Дифференциально простые альтернативные и йордановы алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи^ ' /

ПОПОВ Александр Александрович '

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ПРОСТЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ И ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ОКТ 2013

005535867

Новосибирск-2013

005535867

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Пожидаев Александр Петрович. Официальные оппоненты:

Пчелинцев Сергей Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, профессор;

Зубков Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Омский государственный педагогический университет, заведующий кафедрой.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского.

Защита диссертации состоится 15 ноября 2013 г. в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук. Автореферат разослан «.Щ» октября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совет

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых колец (алгебр). В классификацию простых альтернативных алгебр основополагающий вклад внесли А.И. Ширшов. Р. Брак, Л.А. Скорняков, М. Слейтер, Э. Клейпфелд и другие. Так, например, Л.А. Скорняков в [1] доказал, что альтернативная неассоциативная алгебра с делением является алгеброй Кэлн-Диксона. Э. Клейнфелд в [2] обобщил этот результат на произвольные простые альтернативные неассоциативные алгебры. Еще одним важным классом алгебр, близких к ассоциативным, являются йордановы алгебры. Эти алгебры возникли как формализм описания аксиом квантовой механики в совместной работе П. Иордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [3], в которой были описаны конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра, за одним исключением, является прямой суммой алгебр, близких к матричным алгебрам. Проблема описания простых йордаповых алгебр была сформулирована Дж. фон Нейманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Н. Джекобсон, Дж. Осборн, К. Маккриммон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже: гте было понятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована Н. Джекобсоном и решена Е.И. Зельмановым в [4]. Затем Е.И. Зельманов [5] описал произвольные простые йордановы алгебры.

Дифференциально простые алгебры являются естественным обобщением простых алгебр и применялись еще X. Цассенхаусом в 1939 г. в работе [6] при изучении алгебр Ли, однако сам термин «дифференциально простая алгебра» (если более точно, Э-простая алгебра, где £> — множество всех дифференцирований данной алгебры) появился в 1953 г. в работе [7] и принадлежит А. Алберту, который применял дифференциально простые алгебры для исследования алгебр с ассоциативными степенями. В этой же работе, среди прочего, было доказано, что в случае характеристики р > 0 радикал ассоциативной коммутативной дифференциально простой алгебры с единицей является ее наибольшим идеалом и выделяется полупрямым слагаемым, причем все элементы радикала нильпотентны индекса р, а если характеристика основного поля равна 0. то данная алгебра будет простой. Также I! работе |7| был при-

веден пример дифференциально простой конечномерной ассоциативно-коммутативной алгебры над полем ненулевой характеристики (алгебра усеченных многочленов), и уже в 1960 г. Л. Харпер в работе [8] доказал, что над алгебраически замкнутым полем нет других примеров.

Э. Познер продолжил изучение дифференциально простых алгебр (колец). В 1 960 г. в работе |!)| им было установлено, что дифференциально простое кольцо не является локально нильпотентным, а в случае характеристики 0 будет первичным или далее простым, если дополнительно потребовать наличие минимального идеала (здесь следует отмстить, что по аналогии с центроидом, который для простых колец является полем, Э. Познером был введен дифференциальный центроид, являющийся полем в случае дифференциально простых колец, так что дифференциально простое кольцо всегда является алгеброй над некоторым полем); в этой же работе было доказано, что всякое ассоциативно-коммутативное дифференциально простое кольцо содержит единицу; исследовались расширения дифференциально простых колец. Далее в 1964 г. Ш. Юань в работе [10] существенно развил теорию дифференциально простых ассоциативно-коммутативных колец характеристики р > 0 и, в частности, получил результаты аналогичные результатам Алберта: выделение радикала полупрямым слагаемым и нильпотентность (индекса, не превосходящего р) элементов радикала без условия конечномерности. В этой же работе Ш. Юань доказал, что дифференциально простая ассоциативно-коммутативная алгебра над полем характеристики р > 0 локальна, и, если ее радикал (он будет единственным максимальным идеалом) иильпотентсн, то сама алгебра изоморфна алгебре усеченных многочленов над основным полем, что является существенным улучшением упомянутого результата Л. Харпера. Следует отметить, что Ш. Юань использовал топологию, определяемую собственным идеалом дифференциально простого кольца.

Одним из наиболее важных и интересных результатов в теории дифференциально простых алгебр является следующая теорема, опубликованная Р. Блоком в 1909 г. в работе [11]:

Теорема. Пусть А — дифференциально простое (не обязательно ассоциативное) кольцо (или К-алгебра над ассоциативным коммутативным кольцом К с единицей), обладающее минимальным идеалом. Тогда либо А — простое кольцо (К-алгебра), либо

А — Б ®к Вп,Р{К),

где Б — простое кольцо характеристики р > 0 и

БЩР{К) = К[х„ ..., хг,}/1с11(х\, ..., хрп} -

алгебра усеченных многочленов над полем К; здесь через 1с11 {х 1, ..., х^) обозначен идеал, порожденный мноакеством {х\, ..., х^.}-

В этой же работе данный результат был применен к исследованию нолупростых алгебр Ли.

