Разложения простых неассоциативных алгебр и супералгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.554

Твалавадзе Марина Вахтанговна

РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТЫХ НЕАССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР И СУПЕРАЛГЕВР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук профессор Ю.А.Бахтурин.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук профессор С.В.Пчелинцев; кандидат физико-математических наук с.н.с А.П.Пожидаев.

Ведущая организация

Ульяновский Государственный университет.

Защита диссертации состоится 14 января 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001. М в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992-ГСП-2, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 декабря 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.М в МГУ доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Вопрос о разложении алгебраического объекта в сумму или произведение простых подобъектов зародился еще более ста лет назад в теории групп и связан с именами многих знаменитых математиков, начиная с Бернсайда, Фробениуса и Шура. Активное развитие происходит и в теории ассоциативных алгебр и связано, в основном, с известной проблемой Кёте. В теории групп и алгебр Ли наиболее известные результаты получены А.Л.Онищиком1, который, используя различную топологическую технику, классифицировал все возможные разложения комплексных и вещественных простых алгебр Ли в сумму простых подалгебр. В своей работе Онищик показал, что описание всех факторизаций компактной связной группы G в произведение замкнутых связных подгрупп G' и G" эквивалентно описанию всех подгрупп G' действующих транзитивно на многообразии G/G". Очевидно, что разложение G = G'G" индуцирует разложение в алгебре Ли L = V + L". Следствием этой классификации является невозможность разложения матричной ассоциативной алгебры в сумму собственных матричных подалгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Для произвольного поля этот результат был доказан в совместной работе Ю.Бахтурина и О.Кегеля2.

Изучение структуры подалгебр в простых йордановых алгебрах и супералгебрах также имеет свою предысторию тесно связанную с именами Е.Зельманова3, И.Шестакова, М.Расине и других. Центральные результаты в теории йордановых алгебр были получены Зельмановым в период с 1977 по 1983, описавшем все типы простых и первичных йордановых алгебр произвольной размерности над полем характеристики отличной от двух. Эти результаты способствовали появлению целого ряда замечательных теорем о структуре йордановых алгебр. В частности, Расином4 были подробно изучены все типы максимальных подалгебр в простых конечномерных ассоциативных

1Onishchik A.L. Topology of Transitive Transformation Groups, Johann Ambrosius Barth Verlag GmbH: Leipzig, 1994, xvi+300pp.

2Bahturin Yu.A., Kegel O.H. Sums of simple subalgebras., Algebra, 11. J. Math. Sei. (New York) 93, 1999, 830-835.

3Zelmanov E.I. Prime Jordan algebras., Siberian Math. J., 24, 73-85.

"Racine M.L. On Maximal Subalgebras, J. Algebra, 30, 1974, 155-180.

алгебрах, ассоциативных алгебрах с инволюцией и йордановых алгебрах над полем характеристики отличной от двух.

Йордановы супералгебры были детально изучены В.Кацем5, Капланским6 и др. Наравне с классификацией простых конечномерных супералгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, используя ТКК-конструкцию (Tits-Kantor-Koecher construction). После этого Расином и Зельмановым7 эта классификация была расширена до случая простых конечномерных йордановых супералгебр с полупростой четной частью над полем характеристики р > 1.

Цель работы

Целью настоящей работы является описание всех типов разложений в сумму двух собственных простых подалгебр для йордановой алгебры невырожденной симметрической билинейной формы и алгебры H(Fn) всех симметрических матриц порядка п относительно операции аЬ+Ьа над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух, а также классификация всех простых разложений в специальных простых йордановых супералгебрах над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

Методы исследования

В работе используются методы структурной теории йордановых алгебр и супералгебр, теория представлений полупростых йордановых алгебр и супералгебр и другая алгебраическая техника.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

5Кас V.G. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and Jordan superal-gebras., Comm. Algebra, 13, 1977, 1375-1400.

"Kaplansky I. Superalgebras., Pacific J. Math, 86, 1980, 93-98.

