Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Гречкосеева Мария Александровна

КОМПОЗИЦИОННОЕ СТРОЕНИЕ ГРУПП, ИЗОСПЕКТРАЛЬНЫХ ПРОСТЫМ ГРУППАМ ЛИЕВА ТИПА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

|г 2014

005553393

Новосибирск-2014

005553393

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. J1. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук. Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Васильев Андрей Викторович.

Официальные оппоненты:

Всемирнов Максим Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Санкт-Петербургское отделение Математического института

им. В.А.Стеклова Российской академии наук, ученый секретарь

Казарин Лев Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор,

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова», заведующий кафедрой

Супруненко Ирина Дмитриевна,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Государственное научное учреждение «Институт математики Национальной академии наук Беларуси», главный научный сотрудник Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук

Защита диссертации состоится 14 ноября 2014 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.02, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения пауки Института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: пр. Акад. Коптюга 4, Новосибирск, 630090. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте http: //math. nsc . ru.

Автореферат разослан «» октября 2014 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Стукачев Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы исследования.

Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Вопросы о строении группы, на спектр которой наложено некоторое ограничение, естественным образом возникают в теории конечных групп начиная с конца 19-го века.

В 1900 г. У. Бернсайд [1] установил, что группа, спектр которой состоит из числа 2 и нескольких нечетных чисел, либо является группой Фробениуса, либо изоморфна проективной специальной линейной группе L2(2k) для некоторого к. Группы, в спектре которых есть число 2, но нет чисел вида 2п, где п нечетно, были классифицированы М. Сузуки [2,3]. Наконец, знаменитая теорема У. Фейта и Дж. Томпсона утверждает, что группа, в спектре которой нет четных чисел, является разрешимой [4].

В 1937 г. Б.Х. Нойман [5] описал строение групп со спектром {1,2,3}, положив начало изучению групп, не являющихся примарными группами, но имеющих элементы только примарных порядков. Г. Хигмэн [G] показал, что группа с таким свойством либо разрешима и в ее спектре ровно два простых числа, либо имеет единственный неабелев композиционный фактор. М. Сузуки [3] нашел все простые группы с таким свойством.

Графом простых чисел группы называется граф, множество вершин которого — это множество простых чисел в спектре, и две различные вершины, помеченные числами р и q, смежны тогда и только тогда, когда pq лежит в спектре. Условие того, что спектр содержит число 2, но не содержит чисел вида 2п, где п нечетно, рассматриваемое М. Сузуки, эквивалентно тому, что 2 является изолированной вершиной в графе простых чисел, а условие того, что спектр групп состоит только из степеней простых чисел, эквивалентно тому, что все вершины в графе простых чисел изолированы, или, другими словами, граф простых чисел является кокликой. Понятие графа простых чисел возникло в связи с изучением некоторых когомологических вопросов теории целочислешплх групповых колец: было установлено, что разностный идеал целочисленного группового кольца разложим как модуль тогда и только тогда, когда граф простых чисел группы несвязен (см. [7]). Позже К.Грюнберг и О.Кегель описали строение произвольной конечной группы с несвязным графом простых чисел (см. [8]), а все простые группы с таким условием были классифицированы Дж. Уильямсом [8] и А.С.Кондратьевым [9].

Определение параметров группы по порядкам ее элементов также применяется в вычислительной теории групп, а именно, при разработке так называемых black-box алгоритмов, т.е. алгоритмов, не использующих специфические свойства представления группы, такие как множество неподвижных точек подстановки или жорданова форма матрицы. Так JI. Бабаи, У. Кантор, П. Палфи и А. Сереш [10] разработали алгоритм Монте-Карло, который определяет стандартное имя квазипростой группы лиева типа, заданной некоторым множеством порождающих матриц, по статистике порядков элементов при условии, что характеристика этой группы известна. От последнего условия можно избавиться, поскольку У. Кантор и А. Сереш предложили алгоритмы Монте-Карло и для нахождения характеристики: во-первых, алгоритм, основанный на том, что характеристика простой группы лиева типа однозначно задастся ее графом примарных чисел — некоторым аналогом графа простых чисел, также конструируемым из элементов спектра [11], и, во-вторых, алгоритм, базирующийся на том, что характеристика группы лиева типа, если она нечетна, может быть вычислена по трем наибольшим порядкам элементов [12].

В 1986 г. В. Ши обнаружил, что любая группа со спектром {1,2, 3, 5} изоморфна простой группе ¿2(4) (она же Ь2(5) и Alts), а затем обобщил [13] этот результат, показав, что любая группа, изоспектральная простой группе ¿2(2*'), изоморфна Z,2(2fe) (группы называются изоспек-тралъными, если у них одинаковые спектры). Это открытие привело к постановке еще более общей проблемы: как устроены группы, изоспек-тральные данной неабелевой простой группе? Именно эта проблема рассматривается в настоящей диссертации.

Отметим, что множество групп, изоспектральных группе с нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, всегда бесконечно [14], и получить его удовлетворительное описание в общем случае представляется затруднительным. И напротив, имеющиеся результаты позволяют предположить, что множество групп, изоспектральных неабелевой простой группе L, как правило, конечно и состоит из групп, достаточно близких к L.

Таким образом, диссертация посвящена классической задаче о ха-рактеризации конечной группы некоторыми арифметическими параметрами, причем в роли параметров выступает спектр группы, который, с одной стороны, является одним из самых естественых числовых множеств, связанных с конечной группой, и, с другой стороны, достаточно хорошо задает группы из такого важного класса, как класс неа-белевых простых групп.

Степень разработанности темы исследования.

Обозначим через Ь.(С) число различных, т.е. попарно неизоморфных, конечных групп, изоспектральных группе (2. Если к (С) = 1, то будем говорить, что С распознаваема по спектру.

Согласно классификационной теореме конечных простых групп любая конечная неабелева простая группа является либо знакопеременной группой, либо группой лиева типа, либо одной из 26 спорадических групп. Все спорадические группы, кроме группы ./2, и все знакопеременные группы степени больше четырех, кроме групп степеней шесть и десять, распознаваемы по спектру (см. [15,16]). Таким образом, для спорадических и знакопеременных групп проблема в целом решена. И наоборот, простые группы лиева типа, для которых проблема распознаваемости была решена до настоящего исследования, являются скорее исключением, чем правилом: это либо группы небольшого лиева ранга, либо группы, лиев ранг которых имеет крайне специальный вид (простое число или степень числа два), либо группы над полем небольшого порядка (см. обзоры [17,18] и § 1.4 диссертации). Этот факт объясняется тем, что при исследовании проблемы возникает несколько вопросов, решение которых может быть не очень сложным в частных случаях или может быть осуществлено прямым перебором в случае ограниченных параметров, и которые становятся трудными в общем ситуации (многие из этих вопросов занесены в «Коуровскую тетрадь» [19]). Далее мы изложим эти вопросы.

При изучении групп, изоспектральных конечной группе Ь, есте-ствешю начать с групп, близких к Ь. Примером таких групп являются накрытия группы Ь, т. е. группы, гомоморфно отображающиеся на Ь. Накрытие называется собственным, если оно не изоморфно Ь. Группа Ь называется распознаваемой по спектру среди {своих) накрытий, если ее спектр отличен от спектра ее любого собственного накрытия. Роль накрытий в решении рассматриваемой проблемы становится еще более важной, если учесть, что Ь(Ь) бесконечно, если Ь нераспознаваема по спектру среди накрытий. Все спорадические и знакопеременные группы (даже нераспознаваемые по спектру) распознаваемы по спектру среди накрьтш [15,20]. Вопрос состоит в том, верно ли это для простых групп лиева тина.

