Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Череватенко Ольга Ивановна

НЕКОТОРЫЕ ЭФФЕКТЫ РОСТА ТОЖДЕСТВ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. Л

м

Ульяновск - 2008

003449124

Работа выполнена на кафедре ajueöpo геометрических вычислений в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Латышев Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук Рацеев Сергей Михайлович

Ведущая организация ГОУ ВПО Московский государственный

институт электронной техники (технический университет)

Защита состоится "29" октября 2008 г в 10® на заседании диссертационного совета Д 272 278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу ул Набережная реки Свияги, 106, корп 1, ауд 703

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, авторефератом — на сайте вуза http //www uni ulsu гц

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу 432000, г Ульяновск, ул J1 Толстого, д 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

M А Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы И ¡учение линейных алгебр с точки ¡рения выполнения тождественных соотношений является устоявшимся направлением исследований современной алгебры Алгебры Ли с юждествамн являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр Значительная часть изучаемых классов алгебр Ли выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств Таковы классы разрешимых, нильпогентных, свободных алгебр и некоторые другие

Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называют многообразием линейных алгебр над заданным полем1 или, в терминологии А Г Куроша, примитивным классом алгебр2

В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе по та линейных тождественных соотношений3 Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится в пространстве полилинейных элементов степени п от переменных Х1,Х2, хп, так называемых полилинейных компонентах относительно свободной алгебры многообразия Полилинейная компонента естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при ее исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрической группы Последовательность размерностей полилинейных компонент является важной числовой характеристикой дч^ многообразия Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия

1 Мальцев А И Алгебраические системы М Наука 1970

2 Курош А Г Лекции по общей алгебре СПб Лань 2005

3 Мальцев А И Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Матем сб , 1949 Т25 ЛЧ С 347-366

В случае ассоциативных алгебр А Р Кемером был получен критерий4 полиномиалыюсли роста для многообразий над полем нулевой характеристики

Для случая алгебр Ли И И Бенедиктович и А Б Залесский в работе5 сформулировали и доказали критерий полииомиалыюсти росга в терминах диаграмм Юнга В работах6,7 С П Мищенко получил еще одно эквивалентное условие "на языке" тождеств

Объектом исследования в работе являются многообразия алгебр Лейбница и их числовые характеристики

Исследование условий полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница, а также условий нильпотентности в классе разрешимых алгебр Лейбница является предметом исследования

Цель работы Целью диссертационной работы является исследование 1ак называемых многообразий слабого роста, в частности, многообразий, рост которых ограничен экспоненциальной функцией, с основанием меньше \/2 Описание всех многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом Получение аналогичных случаю алгебр Ли результатов в случае нулевой характеристики основного поля критерия полиномиальности роста в классе алгебр Лейбница с нильпотентным ступени не выше с коммутантом в терминах диаграмм Юнга и "на языке" тождеств, необходимого условия для многообразия алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей, отсутствие многообразий промежуточного между полиномиальным и показательным роста, получение достаточных условий

4 Кемер А Р Многообразия конечного ранга//Красноярск 15 Всесоюзная алгебраическая конференция 1979 Т2 С 73

5 Бенедиктович И И , Залесский А Б Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весц1 АН БССР Сер ф13 матем наук 1980 №3 С 5-10

6 Мищенко С П О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль//Математические заметки 1986 Т40 W6 С 713-721

7 Мищенко С П Многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики нуль// Математические заметки - 1981 - Т 30 - №5 ~ С 649-657

ИИЛЫЮГСНТИ0С1И I! классе разрешимых алгебр Лейбница

Методы исследования С рабо1е использованы методы юории линейных алгебр, теории представлений симметрической 1руппы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы

Научная новизна В диссертации получен ряд результатов о росге многообразий алгебр Лейбница и о нильпотентности данных многообразий и классе разрешимых алгебр Лейбница Все полученные и работе результаты являются новыми

Научные положения, выносимые на защиту.

1 Критерии полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница в терминах диаграмм Юнга и "на языке" тождеств в случае поля нулевой характеристики

2 Описание многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

3 Необходимое условие для многообразия алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей над полем характеристики, отличной от двух

4 Достаточные условия нильпотентности а классе разрешимых алгебр Лейбница

Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут найти применение в исследованиях теории многообразий линейных алгебр

б

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005"(Казань, 2005), ежеюдных итоговых научно-методических конференциях УлГПУ (Ульяновск), международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В Е Воскресенского (Самара, 2007), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений УлГУ, международной алгебраической конференции посвященной 100-легию со дня рождения А Г Куроша (Москва 2008)

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф С П Мищенко Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Содержит 69 страниц машинописного текста, список литературы из 66 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем, предложений и следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации Приводится аннотация работы

