Простые бесконечномерные n-лиевы алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



новосибирским государственный университет

На правах рукописи УДК 512.554

Пожидаев Александр Петрович

ПРОСТЫЕ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ п-ЛИЕВЫ АЛГЕБРЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Филиппов В.Т.

Новосибирск - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...............................................3

ГЛАВА 1. Предварительные результаты.............14

§1 п-Лиевы алгебры и алгебра якобианов ............14

§2 Простые фактор-алгебры и подалгебры алгебры

якобианов ....................................... 17

ГЛАВА 2. Мономиальные п-лиевы алгебры ..----... 26

§1 Внешнее произведение отображений.............. .26

§2 п-Лиевы алгебры, определённые полилинейными

отображениями...................................35

§3 п-Лиевы алгебры, определённые слабо полилинейными отображениями ...............................42

§4 Разложимость тензора Намбу .....................46

§5 Примеры.........................................49

ГЛАВА 3. Гамильтонова и общая п-лиевы алгебры 53

§1 Гамильтонова алгебра £) .....................53

§2 Общая алгебра Е(Н, а) ...................... 59

§3 О параметрическом изоморфизме подалгебр

гамильтоновой алгебры...........................63

§4 Простота алгебр Е{1ъ} »7, а) .....................68

ГЛАВА 4. Два класса центральных простых

п-лиевых алгебр ...............................71

§1 Центроид ^-алгебры .............................71

§2 Центральная простота алгебр А(к, £)..............73

§3 Центральная простота алгебр Е(1г, а) ........76

§4 Подалгебры Картана алгебр А(1г, £) и Е(1г, 3, а) . 78

Литература...............................................84

/

ВВЕДЕНИЕ

Исторически п-лиевы алгебры возникали трижды. Впервые они возникли в 1984 г. в работе В.Т.Филиппова [6] как естественное обобщение алгебр Ли на случай п-арной операции умножения, которая является кососимметричной по всем аргументам и такой, что операторы правого умножения являются дифференцированиями.

Далее, при п = 3 они (под названием — кососимметричные тройные системы) независимо появились в работе [8] в 1985 г. при классификации тождеств в тройных системах.

Последнее возникновение п-лиевых алгебр произошло в 1994 г. в статье Л.А.Тахтаджяна [15] под названием Намбу-Лиевы "ге-бры" (алгебры). В этот раз источником их возникновения стала механика Намбу, предложенная Й.Намбу [5] как обобщение Га-мильтоновой механики.

На последнем случае, наиболее далеко уходящим корнями в прошлое, мы и остановимся.

Итак, в 1973 г. Й.Намбу [5] обобщил классическую Гамильтоно-ву механику, заменив канонически сопряженную пару переменных Гамильтонова формализма тройкой (или, более общо, п-кой) канонических переменных, а скобку Пуассона — тернарной (п-арной) операцией, так называемой скобкой Намбу. Динамика, в соответствии с Намбу, определяется уравнениями движения Намбу-Гамильтона, которые включают два (п — 1) "Гамильтониана" и заменяют канонические уравнения Гамильтона. Обобщенные уравнения движения Намбу-Гамильтона включают два "Гамильтони-

ана" д1 к и имеют вид:

# г, м _ д(/> 9Л)

д(х,у, х)'

где справа стоит якобиан от функций /, д, Н относительно переменных гг, 2/, 2;. Якобиан может быть интерпретирован как обобщение скобки Пуассона: он кососимметричен относительно всех аргументов и выполняется правило Лейбница по каждому аргументу. Как известно, тождество Якоби для скобки Пуассона эквивалентно теореме Пуассона, которая утверждает, что скобка Пуассона двух интегралов движения также является интегралом движения. Если потребовать аналогичную теорему для механики Намбу, то мы, вслед за Тахтаджяном [15], получаем обобщение тождества Якоби для скобки Намбу и естественным образом приходим к понятию многообразия Намбу-Пуассона порядка п как пары (М, ф), где М —многообразие, а ф — скобка Намбу, т.е. отображение ф : Ап С°°(М) ^ С°°(М) (ф(/и ...,/„) = {Л,..., /„}) такое, что для всех /1,..., /2п-1 £ С°°(М) выполнено правило Лейбница

