Геометрия гиперкомплексных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.813.3, 512.722, 514.763.44

Солдатенков Андрей Олегович

Геометрия гиперкомплексных многообразий

Специальность: 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 АПР 20

Москва — 2014

005547410

005547410

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

профессор факультета математики НИУ ВШЭ, PhD (Harvard University, 1995), Вербицкий Михаил Сергеевич главный научный сотрудник отдела комплексного анализа Математического Института им. В.А.Стеклова РАН, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Немировский Стефан Юрьевич; профессор кафедры высшей геометрии и топологии МГУ им. М.В.Ломоносова, доктор физико-математических наук, доцент Панов Тарас Евгеньевич федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А.Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 3 июня 2014 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. А.А.Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А.А.Харкевича РАН. Автореферат разослан «_сил^-елЛ 2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета. Учёный секретарь

диссертационного совета Д002.077.03,

доктор физико-математических наук | А.Н.Соболевский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследований.

Работа посвящена изучению гиперкомплексных многообразий. Рассмотрим компактное дифференцируемое многообразие М класса С00.

Определение 1.1. Гиперкомплексная структура на М — это тройка интегрируемых почти-комплексных структур I, 3, К, удовлетворяющих соотношению

и = -л = к.

При этом М называется гиперкомплексным многообразием.

Гиперкомплексные многообразия являются кватернионным аналогом комплексных многообразий. Термин "гиперкомплексное многообразие" принадлежит Боеру, см. [4]. Сейчас известно довольно много примеров гиперкомплексных многообразий. Среди них гиперкэлеровы многообразия, многообразия Хопфа, левоинвариантные гиперкомплексные структуры на компактных группах Ли, построенные Джойсом [5], гиперкомплексные структуры на некоторых многообразиях Штифеля (см. [6]), гиперкомплексные нильмного-образия (см. [7]).

Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата, см. [8], [9], [10]. В работах Обаты эти структуры появились как результат изучения аффинных связностей на многообразиях с почти-комплексной структурой.

Пусть (М, /, ./, К) - гиперкомплексное многообразие, V — аффинная связность на нем. Напомним, что кручение связности V — это тензор Т € Л2М ® ТМ, определяемый формулой Т(Х, У) = УХУ ~ УуХ - [X, У] для любых векторных полей X, У € ТМ. Будем говорить, что связность V сохраняет гиперкомплексную структуру, если V/ = V./ = УК = 0. Одним из основных результатов, полученных в работе Обаты [8], было следующее утверждение.

Теорема 1.2 (Обата). На гиперкомплексном многообразии (М, /, </, К) существует единственная связность V, сохраняющая гиперкомплексную структуру и имеющая нулевое кручение.

Эта связность называется связностью Обаты.

Напомним определение группы голономии аффинной связности V на многообразии М. Зафиксируем точку х € М и рассмотрим замкнутую петлю 7: [0,1] —> М, 7(0) = 7(1) = х. Параллельный перенос вдоль 7 определяет линейный оператор д1 £ СЬ(ТХМ). Группа, порожденная всеми такими операторами называется группой голономии связности V, будем обозначать ее Но1(У). Эта группа определена однозначно с точностью до сопряжения как подгруппа в СЬ(п,Ж), где п — размерность многообразия. Компонента связности единицы, обозначаемая Но1°(Х7), является подгруппой Ли в Ж). Будем обозначать ее алгебру Ли через ()о((У). Будем говорить, что голономия является неприводимой, если ее тавтологическое представление, задаваемое вложением в (?Ь(п, М), неприводимо. Подробнее о свойствах групп голономии см. [11], глава 10.

Если V — связность Обаты на гиперкомплексном многообразии, то Но1(У) С СЬ(п, Н), так как V сохраняет гиперкомплексную структуру. Связность Обаты является незаменимым инструментом для исследования гиперкомплексных многообразий. Однако, даже в простейших примерах инварианты связности Обаты, такие как ее группа голономии, до сих пор не вычислены. Если (М, /,.], К) допускает гиперкэлерову метрику, то связность Обаты совпадает со связностью Леви-Чивита гиперкэлеровой метрики, и ее голономия является подгруппой в 5р(п). Верно и обратное: если на многообразии есть связность без кручения с голономией, содержащейся в Зр(п), то это связность Леви-Чивита для некоторой гиперкэлеровой метрики.