Проблема 1. Может ли спектр данной простой группы лиева типа совпадать со спектром ее собственного накрытия?

Как несложно показать, для решения проблемы 1 необходимо и достаточно рассматривать накрытия группы Ь, являющиеся полупрямым произведением конечномерного ¿-модуля V и группы Ь. Если V — ко-

нечномерный Ь-модуль и Н — естественное полупрямое произведение У\Ь, то порядки элементов в смежном классе Уд группы Н совпадают с порядком т элемента д тогда и тогда только тогда, когда минимальный аннулирующий многочлен элемента д в представлении на V делит (.хт - 1)/(х - 1).

Таким образом, для решения проблемы 1 требуется информация о минимальных аннулирующих многочленах элементов группы Ь во всех ее представлениях над полями, характеристика которых лежит в спектре группы Ь. Безусловно, в некоторых случаях для некоторых характеристик требуемое свойство минимального многочлена элемента д группы Ь на V не зависит от самого модуля V. Например, это так, когда д может быть вложен в дополнение подгруппы Фробениуса группы Ь. Однако в общем случае этот многочлен зависит от модуля V, и поскольку явного описания неприводимых модулей групп лиева типа не существует, задача становится действительно сложной и требует детального и трудоемкого анализа подгруппового строения групп лиева типа для применения теорем типа Холла-Хигмэна или теорем о неподвижных точках элементов в представлениях простых алгебраических групп. Если исключить некоторые частные случаи групп над полями характеристики 2 или 3, то серии групп лиева типа, для которых проблема 1 была решена к началу настоящего исследования, исчерпываются группами Ри и Сузуки (см. [21]), группами типа С2 [22], группами типа В8 [23], унитарными группами размерности три [24] и линейными группами размерности, не равной четырем [25]. Для остальных серий групп проблема 1 была записана в «Коуровскую тетрадь» как вопросы 17.73 и 17.74.

В общем случае из распознаваемости группы Ь среди своих накрытий не следует, что И(Ь) конечно. Примером такой группы является группа 1/2(9), изоспектральная накрытию группы 1,2(4) [26]. Это пример демонстрирует важность следующей проблемы.

Проблема 2. Может ли среди неабелевых композиционных факторов группы, изоспектралыюй данной простой группе лиева типа, быть фактор, не изоморфный этой простой группе?

Неабелева простая группа 5' называется квазираспознаваемой по спектру, если у любой конечной группы, изоспектралыюй 5, ровно одни неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен Ь. Согласно [27,28] если Ь — простая группа лиева типа, отличная от Ьз(3), ¿Уч(З), 154(3), то любая группа, изоспектральная Ь, имеет ровно один неабелев композиционный фактор, поэтому по сути решение проблемы 2 — это решение вопроса о квазираспозпаваемости группы Ь.

Пусть L — простая группа лиева типа и пусть изоспектральная ей группа имеет иеабелев композиционный фактор S. Если у L несвязный граф простых чисел, то по вышеупомянутой теореме Грюнберга-Кегеля у S тоже несвязный граф простых чисел, причем параметры групп L и S связаны некоторой системой уравнений, и эти уравнения существенно облегчают решение проблемы 2. К настоящему моменту проблема 2 решена для всех групп лиева типа с несвязным графом простых чисел, кроме некоторых серий линейных и унитарных групп и групп Ss(q), Og(q) (см. обзор результатов в [29]). Отметим, что все исключительные группы, кроме групп типа Е7, имеют несвязный граф простых чисел, а также, что недавно была анонсирована [30] квазираспознаваемость групп E7{q). Таким образом, можно считать, что группа лиева типа в проблеме 2 — это классическая группа. Классические группы, как правило, имеют связный граф простых чисел, и никакого общего подхода для решения проблемы 2 для них нет. Первый пример неограниченной как по размерности, так и по порядку поля серии квазираспознаваемых классических групп со связными графами простых чисел был указан только в 2005 г. автором диссертации совместно с A.B. Васильевым [31].

Проблему 2 естественно разделить на несколько отдельных проблем в зависимости от того, является ли фактор S спорадической, знакопеременной или группой лиева типа. В последнем случае также имеет смысл провести границу между группами в характеристике, отличной от характеристики определения группы L, и группами в той же характеристике. При этом группы в той же характеристике представляют особый интерес, поскольку именно так устроена единственная известная бесконечная серия неквазираспознаваемых групп: для каждой из групп S,i (q). где q не является нечетной степенью числа 3, существует изоспектральная ей группа с композиционным фактором L2(q2) [32].

Говорят, что для группы G решена проблема распознаваемости по спектру, если либо h(G) конечно и известны все группы, изоспектраль-ные G, либо h(G) бесконечно. Если неабелева простая группа L распознаваема среди накрытий и квазираспознаваема, то любая конечная группа G, изоспектральная L, удовлетворяет условию L < G < Aut L. Значит, число h(L) конечно и равно числу попарно неизоморфных авто-морфных расширений группы L, изоспектральных L. Это соображение приводит к постановке следующей проблемы (вопрос 17.36 в «Коуров-ской тетради»).

Проблема 3. Для данной неабелевой простой группы лиева типа L классифицировать группы G, удовлетворяющие условию L < G ^ Aut L и изоспектральные L.

Решение вопроса о различии спектров групп Ь и (7 в формулировке проблемы 3 известно в некоторых частных случаях. Если С содержится в группе внутренне-диагональных автоморфизмов группы Ь, то оно следует из строения максимальных торов групп лиева типа. Если б является расщепляемым расширением группы Ь посредством «хорошего» автоморфизма (р, т.е. автоморфизма, индуцированного отображением Фробениуса соответствующей простой алгебраической группы, то в [24] получено описание спектра группы б в терминах спектров централизаторов степеней автоморфизма (р. Также если Ь имеет несвязный граф простых чисел, то на (? накладывает ограничения классификация почти простых групп с несвязным графом простых чисел [33]. Однако никаких общих результатов о спектрах автоморфных расширений простых групп лиева типа нет.

Как уже было упомянуто, пе все неабелевы простые группы однозначно задаются своим спектром в классе всех конечных групп. В 1987 г. В. Ши предположил, что однозначность будет достигнута, если к спектру добавить порядок, и в 1992 г. следующая проблема была записана в «Коуровскую тетрадь» как вопрос 12.39.

Проблема 4. Если Ь — простая группа и С — конечная группа с таким же спектром и порядком, как у Ь, верно ли, что С изоморфна Ь?

Отметим, что порядок, наряду со спектром, входит в число самых естественных арифметических параметров конечной группы. Например, известно [34], что по бернсайдову кольцу конечной группы можно однозначно восстановить се спектр и порядок, поэтому из положительного решения проблемы 4 в частности следует, что любая конечная простая группа однозначно задается своим бернсайдовым кольцом.

Ясно, что вопрос из проблемы 4 решается положительно для абе-левых простых групп. Более того, в серии из семи работ В. Ши и его коллегами был получен положительный ответ на соответствующий вопрос для всех неабелевых простых групп, кроме симплектических групп, ортогональных групп нечетной размерности и ортогональных групп 0\п(<[) (см. историю вопроса в [35]). Эта совокупность результатов позволяла предположить, что в скором времени положительный ответ будет получен и для оставшихся классических групп, однако ключевой момент в схеме доказательства, разработанный В. Ши и его коллегами, использует свойство спектра, которым эти группы не обладают. Таким образом, требовалось найти новый подход к решению проблемы 4 для симплектических и ортогональных групп.

