Тождества специальных алгебр и супералгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

а ^

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносову

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЗАЙЦЕВ Михаил Владимирович

ТЩЦЕША СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР И СУПЕРАЛГЕЫ5 ЛИ (01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова -

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор КУКИН Георгий Петрович;

доктор физико-математических наук, профессор МЩЕЙКО Сергей Петрович;

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ Сергей Валентинович

Ведущая организация - Институт математики Сибирского

отделения РАН

1993 г. з^

Защита состоится УУ" МсМ/у* 1993 г. в _ час.

на заседании специализированного совета Д053.05.05 при МГУ по адресу: 117234, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1406.

Автореферат разослан " " Сил/года.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук '

Чубариков В.Н.

- 3 -

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Специальные алгебры Ли ( или $PJ-алгебры ) были впервые рассмотрены В.Н.Латышевым в 1963 году^'?^ Условие специальности, т.е. существования ассоциативной Р1-обо-лочки, привело к появлению эффективных методов исследования бесконечномерных алгебр Ли, что подтверждается достижениями последних лет. В последние годы активно изучаются алгебры лиев-ского типа, в частности, супералгебры^ и цветные супералгебры^ Ли. Поскольку тождественные соотношения фигурируют в определении SP Г-алгебр, особую актуальность .приобретает изучение многообразий специальных алгебр и супералгебр Ли. Наибольший интерес при этом представляет исследование влияния тождественных соотношений на строение и структурные свойства алгебры. Следует отметить тесную взаимосвязь между супералгебрами и обычными алгебрами Ли при изучении их тождеств. Это обусловлено, с одной стороны, тем, что всякая супералгебра Ли является модулем над своей нулевой компонентой, т.е. обычной лиевской алгеброй. С другой сторонн, достижения теории .¿^-градуированных супералгебр Ли, как показано в диссертации, успешно используются при изучении многообразий специальных алгебр Ли.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является: I. Описание систем тождеств, приводящих к условиям конечности

^Латышев В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями //Сиб. мат. журн.-1963. - Т.4, Р4. - С.82Г-829. 2Латышев В.Н. Два замечания о PI-алгебрах //Qi6. мат. журн. -1963 - Т.4,РФ- С. II20-II2I.

Üevk / £iJL. ¿кЛгл ¿к - /9?3.

4 ЬоЛлСиКлУи. Д. dt ой. . Tb&JL-s -/Оги. vVi-k , Woltw. di Glühtest , /59L.

( артиновостъ, нётеровость, матричная представимость, финитная аппроксишфуемость ) в конечно порождённых супералгебрах.

2. Построение теории базисного ранга специальных многообразий алгебр Ли и их произведений.

3. Поиск и изучение экстремальных многообразий алгебр Ли, в частности, описание почти локально представленных многообразий и специальных многообразий почта конечного базисного ранга.

4. Исследование взаимосвязи между тождествами супералгебры Ли и ее грассмановой оболочки.

ОСНОВНАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе развиты и использованы новые методы исследования специальных супералгебр Ли и их многообразий. Предложен метод работы с алгебрами, • удовлетворяющими товдеству Водиченко^ Широко применяется структурный результат о существовании разрешимого радикала, факторалгебра по которому предетавима. Наряду с новыми методами активно используются известные конструкции вербаш>ного сплетения и грассмановой оболочки, действие симметрической группы на алгебрах Ли, а также метод разделения переменных.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми как для супералгебр, так и для обычных алгебр Ли. В частности:

'I. Приведён ряд достаточных условий в терминах тождеств для выполнения условий конечности в супералгебрах. Получено описание локально нётеровых, локально хопфовых, локально пред-

Боличенко И. Б. О многообразиях центрально-метабелевых алгебр Ли //Препринт АН БССР №16 (96).-Минск, 1980.

ставимых и локально финитно аппроксимируемых многообразий алгебр Ли, что решает рад известных проблей

2. Получена классификация почти локально представимых многообразий алгебр Ли над любым бесконечным полем,

3. Указаны критерии конечности базисного ранга для специальных многообразий и их произведений.

«

4. Получено описание специальных многообразий алгебр Ли почти конечного базисного ранга.

5. Приведены достаточные условия неразложимости в произведение коммутатора двух многообразий, построен пример разложимого в произведение коммутатора.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕНШСТЬ. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории многообразий алгебр лиевского типа, при изучении алгоритмических проблем в алгебрах и супералгебрах Ли.

