О полинормах на алгебрах и некоторых аспектах их применения в теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

003494514

На правах рукописи

Элиовнч Александр Александрович

О ПОЛИНОРМАХ НА АЛГЕБРАХ И НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

2 5 ШР 2Ш

003494514

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физико-математического факультета Российского Государственного Университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Санюк Валерий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник ИТЭФ Монастырский Михаил Ильич

кандидат физико-математических наук, доцент РУДН,

Кулябов Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация: Российский Государственный

Педагогический Университет, г. Москва

Защита состоится 16 марта 2010 г. в 1600 час. на заседании диссертационного совета Д.212.203.34 при Российском университете дружбы народов (115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, физико-математический факультет, зал №1).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан февраля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.203.34 кандидат физико-математических наук, доцент

Будочки на С. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению псевдонорм степени выше 2 на ассоциативных и нсассоциативных алгебрах и возможных способов их применения в нелинейных моделях теории поля, прежде всего в нелинейной электродинамике Борна-Инфельда и модели Скирма низкоэнергетпчсских ядерных взаимодействий.

Актуальность проблемы обусловлена неуклонно возрастающим значением нелинейных моделей теории поля и, в частности, вопросов возможности алгебраического обоснования тех или иных характеристик этих моделей.

В последнее время наблюдается рост интереса к вопросам применения пшеркомнлексных алгебр, в частности нсассоциативных, в квантовой теории поля. В публикациях все чаще используются алгебры, выходящие за пределы классических исключительных алгебр Кэли-Диксона. Однако, полученные на этом пути результаты носят разрозненный характер. Это может быть связано как со сложностью и разнородностью взаимоотношений между алгеброй и физикой, так и с ограниченностью используемых методик. Существенным пробелом представляется то, что в общепринятых на сегодня подходах не учитываются специфические алгебраические особенности некоторых пшеркомнлексных систем, например, бикватернпонов и биоктав. Прежде всего не учитывается тот факт, что многие из них не сводятся к квадратичным алгебрам, а значит, их свойства и возможности применения не могут быть адекватно раскрыты стандартными техниками, созданными для работы с квадратичными нормами и иными связанными с ними конструкциями.

В связи с этим, возникает задача ввести в рассмотрение псевдонормы выше квадратичных (иолинормы), естественным образом заданные на тех или иных (вообще говоря, нсассоциативных) пшеркомнлексных алгебрах, изучить связь свойств полинорм с характеристиками порождающей алгебры, изучить геометрические аспекты введения иолннорм и иных связанных с ними конструкциями степени выше 2, придать этим объектам какой-либо физический смысл и предложить возможные способы их применения в физике. Поскольку введение иолинорм с очевидностью предполагает рассмотрение нелинейных физических моделей, представляется перспективным рассмотрение взаимосвязи гиисркомнлсксных систем с нелинейными моделями теории поля. Такое рассмотрение может предложить новый угол зрения на ряд известных вопросов, а также выявить некоторые новые связи между уже известными вещами, которые затушеваны при стандартном квадратичном подходе. В частности, алгебраическое

рассмотрение позволяет прояснить интуитивные находки в нелинейных нолевых теориях, а также внести в них некоторые дополнительные элементы жесткости.

Целью диссертационного исследования является изучение алгебраических свойств важного класса алгебр выше квадратичных - алгебр с центральным (скалярным) сопряжением, обобщающего классические алгебры Кэлн-Диксона над полем вещественных чисел; построение полинорм и связанных с ними полискалярных и поливекторных произведений над этими алгебрами; изучение общих свойств этих конструкций; построение полинормы 4 стснснм и связанных с нею квадраскалярного и квадравек-торного произведения для алгебр бикватернионов и биоктав как частных случаев алгебр с центральным (скалярным) сопряжением; применение этих конструкций для теории ноля, прежде всего для электродинамики Максвелла и Борна-Инфельда, и для нелинейной модели Скирма, описывающей ннзкоэнергстическис ядерные взаимодействия посредством механизма обмена пионами. В работе использованы в основном аналитические методы.

Научная новизна. В работе доказаны ряд утверждений об обобщенно-квадратичных алгебрах, т.е., алгебрах, квадратичных над некоторым ассоциативно-коммутативным центром (не обязательно являющимся нолем), в частности, доказано утверждение о монокомпозицион-ности таких алгебр и существовании в них почти точного антиавтоморфизма (почти-сонряжения); найдены необходимые и достаточные условия, при которых эта инволюция является точным антиавтоморфизмом (сопряжением), п следовательно, обобщенно-квадратичная алгебра является алгеброй с центральным сопряжением. Вслед за этим в диссертационном исследовании проведено построение иолинорм и связанных с ними полискалярных и иоливскторных произведений над алгебрами с центральным сопряжением; изучены общие свойств этих конструкций; построены полинормы 4 степени и связанные с ними квадраскалярное и квадравектор-ное произведения для алгебр бикватернионов и биоктав как важнейших частных случаев алгебр с центральным (скалярным) сопряжением; введена методика построения полинорм 4 степени для иных ассоциативных и альтернативных алгебр 4 порядка

В работе предложен способ применения этих конструкций для электродинамики Максвелла, нелинейной электродинамики Борна-Инфельда, и для нелинейной модели ядерных взаимодействий Скирма. Показано, что предложенная методика определяет некоторые общие параметры лагранжиана этих моделей, т.е. выделяет не конкретные модели, а некоторые

классы корректных с алгебраической точки зрения нелинейных моделей, которые, впрочем, в первом нелинейном приближении с необходимостью совпадают с моделями Борна-Инфельда или Скнрма, а в более высоких порядках содержат их как частный случай.

