Модулярные алгебры Ли дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КсНТрО. II- .МI.;

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОЛЮНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи КУЗНЕЦОВ Михаил Иванович

УДК 512.544

МОДУЛЯРНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии и высшёй алгебры Нижегородского государственного университета им. II. II. Лобачевского.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Бахтурин;

доктор физико-математических наук А. С. Джумаднльдаев;

доктор физико-математических наук К). А. Неретин.

Ведущая научно-исследовательская организация — Санкт-Петербург-скин государственный университет.

Защита диссертации состоится «_»__ 1993 г.

п 16.05 час. на заседании специализированного совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете им. Л1. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14—08.

С диссертацией можно ознакомиться н библиотеке механнко-матема-тиче.ког.о факультета МГУ {14 этаж).

Автореферат разослан «_»____1993 г.

ч

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Современные тенденции развития теории модулярных алгебр Ли характеризуется слиянием идей и методов, применяемых для исследования как конечномерных, так и бесконечномерных алгебр Ли нулевой характеристики. После работ

П

А.И.Кострикина и И.Р.Шафаревича у стало общепризнанным, что теория транзитивных алгебр Ли, развитая в случае нулевой характеристики в связи с псевдогруппами.Э.Картава, играет цент-ральнуп роль в изучении модулярных неклассических простых алгебр Ли. Высказанная ими гипотеза о том, что любая конечномерная неклассическая простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики p>s~ является алгеброй Ли картановского типа, была доказана при сначала для.р -

-алгебр Ли Блоком и Вильсоном , а затем Беикарт, Осборн, Штраде и Вильсоном ' - в общем случае. Однако при малых характеристиках основного поля имевтся серии простых транзитивных алгебр Ли, которые не изоморфны ни классическим алгебра* Ли, ни алгебрам Ли картановского типа. Для построения структурной теории простых модулярных алгебр Ли, вклочасщей искло-чительные алгебры Ли, а такие для теории представлений и кого-мологий этих алгебр необходима разработка таких методов исследования, которые были бы пригодны для малых характеристик.

^ Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. //Докл. АН СССР. -- 1966. - T.I68, №'+. - С.740-742.

Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. // Изв. АН СССР. Огр. матем. - 1969. - Т.ЗЗ, »2. - C.25I-322.

Block R.E., Wilson R.Ii. // J. Algebra. - 1988. --7.114. - P.115-259.

Stra.de H., Wilson R.l. // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1991. - 7.24, H2. - P.757-361.

Кроне того, сложность отроения исключительных простых алгебр Ли накладывает особые требования к инвариантности используемых при этом конструкций. Одним из таких методов является метод дифференциальных операторов, которому посвящена настоящая работа. ,метод основан на реализации модулярных алгебр Ли дифференциальными операторами и состоит в применении этих реализаций к исследование алгебр Ли, их прздетавлений, когомологий, продолжений Картана.

Метод дифференциальных операторов имеет несколько аспектов.

Весьма актуальной является задача построения реализаций абстрактной транзитивной алгебры Ли специальными дифференцированиями конечномерной коммутативной алгебры заменяющей алгебру функций на многообразии и ее формальные аналоги. В отличие от случая нулевой характеристики, который рассматривался в работах Гийемина и Стернберга, Рима, Блаттнера, при вложении фильтрованной алгебры Ли в общуо алгебру Ли картановского типа \!(3) возникает проблема выбора минимального флага 7 , имеющая большое значение для восстановления фильтрованной алгебры Ли по соответствующей градуированной алгебре.

Применение метода дифференциальных операторов при изуче-йИИ представлений и когомологий алгебр Ли картановского типа обусловлено геометрическим происхождением этих алгебр. Для абстрактных транзитивных алгебр Ли каноническое минимальное вложение в также позволяет развить соответствующую геометрическую

теорию.

Для решения классификационных задач метод дифференциальных операторов был впервые применен автором при описании - простых алгебр Ли с разрешимой максимальной подалгеброй глуби-

ны I при f>>z ^. Позднее Б.П.Вейсфейлерб\ применяя этот метод, распространил результат автора на общий случай при f»S .. Особый интерес приобретает метод дифференциальных операторов в связи с нерешенной проблемой классификации простых модулярных алгебр Ли малых характеристик.