АПРОБАЦИЯ РАВСУМ. Результаты работы докладывались на XIX Всесоюзной алгебраической конференции, на Международных конференциях по алгебре ( Новосибирск - 1989, Барнаул - 1991 ) на ТУ и У1 Всесоюзных симпозиумах по теории колец, алгебр и модулей, на II и У1 Всесоюзных школах по теории многообразий алгебраических систем, на I - III Всесоюзных школах "Алгебры Ли и их приложения в математике и физике", на научно-исследовательских семинарах по алгебре в МГУ им. М.В.Ломоносова, ОмГУ, ГрГУ, филиале МГУ в Ульяновске.

^Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей. Изд. 3-е. Новосибирск, 1992. П.п.2.15, 2.16.

- б -

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 21^ .

ОБЪЁМ РАШШ. Диссертация состоит из введения и пяти глав. ЬИблиография - 74 наименования.

ООДЕРШАНИЕ РАБОТЫ Цветные супералгебры Ли, появившеся в последние годы, являются обобщением обычных алгебр Ли и ¿?г -градуированных супералгебр Ли. Цусть & - абелева группа, на которой задана билинейная кососимметрическая форма , т.е. отображение из 0- * (т в мультипликативную группу некоторого поля Ср. , удовлетворяющее условиям ¿(р_+ ^ с) = с). с) ¿(а й)= / * Неассоциативную Сг -градуирован-

ную алгебру = Ф п называют цветной супералгеброй

Ли ( относительно формы ¿, ), если для любых-элементов ае 5 о е. [_ ^ выполняются соотношения:

Например, если ¿(^и)в / , то - обычная 0- -градуированная алгебра Ли над полем <р . Если 0- - ¿Г ^ ,

- (л) »где 0; лсо = < »

то мы приходим к определению супералгебры Ли. Подпространство (_ - Ф. г а является подалгеброй в I , а разложение

= , в котором L - © , задаёт

+ - 3

% -градуировгу на (_ .

Здесь £± - £ 2 в 5- \ ¿С^)и £ - (?+ и <?_ .

Однородные элементы из ¡_4 называют чётными, а из L_ - нечётными. Для цветных супералгебр Ли стандартным

способом определяются свободные объекты с множеством X = _(/ )( однородных в 0- -градуировке свободных образующих. Товдеством супералгебры L - Ф называется соотношение вида = х О = О , в котором , с ~ ^,.. п »а/ - элемент свободной цветной супералгебры Ли, обращающийся в ноль при любой подстановке Х^ ь-э в п . Как обычно, многообразием цветных супералгебр Ли называется класс супер алгебр, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождеств.

В первой главе диссертации изучаются условия максимальности и минимальности в цветных супералгебрах Ли. Получедае достаточных условий нётеровости в терминах тождественных соотношений является важным промежуточным этапом при описании локально предетавишх и локально финитно аппроксимируемых многообразий ( говорят, что некоторое свойство выполняется в многообразии локально, если этим свойством обладают все конечно порождённые алгебры указанного многообразия ). В то же время, результаты первой главы представляют самостоятельный интерес. Например, один из основных результатов главы - теорема 1.2 - даёт полное описание локально нётеровых и локально хопфовых многообразий алгебр Ли в случае бесконечного поля, что даёт решение проблемы 2.15 из "Днестровской тетради". С другой проблемой из упомянутого сборника связана теорема 1.4. А.Л. Шмелькиным был поставлен вопрос о существовании бесконечномерных алгебр Ли с условием максимальности для подалгебр и аппроксимируемых нильпотентными алгебрами. В общем случае такие примеры существуют, однако в классе £>РГ любая алгебра Ли с условием обрыва возрастающих

цщючвкподаягвбр конечномерна ( при нулевой характеристике | поля ), как следует из теоремы 1.4. Результат этот переносится и на произвольные цветные супералгебры Ли.

В работе Б.А. Бахтурина'^ изучалось условие инимальности дхя идеалов в некоторых специальных алгебрах №. Теорема 1.5 показывает, что всякая артинова алгебра Ли нулевой характеристики с конечным числом порождающих конечномерна. В общем случае ото неверно, контрпримером может служить любая конечно порождённая простая алгебра бесконечной размерности.