В спичи с теоремой Р. Блока И.П. Шсстакоиым была сформулирована

Проблема. Описать дифференциально простые алгебры, близкие к ассоциативным; не обладающие, вообще говоря, минимальными идеалами.

Решению данной проблемы и посвящена настоящая диссертация. Иными словами, основная цель данной диссертации — распространить теорему Блока на случай алгебр без минимального идеала. Это удается сделать в случае альтернативных и йордановых алгебр характеристики р (в йордановом случае р > 2) благодаря развитой структурной теории соответствующих классов алгебр и, в особенности, теории простых йордановых и альтернативных алгебр. Следует отметить, что теорию дифференциально простых альтернативных и йордановых алгебр нельзя назвать развитой. Автору известна единственная работа [12] (Т. Рави-шанкар, 1970). посвященная вообще-то конечномерным Э-полупростым алгебрам, где упоминаются альтернативные дифференциально простые алгебры.

Теория дифференциально простых алгебр интересна еще и своими связями с теорией супералгебр. Так. например, Ш.-Дж. Ченг в работе [13] в 1995 г. обобщил результаты Р. Блока на случай дифференциально простых супералгебр характеристики 0 с минимальным идеалом. Дифференциально простые алгебры (и их обобщения) также были использованы И.П. Шесгаковым в 1997 г. в работе |14| при исследовании первичных альтернативных супералгебр. Еще одним важным примером является работа 2001 г. Е.И. Зельманова и К. Мартинез [15], в которой дифференциально простые алгебры применялись для описания простых конечномерных йордановых супералгебр простой характеристики. Также дифференциально простые алгебры возникают при исследовании некоммутативных йордановых супералгебр (см. [16]).

Основные результаты диссертации.

1. Доказано, что всякая дифференциально простая (относительно некоторого множества дифференцирований) альтернативная пеас-социативная алгебра А над полем характеристики 0 будет кольцом Кэли-Диксона, квадратичным над своим центром, который, в свою очередь, является дифференциально простой ассоциативной коммутативной алгеброй. Установлено, что в этом случае алгебра А есть конечно порожденный проективный модуль ранга 8 над своим центром (теоремы 2.1.2 и 2.1.5. опубликовано в [18]).

2. Описаны дифференциально простые альтернативные пеассоциа-тнвные алгебры над полем характеристики р > 0. Доказано, что всякая такая алгебра есть тензорное произведение своего центра на алгебру Кэли-Диксона над некоторым полем (теорема 2.2.4, опубликовано в [18]).

3. Доказано, что всякая дифференциально простая исключительная йордапова алгебра будет кольцом А.чберта, каждый элемент которого удовлетворяет уравнению третьей степени с коэффициентами из центра упомянутой алгебры (теорема 3.2.1, опубликовано в [19]).

4. Доказано, что всякая дифференциально простая йорданова алгебра, не являющаяся гомоморфным образом специальной йордаио-вой алгебры, над полем характеристики р > 2 представима в виде тензорного произведения своего центра на некоторую простую центральную исключительную конечномерную йордапову алгебру (теорема 3.3.1, опубликовано в [19]).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и являются распространением классической теоремы Р. Блока на более широкий класс алгебр, чем тот, что был исследован в данной теореме. Результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории дифференциально простых алгебр и супералгебр.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы теории неассоциативных алгебр н методы теории Р1-алгебр (как ассоциативных, так и неассоциативных), также используется развитая

структурная теория простых альтернативных (неассоциативных) алгебр и простых исключительных йордаповых алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012), на международной конференции по теории колец, посвященной 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова (Новосибирск, 2011), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2009), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань. 2011), на семинаре им А.И. Ширшова «Теория колец» ИМ СО РАН и на семинаре «Алгебра п логика» в Новосибирском государственном университете. По результатам диссертации автором был сделан пленарный доклад на международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения» (Красноярск, 2013).

Публикации. Основные результаты опубликованы в форме статей в ве,пущих отечественных журналах [18], [19], входянщх в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Список литературы содержит 43 наименования. Диссертация изложена на 71 странице текста, набранного на компьютер«; в редакциоппо-издательской системе Е'ХГ^Х 2е.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех утверждений тройная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер результата. Нумерация формул двойная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер формулы внутри главы.

Введение

Во введении формулируется постановка задачи, дается обзор исследований по проблеме диссертации, приводятся формулировки результатов диссертации.

Глава 1. Предварительные результаты

Первая глава носит, в основном, реферативный характер: даются определения и приводятся формулировки утверждений, необходимых в дальнейшем. Для полноты изложения приводятся конструкции алгебр Кэли-Диксона и алгебр Алберта.

Напомним, что F-линейное отображение д : А А называется дифференцированием алгебры А, если д(ху) = д{х)у + хд(у) для всех х, у 6 А.