Цель_2§боты: построение реализаций модулярных алгебр Ли дифференциальными операторами и применение этих реализаций для изучения фильтрованных деформацийt представлений, когомологий транзитивных алгебр Ли, исклпчительных простых алгебр Ли малых характеристик, для описания простых I-градуированных алгебр Ли.

Применяется методы теории представлений модулярных алгебр Ли, дифференциальной геометрии, теории когомологий алгебр Ли, техника продолжений Картана.

Научная_ноЕИзна_и_пдактическзд_ценность. В работе

1. Исследованы интегрируемые распределения над алгеброй, срезанных многочленов, доказан аналог теоремы Фробениуса,. найдены форма общей транзитивной алгебры Ли картановского. типа.

2. Построено каноническое вложение транзитивной алгебры Ли характеристики f»0 в общуо алгебру Ли картановского типа о минимальным возможным флагом (минимальное вложение), изучены усеченные индуцированные и коиндуцированные модули над транзитивной алгеброй Ли, соответствуете минимальному вложение, получены приложения к описание неприводимых модулей высоты I над фильтрованными алгебрами Ли картановского типа.

3. Доказана теорема о совпадении минимальных флагов для фильтрованной алгебпн Ян и соответствующей градуированной алгеб-

Кузнецов М.И. // Матем. сб. - 1976. - Т.ЮКйЗ), »I.

- С. 77-86..

Weisfeiler В. // Trans. Amer.Math. Soc. - 1984. -

- T.286, П2. - P.471-503.

- ч -

ры, описаны дифференцирования фильтрованной алгебре Ли в терминах минимального вложения, получено новое доказательство жесткости относительно фильтрованных деформаций общей и контактной алгебр Ли картановского типа.

Доказана теорема о минимальном вложении фильтрованных деформаций квазиконтактных алгебр Ли в контактную алгебру Ли, построена теория фильтрованных деформаций однородной подалгебры внутри градуированной алгебры Ли.

5. Исследованы исключительные алгебры Медикяна характеристики 5: доказана их жесткость в квазиконтактной градуировке, найдены дифференцирования, построена реализация обобщёнными дифференциальными операторами и доказана жесткость в градуировке типа(?г, найдены автоморфизмы и подалгебры минимальной коразмерности, получены условия изоморфизма.

6. Исследованы продолжения Картана алгебр Ли дифференци-альннх операторов первого и второго порядков, в частности, продолжения Картана усеченных индуцированных модулей над центральными расширениями транзитивных алгебр Ли.

7. Дано описание простых 1-градуированных алгебр Ли ¿=© ¿т Ддя различных компонент ЬГол , включая случай

малых характеристик.

Все результаты являются новыми.

Теоретическое и_п£актическое_значение. Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут найти применение в структурной теории простых модулярных алгебр Ли, при исследовании представлений, деформаций и когомологий модулярных алгебр Ли, при классификации простых алгебр Ли и при построении их геометрических реализаций.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

Ал£о(5_ация_2аботы. Результаты диссертации докладывались-яа-Всесопзных алгебраических конференциях (Ленинград, 1981: Минск, 1983; Львов, 1987), Международных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991), Советско-Индийском симпозиуме "Алгебраические группы и алгебры Ли" (Алма-Ата, 1989), Все-соозных школах "Алгебры Ли и их приложения в математике и Физике" (1981, 1987, 1990), Всесоозном семинаре по модулярным алгебрам Ли (Горький, 1986), заседаниях алгебраических семинаров МГУ и ННГУ, семинаре "Избранные вопросы алгебры" под руководством А.И.Кострикина,' 10. А.Бахтурина, 10.П.Размыслова (МГУ, 1987).

Ст2£кт£|)а_и_обьем_2аботы. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения, списка литературы. Объем диссертации -- 314 стр., список литературы содержит lit наименования.

Содержание работы

Дается обзор результатов теории простых модулярных алгебр Ли, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется основные цели работы, описывается содер-мание последусцих глав. На протяжении всеЯ работы основное поле К. имеет характеристику j»О .

В главе 0 собраны необходимые сведение об алгебрах Ли картановского типа и их градуировках, о градуированных и Фильтрованных алгебрах Ли.