Вопрос о том, какие группы могут встречаться в качестве групп голономии аффинных связностей без кручения является одним из важнейших в дифференциальной геометрии. При классификации групп голономии естественно ограничиться случаем, когда представление голономии неприводимо. Для специального класса многообразий — симметрических пространств — ответ на этот вопрос был получен Эли Картаном, см. [11], раздел 10.С. Для многообразий, не являющихся симметрическими пространствами, существенное продвижение в вопросе классификации было сделано Берже в [12]. Работа Берже полностью завершила классификацию групп голономии метрических связностей на римановых многообразиях. Для случая неметрических голономии многообразий, не являющихся симметрическими пространствами,

классификация была завершена в 1999-м году, в работах Меркулова и Шва-хофера [13], [14].

Таким образом, сейчас известен полный список групп, которые могут быть неприводимыми группами голономии связностей без кручения, не являющихся симметрическими. Помимо самой группы GL(n,M) в списке неприводимых голономий встречаются некоторые ее подгруппы, а именно Sp(n) и 5L(n,H). Для каждой из этих подгрупп известны примеры компактных многообразий со связностями, голономии которых содержатся в этих подгруппах. Для Sp(n) это гиперкэлеровы многообразия, а для SL(n, Н) это, например, нильмногообразия, см. [7]. Одним из результатов, доказанных в данной работе является теорема о том, что на группе SU(3) с гиперкомплексной структурой, построенной Джойсом в [5], голономия связности Обаты совпадает с GL( 2, И).

Рассмотрим более подробно многообразия с голономией, содержащейся в 5L(n,H). Напомним определение этой группы. Пусть (V,I,J,K) — ква-тернионное векторное пространство вещественной размерности 4гг. Группа GL(n, Н) состоит из линейных преобразований пространства V, которые коммутируют с J и К. Рассмотрим разложение Ходжа V ®r С = V/'0 © Vf'1, где V}1'0 и Vj0,1 — собственные подпространства оператора I, соответствующие собственным значениям %/—1 и -у/=1. Пусть Aj V = Л2"(У/-0). Тогда SL(n, Н) — это подгруппа, состоящая из тех элементов GL(n, Ы), которые действуют тождественно на A]n,0V.

Определение 1.3. Если группа голономии Hol(V) связности Обаты на гиперкомплексном многообразии М содержится в SX(n,lHI), то будем говорить, что М является SL(n,M) -многообразием.

Для любого SL(n, Н)-многообразия связность Обаты, индуцированная на каноническом расслоении К(М,1) = Л2",0(М, /), сохраняет ненулевое сечение. Из этого следует, что К(М, I) является тривиальным как голоморфное расслоение (см. [15]). В присутствии НКТ-метрики верно и обратное: любое компактное гиперкомплексное многообразие с тривиальным каноническим расслоением К(М,1) и с НКТ-метрикой удовлетворяет условию Hol(V) С SL(n, И). Это утверждение доказано в [15] с использованием теории Ходжа для НКТ-многообразий, построенной в [16]. В последней работе показано,

как для SL(n, Н)-многообразия с НКТ-метрикой построить аналог ходжева разложения для когомологий структурного пучка Н*{Ощ,1))- Отметим, что во всех известных на сегодняшний день примерах у SL(n, Н)-многообразий группа голономии является собственной подгруппой в SL(n, И).

Далее, мы напомним определение НКТ-метрики. Пусть (M, I, J, К) — гиперкомплексное многообразие и 5 — кватернионно-эрмитова метрика на нем. Рассмотрим эрмитовы формы:

wj(X, Y) = g(IX, Y), ojj(X, Y) = g(JX, Y), ujk(X, Y) = g(KX, Y).

Если любые две из этих форм замкнуты, то многообразие гиперкэлерово. Обозначим Гlj = uj + \/—luiK. Легко проверить, что П/ G Л2/°М.

Определение 1.4. Метрика g называется НКТ-метрикой (hyperkàhler with torsion, гиперкэлерова с кручением), если ÔÎ2/ = 0. В этом случае форма называется НКТ-формой, а (M, I, J, К, g) — НКТ-многообразием.

НКТ-метрики были введены Хове и Пападопулосом в [17] (см. также [18]) и активно изучались после этого. Существование НКТ-метрики накладывает существенные ограничения на глобальную геометрию гиперкомплексного многообразия ([19], [7]).

После работы [18] стало ясно, как важны НКТ-метрики при изучении гиперкомплексных многообразий. В этой работе была показана связь между НКТ-метриками и связностями с кососимметрическим кручением.

НКТ-метрики имеют много общего с кэлеровыми метриками — они локально задаются потенциалом (см. [20]) и могут быть использованы для получения некоторых ограничений на когомологии многообразия.