■ Пусть S)et(A) — множество всех дифференцирований алгебры А. Зафиксируем некоторое 2) С Эсг(А).

Идеал I алгебры А называется D-идеалом (обозначается I А), если для любых 5р0и х t I имеет место включение д(х) G I.

Алгебра А называется Q-простой, если А2 ф (0) ив А нет Э-идеалов, отличных от (0) и А. В случае, когда Э = Эсг(А), говорят, что А дифференциально проста.

В первой главе доказаны следующие два предложения, относящиеся к случаю альтернативных алгебр:

Предложение 1.2.2. Если А — D-простая альтернативная алгебра, то ее ассоциативный центр совпадает с центром.

Предложение 1.2.4. Если А — D-простая альтернативная алгебра, то в А не выполнено тождество [ж, у]п = 0 ни для какого натурального п, где [х, у] = ху — ух.

Глава 2. Дифференциально простые альтернативные алгебры

Глава 2 посвящена доказательству следующих трех теорем:

Теорема 2.1.2. Альтернативная иеассоциативная D-простая алгебра А над полем F характеристики 0 является кольцом Кэли-Диксона. Причем А квадратична над своим центром Z = Z(A), т. е. для всех х е А выполнено

х2 - t(x)x + п(х) = 0, t(x), п(х) G Z,

здесь t(x), п(х) определены однозначно, отображение t является Z-линейным, и п{ху) = п(х)п{у) для всех х, у G А. Более того, Z — это D'-простая алгебра, где D' = {<9| Z(A) \ ÖGD}; в частности, А обладает единицей. Здесь D — произвольное множество дифференцирований алгебры А.

Теорема 2.1.5. Пусть А — D-простая альтернативная неассоциативная алгебра над полем, F хагшктеристики 0, где. D некоторое множество дифференцирований алгебры А. Тогда А является конечно-порожденным. проективным Z(A)-ModyACM ранга 8.

Теорема 2.2.4. Пусть F — поле характеристики р > О, А — альтернативная неассоциативная алгебра над F, D — произвольное множество дифференцирований алгебры А. Тогда если А является, 33-простой, то А изоморфна В ®к Z(A), где В = А/Л?{А), а К — поле, изоморфное образу Z{A) при каноническом гомоморфизме А на В, V С К С Z(A). При этом В имеет структуру алгебры Кэли-Диксона. над К, a Z(A) является 53'-простой алгеброй, где D' = {д\z(a) I д G 53}; здесь через Jf{A) обозначен наибольший локально нилъпотентный идеал алгебры А.

Результаты второй главы опубликованы в [18].

Глава 3. Дифференциально простые йордановы алгебры

Основными результатами главы 3 являются следующие две теоремы:

Теорема 3.2.1. Пусть J D-простая исключительная йорда.нова, алгебра над полем F характеристики 0, где D — семейство дифференцирований алгебры J. Тогда J является кольцом Алберта. а ее центр Z{J) = Z будет D-простой ассоциативной коммутативной алгеброй (в частности, в J есть единица). При этом каждый элемент алгебры

J удовлетворяет кубическому уравнению над Z, т. е. для всех х € .7 выполнено

х3 - t{x)x2 + -(t(x2) - t(xf)x - п(х) = О,

где t, п : J ~> Z, t — Z-линейное отображение, an — однородное отображение над Z степени 3.

Теорема 3.3.1. Пусть J — йорданова алгебра над полем F характеристики р > 2, не являющаяся гомолюрфнылг образом специальной йор-даиовой алгебры, 53 — произвольное множество дифференцирований алгебры J. Тогда can J является. Q -простой, то J изоморфна Н®к Z(J), где Н = J/Jzf(J), а К — поле, изоморфное образу Z = Z(J) при каноническом гомоморфизме J на Н, F С К С Z. При этом Н является ■простой конечномерной цетщмльпой исключительно-й йордановой К-алгеброй, a Z является D-простой коммутативной ассоциативной алгеброй. Здесь, как и ]мнее, через Z(J) обозначен центр алгебры, а. через J2?( J) — ее наибольший локально иильпотентный идеал.

Кроме того, в главе 3 получены следующие результаты о специальных йордаиовых алгебрах:

Теорема 3.1.1. Пусть А — D-простая ассоциативная алгебра над полем, F характеристики не 2, где 2) семейство дифференцирований алгебры А. Тогда — D-простая йорданова алгебра. Здесь через обозначена алгебра с аддитивной структурой алгебры А и новым

умножениемхоу^^ху-ух).

Теорема 3.1.4. Пусть J D-простая специальная, йорданова алгебра над полем характеристики не 2, где D — произвольное множество дифференцирований алгебры J. Тогда существует D'-простая ассоциативная алгебра А такая, что

1. J является подалгеброй

2. множество J порождает А как ассоциативную ал небу;

3. множество Э' состоит из дифференцирований алгебры А, являющихся продолжениями дифференцирований из 33 на А.

Результаты главы 3 опубликованы в [19].