В_гллве I изучаются распределения ~ над алгеброй

срезанных многочленов ~ /(xi, - >хк) ■ Исследование алгэбр Ли дифференциальных операторов естественно приводит к анализу над алгеброй . Если вместо гладкого многообразия Л взять К -схему , то мы при-

ходим к следушцему определенно: распределением ранга й нал Ок (или над Х№) называется свободный Оп -подмодуль ранга & в = • ^определение X называется инволотивным, ес-

ли £ -подалгебра Ли в Подалгебру Ли 2 в Ц, будем называть 77 -подалгеброй, если Ок не имеет нетривиальных X-инвариантных идеалов. Распределение ¿С назовем и итерируемым, если существует такой изомор?изм К-схем X: Хк—^Х^/Х^

что , где -инволвтивное 77-распреде-

ление над . В данной главе изучается классы эквивалентности интегрируемых распределений над относительно автоморфизмов схемы Х^.

В классической ситуации инволвтивность эквивалентна интегрируемости. В нашем случае это не так. Например, распределение над , порожденное векторным полем , не интегрируег

мо, но, очевидно, инволотивно. Тем не менее, классическая теорема Фробениуса, сформулированная на языке дифференциальных форм, справедлива и в нааем случае: распределение над является интегрируемым (^-распределением) тогда и только тогда, когда его характеристический идеал поровдается замкнутыми (точными) формами (теоремы 5.1, 5.2).

Для пространства У замкнутых 1-форм естественно рассмотреть два отображения у:!)—* Н (&■) и —(0) . В §1 строится каноническое полулинейное отображение 7: £17»)— нт Так возникает представление 5*(\]) хроматического кончана

Г: , 5*СV Н . Теория представлений

п ^

колчана / , называемого в работе колчаном Кронекера, является

основным инструментом исследования интегрируемых распределений. Здесь же дается описание неразложимых сингулярных представлений колчана Г над совершенным полем. Неразложимое представле-

ние с вектором размерности л определено однозначно

с точностью до эквивалентности, . Такое представление

будем называть представлением типат, . Щтмую сумму представлений типов будем называть представлением типа

В §2 изучается характеристический идеал О Т1 -распределения X ранга 5 ; доказывается (предложение 2.4), что

В §3 показывается, что соответствие У: X I-

является функтором из категории ЗТЮ Т1 -распределений над в категорию 5ЙСО К-форм представлений типа 7п ,|гл1=м, колчана Кронекера. Отсюда следует, что в случае совершенного основного поля -распределение эквивалентно некоторой подалгебре в и(г (предложение 3.4).

В 54 доказывается (предложение 4.1), что Я* -классифицирующий функтор, т.е. устанавливает биекцкю между классами эквивалентности Т1 -распределений и классами эквивалентности категории

5ЖК1

Применяя результат С. Я. Скрябина^ о восстановлении алгебры 0"ц по алгебре Ли получаем, что классы эквивалентности категории БШН.') описывают классы изоморфизма «.-форм транзитивных алгебр Ли (предложение4.2).

В §5 изучаются интегрируемые распределения над • Доказывается аналог теоремы Фробениуса (теоремы 5.1,5,2). В §6 дается описание Т1 -подалгебр в Ч •

Алгебру Ли X с отмеченной подалгеброй £0 , т.е. пару будем называть транзитивной алгеброй Ли, если ¿ео не содержит нетривиальных идеалов алгебры ЗС. и Л^ (£,,)=£„, где

Скрябин СЛ. / Деп. в ВИНИТИ, »4403-В87.

/¿¿и.) -нормализатор <Х0 в X .

В_главе 2 развивается теория усеченных индуцированных и коиндуцированных.модулей над конечномерными транзитивными алгебрами Ли Основное поле предполагается совершенным. Согласно классической конструкции, если А -ассоциативная К-ал~

гебра, й -подалгебра в А .V- В -модуль, то ¿пс/0А У= А®„У, А

Со^д У= Мзтй 64 .V) -индуцированный и коиндуцированный

А-модули, где А рассматривается как правый и левый В-модуль, соответственно.Ранее усеченные индуцированные модули изучались для градуированных алгебр Ли (Ю.Б. £$нолаев, Я.С.Крылск) или в более общем случае для пар с выделенным подпро-

