О геометрии -мерных алгебр Бола с разрешимыми обертывающими алгебрами ли малых размерностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

БУЭТУ БУЭТУ ТОМАС

• О ГЕОМЕТРКИ 3-МЕРНЫХ АЛГЕБР БОЛА. С РАЗРЕШИМЫМИ ОБЁРТЫВАЩШ1 АЛГЕБРАМИ Ж МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

(01.01.04-геоматрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой"степени кандидата физико-математических наук

Ыосква-1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа"Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент П. 0. МИХЕЕВ

доктор физико-математических .наук, профессор А.. Ы. ШЕЛЕХОВ

кандидат физико-математических наук-, доцент О. А. МАТВЕЕВ'

Ведущая организация - Московский Государственный университет им. И. В. Ломоносова. .

в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, Москва, ул. Орджошквдзе, 3 ауд. 485

С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Официальные оппоненты:

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан " ^ " - Л с^рХ- 1995

я

Ученый секретарь диссертационного совета

фаиШ/- м. в. дрдгнев

г

СЕЖЯ ХЛР/ЛгТЕТМСТЖЛ РАБОТЫ

Актхалькость_теш. Конструкции квазигрупп и касателышх к ним структур интенсивно развиваются в последние ло-лътз. Кваз игру гит как не ассоциативные алгебраические структура естественным образом являются обобщением понятия группы. Они возникли в рчботах' Р.Ыуфанг (1935) [19]. Ею были получены тождества (тоздесг/.'З Муфанг), а в 1937 г. тохдестьз Бола [10], которое были сид^-^ели из тождеств Муфанга. Гладкие локальные лупы ьнерьне появились в работ« Мальцева Л.И. [6] в 1955 г. в связи с обобщенном теории грунт: Ли.

Бинарною лисвыс алгебры позхе были названы алгебрами Мальцева. В работе Акивиса М.А. [1.2] было введено понятие бинарно-тернарной алгебры, касательной к геодезической лупе, связанной с произвольной точкой пространства аффинной сеязности. Ряд других ' математиков принимали участие в развитии дифференциальной геометрии и исследованиях различных классов квазигрупп и луп. [1-1,15, 18].

В 1926 г. в своем исследовании Э. Картан [17] положил'начало исследовании симметрических пространств. В настоящее время данная структура играет Фундаментальную роль в дифференциальной геометрии и ее приложениях. Вопрос, который возникает здесь -описание и классификация симметрических пространств -естественным образом сводится к классификации соответствующих алгебраических структур. Сходным образом исследования по геометрии расслоенных пространств стимулируют интерес к грн-тканям специальных типов, в частности, к три-ткаяям Бола и, соответственно, касательным к ним алгебрам Бола^ В связи с чем приобретает скисл вопрос об описании совокупности з-мершх алгебр Бола, что и является объектом рассмотрений в этой работе. 00 отдельных классах алгебр Бола см. [3].

Алгебры Бола возникли при ифшитезимальном описании класса ' локальных гладких лун Бола. В работе Сабинина Л.В. и Михеева П.О. интерес к изучении гладких луп Бола связан с тем, что геодезическая лупа (Сабинин Л.В. [9]) локалыю-симметриче-екого пространства аДйшной связности удовлетворяет левому тождеству Бола. Можно сказать, .что лупы, удовлетворяющие левому тождеству Бола и тождеству автоморфной обратимости, являются точным"

2 . .

¿.•¡героическим аналогом конструкции симметрического пространства. У частности* закон сложения скоростей в С.Т.О. [II] является лунок Бола. Итак, опираясь на вышесказанное мы мокем симулировать цель данной работы. ,.

и^льлаогоящей диссертации состоит в классификации алгебр Г,оля размерности 3 с разрешимыми алгебрами Ли размерностей 35 с точность» до изоморфизма и с точностью до изотопии и описание три-тканей Бола которые -га соответствуют.

Общая методика "исследования. В настоящей диссертационной т ::боиспользуются метода геометрии расслоенных пространств и . н^ссоциативной алгебра. ■

У213азя_ноЕизна. В диссертации получены следующие новые результаты: ■

1. Описание 3-мерных алгебр Бола указанного вида.

2. Построение.объекта, описывающего изотопность алгебр Бола. А. Описание три-ткансЯ Бола, связанных с выделенными

слгоо;>аБола. . .

1й££тическая__и практическая значимость. Работа носит

теоретический характер и ориентирована.' на приложения в дифференциальной геоштрвд, теории квазигрупп и луп, а также, в физике в механике. •

Апробация, работа. Сформулированные в диссертации результаты корректно обоснована." Оня докладывались в 1992-1995 г.г. на заседаниях семинара по алгебре й геоштрии кафедры математического анализа РУДН и на егегодаих научных ковфэревциях факультета физико-математических и естественных наук РЗССГ/-

• публикаций. Основные результаты диссертации достаток¿-полно отражены & работах, цитируемых в списке II, приведенном вГковце. Все роботы выполнены без соавторов кроме работы. (51.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содеряааего 102 наименования. Объем дассертащш - 129 страниц

РОДЕРЖАНЙВ РАБОТЫ Во введении дается краткий обзор литературы по тема дассертащш. , •

ГЛАВА I в этой главе проводятся алгебраические и геометрические рассмотрения используемые в последующих построениях, и дается

определение изотопных алгебр Бола, формулируется ¡г .....;

теорема об изотопии. Глава I состоит из семи параграфов.