В работе [16] Вербицкий развил теорию Ходжа для многообразий с НКТ-метрикой, которая оказалась весьма полезной для исследования гиперкомплексных многообразий. В данной работе мы используем теорию Ходжа для НКТ-многообразий при исследовании подмногообразий в гиперкомплексных SL(n, Н)-многообразиях, а также для изучения голоморфных лагранжевых расслоений на гиперкомплексных многообразиях.

Цели диссертационной работы:

• Изучить связность Обаты для левоинвариантной гиперкомплексной структуры на группе Ли 5£/(3). Найти группу голономии этой связности.

• Исследовать подмногообразия гиперкомплексного Н)-многообра-зия. Доказать, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим.

• Построить примеры многообразий, не допускающих НКТ-метрики. Изучить голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных 5Ь(п, Н)-многообразиях.

Результаты:

• Получено явное выражение для связности Обаты на гиперкомплексном многообразии. Доказано, что голономия связности Обаты на группе Яи(3) с левоинвариантной гиперкомплексной структурой неприводима. Учитывая это, доказано, что группа голономии на этом многообразии равна 2,Н).

• Рассмотрены гиперкомплексные 5Ь(п, Ы)-многообразия с НКТ-метри-кой. Доказано, что для общей комплексной структуры в твисторном семействе соответствующее комплексное многообразие пе имеет дивизоров, а все подмногообразия коразмерности два являются трианали-тическими. Из этого, в частности следует, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим, а пространство тви-сторов не допускает кэлеровой метрики. Кроме того, без предположения о существовании НКТ-метрики, доказано, что для общей комплексной структуры в твисторном семействе соответствующее комплексное многообразие не имеет голоморфных лагранжевых подмногообразий.

• Рассмотрены голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях. Доказано, что если тотальное пространство такого расслоения допускает НКТ-метрику, то база расслоения является кэле-ровым многообразием. С использованием этого результата построены

примеры гиперкомплексных многообразий, не допускающих НКТ-мет-рик.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории групп Ли, комплексной алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии.

Апробация работы. Работа была поддержана грантом ag. 11.G34.31.0023 лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений (НИУ-ВШЭ) и фондом Д. Зимина "Династия". Результаты диссертации докладывались:

• На летней школе по алгебраической геометрии и комплексному анализу, Ярославль, май 2011 г.

• На семинаре отдела алгебры МИАН им. В.А.Стеклова РАН, Москва, 6 марта 2012 г.

• На международной конференции "Hyperkahler manifolds", Banach Center IMPAN, Варшава, апрель 2012 г.

• На семинаре по многомерному комплексному анализу (семинаре Витуш-кина), МИАН им. В.А.Стеклова РАН, Москва, 26 сентября 2012 г.

• На семинаре кафедры высшей геометрии и топологии (семинаре Постникова), мех-мат МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, 11 марта 2014 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах [1, 2] в рецензируемых журналах, работа [3] принята к печати в рецензируемом журнале и опубликована в электронном виде.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Общий объем диссертации 74 страницы. Библиография включает 66 наименований на 7 страницах.

Содержание работы

Первая глава носит подготовительный характер. В ней приведены необходимые для дальнейшего сведения о гиперкомплексных структурах, связности Обаты, группах голономин и теории калибраций.

Во второй главе мы изучаем левоинвариантную гиперкомплексную структуру на группе Ли 5£/(3), построенную Джойсом в работе [5]. В частности, мы изучаем голономшо связности Обаты на этом многообразии. Гиперкомплексные структуры, построенные Джойсом дают пример гиперкомплексных многообразий с нетривиальным каноническим расслоением. Следовательно, голономия связности Обаты на таких многообразиях не является подгруппой в БЫтг, Н). Мы покажем, что голономия связности Обаты на Би(3) является неприводимой. Используя классификацию неприводимых групп голономни, полученную Меркуловым н Швахофером в [13] и [14], мы докажем следующую теорему:

Теорема 1.5. Группа голономии связности Обаты на 5С/(3) с левоинвари-антной гиперкомплексной структурой совпадает с (7£(2,Ш1).

Это дает первый известный пример компактного гиперкомплексного многообразия с такой группой голономии. Результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работе [1].