Научная и практическая ценность работы. В данной диссертационной работе содержится ряд результатов, обладающих несомненной научной новизной и имеющих существенное значение для понимания основных свойств обобщенно-квадратичных алгебр и их возможного применения в нелинейных теориях ноля.

Результаты могут быть использованы во всех научных центрах, рассматривающих алгебраические аспекты квантовой теории поля, в частности, в НИИЯФ МГУ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, РУДН.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях: "Number, Time, Relativity" (Москва, 2004 г.), "Finsler Extensions of Relativity Theory" (Москва, 2007 г.; Москва, 2009 г.), "Physical Interpretations of Relativistic Theory" (Москва, 2005 и 2007 г.), XLV Всероссийская Конференция но проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2009). а также на семинарах кафедры теоретической физики РУДН, отдела математической физики математического института им. В. А. Стеклова, объединенного семинара по проблемам квантовой физики ФИАН, "Гшюркомплексныс числа в геометрии и физике" НИИ ГСГФ.

Личный вклад автора. Автору принадлежит постановка большей части задач исследования, получение основных аналитических результатов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ, в том числе 4 статьи и 2 тезиса докладов на научных конференциях. Две работы опубликованы в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы из 67 наименований и приложения. Объем диссертации составляет 101 стр. текста, включая 13 таблиц. Текст диссертации набран в издательской системе LATEX.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе "Введение" ставится основная проблема, изучаемая в диссертационной работе, и показывается со актуальность; определяются ее цели и задачи. Отмечаются положения диссертационного исследования, содержащие научную новизну и ценность. Сообщается информация об апробации работы.

В главе II "Гипсркомнлсксные алгебры и иолинормы" дан обзор классических пшеркомплсксных алгебр кватернионов и октав (октонионов). Вводятся бикватернионы и биоктавы (кватернионы и октавы над нолем комплексных чисел). Дастся краткий обзор истории применения гииерком-плсксных алгебр в физике и ставится вопрос об учете связи некоторых из этих алгебр с полинормами. Обсуждаются аргументы за и против использования полинорм, проясняющие их возможные роли в геометрии и физике. Дастся обзор классических результатов американских математиков Р. Д. Шафера и К. МакКриммона но мультипликативным нолинормам, а также обзор различных обобщенно-ассоциативных свойств пшеркомилсксных алгебр. Ставится и обсуждается вопрос о возможности нахождения и использования более общих иолинорм, не обладающих свойством мультипликативности, связанных с алгебрами без свойства альтернативности; обсуждается вопрос о критериях выбора среди подобных существенно неассоциативных алгебр.

Во третьей главе "Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением" вводится понятие обобщенно-квадратичных алгебр как алгебр, квадратичных над некоторым ассоциативно-коммутативным центром (не обязательно являющимся нолем). Вводится понятие алгебр с центральным сопряжением (Лс), обобщающее алгебры бесконечной цени Кэли-Диксона и их комплексификации. Доказывается теорема, что алгебры с центральным сопряжением являются частным случаем обобщенно-квадратичных алгебр. Ставится вопрос о том, исчерпываются ли обобщенно-квадратичные алгебры алгебрами с центральным сопряжением. Чтобы решить его, доказывается ряд утверждений об обобщенно-квадратичных алгебрах.

Доказывается, что в обобщенно-квадратичных алгебрах с полунростым центром моменты элементов (коэффициенты в полиномиальном тождестве, которое аннулируется элементом алгебры) задаются однозначным образом. Доказывается, что обобщенно-квадратичные алгебры моноассоциативны. Вводится понятие 2-нормы на обобщенно-квадратичных алгебрах и доказывается, что левая и правая 2-нормы в них совпадают. Вводится но-

нятие почти точного антиавтоморфизма, отличающегося от антиавтоморфизма не более, чем на элемент центра алгебры. Доказывается основная теорема, утверждающая, что в любой обобщенно-квадратичной алгебре существует линейная инволюция, являющаяся почти точным центральным антиавтоморфизмом (т.е. оставляющая центр алгебры инвариантным). Вводится понятие дефекта антиавтоморфизма н доказывается, что он является антисимметричсской функцией от своих аргументов. Для алгебр Л,- дефект антиавтоморфизма обращается в 0. Доказывается теорема, что эластичные обобщенно-квадратичные алгебры обладают точным антиавтоморфизмом и т. о. являются алгебрами с центральным сопряжением (т. с. достаточное условие). Доказываются две леммы, утверждающие, что обобщенно-квадратичные алгебры обладают точным антиавтоморфизмом тогда и только тогда, когда возможно перестановка произвольных сомножителей под знаком реальной части, а также когда коммутатор произвольных элементов алгебры является чисто мнимым. На основании последней леммы строится пример обобщенно квадратичной алгебры с неточным антиавтоморфизмом.

Далее доказывается ряд утверждений об алгебрах с центральным сопряжением Ас. Доказывается теорема, что всякая такая алгебра монокомпозиционна. Доказываются две леммы о свойствах эластичных алгебр с центральным сопряжением: о возможности циклической перестановки сомножителей иод знаком реальной части в таких алгебрах и ассоциативности произведения трех элементов под знаком реальной части. Вводится 2-скалярное и 2-векторнос произведения и доказывается ряд утверждений об их свойствах. Доказывается ряд тождеств, выполняющихся в любой алгебре Лс. Доказывается теорема о построении полинорм в алгебрах с центральным сопряжением на основе 2-нормы и ряд утверждений о наследовании нолинормами некоторых свойств 2-нормы.