странством , 5£= ^.^^©вСо (А. СДжумадильдаев). В качестве

подалгебры бралась подалгебра, порожденная 5С.„

и элементами из ^-центра связанными с неко-

торым специальным базисом дополнения ¿¡.дк «С0. В настоящей работе предлагается новая инвариантная конструкция, годная для дрбых "ранзитивных алгебр Ли. Положим =■ где

А- 5С+ •• •, -подалгебра в А ,

порожденная^ . Построенные таким образом индуцированные и ко-индуцированные модули называется усеченными и обозначается соответственно через ¿мЖУх с-оонМЧ

В §0 на вводится функция высоты относительно подал-

гебры Е> (или, с помощьо которой строится флаг

"И*

в пространстве Е - , игравший в дальнейшем центральнуе

роль. Устанавливается связь флагов и^р., где

-транзитивная фильтрованная алгебра Ли, £ -соответствующая градуированная алгебра Ли. В лемме 0.5 доказано, что Е> = и(й-„) , где = +„ ^^сОсЬпХ,.

Подалгебра В определена однозначно в отличие от алгебры Ли

а

3L0. В связи с этим в замечании O.IO приведен пример неизоморфных алгебр Ли с изоморфными универсальными обертывавшими биал-гебрами.

В §1 с помощьв конструкции усеченного коиндуцированного модуля строится каноническое минимальное транзитивное вложение

о) (теорема I.I). Минимальность Т означает, что для другого вложения

определено однозначно с точностьо до автоморфизма алгебры W&), индуцированного автоморфизмом алгебры

т Доказательство теоремы I.I использует теории распределений над Оп из главы I. В .предложении I.U установлено, что для фильтрованной алгебры Ли вложение f является морФизмом фильтрованных алгебр Ли для некоторой ^льтрации в

Ш) типа (SL,.. S;6Z. В замечании 1.5 конструкция усеченных индуцированных и коиндуцирован-ных модулей обобщается на случай, когда Х0 содержит нетривиальные идеалы X .

В §2 приводится инвариантное доказательство того, что класс ^Ш-модулей, на которых £ действует специальными-дифференцированиями согласно минимальному вложемио t , совпадает с классом усеченных коиндуцированных модулей и с классом усеченных индуцированных модулей (теорема 2.1). В предложении 2.3 указаны необходимые и достаточные условия, при которых ¿^Ш-модуль V будет фильтрованным модулем над фильтрованной алгеброй Ли X , действуощей дифференцированиями на!Г. Здесь же изучаются модули coinJ^T над центральными расширениями транзитивных алгебр Ли (леммы 2.2, 2.3, замечание 2.Ю). Для транзитивной фильтрованной алгебры Ли вводится понятие иск-лочительного ¿.^-модуля, и устанавливается связь

исключительных Llofмодулей для В замечании 2.6 ука-

заны приложения полученных результатов к описанио неприводимых модулей высоты I в смысле Рудакова над фильтрованными алгебрами Ли картановского типа, построены подкрученные индуцированные модули.

В §3 обсуждаются когомологии транзитивной алгебры Ли

с коэффициентами в ¿WV . Получена формула, связывавшая Н'(Х^У) с Н'&оУ^ и , где Нт _ -когомологии де Рама над , Sf—ffl&j&v). Эта формула аналогична формуле Гельфанда-Фукса для диагональных когомологий алгебры Ли векторных полей ка многообразии.

ч

В_главе_3 рассматривается вопрос о совпадении минимальных флагов и , где

- транзитивная фильтрованная алгебра Ли,>

^ —.Ф. ^-jj . Этот вопрос является центральным при исследовании фильтрованных деформаций алгебры Ли у . В случае, когда Ч - градуированная алгебра Ли картановского типа, это угверкде-ние было доказано Вильсоном ' для каждого типа алгебр отдельно на основе вычислений в пополненной алгебре

Ли t/(E)

при

f>>Z . Утверждение о совпадении минимальных флагов для ¿С. и

сформулировано без каких-либо ограничений В.Г.Кацем9^. Однако доказательство В. Г.Каца содержит серьезные пробелы. Попытку получить априорное доказательство теоремы о совпадении флагов при ££ Ёр и некоторых ограничениях на X предпри-

9) Wilson R.Ii. // J. Algebra.- 1Э76. - V.40. - P.418-465.

