Простые алгебры Ли над полем характеристики 3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский государственный университет имени м.в.ломоносова

Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 512.554.31

ЧАН ¡НАМ ЗУНГ

ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ Ж НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3

Специальность: 01.01.06. математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени 'кандидата физико-математических наук

москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственого университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - член корреспондент РАН, профессор

а.и.кострикин.

Официальные оппонеты: доктор физико-математических наук

а.с.джумадильдаев,

кандидат физико-математических

наук м.и.КУЗНЕЦОВ.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится 05 марта_ 1993 г.

в 16 час. 00 мин. на заседании специализированого совета Д.053.05.05 по математике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертации можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 3 " фС^/и'^а 1993 г.

Ученый секретарь специализированого совета Д.053.05.05 по математике при МГУ, доктор физико-математических, профессор В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В отличий от теории простых алгебр Ли над полями больших характеристик, гдэ в последнее время достигнуто много весомых результатов, простые алгебры Ли над полями малых характеристик мало изучены. Специфика случая малых характеристик заключается в том, что многие фундаментальные результаты теории простых модулярных алгебр Ли перестают быть верными при малых характеристиках.

Впервые обратил внимание на особенность случая малых характеристик Капланский. В своей работе 1, где им классифицированы простые алгебры Ли ранга 1 с просты™ корнями, он выделил для рассмотрения случай р=2 и случай р=3. Здесь были получены первые результаты о простых алгебрах Ли над полями малых характеристик.

Б связи о общеизвестной гипотезой Кострикина-Шафаревича 2'"*, утверждавшей, что при р>5 любая простая неклассическая

1 Kaplansky I. Lie aJgehras of characteristic p // Trans.

Amer.Math.Soc. 89 (1958), 149-183. г Кострикин А.И., 1ИАФАРЕВИЧ И.P. Псевдогруппы Картона и р-алгебры Ли, Доклады АН СССР. Сер. Матем. 163 (1966), 740-742.

3 Кострикин A.M., ШАФАРЕВМЧ И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики, Известия АН СССР. Сер. Матем. 33 (1969), N 2, 251-322.

* Кострикин А.И. Мод'лярные вариации на тему Картана // Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. - М: Наука, 1Э72, 111-117.

алгебра Ли изоморфна одной из алгебр картановского типа, либо ее фильтрованной деформации, мы разделим простые алгебры Ли над полями малых характеристик на три типа: алгебры Ли классического типа, алгебры Ли обобщенного картановского типа и исключительные алгебры Ли, т.е. такие алгебры Ли, ко торые не имеют аналогов при больших характеристиках.

Единственным известным в настоящее время примером исключительных алгебр Ли над полем характеристики 5 являются алгебры Меликяна 5<s.

Над полем характеристики 2 существует весьма много различных примеров исключительных простых алгебр Ли. Можно назвать четыре серии простых алгебр Ли над полем характеристики 2, определенных Капланским в работе 7, примеры Кочеткова-Лей-теса из 26-мерную алгебру Шафера-Томбера

5 Меликян P.M. О простых алгебрах Ли характеристики 5 // УМН 35 (1980), № 1, 203-204.

Меликян Г.М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой I^iV+í: П - М.: МГУ, 1982. - Деп.ВИНИТИ, # 1688-82.

7 Kaplasky I. Some simple Lie algebras of characteristic 2// Lie algebras and Related Topics. Lect. Notes In Math. 933 (1982), 127-129.

" Kochetkov lu, Leltes D. Simple Lie algebras In characteristic 2 recovered from Subalgebras and on the notion of a simple finite groupe//Contem.Math. 131(1992) Fart 2, 59-6T.

" Shafer R.D., TOMBER M.L. On a simple Lie algebras of cha-

racteristic 2.