В } 1.1. "Душ Бола" Кратко обсуждаются основные понят.:;-. :: терминология теории квазигрупп и луп Бола.

В 5 1.2 "Изотопные лупи" дается определенно изотоикостл е виде коротких предложений излагаются основа изототзюсг.: лу:;.

В § 1.3 "Локальные аналитические лупи Бола". Кротко обсуздаются вопросы локальной теория луп Бола. В виде о»тродолэюм вводится понятие алгебры Бола как й-алгэбра, на которой выполняются тождества

(х,х,у}=-0

(х,у,2)+(у,а,х)+(г,х,у)=0

Обсуждаются вложения локальных аналитических луп Бола а локальные групп Ли согласно следующей диаграмме 1

в ,- в

ехр

I

с/н

где 1- вложение, к- естественная проекция и ф - ограничение на в композиции отображений «»ехр. Обукдаются также вопросы вложения алгебр . Бола в алгебры Ли и конструкция обертывавших алгебр Ли алгебр Бола. Здесь показывается кок вычислить операции и (£.т],х> алгебры Шла 9 в терминах алгебры Ли в,. ее подалгебры ъ н подпространства 8, даются некоторые- предложения.

В $ 1.4' "Гри-ткани и координатные лупы тря-ткани" в виде определения и серии коротких предложений излагаются основы теории гри-ткаией и координатных лупы три-тканей.

§ 1.5.1. р"Изотопаые алгебры Бола". В этом параграфе дается обобщение на случай локальной аналитической лупы Бола понятия изотопии'. При этом формулируется, определение изотопии алгебры *олз. ■ '

А» «

Определение 1.5.1 ...Пусть 9 и а . - алгебры Бола, и

»V Af

9 =8+ti - их канонические обертывающие алгебры Ли. Будем говорить, что s и 8 - изотопные алгебры, если для соответствующих, им канонических обертывающих алгебр Ли »=«+•*> и в=»+ь существует

такой изоморфизм ф: о -► s, что ф(в)=», и ф(Ъ) совпадает с

образом подалгебры ь в о при действии внутреннего автоморфизма Ad С, i(S, т.е. 3 Siiî

Формулируется и доказывается следующая теорема: теорема 1.5И.1. Пусть в(х) и В(о) - глобальные аналитические душ Бола. И пусть их касательное алгебры Бола изотопны, тогда Б (о) локальна изоморфна аналитической лупе Бола, которая аналитически изотопна В(х).

1.5.2. "О классификации алгебр Бола". Здесь излагается метод исследования.

Ниже ш рассматриваем классификацию алгебр Бола с точностью до изоморфизма и с точностью до изотопии [5] в списке и. Классификация с точностью до изотопии является более грубой, чем класи-фикация с точностью до изоморфизма. .Вместе с тем понятие изотопии алгебры Бола открывает новые связи между неизоморфными алгебраки Бела.

1.5.3. "Изоклкнные алгебра Бола". Данный класс алгебр есть частный случай алгебр Бола. Алгебра Бола изоклинна в том и только в том случае, если она удовлетворяет аксиоме плоскости.

ГЛАВА II. В этой глава даются классификации разрешимых тройных- систем Ли. Состоит глава из четырех параграфов.

§ ПЛ. "Некоторые сведения о тройных системах Ли". Здесь дается определение тройных систем Ли и даны прямая и обратная конструкции тройных систем Ли.

5 II.2. "Разрешимые и простые тройные системы Ли". На основании определения и теоремы [4]

Теорема пил. Кобаяси К. Номздзу К.[4] Пусть s - тройная система Ли, е-=к+-»; - ее каноническая обертывающая алгебра Ли и г -радикал алгебры Ли е. Во существует полупростая подалгебра р.допонительная к г, такая что:

В=И'+В»'

ГДв Я'=ИПг И Я"=#Пр, Ь-Ъ'1Ь", Ь'^ЬПг, Ъ"= ЪПр

Рассмотрение З-мерннх тройных системы Ли подразделяется на следующие три случая

1. Полупростой случай

2. Расщепляемый случай

3. Разрешимый случай

5 II.3. "Классификация разрешимых тройных систем Ли". Здесь ■доказывается и формулируется теорема.

Георема. 11.3.1. Пусть а=<о1,е2,в3> - разрешимая тройная система Ли размерности 3, в ~ ее каноническая обертывающая алгебра Ли (размерность) , и пусть а, в, с: а --в - линейные преобразования вида А=(е1,в2,-), В=(в2,е3,-)г С=(е3,е1,-).