9) КацВ.Г. //Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1974. - Т.38, М. - С. 800-834.

иял Вильсон*1"^, но доказательство, которое он приводит, годится лишь для 1 . В §1 доказывается

Теоцеш^ЗЛЛ. Предположим, что 1)£</> , 2) - неприводимый нетривиальный ^-модуль,1<0, 3)

Тогда и (г(хц.

Здесь ДГ^)) -кратность ^-модуля

- высота флага , \fJCF)—. р -замыкание

М^) , Т - минимальное вложение.

Доказательство теоремы основано на теории усеченных индуцированных модулей и использует когомологии алгебр Ли, в частности, точную последовательность Серра-Хохшильда.

Из теоремы 3.1.1. следует жесткость относительно фильтрованных деформаций общей алгебры Ли картановского типа со стандартной градуировкой. Здесь же устанавливается жесткость кон--тактной алгебры Ли относительно фильтрованных деформаций

при^>2.

В §2 доказывается теорема о минимальном вложении.фильтрованной деформации 2! градуированной алгебры Ли % — ^

квазиконтактного типа в алгебру Ли

) , и дается описание алгебры Ли (теорема 3.2.4).

В §3 строится теория фильтрованных деформаций однородной подалгебры и внутри градуированной алгебры Ли М , подобная теории деформаций Нийенхейса-Ричардсона11^. Эта теория, во-

Wilson R.L. //leet. Hôtes in Math. - 1989. - T.1373. - P.29-41.

11 ' Nijenhuis A., Richardaon Iî.W. Jr. // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. - V.73. - P.175-179.

первых, более адекватно, чем общая теория деформации алгебр, описывает классы изоморфизма фильтрованных деформаций, во-вторых, локальные деформации в этой теории образует группу Н+(Ь, которую легче вычислить, чем группу //^У/.,/») в общей теории (+ означает подгруппу, соответствуещуе Аильтро-ванным деформациям).

Эта теория применяется затем для исследования деформаций алгебр Меликяна характеристики 5 •. Для этого нужна информация об алгебрах Меликяна, которуе трудно получить, используя

то\

реализации, данную в ', Поэтому в §5 исследуется алгебры Меликяна как квазиконтактные алгебры Ли. В §6 доказывается, что

-О , когда и -= Цы Л) - алгебра Меликяна, Тем самым

устанавливается жесткость алгебр Меликяна относительно фильтрованных деформаций в квазиконтактной градуировке. Вычисление

не тривиально и сводится к нахождение когомоло-гий Спенсера У и) . Для вычисления последних строит-

ся спектральная последовательность, аналогичная спектральной последовательности Серра-Хохшильда. Когомологиям Спенсера посвящен §4.

Усеченные индуцированные модули могут быть применены для . описания ср -градуированных транзитивных алгебр Ли Л = Ф • Для этого наделим ¿. градуировкой с коэ(Т>-

Фициентами в , полагая 1 ^ & '

¿ели 1*1-11 ~ точный ¿.Го3-модуль, то ¿.у является транзитивной 1-градуированной алгеброй Ли, а - транзитивным

12) Меликян Г.М. // УМН. - 1960. - Т.35, КН. - С.233-204

13) Меликян Г.М. //Деп. в ВИНИТИ, Ы633-82

градуированным -модулем. Применяя минимальное вложение и в Ш) и вкладывая. А?- в усеченный коиндуцированный модуль со1нА , можно получить геометрическую реализацию алгебры и и компактную формулу для умножения в . Построение геометрических реализаций особенно важно для исклпчитель-ных простых алгебр Ли малых характеристик.

В §7 этот подход применяется для описания алгебр Меликя-на и как алгебр Ли типа &г , т.е. градуированных алгебр

Ли, у.которых подалгебра /Г = Ф ¿[¿1 изоморфна отрицатель-

¿<о

вой части градуировки типа (0,1) классической алгебры Ли В соответствующей градуировке по №<¿3

где Ц = , = ¿5 = , ^ ^хлЛг .

Умножение в и задается инвариантными дифференциальными операторами. Полученная геометрическая реализация алгебр Меликяна дифференциальными операторами позволяет существенно продвинуться в их изучении. Здесь описываются подалгебры минимальной коразмерности, автоморфизмы, условия изоморфности, жесткость градуировки типа <?г относительно фильтрованных деформаций.

