Исследования тройных лиевых и суперлиевых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1. Сплетения и расщепляющие вложения тройных лиевых и суперлиевых систем

1.1. Алгебры Ли, Ът градуированные алгебры Ли, тройные лиевы системы.

1.1.1. База сплетения алгебр Ли и ее свойства

1.1.2. Сплетение алгебр Ли.

1.1.3. Ъ2 - градуированные алгебры Ли и тройные лиевы системы.

1.2. Аналоги теоремы Калужнина-Краснера для алгебр, Ъ2 - градуированных алгебр Ли и тройных лиевых систем.

1.2.1. Точное представление расширения Ь = I)) в ассоциативной алгебре эндоморфизмов свободного модуля

1.2.2. Расщепление расширения Ь(д, в алгебре эндоморфизмов [Епс.

1.2.3. Структура эндоморфизмов П2(£).

1.2.4. Вложение расширений в сплетение.

1.2.5. Замечание о 22 - градуированных алгебрах Ли и тройных Лиевых системах.

1.3. Супералгебры Ли и тройные суперлиевы системы.

1.3.1. База сплетения супералгебр Ли и ее свойства

1.3.2. Сплетение супералгебр Ли

1.3.3. Тройные суперлиевы системы.

1.3.4. Аналог теоремы Калужнина-Краснера для супералгебр Ли.

1.3.5. Замечание о тройных суперлиевых системах.

2. Представления четырехмерных лиевых и суперлиевых тройных систем симметрической и кососимметрической билинейных форм 60 2.1. Тройные системы, связанные с билинейными формами.

2.2. Линейные алгебры Ли зо(5, С) и зо(4, С).

2.3. Модули старшего веса над алгебрами 51(2, С) и 50(4, С)

2.4. Конечномерные зо(5, С) - модули

2.4.1. Спектральная задача ограничения алгебры $о(5,С) на подалгебру 50 (4, С)

2.4.2. Структура д - модуля на д0 - модуле V.

2.5. Бесконечномерные зо(5, С) - модули.

Диссертация посвящена тройным лиевым и суперлиевым системам. Возрастающий интерес к этому классу тернарных алгебр можно объяснить, в частности, их связью с другими разделами математики (так, например, касательное пространство локальной аналитической лупы Бола несет структуру тройной лиевой системы). Удобство же формулировки некоторых физических законов на языке этих алгебр позволяет свести большинство соответствующих задач к задачам теории представлений.

Отметим сразу, что потребность во вводимых в первой главе этой работы операциях сплетения алгебр и супералгебр Ли, а также тройных лиевых и суперлиевых систем возникла не из нужд алгебры, в то время как в теории поля их основное свойство универсальности имеет прозрачную интерпретацию. Групповой аналог этих операций известен давно, свойство его универсальности, а именно то обстоятельство, что сплетение А\В является вместилищем всех расширений группы В при помощи группы А, было установлено в статье [1] Л.Калужнина и М.Краснера в 1951 году. Аналогичный универсальный обьект появился позже и для расширений абелевой К - алгебры Ли § при помощи К - алгебры Ли д. Его конструкция, даваемая леммой А.Л.Шмелькина в [3], использует понятие иньективной оболочки д - модуля {), а свойство универсальности следует из точности свободной резольвенты - модуля К. И хотя трактовка понятий классической электродинамики Максвелла укладывается в рамки языка расширений абелевых алгебр Ли (чуть ниже мы остановимся на этом подробнее), ничто не заставляет нас при постановке соответствующих алгебраических задач ограничиваться этим классом, равно как и самим классом алгебр Ли. В этом смысле особую роль играет конструкция сплетения алгебр Ли, предложенная в 1995 году Ю.П.Размысловым, установившем свойство ее универсальности, не прибегая к аппарату гомологической алгебры, а также конструкции сплетения супералгебр Ли, тройных лиевых и суперлиевых систем, рассматриваемые в первой главе данной диссертации, которая посвящена установлению свойства их универсальности, т. е. доказательству аналога теоремы Калужнина

Краснера для этих объектов (теоремы 1.2.1, 1.2.2, 1.3.2, 1.3.3).