Глава 4. О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над своими центрами

Теорема 2.1.5. утверждает, что всякая дифференциально простая альтернативная неассоциативная алгебра характеристики 0 является проективным модулем над своим центром. Возникает естественный вопрос, будет ли данный модуль свободным. Построению примера, показывающего, что ответ, вообще говоря, отрицательный, и посвящена заключительная глава настоящей диссертации.

Пусть Л — поле действительных чисел. Рассмотрим алгебру полиномов Д[хо, ■ ■ •, х„] от переменных х0, хь хп- Через , г = 0, ..., п, обозначим операторы дифференцирования алгебры В[х 0, хь ..., Х„] по переменным х0, х\, ..., х,,. Положим

гда £>ь ..., Вп — дифференцирования алгебры Л[хо, и

£>г(5"(хо, ..., х„)) =0. г = 0, .... п.

Пусть БрЦп) = Я[х0, хп]/гс11(х1 + ...+х1-1) - ^фактор-

алгебра алгебры Я[х0, х„) по идеалу гЛ1 + . ■ • + х;,- 1) =

х„)Я[хо, ..., х„], т.е. 5р/фг) - координатное кольцо п-мерной сферы. Ясно, что дифференцирования А. ..., Оп индуцируют дифференцирования алгебры БрЦп), которые мы также обозначим через О], ..., А,- Отождествим образы элементов х0, хь ..., х„ при каноническом гомоморфизме й[х0, .... хп] -> 5р/;(п) с элементами хо, XI.....хп.

Обозначим через ЗрЦп)0 подалгебру в БрЦп), порожденную элементами 1, х?, хгх3, 0 < г, з п, а. через БрИ^х - подпространство БрНп)0х0 + ... + 5р/г(п)0Хп пространства БрНп).

Основными результатами четвертой главы являются следующие тео-

Теорема 4.1.5. Пусть а, /?, 7 € Я,аР7 ф 0 и С = С(а, /3, 7) ~ алгебра Кэли-Диката над полем В дейеттапельньш: чисел. Тогда « С можно выбрать базис е0 = 1, ег.....е? такой, что подпространство

ремы:

Вп = > Брк(п)0 ®е{ 0 5р/г(?!)х ® е.

7

и

алгебры врк^п) ® С при п > 8 будет альтернативной алгеброй, дифференциально простой относительно множества дифференцирований п ® , не являющейся свободным модулем над своим центром /?(ВП); здесь гс1: С —> С — тождественное отображение, а тензорное произведение берется над полем Я.

Теорема 4.1.6. В обозначениях теоремы 4.1.5 пусть отображение : Зрк(п) ® С —> Бр11(п) ® С является продолжением стандартной инволюции алгебры. Кэли-Диксона С = С(а, 0, -у) на алгебру 8рП(п)®С таким, что / ® с = / ® с <?лл всех / 6 ЗрЬ(п), се С. Тогда алгебра

{/ ог Ь1 Ь2 \ 1

I Ьг аз Ь3 , где аьа2,а3 € 5р/г(п)0; ЬиЬ2,Ь3 £ Вп V V г'2 &з аз / ]

с умножением X о У = ^(ЛГУ + УХ) ш/Лгт исключшпельной йорда-новой алгеброй, дифференциально простой относительно множества естественных продолжений дифференцирований {Их, ..., £>„} алгебры действующих на элементах 3) покомпонентно. При этол1

г(Ж(Вп,3)) ~ 5рЛ(п)0. и если п > 27, то Ж(Вп^) не является свободным. )) -модулем,.

Результаты четвертой главы получены в соавторстве с В.Н. Желя-бпиым и И.П. Шсстаковым; совместная работа [20] сдана в печать в журнал «Алгебра и логика».

Я хотел бы выразить глубокую благодарность И.П. Шестакову за постановку интересной задачи и внимание к работе, А.П. Пожидаеву за внимание к работе и неоценимую помощь при ее оформлении, В.Н. Же-лябину за внимание к работе и полезные обсуждения. Я благодарю коллектив ИМ СО РАН и сотрудников кафедры алгебры и математической логики НГУ за создание творческой атмосферы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-00157, 11-01-00938-а), АВЦП Рособразовапия «Развитие научного потенциала высшей школы» (2.1.1.419, 2.1.1.10726), Совета по грантам Президента РФ дчя поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-344.2008.1, НШ-3669.2010.1: 1МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»

(№02.740.11.5191).

Литература

[lj Скорняков Jl. А. Альтернативные тела // Укр. матем. ж. 1950 Т 2 т. С. 70-85.

[2] Kleinfeld Е. Simple alternative rings // Ann. of Math. 1953. V. 2. №58 P. 54-1-547.

[3] Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism // Ann. of Math. (2). 1934. V. 35, №1. P. 29-64.

[4] Зелъманов E. И. Иордановы алгебры с делением // Алгебра и логика. 1979. Т. 18, №3. С. 28G-310.

[5] Зелъманов Е.И. О первичных йордаповых алгебрах II // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, Xsl. С. 93-104.

