Некоторые свойства тождеств алгебры Витта и условие нетеровости универсальных обертывающих алгебр ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

г - • . О

ОД

На правах рукописи

Власов Николай Анатольевич

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ ВИТТА И УСЛОВИЕ НЕТЕРОВОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР ЛИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

С

Ульяновск — 1998

диссер тации на соискание ученой степени кандидата физико-математических иаук

/1

Работа выполнена а Ульяновском государственном униа*рсмтч-1<-

Научный руководитель: диктор филпко-ма.1нм. ».ти ч<ч:ких

наук, профессор Ум Г У С'.Г] . Мишенко

Официальные оппопепты: доктор фшпко-математтртеекпх

паук, профессор 10.Л. Бахтурин, кандидат физико-матеиатических наук А.Я. Белов

Ведущая организация: Уральский государственный университет

Защита диссертации состоится " '<>1" 19АЯ г. в пасов

на заседании диссертационного совета К053.37.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата.физико-матеиати ческ! наук наук в Ульяновском государственном университете (432700, Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, ауд.42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Е.А. Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование тождеств алгебраических систем — активно развивающаяся область современной алгебры. Тождества алгебры произвольной сигнатуры являются одним из немногих объектов, доступных всегда для изучения. Огромная роль алгебр Ли в современной математике потребовала, естественно, и изучения их многообразий, то есть классов алгебр, в которых выполняется заданный набор тождеств. Однако, как кажется, бедный язык тождеств оказался не таким уж бедным — их изучение потребовало изошеренной техники и и привело к весьма сложным проблемам. К примеру, лишь для небольшого числа многообразий алгебр Ли найден базис тождеств. Не найден базис тождеств алгебры Витта ЦГ1, важного объекта современной математики. Простота закона умножения в этой алгебре (напомним, что базис имеет вид е_1, ео, ег ,.. .и ¿)е1+;) приводит к существенным слож-

ностям при изучении ее тождеств. Так что любая информация о многообразии, порожденном алгеброй \\\ представляет значительный интерес. Кроме того, в многих случаях тождества появляются совершенно естественно и, соответственно, изучение структурных и иных свойств алгебр с тождествами также становится совершенно естественным.

Цель работы. Исследование тождеств алгебры Витта. Исследование в лиевом случае понятия устойчивого замыкания. Нахождение классов алгебр Ли, в которых конечномерность алгебры и нете-ровость ее универсальной обертывающей алгебры являются равносильными условиями.

Методы исследования. Применение теории представления симме-. трических групп к исследованию многообразий линейных алгебр. Комбинаторные приемы. Общие методы теории колец и модулей.

Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений, выносимых на защиту.

Научная новизна. Получена иными методами информация о строении полилинейной части относительно свободной алгебры многообразия алгебр Ли, порожденного алгеброй Витта. Продемонстрирована для случая многообразий алгебр Ли техника, связанная с понятием устойчивого замыкания многообразия. Найдено приложение понятия тождества в другом направлении современной

алгебры — показано, что конечномерность алгебры Ли, удовлетво-

ряющей системам тождеств некоторого вида, равносильна нетеро-Вбс'ТИ 66 унйьёрсальНОй ОббрТЫВйЮЩей.

Теоретическая и практическая значимость. Научная значимость работы определяется тем, что получена новая информация об алгебре Витта — объекте, возникающем во многих областях современной математики. Продемонстрировано, что понятие устойчивого замыкания требует дальнейшего исследования. Реультаты об эквивалентности конечномерности алгебры Ли и нетеровости ее универсальной обертывающей показывают значимость понятия тождеств для других направлений современной алгебры.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Получен критерий принадлежности идеалу тождеств алгебры Витта суммы изоморфных неприводимых модулей симметрической группы в пространстве полилинейных слов фиксированной степени.

2) Получено достаточное условие неприводимости гомоморфного образа суммы изоморфных неприводимых представлений симметрической группы в пространстве полилинейных слов фиксированной степени свободной алгебры Ли при канонической гомоморфизме в относительно свободную алгебру многообразия, порожденного алгеброй Витта.

3) Доказано, что устойчивое замыкание идеала тождеств алгебры Витта совпадает с устойчивым замыканием вербального идеала, порожденного стандартным полиномом степени о и равно идеалу тождеств простой трехмерной алгебры Ли.

4) С помощью понятия устойчивого замыкания идеала, тождеств получено еще одно эквивалентное определение локальш хоп-фовых многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики.

5) Доказало, что конечномерность алгебры Ли из некоторых классов равносильна нетеровости ее универсальной обертывающей алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством Кострикина А.И.