Первая глава носит вводный характер В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи Во втором параграфе данной главы приводятся необходимые сведения из теории представлений симметрической группы

Алгебра Лейбница над некоторым нолем - это неассоциагивиая ал-Iебра, удовлетворяющая юждоаву Лейбница (ху)г = (хг)у + х(уг), которое превращав правое умножение на цемент ал1ебры в дифференцирование этой алгебры Эго тождество эквивалентно классическому тождеству Якоби, когда выполняется тождество антикоммутативности Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница Вероятно, впервые этот класс алгебр был определен в работе А М Блоха 8, а свое название получил позже Тождество Лейбница позволяет представить любой элемент алгебры как линейную комбинацию левонормированных элементов

Будем в элементах опускать скобки при их левонормированной расстановке, то есть К(хнх1г)хгз) х1п) = хг1х12 х1п Также будем использовать специальный символ (черту или волну) над образующими вместо выписывания кососимметрической суммы Например, хуг — ху2 — хгу и тождество, определяющее алгебру Лейбница, можно переписать так хуг = х(уг)

Пусть V— многообразие линейных алгебр Обозначим через Рп = Р„(У) пространство, порожденное полилинейными элементами степени п от переменных ,хп в относительно свободной алгебре

К(X, V) некоторого многообразия V

Действие сг(г,) = х0^) симметрической группы Бп естественным образом продолжается до автоморфизма относительно свободной алгебры К(Х,У), при этом пространство Рп становится ¿^-модулем В случае нулевой характеристики основного поля К вся информация о многообразии V содержится в пространствах Рп, п = 1, 2, Поэтому исследование структуры Рп как 5п-модуля играет важную роль при изучении многообразия V

8 Блох А М Об одном обобщении понятия алгебры Ли Доклады Академии наук СССР 1965 Том 18 N4 С 471-473

Модуль Рп является вполне приводимым Извесшо, что с точностью до изоморфизма неприводимые Sn модули можно описывай? на я зыке разбиений и диаграмм Юша

Разбиением числа п называют набор целых положительных чисел Л = (Ai, Л2, . Ац), при этом Л1 > Аг >, .А*. > 0 an = Ai+А2+ +Ал Разбиение А числа п обозначают следующим образом Ahn

Для каждого такого разбиения А строится диаграмма Юнга, состоящая из к строк, причем строка с номером г должна содержать А, клеток Если диаграмму Юнга d, отвечающей разбиению А числа п, заполнить числами от 1 до п, то получим таблицу Юнга, соответствующей данной диаграмме По каждой таблице Юнга rd можно построить элемент следующего вида

eTd = £яРЯ,

p£Rrd, qeCrd

где sq — ±1 четность перестановки q, а Д^ и CTj— подгруппы группы Sn, состоящие из перестановок, оставляющие на месте множество символов, принадлежащих соответственно каждой фиксированной строке или столбцу таблицы rd s

Построенный элемент eTj с точностью до постоянного множителя равен минимальному идемпотенту групповой алгебры KSn и порождает минимальный левый идеал KSn (другими словами, порождает неприводимый S„—модуль)

Так как модуль Рп является вполне приводимым, то рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров

X»(V) = x(P„(V)) = Х>АХА,

ЛНп

где тп\ — степени, а х\ - характер неприводимых представлений, соответствующих разбиению А числа п

0 Бахтурин Ю А Тождества в алгебрах Ли M Наука 1985

Обозначим чррс! рамернойь соответствующею разбиению Л неприводимою модутя Попятно, что имеет моего такое равопг пю

ЛЬп

Кодлиной многообразия V называют число слагаемых в разложении модуля в сумму неприводимых » определяем следующим образом

цю - Х>а

\ы

Напомним определения нильпотентной и разрешимой алгебр

Если в некоторой алгебре выполнено тождество £1X2 хс+1 = 0 и не выполняется тождество хс з 0, го такая алгебра называется

нильпотентной алгеброй ступени с

Определим неассоциативный одночлен ¿¿(т^ ,х2*) индукцией по к, полагая = и

Если в некоторой алгебре тождественно выполняется соотношение ¿¿(жь н 0, а <^-1(2:1, ,¿2*-') = 0 не является тождеством,

то данная алгебра называется разрешимой алгеброй ступени к 10

Во второй главе данной работы рассматриваются энгелевы многообразия алгебр Лейбница с условием разрешимости, приводятся различные достаточные условия нильпотентности многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики В частности, в данной главе получен критерий нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница

В первом параграфе второй главы для удобства читателей рассматриваются некоторые многообразия алгебр Ли и Лейбница, которые участвуют в формулировке и доказательстве предложений, теорем и след-