[6] Zassenhaus Н. Über Liesclie Ringe mit Primzahlcharakteristik (German) /'/ Abb. Math. Sem. Hansische Univ. 1939. V. 13. P. 1-100.

[7j Albert A.A. On commutative power-associative algebras of degree two // Trans. Am. Math. Soc. 1953. V. 71, JV»2. P. 323-343.

[8] Harper L.R. On diffcrentiably simple algebras // Trans. Am. Math. Soc. 1960. V. 100, №1. P. 63-72.

[9] Posner E.C. Differentiably simple rings // Proc. Am. Math. Soc. I960. V. 11, №3. P. 337-343.

[10] Yuan S. Differentiably simple rings of prime characteristic //' Duke Math. J. 1964. V. 31, X'4. P. 623-630.

[11] Block R.E. Determination of the differentiably simple rings with a minimal ideal // Ann. of Math. 1969. V. 90, .№3. P. 433-459.

[12] Raviankar T.S. On differentiably simple algebras // Рас. J. Math. 1970. V. 33, .№3. P. 725-735.

[13] Cheng S.-J. Differentiably Simple Lie Superalgebras and Representations of Semisimple Lie Superalgebras //' J. Algebra. 1995. V. 173, №1. P. 1-43.

[14] Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, Л'?6. С. 675-716.

[15] Martinez С., Zelm.anov E.I. Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic // J. Algebra. 2001. V. 236, -№2. P. 575-629.

[16] По'лсидаев А.П., Шестаков И.П. Некоммутативные йордановы супералгебры степени п > 2 //' Алгебра и логика. 2010. Т. 49, №1. С. 26-59.

[17] Жевлаков К.А., Слииько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука. 1978.

Работы автора по теме диссертации

[18] Попов А.А. Дифференциально простые альтернативные алгебры /'/ Алгебра и логика. 2010. Т. 49, №5. С. 670-689.

[19] Попов А.А. Дифференциально простые йордановы алгебры ,// Сиб. мат. ж. 2013. Т. 54, №4. С. 890-901.

[20j Желябии В.П., Попов А.А., Шестаков И.Г1. Координатное, кольцо ?г-мерной сферы и некоторые примеры дифференциально простых алгебр /7 принята в печать в журнал Алгебра и логика.

[21] Попов А.А. Дифференциально простые альтернативные алгебры. В кн.: 'Груды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 39: Материалы Восьмой международной молодежной научной школы-конференции. Казанское математическое общество. 2009. С. 324.

[22] Popo v A.A. Diíferentiably simple Jordan Algebras. В кн.: Международная конференция по теории колец, посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова: тезисы докладов. 2011. С. 40.

[23] Popov A.A. Differentiably simple Jordan Algebras. В кн.: Алгебра и математическая логика: Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова. 2011. С. 228.

|24] Жс.ля&1ш П.Н.. Попои A.A.. Координатное кольцо n-мерпой сферы и примеры дифференциально простых альтернативных алгебр. В кн.: Международная конференция Мальцевские чтения: тезисы докладов. 2012. С. 10«.

Попои Александр Александрович

Дифференциально простые альтернативные и йордановы

алгебры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.09.2013. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №99.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090. Новосибирск, пр. Лаврентьева. 6

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

На нравах рукописи УДК 512.554.5

ПОПОВ Александр Александрович

Дифференциально простые альтернативные и йордановы алгебры

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Д и с с е р т а ц и я

на соискание ученой степени

О кандидата физико-математических наук

00

СО со

со ™

О Научный руководитель:

^ ™ доктор физико-математических наук,

^ доцент Пожидаев Александр Петрович

Новосибирск-2013

Оглавление

Введение 3

1 Предварительные сведения 12

§1 Дифференциально простые алгебры....................................12

§2 Альтернативные алгебры................................................17

§3 Йордановы алгебры......................................................23

2 Дифференциально простые альтернативные алгебры 26

§1 Случай характеристики 0................................................26

§2 Случай характеристики р................................................35

3 Дифференциально простые йордановы алгебры 41

§1 Случай специальных алгебр..............................................41

§2 Случай исключительных алгебр характеристики 0....................47

§3 Случай исключительных алгебр характеристики р > 2 ..............53

4 О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над своими центрами 57

§1 Построение примеров в альтернативном и йордановом случае ... 57

§2 Общий подход к примерам с использованием супералгебр............65

Литература 67

Введение

Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых колец (алгебр). В классификацию простых альтернативных алгебр основополагающий вклад внесли А.И. Ширшов, Р. Брак, Л.А. Скорняков, М. Слейтер, Э. Клейнфелд и другие. Так, например, Л.А. Скорняков в [12] доказал, что альтернативная неассоциативная алгебра с делением является алгеброй Кэли-Диксона. Э. Клейнфелд в [26] обобщил этот результат на произвольные простые альтернативные неассоциативные алгебры. Еще одним важным классом алгебр, близких к ассоциативным, являются йордаловы алгебры. Эти алгебры возникли как формализм описания аксиом квантовой механики в совместной работе П. Иордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [25], в которой были описаны конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра, за одним исключением, является прямой суммой алгебр, близких к матричным алгебрам. Проблема описания простых йордановых алгебр была сформулирована Дж. фон Нейманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Н. Джекобсон, Дж. Осборн, К. Маккриммон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже не было понятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована Н. Джекобсоном и решена Е.И. Зельмановым в [7]. Затем Е.И. Зельмапов [10] описал произвольные простые йордановы алгебры.