В третьей главе мы изучаем некоторые свойства твисторных семейств для гиперкомплексных 5Ь(п, Н)-многообразий с НКТ-метрикой. Базой такого семейства является комплексная прямая СР1. Мы доказываем, что существуют ограничения на возможные комплексные подмногообразия в многообразии, являющимся общим элементом этого семейства. Под общим элементом семейства мы будем понимать элемент, лежащий в дополнении к некоторому счетному множеству. Основная теорема этой главы состоит в следующем:

Теорема 1.6. Пусть (М,1, </, К) является 5Ь(п, И)-многообразием, допускающим НКТ-метрику. Тогда существует такое счетное подмножество 5 С СР1, что для любой индуцированной комплексной структуры Ь € СРХ\5 в комплексном многообразии (М, Ь) нет компактных дивизоров, а

все компактные комплексные подмногообразия Z С (M, L) коразмерности два являются трианалитическими.

В частности, в этой главе показано, что общее многообразие в твистор-ном семействе не содержит дивизоров, и следовательно не является алгебраическим. Это можно рассматривать как частичное обобщение аналогичных результатов для гиперкэлеровых многообразий (см. [21]) и для плоских гиперкомплексных многообразий (см. [22]). Кроме того, мы доказываем аналогичное утверждение для лагранжевых подмногообразий, без предположения о существовании НКТ-метрики:

Теорема 1.7. Пусть (M, I, J, К) является ЗЬ(п,Ш)-многообразием. Тогда существует такое счетное подмножество S С СР1, что для любой индуцированной комплексной структуры L € СРХ\5, многообразие (M, L) не содержит компактных голоморфных лагранжевых подмногообразий.

Результаты этой главы опубликованы в работе [2].

В четвертой главе мы используем НКТ-метрику для получения некоторой информации о гиперкомплексном многообразии. А именно, мы построим кэлерову метрику на базе голоморфного лагранжева расслоения, тотальное пространство которого является НКТ-многообразием. Отметим, что само понятие "голоморфное лагранжево расслоение" определяется не вполне очевидным образом, так как НКТ-многообразие не обязательно является го-ломорфно-симплектическим. Это понятие было определено в работе [23] с использованием теории калибраций и при выполнении некоторых ограничений на голономию связности Обаты. Такие расслоения часто встречаются в примерах (см. [23]). Основной результат этой главы состоит в следующем:

Теорема 1.8. Пусть M — компактное SL(n, Ы)-многообразие, и ф: (М,1) —> X — гладкое голоморфное лагранжево расслоение. Предположим, что на M существует НКТ-метрика. Тогда база X кэлерова.

Доказанное в этой главе свойство лагранжевых расслоений можно использовать для построения примеров многообразий, не допускающих НКТ-метрик. Такие примеры построены в конце этой главы. Результаты этой главы опубликованы в работе [3].

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Soldatenkov A. Holonomy of the Obata connection on SU(3) // Int. Math. Res. Not. 2012. no. 15. P. 3483-3497.

2. Soldatenkov A., Verbitsky M. Subvarieties of hypercomplex manifolds with holonomy in SL(n,M) // J. Geom. Phys. 2012. Vol. 62, no. 11. P. 2234-2240.

3. Soldatenkov A., Verbitsky M. Holomorphic Lagrangian fibrations on hypercomplex manifolds // Int. Math. Res. Not. First published online: October 31, 2013. doi: 10.1093/imrn/rnt218.

Цитированная литература

4. Boyer С. P. A note on hyper-Hermitian four-manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 102, no. 1. P. 157-164.

5. Joyce D. Compact hypercomplex and quaternionic manifolds // J. Differential Geom. 1992. Vol. 35, no. 3. P. 743-761.

6. Boyer C. P., Galicki K., Mann В. M. Hypercomplex structures on Stiefel manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1996. Vol. 14, no. 1. P. 81-105.

7. Barberis M. L., Dotti I. G., Verbitsky M. Canonical bundles of complex nil-manifolds, with applications to hypercomplex geometry // Math. Res. Lett. 2009. Vol. 16, no. 2. P. 331-347.

8. Obata M. Affine connections on manifolds with almost complex, quaternion or Hermitian structure // Jap. J. Math. 1956. Vol. 26. P. 43-77.

9. Obata M. Affine connections in a quaternion manifold and transformations preserving the structure // J. Math. Soc. Japan. 1957. Vol. 9. P. 406-416.

10. Obata M. Hermitian manifolds with quaternion structure // Tohoku Math. J. (2). 1958. Vol. 10. P. 11-18.

11. Besse A. L. Einstein manifolds. Berlin: Springer-Verlag, 1987. Vol. 10 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. P. xii+510. ISBN: 3-540-15279-2.