Во второй главе изучаются достаточные в терминах тождеств условия финитной аппроксимируемости. В теореме 2.1 приведён достаточно широкий класс тождеств цветной супералгебры Ли, влевущих её финитную аппроксимируемость. Фактически эта теорема даёт решение проблемы 2.16 из "Днестровской тегради" для , алгебр Ли над бесконечным полем, поскольку именно получение достаточных условий оказалось наиболее сложной задачей при

с

описании локально финитно аппроксимируемых многообразий. Однако завершить это описание удобнее в следующей главе, поскольку эти многообразия являются одновременно и локально представшими. В заключительной части главы изучается более сильное условие - финитная отделимость. Над полями с бесконечным числом элементов ни одно многообразие алгебр Ли, кроме нильпотент-ных, не может состоять только из финитно отделимых алгебр, как . доказал Ю.А. Бахтурин8^ ещё в 1979 г. Однако значительный интерес представляют случаи, когда финитной отделимостью

• 7

Бахтурин В.А. Артиновы специальные алгебры Ли. - В сб.: Алгебра. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - С. 24-26.

^ЬЛ^ил^л Уи.<4. Ой- ^У^Ю^у&АГЧЛ о4 -&А о£у>А<*//

О.^жЛ« М&И, 197-9-V. 10, 2- Р. 415-422 ,

обладают относительно свободные алгебры. Ранее финитная отделимость была доказана только для абсолютно свободных и сво-

8 9}

бодных метабелевых алгебр Ли'. С другой стороны, С.А. Ага-лаков* ^ и Бахтурин®^ показали, что этим свойством не обладают свободные разрешимые ступени алгебры Ли, а

также свободные алгебры многообразия . Поэтому довольно

неожиданным оказалось существование широкого класса многообразий, свободные алгебра которых финитно отделимы. Теорема 2.2 и теорема 3.8 из главы 3 показывает, что этим качеством обладают все локально представимые многообразия алгебр Ли над полем нулевой характеристики.

Описание локально представимых и локально финитно аппроксимируемых многообразий алгебр Ли над любым бесконечным полем, полученное в третьей главе, является одним из основных результатов диссертации. Выполнение в алгебре таких условий как финитная аппроксимируемость или матричная представимость оказывает существенное влияние на её строение и свойства. Например, финитная аппроксимируемость играет важную роль при решении алгоритмических проблем, а матричная представимость позволяет сводить решение многих задач в бесконечномерной алгебре к аналогичным задачам в алгебрах конечной размерности. Поэтому актуальным было отыскание как можно более вирокого класса киевских тождеств, гарантирующих указанные свойства.

Аналогичные вопросы привлекали внимание и при исследовании

^ Умирбаев У.У. Об аппроксимации свободных алгебр Ли относи-

«

тельно вхождения //Учён, записки Тартуского ун-та.- 1990.-Т.878.- С. 147 - 152.

^Агалаков С.А. О финитной отделимости групп и алгебр Ли //Алгебра. и логика.- 1993.- Т.22,Р4.- С. 363-371.

других алгебраических систем**'*^. Так, для многообразий ассоциативных алгебр над бесконечным полем все четыре условия конечности - представимость, финитная аппроксимируемость, нёте-ровость и хопфовость - оказались эквивалентными*^' Связь между представимостью и финитной аппроксимируемостью ассоциативных алгебр была отмечена ещё А.И. Мальцевым^ ^ в 1943 г. Позже аналогичная зависимость была установлена C.B. Пчелинцевым для алгебр произвольной сигнатуры^ \ Несмогря на значительный интерес к этим проблемам, финитную аппроксимируемость в лиевском случае удалось доказать лишь дня мета-белевых алгебр в случае нулевой характеристики и для почти абелевых алгебр при положительной характеристике основного поля*^, В диссертации получена полная классификация локально финитно аппроксимируемых и локально представимых многообразий алгебр Ли над бесконечным полем.

^Ананьин А.З. Локалью^финитно аппроксимируемое и локально представимые многообразия алгебр // Алгебра и логика.- 1977.-Т.16.И- а 3 - 23.

^Пчелинцев C.B. Локально нётеровы и локально представимые многообразия альтернативных алгебр//Сиб.мат.журн.-1989.-Т.ЗО, Щ.- С.134 - 144.

^ЛЬвов И.В. Услоаш шксимальности в алгебрах с тождественными

соотношениями //Алгебра и логика.-1969.-Т.8, №4.- С.449 - 459. 14

Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр //Алгебра и логика.-1976.-Т. 15,Ж,- С.579 - 584.

