Градуированные пары редуктивных комплексных супералгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Сударкин Андрей Вадимович

ГРАДУИРОВАННЫЕ ПАРЫ

РЕДУКТИВНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ

Специальность 01 01 06 - математическая логика,

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03446 110 18 СЕН 2008

Ярославль - 2008

003446119

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им П Г Демидова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Онищик Аркадий Львович

Официальные

доктор физико-математических наук Кочетков Юрий Юрьевич

оппоненты

кандидат физико-математических наук, доцент Башкин Михаил Анатольевич

Ведущая организация

Московский государственный университет, механико-математический факультет

Защита состоится 10 октября 2008 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212 02 03 при Ярославском государственном университете им П Г Демидова по адресу 150008, г Ярославль, ул Союзная, 144

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ярославского государственного университета им П Г Демидова

Автореферат разослан "_"_ 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

Яблокова С И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие алгебры Ли, градуированной некоторой неразложимой системой корней, было введено в работе [3] В работе [7] была дана классификация всех градуировок простых комплексных алгебр Ли системами корней их простых подалгебр, основанная на связи, существующей между такими градуировками и параболическими подалгебрами объемлющей алгебры Ли В этой работе отмечена также связь, существующая между градуировками системами корней и парами Хау (или дуальными парами) редуктив-ных подалгебр простой алгебры Ли, классификация которых была дана в [8] В ряде работ, появившихся в последнее время (см , например, [2,1]), понятие алгебры Ли, градуированной системой корней, было обобщено на случай супералгебр Ли В них получено некоторое общее описание произвольных, не обязательно конечномерных, комплексных супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр В то же время естественным обобщением результата работы [7] была бы классификация классических простых комплексных супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр

Цель работы. Исследование градуировок классических простых комплексных супералгебр Ли системами корней их классических простых подалгебр и их связей с параболическими подалгебрами

Методы исследования. Сведение изучения градуировок редук-тивных комплексных супералгебр Ли к изучению градуировок их четных частей и связи между системами корней супералгебры Ли и градуирующей подалгебры

Научная новизна Основные научные результаты диссертации состоят в следующем

1 Изучены общие свойства градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли системами корней ее редуктивных подалгебр Установлена связь этих градуировок с ^-градуировками четной

части супералгебры Ли, позволяющая свести задачу их классификации к аналогичной задаче для полупростых комплексных алгебр Ли

2 Дана классификация градуировок простых комплексных супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр

3 Установлена связь изучаемых градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли с параболическими подалгебрами этой супералгебры Описаны параболические подалгебры простых супералгебр Ли серии А, связанные с их градуировками системами корней классических простых подалгебр

Все перечисленные результаты являются новыми

Теоретическое и практическое значение Развитые в работе методы могут быть использованы для классификации градуировок других классических простых комплексных супералгебр Ли, а также применены к задаче классификации пар Хау их редуктивных подалгебр

Апробация результатов. Результаты были доложены на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А Г Куроша (Москва, май 2008 г), а также на семинаре проф Михора в Венском университете (Австрия, апрель 2008 г)

Объем и структура работы Диссертация состоит из введения и четырех глав, ее объем составляет 60 страниц Библиография включает 14 наименований

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [9,10,11] (см список в конце автореферата), причем работа [9] опубликована в журнале, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК РФ

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор, подчеркивается актуальность темы диссертационной работы, излагаются основные идеи и цели исследования, описываются новые результаты, полученные в диссертации, и приводится краткое содержание ее отдельных глав

Первая глава работы начинается с основных определений В §1 определяются редуктивныс комплексные супералгебры Ли Это понятие, введенное в [5], естественно обобщает классическое понятие редуктивной комплексной алгебры Ли А именно, комплексная супералгебра Ли д = 0о©0! называется редуктивной, если алгебра Ли 0о редуктивна и ее присоединенное представление ас! в д является алгебраическим (т е это дифференциал некоторого алгебраического представления соответствующей редуктивной алгебраической группы) Простая конечномерная комплексная супералгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда она является классической в смысле В Г Каца [6]) Если д — редуктивная комплексная сулералгебра Ли и С до — подалгебра Картана ее четной части, то определено весовое разложение относительно ас!!}

