О структурной теории алгебр Бола тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

■Г' ~ ¡~> г -1

■ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

"/ "СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЗАЙДИ Омар

УДК 519.47+512.554 О СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ АЛГЕБР БОЛА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кузьмин E.H.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кукин Г.П.,

кандидат физико-математических наук Скосырский В.Г.

Ведущая организация - Московский государственный университет

Автореферат разослан "_" _ 1993 г.

Защита состоится "_" _ 1993 г. в_

часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 002.23*01

кандидат физ.-мат.наук С.Т.Федоряев

ОЫЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1955 г. А.И.Мальцев заметил, что классическое соответствие между грушами Ли и алгебрами Ли может быть распространено на гладкие неассоциативные системы, близкие к группам Ли, - т.н. аналитические лупы. Если (локальная) аналитическая лупа О альтернативна (диассоциативна), то в окрестности нейтрального элемента е можно ввести канонические координаты 1-го рода, в которых операция умножения лупы С, определяется аналитическими функциями и для любого вектора а кривая х(£) - а t является локальной одно-параметрической подгруппой (с локальным параметром £ ). Касательное пространство Т& в точке £ корректно наделяется строением бинарно лиевой алгебры (над ¡К ) и любая конечномерная вещественная бинарно лиева алгебра является касательной алгеброй для некоторой локальной аналитической альтернативной лупы. В той же работе А.И.Мальцев выделил один замечательный класс альтернативных луп - лупы Муфанг, которые можно охарактеризовать, например, тождеством

(правое тождество Муфанг), - и показал, что касательная алгебра М лупы Муфанг О удовлетворяет тождествам

хг= О , 3 у, х z ) = J (х, у, z ) х ,

(2)

где 3 (х, = (ху ) z -ь (<j 2) х + (zx) у - якобиан эле-

ментов х, у,z 6 Л1 • В современной терминологии такие алгебры называются алгебрами Мальцева. Позднее E.H.Кузьмин [2] доказал, что верно и обратное: любая конечномерная вещественная алгебра Мальцева является касательной алгеброй локальной аналитической лупы Муфанг, установив одновременно, что каноническими координатами 1-го рода обладает любая гладкая моноассоциативная (т.е. с ассоциативными степенями) лупа G- . Последний результат создает предпосылки для применения аппарата алгебры к изучению некоторых классов моноассоциатквнкх аналитических луп. Один из наиболее интересных таких классов - это лупы Бола, которые характеризуются тождеством

и называется левой лупой Бола. Лупы Муфанг - это те лупы, которые являются левыми и правыми лупами Бола одновременно.

Замечательная особенность луп Муфанг и правых (левых) луп

Бола состоит в том, что эти классы луп универсальны в том смысле, что устойчивы относительно изотопий.

(правое тождество Бола). Если б - лупа с тождеством (3)(правая лупа Бола), то противоположная лупа 0° с умножением

х „ «j = ^ . х удовлетворяет тождеству

х •

С х-г) ] = [х- . Z

Теория алгебр Мальцева к настоящему времени достигла значительного развития (см., например, [з] , [41 ). Используя результаты структурной теории алгебр Мальцева, Ф.С.Кердман установил, что любая конечномерная вещественная алгебра Мальцева является касательной алгеброй некоторой односвязной аналитической лупы Муфанг в целом. Справедлив также аналог теоремы Щрайера о продолжении локальных изоморфизмов. Таким образом, на лупы Муфанг и алгебры Мальцева переносятся все основные теоремы о соответствии между группами Ли и алгебрами Ли.

Гладкие лупы Бола изучали Л.В.Сабинин и П.О.Михеев [ 6 ] , [7]. Они показали (методами дифференциальной геометрии), что структура гладкой (правой) лупы Бола в окрестности нейтрального элемента £ определяется двумя операциями на касательном пространстве 7*е > бинарной (•) и тернарной ( , , ), которые линейны по всем переменным и удовлетворяют системе тождеств

с у ) = о , С х> 2 ) + 2, X ) + {г, X,} ) * О ,

(*,].г)Ъ = (хЯ.^г) +<Гх,у£),2) + ( х,?,г2>) , (4)

х- х = О

где 2) -Ъ - отображение Хь» ( х, и, V) , X, 2, и, V-

произвольные элементы из & ~ 1~е •

Бинарно-тернарная алгебра ^ с тождествами (4) называется (правой) алгеброй Бола. Любая конечномерная вещественная

■ алгебра Бола $ является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Бола. Таким образом, категория локальных аналитических луп Бола эквивалентна категории алгебр Бола.

