Math. Vol. 21, 1976, P. 293-329.

7. Dragomir S., Ornea L. Locally Conformai Kahler Geometry. // Progress in Math., Birkhauser, Basel, vol. 155, 1998.

8. Barberis M.l. Hypercomplex structures on four-dimensional Lie groups. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 125, No 4,1997, p. 1043-1054.

9. Смоленцев H.K. Пространства римановых метрик // Современная математика и ее приложения, т. 31, 2003, С. 69-146.

10. Смоленцев Н.К. Ассоциированные почти комплексные структуры и (псевдо)римановы метрики на группах GL(2,R) и SL(2,R) х R. // Вестник Кемеровского государственного университета № 4 (24), с. 155-162.

11. Корнев Е.С. Ортогональные комплексные структуры на группах GL(2,R) и SL(2,R) хМ. // Вестник Кемеровского государственного университета № 4 (24), с. 178-182.

12. Корнев Е.С. Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4 // Вестник Новосибирского Государственного Университета, серия "Математика К8 1 за 2007 год, Новосибирск, 2007, С. 33-58.

13. Корнев Е.С. Приводимые почти комплексные структуры на односвязных группах Ли размерности 4- // Вестник Кемеровского государственного университета, серия "Математика № 1 (25), Кемерово, 2006, с. 39-42.

14. П. Годушон. Поверхности Хопфа Квазикомплексные многообразия размерности 4- // доклад VII, в кн. "Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978/79 г.Москва, Мир, 1985, с. 120-138.

15. Л. Берар-Бержери. Однородные римановы пространства размерности 4- // доклад III, в кн. в кн. "Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе 1978/79 г.Москва, Мир, 1985, с. 45-59.

16. Мубаракзянов Г.М. О разрешимых алгебрах Ли. // Известия высших учебных заведений, Математика, 1963, № 1 (32), с. 114-123.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. В 2 т. // Москва: Эдиториал УРСС, 1998.

18. Ш. Кобаяси, К. Намидзу. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. // Москва: Наука, 1981.

19. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. // Москва: Мир, 1964.