аед

где Д С I)* — множество ненулевых весов, называемых корнями В §2 вводится основное для дальнейшего понятие комплексной супералгебры Ли д, градуированной системой корней ее редуктивной подалгебры д (в этом случае говорят также, что пара (д, д) является градуированной), и устанавливаются некоторые простейшие свойства, связанные с этим понятием В случае, когда д также редуктивна и в четных частях обеих сулералгебр Ли выбраны лодалгеб-

о

ры Картана I) Э 1)1 определено естественное отображение огранкой о

чения 7Г [)* —* Пусть Д и Д — соответствующие системы кор-

о

ней супералгебр Ли д и д Если пара является градуированной, то

о

7г(Ди{0}) = Ди{0}, а в случае, когда д проста, верно и обратное С

каждой градуированной парой редуктивных супералгебр Ли связывается 2г-градуировка gg = иф о редуктивной алгебры Ли gg, где и — редуктивная подалгебра максимального ранга, соответствующая подсистеме четных корней в Д, которые переходят при отображении 7Г в четные корни подалгебры или в 0, а с — подпространство, соответствующее четным корням из Д, переходящим в нечетные корни подалгебры, не являющиеся четными При этом коммутанты алгебр Ли и и gg) составляют градуированную пару полупростых алгебр Ли Тем самым градуированные пары редуктивных супералгебр Ли разбиваются на два типа пары первого типа, для которых u = gg, и пары второго типа, для которых и ф gg Эта конструкция позволяет в какой-то мере свести классификацию градуированных пар к хорошо известной классификации Z2-rpaflynpoBOK редуктивных алгебр Ли и к классификации градуированных пар полупростых алгебр Ли В §3 объясняется, каким образом последняя классификация сводится к классификации градуированных пар простых алгебр Ли, и излагаются используемые в дальнейшем результаты этой классификации

Вторая и третья главы посвящены классификации градуированных пар (д, д), где д — простая комплексная супералгебра Ли серии A, a g — ее классическая простая подалгебра При этом используется метод, описанный в главе 1 Супералгебра Ли серии А имеет вид g = sl(m,n), где 1 < т < п, п > 2 или g = pst(n,n) = sl{n, п}/(Е2„), п> 2 Коммутант а алгебры Ли gg изоморфен, соответственно, s((m) ©si(n) или s[(n) ®s((n)

Во второй главе изучаются iрадуированные пары (g,g) первого типа С каждой такой парой связана градуированная пару полупростых алгебр Ли (а, а), где а = |gg, gg] При этом подалгебра а либо является прямой суммой двух простых идеалов (этот случай рассматривается в §2 1), либо проста (см §2 2), а простые слагаемые должны градуировать простые идеалы алгебры Ли а и потому изоморфны sl(k) или sp(tc) (см [7]) Известная классификация простых супералгебр Ли (см [6]) приводит нас к списку всех возможно-

0 о.

стей для супералгебры Ли д, а градуированная пара (а, а) позволяет

о*

описать соответствующее отображение ограничения 7г f)* -+f) Ис-

пользуя системы корней, мы получаем отсюда информацию о вло-

о

жении супералгебры Ли g в g Результат классификации содержится в следующей теореме (через к, 1,р здесь обозначены произвольные натуральные числа)

Теорема 2.1. Сточиостыо до изоморфизма, существуют только следующие градуированные пары первого типа простых классических супералгебр Ли, содержащие супералгебру Ли типа А в качестве объемлющей алгебры

1 (sl(kp,lp),sl(k,l)), к < I,

2 (рз1(кр,кр),рв1(к,к)),

3 {psl[kp,kp),psq(k)), к> 3,

4 (sl(k, 2lp), osp(l, 2/)), к>р,

5 (psl(2A:p, 2fcp), osp(l,2к))

