Параболические подалгебры супералгебр Ли классического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правахрукописи

Иванова Наталия Игоревна

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ КЛАССИЧЕСКОГО ТИПА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова.

Научный

руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Онищик Аркадий Львович

Официальные

оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Горбацевич Владимир Витальевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Серов Анатолий Александрович

Ведущая

организация Московский государственный университет,

механико-математический факультет

Защита состоится «15» октября 2004 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета К 212.002.06 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан « » 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Яблокова СИ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятия параболической подгруппы и параболической подалгебры играют большую роль в современной теории комплексных и вещественных групп и алгебр Ли. Эти понятия допускают целый ряд эквивалентных определений. Оставляя в стороне вещественный случай, отметим, что параболической подалгеброй комплексной алгебры Ли g обычно называют любую подалгебру р С 0, содержащую некоторую борелевскую (т.е. максимальную разрешимую) подалгебру алгебры д. В частности, р должна содержать радикал алгебры д, что сразу сводит общую задачу описания параболических подалгебр к случаю, когда g полупроста. В полупростом же случае параболические подалгебры легко описываются в терминах систем корней (см. [1]). Соответствующие им параболические подгруппы полупростой комплексной группы Ли О можно охарактеризовать как стабилизаторы точек при транзитивных голоморфных действиях группы О на проективных алгебраических многообразиях. В частности, параболические подгруппы классических комплексных линейных групп — это стабилизаторы флагов в соответствующем векторном пространстве (или флагов, изотропных относительно инвариантной билинейной формы, заданной в этом пространстве). Следует также отметить тесную связь, существующую между параболическими подалгебрами и Z-градуировками полупростой алгебры Ли — и те, и другие находятся в соответствии с подсистемами системы простых корней этой алгебры [19].

В настоящей работе рассматриваются только конечномерные комплексные супералгебры Ли. Изучение их параболических подалгебр было начато в 80-х годах прошлого века в работах Ю.И. Ма-нина, Л.А. Воронова и И.Б. Иенкова (см. [3, 15], а также [11]). В [3, 15] рассматривался случай, когда супералгебра g является классической простой в смысле В.Г. Каца [14] (простой супералгеброй Ли с редуктивной четной частью), причем из рассмотрения исключались супералгебры Ли типов Р и А(п, п). В подражание четному случаю подалгебра р С g называлась параболической, если р содержит бо-релевскую подалгебру супералгебры Ли д, а последняя определялась в терминах системы простых корней супералгебры Ли д, введенной в [13]. Было установлено соответствие между параболическими подалгебрами и подсистемами этих систем простых корней, аналогичное известному в четном случае. Там же было дано специальное

определение борелевских и параболических подалгебр для простых супералгебр Ли типа 0 и эти подалгебры были описаны в терминах систем корней. Для классических линейных комплексных супералгебр Ли (не типов Р и Л(п, п)) было доказано, что их параболические подалгебры — это то же, что стабилизаторы флагов (изотропных флагов для супералгебр Ли типов В,С и Б или П-симметричных флагов для супералгебр Ли типа в соответствующем векторном суперпространстве. Из сказанного видно, что в указанных работах отсутствует общий подход к понятию параболической подалгебры, охватывающий все классические простые супералгебры Ли (для супералгебр Ли типов Р и 0 система простых корней в смысле [13] не существует), а параболические подалгебры в супералгебрах Ли типов Р и А(п,п) вообще остались неизученными.

Мы исходим из другого определения параболической подалгебры супералгебры Ли которое является очень общим и кажется нам более естественным. Оно опирается на понятие /-градуировки. А именно с каждой /-градуировкой д = связана подалгебра

р = ©(¡>0 0*! супералгебры Ли д. Такие подалгебры и называются параболическими. Оказывается, что для простых супералгебр Ли, рассмотренных в работах [3, 15], наше определение эквивалентно определению параболических подалгебр, принятому в этих работах. Заметим, что Z-градуировки простых комплексных супералгебр Ли были описаны В.Г. Кацем в [14], но связь этих результатов с параболическими подалгебрами в [3, 15] не обсуждается.

Цель работы. Разработка теории параболических подалгебр комплексных супералгебр Ли классического типа, основанной на понятии градуировки; описание параболических подалгебр для всех классических простых и близких к ним комплексных супералгебр Ли; интерпретация параболических подалгебр классических комплексных линейных супералгебр Ли в качестве стабилизаторов флагов.

Методы исследования. В работе используются методы теории алгебр и супералгебр Ли, теории алгебраических групп и теории представлений.