з

• семинарах, проводимых кафедрой алгебро - геометрических вычислений Ульяновского госуниверситета

• 4 - 6 ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1995, 1996, 1997 гг.)

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором лично.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы го 47 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем — 64 страпицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Всюду, где не оговорено противное, рассматриваются поля нулевой характеристики.

Во введении показана актуальность работы, обсуждаются основные достижения и проблематика теории многообразий алгебр Ли, сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава содержит необходимые определения, понятия и сведения и результатов автора не включает. Немало внимания здесь уделено представлениям симметрических групп, которые до сих пор является почти основным инструментом в исследованиях .многообразий над полем нулевой характеристики.

Вторая глава посвящена тождествам алгебры Витта свойства которой всегда привлекали к себе большое внимание математиков. Некоторые известные задачи теории тождеств алгебр Ли над полем нулевой характеристики находили свое решение для многообразия, порожденного IV. Так. за. несколько лет до окончательного решения1 проблемы Энгеля в работе2 было показано, что из тождеств алгебры Витта и тождества Энгеля следует тождество нильпотентности. При этом, стоит заметить, существовало предположение о том, что многообразие г,ат\\г- является контрпримером к проблеме Эпгеля. В 1,ат\У1 было пайлегго3 положительное решение

Тельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли.//ДАН СССР — 1987. —Т.292. — №2. — С.265 — 268.

'Мищенко С.П. Тождество энгелевости и его приложения// Матем. сб. — 1983. — Т. 121. — №3. - С.423 — 430.

'"Мищенко С.П. О многообразиях алгебр Ли, не содержащих трехмерную простую алгебру// Матем. сб. — 1992. — Т.183. --- Х-5. — С.87 — 96.

другой знаменитой проблемы — о локальной разрешимости многообразий, не содержащих простой трехмерной алгебры. Разрешимые подмногообразия гагИ^ описаны4, с частности здесь была опровергпута следующая гипотеза — все такие подмногообразия состоят из алгебр с нильпотентным коммутантом. Следует упомянуть и другие работы. А. А Кириллов с у чениками5"" также изучали многообразие, порожденное алгеброй Витта, в частности ими исследован рост относительно свободных алгебр из этого многообразия. Ю.П. Размыслов в своей монографии7 уделил значительное внимание таким многообразиям. С алгеброй Витта была связана еще одна интересная гипотеза: любая простая алгебра Ли с тождеством конечномерна пад своим центроидом. Алгебра \\\ оказалось одним из контр примеров5.

Существуют и нерешенные проблемы для многообразия, порожденного алгеброй ИЛ. В частности, до сих пор не найдеи базис тождеств алгебры \\\ — существует гипотеза, что идеал ее тождеств порождается стандартным полиномом

( ~ ^ ) ^1^Х<Г{ 1) Х<7{ 2) хо(Э) Зрч 4 г

С другой стороны, существует и другая гипотеза — тождества алгебры И71 определяются только бесконечный множеством полиномов. Некоторую информацию о базисе тождеств получил К.А. Зубрилин3. Возможно, что шагом к решению за дачи о базируемо-сти и других вопросов станет результат первого раздела первой главы о полилинейных тождествах И;\.

* Мищенко С. П. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Витта// Матем. сб. — 19SS. — Т.136. — №3. — С.413 — -125.

•®Кириллов А.А, Молев А.И. Об алгебраической структуре атгебри Ли векторных палей. Препринт №16$. — М.:Ин-т прикл. математики им M.R. Келдыша ЛИ СССР, 1985. — 23 с.

6Кириллов А.А, Овсиенко В.Ю, Удалова О.Д. О тождествах в алгебре Ли векторных полей на прямой.Препринт №135. — М.: Ин-т прнкл. математики им, М.В. Келдыша АН СССР. 1<№ 1.

'Размыслов Ю.П. Тождества. алгебр и их представлений. - М.:Наука. l'ijá. — 432 с.

'Суменков Е. А. Один пример в теория алгебр Ли 3-й Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. — Тарту, 157G, — 0.97 — 98,

э3у6ршшн К.А. О тождествах алгебры Ли // Веем. Моск. ун-та. Сер.ыатем.,мехал. — 1991. — №3. — С.71 — 77.

Теорема 2 главы 2. Пусть Р.. - сумма всех неприводимых изоморфных -подмодулей в Рп, построенных по таолниаи Юнга, получаемым из диаграммы Юнга г1~{щ,п2-,. •• А ф Ц\1! > I, &Ф (2,2). Тогда следующие условия равносильны

1) -щ-гп3-г2щ+ ... +(к-'2)п1е > 0:

2) Р4 С Г(ИМ.