12. Berger M. Sur les groupes d'holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. Vol. 83. P. 279-330.

13. Merkulov S-, Schwachhôfer L. Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections // Ann. of Math. (2). 1999. Vol. 150, no. 1. P. 77-149.

14. Merkulov S., Schwachhôfer L. Addendum to: "Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections" // Ann. of Math. (2). 1999. Vol. 150, no. 3. P. 1177-1179.

15. Verbitsky M. Hypercomplex manifolds with trivial canonical bundle and their holonomy // Moscow Seminar on Mathematical Physics. II. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. Vol. 221 of Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2. P. 203-211.

16. Verbitsky M. HyperKâhler manifolds with torsion, supersymmetry and Hodge theory // Asian J. Math. 2002. Vol. 6, no. 4. P. G79-712.

17. Howe P. S., Papadopoulos G. Twistor spaces for hyper-Kahler manifolds with torsion // Phys. Lett. B. 1996. Vol. 379, no. 1-4. P. 80-86.

18. Grantcharov G., Poon Y. S. Geometry of hyper-Kâhler connections with torsion // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 213, no. 1. P. 19-37.

19. Fino A., Grantcharov G. Properties of manifolds with skew-symmetric torsion and special holonomy // Adv. Math. 2004. Vol. 189, no. 2. P. 439-450.

20. Banos B., Swann A. Potentials for hyper-Kâhler metrics with torsion // Classical Quantum Gravity. 2004. Vol. 21, no. 13. P. 3127-3135.

21. Verbitsky M. Subvarieties in non-compact hyperKàhler manifolds // Math. Res. Lett. 2004. Vol. 11, no. 4. P. 413-418.

22. Sommese A. J. Quaternionic manifolds // Math. Ann. 1974/75. Vol. 212. P. 191-214.

23. Grantcharov G., Verbitsky M. Calibrations in hyper-Kâhler geometry // Commun. Contemp. Math. 2013. Vol. 15, no. 2. P. 1250060, 27.

Подписано в печать: 26.03.2014 Тираж: 100 шт. Заказ N004 Отпечатано в типографии «Реглет» Москва, Страстной бульвар, д. 4, стр. 1 +7(495)979-98-99 www.reglet.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

На правах рукописи УДК 512.813.3, 512.722, 514.763.44

04201457544

Солдатенков Андрей Олегович

Геометрия гиперкомплексных многообразий

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель РЬБ, профессор Вербицкий Михаил Сергеевич

Москва - 2014

Содержание

Введение ......................................................................3

Глава 1. Предварительные сведения..................................5

1.1. Гиперкомплексные структуры на многообразиях ................5

1.2. Связность Обаты ..........................12

1.3. НКТ-многообразия .........................17

1.4. Калибрации .............................19

Глава 2. Голономия связности Обаты на группе 577(3).....23

2.1. Голоморфное касательное расслоение и связность Обаты .... 23

2.2. Гиперкомплексные структуры на группах Ли..........28

2.3. Голономия связности Обаты....................30

Глава 3. Подмногообразия гиперкомплексных многообразий с голономией 5Х(п, И) ..........................41

3.1. Пространство твисторов гиперкомплексного многообразия ... 41

3.2. Семейство калибраций на ЗЬ(п, Н)-многообразиях.......44

3.3. Подмногообразия в 5Х(п, Н)-многообразиях...........49

Глава 4. Голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях.......................55

4.1. Кватернионный комплекс Дольбо.................56

4.2. Голоморфная лагранжева калибрация...............58

4.3. Голоморфные лагранжевы расслоения на 5Х(тг, ^-многообразиях ..................................61

4.4. Примеры лагранжевых расслоений................64

Литература..................................68

Введение

В данной работе изучаются некоторые вопросы теории гиперкомплексных многообразий. Гиперкомплексное многообразие это дифференцируемое многообразие с тремя комплексными структурами, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям. Обзор известных результатов о гиперкомплексных многообразиях можно найти в главе 1.

В главе 2 мы изучаем связность Обаты на одном из гиперкомплексных многообразий, построенных в работе Джойса [29]. Связность Обаты на гиперкомплексном многообразии — это единственная связность без кручения, которая сохраняет гиперкомплексную структуру. Существование и единственность этой связности были доказаны Обатой [35]. Вопрос, который мы изучаем, состоит в том, чтобы найти группу голономии этой связности. Используя некоторые свойства тензора кривизны, мы доказываем, что представление голономии является неприводимым (предложение 2.3.6). Далее мы применяем классификацию неприводимых групп голономии из работы Меркулова и Швахофера [34], и доказываем, что голономия связности Обаты в рассматриваемом случае равна 2,Н) (теорема 2.3.8).