В работе определяются сначала операция сплетения алгебр и22- градуированных алгебр Ли (показано, что на Г) ? д можно ввести 22 - градуировку, если таковой обладают алгебры Ли {), д). Далее определяется сплетение супералгебр Ли, а затем, используя введенные конструкции, строятся сплетения тройных лиевых и суперлиевых систем. В случае алгебр и супералгебр Ли выяснена принадлежность базовой алгебры сплетения конкретному многообразию (предложение 1.1.2, теорема 1.3.1).

Вторая глава данной диссертации посвящена представлениям 4-мерных лиевых и суперлиевых тройных систем симметрической и кососиммет-рической билинейных форм, явному построению формул для матричных элементов канонических образующих этих алгебр в конечномерных представлениях, обобщение таких формул на случай бесконечномерных представлений. По существу, решение этой задачи непосредственно связано с решением задачи о неприводимых представлениях изоморфных алгебр Ли зо(5,С) = 5р(4, С), для которых в конечномерном случае такие формулы были получены И.М.Гельфандом и М.Л.Цетлиным в [4] для любой алгебры Ли зо(га, С), п > 5. Используя идею авторов ветвления зо(5,С) —зо(2,С)фзо(2,С) показывается, что любое конечномерное неприводимое представление алгебры зо(5, С) в может быть реализовано в коненной прямой сумме алгебры многочленов от четырех переменных ^ = к[х,у,и,у] с естественным действием на ней зо(2, С) 0 зо(2, С), на которой канонические операторы особым образом однозначно доопределяются по старшему весу. Для указанных операторов выводятся явные формулы матричных элементов в естественном базисе каждой прямой компоненты которые не являются формулами Гельфанда-Цетлина (теорема 2.4.1). Далее для каждой пары комплексных чисел Ах, Л2 таких, что Ль Ах + Л2 £ Ъ на подпространстве И^.Лг пространства С {ж, у, и, и} "обобщенных" многочленов, определяемом решеткой Х>(Л1, Лх + Л2) = {(Ах + г, Ах + А2 +з)\г-\-з = 2к] г,],к е 2}, строится (теорема 2.5.1) двухпараметрическое семейство бесконечномерных 50(5, С) -модулей. При этом показывается, что каждый яо(5, С) - модуль из этого семейства является прямой суммой неприводимых 5о(5,С) - подмодулей в количестве от одного до девяти слагаемых, соответствущих классам эквивалентности на решетке Х>(Ах, Ах + А2) по введенному специальным образом отношению. Среди этих прямых компонент всегда содержится неприводимый модуль старшего веса (Ах,А2), причем для каждой пары (Ах, А2) € С, А1; Ах + А2 0 Ъ он явным образом указывается (предьявлено соответствующее подмножество решетки £>(Ах, Ах + А2)) — теорема 2.5.2.

Таким образом, оказываются реализоваными почти все неприводимые факторы модулей Верма над алгеброй Ли зо(5,С).

О некоторых алгебраических аспектах теории поля.

1.Расширения абелевых идеалов. Первая группа уравнений Максвелла.

В классической теории электромагнитного поля рассматривают два векторных поля: электрическое поле Е = Е(ж,у,г,£) = (Ех, Еу, Ег) и магнитное поле Н = Н(ж, у, = (НХ,НУ, Я2), которые удовлетворяют уравнениям Максвелла. Выпишем первую группу этих уравнений (для среды без электрической и магнитной поляризации): дЕг дЕу 1 дНх ду дг с дг дЕх дЕг 1 дЯу дг дх с дг дЕу дЕх 1 дНг дх ду с дг днх , дНу , дНг --1—- н- ду дг

Параллельно приведем хорошо известный факт из теории алгебр Ли (который можно найти, например, в [10]):