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертации — описать композиционное строение групп, изосиектральных простым груп-

пам лиева типа. Для достижения этой цели планируется решить следующие задачи.

1. Решить проблему 1 о накрытиях для всех простых групп лиева типа достаточно большого лиева ранга.

2. Решить проблему 2 в случае, когда исходная простая группа и композиционный фактор изоспектральной ей группы являются группами лева типа над полем одной характеристики.

3. Предложить подход к полному решению проблемы 2, не эксплуатирующий специальный вид ранга или порядка поля определения рассматриваемой группы лиева типа, и с помощью этого подхода решить проблему 2 для линейных и унитарных групп над полями характеристики два.

4. Разработать методы решения проблемы 3 для классических групп над полями характеристики 2 и с помощью этих методов дать полное решение проблемы распознаваемости для линейных и унитарных над нолями характеристики 2.

5. Предложить новый подход к решению проблемы 4 и получить ее полное решение.

Основные результаты диссертации.

1. Доказано, что спектр любой конечной неабелевой простой группы, отличной от групп Li(q), U4(q), U3(q), U5(2) и 3£>4(2), не может совпадать со спектром ее собственного накрытия (теорема 1).

2. Доказано, что конечная группа, изоспектральная простой линейной или унитарной группе L размерности не менее пяти, не может иметь неабелев композиционный фактор, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L (теорема 2).

3. Показано, что если конечная группа G изоспектральна простой симплектической или ортогональной группе L размерности не менее девяти, то для неабелевого композиционного фактора группы G, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L, существует не более двух возможностей (теорема 3).

4. Получено полное решение проблемы распознаваемости но спектру для простых линейных и унитарных групп над полями характеристики два (теорема 4).

5. Доказано, что любая копечная простая группа однозначно задается своими спектром и порядком в классе всех конечных групп, т. е. если L — конечная простая группа и G — конечная группа с такими же спектром и порядком, как у L, то G изоморфна L (теорема 5).

Результаты в пунктах 1-3 получены автором лично. Результаты пункта 4 получены совместно с A.B. Васильевым и В. Ши, при этом

вклад автора диссертации является решающим. Результат пункта 5 получен в неразделимом соавторстве с A.B. Васильевым и В.Д. Мазуровым.

Публикации. Результаты работы опубликованы в [52-63] в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Научная новизна и значимость работы. Работа носит теоретический характер. Все полученные результаты являются новыми.

Теорема 1 о накрытиях дает ответ на пункты б)-з) вопроса 17.73 и на вопрос 17.74 из «Коуровской тетради». Также по модулю предыдущих исследований из этого результата следует, что для любой простой исключительной группы лиева типа L, отличной от 31)4(2), существует только конечное число групп с таким же спектром и все они являются почти простыми группами с цоколем, изоморфным L, и то же самое верно для любой квазираспознаваемой классической группы размерности больше пяти.

По модулю предыдущих исследований теоремы 2 и 3 сводят вопрос квазираспознаваемости классических групп к вопросу о том, может ли группа, изоспектральная классической группе над полем характеристики р, иметь неабелев композиционный фактор, являющийся группой лиева типа над полем характеристики, отличной от р.

В теореме 4 впервые проблема распознаваемости полностью решена для всех классических групп данного типа в данной характеристике, без ограхшчений на размерность или порядок поля определения.

Теорема 5 доказывает гипотезу В. Ши о характеризации простой группы ее спектром и порядком (положительный ответ на вопрос 17.36 из из «Коуровской тетради»). Из этого результата и [34] следует положительный ответ на вопрос Т. Йошиды [36] о характеризации группы ее бернсайдовым кольцом для всех конечных неабелевых простых групп.

Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса о группах, изоспектральных простым, так и других проблем теории групп. Опи могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. В работе используются методы теории групп лиева типа, теории конечных групп, теории представлений линейных алгебраических групп, а также элементы теории чисел. Остановимся на некоторых из них более подробно.

В силу формул порядков конечных групп лиева типа в любую задачу, касающуюся порядков элементов этих групп, оказываются вовлечены простые примитивные делители или числа Жигмонди (простые числа, делящие дп — 1 и не делящие ц1 — 1 при г < п), что приводит к интенсивному использованию результата Жигмонди [37] о существовании примитивных делителей, а также результатов о свойствах таких делителей.

Как было уже сказано, при исследовашш спектров накрытий простой группы Ь лиева типа необходимо и достаточно сравнить спектр группы Ь со спектрами всех групп, устроенных как естественное полупрямое произведение V X Ь, где V — некоторый неприводимый конечномерный ¿-модуль на полем положительной характеристики г. Для этого, в свою очередь, необходима информация о минимальных аннулирующих многочленах элементов группы Ь на V. Если г не совпадает с характеристикой определения группы Ь, то используется богатая система параболических подгрупп группы Ь вместе с теоремой о действии дополнения группы Фробеннуса и теоремами типа Холла-Хигмэна для квазипростых классических групп [38]. Исключительные случаи, когда степень минимального многочлена меньше порядка элемента, описанные в [38], реализуются только для модулей Вейля [39], и в этих случаях используются известные свойства этих модулей. Если г совпадает с характеристикой определения группы Ь, то конструкции, позволяющие использовать теорему о действии дополнения группы Фробениуса и теорему Холла-Хигмэна [40], происходят не из параболических подгрупп, а из гораздо более бедного класса нормализаторов максимальных торов, что существенно ограничивает применение этого метода. С другой стороны, в этом случае теория Стейнберга [41] связывает представление Ь на V с представлением подходящей простой алгебраической группы, что позволяет привлечь результаты о минимальных многочленах элементов в модулях простых алгебраических групп. Ключевой работой здесь является статья [45], в которой дано достаточное условие того, что элемент простой односвязной алгебраической группы б над алгебраически замкнутым полем достаточно большой характеристики имеет ненулевую неподвижную точку в любом ненулевом ©-модуле.

В основе исследования проблемы квазираспознаваемости лежит результат о строении групп с большими кокликами в графе простых чисел из [27], который сводит задачу к изучению спектров накрытий почти простых групп. Используя для изучения спектров накрытий почти простых групп технику, описанную выше, мы показываем, что спектр неабелева композиционного фактора 5 конечной группы, изоспектраль-

ной данной простой группе лиева типа Ь, должен содержать достаточно большие или достаточно специальные числа из спектра группы Ь (как правило, это числа Жигмонди и их произведения). Полученные ограничения на спектр фактора Б вместе с известными результатами о спектрах простых групп позволяют ограничить круг возможностей для 5. Более того, в случае, когда Б — группа лиева типа в той же характеристике, что и Ь, мы предлагаем метод, основанный на сравнении вершин, несмежных с характеристикой в графах простых чисел групп 5' и Ь, позволяющий установить, что ¿> — это, как правило, группа над полем того же порядка, что и Ь, и того же, или отличающегося на единицу, лиева ранга.

Основу изучения спектров автоморфных расширений групп лиева типа естественным образом представляет теорема Стейнберга [42] о представлении любого автоморфизма группы лиева типа в виде произведения внутреннего, диагонального, полевого и графового автоморфизмов. Также используется результат из [24], который выражает спектры некоторых автоморфных расширений групп лиева типа через спектры централизаторов элементов этих расширений.