7Racine M.L., Zelmanov E.I. Simple Jordan superalgebras., Nonassociative algebra and its applications (Oviedo, 1993), 344-349, Math. Appl., 303, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994.

1) Получено полное описание типов разложений в сумму двух простых подалгебр для йордановой алгебры невырожденной симметрической билинейной формы и алгебры H{Fn) всех симметрических матриц порядка п относительно операции ^г2 над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух.

2) Получена классификация всех типов простых разложений в специальных простых йордановых супералгебрах над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории ассоциативных и йордановых алгебр и супералгебр. Полученные результаты могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ имени М.В. Ломоносова, Новосибирском и Ульяновском университетах, МИ им. В.А.Стеклова.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались в 2001, 2002 годах на кафедральном семинаре "Основные структуры в алгебре"под руководством М.В.Зайцева и И.А.Чубарова; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры под руководством В.Н.Латышева на мех-мате МГУ; на международной конференции "CMS/CMIS Summer Meeting"(Галифакс, 2004) и на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованны в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 83 страницах. Список литературы содержит 27 наименований.

Содержание работы

Во введении даётся краткий исторический обзор и излагаются результаты диссертации.

В первой главе настоящей работы приводится необходимая классификация простых йордановых алгебр и йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае йордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае йордановых супералгебр. Как известно, согласно теореме Алберта, всего существует пять типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых алгебр, обозначаемых следующим образом: B(f) = F + V — алгебра невырожденной симметрической билинейной формы /, dim V > 1; H(Fn), ti > 3, — алгебра симметрических матриц порядка п; Я(7?Т1), п > 3 — алгебра, изоморфная полной матричной алгебре относительно йорданова умножения; #(Qn), п > 3, — алгебра симплектических матриц порядка 2п. Кроме того, существует одна 27-мерная исключительная простая йорданова алгебра Н(Сз), называемая в некоторых источниках алгеброй Алберта.

Основываясь на классификации простых супералгебр Ли, В. Кац получил классификацию простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Согласно этой классификации выделяют семь типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых супералгебр, обозначаемых следующим образом: Mn¡m(F)M, osp(n,m), Р(п), Q(n), J(V,f), Dt и Большинство из этих супералгебр получаются из Mntm(F) с помощью подходящей суперинволюции.

Вторая глава посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух. Этот результат был получен в работе совместной с Т.В.Твалавадзе 8

Теорема 1. Предположим, что J — конечномерная простая специальная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым полем F характеристики отличной от двух. Тогда единственными

8Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002.

разложениями Л в сумму двух простых подалгебр и & являются следующие:

ад иД^ 5(/х), л а В(/2).

2. а я(тг3) и я » ж^з), = ад, либо а & я(ад п> з,

= Я(Р„) и ¿7*2 изоморфна одной из следующих алгебр: Я(Fn),

или я(тгп_1).

Л .7 Й Я(2„) и Л, Л & ЩКп).

Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для йордановых алгебр типа Н(Т>п), где Т> — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа Я(^) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр. Другими словами, справедливы следующие факты.

Пример 1 .Существует разложение Н(И3) = Л + В, где Л = Н(Р3) иВ = ад.

Для построения этого примера агебру Я(7£з) реализуем в виде полной матричной алгебры порядка 3 с коэффициентами из основного поля .Р. В качестве подалгебры Л выберем подалгебру, состоящую из всех матриц, симметричных относительно обычного транспонирования. Подалгебру В рассмотрим в виде

Хц Х\2 Х12 \

121 Я22 Х22 , (1)

о о о у

где — произвольные элементы из Р. Очевидно, что подалгебра вида (1) изоморфна полной матричной алгебре .Рг, которая, в свою очередь, имеет тип В{/).

Теорема 2. Пусть п > 3, тогда единственным возможным разложением алгебры типа Н(Т)п) в сумму двух подалгебр, одна из которых имеет тип Н(Т>'т), а другая имеет тип В(/), является разложение, указанное в примере 1.