Вслед за этим, на примере алгебр, связанных с интервалом Минковско-го, рассматривается простой пример, проясняющий значение обобщенно-ассоциативных свойств для геометрий, естественно порожденных псевдонормами гииеркомилексных алгебр. В связи с этим доказывается теорема, утверждающая, что в эластичных алгебрах с центральным сопряжением векторное произведение произвольных мнимых векторов ортогонально каждому из них.

В Главе IV "Квадранормы и иные конструкции 4 порядка для алгебр бикватернионов и биоктав" сначала показывается, что над алгеброй бикватерннонов определено не одно, а набор сопряжений (линейных инволюционных антиавтоморфизмов) и выявляются их свойства. Вслед за этим

строятся 4-кормы для алгебр бикватернионов и биоктав, а также для их гиперболических аналогов дикватернионов и диоктав. Показывается, что для би(ди)кватсрннонов 4-норма имеет два разных, но эквивалентных представления. Строится обратный элемент в алгебрах би(ди)кватернионов и би(дн)октав, который существует всегда, когда 4-норма не обращается в 0.

Вводится 4-скалярное произведение и рассматриваются его геометрические аспекты. Далее предлагается 4-векторное произведение и рассматриваются его свойства. В завершении главы все полученные квадра-конструкции приводятся в матричном представлении.

В важном для приложении случае чисто мнимых бикватернионов формулы выглядят довольно просто. В этом случае 2-норма, 2-скалярное и 2-векторное произведения есть:

ВД = -а2 = А2), (1)

(а,Ь) = -^р(АВ + ВА), (2)

<а,Ь>=1(ВА-АВ) = 1[В,А] (3)

< а, Ь >2= -Ы2(< а,Ь >) = ^5р([А,В]2) (4)

(а, Ь бпкватернионы, А, В представляющие их матрицы, А+ - эрмитово сопряженная матрица; [А, В] - коммутатор матриц). 4-норма и 4-скалярное произведение равны

Ща) = ^р(А2)5р(А+2) (5)

(а.Ь.с,(1) = — [5р(АВ + ВА) 5р(С+Б+ + Б+С+) + ЗДАС +СА) 5р(В+Б++ Б+В+)+ 90

+6>(АБ + Б А) 5р(В+С+ + С+В+) + 5р(СБ + БС) 5р(А+В+ + В+А+) (6) +6>(ВО + БВ) 5р( А+С+ + С+А+) + 5р( ВС + СВ) 5р(А+Б+ + А+)].

В последнем разделе главы "Полинормы и иные конструкции для произвольных алгебр 4 порядка" показывается, как вводить 4-нормы для произвольных ассоциативных и альтернативных алгебр 4 порядка, не являющихся алгебрами с центральным сопряжением. Материал этого раздела существенно используется при рассмотрении лагранжиана модели Скир-ма.

В главе V "Некоторые возможности применения иолинорм в физике" вводится бикватернион электромагнитного поля.

Р = Нх + я2Я2 + q :,Я;, + № + \2Е2 + = Н + 1„Е (7)

(Н и Е - чисто мнимые кватернионы, которые могут рассматриваться просто как 3-векторы). Его 4-норма (вещественный скаляр) равна

ЩР) = (Я* + Щ + Н*-Е1-Е%- Е2)2 + 4(ЯХЕ! + Н2Е2 + Н,Е,)2 ЛГ4(Р) = (Н2 - Е2)2 + 4(Н, Е)2 = I2 + 412. (8)

т.е. она составлена из скалярного 1„ и псевдоскалярного I,, инвариантов электромагнитного поля. Далее показывается, что 4-норма электромагнитного ноля имеет ясный физический смысл: она является релятивистской нормой 4-вектора потока энергии-импульса поля. В связи с этим, 4-норму можно интерпретировать как квадрат плотности массы поля (эта плотность ф 0 в силу неаддитивности массы в релятивистской физике).

Для перевода этого результата на обычной лоренц-ковариантный язык показывается, что 4-норма электромагнитного поля равна свертке тензора энергии-импульса поля с самим собой Тн-Т'*'; кроме этого квадрату 4-нормы равен детерминант матрицы тензора энергии-импульса. Доказывается также утверждение об "изотропности" тензора энергии-импульса электромагнитного ноля. Если вектор IV" представляет собой свертку тензора энсргин-имнульса электромагнитного ноля Т"1' с произвольным единичным по своей релятивистской норме времсниподобным вектором ¿7,,:

IV = и'ЧГ,, = 1 (9)

то 2-норма вектора IV будет всегда одинакова и равна 4-нормс ноля N4:

IV,,IV" = N4. (10)

Для свертки с произвольным 4-всктором IV" = Т"'1и,„ УГУ,, = А

И^И"' = и'Ц,К4 = А2ДГ4. (И)

Затем показывается, что введение в рассмотрение 4-нормы электромагнитного поля позволяет прояснить природу обобщенной дуальной инвариантности уравнений Максвелла и тензора энергии-импульса электромагнитного поля, скрытую при стандартном квадратичном подходе. 4-норма поля может быть представлена в двух эквивалентных видах:

Щ¥) = (Н2 - Е2)2 + 4(Е,Н)2 = (Н2 + Е2)2 - 4|(Н, Е)2| (12)

Последний вид выявляет, что 4-норма электромагнитного ноля содержит скрытую симметрию кирального типа U(l). Она инвариантна относительно обобщенного дуального преобразования

Е'= Ecos0 + Hsin0 ^

Н' = —Е sin# + Hcos0,

При наличии зарядов это преобразование надо дополнить заменой

е'= ecos0 + gsin0 ^^^

д' — — е sin в + д cos в.