В главе 3 тот же метод применяется для классификации 1радуи-рованных пар второго типа §3 1 носит подготовительный характер В рассматриваемом случае имеется описанная в главе 1 нетривиальная 22-градуировка gg = и ф о, в которой и — редуктивная подалгебра, содержащая f) и О С a — [бб> 0о] нее получается нетривиальная 22-градуировка а=ефи,гдее = аПи — редуктивная подалгебра максимального ранга в а При этом имеем градуированную пару полупростых алгебр Ли (Ь, с), где fa = [е, е], с = [gg>0o] Применяя к a = sl(m) Ф st(n) хорошо известное (см [4]) описание 22-градуировок полупростых комплексных алгебр Ли, мы видим, что возможны следующие три случая, которые рассматриваются, соответственно, в параграфах 3 1, 3 2 и 3 3

(i) m,n > 2 и полученная 22-градуировка алгебры Ли а есть сумма нетривиальной Z2-i радуировки sl(m) = ei®o и тривиальнои Z2-градуировки sl(n) = st(n) ф {0}

(и) m,n > 2 и полученная 22-градуировка алгебры Ли а есть сумма двух нетривиальных Z2-rpaflyHp0B0K st(m) = t\ ф t»i и st(n) = е2Фо2

(ш) т = 1,п>2, те а = з1(п) проста

Далее, если а = е ® О — нетривиальная 2г-градуировка простой алгебры Ли а = з1(тп), т > 2, где подалгебра с имеет максимальный ранг, то е, с точностью до автоморфизмов алгебры о, есть подалгебра матриц следующего вида

где А € д1(&), В € 01(0, К А = -1хВ, к + Ыт, к,1> 1

Отсюда выводится, что для любой градуированной пары (д,д) второго типа соответствующая полупростая подалгебра Ь С а есть прямая сумма нескольких (не более 4) алгебр Ли 5[(й), вложенных вов виде блоков, стоящих на главной диагонали, а в любой простой идеал алгебры Ь нетривиально проектируется не более чем один простой идеал алгебры с, причем проекция градуирует этот идеал Отсюда и из результатов работы [7] следует, что любой простой идеал в с имеет тип А или С, а любая проекция — это сумма нескольких стандартных представлений алгебры Ли $((£) или соответственно Применяя методику, использованную в гл 2, приходим к следующей теореме классификации (здесь через к,1,р,ц,г обозначены натуральные числа, параметризующие градуированные пары)

Теорема 3.1. С точностью до изоморфизма существуют только следующие градуированные пары второго типа простых классических супералгебр Ли, содержащие супералгебру Ли типа А в качестве объемлющей апгебры

1 кр + 1д),в1{к,1)), к < I,

2 (рз1(кр,кр)!рз1(к,к)), к > 2,

3 (й((т, п), 0£р(1,2?)), т > 2г1, п >г,гп п,

4 (рв1(п,п),05р(1,21)), п> 2г1

Глава 4 посвящена связи градуированных пар редуктивных супералгебр Ли с параболическими подалгебрами этих супералгебр

Следуя [4], мы называем подалгебру супералгебры Ли параболической, если она является неотрицательной частью некоторой Z-градуировки этой супералгебры Ли Пусть g — редуктивная комплексная супералгебра Ли и f) — подалгебра Картана в 0о Тогда любой элемент xq € f)(R) определяет параболическую подалгебру р(хо) С д, заданную формулой

РЫ = ф 0а

a(zo)>0

Будем называть р(хо) параболической подалгеброй, определенной внутренним градуирующим дифференцированием

Будем говорить, что g — редуктивная супералгебра Ли основного типа, если g редуктивна и ее система корней и весовое разложение относительно подалгебры Картана f) ее четной части обладают следующими свойствами

(i) для любого а 6 А имеем —а £ А, причем а и —а имеют одинаковые четности,

(и) dim gQ для всех а € А, М [0а, 0/з] Ф {0}, если а, /3 е Л и а + /3 £ A U {0}, Н до = Ь

(v) система П неразложимых положительных корней относительно любой камеры Вейля в !)(К) является базисом пространства t)*

Из результатов работы [7] следует, что среди простых супералгебр Ли редуктивными супералгебрами Ли основного типа являются в точности следующие stm|„, т ф п, т,п > 1, ospm|2n, т > 1, п > 2, D(2,1, a), F(4), G(3) (не считая простых комплексных алгебр Ли) В [5] доказано, что любая параболическая подалгебра редуктивной супералгебры Ли основного типа определена внутренним градуирующим дифференцированием (при некотором выборе подалгебры Картана () ее четной части), а также дано описание параболических подалгебр этих супералгебр Ли в терминах систем корней