Первые три тождества в (4) записываются в терминах тернарной операции ( , , ) (и сложения), они показывают, что относительно этой операции алгебра Бола & является лиевой тройной системой (л.т.е.), которую мы обозначаем через 6Т » -хорошо известный класс алгебр, который был введен Н.Джекобсо -ном в связи с построением структурной теории конечномерных йор-дановых алгебр [в*]. В дальнейшем л.т.е. нашли важные применения в теории алгебр Мальцева [з],[э] и, особенно, в теории симметрических пространств [10],[п]. Соответствие 6 8 т можно рассматривать как "забываюций" функтор из категории алгебр Бола в категорию л.т.с. Хорошо разработана структурная ■ теория конечномерных л.т.с. над полем $ характеристики О С12],[13] , включая такие классические вопросы как расщепление л.т.е. в полупрямую сумму разрешимого радикала и полуцростой подалгебры (подсистемы), сопряженность полупростых факторов в случае алгебраически замкнутого поля Д (аналог теоремы Ле-ви - Мальцева - Харшп-Чандра), теория когомологий. Существен -ную роль в теории л.т.с. играет стандартное (и универсальное) вложение произвольной л.т.с. Т в алгебру Ли = $ (Т) ( /_Ч(7-)) » ПРИ котором операция ( , , ) для элементов х, -у, 2 в 7~ выражается через операцию умножения в по формуле

При этом L =Т + Г Т,Т] , и элементы из Т харак-теоризуются как кососимметрические относительно некоторой инволюции (Г алгебры . Аналогичное стандартное (и универ -сальное) вложение в алгебру Ли V, допускает и алгебра Бола $ . К равенству (5) в этом случае добавляется равенство

(6)

где "Л" - проекция - б 6] на Б » ядро которой И-

-КеъХ является подалгеброй в ^ . Таким образом, алгебры Бола тесно связаны с разнообразными классическими объектами современной алгебры: лупами Бола, лиевыми тройными системами, алгебрами Ли и, опосредованно, с симметрическими пространствами. Частным случаем алгебр Бола являются алгебры Мальцева. Однако структурная теория алгебр Бола, в отличие от теории ал -гебр Мальцева, делает пока лишь первые шаги.

Цель работы состоит в построении основ структурной теории конечномерных алгебр Бола (главным образом, над полем характеристики 0), а также описании алгебр Бола малых размерностей, ¿¿т £ ^ з .

Общая методика исследований. В работе используются методы нэассоциативной алгебры, теории алгебр Ли, теории матриц (в главе о классификации). Применяются и некоторые теоретико-числовые результаты.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации -

новые.

Практическая ценность. Результаты и методы диссертации

дают вклад в структурную теорию конечномерных алгебр Бола. Они могут быть использованы в теории аналитических луп Бола. Классификация двумерных и трехмерных алгебр Бола дает, с одной стороны, представление о разнообразии свойств этого класса алгебр, а с другой стороны - дает подход к описанию аналитических луп Бола размерности ^ 3.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Третьей международной конференции по алгебре памяти М.И.Кар-гаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993 г.), на семинаре "Алгебра и логика" при Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И.Ширшова при Институте математики Сиб. отд. РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20] - [23] .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I "Предварительные сведения" состоит из двух параграфов и содержит некоторые известные результаты, в том числе наиболее интересные свойства луп Муфанг и луп Бола, описание структуры алгебры Бола на касательном пространстве к аналитической лупе Бола, конструкцию стандартного вложения алгебры Бола в алгебру Ли.

Глава П "Элементы структурной теории алгебр Бола" со-

стоит из трех параграфов. В § I определяется универсальное вложение алгебры Бола в алгебру Ли. Основным результатом этого параграфа является

ТЕОРЕМА I. Пусть В - конечномерная алгебра Бола над пол / У

лем характеристики О, йт - ассоциированная с ней л.т.е., и , соответственно {_УТ , - универсальная обертывающая алгебра Ли для В , соответственно для в т . Тогда /_и ~ универсальное вложение 8 ¿- совпадает с универсальным вложением

В § 2.- вводится понятие разрешимости для идеалов алгебры Бола, которое обобщает, с одной стороны, понятие разрешимости для обычных линейных алгебр, а с другой стороны - понятие разрешимости для идеалов л.т.е., введенное Листером £12} . Устанавливается связь между разрешимыми идеалами алгебры Бола & и разрешимыми идеалами обертывапцих алгебр Ли для /5 ■ Определяется разрешимый радикал конечномерной алгебры Бола, обладающий обычными свойствами. Приводится классификация двумерных алгебр Бола над произвольным шлем . Результаты этого параграфа принадлежат Е.Н.Кузьмину и включены в диссертацию в целях связности изложения.

Близким к алгебрам Бола классом алгебр является т.н. лиевы тройные алгебры (л.т.а.), которые были введены К.Ямагути [14] под названием обобщенных л.т.с. Они также допускают стандартное вложение в алгебру Ли. По аналогии со случаем л. т.а. [15] в §3 вводится понятие формы Киллинга - Риччи конечномерной алгебры Бола В : это билинейная форма /1 на в .