10 Бахтурии Ю А Тождества в алгебрах Ли М Наука 1985

стний и j них В частности приводятся некоторые необходимые нам свойства ме1абслева многообразия алгебр Ли А2, определенною тождеством (:х\х2){х$х4) = 0, многообразия лево-нильпотентных ступени меньше или равной двум алгебр Лейбница В, которое определяется тождеством x{yz) = 0 11

Основным результатом данной главы являются достаточные условия нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница Он приведен в третьем параграфе

Теорема 2.3. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики Тогда следующие условия эквивалентны

1 Многообразие V нилъпотентно,

2 Многообразие V разрешимо и выполнено условие В, А2 % V,

3 В разрешимом многообразии V выполнено тождество ухп = О

Из приведенной выше теоремы получено

Следствие 2 2 Многообразие алгебр Лейбница V либо нилъпотентно, либо e„(V) > п — 1 для произвольного п

Следствие 2 3 В случае нулевой характеристики основного поля в классе разрешимых алгебр Лейбница многообразия В и А2 являются единственными почти нилъпотентными многообразиями

Третья глава посвящена числовым характеристикам многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики В ней исследуется поведение последовательности коразмерностей многообразий данных алгебр

Ll Drensky V , Cattaneo G М Р Varieties of Metabelian Leibniz Algebras// J Algebra and its applications 2002 V 1 №1 P 31-50

В первом параграфе данной главы, для полноты изложения, рассматриваются примеры известных многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, некоторые из которых понадобились при доказательстве утверждений в последующих параграфах трепней главы

Для обозначения многообразий алгебр Ли и алгебр Лейбница, выделяемых одинаковыми тождествами, будем использовать волну Например многообразие атгебр Ли с нильпотентным ступени не выше с коммутантом, которое определяется тождеством

(Ж1Ж2) (х2с+1а:2с+2) = О,

обозначим ¡МсА, а многообразие алгебр Лейбница, определенное тем же тождеством — ^А Понятно, что 1ЧСА С 1^СА

Второй параграф посвящен исстедованию многообразий слабого роста Напомним12, что рост многообразия называется слабым, если для некоторого натурального гг выполняется условие сп(У) < 21т-), где квадратные скобки обозначают целую часть числа Понятно, что мноюобра-зия полиномиального, промежуточного, а также экспоненциального роста с основанием меньшим \/2, являются многообразиями слабого роста

Центральным результатом второго параграфа данной главы является следующая теорема, которая является обобщением основного результата упомянутой выше статьи

Теорема 3 1 Пусть V многообразие алгебр Лейбница слабого роста над полем характеристики, отличной от двух Тогда существует такое натуральное число с, что выполняется условие V С 1МСА

Доказанная теорема 3 1 позволяет провести исследование многообразий промежуточного роста, так кал понятно, что они являются многообразиями слабого роста

12 Мищенко С П Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей // В( стник МГУ и 1982 Ц С 63Ц66

В случае пулевой характерно 1ики основною поля появляется возможность использовать теорему 3 3, приведенную в четверюм параграфе данной главы, и доказать отсутствие многообразий алгебр Лейбница промежуточного между полиномиальным и показательным роста, что полностью соответствует случаю алгебр Ли Этот результат изложен в следующем следствии

Следствие 3 1 .В случае нулевой характеристики основного поля не существует многообразий алгебр Лейбница промежуточного между полинолшальным и показательным роста

Отметим, что, используя теорему 3 1, в случае произвольного основного поля характеристики, отличной от двух, в работе13, показано, что также, как й в случае нулевой характеристики, не существует многообразий алгебр Лейбница с промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным ростом

В третьем параграфе третьей главы в случае нулевой характеристики основного поля получен критерий полиномиальности роста коразмерностей многообразия алгебр Лейбница в терминах диаграмм Юнга

Теорема 3 2 .В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число т, что в сумме

ЛЬп

т\ = 0 е случае, если выполнено условие п — Х\> т

Основным результатом данной главы являртся критерий полиномиальное™ роста Он описан в четвертом параграфе главы

Теорема 3.3 В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбцица V имеет полиномиальный рост тогда и

13 Рацеев С М Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница// Вестник Самарского государственного университета 2006 №6(46) С 70-77

только тогда, когда существует такое число с, что выполнено ■условие N2A, VÍ <t V С N¡A

Следует пояснить, что N3A является многообразием ал1сбр Ли, изученным в работе14 Определяющее его тождество имеет вид (xix2)(x3xi)(x¡xe) = 0 Многообразие Vi - это многообразие алгебр Лейбница, введенное и исследуемое в работе,10 определяется тождеством x0(xix2)(x3x4) = 0 Отметим, что по своим свойствам многообразие Vi является в каком-то смысле аналогом случая алгебр Лейбница многообразия алгебр Ли N2A