Мальцев А.И. О представлении бесконечных алгебр //Матем.сб. -I943.-T.I3.IF2-3.- С.263-286.

^Бахтурин D.A. Об аппроксимации алгебр Ли //Матем.заметки.-1972.-Т.12,вып.6.-.C.7I3 - 716.

Теорема 3.7. Пусть V многообразие алгебр Ли над бесконечным полем положительной характеристики. Тогда для него эквивалентны условия:

1) в Л/ выполняется тождество вида

2) V локально представимо,

3) V" локально финитно аппроксимируемо,

4) V" локально нётерово,

5) V" локально хопфово.

В случае нулевой характеристики основного поля подобный результат удалось получить в более широком классе алгебр.

Теорема 3.8. Для многообразия супералгебр Ли над полем {гулевой характеристики эквивалентны условия:

1) V локально представимо,

2) V локально финитно аппроксимируемо,

3) в V выполняется система из трёх тождеств

в которой г~ 4г2, а переменные при разных значениях г отличаются чётностью ( при с~ 1 • - ? € при г-2 ■ ^¿.^х^е^ при ¿=3, ), и кроме того, в любой конечно порождённой супералгебре = из V выполняется тождество

Для цветных супералгебр Ли полнен ряд достаточных условий представимости.

В теории многообразий алгебраических систем важную роль играют экстремальные по отношению к какому-либо свойству многообразия. ■ Полученные в главе 3 результаты позволяют получить полное описание почти локально представимых многообразий алгебр Ли (Т.е. минимальных не локально представимых ),

которое приведено в теореме 3.9.

В четвёртой главе изучается базисный ранг специальных многообразий и их произведений над полем нулевой характеристики. Проблема конечности базисного ранга специального многообразия тесно связана с другими актуальными задачами. Известно, например, что лпбое $>Р Г-многообразие конечного базисного ранга лежит в многообразии, порождённом матричной алгеброй некоторого порядка. Открытым является вопрос о том, будет ли само такое многообразие порождаться конечномерной алгеброй. В случае положительного ответа на этот вопрос будет положительно решена проблема матричной представимости любой относительно свободной алгебры из специального многообразия конечного базисного ранга. Для ассоциативных алгебр подобные проблемы уже решены, и заметцую роль в вопросе о конечности базисного ранга играет стандартное тождество. Из ассоциативного стандартного тождества следуют все тождества Капелли некоторого порядка, поэтому стандартное тождество равносильно конечности базисного ранга. В диссертации показано, что дня специальных многообразий алгебр Ли положение аналогично только в разрешимом случае, а в общем случае лиевское стандартное тождество не влечёт всех тождеств Капелли.

Известно, что любое специальное многообразие алгебр Ли можно задать с помощью грассмановой ободочки £СО конечно порождённой супералгебры С помощью

этого соответствия можно сформулировать следущий критерий конечности базисного ранга.

Теорема 4.1. Цусть V- ^сЛ - специальное многообра-

зие алгебр Ли, где !_ = - конечно порождённая супер-

^Вайс А.Я. О специальных многообразиях алгебр Ли //Алгебра и логика.- 1988.-Т.28,1Р1.- С.29 - 40.

алгебра Ли. Тогда базисный ранг V" конечен в том и только в том случае, если многообразие супералгебр Ли чоХ (_ не содержит конечномерных простых супералгебр И = НоФ Н | , с ненулевой компонентой И < и удовлетворяет тождеству вида •

для нечётной переменной X Один из основных результатов 4-й главы - описание минимальных многообразий -алгебр Ли бесконечного базисного ранга. Первый пример такого многообразия был построен И.Б. Воличенко*®\ который поставил вопрос о существовании других примеров. Появление второго примера оказалось возможным благодаря развитии теории супералгебр Ли и использованию конструкции грассмановой оболочки.

Теорема 4.2. Единственными специальными многообразиями алгебр Ли почти конечного базисного ранга над полем рулевой характеристики являются многообразие Воличенко и

0,2)) 3 .

В диссертации исследуется поведение базисного ранга при перемножении многообразий алгебр Ли. Ранее Ю.А. Бахтурин детально исследовал вопрос о базисном ранге произведения У, .., » в котором каждый сомножитель является

нильпотентным многообразием^. В работе рассмотрен случай, когда V* - многообразие, порождённое неабелевой конечномерной алгеброй Ли (_ .Основным результатом в данном направлении является теорема 4.3, согласно которой базисный ранг

^%оличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами.II //Вести АН Б0СР.-1980.-№2.-С. 22 - 29.