Пусть (g, д) — градуированная пара редуктивных супералгебр

о О

Ли и р С g — параболическая подалгебра, определяемая внутренним градуирующим дифференцированием В §4 1 строится такая пара-

О О

болическая подалгебра р С д, что р П д = р В случае, когда g

- редуктивная супералгебра Ли основного типа, дается следующее описание подалгебры р в терминах корней

Теорема 4.2 Предположим, что редуктивная супералгебра Ли основного типа 0 содержит редуктивпую подалгебру 0, причем си-

о

стема корней А этой подалгебры относительно некоторой подалгеб-

0 о

ры Картона § в 0д градуирует д Пусть также Ц — подалгебра Кар-

о о _

тана в 0о, содержащая Пусть х0 £ К®); и пусть Хо € С, где С с 1)(К) - некоторая камера Вейля Пусть П С Д+ — множество неразложимых положительных корней супералгебры Ли 0 относительно С, и пусть I — {а е П | а(хо) = 0} Тогда параболическая подалгебра р = р(хо) С 0 удовлетворяет условию р П 0 — р(ссо) и задается формулой

РЫ) = Ь © ф да,

аеА+и (-/]

где через [—/] обозначено множество всех корней, являющихся линейными комбинациями корней из —I с целыми неотрицательными коэффициентами В случае, когда элемент Хо регулярен, имеем

о*

/ = П П Кег-7г, где 7Г !]*—»() — отображение ограничения

В §4 2 эти результаты применяются к градуированным парам, изученным в главах 2 и 3 Дается описание параболических подалгебр простых супералгебр Ли 0 серии А, которые получаются с помощью конструкции §1 из борелевских подалгебр классических простых подалгебр, составляющих с д градуированные пары

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Benkart G , Elduque A Lie superalgebras graded by root systems C(n), D{m,n), D{2, l,a), F{4) and G(3) // Canad Math Bull 2002 V 45 P 509-524

[2] Benkaxt G , Zelmanov E Lie algebras graded by finite root systems and intersection matrix algebras//Invent Math 1996 V 126 P 1-45

[3] Berman S , Moody R V Lie algebras graded by finite root systems // Invent Math 1992 V 108 P 323-347

[4] Хелгасон С Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства M Факториал, 2005

[5] Иванова H И , Онищик А Л Параболические подалгебры и градуировки редуктивных супералгебр Ли // Соврем математика Фунд направления 2006 Т 20 С 5-68

[6] Кас V G Lie superalgebras Adv Math 1977 V 26 P 8-96

[7] Nervi J Algèbres de Lie simples graduees par un système de racines et sous-algèbres C-admissibles // J Algebra 2000 V 223 P 307-343

[8] Rubenthaler H Les paires duales dans les algèbies de Lie réduc-tives // Astérisque 1994 T 219 P 1-121

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикация в издании, рекомендованном ВАК РФ

[9] Сударкин А В Классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр // Успехи мат наук 2008 Т 63 С 165-166

Другие публикации

[10] Сударкин А В О супералгебрах Ли, градуированных системами корней // Вопр теории групп и гомолог алгебры Ярославль ЯрГУ, 2003 С 228-237

[11] Сударкин А В Градуировки супералгебр Ли серии А(тп,п) системами корней их классических простых подалгебр // Математика в Ярославском университете Ярославль ЯрГУ, 2006 С 429-445

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул Советская, 14

Введение

Гл. 1. Определение и простейшие свойства градуированных пар

§1. Предварительные сведения

§2. Градуированные пары редуктивных супералгебр Ли

§3. Градуированные пары редуктивных алгебр Ли

Гл. 2. Классификация Д-градуировок первого типа простых супералгебр Ли серии А

§1. Предварительные сведения. Случай, когда алгебра Ли gg имеет непростой коммутант