Из доказанной выше теоремы получено

Следствие 3 2 .В случае нулевой характеристики основного поля в классе алгебр Лейбница с тождеством (х\х<ъ) (хгс+г^гс^г) = 0 существуют только два многообразия почти полиномиального роста — это многообразия N2A и Vx

Следствие 3 3. Пусть V с NCA является многообразием алгебр Лейбница над полем пулевой характеристики роста выше полиномиального Тогда кодлина данного многообразия ín(V) строго полиномиальна

Хорошо известно, что в случае ассоцнативдых алгебр и алгебр Ли не существует многообразий экспоненциального роста, экспонента кигорых строго меньше двух Поэтому интересным является вопрос о возможных ограничениях на значения экспоненты в случае алгебр Лейбница В работе показано, что экспонента не может быть строго меньше \П В более общем виде этот результат сформулирован в следующем следствии

11 Мищенко С П Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентныч коммутантом// Весщ АН БССР Сер ф13 мате« наук 1987 №6 С 39-43

15 WishchenkoS , Valenti A A Leibniz variety with almost polynomial growth // J PureAppl Algebra 2005 V 202 »1-3 P 82-101

Следствие 3 4 В случае поля пулевой характеристики если многообразие алгебр Лейбница V слабого роста, то оно является полиномиальным

Автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Мищенко Сергею Петровичу за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку

ВЫВОДЫ

Таким образом, в диссертационной работе в классе алгебр Лейбница доказаны аналогичные случаю алгебр Ли результаты в случае нулевой характеристики основного поля отсутствие многообразий слабого роста, в частности, многообразий промежуточного между полиномиальным и показательным роста, многообразий, экспонента которых меньше \/2, критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга и "на языке" тождеств, достаточные условия нильпотентности в классе разрешимых алгебр Лейбница

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Работы автора по теме диссертации в журналах списка ВАК

[1] Мищенко С П , Череватенко О И Многообразия алгебр Лейбница слабого роста// Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия 2006 №9(49), С 19-23

Публикации о прочит изданиях

[2] Мищенко С Г1, Череватенко О И Необходимые и достаточные условия полиномиалыюсти роста многообразия алгебр Лейбница// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том 12, №8, С 207-215

[3] Мищенко С П , Череватенко О И Многообразия алгебр Лейбница слабого роста// Труды Математического центра имени Н И Лобачевского Казань Казанское математическое общество 2005 Т31 С 103-104

[4] Мищенко С П , Череватенко О И О многообразиях алгебр Лейбница с подквадратичным ростом// Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения А Г Куроша Материалы докладов - Москва,2008 С 167-168

Подписано в печать 19 09 2008 Формат 60x84/16 Уел печ л 0,93 Тираж 80 экз Заказ ЩО

Типография УлГТУ, 432027, г Ульяновск, ул Сев Венец, 32

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

1.1. Линейные алгебры и их многообразия.;.

1.2. Необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Глава 2. О нильпотентных многообразиях алгебр

Лейбница.

2.1. Некоторые многообразия алгебр Лейбница.

2.2. Нильпотентные многообразия алгебр Лейбница.

2.3. Нильпотентные многообразия в классе разрешимых алгебр Лейбница.

Глава 3. Многообразия алгебр Лейбница полиномиального роста.

3.1. Примеры известных многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста.

3.2. Многообразие алгебр Лейбница слабого роста.

3.3. Критерий полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница на "языке" диаграмм Юнга.

3.4. Полный список многообразий почти полиномиального роста для класса алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом.

Изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений является устоявшимся направлением исследований современной алгебры. Алгебры Ли с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Ли выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных, свободных алгебр и некоторые другие. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, называют многообразием линейных алгебр над заданным полем [24] или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр [21].

В данной диссертационной работе изложены те результаты теории многообразий алгебр Лейбница над полем характеристики ноль, которые относятся к вопросам роста и нильпотентности многообразий данных алгебр.

Алгебра Лейбница над некоторым полем — это неассоциативная алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница (ху)z = (xz)y+x(yz), которое превращает правое умножение на элемент алгебры в дифференцирование этой алгебры. Это тождество эквивалентно классическому тождеству Якоби, когда выполняется тождество антикоммутативности. Тождество Лейбница позволяет представить любой элемент алгебры как линейную комбинацию левонормированных элементов. Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы. Любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница.

Вероятно, впервые этот класс алгебр был определен в работе A.M.Блоха [7], а свое название получил позже. Алгебры Лейбница стали активно изучаться в начале 90-х годов. Они появились, для естественной связи с некоторыми темам такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология, алгебраическая К-теория и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам. Свободная алгебра Лейбница была описана Ж. Лодеем и Т. Пирашви-ли.