Дифференциально простые алгебры являются естественным обобщением простых алгебр и применялись еще X. Цассснхаусом в 1939 г. в работе [36] при изучении алгебр Ли, однако сам термин «дифференциально простая алгебра» (если более точно, £>-простая алгебра, где £> — множество всех дифференцирований данной алгебры) появился в 1953 г. в работе [16] и принадлежит А. Алберту, который применял дифференциально простые алгебры для исследования алгебр с ассоциативными степенями. В этой же работе, среди прочего, было доказано, что в случае характеристики р > 0 радикал ассоциативной коммутативной дифференциально простой алгебры с единицей является ее наибольшим идеалом и выделяется полупрямым слагаемым, причем все элементы радикала нильпотентны индекса р, а если характеристика основного поля равна 0, то данная алгебра будет простой. Также в работе [16] был приведен пример дифференциально простой конечномерной ассоциативно-коммутативной алгебры над полем ненулевой характеристики (алгебра усеченных многочленов), и уже в 1960 г. Л. Харпер в работе [20] доказал, что над алгебраически замкнутым полем нет других примеров.

Э. Познер продолжил изучение дифференциально простых алгебр (колец). В 1960 г. в работе [30] им было установлено, что дифференциально простое кольцо не является локально нильнотентным, а в случае характеристики 0 будет первичным или даже простым, если дополнительно потребовать наличие минимального идеала (здесь следует отметить, что по аналогии с центроидом, который для простых колец является полем, Э. Познером был введен дифференциальный центроид, являющийся полем в случае дифференциально простых колец, так что дифференциально простое кольцо всегда является алгеброй над некоторым полем); в этой же работе было доказано, что всякое ассоциативно-коммутативное дифференциально простое кольцо содержит единицу; исследовались расширения дифференциально простых колец. Далее в 1964 г. Ш. Юань в работе [35] существенно развил теорию дифференциально простых ассоциативно-коммутативных колец характеристики

р > 0 и, в частности, получил результаты аналогичные результатам Алберта: выделение радикала полупрямым слагаемым и нильпотентность (индекса, не превосходящего р) элементов радикала без условия конечномерности. В этой же работе Ш. Юань доказал, что дифференциально простая ассоциативно-коммутативная алгебра над нолем характеристики р > 0 локальна, и, если ее радикал (он будет единственным максимальным идеалом) нильпотентен, то сама алгебра изоморфна алгебре усеченных многочленов над основным полем, что является существенным улучшением упомянутого результата Л. Хариера. Следует отметить, что Ш. Юань использовал топологию, определяемую собственным идеалом дифференциально простого кольца.

Одним из наиболее важных п интересных результатов в теории дифференциально простых алгебр является следующая теорема, опубликованная Р. Блоком в 1969 г. в работе [18]:

Теорема. Пусть А — дифференциально простое (не обязательно ассоциативное) кольцо (или К-алгебра над ассоциативным коммутативным кольцом К с единицей), обладающее минимальным идеалом. Тогда либо А — простое кольцо (К-алгебра), либо

А = Б ®к В,^Р(К), где Б — простое кольцо характеристики р > 0 и

Вп#(К) = К[хи ..., хп]/{(11(хр1, ..., хрп) -

алгебра усеченных многочленов над полем К: здесь через гй',1 ..., хобозначен идеал, порожденный множеством {хр1: ..., х^}.

В этой же работе данный результат был применен к исследованию полупростых алгебр Ли.

В связи с теоремой Р. Блока И.П. Шестаковым была сформулирована

Проблема. Описать дифференциально простые алгебры, близкие к ассоциативным, не обладающие, вообгце говоря, минимальными идеалам,и.

Решению данной проблемы и посвящена настоящая диссертация. Иными словами, основная цель данной диссертации — распространить теорему Блока на случай алгебр без минимального идеала. Это удается сделать в случае альтернативных и йордановых алгебр характеристики р (в йордановом случае р > 2) благодаря развитой структурной теории соответствующих классов алгебр и, в особенности, теории простых йордановых и альтернативных алгебр. Следует отметить, что теорию дифференциально простых альтернативных и йордановых алгебр нельзя назвать развитой. Автору известна единственная работа [32] (Т. Равишанкар, 1970), посвященная вообще-то конечномерным £>-полупростым алгебрам, где упоминаются альтернативные дифференциально простые алгебры.