Лемма. Пусть 0 — (метабелева) к - алгебра Ли с умножением: [ , ] : 0<8>£0 —У 0, Ь — абелев идеал в д. Тогда 0О = в/Ь — (метабелева) алгебра Ли, является 0О - модулем относительно присоединенного действия и существует 2-коцикл / : д0 А д0 —(), т.е. кососимметрическая функция двух аргументов, удовлетворяющая условию:

0 = 0/= XI Жст(3)) - /([^(1), ^(2)], Ж^з)). (1)

И наоборот, если {) — 0О - модуль со структурой абелевой алгебры Ли на нем, / — некоторый 2-коцикл на д0 со значениями в (), то можно построить "стандартное" расширение0/ = (0О, (),/) абелевой алгебры Ли (} при помощи 0о как ^-линейное пространство д0 © Ь с умножением: ж + ш) * (у + п) ={ [х,у] + хп - ут = /(ж,у), ж,у£0О;

При этом, если 0О — метабелева алгебра Ли, то 0/ также является мета-белевой алгеброй Ли. Возьмем теперь в качестве 0О четырехмерную абе-леву алгебру Ли с базисом {Рх,Ту, а в качестве ^ — пространство

С°°(х,у,г,1) бесконечно дифференцируемых функций от четырех переменных х,у,г,1. Зададим на I) структуру д0 - модуля, положив \/Л е Ь

I СЙ'

Определим функцию / : д0 Л Зо —следующей таблицей (считаем, что вверху по горизонтали стоят левые аргументы, а слева по вертикали — правые): vx V ' У vz vt vx 0 Hz -Ну Ex

-Ру -Hz 0 Hx Ey vz Ну —Hx 0 Ez

Vt —Ex -Ey -Ez 0

В этом случае условие (1) принимает вид:

О = 9/ = X) ^мДЯовь^м), (2) где суммирование ведется по всем четным перестановкам на множестве из трех букв {а,/3,7}; а, /3,7 G Таким образом, вместо (2) имеем С| = 4 уравнения, которые, как нетрудно видеть, являются ни чем иным, как первой группой уравнений Максвелла.

2.Характеристическая метабелева алгебра Ли электромагнитного поля. Лемма А.Л.Шмелъкина о расщеплении и существование электромагнитного потенциала. Принцип калибровочной инвариантности. Вторая группа уравнений Максвелла.

Таким образом, мы видим, что задание электромагнитного поля эквивалентно аданию 2-коцикла / а, следовательно, и расширения д/ абе-левой алгебры Ли f) при помощи четырехмерной абелевой алгебры Ли go = (Vx,Vy,Vz,Vt}. В gj рассмотрим подалгебру g'f, порожденную Vx,Vy,Vz,Vt. Ясно, что q'j можно представить в виде стандартного расширения (g0, f)',f), где f)' — подмодуль до - модуля f), порожденный компонентами Ех, Еу, Ez, Нх, Ну, Hz. Алгебру д'^ назовем характеристической метабелевой алгеброй Ли электромагнитного поля.

В классической теории электромагнитного поля из первой группы уравнений Максвелла выводится существование скалярного поля ф(х, у, г, t) и векторного поля A(x,y,z,t), называемых соответственно скалярным и векторным потенциалами, через которые поля Е и Н выражаются с помощью следующих формул:

Н = rot А. (3)

1 В А

Е = grad ^ <4>

С другой стороны, по лемме А.Л.Шмелькина ([3]) существует вложение т расширения g'f = (so,f)',/) в расщепляемое расширение д0 х при котором r(fj')- С /({)'), кроме того, индуцированное отображение g'f/t)' (do, if')/!(§') является тождественным отображением. Не вдаваясь в подробности, отметим, что в качестве д0 - модуля /(f)') можно взять любой иньективный модуль, содержащий f)' в качестве подмодуля (в частности, его иньективную оболочку). Ясно, что конструкция расщепляемого расширения g0 х /(f)') не зависит от характеристической алгебры Ли электромагнитного поля д'^, т.е. является универсальным объектом. Для каждого Va € g'f, а £ {x,y,z,t} рассмотрим элемент Аа € 1(Ъ') такой, что r(Va) = Va + Аа. Пользуясь указанной леммой, Va, /3 имеем:

T(f(Va,VP)) = т([Ра,Т0}) = [r(Va),T(VP)} = = [Pa + Aa,Vp + Ар] = Va * Ар - Vp * Va + f'(Va,Vp). к°>

Но расщепляемое расширение д0 х 1(Ь') можно представить в виде стандартного расширения (д0для произвольной функции /', кого-мологичной нулю, т.е. такой, что для некоторого гомоморфизма -модулей (р : Uu(gо) —> f) имеем: /' = Иначе говоря, f'(u, v) = wp(v) - v(p(u), м, v e flo

С учетом этого последнее выражение в цепочке равенств (5) может быть переписано в виде:

Va * Ар - Vp * Аа + Va * 4>{V(}) - Vp * ip(V)a = Va * (Ар + <p(Vp)) - Vp * (Aa + y(Va)). W

Ho Va, (3 E {x, y, z, t} имеем:

Va * 4>(Vp) - Vp * <p(Va) = v(VaVp - VpVa) = 0, поэтому по лемме об обобщенных функциях (см. [12]) найдется такое ф G /(f)')> что <p(Va) = Va * ф Va G {x,y,z,t}. С учетом этого правая часть (6) может быть переписана в виде:

Va * (Ар + Vp*ф)-Vp* (Аа + Va* ф).

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы:

Теорема 0.0.1. Пусть для некоторого заданного электромагнитного поля т : ^ д0 х /(&') — расщепляющее вложение его характеристической метабелевой алгебры Ли. Тогда найдутся элементы АХ,АУ,АХ,А1 из базовой алгебры /({)') расщепляемого расширения до х !(§'), через которые т(Ну),т(Ец) выражаются следующим образом: где (а, /?, 7) € {(я, у, г), (у, 2, ж), (г, х, у)}; и е {ж, у, г). Четверку (Ах,Ау,Аг назовем 4~потенциалом электромагнитного поля. и) Если (Ах,Ау,Ах,Аг) —4~потенциал данного электромагнитного поля, то для произвольного ф £ 1(1)') (Ах + Тх*ф, Ау + Ту* ф, Аг + Т„ * ф, Аг + 'Рг* ф) также является 4-потенциалом этого поля.

Отметим, что д0 - модуль /([)') можно реализовать в виде множества степенных рядов от х,у,г,Ь. При этом ясно, что компоненты нашего 4-потенциала становятся ковариантными компонентами электромагнитного 4-потенциала из классической теории поля (т.е. если считать (Ах,Ау,Аг,Аг) = (—А,ф), то равенства (7), (8) превращаются соответственно в (3),(4)), а И) составляет известный принцип калибровочной инвариантности, согласно которому следующие преобразования векторного и скалярного потенциалов оставляют уравнения поля неизменными:

Из ранее проведенных выкладок видно, что этот произвол в выборе потенциала можно также связать с наличием семейства автоморфизмов расщепляемого расширения д0 х каждый из которых переводит

Та + Ф —у Та + Ф + <р(Ра) для некоторого гомоморфизма д0 - модулей

V ■■ £4гЫ -»• /(*)')•

Вторая группа уравнений Максвелла т(Я7) = Тр*Аа-Та* Ар,

7) т(Е„) = Ъ * А„ - Г„ * Аи

8)

А' = А + grad ф дН, дНу 1 дЕх 4тг . ду дг с Ш с ^х дНх дНх 1 дЕу 4тг . дг дх с с^ дНу дНх 1 дЕя 4тг . дх ду с дЬ с ^ 8ЕХ , дЕу дЕг ох ду ох в терминах характеристической метабелевой алгебры Ли записывается следующим образом:

Ру, [Ру, Ы + [Р*, [Р*, V,]] - [Ри [Ри = т3* [Р., [Р., Ру}} + [Р*, [Р^ Ру}} - \Ри [Ри Ру}} = ^Зу [Рх, [РЯ,ГЯ]] + [Рх, [РХ,РЯ\] ~ [Ри \PuPzW = ^Э* -[Р*, [Р*,ъ]] - [Ру, [РУ,Р$ - [Рг, [РЯ,Ъ]] = 4тгр.