При изучении групп б, имеющих такой же спектр и порядок, как данная классическая группа Ь, мы сначала применяем известные или полученные в диссертации результаты о группах, изоспектральных Ь. Это сводит задачу к случаю, когда (3 является накрытием почти простой группы, цоколь которой — это группа лиева типа в характеристике V, отличной от характеристики определения группы Ь (именно этот случай не мог быть исключен методами из [35]). Так же, как выше, мы устанавливаем, что ¿> содержит достаточно большой (в терминах размерности и порядка поля определения группы Ь) элемент из спектра Ь. Из этого выводится, что у Я большой ранг или большой порядок поля определения, и, значит, большая силовская «-подгруппа. Тогда у (3 и, следовательно, у Ь тоже большая силовская »--подгруппа, однако из формул порядков групп лиева типа следует, что порядки кросс-характеристических силовских подгрупп группы лиева типа малы по сравнению с ее порядком. Формализуя эти рассуждения в виде точных неравенств, мы приходим к тому, что 3 не может быть группой в другой характеристике.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 12-18 августа 2007), Международный российско-китайский семинар «Алгебра и логика» (Иркутск, 6 — 11 августа 2007), конференция «Математика в современном мире», посвя-

щепная 50-летию Института математики СО РАН (Новосибирск, 17-23 сентября 2007), Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 28 мая -3 июня 2008), Седьмая международная школа^конференция по теории групп, посвященная 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 3-9 августа 2008), Международная алгебраическая конференция, посвященная 80 -летию со дня рождения А.И. Кострикина (Нальчик, 6—12 июля 2009), Международная конференция "Groups St Andrews 2009" (Великобритания, Бат, 1-15 августа 2009), Международная конференция «Мальцев-ские чтения-2010» (Новосибирск, 2-6 мая 2010), Международная алгебраическая конференция, посвященная 70-летию A.B. Яковлева (Санкт-Петербург, 19-24 июня 2010), международная конференция "Groups and their actions" (Польша, Бедлево, 23-28 августа 2010), 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 29 января-5 февраля 2011), Международная конференция по алгебре и геометрии, посвященная 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 22-27 августа 2011), Международная конференция «Мальцевские чтения-2011» (Новосибирск, 11-14 октября 2011), Международная конференция по теории групп, посвященная 70-летию В.Д. Мазурова (Новосибирск, 16-20 июля 2013).

Результаты диссертации обсуждались на семинарах «Теория групп» лаборатории теории групп Института математики им. C.J1. Соболева СО РАН и «Алгебра и логика» кафедры алгебры и математической логики Новосибирского государственного университета.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 5 глав, введения, заключения и списка литературы. Она изложена на 123 страницах, включает 10 таблиц и 3 рисунка, библиография содержит 164 наименования.

Основное содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на вступительную часть и параграфы. Во вступительной части главы в виде теорем сформулированы основные результаты главы, а также приведены их следствия и связанные с ними открытые вопросы. Теоремы имеют одинарную сквозную нумерацию. Вспомогательные утверждения (леммы и предложения) имеют тройную нумерацию: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе. Таблицы и рисунки имеют сквозную нумерацию.

Во введении содержится постановка задачи, обосновывается актуальность темы исследования, освещается степень ее разработки; изложены цели, задачи, методы исследования и основные результаты диссертации; отражены новизна и научная значимость работы и данные об апробации. Также приведены сведения о публикации результатов диссертации.

В первой главе собраны основные необходимые определения, обозначения и предварительные результаты: приведена теорема Жигмоиди и другие сведения о примитивных делителях; собраны общие факты о спектрах и графах простых чисел групп лиева типа, в частности, даны критерии смежности с числом 2 и характеристикой из [28]; сформулированы теоремы Грюнберга-Кегеля [8] и Васильева [27] о связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел. Следующее утверждение является следствием результатов из [8,27,28] и играет ключевую роль в изучении групп, изоспектральных простым группам лиева типа.

Лемма 1.3.4. Пусть L — конечная неабелева простая группа лиева типа, отличная от Ьз(3), £/з(3) и ¿>4(3), а G — конечная группа, удовлетворяющая условию w(G) = ui(L). Тогда

1) существует неабелева простая группа S такая, что S ^ G — G/K ^ Aut S, где К — разрешимый радикал группы G;

2) если коклика графа GK(G) содержит более двух вершин, то не более чем одно число из этой коклики делит произведение \К\ ■ \G/S\;

3) если простой делитель порядка группы G не смежен в GK(G) с числом 2, то он не делит произведение \К\ ■ |G/5|.

В последнем параграфе первой главы содержится обзор неабелевых простых групп с решенной проблемой распознаваемости по спектру.

Вторая глава посвящена доказательству того, что все конечные неабелевы простые группы, кроме некоторых групп лиева типа небольших лиевых рангов, распознаваемы по спектру среди накрытий. Более точно, основным результатом главы является

Теорема 1. Пусть S — конечная неабелева простая группа, отличная от следующих групп: L^(q) и Un(q), где q — нечетное составное число; Us(q), где q — простое число Мерсенна такое, что q2 — q + 1 также просто; U^(2), 3Di(2). Тогда S распознаваема по спектру среди накрытий, т.е. спектр любого собственного накрытия группы S отличен от спектра группы S.

Как уже говорилось выше, все спорадические и знакопеременные группы распознаваемы среди накрытий, а группы Ри и Сузуки, G2(c/) и Eg(q) распознаваемы в классе всех конечных грунп. Для простых ли-

нейных групп утверждение теоремы 1 доказано в [25, следствие 1], а для групп U3(q) — в [24, §4]. Мы рассматриваем все оставшиеся группы, т. е. унитарные, симплектические, ортогональные группы и группы 3D4(q), F4{q), Ef{q) и E7{q).

Доказательство теоремы 1 начинается с хорошо известного сведения к случаю, когда накрытие группы S — это расщепляемое расширение элементарной абелевой r-группы для некоторого простого числа г посредством группы S (лемма 2.1.1). Поскольку в нашем случае S — это группа лиева типа над полем некоторой положительной характеристики р, естественно разделить доказательство на две части в зависимости от того, совпадают г и р или нет. Следует отметить, что случай г = р для унитарных групп был рассмотрен ранее в [25], и мы его не касаемся. Таким образом, по модулю предыдущих результатов теорема 1 вытекает из двух следующих предложений.

Предложение 2.4.1. Пусть q — степень простого числа р и S — одна из простых групп Un(q), где п > 4, S2n(q), где п ^ 2, 02n+1(q), где п > 3, 0%n(q), где п > 4, 3D4(q), F4(q), E±{q), E7{q). Если V -конечномерный S-модуль над полем характеристики г, где г ф р, то либо lj(V X S) ф ш(5), либо S = U5( 2) иг = 3.

Предложение 2.6.1. Пусть q — степень простого числа р и S — одна из простых групп S2n{q), где п ^ 2, 02n+l{q), где п ^ 3, Ofn(q), где п ^ 4, 3D4(q), где q > 2, F4(q), Ef(q), E7(q). Если V - конечномерный S-модуль над полем характеристики р и H — естественное полупрямое произведение V и S, то и(Н) ф w(5).

Анализ доказательств аналога предложения 2.4.1 для групп Ри и Сузуки, линейных групп и групп G2{q), E$(q) показывает, что во всех этих случаях в группе S была построена группа Фробениуса с циклическим дополнением С, порядок которого максимален относительно отношения делимости в спектре группы S, а затем была применена следующая известная лемма (ее доказательство содержится, например в [43]).

Лемма (о действии дополнения Фробениуса). Пусть G — конечная группа, К — нормальная г-подгруппа в G и G/K — группа Фробениуса с ядром F и циклическим дополнением С. Если (|F|,r) = 1 и F не содержится в KCG(K)/K, то r\C\ е w(G).