Научная новизна. Основные новые результаты диссертации заключаются в следующем:

1) Даны новые определения параболической и борелевской подалгебр комплексной супералгебры Ли классического типа и доказано,

что для простых комплексных супералгебр Ли основного типа и типа О они эквивалентны определениям, предложенным в книге Ю.И. Манина [15] и работе [3].

2) Дано описание параболических подалгебр всех классических простых и близких к ним комплексных супералгебр Ли в терминах систем их неразложимых отрицательных корней. Доказано, что подалгебра такой супералгебры Ли является параболической тогда и только тогда, когда она содержит борелевскую подалгебру.

3) Рассмотрен класс супералгебр Ли классического типа с коммутативной нечетной частью, определяемый вполне приводимыми представлениями редуктивных алгебр Ли, описаны их градуировки и построены некоторые параболические подалгебры, являющиеся стабилизаторами точек при их естественных действиях на некоторых расщепимых комплексных супермногообразиях.

4) Доказано, что параболические подалгебры классических линейных супералгебр Ли типов Л и Р — это то же, что стабилизаторы флагов (соответственно изотропных флагов) в соответствующем векторном суперпространстве.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании супералгебр Ли, их подалгебр и действий на супермногообразиях. Они могут представить интерес для специалистов, работающих в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова, Тверском государственном университете, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на семинаре по супералгебрам Ли и супермногообразиям при кафедре алгебры и математической логики ЯрГУ-им. П. Г. Демидова, а также на Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Она изложена на 78 страницах. Библиография содержит 19 работ российских и зарубежных авторов. Нумерация теорем и лемм проведена отдельно для каждой главы.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах автора [5,6, 7, 8] (см. библиографию в конце автореферата).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор, подчеркивающий актуальность темы диссертационной работы, излагаются основные идеи и цели исследования, описываются новые результаты, полученные в диссертации, и приводится краткое содержание ее отдельных глав.

Глава 1 является вводной, в ней излагаются общие понятия, связанные с супералгебрами Ли и их градуировками. Описание градуировок супералгебры Ли g сводится к описанию максимальных торов в линейной алгебраической алгебре Ли ее четных дифференцирований. Вводятся понятия системы корней и весового разложения супералгебры Ли g относительно такого максимального тора. Наконец, дается основное для дальнейшего определение параболической подалгебры супералгебры Ли g и параболические подалгебры описываются в терминах максимального тора четных дифференцирований. В частности, каждый регулярный вещественный элемент максимального тора определяет параболическую подалгебру в д, которая называется борелевской. Доказывается, что любая параболическая подалгебра супералгебры Ли g содержит некоторую боре-левскую подалгебру, и ставится вопрос о справедливости обратного утверждения. Решению этого вопроса для классических простых супералгебр Ли посвящена значительная часть главы 3; там же показано, что в общем случае, даже для супералгебр Ли классического типа, ответ на этот вопрос отрицателен (см. примеры 3.1 и 3.2).

Глава 2 начинается со следующего определения супералгебры Ли g классического типа, предложенного А.Л. Онищиком в [16]. Конечномерная комплексная супералгебра Ли g называется супералгеброй Ли классического типа, если четная часть является редуктивной алгеброй Ли, а ее присоединенное представление на нечетной части вполне приводимо. К таким супералгебрам относятся, в частности, классические простые супералгебры Ли в смысле В.Г. Каца [13]. Для супералгебры Ли классического типа g рассматривается ее традиционное (см. [13]) корневое разложение относительно подалгебры Картана X редуктивной алгебры Ли 05. Определяются ка-

меры Вейля, системы положительных и неразложимых положительных корней, группы Вейля, а также введенные в [17] (в более общей ситуации) "отражения", связанные с нечетными корнями. Затем рассматривается понятие системы простых корней, введенное для классических простых супералгебр Ли В.Г. Кацем [13], и обсуждается связь простых корней с неразложимыми положительными корнями, причем обобщаются некоторые вспомогательные результаты из [3, 15]. Доказывается также ряд лемм, посвященных максимальному тору в алгебраической линейной алгебре Ли содержащему подалгебру ad ^ и, в частности, вопросу о совпадении этих подалгебр. Опираясь на эти леммы, мы вычисляем максимальный тор в Е>йОо для всех классических простых (и близких к ним) супералгебр Ли д. Результат состоит в том, что adt либо совпадает с максимальным тором, либо является его подалгеброй коразмерности 1. Тем самым дается описание градуировок для этих супералгебр Ли, данное в случае простых супералгебр Ли (в несколько иных терминах и без подробных доказательств) в работе В.Г. Каца [14] (сводку результатов см. в приложении к [18]). В последнем параграфе этой главы рассматриваются супералгебры Ли g классического типа, для которых 01 является коммутативным идеалом. Такая супералгебра Ли есть полупрямая сумма 0 = f <£рУ, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли ^ = 0о в векторном пространстве V = 0!, операция на котором является нулевой. Для этих супералгебр Ли также вычисляются максимальный тор четных дифференцирований и соответствующая система корней.