{/1/2? /з? • • •, /71+1} = /1{/2, /з? • • • 5 Ли-1} + {/ъ /з, • • •, /п+ и обобщение тождества Якоби

{{/ъ — 1} 1п\ч 1п+Ъ • • • ? /2га—1

+{/га, {/ъ • • • ) /п-1) /п+1}) /га+2? • • • ) /2п-1 • • • + {/п? • • • 5 /2п-2{/ь • • • 1 /га—1? /2П-1}} = = {/ь • • • > /га-1{/га, • • • , /2п-1}}.

Как известно, структура линейной скобки Пуассона эквивалентна структуре алгебры Ли на дуальном пространстве. Если поставить вопрос — какую структуру на дуальном пространстве вводит линейная скобка Намбу, то мы приходим к определению Намбу-Лиевой алгебры [15] или, что то же самое, п-лиевой алгебры [6]: векторное пространство V называется п-лиевой алгеброй, если существует полилинейное кососимметрическое отображение удовлетворяющее обобщенному тождеству Якоби.

Класс п-лиевых алгебр содержит такие объекты как векторная алгебра Ап+1 (п + 1)-мерного пространства и алгебра якобианов А* (Б 1,..., 2)п) ассоциативной коммутативной алгебры А над полем Ф [6, 7, 22].

Как было замечено В.Т.Филипповым [7], любая п-лиева алгебра определяет бесконечное семейство "производных" А;-лиевых алгебр (2 < к < п), включающее в себя семейство алгебр Ли. А именно, пусть Ь — п-лиева алгебра (п > 2), а — произвольный фиксированный элемент алгебры Ь. Определим на линейном пространстве алгебры Ь новую (п — 1)-арную операцию [,..., ]а, положив для любых ах,..., ап-1 Е Ь [ах,..., ап_ 1]а = [ах,..., ап-\, а]. Относительно данной операции линейное пространство Ь становится (п — 1)-лиевой алгеброй.

Также известна связь п-лиевых алгебр с алгебрами Сейгла [13], а именно, ассоциированная тройная система алгебры Сейгла является 3-лиевой алгеброй, при этом простым алгебрам Сейгла соответствуют простые 3-лиевы алгебры.

В дальнейшем теория п-лиевых алгебр получила значительное развитие в работах российских и зарубежных математиков:

7, 22], Ш.М.Касымова [9, 17, 18], Е.Н.Кузьмина , Л.А.Тахтаджяна [15,16, 20, 21], Ю.Л.Далецкого

В.Т.Филиппова 10 21

, В. Линга [14 и др.

Развитие теории п-лиевых алгебр в основном проходило в рамках структурной теории конечномерных п-лиевых алгебр характеристики 0 и их представлений, которая практически завершена.

Основные результаты этой теории аналогичны результатам теории алгебр Ли. Так, например, в 1987г. Ш.М.Касымовым [9] был доказан аналог теоремы Энгеля для п-лиевых алгебр — результат в определенном смысле обобщающий теорему Н.Джекобсона о слабо замкнутых нильсистемах линейных преобразований [3].

На п-лиевы алгебры перенесены критерии Картана разрешимости и полупростоты алгебр Ли характеристики 0 [17], теорема о сопряженности подалгебр Картана конечномерной п-лиевой алгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 [18],

теорема Леви о расщеплении алгебры в прямую сумму разрешимого радикала и полупростой подалгебры [14].