§2. Случай, когда алгебра Ли gg имеет простой коммутант

Гл. 3. Классификация А-градуировок второго типа простых супералгебр Ли серии А

§1. Предварительные сведения и леммы

§2. Случай, когда ^-градуировка коммутанта алгебры Ли gg есть сумма нетривиальной и тривиальной Жг-градуировок

§3. Случай, когда ^-градуировка коммутанта алгебры Ли gg есть сумма двух нетривиальных ^-градуировок

§4. Случай, когда алгебра Ли gg имеет простой коммутант

Гл. 4. Градуированные пары и параболические подалгебры

§1. Параболические подалгебры редуктивных супералгебр Ли, их связь с градуированными парами

§2. Параболические подалгебры супералгебр Ли slm|„, определяемые их Д-градуировками

Понятие алгебры Ли, градуированной некоторой неразложимой системой корней, было введено в работе [3]. В работе Нерви [8] была дана классификация всех градуировок простых комплексных алгебр Ли системами корней их простых подалгебр, основанная на связи, существующей между такими градуировками и параболическими подалгебрами объемлющей алгебры Ли. В этой работе отмечена также связь, существующая между градуировками системами корней и парами Хау (или дуальными парами) редуктивных подалгебр простой алгебры Ли, классификация которых была дана в [9].

В ряде работ, появившихся в последнее время (см., например, [2,1]), понятие алгебры Ли, градуированной системой корней, было обобщено на случай супералгебр Ли. В них получено описание произвольных, не обязательно конечномерных, комплексных супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. В то же время естественным обобщением результата работы [8] была бы классификация классических простых супералгебр Ли, градуированных системами корней их классических простых подалгебр. Этому вопросу и посвящена настоящая диссертационная работа.

Основными научными результатами диссертации являются следующие результаты:

1. Изучены общие свойства градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли системами корней ее редуктивных подалгебр. Установлены связи этих градуировок с 22-градуировками четной части супералгебры Ли, позволяющие свести задачу их классификации к аналогичной задаче для полупростых алгебр Ли.

2. Дана классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр.

3. Установлена связь изучаемых градуировок редуктивной комплексной супералгебры Ли с параболическими подалгебрами этой супералгебры. Описаны параболические подалгебры простых супералгебр Ли sl(m,ri), связанные с их градуировками системами корней классических простых подалгебр.

Развитые в работе методы могут быть использованы для классификации градуировок и других классических простых комплексных супералгебр Ли, а также применены к задаче классификации пар Хау их редуктивных подалгебр (примеры таких пар известны в настоящее время лишь для ортосимплектических супералгебр Ли, см. [5]).

Перейдем к изложению содержания диссертации.

Первая глава работы начинается с основных определений. В §1 определяются рсдуктивные комплексные супералгебры Ли (это понятие, введенное в [6], естественно обобщает классическое понятие редуктивной комплексной алгебры Ли; простая конечномерная комплексная супералгебра Ли редуктивна тогда и только тогда, когда она является классической в смысле В.Г. Каца [7]). Рассматриваются корневое разложение и система корней редуктивной супералгебры Ли относительно подалгебры Картана ее четной части. В §2 вводится основное для дальнейшего понятие комплексной супералгебры Ли д, градуированной систео . мой корней ее редуктивной подалгебры g (в этом случае говорят также, что пара (д, д) является градуированной) и устанавливаются некоторые простейшие свойства, связанные с этим понятием. В случае, когда g также редуктивна и в четных частях обеих супералгебр Ли выбраны о подалгебры Картана D I), определено естественное отображение ограо * о ничения тг : f)* —> f) . Пусть А и А — соответствующие системы коро ней. Если пара является градуированной, то 7г(Д U {0}) = A U {0}, а в случае, когда g проста, верно и обратное. С каждой градуированной парой редуктивных супералгебр Ли связывается йг-градуировка 06 = и © 0 редуктивной алгебры Ли gg, где и — редуктивная подалгебра максимального ранга, соответствующая подсистеме четных корней в А, переходящих в четные корни подалгебры или в 0, а 0 — подпространство, соответствующее четным корням из А, переходящим в нечетные корни подалгебры, не являющиеся четными. При этом коммутант алгео бры Ли gg составляет градуированную пару с некоторым полупростым идеалом в и. Тем самым градуированные пары редуктивных супералгебр Ли разбиваются на два типа, отвечающие случаям, когда u = gg и когда и ф gg. Эта конструкция позволяет в какой-то мере свести классификацию градуированных пар к хорошо известной классификации ^-градуировок редуктивных алгебр Ли и к классификации градуированных пар полупростых алгебр Ли. В §3 объясняется, каким образом последняя классификация сводится к классификации градуированных пар простых алгебр Ли, и излагаются используемые в дальнейшем результаты работы [8]. Для полноты изложения здесь дается также короткое доказательство результата этой работы, относящегося к Д-градуировкам алгебры Ли st(n), не использующее техники, развитой в