Однако, в "Encyclopaedia of Mathematics" мы обнаруживаем, что самого термина "алгебра Лейбница" в нем нет. Вместо этого используется термин "алгебра Лодея". Алгебры Лодея были введены под названием "алгебры Лейбница" как некоммутативные аналоги алгебры Ли. Термин "алгебра Лейбница" используется во всех статьях до 1996, и во многих последующих. Мы будем придерживаться термина "алгебра Лейбница" . Понятно, что аналогичный класс алгебр возникает и в случае, когда умножение слева является дифференцированием алгебры.

В случае поля нулевой характеристики хорошо известно, что любое тождественное соотношение эквивалентно системе полилинейных тождественных соотношений [25]. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится во множестве всех полилинейных элементов степени п от переменных xi,., хп, так называемых полилинейных частях, которые обычно обозначаются Рп, п = 1,2,. относительно свободной алгебры многообразия. Полилинейная часть естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при их исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрических групп. Характер пространства полилинейных элементов Рп степени п, как модуля симметрической группы, раскладывается в целочисленную комбинацию xn(V) = Ель?im\X\ неприводимых характеров хх, соответствующих разбиениям Л = (Ai, А2,.), Ai > А2 >,. ■ •, числа п = Ai + А2 + . Число слагаемых в разложении модуля Рп в сумму неприводимых называется кодлиной многообразия.

При изучении многообразия V важную роль играет последовательность размерностей полилинейных частей степенип : Cn(V) = dimPn(V), п = 1,2,. Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если любое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост, а рост самого многообразия не является полиномиальным. Если последовательность коразмерностей Cn(V) экспоненциально ограничена, тогда, для более точного изучения роста многообразия V, вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:

Ехр{У) = lim j/cnjV), ЩАУ) = Hm \/cn(V).

Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как Ехр{ V).

Случай ассоциативных алгебр.

Так, в случае ассоциативных алгебр, А.Р. Кемером [20] был получен критерий полиномиальности роста для многообразий над полем нулевой характеристики:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Многообразие V не содержит алгебр G и UT2;

3. V имеет конечную кодлину; где G — бесконечномерная алгебра Грассмана, a UT2 — алгебра верхнетреугольных матриц порядка два. Известно, что только два многообразия, порожденные данными алгебрами G и UT2, являются многообразиями почти полиномиального роста в случае ассоциативных алгебр.

О росте многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А.Регева [65], [60]: многообразие ассоциативных алгебр V, в котором выполнено нетривиальное тождество степени т, удовлетворяет неравенству Сп(У) < (т — 1)2п для любого гг, то есть любое многообразие ассоциативных алгебр, в котором выполнено нетривиальное тождество, имеет не более чем экспоненциальный рост. Несколько лет назад, в случае основного поля нулевой характеристики в ассоциативном случае А. Джамбруно и М.В. Зайцев [57] доказали целочислен-ность экспоненты произвольного многообразия, тем самым подтвердив гипотезу С.А. Амицура. Известно, что кодлина любого многообразия ассоциативных алгебр ограничена полиномом [50].

Случай ассоциативных алгебр с инволюцией.

В теории ассоциативных алгебр с инволюцией, согласно результатам A. Giambruno, С.П. Мищенко, A. Valenti [54], [55], [63] известен следующий критерий полиномиальности роста:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Многообразие V не содержит алгебр С?2 и М, где (?2 = К ф К — двумерная алгебра над полем К с инволюцией (а, 6)* = (6, а), a М — определенная в статье [63] четырехмерная алгебра над полем К. Первая алгебра G<i играет ту же роль, что и бесконечномерная алгебра Грассмана в теории ассоциативных алгебр, вторая алгебра М играет роль, аналогичную роли верхнетреугольных матриц порядка 2. Известно, что только два многообразия, порожденные данными алгебрами Gi и М, являются многообразиями почти полиномиального роста в случае ассоциативных алгебр с инволюцией [54].

Случай алгебр Ли.

Для случая алгебр Ли И.И. Бенедиктович и А.Е. Залесский в работе [6] сформулировали и доказали критерий полиномиальности роста в терминах диаграмм Юнга. В работах [31], [33] С.П. Мищенко получил еще одно эквивалентное условие. Таким образом, для многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики следующие условия эквивалентны:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Для некоторого s выполнено условие N2A ф. V С NSA;

3. Ненулевые подмодули модуля Pn(V) соответствуют лишь диаграммам с ограниченным числом, не зависящим отп, клеток вне первой строки, где NSA — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством (^1^2) • • • (x2s+i%2s+2) = 0. В работе [61] с использованием техники диаграмм Юнга было доказано, что экспоненты подмногообразий в NSA над полем нулевой характеристики являются целочисленными. Позже В.М. Петроградский доказал, что этот результат верен в случае основного поля произвольной характеристики (см. [40]).