Далее показывается, что введение квадранормы ноля в лагранжиан в качестве малой поправки приводит к переходу от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельда. В самом деле, модифицированный лагранжиан, использующий 4-норму ноля в качестве малой поправки, должен иметь в 1-м иостмаксвслловском приближении следующий вид:

и = -i- [(Н2 - Е2) + а((Н2 - Е2)2 + 4(Н, Е)2)]. (15)

Именно такое приближение даст электродинамика Борна-Инфельда, лагранжиан которой, как известно, равен:

L = — 1

y/l + а2(Н2 - Е2) - а4(Н,Е)2 - l]. (16)

4па2

Преобразовав лагранжиан Борна-Инфельда к виду

L = - 1

4тта2

'sj{ 1 + f (Н2 - Е2))2 - ^((Н2 - Е2)2 + 4(Н,Е)2) - l] = \/(l + fL„)2-^W4(F)-l]

можно увидеть, что сходная ситуация будет сохраняться во всех порядках: будут комбинироваться 2-норма (Максвелловский лагранжиан) и 4-норма электромагнитного поля (8), т.е. скаляры 2-го и 4-го порядка. В связи с этим, требование составлять лагранжиан из норм 2 и 4 порядка вместе с принципом соответствия жестко дает теорию Борна-Инфельда лишь в первом нетривиальном порядке. В следующих порядках этих условий недостаточно, чтобы зафиксировать коэффициенты, т.е. возникает некоторый теоретический произвол (диапазон теорий). Это - принципиальная ограниченность предложенного подхода.

Отмечается, что требование использовать алгебраически выделенные 2-норму и 4-норму поля, и в частности вид (15), является более жестким и содержательным ограничением, чем очевидное требование строить лагранжиан из инвариантов ноля. Это иллюстрируется на примере нелинейного лагранжиана Эйлсра-Гсйзенберга квантовой электродинамики, эффективно учитывающего поляризацию вакуума в случае, когда поля достаточно медленно меняются во времени и пространстве. В первом постклассичс-ском приближении он равен

П = 10 + 45^((Н2 - Е2)2 + 7(Е'Н)">- (1?)

Как легко видеть, этот лагранжиан может быть выражен с помощью инвариантов электромагнитного ноля, но не имеет вида (15).

Далее алгебраическое рассмотрение применяется для низкоэнергетической модели ядерных сил как взаимодействия посредством обмена пионами, предложенной Т. Скирмом. Динамика модели Скирма определяется плотностью лагранжиана

£ = -Хх^рУЛ + ^р([1„Ц[1",П). (18)

где е,\ - параметры модели; = и~1д11и левоинвариантные кпраль-ные токи, принимающие значення в алгебре Ли группы 5[/(2). Первый член совпадает с лагранжианом Вайнберга-Гюрши, который в "древесном" приближении хорошо воспроизводит результаты алгебры токов для низкоэнергетической динамики пионов. Второй член 4 порядка отвечает идее Скирма рассматривать барионы как вихри в некоторой жидкости, описываемой обобщенными скоростями

Показывается, что модель Скирма связана с тензорным произведением алгебр бикватернионов и кватернионов В ® Ц. и что псевдонорма этой алгебры в данном частном случае сводится к вещественному выражению 4 степени. Алгебраическое рассмотрение приводит к 4-норме токов, которая в кватернионной записи равна

+ 4(< 12м >2 + < 1ЛМ >2 + < 1ь12 >2 (19)

- < iu.il >2 - < 1о,12 >2 - < 1о,1а >2)-

С помощью формул (3), (4) главы IV, эта 4-форма может быть переведена на обычный тензорный язык:

лг4 = ^(здл)2 + т

В согласии с принципом соответствия и по аналогии с электродинамикой Борна-Инфельда выдвигается естественное предположение, что лагранжиан модели (в первом ноетлинейном приближении) должен представлять собой сумму вещественной части псевдонормы 2 порядка N2 = 5Зр(1(11'') и псевдонормы 4 порядка в качестве малой поправки. Таким образом, лагранжиан в этом приближении должен иметь вид

£ = 'л + + , (21)

Это выражение очень похоже на лагранжиан Скирма, поскольку естественным образом появляется введенный им нелинейный "вихревой член". В то же время, выявляется целесообразность введения в лагранжиан Скирма дополнительного (среднего) члена. Поскольку этот член представляет собой квадрат 2-нормы времени-иодобного вектора, т. е. дважды-положителен, его добавление, по-видимому, может улучшить свойства модели.

Как и в случае электродинамики Борна-Инфельда, предложенная алгебраическая методика определяет лишь нелинейный лагранжиан лишь с точностью до некоторой функции от 4-нормы, т. с. возникает довольно широкий класс корректных с алгебраической точки зрения нелинейных моделей, которые, впрочем, в первом нелинейном приближении с необходимостью совпадают с моделью Скирма, а в более высоких порядках содержат се как частный случай.

В Заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертации.

В Приложении содержатся справочные сведения алгебраического характера.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказаны утверждения о монокомиозиционностп обобщенно-квадратичных алгебр и существовании в них однозначного почти точного антиавтоморфизма; найдены необходимые и достаточные условия, при которых эта инволюция является точным антиавтоморфизмом (сопряжением), и следовательно, обобщенно-квадратичная алгебра является алгеброй с центральным сопряжением.

2. Построены иолинормы и связанные с ними нолискалярные произведения над алгебрами с центральным сопряжением; изучены общие свойства этих конструкций. Построены иолинормы 4 степени и связанные с ними квадраскалярное и квадравекторное произведения для алгебр би-кватернионов и биоктав как наиболее важных для применения в физике частных случаев алгебр с центральным (скалярным) сопряжением.