В главе 3 исследуются подмногообразия гиперкомплексных многообразий. Гиперкомплексная структура определяет семейство комплексных многообразий, называемое твисторным семейство. Это семейство параметризуется точками проективной прямой СР1. Мы называем комплексную структуру из этого семейства общей, если соответствующая точка лежит в дополнение к некоторому счетному множеству. Основной результат этой главы (теорема 3.3.3) состоит в том, что для гиперкомплексного ЗЬ(п, Н)-многообразия с НКТ-метрикой общее многообразие из твисторного семейства не содержит дивизоров, а все подмногообразия коразмерности два являются трианалити-ческими. Кроме того, без предположения о существовании НКТ-метрики, мы докажем, что в общем многообразии из твисторного семейства нет голоморф-

ных лагранжевых подмногообразий (теорема 3.3.5).

В главе 4 изучаются голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях. Голоморфные лагранжевы расслоения на гипер-кэлеровых многообразиях активно исследовались в последнее время (см., например, [45]). В то же время, это понятие имеет смысл и для более общих гиперкомплексных ЗЬ(п, Ш1)-многообразий, но в этом случае оно гораздо меньше изучено. Основным результатом главы является теорема 4.3.3, утверждающая, что база голоморфного лагранжева расслоения, тотальное пространство которого допускает НКТ-метрику, является кэлеровым многообразием. Этот результат можно использовать для того, чтобы строить примеры гиперкомплексных многообразий, не допускающий НКТ-метрики. В конце главы мы строим такие примеры.

Материалы диссертации опубликованы в двух печатных работах [47, 48] в рецензируемых журналах, работа [49] принята к печати в рецензируемом журнале.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю М. Вербицкому, без внимания и настойчивости которого эта диссертация не могла быть написана. Работа была выполнена при поддержке фонда Д. Зимина "Династия" и лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений НИУ-ВШЭ (грант правительства РФ дог. 11.034.31.0023).

Глава 1

Предварительные сведения

Эта глава носит подготовительный характер. В ней приведены необходимые для дальнейшего сведения о гиперкомплексных структурах, связности Обаты, группах голономии и теории калибраций.

1.1. Гиперкомплексные структуры на многообразиях

В дальнейшем мы будем всегда рассматривать дифференцируемые многообразия без края, класса С00. Все расслоения и их сечения также будут предполагаться бесконечно гладкими. Пусть М — такое многообразие. Касательное расслоение к М будет обозначаться через ТМ, кокасательное — А1М, расслоение внешних &-форм — АкМ. Мы будем обозначать пространство сечений расслоения тем же символом, что и само расслоение, например, запись ш 6 АкМ означает, что ш — это внешняя &-форма на М.

Одним из основных объектов для нас будут почти-комплексные структуры на многообразии М. Напомним, что почти-комплексная структура на М — это эндоморфизм Т. ТМ —» ТМ, для которого 12 = —М. Любое комплексное многообразие (то есть многообразие, атлас которого состоит из областей в Сп с голоморфными функциями перехода) обладает почти-комплексной структурой. Обратное верно только при дополнительных условиях на почти-комплексную структуру. Коротко напомним, в чем они состоят (подробности см. в [8], глава 2).

Тензор Нийенхейса для почти-комплексной структуры I можно определить следующей формулой:

У) = [X, У] + 1[1Х, У] + 1[Х, /У] - [IX, /У]. (1.1.1)

Если тензор Нийенхейса равен нулю, то почти-комплексная структура назы-

вается интегрируемой. Несложно проверить, что на комплексном многообразии соответствующая почти-комплексная структура интегрируема. Более того, имеет место следующая фундаментальная теорема Ньюлендера и Ни-ренберга (см. [8], 2.12):

Теорема 1.1.1 (Ньюлендер-Ниренберг). Пусть I — почти-комплексная структура на многообразии М. Тогда условие N1 = О равносильно тому, что (М, I) — комплексное многообразие.

Перейдем теперь к рассмотрению гиперкомплексных структур.

Определение 1.1.2. Гиперкомплексная структура на М — это тройка интегрируемых почти-комплексных структур I, <7, К, удовлетворяющих соотношению

и = -Л = К.

При этом М называется гиперкомплексным многообразием.