Здесь Рп — ?5п-модуль полилинейных слов степени п ь свободной алгебре Ли £(Х) со счетным множеством переменных. Т(У/\) — идеал тождеств алгебры ГГ-. Необходимые сведения о технике диаграмм Юнга из теории представлений симметрических групп приводятся в первой главе.

Второй раздел второй главы касается строения ¡Рб',,- модуля Рл/(РиПТ(№{)) для некоторых диаграмм Юнга. Автором доказана

Теорема 3 главы 2. Если для диягрятш ё. выполняется равенство -п1+п3+2п4+... -К*-2)п£=-1, то -модуль /У(-Р,ПЗУИ'х)) ненриводнм.

Итак, теоремы 2 и 3 главы 2 дают некоторую информацию о строении гомоморфного образа где — канонический го-

моморфизм ЫХ) Ь{Х)/Т{\\\). Надо отметить. что строение К?..-модуля <г(Рг.) было выяснено еще в работе А.й. Молева11'. В этой работе было получено, что кратность вхождения неприводимого "¿"„-модуля в модуле (¿(Р^) равна коэффициенту при ь полиноме

где Л, — длина крюка, fs — длина ноги крюка s—u клетки диаграммы Юнга неприводимого представления (крюк з—и клетки — множество клеток диаграммы, состоящее из самой ¿>-й клетки и всех клеток,расположенных строго вправо и внизу от нее, нога состоит из клеток, расположенных строго внизу'. Поэтому может сложиться впечатление, что теоремы 1 и 3 главы Ii ничего ноного не содержат. Но вряд ли можно сомневаться в u-out. что -paooia с выражением -п,-г/1з~'2п4-г ... +ik—2)iiv куда проще, чем с формулой из работы А.й. Молсва. Так что теоремы 2 н 3 главы 2 с полным основанием можно считать самостоятельными результатами.

В третьем разделе второй главы вводится иошпс устойчивою замыкания cl( V) многообразия V* ассоциативных и ллевых алгебр

10Молев А.И. 06 алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей на пря-

мой// Матем. сб. — 1937. — Т. 134. — Л-1. — С.82 — 92.

(предложенное в 1981 г. В.Н. Латышевым'-1'). Пусть — свободная. ассоциативная алгебра от счетного множества переменных

...........Линейные отображения тг.;, i=l,2,... ,п, определенные на

Рл,п {Ра.п — пространство полилинейных полшпомов от переменных «1,Я2,...,л„) по правилу щ(ал,-6)=6я,-а, порождают группу П„, которая при п > 3 изоморфна12 симметрической группе S.. Таким образом, пространство Ра,г. наделено структурой ?5я+;-модуля. Т-идеал Т С А(А') называется устойчивым, если все подпространства Т П Рл.п является Fil „-подмодулями Рл.п- Многообразие ассоциативных алгебр V называется устойчивым, если соответствующий ему Г-адеал устойчив.Например 's, устойчив "/"'-идеал алгебры матриц. Алгебры с устойчивым Х'-лдеалом имеют одно ытересыое свойство — C.B. Охитин14 показа»], что iaKue алгебры обладают центральным полиномом.

Хорошо известно, что алгебра Ли е А{Х). порожденная X относительно операции коммутирования [х,у)~ху-ух, изоморфна свободной алгебре Ли Ь(Х). Поэтому сейчас будет удобно считать, что ИХ) Ç А(Х). Оказывается, что лля всех 1 <i<n

ъ(Рм П LLX)) С РА,п П L{X).

Таким образом, можно ввести понятие устойчивости 2-идеалов ц многообразий в случае алгебр Ли точно т акже, как и в случае ассоциативных алгебр. Одной из целей второй главы является демонстрация того, что в лиевом случае устойчивость также имеет смысл. Пусть Т - иекотмрыи Г-идеал (рассматриваем п лисе случаи, и ассоциативный). Назовем Г-идеал ClfT) устойчивым замыканием Т. если С1(!П является наименьшим устойчивым Г-идеалом, содержащим Т. Если Т—Т(А). где А - некоторая алгебра, то р?.та простоты будем использовать обозначение 0)(.4)—С1('7'(.4)). Ссптвстстпеппо, можно определить понятие устойчивого замыкания cl(F) ц для многообразия алгебр У.

Первый основной результат третьего раздела, описывает, в частности, устойчивое замыкание многообразия гаг Н .

"Латышев В.Н. Устойчивые идеалы 'хожлгсгв// Алгебра и логика — 1. •• Т. 20. — №. — С. 563 — 570.

12 Там. же

13Там же

иОхитнн C.B. Об устойчивых Т-идеалах и игитрагт.пит миогочле пах '/ Бестн.