Первые примеры простых конечномерных п-лиевых алгебр были построены В.Т.Филипповым в 1984 г. [6]. Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 все они изоморфны одной (п + 1)-мерной п-лиевой алгебре Ап+\ с базисом {е\,... , еп+\] и таблицей умножения: [ех,..., е*,..., еп+\] = (—1)п+1+гег. В 1985г. Дж.Фолкнер [8] показал, что простая конечномерная кососимме-тричная тройная система (3-лиева алгебра) над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 изоморфна пространству кватернионов с тернарной операцией [х,у, г] — хух — гух. В 1993 г. этот результат был обобщен В.Лингом на случай п-лиевых алгебр [14]. Оказалось, что с точностью до изоморфизма простая конечномерная п-лиева алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 только одна — алгебра Ап+1, определенная В.Т.Филипповым.

Ш.М.Касымовым и Е.Н.Кузьминым в работе [10] были описаны конечномерные неприводимые модули над алгеброй Ап+\, что, принимая во внимание [14], дает классификацию конечномерных неприводимых модулей над простыми конечномерными п-лиевыми алгебрами характеристики 0.

Однако, структурная теория бесконечномерных и модулярных (характеристики р) п-лиевых алгебр до сих пор находится в зачаточном состоянии. В то время как недавно была получена полная классификация простых конечномерных алгебр Ли характеристики р над алгебраически замкнутым полем, в теории модулярных п-лиевых алгебр не было даже примеров простых алгебр. И.И.Бенедиктовичем [11] и В.Т.Филипповым [13] было начато, а автором в [25, 26, 28, 29] продолжено изучение простых бесконечномерных п-лиевых алгебр характеристики 0 и конечномерных п-лиевых алгебр характеристики р.

Настоящая диссертация состоит из четырех глав и посвящена изучению двух классов простых бесконечномерных п-лиевых алгебр характеристики 0. Применяя редукцию по модулю р, полученные

результаты используются для построения простых конечномерных п-лиевых алгебр характеристики р.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В первом параграфе приводятся основные определения, необходимые для дальнейшего, а также напоминается конструкция алгебры якобианов А = Ac(hiy..., hni í), введенной В.Т.Филипповым в [22].

В работе [22] В.Т.Филипповым была сформулирована гипотеза:

Гипотеза 1. Алгебра Ac{h\1...,/гп,0)/Апп А над полем Ф характеристики р > п, либо р = 0, является простой п-лиевой алгеброй тогда и только тогда, когда отображения h\,..., hn линейно независимы над Ф и Kerhi П... П Кегhn = 0.

Во втором параграфе рассматривается алгебра якобианов

• • • > hnyt), гДе R — поле действительных чисел, hi(x) = хг — г-я проекция вектора х = (xi,... ,хп) Е Rn. Данная п-лиева алгебра обозначается через А(п, £), и в теореме 1.2.2 доказывается простота фактор-алгебры A(n,t) по одномерному идеалу, что доказывает гипотезу В.Т.Филиппова в случае Ф = R. Далее выделяется некоторый класс подалгебр E(n,t,J) алгебры A(n,t) и устанавливается изоморфизм некоторых алгебр из этого класса, в частности доказывается, что над алгебраически замкнутым полем они все изоморфны (при фиксированном п Е iV, п > 2). В теореме 1.2.6 доказана простота п-лиевой алгебры Е(п, t, J) над произвольным полем Ф характеристики 0. В случае поля Ф характеристики р > 0, применяя редукцию по модулю р, мы из построенных п-лиевых алгебр получаем примеры простых конечномерных п-лиевых алгебр размерностей рп — 1, рп — 2, рп~1 и рп~1 - 1.

Заметим, что теоремы 1.2.2 и 1.2.6 о простоте фактор-алгебры А(п, t) по одномерному идеалу и простоте алгебры Е(п, í, J) следуют из теорем 3.1.3 и 3.4.2, и мы приводим доказательство только ввиду его простоты.

Результаты первой главы опубликованы в [25, 23].

Напомним, что Q-алгебра, определённая на линейном пространстве, называется мономиальной, если в некотором базисе {e¿ : г €

1} для любой операции и6 О таблица умножения имеет вид:

UJj(eií1 • • • ) егк) — • • • 5 Ь...,»Д.)>

где А; — арность операции /у : 1к ь-» Ф, д^ : / — некото-

рые отображения.