Таким образом доказывалось, что в разности oj(V X S) \ u>(S) лежит число г|С|. К сожалению, ограничиться этим рассуждением при доказательстве предложения 2.4.1 не удается, поскольку в общем случае группа лиева типа не содержит групп Фробениуса с циклическими дополнениями максимальных порядков. Однако нам удается построить внутри

группы 5 подгруппу Фробепиуса с циклическим дополнением С достаточно большого порядка, а именно, такого порядка, что г\С\ и>(Б) для всех г, не делящих с¡к ± 1, где к < 3 (леммы 2.1.8 и 2.2.3). Тем самым доказательство сводится к небольшим г.

Для небольших г несложно найти г-период ехрг(Б) группы 51, т.е. максимальную степень числа г, лежащую в ш(5). Если показать, что в 5 есть элемент порядка ехрг{Б) такой, что степень его минимального аннулирующего многочлена в представлении группы 5 на V равен его порядку, то спектр группы будет содержать число г • ехрг(Б),

а значит, отличаться от спектра группы Б. Таким образом, на втором шаге доказательства используются теоремы типа Холла-Хигмена: сама теорема Холла-Хигмена [40] и теорема Ди Мартино-Залесского о минимальных аннулирующих многочленах полупростых элементов при-марного порядка из собственных параболических подгрупп в кросс-характеристических представлениях классических групп [38]. Исключительные случаи теорем Холла-Хигмэна и Ди Мартино-Залесского, когда степень минимального аннулируещего многочлена меньше порядка элемента, реализуются в представлениях Вейля симплектичексих и унитарных групп, и отдельный параграф главы посвящен модулям Вейля группы ¿77,5В этом параграфе, в частности, показано, что Г/5(2) нераспознаваема среди накрытий, а именно, доказано

Предложение 2.3.5. Пусть 5 = £/5(2) и V — 3-редукция модуля Вейля размерности 10 группы 5. Тогда о;(У X 5) =

Случай г ф р принципиально отличается от случая г = р. Действительно, подгруппа Фробепиуса группы ¿>, порядок ядра которой взаимно прост с характеристикой р, — это, как правило, подгруппа в нормализаторе тора группы 5", а значит, период ее дополнения делит период группы Вейля группы 51, т.е. не является большим в масштабах спектра группы Ь' числом. Попытка показать, что р-период группы V X Б будет больше р-периода группы 5" также в общем случае обречена на провал: если р достаточно большое по сравнению с рангом группы 5, то существует модуль V в характеристике определения размерности меньше, чем р, и для этого модуля ехрр(У X 5) = ехрр(Б) = р. Таким образом, единственный путь — это доказать, что при достаточно большом лиевом ранге группы 5" и достаточно большом р в 5 всегда найдется полу простой элемент д такой, что д имеет ненулевую неподвижную точку в модуле V и \д\ является /¿-максимальным в ш(Б), т. е. \д\р си(Б). Отметим, что группы С-2(<]), где ц нечетно, и группы Ея(с[) обладают свойством унисингулярности: при действии любой из этих групп на ненулевом модуле в характеристике определения любой эле-

мент имеет ненулевую неподвижную точку [44], и это свойство значительно упрощает доказательство их распознаваемости среди накрытий. Симплектические и ортогональные группы, а также группы типов Ев и Е7, над полями непростого порядка не являются уннсингулярными.

Доказательство предложения 2.6.1 опирается на результат Залес-ского-Супруненко [45], описывающий подсистемные подгруппы Г конечной универсальной группы лиева типа С такие, что любой элемент из Г имеет неподвижную точку в любом ненулевом С-модуле. К сожалению, указанные подсистемные подгруппы не всегда содержат элементы /.»-максимальных порядков (например, в случае симплектических групп и групп 3£>4(<7))- Кроме того, результат Залесского-Супруненко не касается симплектических групп в характеристике 2. Указанные сложности преодолеваются конструированием элементов новых порядков на основе вложения в рассматриваемые группы прямых произведений групп других лиевых типов.

Отметим, что группы [/3(9), где д — простое число Мерсенна такое, что д2 — д + 1 также просто, и группа 3£>4(2) нераспознаваемы по спектру среди накрытий [24,46]. Также известно, что 1<4(1324) нераспознаваема среди накрытий [47]. Таким образом, простые группы, для которых неизвестно, распознаваемы они среди накрытий или нет, — это группы -£^4(<7) и где д — нечетное составное число и (д,е) ф (1324,+).

Результаты главы опубликованы в [59,60,62].

Третья глава посвящена исследованию квазираспознаваемости по спектру простых классических групп. Основными результатами главы являются две следующие теоремы.

Теорема 2. Пусть д — степень простого числа р и Ь — одна из простых классических групп Ьп{д), где п ^ 4, ип{ц), где п > 4, причем Ь ф [/4(2). Пусть С — конечная группа такая, что = и>(Ь).

Предположим, у группы С есть неабелев композиционный фактор Б, изолюрфный группе лиева типа над полем характеристики р. Тогда Ь.

Теорема 3. Пусть д — степень простого числа р и Ь — одна из простых классических групп ¿^(д), где п ^ 2, С>2п+1(д), где п ^ 3, и 0^п(д), где п > 4, причем Ь ф 54(3). Пусть б — конечная группа такая, что = и>(Ь). Предположим, что у С? есть неабелев композиционный фактор ¿>, изоморфный группе лиева типа над полем характеристики р, и Я ф Ь. Тогда выполнено одно из следующих утверждений:

а)Ь = 54(9) и Б = Ь2(д2)-,

б)Ье {Б6(д),07(д),0+(д)} и Я 6 {Ь2(д3), 56(д), 07(д), <Э+(д), С2(д)};

в)п^А,Ье {52п(д))02гг+1(д),02-„(д)} и Б € {02п+1(д), 02п{д)}-,

г) п > 6 четно, Ь = и Б е {52„-2(9), 02п-1(9)}-

Напомним, что согласно [27,28] в условиях теорем 2 и 3 фактор Б —

это единственный неабелев композиционный фактор группы (3 и, значит, Б ¡^ С = С ¡К < А^б1, где К — разрешимый радикал группы (3. Более того, в силу леммы 1.3.4 если простое число г делит порядок группы (3 и 2г С К (С), то г не делит \К\- \С/Б\. Следовательно, все числа, не смежные с 2 в СК(Ь), полностью сохраняются в СК(Б) и, используя результаты о смежности с числом 2 в графах простых чисел простых групп из [28], можно ограничить параметры группы 5. Недостаток этого стандартного подхода состоит в том, что максимальный размер ко-клики, содержащей число 2, в графе простых чисел группы лиева типа над полем нечетной характеристики, как правило, равен двум, поэтому на параметры группы 5 накладывается только одно условие. С другой стороны, максимальный размер коклики, содержащей характеристику, в графе простых чисел группы лиева типа над полем любой характеристики, как правило, равен трем, и мы используем это соображение, доказав, что в условиях теорем 2 и 3 выполнен следующий аналог п. 2 леммы 1.3.4.

Лемма 3.1.1. Пусть Ь — простая классическая группа над полем характеристики р, отличная от .£<3(9) и £/3(9) > £ — простая

группа лиева типа над полем характеристики р, (3 — конечная группа такая, что ш(<3) = и (Ь) и Б < б = С/К < А^ Б, где К — разрешимый радикал группы <3. Предположим, что Б ф Ь2(р). Если г ф_р делит порядок группы Ь и гр ^ш(Ь), то г взаимно просто с \К\ • |(3/5|.