Согласно теореме 2, в алгебре симметрических матриц не существует простых разложений в сумму двух подалгебр, одна из которых является алгеброй билинейной формы. На самом деле, имеет место более сильное

утверждение, а именно, йорданова алгебра H{Fn), при п > 3, не представляется в виде суммы двух произвольных простых подалгебр.

Теорема 3. Пусть J — простая йорданова алгебра, имеющая тип H(Fn), Л и В — две простые собственные йордановы подалгебры в ней. Тогда J ФА + В

Далее изучаются разложения простой йордановой алгебры симметрической невырожденной билинейной формы /, то есть алгебры типа B(f), в сумму двух собственных простых подалгебр. Каждая йорданова алгебра данного типа допускает несколько неизоморфных между собой разложений. Любая собственная простая подалгебра J алгебры типа B(f) является алгеброй симметрической билинейной формы, если dim J > 1, или изоморфна основному полю F, если dim J= 1.

Пусть J произвольная алгебра типа B(f), то есть J = F1 ® V и на векторном пространстве V определена симметрическая невырожденная билинейная форма / : V х V —► F. Тогда в V можно выбрать некоторый базис {ei,... ,е„}, dim V = п, ортонормированный относительно формы /. Обозначим через Jk = Fl®Vk, где Vk = span (еь... ,ек), к = 2,... ,п-1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение f\vk-невырожденное. Кроме того, Jj С С ... С Jn-i, dim Jfc = к + 1.

Теорема 4. Пусть J конечномерная простая йорданова алгебра типа B(f) над алгебраически замкнутым полем F, характеристики отличной от двух.

Допустим, что J = В+С, где В, С — простые йордановы подалгебры, dim В > dim С. Тогда найдутся автоморфизмы ip и ф алгебры J такие, что

1. В = y>{Jk), С = ip{Jp), k + p> п, если сумма не является прямой.

S. В = <p(Jn-i), С = %j)(F 1), если сумма прямая.

Обратно, для любой простой йордановой алгебры J типа B{f) найдутся разложения типа 1 и 2.

Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов Н(71п) и H(Qn) разобраны в диссертации Т.В.Твалавадзе.

Наконец, третья глава посвящена разложениям специальных йордановых супералгебр в сумму простых собственных нетривиальных (с ненулевой нечетной частью) подсупералгебр. Шаг за шагом, мы

переходим от супералгебр типов Mn¡m(F), osp(n,m), Р{п), Q{n), J(V,f) к трехмерной супералгебре Капланского K¿ и четырехмерной однопараметрической супералгебре Dt. В отличие от йордановых алгебр, во всех типах, хроме Mn¡m(F) и J(V,f), простых разложений не существует. Более точно, справедливы следующие теоремы.

Теорема 5. Пусть А является произвольной супералгеброй типа Mn,m{F)l+), п>т > Если оба индекса п,т — нечетные, то А не может быть разложена в сумму двух простых собственных нетривиальных подсупералгебр. Если один из индексов, например т, является четным, а другой — нечетным числом, то единственным возможным простым разложением является следующее : А = В + С, где В и С имеют типы osp(n, j) и Mn^l¡m(FY+\ соответственно. Наконец, если оба индекса — четные, то А допускает два разложения следующего вида:

1. А = Bi + С\, где Bi и С\ имеют типы osp(n, j) и Mn~i соответственно.

ё. А = В2 + Сг, где Вг и Ci имеют типы osp(m, и

Для построения примера разложения расмотрим подсупералгебру А в виде:

f А в

0 ... 0 0 ... 0

С D

где матрицы А и С порядков (п — 1) х п и т х п, соответственно, имеют два одинаковых последних столбца, В, £> — произвольные матрицы порядков (п — 1) х ш и 7п х т. Вторую подсупералгебру В рассмотрим в каноническом виде:

А С

s-w в

где А — симметрическая матрица порядка п, В — симплектическая матрица порядка т, С — произвольная матрица порядка п х т, 5 = [ О I \ ,

I / о )' ГДе ~ тождественная матрица порядка

i

7

Теорема 6. Пусть супералгебра J имеет тип osp(n,m), где п,т > 0. Тогда J не может быть представлена в виде суммы двух собственных простых нетривиальных подсупералгебр Л и В.