Главы 2 и 3 содержат формулировки и доказательства основных результатов работы, т.е. классификации (с точностью до изоморфизма) градуированных пар (д, д), где g — простая супералгебра Ли серии А, ад — ее классическая простая подалгебра. При этом используется метод, описанный в главе 1. В главе 2 классифицируются градуированные пары первого типа, а в главе 3 — градуированные пары второго типа, причем отдельно разбираются различные возможные варианты Ж2-градуировок.

Глава 4 посвящена связи градуированных пар редуктивных супералгебр Ли с параболическими подалгебрами этих супералгебр. Следуя [6], мы называем подалгебру редуктивной супералгебры Ли параболической, если она является неотрицательной частью некоторой Z-градуировки этой супералгебры Ли. Если (д, д) — градуированная пара

О о и р С 0 — параболическая подалгебра, определяемая внутренним градуирующим дифференцированием, то естественным образом определяо о ется такая параболическая подалгебра р С fl, что р Пд = р. В терминах корней простых супералгебр Ли si {т., п) дается описание их параболических подалгебр, которые получаются таким способом из борелевских подалгебр классических простых подалгебр, составляющих с ними градуированные пары.

Нумерация параграфов, формул, теорем, предложений и лемм производится в пределах каждой главы. При ссылках на другую главу ее номер ставится впереди номера параграфа, формулы и т.д.

Гл.1. Определение и простейшие свойства градуированных пар

1. Benkart G., Elduque A. Lie superalgebras graded by root systems C(n), D(m, n), £>(2,1, a), F(4) and G(3) // Canad. Math. Bull. 2002. V. 45. P. 509-524.

2. Benkart G., Zelmanov E. Lie algebras graded by finite root systems and intersection matrix algebras // Invent. Math. 1996. V. 126. P. 1-45.

3. Berman S., Moody R.V. Lie algebras graded by finite root systems // Invent. Math. 1992. V. 108. P. 323-347.

4. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М.: Факториал, 2005.

5. Huckleberry A., Piittmann A., Zirnbauer M.R. Haar expectations of ratios of random characteristic polynomials. Preprint SFB/TR-12. Koln e.a., 2007.

6. Иванова Н.И., Онищик А.Л. Параболические подалгебры и градуировки редуктивных супералгебр Ли // Соврем, математика. Фунд. направления. 2006. Т. 20. С. 5-68.

7. Кас V.G. Lie superalgebras // Adv. Math. 1977. V. 26. P. 8-96.

8. Nervi J. Algebres de Lie simples graduees par un systeme de racines et sous-algebres C-admissibles // J. Algebra. 2000. V. 223. P. 307-343.

9. Rubenthaler H. Les paires duales dans les algebres de Lie reductives // Asterisque. 1994. T. 219. P. 1-121.

10. Scheunert M. The Theory of Lie Superalgebras. Lect. Notes Math. 716. Berlin e.a.: Springer-Verlag, 1979.

11. Сударкин A.B. О супералгебрах Ли, градуированных системами корней // Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 2003. С. 228-237.

12. Сударкин А.В. Градуировки супералгебр Ли серии А(т,,п) системами корней их классических простых подалгебр // Математика в Ярославском университете. Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 429-445.

13. Сударкин А.В. Классификация градуировок простых супералгебр Ли серии А системами корней их классических простых подалгебр // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63. С. 165-166.

14. Випберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Изд. 2-е. М.: УРСС, 1995.