После применения леммы 3.1.1 доказательство теорем 2 и 3 следует описашюй выше логике. Будем обозначать через е(г, а), где г и а — взаимно простые натуральные числа, мультипликативный порядок числа а по модулю г. Пусть Ь и 5 — группы лиева типа над полями порядков 5 и и соответственно. Как показано в [28], условие того, что простое число г не смежно с р в СК{Ь), связывает е(г,д) с лиевым рангом группы Ь. Аналогичным образом, несмежность г с р в СК(Б) связывает е(г, и) с рангом группы 5'. Поскольку ч и и — степени одного числа р, значения е(г, д) и е(г, и) также связаны между собой. Таким образом получается некоторая система цепочек делимостей, которая вместе с условием ш(Б) С и>(Ь) позволяет показать, что, как правило, и = <7 и ранги групп Ь и Б близки. Еще раз подчеркнем, что использование леммы 3.1.1 позволяет получить систему из большего числа делимостей, чем применение леммы 1.3.4, что делает доказательство более коротким и прозрачным.

Результаты главы получены автором лично и опубликованы в [56, §5] и [61, §5].

В четвертой главе дано полное решение проблемы распознаваемости по спектру для простых линейных и унитарных групп над полями характеристики два. Спектры линейных и унитарных групп устроены похожим образом, поэтому мы рассматриваем эти группы одновременно, пользуясь сокращением ¿^(д), где = Ьп(д) и Ь~(д) = С/П(д). Для формулировки теоремы 4 — основного результата главы — нам также потребуется понятие ¿-части: под ¿-частью натурального числа п мы подразумеваем наибольший делитель числа п, все простые делители которого делят (I.

Теорема 4. Пусть Ь — простая группа где п ^ 2, д = 2\

е € {+, —}• Пусть <1 = (тг, ц — е) иЬ равно ¿-части числа ((г/ — е)/с1, к).

а) Если Ь = и^{2) или Ь = Е/5(2), то Н{Ь) = оо.

б) Если п — 1 является степенью числа 2 и Ь ф С/5(2), то 1г{Ь) = 1.

в) Если п — 1 не является степенью числа 2 и Ь ф С/4 (2), то Ъ,(Ь) равно количеству делителей числа Ь. Более того, конечная группа С удовлетворяет условию ш(С) = ш{Ь) тогда и только тогда, когда О изоморфна расширению группы Ь с помощью полевого автоморфизма, порядок которого делит Ь.

В частности, Ь распознаваема по спектру тогда и только тогда, когда п — 1 является степенью числа 2 или (6, {д — е)/(1, к) = 1.

Распознаваемость групп ЬЕп{ 2к), где п = 2, 3,4 и (п,к,е) ф (4,1,—), доказана в [13,48,49]. Нераспозиаваемость групп С/д(2) и С/5(2) установлена в [14]. Мы рассматриваем случай, когда п ^ 5 и Ь ф 17^(2).

Первый шаг доказательства теоремы 4 состоит в установлении ква-зираспозиаваемости группы Ь. Как и выше, из [27, 28] следует, что у любой группы (3, изоспектральной Ь, ровно один неабелев композиционный фактор 5. В силу теоремы 2 если 5" — группа лиева типа над полем характеристики 2, то 5 ~ Ь. Таким образом, нужно исключить случаи, когда 5 — спорадическая, знакопеременная или группа лиева типа над полем нечетной характеристики.

Числа, не смежные с 2 в СК{Ь) — это в точности примитивные делители чисел (¡п — еп и дп~1 — £™-1. По лемме 1.3.4 эти примитивные делители делят порядок группы 5 (более того, произведения всех примитивных делителей чисел дп — £п и дп~1 — еп~1 с учетом их кратности лежат в ш(5)), и исключение спорадических групп производится конечным перебором. Исключение случая, когда Б — знакопеременная группа или группа лиева типа над полем нечетной характеристики, основано на двух оригинальных подходах: во-первых, это исследование

простых чисел г таких, что 2г 6 ui{L) и 4г uj{L) (в спектрах классических групп над полем нечетной характеристики таких чисел, как правило, нет); во-вторых, это составление цепочек неравенств па основе того, что спектр группы S, с одной стороны, содержится в спектре группы L и, с другой стороны, содержит вышеупомянутые произведения примитивных делителей.

Второй шаг доказательства состоит в применении теоремы 1: из квазираспознаваемости и распознаваемости среди накрытий следует, что любая группа О, изоспектральная L, должна быть автоморфным расширением группы L, т. е. удовлетворять условию L ^ G ^ Aut L.

На третьем шаге мы описываем группы G такие, что oj(G) = u>(L) и L < G ^ Aut L. Рассматривая максимальные торы группы внутренне-диагональных автоморфизмов группы L и используя информацию о строении централизаторов инволюций в Aut L, мы показываем, что группа G/L циклическая и имеет нечетный порядок. Затем в любой такой группе G, не сопряженной в Aut L расширению посредством полевого автоморфизма, мы явно строим элемент, порядок которого не лежит в lj(S). Согласно [24, предложение 13] спектр группы G, сопряженной расширению полевым автоморфизмом, выражается через спектры линейных (унитарных групп) над полями меньших порядков, и, пользуясь описанием спектров линейных и унитарных групп [50], мы производим сравнение oj(G) и ¡-о(Ь).

Результаты главы опубликованы в [53-55,58,63].

В пятой главе доказана гипотеза Ши о том, что любая простая группа однозначно задается своими спектром и порядком в классе всех конечных групп.

Теорема 5. Если L — конечная простая группа и G — конечная группа, такая что |G| = |L| и ui(G) = w(L), то G ~ L.

Теорема 5 очевидно выполняется, если L — группа простого порядка, поэтому можно считать, что группа L неабелева. Как уже говорилось, теорема 5 была доказана ранее для всех неабелевых простых групп, кроме групп S2n(.q), 02n+i(g) и Otn(q), где в последнем случае п четно. Мы рассматриваем только эти оставшиеся случаи, но предложенный метод применим для всех классических групп.

Как и выше, если L ф ¿^(З), то из условия w(G) = oj(L) следует, что S ^ G — G/K ^ Aut S, где К — разрешимый радикал группы G и S — неабелева простая группа. Из результатов А.В.Васильева и В.Д. Мазурова [56, теоремы 1 и 2] следует, что S не может быть ни знакопеременной, ни спорадической группой. Если S и L — группы лиева типа над полем одной характеристики, то, применяя теорему 3 и ис-

пользуя условие |G| = \L\, мы доказываем, что S ~ L и, значит, G ~ L (предложение 5.3.6).

Предположим, что q — это степень простого числа р и S — группа лиева типа над полем характеристики v ф р и порядка и. Из леммы 1.3.4 следует, что примитивные делители чисел qk - 1, где п/2 < к < п, и примитивные делители чисел q2k - 1, где к нечетно и п/2 < к < п, кроме, возможно, делителей одного числа, взаимно просты с \К\ ■ \G/S\ (лемма 3.1.3). В частности, в GK(S) есть коклика, размер которой близок к Зп/4. Размер максимальной коклики в GK(S) — это линейная функция от лиева ранга группы S, поэтому п < 7(m), где m — лиев (нескрученный) ранг группы S, а точный вид линейной функции 7(2;) можно найти, используя [28]. Кроме того, на основе леммы 3.1.3 мы показываем, что группа S содержит элемент достаточно большого порядка h(q) (лемма 5.4.1). Поскольку порядки элементов группы S не превосходят 2ит (лемма 5.1.2), мы получаем неравенство h(q) ^ 2ит.