Теорема 7. Пусть супералгебра J имеет тип Q{n), Р(п), или Dt, где п > 1. Тогда J не может быть представлена в виде суммы двух собственных простых нетривиальных подсупералгебр Л и В.

Все разложения супералгебры J(V, /) легко получаются из разложений четной части J(V, /)0, которая является йордановой алгеброй типа B(f). Точнее справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть супералгебра J имеет тип J(V,f) и А, В — простые подсупералгебры в ней. Тогда J — А+В означает, что каждая из супералгебр А, В изоморфна некоторой супералгебре невырожденой суперформы. Более того, существуют разложения супералгебры J в сумму двух подсупералгебр типа J(W\, Д) и J(W<¿, /2).

Во многих случаях, для доказательства, мы применяем наши результаты о классификации разложений простых йордановых алгебр к случаю супералгебр. Кроме того, конструкция универсальной ассоциативной обертывающей алгебры для йордановой супералгебры9 помогает в некоторых случаях свести исходное разложение к разложению ассоциативной алгебры в сумму полупростых ассоциативных подалгебр. Такие разложения можно исследовать применяя результаты из статьи Бахтурина и Кегеля.

В заключение мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора Бахтурина Ю А. за огромное влияние и помощь при работе над диссертацией.

'Martinez С., Zelmanov Е. Specializations of Jordan Superalgebras., Canad.Math.Bull., 45, 4, 2002, 653-671.

Публикаций автора по теме диссертации

[1] Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. О разложениях алгебр типа В(/) в сумму простых подалгебр., Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2002, 2, 63-65.

[2] Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002

[3] Твалавадзе М.В. Разложения простых неассоциативных алгебр и супералгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1175-В2004.

I. Доказательство леммы I и второй части теоремы I в статье «О разложениях алгебр тяпа В(() в сумму простых подалгебр«, Вест. Моск. Ун-та., Сер. I, Математика. Механика, 2002, 2, 63-65.

2. Все результат«, полученные в первом и во втором разделах в статье «Разложения простых специальных йордаиовмх алгебр», ВИНИТИ, № 2287-В2002.

3. Доказательство пунктов 2, 3 в предложении 1, а также теоремы 3 I в статье « Suma of simple and nilpolent subalgebraa», Comm. in Algebra, vol 30, 2002,

9, 4455-4471 (совместно с Ю.Л.Бахтуриным)

В совместных работах, написанных в соавторстве с Т.В Твалавадзе мне принадлежат следующие результата:

•-123 5

РНБ Русский фонд

2005-4 48122

Подписано в печать ?. & Формат 60x84/16. Усл.псч.л. 0,5 Тираж /00 экз. Заказ ЬЧ Отпечатано в Отдало печати МГУ

Введение

Настоящая работа посвящена изучению всех типов простых нетривиальных разложений в специальных йордановых алгебрах и супералгебрах над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае йордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае йордановых супералгебр. Под термином простое (полупростое) разложение произвольной алгебры J мы подразумеваем представление J в виде суммы двух простых (полупростых) собственных подалгебр. Причем сумма в этом разложении не обязана быть прямой.ктура простых и полупростых разложений изучалась также и для других типов алгебр. Например, для конечномерных простых ассоциативных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем Ю.А. Бахтурин и О. Кегель в статье [9] доказали невозможность разложения в сумму собственных простых подалгебр. В лиевском случае A.JI. Онищик в работе [3], используя топологические методы, классифицировал все возможные полупростые разложения полупростой комплексной или вещественной алгебры Ли.