Главы_4-5 посвящены описанию простых 1-градуированных алгебр Ли и = . Исследование таких алгебр основано

на изучении продолжений Картана пары (V, £.[01). где ¿[.ц - неприводимый ¿[о1-модуль, . В рас-

смотрен случай, когда - классическая редуктивная алгеб-

14)

ра Ли или близкая к ней алгебра, причем в ' для. ^-градуированных алгебр.Ли. ..Здесь существенно используется теория

Кац В.Г. // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1970. -- Т.3'1, К?2. - С. 385-408.

- и -

р -представлений классических полупростых алгебр Ли.

В общем случае о неприводимых представлениях модулярных алгебр Ли известно крайне мало. Поэтому при исследовании продолжений Картана пар (У, к 1о1' естественно рассмотреть большие классы неприводимых алгебр Ли и для каждого класса вложить Адо в некоторое пространство операторов !>. с: $¿0/)» которое было бы обозримо и для которого можно найти продолжения Картана. Оказалось, что во многих неклассических случаях в качестве ¿Е. может быть выбрано некоторое пространство дифференциальных операторов. Используя геометрический язык, мы можем . рассмотреть схему Хк= . векторные расслоения над Хк и их модули сечений. Тогда алгебра Ли АС0] может, быть представлена дифференциальными операторами некоторого порядка, действующими на модуле сечений векторного расслоения, который содержит

У .

В_главе_4 изучаются продолжения Картана алгебр Ли дифференциальных операторов, действующих на свободном 0(}) -модуле ранга Ь . В §§1,2 рассматриваются два случая - ¿>1 и ■С-1 , соответственно. Здесь дается описание простых градуированных алгебр Ли, у которых компонента алгебра Ли специальных дифференцирований $Ш-модуля V . и устанавливаются необходимые условия продолжаемости по Картану неприводимой алгебры Ли при ^>>2 ,

В §3 при !»Ъ полностью исследована продолжаемость по Картану усеченных индуцированных модулей над центральными расширениями транзитивных алгебр Ли. Показано, что -- единственная транзитивная алгебра Ли, для которой первое продолжение Картана пары нетривиально; это возможно только, в случае

- 15В §4 при 1»2 рассматривается продолжения Картава пространств дифференциальных операторов 2-го порядка относительно стандартной фильтрации и фильтрации Бернштейна в алгебре Ве»/;<<

В главе 5 представление 1л1о1 дифференциальными опера го рами применяется для классификации простых I-градуированных алгебр Ли А о различными компонентами АГЙ:

1) /»Го3 содержит сумму коммутирующих идеалов при ^>2- ,

§1;

Э) 1*1оз содержит нецентральный радикал при уь>2 , §2;

с) - полупростая алгебра Ли с непростым ми-

нимальным идеалом при ^>3 ,

<1) - почти простая алгебра Ли с сердцевиной карта-

новского типа, т.е. Цл/ха^) ^ при /»3 , §б.

В §3 строится представление дифференциальными операторами пары С^.^о'У с длинной фильтрацией, где , -

- подалгебра в 5С , V - неприводимый модуль. Пространство дифференциальных операторов, содержащее 5С , состоит из опера-? торов второго порядка либо относительно фильтрации Бернштейна, либо относительно стандартной фильтрации в алгебре Вейля в зависимости от того, содержит или не содержит подалгебра <£о алгебру Гейзенберга. Продолжения Картана пространств таких операторов изучались в главе Ч.- Результаты §3 используются в §§4-5.

В §5 рассматриваются простые алгебры Ли I с почти прос^ той компонентой [¡.^У^, в которой выделена подалгебра , удовлетворяющая условиям:

- обр.аз г X ;

2) если М0 - подалгебра в , то / 1

где <[ - сердцевина X ;

3) •

Такая подалгебра Х0 существует в любой почти простой алгебре Ли с неклассической сердцевиной £ , в чем можно убедиться, используя сэндвичи. Доказывается, что V- приводимый

-модуль • Следовательно, V можно вложить в

усеченный коиндуцированный ¿¿.-модуль соспА. V , где - максимальный ¿„-подмодуль в V , и предотавить X. дифференциальными операторами первого порядка. Затем доказывается, что при некоторых ограничениях на ££0 V является ¿С-модулем высоты I в смысле Рудакова. Здесь существенно используотся результаты об усеченных коиндуцированных модулях, полученные в главе 2.