Глава 3 содержит основные результаты диссертации, дающие описание параболических подалгебр во всех классических простых и близких к ним супералгебрах Ли. Она начинается с рассмотрения простых супералгебр Ли основного типа, параболические подалгебры в которых были изучены в [3, 15] с другой точки зрения. Здесь доказывается, что в этом случае определения борелевской и параболической подалгебры, данные в этих работах, эквивалентны нашим определениям. Затем подробно изучаются параболические подалгебры в супералгебрах Ли типа А, как простых, так и близких к ним. Затем исследуется случай супералгебр Ли типа Р, который является самым трудным ввиду экзотического характера систем корней. Здесь ключевую роль играет теорема б, утверждающая, что любая система неразложимых положительных корней супералгебры Ли Рп> п >2, состоит из п элементов. Ее доказательство основано на

отражениях в нечетных корнях, дающих возможность описать все такие системы. Далее рассматривается более простой случай супералгебр Ли типа Итоговый результат для классических простых супералгебр Ли g сформулирован в следующей теореме 3.10.

Теорема 3.10. Пусть Q — классическая простая супералгебра Ли и a — максимальный тор в 5егд0. Подалгебра р С 0 является параболической относительно а тогда и только тогда, когда она содержит подалгебру, борелевскую относительно а. Пусть Д = Д + и Д_ — разбиение системы корней Д относительно а на положительные и отрицательные корни, связанное с некоторым регулярным элементом иза(Ш), ипусть П_ С Д- — система неразложимых отрицательных корней. Тогда для любого подмножества ,/ С П_ формула

р(./) = 0ое ф 0« (1)

задает параболическую относительно о подалгебру в д, которая содержит борелевскую подалгебру

Ь = 00 © 0 0ат) (2)

отвечающую подсистеме +. Любая параболическая относительно a подалгебра в g имеет вид (1) для некоторой системы положительных корней Д+ и некоторого подмножества 3 С П_

Если 0 ф рз(2|2, то система корней Д и весовое разложение супералгебры Ли g относительно а совпадают с системой корней и соответствующим разложением относительно некоторой подалгебры КартанаК С 0о- Если 0 ф 5р„, то соответствие 3 р( 7) есть биек-ция между подмножествами множества П_ и подалгебрами супер -алгебры Ли Q, содержащими борелевскую подалгебру Ь, заданную формулой (2).

Через [I] здесь обозначается множество всех корней, пред ставимых в виде суммы корней из подмножества I. Из результатов главы 3 следует также, что теорема 10 остается верной и для супералгебр Ли классического типа, близких к простым. В конце главы рассматривается супералгебра Ли 0 = f <5-рУ, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли f = 0о

в векторном пространстве V — 0!. Указывается конструкция, позволяющая расширить любую параболическую подалгебру ро С Г до некоторой параболической подалгебры р С 0 с четной частью ро. Затем рассматривается случай, когда V — пространство голоморфных сечений однородного векторного расслоения Е^» на флаговом многообразии М = соответствующем паре (^ро), где <р —

вполне приводимое представление групцы Ро, ар — индуцированное представление алгебры Ли Г Тогда определено естественное действие супералгебры Ли g на расщепимом комплексном супермногообразии (Л/, соответствующем расслоению ЕЛ. Доказывается (см. теорему 3.13), что если все старшие веса представления

доминантны относительно борелевской подалгебры, противоположной борелевской подалгебре, которая содержится в ро, то это действие транзитивно, а параболическая подалгебра р является стабилизатором точки при этом действии.