Гиперкомплексные многообразия являются кватернионным аналогом комплексных многообразий (можно также рассматривать разные кватерни-онные аналоги кэлеровых многообразий — гиперкэлеровы, либо НКТ-мно-гообразия, об этом речь пойдет ниже). При этом известно довольно много примеров гиперкомплексных многообразий (в отличие от гиперкэлеровых), но их теория не так хорошо разработана.

Заметим, что гиперкомплексная структура естественным образом задает действие алгебры кватернионом И в касательном расслоении к М. При этом каждый единичный чисто мнимый кватернион определяет некоторую комплексную структуру на М (интегрируемость этой структуры следует из существования связности Обаты, см. следующий раздел). Таким образом, на каждом гиперкомплексном многообразии есть семейство почти-комплексных структур, параметризованное точками двумерной сферы. Напомним, что

группа СЬ(п, Н) определяется как группа линейных преобразований пространства ШР, коммутирующих с действием кватернионов. Отметим, что гиперкомплексная структура задает на многообразии (71/(п, Н)-структуру, то есть редукцию главного расслоения реперов к группе (71/(п, Н), см. [43]. При этом каждое касательное пространство приобретает структуру Н-модуля. Из этого следует, что вещественная размерность гиперкомплексного многообразия кратна четырем.

Термин "гиперкомплексное многообразие" принадлежит Боеру, см. [10], и мы будем придерживаться этой терминологии, хотя в более ранних работах такие многообразия назывались иначе.

Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата, см. [35], [36], [37], [38]. В работах Обаты эти структуры появились как результат изучения аффинных связностей на многообразиях с почти-комплексной структурой. В работе [36] Обата изучал группу аффинных автоморфизмов связности, сохраняющей почти-комплексную структуру (то есть диффеоморфизмов многообразия, сохраняющих данную связность). В отличие от случая связности Леви-Чивита на римановом многообразии, оказалось, что эта группа не обязана сохранять заданную почти-комплексную структуру. В предположении, что голономия данного многообразия неприводима, Обата показал, что централизатор действия группы голономии может быть изоморфен либо алгебре, порожденной данной почти-комплексной структурой, либо алгебре кватернионов. В последнем случае на многообразии должна существовать вторая почти-комплексная структура, антикоммутирующая с первой. Таким образом, Обата пришел к понятию (почти-)гиперкомплексной структуры (он называл такие структуры кватернионными).

В работе [35] Обата изучал различные связности, ассоциированные с (почти-)гиперкомплексными структурами и доказал, среди прочего, что на гиперкомплексном многообразии существует и единственна связность без кручения, которая сохраняет гиперкомплексную структуру (связность Обаты).

Мы рассмотрим более подробно эту связность в следующем разделе.

В работах [37], [38] Обата изучал группы автоморфизмов гиперкомплексных структур и гиперэрмитовы метрики на гиперкомплексных многообразиях. Он доказал, в частности, что все автоморфизмы гиперкомплексных структур являются аффинными преобразованиями, а также, что гиперэрмитова метрика является гиперкэлеровой (то есть кэлеровой относительно всех комплексных структур) тогда и только тогда, когда связность Обаты совпадает со связностью Леви-Чивита.

Важные продвижения в исследовании гиперкомплексных многообразий были сделаны Соммезе в работе [50]. Он использовал другое, более жесткое, чем Обата, определение гиперкомплексной структуры. А именно, Соммезе рассматривал только те гиперкомплексные многообразия, которые локально изоморфны Нп и с функциями перехода, сохраняющими гиперкомплексную структуру. Это определение означает, что соответствующая СЬ(п, Ы)-струк-тура является интегрируемой. В современной терминологии такие многообразия называются плоскими гиперкомплексными, поскольку данное условие эквивалентно занулению кривизны связности Обаты, см. [43], стр. 48.

Соммезе получил несколько интересных результатов о плоских гиперкомплексных многообразиях и сформулировал ряд открытых проблем. Он подробно исследовал геометрию твисторного семейства плоского гиперкомплексного многообразия (мы обсудим определение и свойства твисторных семейств ниже) и доказал, что оно обладает интегрируемой комплексной структурой. Соммезе показал, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим многообразием (обобщение этого утверждения будет получено в главе 3). Кроме того, Соммезе заметил, что тотальное пространство твисторного семейства не может быть кэлеровым, и с помощью этого построил пример комплексной структуры на торе вещественной размерности 6, не допускающей кэлеровой метрики (и следовательно, не изоморфной структуре комплексного тора С3/А).