19 вДАил;* У*. О* ЧлАй&иЛ /ггж

^■¿¡ки^ аЛ^гАа^ //X -19Р9-

Ч. 20,л/; 2. - Р. 32~5 2.

произведения , / , конечен тогда и только тог-

да, когда тождества I. совпадают с тождествами любого члена I СО

1_ ее произвольного ряда. Тематика заключительной главы также связана с произведениями многообразий. Известно, что над бесконечным полем совокупность многообразий алгебр № с операцией умможения образует свободную полугруппу. Описание порождающих этой полугруппы представляет определённый интерес. В своё время была ввдвицута гипотеза, что коммутатор 1У-1V ^ двух многообразий алгебр Ли, не имеющих общего сомножителя, неразложим в произведение. В работе приведён ряд достаточных условий ( теоремы 5.1 и 5.2 ), при которых коммутатор С&(,У] неразложим в произведение. В общем случае, как показывает пример, построенный в теореме 5.3, это неверно даже при специальных ^ и V .

Работы автора по теме диссертации

1. О многообразиях алгебр Ли//Матем.сб.- 1978.- Т.106,№4,- С. 499 - 506.

2. О шрейеровости многообразий алгебр Ли//Матем.эаметки.- 1980 Т.28,вып.I.- С.119 - 126.

3. О разложимости в произведение коммутаторов многообразий алгебр Ли и групп//Матем.сб,- 1981.- Т.И6,!РЗ.- С.315 - 330.

4. Локально финитно аппроксимируемые многообразия алгебр Ли// Матем.заметки.- 1988.- Т.44,вып.3,- С.352 - 361.

5. йшитная аппроксимируемость и нётеровость конечно пороаданных алгебр Ли//Матем.сб.- 1988,- ТЛ36,Н°-4.- С,500 - 509.

6. Матричные представления бесконечномерных алгебр Ли//УМН.-1989.- Т.44.И,- С. 199 - 200.

7. Локально представимые многообразия алгебр Ли//Матем.сб.-1989.- Т.180,ТО.- С.798 - 808. ■

8. Локально хопфовы многообразия алгебр Ли//Матем.заметки.-1989.- Т.45,вып.б.- С.56 - 60.

9. Почти локально представимые многообразия алгебр Ли//Матем. заметки.- 1992.- Т.51,вып.З.- С.9 - 15.

10. О влояимости относительно свободных алгебр Ли//УМН.- 1992.-Т.47.Р4,- С. 191 - 192.

11. Локально представимые многообразия супералгебр Ли//Матем. заметки.- 1992.- Т.52,вып.5.-'С.ЗЗ - 41.

12. Стандартное тождество в специальных многообразиях алгебр Ли//Вестник МГУ.Матем.,механ.- 1993,- ГР1.- С.56 - 59.

13. О финитной отделимости относительно свободных алгебр Ли// Изв.вузов.Матем.- 1992.- ЩО.- С.16 - 21.

14. Базисный ранг многообразий алгебр Ли//Матем. сб.- 1993.-Т.184,№ .- С.

15. Специальные алгебры Ли (обзор)//УМН.- 1993.- Т.48,Р .С.

16. Финитная аппроксимируемость, представимость, хопфовость и нётеровость конечно порожденных алгебр Ли.- В кн. "XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Львов,9-11 сент.1987 г. Тезисы сообщений. 4.1.".- Львов, 1987.- С.103.

17. Финитная аппроксимируемость разрешимых супералгебр Ли.- В кн. "Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей",- Новосибирск, 1989.-С.52.

18. О финитной отделимости относительно свободных алгебр,Ли,-В кн."Международная конференция по алгебре памяти А.И.Шр-

шова. Барнаул, 20 - 25 авг.1991 г. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей",- Новосибирск, 1991,- С.43.

19. ^¡иХсЛ ълЛ ш^уил^^ ея+и&бе'г

V. {3, аАЗ.- Р. 263 - %€9\ го. нмЛыА.л.,

ЛЬи> У^к , сЬ- ЪГШ^Л , № 2 ■

21. ЪМ^Ь.А.М***^- Олйсй:^ ¿«¿ЬиОЛ ^

оу&М. Ь^^^&м

- Р- ' .

7