являющаяся сужением на $ формы Киллинга для стандартной

- 10 -£

обертывающей алгебры Ли алгебры $ . Форма ¡1 симмет-

рична и удовлетворяет тождеству

/Ъ ((*,у,г ) ,Ь) * (Ь (г, (ц,х,-Ь)) . С?)

Форма Киллинга - Риччи называется инвариантной (ассоциативной) , если она удовлетворяет также тождеству

Д (*• У, г ) = [Ь (х, у. г ) . (8)

Инвариантность формы ^ имеет место, например, в слу -чае алгебр Мальцева.

Основным результатом § 3 является следующая структурная теорема.

ТЕОРЕМА 2. Пусть ^ " конечномерная алгебра Бола над полем $ характеристики 0 и |1 - ее форма Киллинга - Риччи. Тогда

1) стандартная обертывающая алгебра Ли для разрешима тогда к только тогда, когда подпространства и С/3,в,б) взаимно ортогональны относительно ;

2) полупроста тогда и только тогда, когда форма у!

невырождена;

3) если форма р невырождена и инвариантна, то /5 разлагается в прямую сумму попарно ортогональных относительно простых идеалов,

6 = в, © вг ©... €> .

При этом обертывающая алгебра Ли (_, разлагается в прямую сумму идеалов . , £ = />..., § » где /_. • - стандартная обер-

тывающзя алгебра Ли для & . , каждая из алгебр является полупростой алгеброй Ли и - (1Ь, 6, 6 ) •

Следуя [ 16] , ш называем радикалом Кплллнга (::л:: К-рэ-дикалом) алгебры Бола ортогональное относительно /о дополнение = Св, в^ б ) ^ к подпространству (в, в, б) - 6 • Алгебра называется -разрешимой С К -полупрэсток), если Я = 6 С К = О ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ I. Если - конечномерная алгебра Бола характеристики 0 и - ее радикал Киллинга, то Д совпадает с радикалом л.т.е. ГЗТ .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. В условиях предложения I алгебра & является К -разрешимой тогда и только тогда, когда еа стандартная обертывающая алгебра Ли (_, (а вместе с ней и любая обертывающая алгебра Ли) разрешима.

Алгебра & К -полупроста тогда и только тогда, когда форма К:1лллнга - Риччл алгебры $ невырождена.

Глава Ш "Алгебры Бола малых размерностей" также состоит из трех параграфов. Классификация алгебр малых размерностей в том или ином многообразии алгебр (как и вообще классификационные теоремы) представляет интерес по ряду причин, - например, как иллюстрация к известной теории или, наоборот, как экспериментальный материал для теоретических гипотез. Так, в ["17] описаны нелиевы алгебры Мальцева размерности ъ £ 5" над полем характеристики 0 и нелиевы нильпотентные алгебры Мальцева размерности 6. К.Ямагути Споказал, что с точностью до изоморфизма существует всего три различных л.т.с. размерности 2 над полем комплексных чисел С . Классификация 2-мерных ал-

гебр Бела нэд полегл характеристики, отличной от 2 и 2-мерных л.т.е. нэд произвольным поле:.; приведена в §2.2 настоящей работы. В гл. Ц дана классификация алгебр Бола размерности 3 над полем характеристики ¥ 2 . Поскольку алгебры Бола сочетают в себе структуру ллноЛной экгиког.мутативной алгебры и структуру л.т.е. (связьнкке «езду собой определенным образом), то оказалось рэзульта?;-:зны.л реп;'.1:- з.-.ьчала соответствующую задачу для аьиЕ-саммутзтлвкых &.:г~>'о >эы„ерности 3 (§ I) и для 3-шрных л.т.е. С< S). Лоследа.:«-- представляют собой не что иное как алгебры ^оль с тривиально,: ^лнарной операцией ( х-у = 0 ). Если 3-!.icj»iUe ¿нтлко^лутатнышз алгебры описываются сравнительно просто (они, по большей чэ„тн, оказываются алгебрами Ли, и классификацию 3-мерных алгебр Ли можно найти, например, в[19] ), то ухе описание 3-мерных л.т.с. оказывается довольно трудоемкой задачей. Еще сложнее задача описания 3-мерных алгебр Бола о ненулевым бинарным умножением (§3). Из-за громоздкости мы не приводим здесь точных формулировок результатов. Отметим лихь следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если А - антикоммутативная алгебра раз-i..e-рностл 3 над произвольным полем & , то Д либо проста, либо разрешима. Если Д разрешима, то Д либо является ме-табелезой алгеброй Ли, либо изоморфна одной из двух алгебр, имеющих таблицы умножения

-е,^ -«к«* > (9)

-е. ег = , . - О . (Ю)

Уже на примере 2-мерных алгебр Бола обнаруживается любопытный феномен, что простая алгебра Бола может иметь разре -

шимую обертывающую алгебру Ли, по контрасту с известные фактом, что радикал конечномерной л.т.е. Т над пэле;* характеристики 0 есть пересечение f с радикале:-. ооер'^ззюцей алгебры Ли L . Еще большим разнообразием свойств 3—мерные алгебры Бола.