Введем оператор Н : {/¿¿(д^) -»■ ^¿(б/),

Н = ъ&2Рх + аЛ2Ру + аа2^ -При этом последние равенства можно переписать в виде: Н

Гх \ / -з, \

Ру 47Г -Зу

Рг с -ь

V Рг ) \ ср )

9)

Используя вложение т, для 4-потенциала, удовлетворяющего условию

Рх, Ах] + [Ру, Ау] + [Ря, Ая] - [Ри А*] = О,

10) из (9) находим: Я

I Ах \ Ау Аг

V М }

47Г

-3*

-Зу -3* \ СР /

П) где через Н обозначен оператор на /(()') такой, что

Н = аА2РХ + а¿2РУ + аА2Р, - зА2Р^

При реализации /(()') степенными рядами, (11) превращается в хорошо известные волновые уравнения:

47Г. А =--j с а (10)

Список используемых обозначений. к{х, у,и,т} = (хау/3иуу8 | а, (3,1,8 £ к)к — алгебра "обобщенных" многочленов над полем к.

Т>(Ах, Л2) = {(Ах + ¿, Ах + А2 + з)\г + з = 2к, г,з,к 6 Ъ} — двухмерная целочисленная решетка, связанная с парой чисел Ах, А2 из некоторого поля к характеристики нуль.

ЪУ(А) — множество всех слов с буквами из алфавита А.

К]¥{а{А) — свободная ассоциативная К — алгебра с множеством образующих А.

А — множество всех правильных слов с буквами из линейно-упорядоченного алфавита А, т.е. слов вида е^е^ . е;„, е^ < е;2 < . < е»„, е£ А, причем для нечетных букв знак неравенства строгий.

Ап — множество всех п - к взаимно правильных слов с буквами из алфавита А, снабженного четностью.

У\?(А) — множество всех почти правильных слов с выделенным неправильным вхождением ( с буквами из алфавита А).

Слова, подслова и операции над ними.

Для некоторого алфавита А через ИГ(А) обозначим множество всех слов с буквами из этого алфавита. Пусть и € ]¥(А). Через 1(и) будем обозначать длину слова и. Слово и определяет набор мест — суть отрезок натурального ряда от 1 до 1{и), которые мы условимся отсчитывать слева направо. Пусть на к-и месте в слове и, 1 < г(и) < к, стоит буква е £ А, Тогда будем говорить, что в слове и имеется вхождение буквы е на к месте. Вообще, под вхождением некоторой буквы е в слово и будем понимать эту букву вместе с некоторым фиксированным местом в слове и, на котором она стоит.

Определение. Пусть п £ N. га - набором будем называть любое подмножество множества {1,. ,п} с наследованным линейным порядком.

Для любого п - набора I можно определить сопряженный п - набор У^{1,.,п}\г.

Рассмотрим слово и = ег • • • ециу Для любого 1(и) - набора 1 = {¿1?. , г„} сЫ можно рассмотреть слово щ = ег1 • • • ег-п, которое мы будем называть 1 = —Атт р, в так называемую калибровку Лоренца:

С Ы

- подсловом слова и. Если 1 — пустой набор, то считаем, что щ = 1 — единичное слово.

На множестве ]¥(А) для произвольного слова и и его подслова щ определим операцию деления м на ч, (или вычеркивания из слова и подслова щ), в результате которой получается щ>. При этом пишем: ^ =г щ>. Кроме того, для слов и,у € \¥{А) и некоторого 1{и) + 1{ь) - набора j = . ,31{у)} мощности 1{ю) существует единственное слово го = длины 1{и) + 1{у) такое, что г^ = V. Если V состоит из одной буквы е, то j = {,71} = {,;'} и мы говорим, что в слово и на е место вставлена буква е, 1 <3< /(«) + 1.