Первым примером исключительных алгебр Ли над полем характеристики 3 можно назвать параметрическое семейство простых алгебр Ли L(e) над полем характеристики 3, построеное и изученное А.И.Кострикиным в 10. Алгебры L(s) допускают градуировку вида brsJ=b_2+I_i+IofIi+b2 и являются ограниченными алгебрами Ли размерности 70, причем L(s) = L(s') тогда и только тогда, когда s=s' или е=?/е'. На этом примере выявляется еще одна особеность случая малых характеристик - существование бесконечного числа попарно неизоморфных простых алгебр Ли конечной размерности над алгебраическим замкнутым шлем. Исходя из идеи, высказанной А.И.Кострикиным в 10 Браун в работе 11 построил бесконечный класс простых алгебр Ли Т(3:п), минимальная алгебра которого обнаружена ранее Франк 12.

Существование новых исключительных простых алгебр Ли по- ■ казывает, что случай малых характеристик требует отдельного рассмотрения. В настоящее время единственными классификационными результатами для малых характеристик, за исключением теоремы Капланского об алгебрах Ли ранга 1, являются классификационные теоремы Кузнецова для 7-градуированных алгебр Ли i9.)4,i3,i<\ При этом в 15 обнаружены две серии 1 й R простых исключительных алгебр Ли над полем характеристики р=3.

40 Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли

// Известия АН СССР Сер. Матем. 34 (1970), J6 4, 751-764. " Brown С. A class of simple Lie algebras of characteristic

three // Proc.Amer.Math.Soc. 107 (1989), 901-905.

12 Frank M. A new simple Lie algebras of characteristic three // Proc.Amer.Math.Soc. 38 (1973), 43-46.

С.М.Скрябин *' обнаружил новые серии простых алгебр Ли характеристики 3, которые содержатся в классе градуированных алгебр, удовлетворяющих условиям (1 ) Г у ,о 1 = ч для всех КО-, (2) МО при аец,, 1>0,а/0. Компоненты степени

1ф этих алгебр описываются общим условием (3) и одним и? условий (4)-(7): (3) dim д =dtm 9 =3; (4) dim 9t=o для f<-,?, a0=3l(&_t); (5) dim 9t=o для i<-2, 90=gii9.1J; (6) dim 9 =o длл i<-3, dim e_3=1, s0=gU9_xJ; (V) dim 9ь = 0 Для t<-4, dim =3, dim 9 =>, 9Cj=gI(g_1J. При этом построены явные реализации алгебр Ли, возникающих в случаях (4),(5), (7), в виде суммы алгебры Ли картановского типа и ее тензорных модулей. Соот! ;тственно получены серии ^(й;, YYmj, Zfm;.

Существование новых простнх алгебр Ли, не входящих в общую схему, приводит к ряду задач, требующих систематического

13 Кузнецов М.И. Модулярные простые алгебры Ли с разрешимой максимальноной подалгеброй, Матнм. сб. 101 (1976), & 1, 77-86.

14 Kuznetsov M.I. Graded Lie algebras with null component containing sum of commuting ideals// Comm. Algebra 12 (1984),

1917-1 927.

Кузнецов КУЗНЕЦОВ М.И. Классификация простых градуированных алгебр Ли с неполупростой нулевой компонентой Ьо // Матем. сб. 180 (1989), 147-158. 1£i Кузнецов М.И. Модулярные алгебры Ли дифференциальных операторов. Докторская диссертация.- Низший Новгород, 1992. 47 Скрябин С.М. Новые серии простых алгебр Ли характеристики 3 /7 Матем.сб. 1ЭЭ2.

изучения.

Первая задача связана с поиском новых исключительных алгебр а также с построением их явных реализаций.

Суть второй задачи состоит в том, чтобы распространять доказанные при больших характеристиках результаты на случай малых характеристик. При этом требуется вложить новые алгебры в общую схему, т.е. указать обобщение классы алгебр, куда входят исключительные алгебры Ли.

Третья задача заключается в изучении свойств новых алгебр. В первую очередь это вопросы об ограниченности, о дифференцированиях и автоморфизмах, о представлениях и модулях, о когомологиях, об инвариантных формах, о'деформациях. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение простых алгебр Ли над полем характеристики 3 и, в частности, исследование трех задач, сформулированных выше.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. в диссертации использованы комбинаторные методы, методы теории модулярных алгебр Ли, в частности, техника работы с картвновскими продолжениями. В главе 2 развит новый метод в изучении модулярных алгебр Ли. НОВИЗНА РАБОТЫ. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

1. Описаны в явном виде все алгебры серий Л и Г, установлена их новизна ( см. гл.1,§2-53 ). Классифицированы простые градуированные алгебры Ли обобщенного типа В .