Из условия \G\ = |L\ вытекает, что порядок силовской v-гюдгруппы группы S не превосходит порядка силовской г>-подгруппы группы L. Из формул порядков групп лиева типа следует, что порядок силовской и-подгруппы группы S равен и,,ш(-гп\ где для классических групп а{т) линейно зависит от m, а порядок силовской и-подгруптты группы L не превосходит (2q + 2)3п/2 (лемма 5.1.5). Таким образом,

h{q) si 2ит < 2{2q + 2)A ^ 2(2(7 + 2)^.

Поскольку 7 (я:) и а(х) — линейные функции и п < 7(m)i отношение 7(m)/<x(m) имеет конечный предел при п со. Поэтому при достаточно больших п получаем неравенство h(q) ^ 2(2q + 2)с, где с — некоторая константа. Это неравенство противоречит тому, что h(q) неограниченно возрастает с ростом п.

С использованием более точных оценок на порядки элементов и силовских подгрупп изложенная схема приводит к противоречию при п ^ 7. Случай п < Г) требует более тонких рассуждении с привлечением периодов и порядков силовских р-подгрупп групп К и G/S (лемма 5.3.3).

Результаты главы опубликованы в [52,57].

Заключение

В диссертации решены следующие проблемы, возникшие в контексте изучения групп, изоспектральных простым группам:

1) доказано, что все неабелевы простые группы, кроме нескольких групп лиева типа ранга не выше трех, распознаваемы по спектру среди своих накрытий (теорема 1);

2) доказано, что конечная группа, изоспектральная простой линейной или унитарной группе L размерности не менее пяти, не может иметь в качестве композиционного фактора группу лиева типа над полем той же характеристики, что и L, но при этом не изоморфную L (теорема 2);

3) показано, что если конечная группа G изоспектральна простой симплектической или ортогональной группе L размерности не менее девяти, то для неабелевого композиционного фактора группы G, который не изоморфен L, но является группой лиева типа в той же характеристике, что и L, существует не более двух возможностей (теорема 3);

4) полностью решена проблема распознаваемости по спектру для всех простых линейных и унитарных групп над полями характеристики 2 (теорема 4; совместно с A.B. Васильевым и В. Ши);

5) доказана справедливость гипотезы В. Ши о том, что любая конечная простая группа однозначно определяется своими спектром и порядком среди всех конечных групп (теорема 5; совместно с A.B. Васильевым и В.Д. Мазуровым).

Полученные результаты вносят существенный вклад в обоснование гипотезы, известной как гипотеза В.Д. Мазурова, о том, что «почти все простые группы почти распознаваемы по спектру». Точная формулировка этой гипотезы, возникшая около 2005 г., звучит следующим образом: для любой конечной неабелевой простой группы L, за исключением конечного числа спорадических, знакопеременных и исключительных групп и за исключением некоторого числа серий классических групп небольших размерностей, и любой конечной группы G, изоспек-тральной L, выполнено L < G < Aut L, и в частности число различных групп, изоспектральных L, конечно. Будем для краткости говорить, что неабелева простая группа L почти распознаваема, по спектру, если она обладает свойством из гипотезы Мазурова, т. е. любая группа, изоспектральная L, является почти простой группой с цоколем L. Отметим, что неабелева простая группа L почти распознаваема тогда и только тогда, когда она квазираспознаваема и распознаваема среди своих накрытий.

Все спорадические группы, кроме и все знакопеременные группы Altn, где п ^ 5 и п ф 6,10, распознаваемы по спектру (см. [15,16]). Из теоремы 1 диссертации и предшествующих результатов об исключительных группах лиева типа вытекает, что все исключительные группы лиева типа, кроме 3Z?4(2), почти распознаваемы. Теоремы 1, 2 и 3 по модулю имеющихся результатов сводят доказательство почти распознаваемости классических групп к изучению вопроса о том, может ли спектр простой классической группы над полем характеристики р совпасть со спектром группы, имеющей в качестве композиционного фактора группу лиева типа над полем характеристики, не равной р. Решение последнего вопроса было недавно получено А.В. Васильевым [51]. Таким образом, гипотезу Мазурова можно считать доказанной.

Благодарности

Я очень признательна своему научному консультанту Андрею Викторовичу Васильеву за неизменную поддержку и научное сотрудничество. Я благодарна Виктору Даниловичу Мазурову за вшшание и знакомство с проблемой распознаваемости по спектру. Я благодарна всем сотрудникам, аспирантам и студентам лаборатории теории групп ИМ СО РАН, и особенно А.А. Бутурлакину, Е.П. Вдовину, А.В. Заварницину, Д.О. Ревину и А.С. Старолетову, за их профессионализм и ту атмосферу, в которой была выполнена диссертация.

Список литературы

[1] Burnside W. On a class of groups of finite order // Trans. Cambridge Phil. Soc. - 1900. - Vol. 18. - P. 269-276.

[2] Suzuki M. Finite groups with nilpotent centralizers // Trans. Amer. Math. Soc. — 1961. — Vol. 99. — P. 425-470.

[3] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. of Math. (2). — 1962. — Vol. 75. - P. 105-145.

[4] Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order // Pacific. J. Math. - 1963. — Vol. 13. — P. 775-1029.

[5] Neumann В. H. Groups whose elements have bounded orders // J. Lond. Math. Soc. — 1937. —Vol. 12. — P. 195-198.

[6] Higman G. Finite groups in which every element has prime power order // J. London Math. Soc.— 1957. — Vol. 32, — P. 335-342.

[7] Gruenberg K. W., Roggenkamp K. W. Decomposition of the augmentation ideal and of the relation modules of a finite group // Proc. London Math. Soc. (3). — 1975. — Vol. 31, no. 2. — P. 149-166.

[8] Williams J. S. Prime graph components of finite groups //J. Algebra. — 1981. — Vol. 69. - P. 487-513.

[9] Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. — 1989, — Т. 180, № 6, — С. 787-797.

10] Babai L., Kantor W. М., Palfy P. P., Seress A. Black-box recognition of finite simple groups of Lie type by statistics of element orders // J. Group Theory. — 2002. — Vol. 5, no. 4. - P. 383-401.

11] Kantor W. M., Seress A. Prime power graphs for groups of Lie type // J. Algebra. — 2002. — Vol. 247, no. 2. — P. 370-434.

12] Kantor W. M., Seress A. Large element orders and the characteristic of Lie-type simple groups // J. Algebra. — 2009.— Vol. 322, no. 3.— P. 802-832.

13] Shi W. A characterization of Ji and PSL2{2") // Adv. in Math. (Beijing). — 1987. — Vol. 16. - P. 397-401.

14] Мазуров В. Д. Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов // Алгебра и логика. — 1998. — Т. 37, № 6. — С. 651-666.

15] Mazurov V. D., Shi W. A note to the characterization of sporadic simple groups // Algebra Colloq. — 1998. — Vol. 5, no. 3. — P. 285-288.

16] Горшков И. В. Распознаваемость знакопеременных групп по спектру // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52, № 1. — С. 57-63.

17] Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. унта. Серия Математика и механика. — 2005.— Т. 36.— С. 119-138.

18] Grechkoseeva М. A., Shi W., Vasil'ev А. V. Recognition by spectrum for finite simple groups of Lie type // Front. Math. China. — 2008,— Vol. 3, no. 2.- P. 275-285.

[19] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Под ред. В. Д. Мазуров, Е.И. Хухро.— 17 изд.— Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2010. — 218 с.