В упомянутой работе Соммезе [50] был поставлен вопрос о классификации гиперкомплексных многообразий вещественной размерности 4. Ответ на этот вопрос для плоских гиперкомплексных многообразий был получен Като [31]. Такими многообразиями оказались комплексный двумерный тор и некоторые поверхности Хопфа. Напомним, что поверхность Хопфа — это компактный фактор С2\{0} по конечно-порожденной группе биголоморфных автоморфизмов, действующей свободно и вполне разрывно. Като приводит список таких групп, для которых соответствующая поверхность Хопфа обладает гиперкомплексной структурой. Работа Като использует весьма сложную классификацию комплексных поверхностей. Более прямое доказательство было получено Боером в работе [10]. Боер дал полную классификацию гиперкомплексных многообразий вещественной размерности 4, без предположения о том, что гиперкомплексная структура должна быть плоской. При этом список Като пополнился .О-поверхностями — единственными неприводимыми гиперкэлеровыми многообразиями вещественной размерности 4.

Плоские гиперкомплексные структуры в вещественной размерности 8 рассматривались в работе [66], где был получен список факторов восьмимерного тора, обладающих гиперкомплексной структурой (оказалось, что существует 12 неизоморфных факторов). В целом же, вопрос о классификации гиперкомплексных многообразий вещественной размерности 8 на сегодняшний день представляется широко открытым (ответ неизвестен даже в случае гиперкэлеровых многообразий).

В работе [43] Саламон рассматривал гиперкомплексные многообразия с точки зрения общей теории С-структур. При этом гиперкомплексные многообразия оказываются в некоторой степени похожими на кватернионно-кэлеро-вы многообразия, то есть на римановы многообразия, связность Леви-Чивита которых имеет голономию Зр(п) • £р(1), см. по этому поводу работу Саламо-на [42]. Саламон изучал разложение различных естественных расслоений гиперкомплексного многообразия на неприводимые относительно структурной

группы компоненты, в частности он исследовал структуру тензора кривизны связности Обаты.

С появлением теории струн гиперкомплексные многообразия стали интересны для математической физики, поскольку соответствующие сг-модели обладают интересными суперсимметриями, см. [17]. После работы Строминге-ра [52], суперсимметричные сг-модели, ассоциированные с некэлеровыми пространствами, стали популярным объектом для изучения. Стромингер также предложил использовать связности с антисимметричным кручением в этих моделях. В математике такие связности рассматривались Висмутом [9] при изучении локальной формулы индекса. Связности Висмута на гиперкомплексных многообразиях изучались Хове и Пападопулосом в серии работ, начиная с [26]. Это привело к открытию НКТ-метрик, которые мы обсудим позднее.

Интерес к гиперкомплексным многообразиям существенно возрос после появления работы [51], в которой была описана конструкция однородных гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Эта конструкция была формализована в работе Джойса [29]. Джойс построил левоинвариантные гиперкомплексные структуры на всех компактных группах Ли, умноженных на тор подходящей размерности. В основе этой конструкции лежит наблюдение Самельсона [44] о том, что выбор поляризации системы корней вещественной полупростой четномерной группы Ли и выбор комплексной структуры на максимальном торе определяют на этой группе интегрируемую левоинва-риантную почти-комплексную структуру. Конструкция Джойса также применима к некоторым однородным пространствам, см. [29], теорема 4.4. В главе 2 мы изучим некоторые свойства гиперкомплексной структуры Джойса на группе 577(3).

Вопрос единственности левоинвариантных гиперкомплексных структур на однородных пространствах компактных групп Ли изучался в работе [6]. Было показано, что все эти структуры получаются из конструкции Джойса, при условии, что на однородном пространстве существует гиперэрмитова

метрика, обладающая некоторыми естественными свойствами.

Один возможный способ построения новых примеров гиперкомплексных многообразий был описан Джойсом в работе [28]. Это конструкция гиперкомплексной редукции, аналогичная симплектической редукции Марсдена-Вайнштейна. Для гиперкомплексного многообразия с действием компактной группы Ли Джойс определяет аналог отображения моментов. При некоторых условиях фактор прообраза нуля для этого отображения по действию группы также обладает гиперкомплексной структурой, см. [28], лемма 3.2.

Отметим также некоторые другие известные примеры компактных гиперкомплексных многообразий. В работах Боера, Галицкого и Манна [12], [13], [11] были построены гиперкомплексные структуры на некоторых многообразиях Штифеля (а именно на многообразиях унитарных 2-фреймов в Сп). Интересно заметить, что не все из этих гиперкомплексных структур являются однородными. Исследовалась