3. Введена методика построения иолинорм 4 степени для иных ассоциативных и альтернативных алгебр 4 порядка.

4. Предложен способ применения этих конструкций для электродинамика и выявлен физический смысл квадранормы электромагнитного поля; показана связь этой иолинормы со свойством дуальности уравнений Максвелла; показано, что введение квадранормы поля в лагранжиан в качестве малой поправки приводит к переходу от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельда; на примере нелинейного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера квантовой электродинамики показана нетривиальность использования полинормы при конструировании лагранжианов электромагнитного ноля.

5. Показано, что применение алгебраического рассмотрения для низкоэнергетической модели ядерных сил как взаимодействия посредством обмена пионами приводит к добавлению в лагранжиан нелинейного члена, предложенного Т. Скирма. При этом выявляется целесообразность введения дополнительного члена в лагранжиане Скирма, добавление которого, по-видимому, может улучшить свойства модели.

6. Показано, что предложенная алгебраическая методика определяет некоторые общие параметры лагранжиана нелинейных полевых моделей, т.е. выделяет не конкретные модели, а некоторые классы корректных с алгебраической точки зрения нелинейных моделей, которые, впрочем, в первом нелинейном приближении с необходимостью совпадают с моделями Борна-Инфельда или Скирма, а в более высоких порядках содержат их как частный случай.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Элиович А. А., О норме бикватернионов и иных алгебр с центральным сопряжением. Гиперкомилексные числа в геометрии и физике, №2, том 1, 2004, с. 24 50.

2. Eliovich A. A., "On the Norm of Biquaternions and other Alternative Algebras". Proceedings of International Scientific Conference "Number, Time, Relativity" (Moscow, 2004).

3. Элиович А. А. О полинормах на неассоциативных алгебрах и их возможном применении в физике. Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, №2 (10), том 5, 2008, с. 13Ы59.

4. Элиович А. А., Санюк В. И. Некоторые вопросы применения полинорм в физике. Тезисы и доклады XLV Всероссийской Конференции но проблемам математики, информатики, физики и химии. М., Российский университет дружбы народов, 2009, с. 102.

5. Элиович А. А., Санюк В. И. Некоторые аспекты применения иолинорм в теории ноля. ТМФ, 2010, N. 2, с. 163-178. Англ. вариант:

A. A. Eliovich, V. I. Sanyuk, Some Aspects of Applying Polynorms in field theory. TMPh, 2010, N. 2, p. 135-148.

6. Элиович А. А., Сашок В. И., О некоторых аспектах применения иолинорм на алгебрах в физике. Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика". - 2010. - № 2.

Элиович Александр Александрович

О полинормах па алгебрах и некоторых аспектах их применения в теории поля

Изучаются псевдонормы степени выше 2 (иолинормы) на ассоциативных и неассоциативных алгебрах и возможные способы их применения в нелинейной теории поля. Доказывается ряд утверждений о неассоциативных алгебрах, квадратичных над своим центром, более общих, чем классические гнпсркомплексные алгебры Кэли-Днксона. Вводятся мультипликативная вещественная нолинорма, квадроскалярное и квадровек-торное произведение. Показывается, что использование 4-нормы в теории поля делает естественным переход от электродинамики Максвелла к электродинамике Борна-Инфельда, а также обосновывает модифицированный нелинейный лагранжиан для модели Скирма.

Eliovich Alexandr Alexandrovich

Some aspects of the applying of the polynorms on algebras in the field theory

The pseudonorms of an order higher than two (polynorms) on associative and nonassociative algebras and their application in nonlinear field theory are considered. The paper contains several results regarding non-associativc algebras, which are quadratic over their center. Wide class of such algebras is the generalization of well-known hypcrcomplex Cayley-Dickson algebras. The multiplicative real polynorm, 4-scalar and the 4-vcctor products arc introduced. It is shown that the using of 4-norm in the field theory provides a natural transition from the Maxwell electrodynamics to the Born-Infeld electrodynamics, and motivates the modified nonlinear Lagrangian from the Skyrme model.

Основные обозначения и сокращения

1 Введение

1.1 Постановка проблемы и ее актуальность.

1.2 Цели и задачи диссертационной работы.

1.3 Апробация работы, ее научная новизна и ценность

1.4 Краткое содержание работы.

2 Гиперкомплексные алгебры и полинормы

2.1 Классические гиперкомплексные алгебры.

2.2 Гиперкомплексные алгебры над комплексными и двойными числами.

2.3 2-норма и система сопряжений для бикватернионов.

2.4 Обобщенно-ассоциативные свойства алгебр.

2.5 Классические теоремы об исключительности.

2.6 О применении гиперкомплексных алгебр в физике.

2.7 Нормы выше квадратичных - за и против.

2.8 Мультипликативные полинормы.

2.9 Алгебры и полинормы в неассоциативном случае.

3 Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным сопряжением

3.1 Основные определения и единственность моментов.

3.2 Теоремы о почти-сопряжениях.

3.3 Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением.

3.4 Свойства алгебр с центральным сопряжением и конструкции на них.

3.5 О некоторых геометрических аспектах ассоциативности алгебр

3.6 Полинорма.

4 Квадранормы и иные конструкции для алгебр 4 порядка

4.1 Конструкции 2 порядка в явном виде для алгебр В, V, ЛГ

4.2 Квадранорма.

4.3 Дуальная квадранорма

4.4 Четырехскалярное произведение.

4.5 Четырехвекторное произведение.

4.6 Норма и скалярное произведение алгебр В:Т> в изотропном базисе

4.7 Основные конструкции в матричном представлении.

4.8 Ассоциативные, альтернативные и моноассоциативные алгебры

4 порядка.