Рассмотренные случаи а) - а) сводят классификации простых 1-градуированных алгебр Ли к описанию простых алгебр Ли у , которые могут служить сердцевиной почти простой компоненты А^д в простой алгебре Ли и .

В §7 показывается, как эту проблему можно решить при методом сечений Блока-Вильсона-Штраде'^,'|\ Применяя результаты, полученные для случаев а)-<0, при описании сердцевины у можно исключить случаи А), б) классификации Х.Штраде. Здесь рассматривается подробно случай А), случай с) исследуется аналогично. Теперь из случаев В) и С).метода сечений, рассмотренных Х.Штраде, следует, что у - алгебра Ли картановского типа. Тогда случай 4) завершает описание простых 1-градуи-рованных алгебр Ли при .

Работы автора по теме диссертации

1. Кузнецов М.И. Градуированные алгебры Ли с неполупрос-той нулевой компонентой // 16 Всесоозн. алгебраическая конф. Тезисы сообщ. - Ленинград, 1981. - С.89-90.

2. Кузнецов М.И. Градуированные алгебры Ли о нулевой компонентой, равной сумме коммутирующих идеалов // Матем. сб. -

- 1981. - Т.Иб, Ш. - С. 568-572.

. 3. Кузнецов М.И. Градуированные алгебры Ли с полупростоя нулевой компонентой // 17 Всесоозн. алгебраическая конф. Тезисы сообщен. 4.1. - Минск, 1993. - С. 107.

4. Кузнецов М.И. Свободные модули ранга ¿>1 над алгеброй разделенных степеней: дифференцирования и продолжения Картана.

- Горький: ГГУ, 1986. - Деп. в ВИНИТИ, £7524-86.

5. Кузнецов М.И. Теорема вложения для транзитивных алгебр Ли положительной характеристики // 19 Всесоозн. алгебраическая

конф. Тезисы сообщ. 4.2. - Львов, 1937. - С.153.

6. Кузнецов М.И. Распределения над алгеброй срезанных многочленов // Матем. сб. - 1988. - ТЛЗб, !Р2. - С.187-205.

7. Кузнецов М.И. Классификация простых градуированных ая--гебр Ли с непопупростой компонентой // Матем. сб. - 1989. -

- Т.180, Ш. - 0.147-158.

8. Кузнецов М.И. Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1939. - Т. 53, Ю. - С. 557- 539.

9. Кузнецов М.И. Продолжения Картана усеченных индуцированных модулей // Международ, конф. по алгебре. Тезисы докл%. по теории колец,-алгебр и модулей. - Новосибирск, 1989. - С.74.

10. Кузнецов М.И. Свойства алгебр Меликяна // 4 Всесоозн. школа "Алгебры Ли и их приложения в математике и физике". Те-

зисы сообщ. - Казань, .1990. - С. 31.

11. Кузнецов М.И. Алгебры Ли дифференциальных операторов и градуированные алгебры Ли характеристики [> // Международн. конф. по алгебре. Тезисы сооби. по теории колец, алгебр и модулей. - Барнаул, 1991. - С.бЗ.

12. Кузнецов М.И. Теорема вложения для транзитивных фильтрованных алгебр Ли характеристики f> // Изв. вузов. Математика.

- 1991. - НО. - С.ИЭ-Ч5.

13. Кузнецов М.И. Дифференциальные.операторы в классификации простых модулярных алгебр Ля // УИН. - 1992. - Т.47, !Н. -

- C.195-196.

14. Kuzneteov цл. Graded Lie algebras with null component containing sum of commuting ideals // Commun Algebra. - 1984. -

- У.12. - P.1917-1927.

15. Kuzneteov M.I. On Lie algebras of contact type // Corn-pun. Algebra. - 1990. - V.18. - P.2943-3013.

16. Kuzneteov M.I. The Melikyan algebras as Lie algebras of the type Gg // Commun. Algebra. - 1991. - V.19. - P.1281-1312.