Заметим, что ограничение клеток вне первой строки в разбиениях, порождающих ненулевые слагаемые сумм неприводимых изоморфных подмодулей, построенных по таблицам Юнга, является достаточным для многообразий полиномиального роста.

Из приведенного выше критерия следует, что многообразие N2 А является наименьшим подмногообразием bNsA, которое имеет рост выше полиномиального.

В теории алгебр Ли известны всего пять многообразий почти полиномиального роста. Для единообразия записи обозначим их следующим образом: Vo, Vi, V2, V3 и V4. Построен только один пример неразрешимого многообразия почти полиномиального роста: это многообразие V0 (или var{sh)) — многообразие алгебр Ли, порожденное простой трехмерной алгеброй матриц второго порядка с нулевым следом. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [41], [42] и B.C. Дренски [13].

Многообразие алгебр Ли Vi = N2 А изучено в работе С.П. Мищенко [271.

Еще одним примером многообразия почти полиномиального роста является, так называемое, многообразие Воличенко V2. Оно подробно описано в работах И.Б. Воличенко [9] и [10]. Данное многообразие является наименьшим в классе многообразий алгебр Ли, в которых не выполняется ни одно стандартное тождество. Базис тождеств этого многообразия состоит из двух тождественных соотношений: xix2x3)(xAx5x6) = 0, xix2)(x3x4)(xix3) = 0.

Оставшиеся два многообразия V3 и V4 определяются схожим образом (см. [28]). Многообразие алгебр Ли V3 порождается полупрямым произведением трехмерной нильпотентной алгебры Гейзенберга N3 на бесконечномерный неприводимый модуль R. Многообразие алгебр Ли V4 порождается полупрямым произведением двумерной метабелевой (разрешимую ступени 2) алгебры М2 на бесконечномерный приводимый модуль R. Здесь кольцо многочленов R = K[t] от переменной t рассматривается как алгебра с нулевым произведением, R2 = 0.

Если V—многообразие разрешимых алгебр Ли, тогда сформулируем критерий полиномиалыюсти роста в классе разрешимых алгебр из работы С.П. Мищенко [32]:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост;

2. Vi £ V, V2 £ V, V3 £ V и V4 <jL V.

Заметим, что все перечисленные выше многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста имеют целые экспоненты ([30]). В случае многообразий алгебр Ли построен пример разрешимого многообразия (см. [66]), верхняя и нижняя экспоненты которого находятся в интервале (3,4), то есть экспонента данного многообразия либо не существует, либо она является дробной; в работе [31] было доказано, что не существует многообразий алгебр Ли с экспонентой, принадлежащей интервалу (1,2) и приведены примеры многообразий экспоненциального роста с экспонентой 2.

Было показано (см. [33]), что многообразия Vi, V2, V3 и V4 исчерпывают весь набор разрешимых многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Также отметим, что структура полилинейной части и базис тождеств многообразий V3 и V4 неизвестны.

В отличие от ассоциативных алгебр существуют многообразия алгебр Ли, в которых выполняются нетривиальные тождества, со сверхэкспоненциальным ростом (то есть сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли AN2, определяемое тождеством {x\x2xz) (x^x^xq) = 0 (см. [8], [11], [14], [35], [56]). Отметим, что последовательность кодлин данного многообразия растет быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты, причем кодлина данного многообразия является еще и почти полиномиальной [35]. В случае многообразий алгебр Ли построены примеры многообразий, у которых последовательность кодлин растет выше любого полинома ([16], [35]).

Случай алгебр Лейбница.

В случае алгебр Лейбница известны четыре примера многообразий почти полиномиального роста, которые имеют соответствующие аналогичные свойства рассмотренных выше лиевых многообразий. Многообразие алгебр Лейбница Vi, определяющее тождество которого имеет вид xi(x2xz)(x4x§) = 0, исследовано в работе С.П. Мищенко, А. Вален-ти [62]. Многообразие V2 описано в работе Л.Е. Абаниной [2]. В работе С.М. Рацеева и Л.Е. Абаниной [4] было показано, что многообразие V2 является наименьшим многообразием алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Данное утверждение можно переформулировать следующим образом: в произвольном многообразии алгебр Лейбница V тогда и только тогда выполняется некоторое стандартное тождество, когда V2 не является подмногообразием многообразия V. Базис тождеств данного многообразия состоит из тождественных соотношений вида: xi(x2xz)(x2xs) = О, Ж1(ж2(ж3ж4)) = 0.