5 Некоторые возможности применения полинорм на алгебрах в физике

5.1 4-форма и элемент массы электромагнитного поля.

5.2 4-форма и преобразование дуальности электромагнитного поля

5.3 Связь с электродинамикой Борна-Инфельда.

5.4 О лагранжиане модели Скирма.

1.1 Постановка проблемы и ее актуальность

В последние два десятилетия фундаментальная теоретическая физика находится в состоянии идейного поиска. В этой ситуации приобретают смысл не только магистральные направления исследований, но и разного рода "окольные тропы" [71]. Одной из таких полузабытых программ была красивая идея алгебраизации физики, предложенная в середине XIX века Уильямом Гамильтоном и поддержанная, в частности, Уильямом Клиффордом. Они пытались понять устройство природы, предположив, что в основе физики лежит геометрия, а в основе геометрии - некоторая гиперкомплексная алгебра с исключительными свойствами. На этом пути был найден ряд замечательных наблюдений и неочевидных связей. Согласно гш юр комплексной программе они представляют собой осколки единой картины, которую со временем удастся собрать; напротив, большинство современных исследователей полагает, что здесь имеет место лишь набор совпадений, неизбежных в малых размерностях. Вне зависимости от того, насколько соответствует истине мечта Гамильтона, те или иные связи между гиперкомплексными алгебрами, геометрией и физикой представляются интересным объектом изучения.

В последнее время наблюдается рост интереса к вопросам применения гиперкомплексных алгебр, в частности неассоциативных, в квантовой теории ноля. В публикациях все чаще используются алгебры, выходящие за пределы классических исключительных алгебр Кэли-Диксона. Однако, полученные на этом пути результаты носят разрозненный характер. Это может быть связано как со сложностью и разнородностью взаимоотношений между алгеброй и физикой, так и с ограниченностью используемых методик. Существенным пробелом представляется то, что в общепринятых на сегодня подходах не учитываются специфические алгебраические особенности некоторых гиперкомплексных систем, например, бикватернионов и биоктав. Прежде всего не учитывается тот факт, что многие из них не сводятся к квадратичным алгебрам, а значит, их свойства и возможности применения не могут быть адекватно раскрыты стандартными техниками, созданными для работы с квадратичными нормами и иными связанными с ними конструкциями.

В связи с этим, возникает задача ввести в рассмотрение псевдонормы выше квадратичных (полинормы), естественным образом заданные на тех или иных (вообще говоря, неассоциативных) гиперкомплексных алгебрах, изучить связь свойств полинорм с характеристиками порождающей алгебры, изучить геометрические аспекты введения полинорм и иных связанных с ними конструкциями степени выше 2, иридать этим объектам какой-либо физический смысл и предложить возможные способы их применения в физике. Поскольку введение полинорм с очевидностью предполагает рассмотрение нелинейных физических моделей, представляется перспективным рассмотрение взаимосвязи гиперкомплексных систем с нелинейными моделями теории поля.

Актуальность проблемы обусловлена неуклонно возрастающим значением нелинейных моделей теории поля и, в частности, вопросов возможности алгебраического обоснования тех или иных характеристик этих моделей. Как показано в настоящей работе, алгебраическое рассмотрение может предложить новый угол зрения на ряд известных вопросов, а также выявить некоторые новые связи между уже известными вещами, которые затушеваны при стандартном квадратичном подходе. В частности, алгебраическое рассмотрение позволяет прояснить интуитивные находки в нелинейных полевых теориях, а также внести в них некоторые дополнительные элементы жесткости.

Основные результаты и выводы

В настоящем диссертационном исследовании доказывается ряд утверждений о неассоциативных алгебрах, квадратичных над своим центром. В частности, доказывается, что в обобщенно-квадратичных алгебрах существует почти точный антиавтоморфизм. Как частный, но широкий класс таких алгебр, вводится понятие алгебр с центральным сопряжением, обобщающее гиперкомплексные алгебры Кэли-Диксона. Доказывается, что альтернативные алгебры с центральным сопряжением обладают мультипликативной нормой степени 2 (вообще говоря, не вещественной). Как следствие, эти алгебры (в частности, бикватернионы и биоктавы) обладают мультипликативной вещественной полинормой, которая может иметь несколько различных, но эквивалентных представлений. Вводится квадраскалярное и квадравекторное произведение.

Поскольку 4-норма для алгебр бикватернионов и биоктав однозначно выражается через 2-норму (которая также является мультипликативной), неясно, насколько существенными будут те новые возможности, которые создает переход от комплексной (или двойной) 2-нормы к вещественной 4-норме. Точно так же неясно, дадут ли что-то принципиально новое 4-скалярное и 4-векторное произведения, поскольку и они выражаются через свои прототипы степени 2. Тем не менее, как минимум выявляются некоторые новые связи между уже известными вещами, которые затушеваны при стандартном квадратичном подходе.

В любом случае, представляются интересными попытки придать квадра-объектам какой-либо геометрический и физический смысл. Некоторые первые попытки сделать это (прежде всего, для теории поля) представлены здесь. При этом возникает новый угол зрения на ряд привычных вопросов. В частности, рассмотрение связанной с бикватернионами вещественной 4-нормы показывает естественность перехода от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельда. Кроме того, алгебраический подход показывает естественность добавления предложенного Т. Скирмом нелинейного члена в лагранжиан, описывающий ядерные взаимодействия посредством обмена пионами. При этом выявляется целесообразность введения дополнительного члена в лагранжиане Скирма, что предположительно может улучшить свойства модели. Таким образом, алгебраическое рассмотрение позволяет прояснить интуитивные находки в нелинейных полевых теориях, а также внести в них некоторые дополнительные элементы жесткости.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказаны утверждения о монокомпозиционности обобщенно-квадратичных алгебр и существовании в них однозначного почти точного антиавтоморфизма (почти-сопряжения); найдены необходимые и достаточные условия, при которых эта инволюция является точным антиавтоморфизмом (сопряжением), и следовательно, обобщенно-квадратичная алгебра является алгеброй с центральным (скалярным) сопряжением.