В первой главе настоящей работы приводится необходимая классификация простых йордановых алгебр и йордановых супералгебр. Как известно, согласно теореме Зельманова [27], всего существует пять типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых алгебр, обозначаемых следующим образом: B(f) = F + V — алгебра невырожденной билинейной формы /, dim V > 1; #(.Fn), п > 3, — алгебра симметрических матриц порядка щ H(R,n), п > 3 — алгебра, изоморфная полной матричной алгебре F^ относительно йорданова умножения; H(Qn)> п > 3, — алгебра симплектических матриц порядка 2п. Кроме того, существует одна 27-мерная исключительная простая йорданова алгебра называемая в некоторых источниках алгеброй Алберта.

Йордановы супералгебры впервые изучались Кацем [12] и Капланским [16, 17]. В [12] наравне с классификацией простых конечномерных супералгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, используя ТКК-конструкцию (Tits-Kantor-Koecher construction). В [23] Расином и Зельмановым эта классификация была расширена до случая простых конечномерных йордановых супералгебр с полупростой четной частью над полем характеристики р > 2.

Вторая

глава посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J. Этот результат был получен совместно с Т.В.Твалавадзе. Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для йордановых алгебр типа Н{Т>п), где Т> — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа H(Fn) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр (см. параграфы 2.4 и 2.5). Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов Н(Ип) и H(Qn) доказаны в диссертации Т.В.Твалавадзе.

Для того, чтобы описать все возможные простые разложения алгебры B(f) — F ф У - невырожденной симметрической билинейной формы /, мы зафиксируем некоторый базис {ei,.,e„}, ортонормированный относительно формы /. Обозначим через J¡¡ = F ф где = span (ei,. ,e¿), fc = 2,., n — 1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение f\yk — невырожденное. Кроме того, J% С J3 С . С Jn-1, dimJi = fc + 1. Если В(/) = В + С, где В, С — простые йордаНовы подалгебры, dim В > dim С, то найдутся автоморфизмы (риф алгебры J7" такие, что В = <p(Jk)-> С = if)(Jp), к + р > п, в случае непрямой суммы, иб = ^(^-i), С = ift(F), в случае прямой суммы. Верно и обратное утверждение, а именно, указанные выше разложения существуют в алгебре

B(f).

Наконец, третья

глава посвящена разложениям специальных йордановых супералгебр в сумму простых собственных ^ нетривиальных (с ненулевой нечетной частью) подсупералгебр.

Шаг за шагом, мы переходим от супералгебр типов M„)ra(F), osp(n, m), -P(n), Q(n), J(V,/) к трехмерной супералгебре Капланского и четырехмерной однопараметрической супералгебре Dt. В отличие от йордановых алгебр, во всех типах, кроме M„)m(F) и J(F, /), простых разложений не существует. Во многих случаях, для доказательства, мы применяем наши результаты о классификации разложений простых йордановых алгебр к случаю супералгебр. Кроме того, конструкция универсальной ассоциативной обертывающей алгебры для йордановой супералгебры (см.[18]) помогает в некоторых случаях свести исходное разложение к разложению ассоциативной алгебры в сумму полупростых ассоциативных подалгебр. Такие разложения можно исследовать применяя результаты из [9].

Супералгебра типа МП)ГО(.Р), в случае четного га, допускает одно-единственное разложение, которое является разложением в сумму подсупералгебр А и В типов М„ и озр(п, у), соответственно. Для построения этого примера рассмотрим подсупералгебру А в виде: г А \ в где матрицы А и С порядков (п — 1) х п и га х п, соответственно, имеют два одинаковых последних столбца, В, И — произвольные матрицы порядков (гг — 1) хгаишхт. Вторую подсупералгебру В рассмотрим в каноническом виде: где I — тождественная матрица порядка т 2 ' где А — симметрическая матрица порядка п, В — симплектическая матрица порядка га, С — произвольная матрица порядка п х га,

Все разложения супералгебры 7(У,/) легко получаются из разложений четной части которая является йордановой алгеброй типа В(/).