Многообразия V3 и V4 определяются следующим образом (см. [3]). Многообразие алгебр Лейбница V3 порождается конструкцией, аналогичной полупрямому произведению трехмерной нильпотентной алгебры Ли jV3 на бесконечномерный неприводимый модуль R. Многообразие алгебр Лейбница V4 порождается аналогичным произведением двумерной метабелевой (разрешимую ступени 2) алгебры Ли М2 на бесконечномерный приводимый модуль R. Здесь кольцо многочленов R от переменной t рассматривают как алгебру с нулевым умножением.

Отметим, что перечисленные выше многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста обладают целочисленными экспонентами.

В случае многообразий алгебр Лейбница был построен пример многообразия, схожего по своим свойствам с многообразием AN2. Оно определяется следующим тождественным соотношением xi(x2(x3x4)) = 0 и имеет сверхэкспоненциальный рост [49].

Обозначим через NCA многообразие алгебр Лейбница, определяющее тождество которого имеет вид xix2) • • • (x2c+ix2c+2) = 0.

Данное многообразие рассматривается, например, в [46], [47], [43]. Приведем те результаты, которые нам понадобятся при доказательстве теорем в третьей главе.

Один из результатов описывает асимптотическое поведение последовательности коразмерностей подмногообразий многообразия NCA.

Пусть V — подмногообразие в NCA и основное поле произвольно. Тогда существуют такие константы N, а, {3 и такое целое число d, причем 0 < d < с, что для любого п > N будут выполняться неравенства vPdn < Cn(V) < nadn, в частности, прсп < Сп{N^A) < Пасп.

Из данного результата получено важное следствие. Было показано, что не существует подмногообразий в NCA, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Над полем конечной характеристики, отличной от двух, это свойство распространяется на все многообразия алгебр Лейбница, то есть не существует многообразий алгебр Лейбница с промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным ростом [43].

В работе [48] получены эквивалентные условия для оценок роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем нулевой характеристики.

Пусть V — подмногообразие в NCA и d — некоторое неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны: exp(V) < d;

И) существует такое целое р > 0, что в многообразии V выполнено тождество ymx\){yzyAxl).-{y2d+iy2d+2Xpd+l) = 0; in) существует такое целое р > 0, что в многообразии V справедливо следующее полилинейное тождество:

3/12/2^11 • • (УЗ2/4Ж21®22 - - -®2p) - - • (2/2d+l3/2d+2®(d+i)i5(d+1)2. • = 0; iv) существует такая константа С = C(V), что в сумме xn(V) = Yl т\х\ А bn тп\ = 0 в случае, если выполнено условие п — (Ai + А2 + ••• + Ad) > С.

В работе [44] показано, что многообразие алгебр Лейбница NCA является шпехтовым. А также, что любое многообразие алгебр Лейбница полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертации. Работа состоит из трех частей - глав. Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы приводятся необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Во второй главе данной работы мы приводим различные условия нильпотентности многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Основной задачей данной главы — получить критерий нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница. Но сначала в первом параграфе для удобства читателей рассматриваются некоторые многообразия алгебр Ли и Лейбница, которые участвуют в формулировке и доказательстве предложений, теорем и следствий из них. В частности приводятся некоторые необходимые нам свойства метабелева многообразия алгебр Ли А2, определенного тождеством {xix2){x%x4) = 0; многообразия лево-нильпотентных ступени меньше или равной двум алгебр Лейбница В, которое определяется тождеством x{yz) = 0.

Во втором параграфе мы рассматриваем класс алгебр Лейбница Wm, где Wm — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождественным соотношением у\(у2уъ)х\х2. хт = 0, при т > 0. В этом классе многообразий алгебр Лейбница был получен следующий критерий нильпотентности.

Предложение 2.1. Пусть V многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Многообразие V является нильпотентным тогда и только тогда, когда существует такое целое гп, что выполнено условие В V С Wm.

Следствие 2.1. Многообразие В является почти нильпотентным.

Основным результатом данной главы является критерий нильпотентности в классе разрешимых многообразий алгебр Лейбница. Он получен в третьем параграфе.

Теорема 2.3. Пусть V многообразие алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. Многообразие V нилъпотентно;

2. Многообразие V разрешимо и выполнено условие 15, А2 % V;

3. В разрешимом многообразии V выполнено тождество ухп = 0.

Следствие 2.2. Многообразие алгебр Лейбница V либо нилъпотентно, либо Cn(V) > п — 1 для произвольного п.

Следствие 2.3. В случае нулевой характеристики основного поля в классе разрешимых алгебр Лейбница многообразия В и А2 являются единственными почти нильпотентными многообразиями.

Третья глава посвящена числовым характеристикам многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. В ней исследуется поведение последовательности коразмерностей многообразий данных алгебр.