Теория дифференциально простых алгебр интересна еще и своими связями с теорией супералгебр. Так, например, Ш.-Дж. Ченг в работе [19] в 1995 г. обобщил результаты Р. Блока на случай дифференциально простых супералгебр характеристики 0 с минимальным идеалом. Дифференциально простые алгебры (и их обобщения) также были использованы И.П. Шестаковым в 1997 г. в работе [15] при исследовании первичных альтернативных супералгебр. Еще одним важным примером является работа 2001 г. Е.И. Зельмапова и К. Мартинез [28], в которой дифференциально простые алгебры применялись для описания простых конечномерных йордановых супералгебр простой характеристики. Также дифференциально простые алгебры возникают при исследовании некоммутативных йордановых супералгебр (см. [11]).

Следует также отметить, что теории дифференциально простых алгебр посвящен достаточно подробный обзор О.Д. Артемовича [1].

Автором получены следующие основные результаты:

Теорема 2.1.2. Альтернативная неассоциативная £)-простая алгебра А над полем Г характеристики 0 является кольцом Кэли-Диксона. Причем А квадратична над своим центром Z = Z(A), т. е. для всех х £ А выполнено

х2 — + п(ж) = 0, Ь{х), п(х) € Z,

здесь 1(х), п(х) определены однозначно, отображение I является Z-линейным, и п(ху) = п(х)п(у) для всех х, у £ А. Более того, Z это 1)'-простая алгебра, где ЗУ = {д\г(А) I д £ £>}; в частности, алгебра А обладает единицей. Здесь 2) — произвольное множество дифференцирований алгебры А.

Теорема 2.1.5. Пусть А 1)-простая альтернативная неассоциативная алгебра над полем, F характеристики 0, где 2) — некоторое множество дифференцирований алгебры А. Тогда А является конечнопорожденным проективным Z(А) -модулем ранга 8.

Теорема 2.2.4. Пусть Е — поле характеристики, р > О, А — альтернативная неассоциативная алгебра над Р, Т) - произвольное множество дифференцирований алгебры А. Тогда если А является £>-простой, то

А~В®кг(А),

где В = А/<5£{А), а К — поле, изоморфное образу Z(A) при каноническом, гомоморфизме А на В, Г С К С Z(A). При этом В имеет структуру алгебры Кэли-Диксона над К, а Z{A) является -простой алгеброй, где ЗУ — {д\г(А) I д £ £>}. Здесь через Л?(А) обозначен наибольший локально нильпотентный идеал алгебры А.

Теорема 3.2.1. Пусть 3 — Т>-простая исключительная йорданова алгебра над полем И характеристики 0; где 1) — семейство дифференцирований алгебры <7. Тогда 3 является кольцом Алберта, а ее центр Z{J) = Z будет 1)-простой

ассоциативной коммутативной алгеброй (в частности, в 3 есть единица). При этом каждый элемент алгебры 3 удовлетворяет кубическому уравнению над Z, т. е. для всех х £ 3 выполнено

где ¿, п : 3 —> Z, £ — Z-линейное отобраэюение, а п — однородное отображение над Z степени 3.

Теорема 3.3.1. Пусть 3 — йорданова алгебра над полем Р характеристики р > 2, ие являющаяся гомоморфным образом; специальной йордановой алгебры, Т) произвольное множество дифференцирований алгебры 3. Тогда если 3 является 1) -простой, то

где Н = 3/Л£(3), а К — поле, изоморфное образу Z = ^(,7) при каноническом гомоморфизме 3 на Н, Р С К С Z. При этом Н является простой конечномерной центральной исключительной йордановой, К-алгеброй, а Z является 1)-простой коммутативной ассоциативной алгеброй. Здесь через Л?(3) обозначен наибольший локально нильпотентный идеал алгебры 3.

Также автором были доказаны

Теорема 3.1.1. Пусть А £)-простая ассоциативная алгебра над полем Р характеристики не 2, где 2) — семейство дифференцирований алгебры А. Тогда - £>-простая йорданова алгебра.

Теорема 3.1.4. Пусть 3 -- Т)-простая специальная йорданова алгебра над полем характеристики не 2, где 2) -- произвольное множество дифференцирований алгебры 3. Тогда существует I)1 -простая ассоциативная алгебра А такая, что

(1) 3 является подалгеброй

з~н ®к ад

Впсдсшю

(2) множество 3 порождает А как ассоциативную алгсбу;

(3) множество ЗУ состоит из дифференцирований алгебры А, являющихся продолжениями дифференцирований из 3) на А.

Также в диссертации приведены примеры дифференциально простых альтернативных (неассоциативных) и йордановых (исключительных) алгебр, не являющихся свободными модулями над своими центрами:

Теорема 4.1.5. Пусть С = С(а, /3, 7) — алгебра Кэли-Диксона над полем В, вещественных чисел, а, /3, 7 Е Я, а/?7 ф 0. Тогда найдется такой базис ео, 61, .. •, 67 алгебры С, что подалгебра

Вп = | 0 врЦп)о (8> 0 (0 п)1 (8) е»

\ г=0 / \ г=4

алгебры 8рЬ,(п) ® С при п ^ 8 будет альтернативной Т>-простой алгеброй, не являющейся свободным модулем, над своим центром. Здесь гЗ : С —>■ С — тождественное отображение, тензорное произведение берется над полем Я,

8рк(п) = Щх о,

хп)/1Ш (жр + ... + х2п - 1) ,

дифференцирования Д; 1 ^ г ^ п, индуцируются преобразованиями

п д д Д: = .X','---

алгебры Т1[хо, ..., а £> — {Д 0 г с?, ..., Д, (8) гс£}.