Глава 4 посвящена интерпретации параболических подалгебр классических линейных супералгебр Ли в качестве стабилизаторов флагов. Связь между стабилизаторами флагов и параболическими подалгебрами полной линейной супералгебры Ли при нашем определении совершенно очевидна и отмечается уже в главе 1 (см. пример 1.4). Здесь эта связь уточняется. Доказывается, что параболические подалгебры полной линейной супералгебры Ли 01т|п, где т,п > 1и т + п> 4, содержащие центр этой супералгебры Ли (в случае т = п это условие выполнено автоматически) — это в точности стабилизаторы флагов в суперпространстве С"'" . В случае т ф п этот результат содержится в [3, 15]. Далее, параболические подалгебры супералгебры Ли р„, где и > 2, — это стабилизаторы флагов в суперпространстве , изотропных относительно соответствующей невырожденной нечетной билинейной формы. Остальные классические линейные супералгебры Ли мы здесь не рассматриваем, так как соответствующие результаты содержатся в [3, 15].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Онищику А.Л. за постоянное внимание и всестороннюю помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. VII, VIII. М.: Мир, 1978.

2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995.

3. Воронов А.А., Манин Ю.И. Суперклеточные разбиения суперпространств флагов //Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 27-70.

4. Иванова Н.И. Параболические подалгебры классических супералгебр Ли. Магистерская диссертация. ЯрГУ, 199б.

5. Иванова Н.И. О флаговых расщепимых супермногообразиях //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. 1998. Ярославль: ЯрГУ. С.115-128.

6. Иванова Н.И. О параболических подалгебрах супералгебр Ли классического типа //Совр. проблемы математики и информатики. Вып. 3. Ярославль: ЯрГУ, 2000. С. 1б-21.

7. Иванова Н.И. О параболических подалгебрах супералгебр Ли р(п) //Совр. проблемы математики и информатики. Вып. 4. Ярославль: ЯрГУ, 2001. С. 18-24.

8. Иванова Н.И. Параболические подалгебры супералгебр Ли классического типа //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. 2003. Ярославль: ЯрГУ. С. 118-151.

9. Онищик А.Л. Транзитивные супералгебры Ли векторных полей //Деп. в ВИНИТИ 2б.01.1987, б10-В.

10. Онищик А.Л., Платонова О.В. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным проективным пространствам. I. Мат. сб. 1998. Т. 189, 2. С. 111-13б.

11. Пенков И.Б. Теория Борйля — Вейля — Ботта для классических супергрупп Ли //Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 71-124.

12. Akhiezer D.N. Lie group actions in complex analysis. Braunschweig: Viehweg & Sohn, 1995.

13. Kac V.G. Lie superalgebras //Adv. Math. 1977. V. 2б. P. 8-9б.

14. Kac V.G. Graded Lie superalgebras and Jordan superalgebras //Commun. in Algebra. 1977. V. 5. P. 1375-1400.

15. Manin Yu.I. Topics in noncommutative geometry. Princeton: Princeton Univ. Press, 1991.

16. Onishchik A.L. Flag supermanifolds, their automorphisms and deformations //The Sophus Lie Memorial Conference. Oslo, 1992. Proceedings. Scand. Univ. Press. Oslo, 1994. P. 289-302.

17. Penkov I., Serganova V. Generic irreducible representations of finite-dimensional Lie superalgebras //Intern. J. Math. 1994. V. 5. P. 389-419.

18. Penkov I. Characters of strongly generic irreducible Lie superalgebra representations //Intern. J. Math. 1998. V. 9. P. 331-366.

19. Yamaguchi K. Differential systems associated with simple graded Lie algebras //Progress in Differential Geometry. Adv. Studies in Pure Math. V. 22. Tokyo: Math. Soc. Japan, 1993. P. 413-494.

»163 0 1

Лицензия ПД 00661. Формат 60x84 1/16. Печл. 1,0. Заказ 1452. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-65-63.

Введение

Гл. 1. Градуированные супералгебры Ли и параболические подалгебры

§1. Предварительные сведения

§2. Градуировки и дифференцирования супералгебр Ли

§3. Параболические подалгебры

Гл. 2. Системы корней и градуировки супералгебр Ли классического типа

§1. Супералгебры Ли классического типа и их системы корней

§2. Леммы о максимальном торе четных дифференцирований

§3. Вычисление максимального тора: случаи супералгебр Ли основного типа и типа А

§4. Вычисление максимального тора: супералгебры Ли типов Р и Q

§5. Супералгебры Ли, определенные линейными представлениями редук-тивных алгебр Ли