В первом параграфе данной главы, для полноты изложения, рассматриваются примеры известных многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, некоторые из которых понадобились при доказательстве утверждений в последующих параграфах третьей главы.

Пусть для многообразия алгебр Лейбница V над полем с характеристикой, отличной от двух, для некоторого п выполнено неравенство

Cn(V) < где квадратные скобки означают целую часть числа.

Рост такого многообразия называется слабым. Основной задачей второго параграфа данной главы — показать, что многообразие алгебр Лейбница со слабым ростом последовательности коразмерностей над полем характеристики, отличной от двух, так же как и для случая алгебр Ли, является подмногообразием многообразия NCA. Заметим, что похожий результат был получен для случая алгебр Ли С.П. Мищенко [31].

Теорема 3.1. Пусть V многообразие алгебр Лейбница слабого роста над полем характеристики, отличной от двух. Тогда существует такое натуральное число с, что выполняется условие V С NCA.

В случае произвольного основного поля в работе [47], в частности, показано, что не существует многообразий алгебр Лейбница с ниль-потентным коммутантом промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста. Так как многообразие промежуточного роста, является, конечно, многообразием слабого роста, то доказанная теорема 3.1 позволяет получить

Следствие 3.1. В случае нулевой характеристики основного поля не существует многообразий алгебр Лейбница промежуточного между полиномиальным и показательным роста.

В третьем параграфе третьей главы в случае нулевой характеристики основного поля получен-критерий полиномиальности роста коразмерностей многообразия алгебр Лейбница в терминах диаграмм Юнга.

Теорема 3.2. В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число т, что в сумме

Xn(v) = Y, т\х\

А \-п тп\ = 0 в случае, если выполнено условие п — Х\ > т.

Основным результатом данной главы является критерий полиномиальности роста. Он описан в четвертом параграфе главы.

Теорема 3.3. В случае нулевой характеристики основного поля многообразие алгебр Лейбница V имеет полиномиальный рост тогда и только тогда, когда существует такое число с, что выполнено условие

N2A,Vi £ VCNTA.

Следует пояснить, что N2A является многообразием алгебр Ли, которое определено тождеством {xiX2){x2,x^{x^xq) = 0.

Из доказанной выше теоремы получено

Следствие 3.2. В случае нулевой характеристики основного поля в классе алгебр Лейбница с тождеством (х\х2) • ■ • {х2с+1Х2с+2) = 0 существуют только два многообразия почти полиномиального роста — это многообразия N2А и Vi.

Следствие 3.3. Пусть V С NCA является многообразием алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики роста выше полиномиального. Тогда кодлина данного многообразия 1п(У) строго полиномиальна.

Следствие 3.4. В случае поля нулевой характеристики если многообразие алгебр Лейбница V слабого роста, то оно является полиномиальным.

В заключении автор выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю С.П. Мищенко за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

1. Абанина J1.E. Многообразие алгебр Лейбница V2/ j Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2002. Т. 18. С. 3-4.

2. Абанина Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск. УлГУ. 2003.

3. Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница// Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва: Союз. 2002. С. 95-99.

4. Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами// Вестник Самарского государственного университета. 2005. №6. С. 36-50.

5. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

6. Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. №3. С. 5-10.

7. Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли. Доклады Академии наук СССР. 1965. Т.18. №3. С. 471-473.

8. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [ж1,ж2,жз], [х4,х5,хв]\ = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журнал. 1984. Т.25. №3. С. 40-54.

9. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами// Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. т. С. 23-30.

10. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами// Весщ АН БССР: Сер. с]лз. матем. наук. 1980. №2. С. 22-29.

11. Воличенко И.Б. О многообразиях алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль// ДАН БССР. 1981. Т.25. №12. С. 1063-1066.

12. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Мир. 1982.

13. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т.115. №1(5). С. 98-115.

14. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2{/ Вестник Московского университета. Матем., механ. 1999. №5. С. 18-23.

15. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр// Математические заметки,-2006. -Т.79 №4, -С.553-559.

16. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли// Алгебра и логика. 1999. Т.38. №2. С. 161-175.

17. Зельманов Е.И. Глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики// ДАН СССР, 1987. Т.292. №. С. 265-268.

18. Кемер А.Р. Замечание о стандартном тождестве// Мат. заметки. 1978. Т.23. №5. С. 753-757.

19. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала ко-нечнопорожденной PI-алгебры. Докл. АН СССР. 1980. Т.255. №4. С. 793-797.

20. Кемер А.Р. Многообразия конечного ранга// Красноярск: 15 Всесоюзная алгебраическая конференция. 19Т9. Т.2. С. 73.21 222324 2526