[20] Заварницин А. В., Мазуров В. Д. Порядки элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп // Алгебра и логика. — 1999. — Т. 38, № 3. - С. 296-315.

[21] Deng Н., Shi W. The characterization of Ree groups 2F,\{q) by their element orders // J. Algebra. — 1999. — Vol. 217, no. 1. — P. 180-187.

[22] Васильев А. В., Старолетов A. M. Распознаваемость групп G^iq) по спектру // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52, № 1. — С. 3-21.

[23] Кондратьев А. С. Распознаваемость по спектру групп Ea(q) // Тр. ИММ УрО РАН. — 2010. - Т. 16, № 3. — С. 146-149.

[24] Заварницин А. В. Распознавание простых групп U¿(q) по порядкам элементов // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, № 2. — С. 185-202.

[25] Заварницин А. В. Свойства порядков элементов в накрытиях групп Ln(q) и Un{q) ¡¡ Сиб. матем. жури. — 2008. — Т. 49, № 2. — С. 308321.

[26] Brandl R., Shi W. Finite groups whose element orders are consecutive integers // J. Algebra. - 1991. — Vol. 143, no. 2. — P. 388-400.

[27] Васильев А. В. О связи между строением конечной группы и свойствами ее графа простых чисел // Сиб. матем. жури.— 2005.— Т. 46, № 3. — С. 511-522.

[28] Васильев А. В., Вдовин Е. П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, У'- 6. - С. 682-725.

[29] Гречкосеева М. А., Лытюга Д. В. Почти распознаваемость по спектру конечных простых линейных групп простой размерности // Сиб. матем. жури. — 2012. — Т. 53, № 4. — С. 805-818.

[30] Staroletov А. М., Vasil'ev А. V. On finite groups isospectral to finite simple exceptional groups of type E-j // Тезисы докладов XI Белорусской математической конференции (Минск, 2012).— Институт математики HAH Беларуси, Минск, 2012. — С. 69-70.

[31] Васильев А. В., Гречкосеева М. А. О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 46, № 4. - С. 749-758.

[32] Мазуров В. Д. Распознавание конечных простых групп S4(д) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. — 2002. — Т. 41, № 2. — С. 166-198.

[33] Lucido М. S. Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. — 1999, — Vol. 102, — P. 1-22.

[34] Kimmerle W., Luca F., Raggi-Cárdenas A. G. Irreducible components and isomorphisms of the Burnside ring //J. Group Theory. — 2008.— Vol. 11, no. 6. — P. 831-844.

[35] Xu M., Shi W. Pure quantitative characterization of finite simple groups 2Dn(q) and Dt(q) (I odd) // Algebra Colloq. - 2003. - Vol. 10, no. 3.—P. 427-443.

[36] Yoshida T. On the Burnside rings of finite groups and finite categories // Commutative algebra and combinatorics (Kyoto, 1985). — North-Holland, Amsterdam, 1987. — P. 337-353.

[37] Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. — 1892. — Vol. 3. - P. 265-284.

[38] Di Martino L., Zalesskii A. Minimum polynomials and lower bounds for eigenvalue multiplicities of prime-power order elements in representations of classical groups //J. Algebra.— 2001.— Vol. 243, no. 1. —P. 228-263.

[39] Guralnick R. M., Magaard K., Saxl J., Tiep P. H. Cross characteristic representations of symplectic and unitary groups //J. Algebra.— 2002. — Vol. 257, no. 2. — P. 291-347.

[40] Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorem for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc. — 1956. — Vol. 6, no. 3. — P. 1-42.

[41] Steinberg R. Endomorphisms of linear algebraic groups— American Mathematical Society, Providence, RI, 1968.

[42] Steinberg R. Lectures on Chevalley groups.— Yale University, New Haven, Conn., 1968.

[43] Мазуров В. Д. Характеризация конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика.— 1997.— Т. 36, Ха 1.— С. 37-53.

[44] Guralnick R., Tiep P. Finite simple unisingular groups of Lie type // J. Group Theory. — 2003. — Vol. 6, no. 3. — P. 271-310.

[45] Suprunenko I. D., Zalesski A. E. Fixed vectors for elements in modules for algebraic groups // Int. J. Algebra Comput. — 2007. — Vol. 17, no. 5-6, — P. 1249-1261.

[46] Мазуров В. Д. Нераспознаваемость конечной простой группы 3£>4(2) по спектру // Алгебра и логика.— 2013,— Т. 52, № 5,— С. 601-605.

[47] Zavarnitsine А. V. Exceptional action of the simple groups L,\{q) in the defining characteristic // Сиб. электрон, матем. изв. — 2008.— Т. 5. - С. 65-74.

[48] Мазуров В. Д., Су М., Чао X. Распознавание конечных простых групп L;\{2rn) и £/з(2т) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. — 2000. — Т. 39, № 5. — С. 567-585.

[49] Мазуров В. Д., Чен Г. Ю. Распознаваемость по спектру конечных простых групп L4(2m) и U\{'2m) // Алгебра и логика,— 2008.— Т. 47, X« 1, — С. 83-93.

[50] Бутурлакин А. А. Спектры конечных линейных и унитарных групп // Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, № 2. — С. 157-173.

[51] Vasil'cv А. V. On finite groups isospectral to simple classical groups // arXiv: 1405.4374 [math.GR] — 2014.

Работы автора по теме диссертации

[52] Гречкосеева М. А. О различии спектров простых групп Bn(q) и Cn(q) // Сиб. матем. журн. - 2007. — Т. 48, Xs 1. — С. 89-92.

[53] Grechkoseeva М. A., Shi W., Vasil'ev А. V. Recognition by spectrum of Li6(2m) // Algebra Colloq. - 2007. - Vol. 14, no. 4. - P. 585-591.

[54] Гречкосеева M. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Алгебра и логика. — 2008. — Т. 47, X» 4. - С. 405-427.

[55] Васильев А. В., Гречкосеева М. А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2 // Алгебра и логика.— 2008.— Т. 47, № 5,— С. 558-570.

[56] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д. О конечных группах, изоспектральных простым симплектическим и ортогональным группам // Сиб. матем. журн. — 2009. — Т. 50, № 6. - С. 1225-1247.

[57] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Мазуров В. Д. Характериза-ция конечных простых групп спектром и порядком // Алгебра и логика. — 2009. - Т. 48, № 6. — С. 685-728.

[58] Grechkoseeva М. A. Quasirecognizability of simple unitary groups over fields of even order // Сиб. электрон, матем. изв. — 2010. — Т. 7. — С. 435-444.

[59] Grechkoseeva М. A. On element orders in covers of finite simple classical groups // J. Algebra. — 2011. — Vol. 339,— P. 304-319.

[60] Гречкосеева M. А. О спектрах накрытий конечных простых классических групп // Доклады АН. — 2011. — Т. 439, № 2. — С. 156-158.

[61] Васильев А. В., Гречкосеева М. А., Старолетов А. М. О конечных группах, изоспектральных простым линейным и унитарным группам // Сиб. матем. журн. — 2011. — Т. 52, № 1. — С. 39-53.

[62] Гречкосеева М. А. О порядках элементов в накрытиях конечных простых групп // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52, № -5. — С. 638641.

[63] Grechkoseeva М. A., Shi W. J. On finite groups isospectral to finite simple unitary groups over fields of characteristic 2 // Сиб. электрон, матем. изв. — 2013. — Т. 10. — С. 31-37.

Гречкосеева Мария Александровна

Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типа

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 11.08.2014 Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 2 Объем 32 стр. Тираж 150 экз. Заказ № 164

Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6 email: omegap@yandex.ru