При изучении простых конечномерных алгебр Ли характеристики р > 0 возникает следующий класс мономиальных алгебр Ли, впервые определённый А.А.Албертом и М.С.Франк в работе [1]. Пусть Ф — поле, £г — абелева группа; на линейном пространстве — (еа ■ а £ С) определим операцию умножения следующим образом:

еа • — /(а, Ь)еа+ъ+и гДе £ — фиксированный элемент группы (7, / — кососимметрическое отображение декартова квадрата группы С в поле Ф. Относительно данного умножения Ас становится алгеброй Ли (при некоторых естественных ограничениях на /). Построенную алгебру Ли обозначим через А(<7, /, £).

Данный класс /, алгебр Ли интересен прежде всего тем, что он даёт примеры простых конечномерных алгебр Ли характеристики р > 0 (рассматривая соответствующие подалгебры и фактор-алгебры алгебры А (О,/,£)).

Во второй главе настоящей диссертации изучается класс мономиальных алгебр п, £), который определяется аналогично классу Л (С, /, с заменой бинарного умножения на п-арное:

[еа1, . . . , еап] = /(а1? • • • 5 0>1г) ' С-ах+.-.+ап+г-)

и даются необходимые и достаточные условия его п-лиевости. Рассматриваемый класс п-лиевых алгебр Ад{/1 п, £) содержит класс алгебр якобианов, введённый В.Т.Филипповым в [22]. Заметим, что в алгебры якобианов вкладываются все известные к настоящему времени простые бесконечномерные п-лиевы алгебры.

В параграфе 1 вводится понятие внешнего произведения отображений и доказывается теорема о представимости кососимметриче-ского п-местного отображения, удовлетворяющего некоторому дополнительному условию, в виде внешнего произведения 1-местных отображений:

Теорема 2.1.5. Пусть Ф — поле, X — множество, / : Хп И- Ф — невырожденное кососимметрическое отображение и для любого а Е X существуют Щ,..., такие, что /а = К\ А... Л

Тогда существует разбиение Б = {Ха : саг(1Ха > п, а € 1} множества X и отображения ... ,(рп : X Н* Ф такие, что / = (<^1 А • • • А (рп) • где — характеристическая функция разбиения 5.

В параграфе 2 строится класс ^-алгебр, определённых полилинейными отображениями, и доказываются необходимые и достаточные условия п-лиевости алгебр из этого класса:

Теорема 2.2.6. ^-Алгебра Дз(/, Щ ¿) является п-лиевой тогда и только тогда, когда / = Н\ А ... А Кп для некоторых линейных отображений /¿1,..., Нп : <7 »-»• Ф.

Мономиальные п-лиевы алгебры п, не ограничивают-

ся случаем, когда отображение / полилинейно. Например, при п = 2 в [1] (см. также [2], [13]) изучаются алгебры из класса когда ¡{х, у) = /¿(ж, у) + р(а?) - д(у) {к,д — полилинейные отображения) и даются условия их лиевости. Обобщая данную ситуацию, рассмотрим класс ^-алгебр Ао{}1 п, £) в случае, когда отображение / не является полилинейным, но выполняется некоторое ослабленное условие полилинейности (слабой полилинейности), а именно, предполагается, что существует полилинейное отображение д : Ф такое, что для любо-

го г = 1,..., п ¡{хъ ..., х{ + х\,..., хп) = /(хь ..., ..., хп) +

/(^Ъ • • • ? х'г-> • • • 1 хп) "Ь (~~1)г+ 9(хЬ • • • ? . . . , Хп).

Основным результатом параграфа 3 является

Предложение 2.3.2. Если / : С™ н- Ф — слабо полилинейное отображение и / = А ... А кп для некоторых Н\,..., Нп *. (7 И- Ф, то алгебра Аа(/, п, ¿) является п-лиевой.