2. Изучены общие свойства г -градуированных алгебр Ли ( теорема 2.1.2 ). Классифицированы ¿^-градуированные алгебры Ли, удовлетворяющие условию Капланского (теорема 2.2.9 ).

Оолп.".г.тью описаны алгебры .дифференцирований алгебр L(e), 7 (m), H{ñ), X(ñ) и Y (m) ( теорема 3.1.1 ). Получено частичное описание групп авторморфизмов вышеперечисленных алгебр i теорема 3.4.3 )-

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ен результаты и метода могут быть использованы для исследования простых алгер Ли над полем простой характеристики. Они могут быть полезны специалистам в области теории модулярных алгебр Ли, работающим в МГУ, НГУ, СПГУ, КГУ, Wiîr'AK.

АП^ОБАПИЯ РАБОТЫ. <;оноБные результаты диссертации докладывались h.-¡ с-оминаре "Избранные вопросы алгебры" под руководством А.И.Кострикина и Ю.А.Бахтурина, Международной конференции по аягнбре памяти А.И.Ширшора (Барнаул, 1991 г.). ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора MI-UJ, список которых приведен в конце автореферата .

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 118 страницах и состоит из введения, нулевой главы и трех глав. Библиография содержит 33 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Бо введении дается обзор результатов теории модулярных алгебр Ли над полями малых характеристик, обосновывается ак-туалность теш диисертации, формулируются основные задачи, опиоыьается содержание последующих глав. ■

3 главе 0 собраны необходимые сведения об алгебрах Ли картановского типа, о градуированных и фильтрованных алгебрах •

. б

В главе 1 техникой продолжений Кэртана реализуются алгебры серий Я и Г, введенных в 15. Найдены все алгебры этих серий. Подсчитаны их размерности. Алгебры серии Г образуют бесконечный класс простых алгебр Ли Т(п) размерности 2.3Г'*1. Алгебры же серии R исчерпывается простыми алгебрами Щт ,тх)

m +m ♦!

размерности 3 1 2 -1. В §1 вычисляются полные картановские продолжения пары (R ,R0), связанной с алгебрами серии R, которые определяют бесконечномерную градуированную алгебру Ли L(R). Умножение на этой алгебр© задается явными формулами. Алгебры серии Л и Г реализуются как конечномерные подалгебры алгебры L(R). В §2 установлена новизна алгебры Т(п) и доказана исчерпаемость простых алгебр серии Т алгебрами Т(п). Теорема 1.2.5. Алгебра Брауна-Кузнецова Т(п) неизоморфна никакой известной алгебре и потому нова.

Теорема 1.2.5. Пусть ж - произвольная простая конечномерная алгебра серии Т. Тогда х = Т(п) для некоторого netu.

В §3 рассматриваются алгебры серии R. Как упомянуто выше, все простые конечномерные алгебры серии R исчерпываются алгебрами R(mi,mz). Изучены структурные свойства алгебр R(m ,т ), с помощью которых установлена новизна R(m ,т ). Теорема 1.3.1. Алгебра К(т ,т ) является простой алгеброй Ли

Гц -МЛ +1

размерности dim R(m ,т ) = 3 1 2

Теорема 1.3.3. Пусть ж - произвольная простая конечномерная алгебра серии Я. Тогда к " R(n ,т ) для некоторого набора натуральных чисел (mitm ).

Теорема 1.3.9. Две алгебры серии Я: R(mi,m2) и R(m',m'z) изо-

I *

морфны если и только если {mi,m2) = {mx,mz}.

Теорема 1.3.12. Алгебра R(m ,т ) неизоморфна никакой извест-

ной алгебре и потому нова.

Параграф 4 посвящен изучению простых градуированных алгебр Ли обобщенного типа Под градуированными алгебрами Ли

обобщенного типа Вп (или для краткости записи "типа" Вп) бу-

8

дем понимать такие 2-градуированные алгебры i= £ I. , для ко-

I =-2

торых L_k=<x. \ 1=1 ,n>,L_2=l_i^L_i, Lo^gl(L_t).