Будем теперь считать, что на алфавите А имеется линейный порядок. Слово и — е 1 • • • е„, называется правильным, если < • • • < еп.

Для двух любых правильных слов «,»£<4 существует единственное правильное слово гп длины 1{и) + 1{ь) такое, что для некоторых непересекающихся 1{и) + - наборов таких, что 1 из = {1,. , 1(и) + ¿(у)} и, иу = V. При этом будем писать: т = и * V

Слово и назовем почти правильным если 1) и не является правильным словом, и) в слове и имеется вхождение некоторой буквы е такое, что ^ — правильное слово. Данное вхождение буквы е будем называть неправильным вхождением.

Элемент КШц(А), кратный с коэффициентом из поля К некоторому слову из Шц(А) назовем мономом.

Моном назовем правильным, ест он кратен правильному слову.

Пусть в почти правильном слове и = 01. 0г10Д+1. вт, £ А, 1 < к < т, имеется неправильное вхождение 0г- на г месте, Тогда возможны два случая: 1) 0г- > 0г+1, 2) 0; < При этом указанное неправильное вхождение будем называть неправильным вхождением соответственно первого и второго рода.

Пусть теперь все буквы линейно упорядоченного алфавита А снабжены четностью. Правильным в \У(А) мы будем называть слово, которое ко всему тому же еще и не содержит более одного вхождения каждой нечетной буквы, п правильных слов называются взаимно - правильными, если любая нечетная буква, входя в некоторое из этих слов, не входит в п — 1 остальных.

Пусть в почти правильном слове и = 01. 0г1#Д-+1. вт с буквами из алфавита А, снабженного четностью, имеется неправильное вхождение 0г- на г - месте. Тогда возможны три случая: 1) 0г- — четная буква и 0г- > 0г+1, 2) е — четная буква и 0г- < 0г1, 3) 0г- — нечетная буква, и либо — 0г+1, либо 0; = 0г!. При этом будем говорить о неправильном вхождении сответственно первого, второго и третьего рода. Кроме того, если имеет место случай 2) при 0г- = 0г+1 или случай 1), скажем, что данное неправильное вхождение правого типа, а если случай 3) при 0,- = 0г1 или случай 2), то скажем, что оно левого типа.

Пусть в слове и фиксировано вхождение некоторой буквы е на к месте, I — некоторый 1{и) - набор такой, что к ^ V — некоторое слово, j = Оь • • • ,ЗЦь)} — некоторый 1(и) + 1(ь) - набор мощности 1{у). Рассмотрим слова их = 17, и ^ V. В них буква е будет стоять уже на новом месте. Соответствующие новые вхождения мы назовем текущими вхождениями буквы е.

1. Размыслов Ю.П. Введение в теорию алгебр и их представлений. — Изд. Московского университета, 1991.

2. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений.

3. Нейман X. Многообразия групп. М., "Мир", 1966.

4. Кон П. Универсальная алгебра. М., "Мир", 1964.

5. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. М., "Мир", 1976.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли: Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли. — М.: "Мир", 1978.

7. Желобенко Д.П. Представления редуктивных алгебр Ли. — М.: Физ-матлит., 1994.

8. Логунов A.A. Лекции по теории относительности: современный анализ проблем. — 2 изд., доп.— М: Изд. Московского университета, 1984.

9. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.П. Теория поля. 6 изд., испр. и доп., 1973.Список работ автора по теме диссертации

10. Э.О.Шишкин. Явные формулы матричных элементов операторов алгебры Ли 8о(5,С) в почти всех ее неприводимых расщепляемых представлениях. Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика - 1994г.- №5. - с.14-17.

11. Э.О.Шишкин. О сплетении супералгебр Ли. Математические методы и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ.(25-30 января 1999г.) Москва, "Союз", 1999г., с.171-173.

12. Э.О.Шишкин. О сплетении тройных лиевых и суперлиевых систем.-Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (10-12 февраля 1999г.). Тезисы докладов.