2. Проведено построение полинорм и связанных с ними полискалярных произведений над алгебрами с центральным сопряжением; изучены общие свойств этих конструкций.

3. Построены полинормы 4 степени и связанные с ними квадраскалярное и квадравекторное произведения для алгебр бикватернионов и биоктав как наиболее важных для применения в физике частных случаев алгебр с центральным (скалярным) сопряжением.

4. Введена и обоснована методика построения полинорм 4 степени для иных ассоциативных и альтернативных алгебр 4 порядка.

5. Предложен способ применения этих конструкций для электродинамики и выявлен физический смысл квадранормы электромагнитного поля; показана связь этой полинормы с тензором энергии-импульса поля и со свойством дуальности уравнений Максвелла; показано, что введение квадранормы поля в лагранжиан в качестве малой поправки приводит к переходу от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельда; на примере нелинейного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера квантовой электродинамики показана нетривиальность использования полинормы при конструировании лагранжианов электромагнитного поля.

6. Показано, что применение алгебраического рассмотрения для низкоэнергетической модели ядерных сил обосновывает добавление в лагранжиан Вайнберга-Гюрши нелинейного члена, предложенного Т. Скирмом. При этом выявляется целесообразность введения дополнительного члена в лагранжиан Скирма. Поскольку этот член представляет собой квадрат 2-нормы времени-подобного вектора, т. е. дважды-положителен, его добавление, по-видимому, может улучшить свойства модели.

7. Показано, что предложенный алгебраический подход позволяет алгебраическим путем получить ограничения на структуру нелинейных членов в ряде лагранжианов теории поля с точностью до функции от полинормы. При этом выделяются не отдельные модели, а некоторые классы корректных с алгебраической точки зрения нелинейных моделей, которые, впрочем, в первом нелинейном приближении с необходимостью совпадают с моделями Борна-Инфельда или Скирма, а в более высоких порядках содержат их как частный случай.

1. W. Clifford, "Preliminary Scetch of biquaternions". Proc. of the London Math. Soc., v. 1., 1873.

2. А. П. Котельников, "Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике". Казань, 1895.

3. Е. Study, "Geometry der Dynamen". Leipzig, 1901, 1903.

4. A. A. Albert. Quadratic forms permitting composition, Ann. of Math. 43, No. 1 (1942), 161-177.

5. A. A. Albert. Non-associative algebras I, II, Ann. of Math. 43, No. 4 (1942), 685-707, 708-723.

6. A. A. Albert. Power-associative rings, Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 552-593.7j A. A. Albert. On the power-associativity of rings, Summa Brasiliensis Mathematicae, vol. 2 (1948), 21-33.

7. H. Джекобсон, "Теория колец". Гос. изд. ин. лит, М. 1947.

8. Н. Джекобсон, "Строение колец". Изд. ин. лит, М. 1961.10. "Об основаниях геометрии". Сборник к столетию со дня смерти Лобачевского под ред. А. П. Нордена, М., ГИТТЛ, 1956.

9. А. Т. Гайнов. Тождественные соотношения для бинарно лиевых колец, Успехи мат. наук, 1957, т. 12, №3, 141-146.

10. R. D. Schafer. Concerning automorphisms of non-associative algebras, Bull. Amer. Math. Soc. vol. 53 (1947) pp. 573-583.

11. R. D. Schafer. On the algebras formed by the Cayley-Dickson process, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 917-925.

12. R. D. Schafer. On cubic forms permitting composition, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959), 917-925.

13. R. D. Schafer. On forms of degree n permitting composition, J. Math. Mech. 12 (1963), 777-792. Рус. перевод: P. Д. Шафер, О формах степени п, допускающих композицию, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1, том 1, 2004, 140-154.

14. R. D. Schafer. An introduction to nonassociative algebras, Academic Press, New York, 1 изд. 1967, 2 изд. 1991.

15. R. D. Schafer. Forms permitting composition, Advances in Mathematics 4, 111 -148 (1970).

16. K. McCrimmon. Genetically algebraic algebras, Trans. Amer. math. Soc. 127 (1967), 527551.

17. K. McCrimmon. Nonassociative algebras with scalar involution, Pacific J. Math. 116 (1985), 85-108.

18. Ф. M. Диментберг, "Винтовое исчисление и его приложения в механике". "Наука", Гл. ред. физ.-мат. лит, М. 1965.

19. Rastall R. Quaternions in relativity. Review of modern physics. 1964. 820-832.

20. Л. А. Бокуть, К. А. Жевлаков, E.H. Кузьмин. "Теория колец". Итоги науки. Алгебра, геометрия, топология. 1968.

21. Б. А. Розенфельд. "Многомерные пространства". Наука, М. 1966.

22. Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. "Геометрия групп Ли", МЦНМО, М. 2003.

23. Э. Артин. "Геометрическая алгебра". Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1969.

24. В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. "Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела". Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1973.

25. А. Г. Курош. "Лекции по общей алгебре". 2 изд., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., М., 1973.

26. И.Л. Кантор и A.C. Солодовников. "Гиперкомплексные числа", Паука, М. 1973.

27. Г. А. Зайцев. "Алгебраические проблемы математической и теоретической физики", Наука, М., 1974.