Гл. 3. Параболические подалгебры классических простых супералгебр Ли

§1. Случай супералгебр Ли основного типа

§2. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа А

§3. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа Р

§4. Параболические подалгебры супералгебр Ли типа Q

§5. Параболические подалгебры супералгебр Ли с коммутативной нечетной частью

Гл. 4. Параболические подалгебры как стабилизаторы флагов

§1. Случай полной линейной супералгебры Ли

§2. Случай супералгебры Ли рп

Понятия параболической подгруппы и параболической подалгебры играют большую роль в современной теории комплексных и вещественных групп и алгебр Ли. Эти понятия допускают целый ряд эквивалентных определений. Оставляя в стороне вещественный случай, отметим, что параболической подалгеброй комплексной алгебры Ли g обычно называют любую подалгебру р С 0, содержащую некоторую борелевскую (т.е. максимальную разрешимую) подалгебру алгебры д. В частности, р должна содержать радикал алгебры 0, что сразу сводит общую задачу описания параболических подалгебр к случаю, когда g полупроста. В полупростом же случае параболические подалгебры легко описываются в терминах систем корней (см. [1]). Соответствующие им параболические подгруппы полупростой комплексной группы Ли G можно охарактеризовать как стабилизаторы точек при транзитивных голоморфных действиях группы G на проективных алгебраических многообразиях. В частности, параболические подгруппы классических комплексных линейных групп — это стабилизаторы флагов в соответствующем векторном пространстве (или флагов, изотропных относительно инвариантной билинейной формы, заданной в этом пространстве). Следует также отметить тесную связь, существующую между параболическими подалгебрами и Z-градуировками полупростой алгебры Ли — и те, и другие находятся в соответствии с подсистемами системы простых корней этой алгебры [19].

В настоящей работе рассматриваются только конечномерные комплексные супералгебры Ли. Изучение их параболических подалгебр было начато в 80-х годах прошлого века в работах Ю.И. Манина, А.А. Воронова и И.Б. Пенкова (см. [3, 15], а также [11]). В [3, 15] рассматривался случай, когда супералгебра 0 является классической простой в смысле В.Г. Каца [13] (простой супералгеброй Ли с редуктивной четной частью), причем из рассмотрения исключались супералгебры Ли типов Р и А(п, п). В подражание четному случаю подалгебра р С 0 называлась параболической, если р содержит борелевскую подалгебру супералгебры Ли д, а последняя определялась в терминах системы простых корней супералгебры Ли д, введенной в [13]. Было установлено соответствие между параболическими подалгебрами и подсистемами этих систем простых корней, аналогичное известному в четном случае. Там же было дано специальное определение борелевских и параболических подалгебр для простых супералгебр Ли типа Q и эти подалгебры были описаны в терминах систем корней. Для классических линейных комплексных супералгебр Ли (не типов Р(п) и А(п, п)) было доказано, что их параболические подалгебры — это то же, что стабилизаторы флагов (изотропных флагов для супералгебр Ли типов В, С и D или П-симметричных флагов для супералгебр Ли типа Q) в соответствующем векторном суперпространстве.

Здесь мы исходим из другого определения параболической подалгебры супералгебры Ли 0, которое является очень общим и кажется нам более естественным. Оно опирается на понятие Z-градуировки. А именно с каждой Ъ-градуировкой g = (jD^ez 9fe связана подалгебра р = супералгебры

Ли Такие подалгебры и называются параболическими. Доказывается, что для простых супералгебр Ли, рассмотренных в работах [3, 15], наше определение эквивалентно определению параболических подалгебр, принятому в этих работах. Мы передоказываем результаты о классификации параболических подалгебр, полученные в [3, 15], а затем получаем аналогичную классификацию параболических подалгебр в супералгебрах Ли типов Р и А(п,п), которые в этих работах не рассматривались (некоторую информацию о боре-левских подалгебрах в супералгебрах Ли типа Р можно найти в [11]). Такая классификация проводится также для классических супералгебр Ли, близких к простым, например, для полных линейных супералгебр Ли. Заметим, что Z-градуировки простых комплексных супералгебр Ли были описаны В.Г. Кацем в [14], но связь этих результатов с параболическими подалгебрами в [3, 15] не обсуждается.