Нумерация формул (определении, утвержден.!.:) .з различных главах независимая. При ссылке на формулу и т.д. лз другой главы впереди ставится номер главы.

Автор пользуется случаем выразить глубо';;-*; coli-.мерность Е.Н.Кузьмину за внимание л всестороннюю помощь к

Литература

1. Мальцев А.И., Аналитические лупы //¡¿зт.сб. - 1^55. -Т.36(78), J6 3. - С.569-576.

2. Кузьмин E.H., 0 связи мевду алгебрзьж ..Мальцева и аналитическими лупами Муфанг //Алгебра и логикь. - IÖ7I. - Т.1С, JSI. - С.3-22.

3. Кузьмин E.H., Структура и представления конечномерных алгебр Мальцева //Труды Института математики. - I98S. - Т.16. -С.75-101. - Новосибирск: Наука .

4. Кузьмин E.H., Шестаков И.П., Неэссоц/ативнке системы //Йтоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1990. - Т.57. - С.179-271. - М., ВИНИТИ.

5. Кердман Ф.С., Об аналитических лупах Муфанг з целом //ДАН СССР. - 1979. - Т.249. Я 3. - С.533-536.

5. Сабинин Л.З., Михеев П.О., Теория гладких луп Бола. Лзд-во УДК. - IS85.

7. Сабинин Л.З., Аналитические квазигруппы и геометрия. Изд-во УДК. - 19Э1.

8. ^а-ссёьоп Л/. ега£ гергтintuito* theccy of ЗогЛсы // Tiani. Amti. Hodk. Soc. -/5 f/. - . - P. 6"og - 5*50-

S.'LoosO. ein* Z^scA««

Pacif. 7. - /9^. - V./У, Л/3. - p. 5"¿2.

1С. Лаос 0., Симметрические пространства. M.t Наука . -

I¿85.

11. Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. Ы.: Лир , - 1964.

12. L¿stez W.G. A shuctuie Ueoij of Líe. íicpfe ijiic^s// 1хлиг. Am*.i. MM.Sot." USlr

V- 41 , N 2. - Р. 2/7-2 4Z.

13. Hazz¿s 1$. CokowtoM cf Lu Ыр**

SySf<wS anct Líe. «Л^&гл* witk ¿»volteen//

T-i*„s. ИМ. Soc. -IUI. - V. 9Л, Л//. -P. IHt-lé2.

14. с К. O» tU L¿e iySte»,

¿x-HÍ/ t'^S gá-neia&zaiic* ^ J. ^c^, M¿zos/iCma CUv., -V.lt,-ico.

15. KíkÁaWU. M. On K¿éé¿^- R¿cc¿ fozms Of Lu aJg*Si.aS // J. MUL -

le.SI.' V. и, N1. - p- 1*3 -161..

16. Kckk«w« M. o» tU "«ckcbl

of Lu treffe a^e^us // $ег Д. - 19S2 . ~ V/ fS.Mf- ~ P- ¿'¿-ZIS'.

17. Кузьмин E.H., Алгебры Мальцева размерности пять над полем характеристики нуль //Алгебра и логика. - 1970. - Т.9,

№ 5. - С.691-700.

18. К• Ои «/¿«А« tota^x

*гоо(л5Сс SA>«<*S (Lee tiif>& // ]■ Sc«.

p. ¡0? - IIb.

19. Джекобсон H., Алгебры Ли. M.: Мир , 1964.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

20. Зайди 0. Универсальное влокение алгебры Бола //Третья международная конференция по алгебре памяти М.И.Каргаполо-ва (1928-1976). Тезисы докладов. - Красноярск, 1993. - С. 119.

21. Зайди 0., Кузьмин E.H., Разрешимые и полуцростые алгебры Бола //Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Карга полова (1928-1976). Тезисы докладов. - Красноярск, 1993. - С.119.

22. Зайди 0., Кузьмин E.H., Разрешимые и полуцростые алгебры Бола //Препринт й 9 Института математики Сиб.отд. РАН. -Новосибирск, 1993. - 27 с.

23. Зайди 0., Алгебры Бола малых размерностей //Доп. в ВИНИТИ. - Ред. Сиб.мат.журн. - Новосибирск, 1993. - 72 с.