Моск. ун-та. Сер матем., ыехан. — 19?Ç. — №3. — 0.^5 — 88.

Следствие Теоремы 6 главы 2 . С1()=Cl(£tWr(¿J(2)).

Здесь Si — Т-ядеал, порождаемый полиномом {xi,x2,x$,x¿,x¿\ (.черточки пал буквами означат- кососнмметриза-цию), T{sl{2}) — идеал тождеств простой, трехмерной алгебры Ли. Стоит также обратить внимание на вышеупомянутую гипотезу о базисе тождеств многообразия га/-И';. Кроме этого, понятие устойчивого замыкания позволяет описать локально хомфовы многообразия алгебр Ли — задача15, поставленная ГО,А. Бахтуриным и Г.П. Ку-киным и решенная М.В. Зайцевым. Точнее, автор дсбглил. пятое условие к теореме М.В. Зайцева16.

Теорема 7 главы 2. Для многообразия алгебр Ли V лад naieu нулевой характериегти эквивалентны следуюшиь условия: 1} в V выполняется тождество (n^Çn)

xynz = £ a^-izyi

2) V локально хопфово;

3) V локально нетсрово:

4) V не содержит всех центрально метабелеиых алгеир Ли:

5) d(K) является нилытотсятяыи.

Третья глава диссертации касается следующей проблемы. Известная теорема Гильберта о базисе утверждает, что алгебра ílolí-мутатквных полиномов f [ïi .x¡____¡ над полем i?" нетерова лишь ь случае конечного чиста переменных ж,-. Понятие универсальной обертывающей алгебры Ли можно рассматривать как обобптепгге ттогог-тия алгебры коммутативных полиномов, и это позволяет предположить, что нижеследующие условия эквивалентны (здесь L — алгебра Ли над полем F, U[L) — ее универсальная обертывающая'!: 1 ) L конечномерна: 2) U{L) нетерова.

Заметим сразу, что факт следования 2) из 1) хорошо известен. Упомянем также результат17, делаюший вышеупомянутую гипотезу более правдоподобной — универсальная обертывающая бесконечно-

"Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы чсорли ко isn и лтолу.юй. Usa. 1-е. — Новосибирск. 1993. — 73 с.

-с.Зайцев М.В. Локально хоифовы многообразия алгебр Ли/, Матсм. заметки —1989. — Т.45. — Ш. — 0.56 — 60.

17Вегтап 3., Сох В. Em-doping algebia» and reprfiiüutátxous oí toroidal Lic. algebras//

Paáf, J. Matli. — 199-1. — V.165. — »2. — P.239 — 207.

мерной алгебры Каца-Муди не можех иьпь нехероъой. Цель ?ре-тьей главы — показать, что при изложении некоторых условий на Ь, главным образом на тождества.. .-эквивалентность вышсупомэтгту-тых условии действительно имеет место. Более точно, справедлива

Теорема 4 главы 3. Пусть Ь — алгебра Ли над полем ЗГ. О — ее подалгебра конечном коразмерности я выполняется одно аз следующих условий

а) С разрешима;

б) О — обобщешю-спеццальыоя алгебра и скагТ—-0;

б) С — алгебра, в которой выполняется система, тождеств Капалли искаг¥-0:

г) С — алгебраическая АР1-а.'1гебрл;

д) С тлеет тождество, алгебраичпа п сНагИ=0;

е) С — ншь-ешгебра и с1шг¥>(). Тогда, эквивалент мы следующие условии:

1)Ь конечномерна:

2)1} {Ь) тгерова.

Основные результаты работы изложены в следующих

публикациях

1. Власов H.A. Об устойчивых многообразиях алгебр Ли// Вестн. Моск. ун-та. Сер.матем.,механ. — 1997. — Л'84. — С.24 — 26.

2. Власов H.A. О нетеровых универсальных обертывающих. — Ульяновск, 1997. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 2S.02.97, .N>038 - В97.

3. Власов H.A. Об устойчивых замыканиях многообразий алгебр Ли/7 В сб. "Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и мехапики." / Под редакцией Б.Ф. Мельникова. — Выпуск 4. — Ульяновск:УлГУ. 1997 — С.31 — 38.

4. Власов H.A. Конечномерпость алгебр Ли и иетеровость универсальных обертывающих// В сб. "Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики."/ Под редакцией Б.Ф.Мельникова. — Выпуск 4. — Ульяновск:УлГУ. 1997 — С.38 — 44.

Подписано в печать 10.04.98. Формат 84x108/32. Усл. печ. л. 0,7. Гарнитура ТнпевЕТ. Тираж 100 экз. Заказ ШП//7С

Отпечатано в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42