Часть результатов общего характера получена в более общей ситуации, когда g — так называемая супералгебра Ли классического типа, т.е. когда ее четная часть дд является редуктивной алгеброй Ли, а ее присоединенное представление на нечетной части gj вполне приводимо. Для этого класса супералгебр Ли предлагаемое нами определение параболической подалгебры кажется естественным (хотя, быть может, слишком широким, как показывают пример 1.5 и теорема 3.3). Кроме классических простых и близких к ним супералгебр Ли, мы рассматриваем супералгебры Ли g классического типа, для которых gj является коммутативным идеалом. Такая супералгебра Ли есть полупрямая сумма g = f Q-pV, определяемая вполне приводимым представлением р редуктивной алгебры Ли f = gg в векторном пространстве V = gj, операция на котором является нулевой. Мы интерпретируем некоторые параболические подалгебры этих супералгебр Ли как стабилизаторы точек при транзитивных действиях на расщепимых комплексных супермногообразиях, редукцией которых служат флаговые многообразия соответствующей редуктивной группы F.

Связь между стабилизаторами флагов и параболическими подалгебрами полной линейной супералгебры Ли при нашем определении совершенно очевидна (см. пример 1.4). Более подробно мы рассматриваем ее в гл. 4, где установлена также связь между параболическими подалгебрами супералгебр Ли типа Р и флагами, изотропными относительно инвариантной нечетной билинейной формы.

Заметим также, что понятие супералгебры Ли классического типа было введено А.Л. Оншциком в [16], где содержится также идея определения параболических подалгебр в такой супералгебре Ли в терминах градуировок, определяемых элементами подалгебры Картана ее четной части. Там же было анонсировано описание соответствующих параболических подалгебр в классических линейных супералгебрах Ли в терминах флагов (развитие этой темы было дано в [4]). Но в общем случае (даже для простых супералгебр Ли) это определение является более узким, чем определение, рассматриваемое в настоящей работе, в котором допускаются градуировки, порожденные внешними дифференцированиями. В работах автора [5, 6] содержатся результаты, касающиеся классификации таких параболических подалгебр в супералгебрах Ли, связанных с неприводимыми линейными представлениями полупростых групп Ли; в настоящую диссертацию эти результаты не включены.

Диссертация состоит из четырех глав. Перейдем к обзору их содержания.

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. V1., VIII. М.: Мир, 1978.

2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995.

3. Воронов А.А., Малин Ю.И. Суперклеточные разбиения суперпространств флагов // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 27-70.

4. Иванова Н.И. Параболические подалгебры классических супералгебр Ли. Магистерская диссертация. ЯрГУ, 1996.

5. Иванова Н.И. О флаговых расщепимых супермногообразиях //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. 1998. Ярославль: ЯрГУ. С. 115-128.

6. Иванова Н.И. О параболических подалгебрах супералгебр Ли классического типа //Совр. проблемы математики и информатики. Вып. 3. Ярославль: ЯрГУ, 2000. С. 16-21.

7. Иванова Н.И. О параболических подалгебрах супералгебр Ли р(п) //Совр. проблемы математики и информатики. Вып. 4. Ярославль: ЯрГУ, 2001. С. 18-24.

8. Иванова Н.И. Параболические подалгебры супералгебр Ли классического типа //Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. 2003. Ярославль: ЯрГУ. С. 118-151.

9. Онищик А.Л. Транзитивные супералгебры Ли векторных полей //Деп. в ВИНИТИ 26.01.1987, 610-В.

10. Онищик А.Л., Платонова О.В. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным проективным пространством. I. Мат. сб. 1998. Т. 189, 2. С. 111-136.

11. Пенков И.Б. Теория Бореля — Вейля — Ботта для классических супергрупп Ли //Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 71-124.

12. Akhiezer D.N. Lie group actions in complex analysis. Braunschweig: Viehweg к Sohn, 1995.

13. Kac V.G. Lie superalgebras //Adv. Math. 1977. V. 26. P. 8-96.

14. Kac V.G. Graded Lie superalgebras and Jordan superalgebras //Commun. in Algebra. 1977. V. 5. P. 1375-1400.

15. Manin Yu.I. Topics in noncommutative geometry. Princeton: Princeton Univ. Press, 1991.

16. Onishchik A.L. Flag supermanifolds, their automorphisms and deformations //The Sophus Lie Memorial Conference. Oslo, 1992. Proceedings. Scand. Univ. Press. Oslo, 1994. P. 289-302.

17. Penkov I., Serganova V. Generic irreducible representations of finite-dimensional Lie superalgebras //Intern. J. Math. 1994. V. 5. P. 389-419.

18. Penkov I. Characters of strongly generic irreducible Lie superalgebra representations //Intern. J. Math. 1998. V. 9. P. 331-366.

19. Yamaguchi К. Differential systems associated with simple graded Lie algebras //Progress in Differential Geometry. Adv. Studies in Pure Math. V. 22. Tokyo: Math. Soc. Japan, 1993. P. 413-494.