Пусть X — многообразие Намбу-Пуассона порядка п, А = С°°{Х) - алгебра наблюдаемых, {,...,} : Ат А — скобка Нам-бу порядка п. Положим {/ь ..., /„} = 77(^/1,..., где г\ — тензор Намбу, который в локальных координатах (х\,... , жт) задаётся равенством ту = Е™..,-п=1 Пч..лп(х)щ А ... А щ- и удо-

влетворяет некоторой системе алгебраических и дифференциальных уравнений [15]. В том случае, когда £ Ф для любых ¿1... %п Е {1,..., га} (случай так называемого постоянного тензора) каждому тензору Намбу Г) однозначно соответствует элемент уц Е Ап V, где V — га-мерное векторное пространство над полем Ф. Известно, что каждый разложимый элемент V Е /\п V определяет тензор Намбу [15]. Л.А.Тахтаджяном была сформулирована следующая гипотеза:

Гипотеза 2. Любой постоянный тензор Намбу является разложимым.

Используя результаты параграфа 1, в параграфе 4 доказывается гипотеза Л.А.Тахтаджяна.

В параграфе 5 рассматриваются примеры п-лиевых алгебр, определённых полилинейными и слабо полилинейными отображениями, и, основываясь на предыдущих результатах данной главы, строятся возможные обобщения алгебры якобианов.

Основные результаты главы 2 опубликованы в [26, 27].

Одна из основных проблем в теории п-лиевых алгебр — классификация простых конечномерных п-лиевых алгебр. На данный момент наиболее актуальной является проблема описания простых конечномерных п-лиевых алгебр над полями характеристики р> 0.

Глава 3 посвящена построению двух классов простых бесконечномерных п-лиевых алгебр над полем характеристики 0. Используя редукцию по модулю р, полученные результаты используются для построения примеров простых конечномерных п-лиевых алгебр над полем Рр характеристики р размерностей рп — 1, рп — 2, рп~\ рп~1 - 1.

В параграфе 1 вводится п-лиева алгебра А(Н, £) и п-лиева алгебра А(/I, £) гамильтонова типа определяется как фактор-алгебра производной алгебры алгебры Л(/&, £) по ее аннулятору. Основным результатом данного параграфа является

Теорема 3.1.3. п-Лиева алгебра £) является простой тогда и только тогда, когда

1. существует множество Е = {^i,..., еп} С G \ {¿} такое, что rank {ei,..., £n} = щ

2. отображение h инъективно;

3. G — элементарная р-группа, если char Ф = р > 0;

4. G — группа без кручения, если char Ф = 0.

В параграфе 2 вводится п-лиева алгебра E(h, t, J, а) общего типа как подалгебра алгебры Л (Л, t) и исследуется, при каких условиях эта подалгебра является простой.

Результаты параграфа 3 утверждают, что для изучения алгебр A(h,t)i t Ф 0 достаточно изучить более просто устроенные алгебры А(Н1 где Н < Фп, t Е Н} и ограничиться случаем t = (1,... , 1), а для изучения алгебр E(h, t1 J, а) достаточно изучить более просто устроенные алгебры Е(Н).

Результаты параграфа 3 применяются в параграфе 4 для доказательства простоты алгебр E(h, t, J, а). Основным результатом данного параграфа является

Теорема 3.4.2. п-Лиева алгебра является про-

стой тогда и только тогда, когда

1. отображение h инъективно;

2. G — элементарная р-группа, если char Ф = р > 0;

3. G — группа без кручения, если char Ф = 0.

Результаты, полученные в главе 3 в полном объеме решают гипотезу 1 В.Т.Филиппова. Основные результаты данной главы опубликованы в [28].

Хорошо известно, что проблема классификации простых бинарных алгебр из некоторого многообразия сводится к классификации таких алгебр, которые остаются простыми при любом расширении основного поля. При этом ключевую роль играют понятия центроида и центральной простой алгебры (см., например, [3, гл.10, §1]), которые легко переносятся на