Теорема 1.4.3.(Усиленная теорема Скрябина). Пусть Ъ - простая градуированная алгебры Ли "типа" Вп над совершеным полем F характеристики р. Тогда справедливо одно из следующих утверждений 1) L изоморна либо классической ортогональной алгебре п(2г+1), либо контактной алгебре Кг(т,ио) с шо = dx^+xjix^-хгбх^, 2) р=3 и L - одна из исключительных алгебр L(e), Т(п), Y(m) и Х(т).

В главе 2 изучаются свойства ^-градуированных алгебр Ли. В §1 доказана теорема о простоте и получены результаты относительно зависимости между структурными свойствами алгебры L и ее компонентой L .

о

Теорема 2.1.2. Пусть I=Lo+Ii - ^-градуированная алгебра Ли, удовлетворяющая следующим условиям: (1) Z(l)=0; (2) [ii,Iil = =L0; (3) - неприводимый 10-модуль и (4) Ь не является удвоенной алгеброй никакой алгебры £'. Тогда L- простая алгебра Ли.

Параграф 2 посвящен классификации ^-градуированных алгебр Ли, удовлетворяющих условию Капланского 18. Будем говорить, что ^-градуированная алгебра Ли L = La+Lt удовлетворяет условию Капланского, если умножение L *L -> совпа-

дает с внешним.

Теорема 2.2.9. Пусть Is=L +L - простая ^-градуированная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем Р характеристики pi¿3, удовлетворяющая условию Капланского. Тогда Ъ изоморфна ортогональной алгебре to(n+1,k), где n=cltm(L ). Утверждение

теоремы остается верным также при р=3, n¿4. При р=3, п=4 L

i

изоморфна одной из алгебр L(&).

В ь-3 рассматриваются некоторые модификации условия Капланского и изучаются алгебры Ли с этими модифицированными условиями. В двух специальных случаях получены частичные классификационные теоремы.

Теорема 3.3.3. Пусть !>£.,+ I - простая г -градуированная алгебра Ли над полем F характеристики р;2. Пусть L =17®7 - прямая сумма двух собственных подмодулей. Предположим, что умножение /77,V] совпадает с внешним и IU,U1 = IV,V1=<0>. Тогда

t'/u 1 ,F¡, где n=dím(L )/2=dlm U=dtm 7. Теорема 3.5. Пусть T¡=Lu+Lí - простая ¿^-градуированная алгебра Ли над полем F характеристики р^З. Пусть Lt=Uä>7 - прямая сумма двух собственных подмодулей. Предположим, что умножение [U,U1 и UJ,7] внешнее. Тогда Г, s al(2,F).

Наконец, в 54 приведены реализации с помощью конструкции г2-градуированных алгебр Ли известных нам простых исключительных алгебр Ли серий Я, Т, X и Y над полем характеристики 3, рассмотренных в главе 1 в других терминах.

В главе 3 изучаются дифференцирования и автоморфизмы ис-

10 Kaplansky I. On z^-gracled. Lie algebras// Illinois J.Math. 35 (1991 ), Jí1 , 85-92.

ключительных простых алгебр Ли. Параграф 1 посвящен исследованию их дифференцирований. Здесь используется общая схема нахождения всех дифференцирований, предложенная М.Ю.Целоусо-вым в работе Дифференцирования алгебр 1(е),Т(т),Я(т),

Х(т) и У(т) описываются полностью (теорема 3.1.1).

В §2 изучаются внутренние свойства интересующих нас алгебр. При этом найдены важные инвариантные подалгебры, которые позволяют доказать теорему о разложении группы автомор- ^ физмов алгебр Т(т), Щт), Х(т) и У(т) в полупрямое произведение своих нетривиальных подгрупп (теорема 3.2.3).

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.И.Кострикину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор признателен профессору Ю.А.Бахтурину, к.ф.м.н М.В.Зайцеву, д.ф.м.н. Фам Хыу Тьепу за ценные обсуждения и замечания.

19 Целоусов М.Ю. Дифференцирования алгебр Ли картановского типа, Изв. вузов. Математика. - 1970. Х> 7, 126-134.