28. В. И. Стражев, Л. М. Томильчик. "Электродинамика с магнитным зарядом", "Наука и техника", Минск, 1975.

29. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика в 10 томах. Том IV, Квантовая электродинамика, Москва, "Наука", 1989.

30. К. А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. "Кольца, близкие к ассоциативным". М., Наука, 1978.

31. A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1979), 85, 199-225. Рус. перевод: Э. Садбери, Кватернионный анализ, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2, том 1, 2004, 130-157.

32. Г. Казанова. "Векторная алгебра". М., Мир, 1979; 2-е изд. под назв. "От алгебры Клиффорда к атому водорода". М., Платон, 1997.

33. R. А. Kunze, S. Scheinberg. Alternative algebras having scalar involutions, Рас. J. Math. 124 (1) (1986), 159-172.

34. И.Р. Шафаревич. "Основные понятия алгебры". 1 изд., ВИНИТИ, 1986, 2 изд. РХД, Ижевск, 1999.

35. В. А. Андрианов, В. Ю. Новожилов, Скалярные мезоны в модели Скирма и солитоны с барионным зарядом, Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 169, Вопросы квантовой теории поля и статистической физики, №8. "Наука", Ленинградское отд., 1988.

36. A.B. Березин, Ю.А. Курочкин, Е. А. Толкачев, "Кватернионы в релятивистской физике", изд. 1, Наука и техника, Минск, 1989; изд. 2, УРСС, М. 2003.

37. Я. Лыхмус, Э. Паал, Л. Соргесепп, Неассоциативность в лштематике и физике. Труды института физики Академии наук Эстонии, вып. 66, 8-22 (1990).42. "Общая алгебра", том 1. Справочная математическая библиотека. М., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

38. В. И. Фущич, А. Г. Никитин. "Симметрия уравнений квантовой механики". М., Наука, 1990.

39. D. Hestenes "Spacetime Calculus", Arizona State University, 1990.

40. H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes et all. "Numbers". Readings in Mathematics. Springer-Verlas, New York, Berlin, Heidelberg, 1991.

41. G. М. Dixon. "Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics", Kluwer, 1994.

42. M.-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol. "The Book of Involutions". AMS, Colloquium Publications, Vol. 44, 1998.

43. J.C. Baez. The Octonions. ArXiv: inath-RA/0105155 v4 (2002). Рус. перевод: Дж. С. Баэз, Октонионы, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1 (5), том 3, 2006, 120-176.

44. J. Н. Conway, D. A. Smith. "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry". А К Peters Natick, Massachusetts, 2003.

45. P. R. Girard. "Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics". Birkhiiuser, Basel, Boston, Berlin, 2007 (пер. с франц. изд. 2004).

46. P. Garrett. "Algebras and Involutions", http://www.math.umn.edu/~garrett, 2005.

47. Ю. И. Ханукаев. О кватернионах. I. Конечные перемещения твердого тела и точки. Электронный журнал «Исследовано в России», htpp://zhurnal.аре.relarn.ru/ articles/2002/033.pdf.

48. Д. Г. Павлов. Обобщение аксиом скалярного произведения, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1, том 1, 2004.

49. Д. Г. Павлов. Четырехмерное время, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1, том 1, 2004.

50. М. Bremner, L. Murakami, I. Shestakov, Nonassociative agrebras. Chapter 69 of Handbook of Linear Algebra, ed. by L. Hogben. Chapman & Hall/ CRC, 2007.

51. P. Пенроуз. "Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной". РХД, М., Ижевск, 2007.

52. В. Г. Маханьков, Ю. П. Рыбаков, В. И. Санюк. Модель Скирма и сильные взаимодействия (к 30-летию создания модели Скирма), УФН, том 162, №2, 1992, с. 1-61.

53. Ю. П. Рыбаков, В. И. Санюк. "Многомерные солитоны", изд-во Российского унив-та дружбы народов, М., 2001.

54. А. П. Ефремов, Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2004, 1, 1, 111-127.

55. А. П. Ефремов. "Кватернионные пространства, системы отсчета и поля", изд-во Российского унив-та дружбы народов, М., 2005.

56. В. В. Кассандров. Кватернионный анализ и алгебродиналшка, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2006, 3, 2 (6), 58-84.

57. С. В. Людковский. Дифференцируемые функции чисел Кэли-Диксона, Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 1 (3), том 5, 2005, 93-140

58. S. V. Ludkovsky, F. van Oystaeyen. Differentiable functions of quaternion variables, Bull. Sci. Math. (Paris). Ser. 2. 127 (2003), 755-796.

59. H. Челноков. "Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кииематика движения", Физматлит, М., 2006.

60. S. Pumpliin. Forms of higher degree permitting composition, arXiv:0705.2522 math.RA., 2007.

61. S. Pumpliin. On flexible quadratic algebras, arXiv:0703.395 math.RA., 2007. S. Pumpliin. Some classes of multiplicative forms of higher degree, arXiv:0705.3087 [math.RA], 2007.

62. А. А. Элиович, В. И. Санюк Некоторые вопросы применения полинорм в физике -Тезисы и доклады XLV Всероссийской Конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. М., изд-во РУДН, 2009, с. 102.

63. А. А. Элиович, В. И. Санюк Некоторые аспекты применения полинорм в теории поля. ТМФ, 2010, N. 2, с. 163-178.

64. A. A. Eliovich, V.I. Sanyuk, Some Aspects of Applying Polynorms in field theory. TMPh, 2010, N. 2, p. 135-148.

65. А. А. Элиович, В. И. Санюк О некоторых аспектах применения полинорм на алгебрах в физике Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика". 2010. - № 2, р. 85-100.