Теорема 4.1.6. Я обозначениях теоремы 4-1-5 предполооюим, 'что отображение ~ : 8р1г(п) ¡8> С —»■ 8рК(п) ® С является естественным продолжением стандартной инволюции алгебры Кэли-Диксона С. Тогда алгебра

Г / \

СИ 1 Ъг Ъ2

{ \

Ь\ «2 Ь3 Ь2 Ь3 о;3

, где ац, а2, а3 € 5р/г(п)0; 61, Ъ2, 63 е Вп

ч

с умножением ХоY = -(XY+YX) будет исключительной йордановой алгеброй, дифференциально простой относительно множества естественных продолжений дифференцирований Di, ..., Dn алгебры Вп, действующих на элементах Л?{Вп,з) покомпонентно. При этом Z(Вп$)) ~ Sph{n)о и если п ^ 27, т.о не является свободным Z(r%?(Bn^))-модулем.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Публикации автора по теме диссертации приведены отдельным списком. Главы диссертации разбиты на параграфы. Нумерация всех формул сквозная. Нумерация всех утверждении тройная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер утверждения. Нумерация формул двойная — первая цифра указывает номер главы, вторая — номер утверждения внутри главы.

Несколько слов о содержании диссертации. Во введении формулируется постановка задачи, дается обзор исследований по проблеме диссертации, приводятся формулировки результатов диссертации. Глава 1 (Предварительные результаты) содержит определения, формулировки результатов, необходимых в дальнейшем и доказательства некоторых простых утверждений о дифференциально простых алгебрах. Глава 2 (Дифференциально простые альтернативные алгебры) посвящена доказательству теорем 2.1.2, 2.1.5, 2.2.4. Глава 3 (Дифференциально простые йор-дановы алгебры) посвящена доказательству теорем 3.1.1, 3.1.4, 3.2.1 и 3.3.1. Глава 4 (О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над своими центрами) посвящена доказательству теорем 4.1.5, 4.1.6 и описанию общего подхода, предложенного И.П. Шестаковым, к примерам дифференциально простых алгебр, не являющихся свободными модулями над своими центрами.

Все результаты опубликованы в форме статей в ведущих отечественных журналах [40], [41], [37] (последняя работа — в соавторстве с В.Н. Желябиным и

И.П. Шестаковым), входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Результаты диссертации докладывались па международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012), па международной конференции по теории колец, посвященной 90-летпю со дня рождения А.И. Ширшова (Новосибирск, 2011), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2009), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011), на семинаре им А.И. Ширшова «Теория колец» ИМ СО РАН и на семинаре «Алгебра и логика» в Новосибирском государственном университете. По результатам диссертации автором был сделан пленарный доклад на международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения» (Красноярск, 2013).

Я хотел бы выразить глубокую благодарность И.П. Шестакову за постановку интересной задачи и внимание к работе, А.П. Пожидаеву за внимание к работе и неоценимую помощь при ее оформлении, В.Н. Желябипу за внимание к работе и полезные обсуждения. Я благодарю коллектив ИМ СО РАН и сотрудников кафедры алгебры и математической логики НГУ за создание творческой атмосферы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-00157, 11-01-00938-а), АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (2.1.1.419, 2.1.1.10726), Совета но грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-344.2008.1, НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (АЧ)2.740.11.5191).

Глава 1

Предварительные сведения

§1 Дифференциально простые алгебры

Пусть А — некоторая (вообще говоря, неассоциативная) алгебра над полем Р. Вообще, если не оговорено особо, то термин «алгебра» означает «алгебра над полем», хотя далее нам потребуются и алгебры над ассоциативными коммутативными кольцами с единицей.

Определение, ^-линейное отображение д : А —> А называется дифференцированием алгебры А, если д(ху) = д(х)у + хд(у) для всех х, у 6 А.

Пусть 2)ет(Л) — множество всех дифференцирований алгебры А. Зафиксируем некоторое 53 С £>ес(Л).

Определение. Идеал / алгебры А называется 2)-идеалом (обозначается /<¡2 А), если для любых д £ 2) и х Е / имеет место включение д(х) € I. Определение. Алгебра А называется 2)-простой (дифференциально простой относительно множества 2)), если А2 ф (0) и в А нет 2)-идеалов, отличных от (0) и А. В случае, когда 2) = 2)ег(А), говорят, что А дифференциально проста, однако в данной работе термин «дифференциально простая алгебра» будет употребляться как синоним термина «2)-простая алгебра», когда нет необходимости

явно