С точностью до изоморфизма возможна ситуация одного из следующих типов: _ • ■ • ,

Тип I .я -абелева тройная система

ТИП II. А=В=0, В=

О о 1)

ОО О .ООО

® =<е1,е2,е3,е4> - 4-мзрная неразложимая нильпотентная алгебра Ли с определяющими соотношениями

1е2,0э]=е4 [е3,е4]^=-е1

(алгебра типа 1 в; классификации Г. М. Мубаказяиова [8]). Тип III. а есть прямое произведение 2-мерной разрешимой тройной систвга 'Ли <е'1,е0> и одномерной абелевой <е3>,

в^о=о

о=<в),о2,о3,ед> - 4-мерная разложимая алгебра Ли с определяющими соотношениями

1е,,е23=э4, eg.e^Te,

при этом 0=<е1 ,ег,од>©<е3>, где <о1 .eg.e¿> - з-морная разрешимая алгебра Ли (типа g3 4/s в классификация МуОаракзянова Г.М. [8]).

" О ±1 1 Тип IV. ООО

. о о о

Алгебра Ли o=<et,ег,е3,е4> Ли с определяющими соотношениями

[е,,ег]=е4.

В=0, С=

О -1 ±1 ООО .ООО 4-мерцая неразложимая алгебра

[е2.ел]=те,

t®i'e3I=±e4' [ез'ед]=_е1 (алгебра типа g4 в классификации МуОаракзянова Г.М. [8]).

О 1 О О О ±1 ,

О о .о]

Алгебра ли <>=<6, ,ег,е3,ел^~ 4-мерная неразложимая алгебра Ли с определяшнми соотношениями.

Тип v. а=с=о, в=

1ег.е3]=е4,

[ег,ед]=-е1,

[е3,е4]=тег.

(алгебра типа g4 B/fg в классификации Мубаракзянова Г.М. [В]).

Тип VI. а=о, в=

О О 1 ООО ООО

О О 01 С=! О 0 1

looo.

Алгебра Ли е=<е1,ег,е3,е4> -Ли с определяющими соотношениями.

5-морная неразложимая алгебра

[е1'е2]=е4> [е1'ез]="в5' Ге3>е4]=-е!'

[е3,е5]-е2

(получается расширением 4-мерного абелева идеала о=<е ,е ,е.,е >

посредством <с3>. имеет тип g, Г.М. [8]).

5,13

в классификации Мубаракзянова

■ 1 0 О • 0 -1 .0 "

Т1Ш VII. А=0, В= О 0 О , 0= 9 0 0

. О 0 О . . 0 0 0 .

Алгебра Ли- ®=<е1,е2,е3,е4,е5> - 5-морная неразложимая алгебра Ли с определяющими соотношениями.

[в1,93]=е5> [в1,04]=-е1, [ег,в5]=-е1

Свг,е3]=е4,

[е4,в5]=е;.

(алгебра типа ,, в классификации Мубаракзянова Г.М.'[8]).

11.4. "Примера 3-мерных алгебр Бола с трилинейными операциями разрешимого типа". Здесь построены два примера и одно замечание. Первый пример -.алгебры Бола, которые 'построены с помощью З-мврных алгебр Ли (классификация Вьянки ), а во второй пример - т» алгебры, которые построены из правоалтер-■нативных алгебры [7]. Сделаны замечания о лупах Бола, которые представлены в диссертационной работе Федорова В.И [13].

ГЛАВА III . В этой главе каждый параграф опирается на результаты полученные при доказательстве теоремы и.3.1. Глава состоит из семи параграфов

§111.1 "Алгебры Бола .с нулевыми трилинейными операциями типа ■I". В этом параграфе показано, что. с точностью до изоморфизма существует сесть • алгебр Бола типа I ?! построены соответствующие им три-ткани. - .

. Теорема III.1. Существуют с точностью до изоморфизма шесть алгебр Бола с нулевыми трилинейными операциями и билинейными опарациами еле думцах видов:

" 1.1.тривиальная билинейная операция

ег*ез=е1 -■ 1.3. е1•е3=е1 ■

. 1.4. ,е3=е1

ег'ез~°1 "

1.5. е1.е3=е1

*г,ез=ег

1.6. 'в «82 = 0^62

ег'ез~ег

в

§ni. 2 "Алгебры Бола с трилинейными операциями типа IIй. Рассматриваются одномерные и двумерные расширения. Показано, что с точностью до изоморфизма существуют четыре алгебры Бола с 4-мерными каноническими обертывающими алгебрами Ли. Две из 'них изотопны. Показано, что с точностью до изоморфизма существуют три семейства _ алгебр Бола с &-мерными канонично сними обертывающими алгебрами Ли. Выделены соответствующие им три-тканн.

Теорема ш.2.1. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной операцией типа II и канонической обертывающей алгеброй Ли о размерности 4 изоморфна одной из алгебр Бола вида

II.1. тривиальная билинейная операция {e£,e3,e3)=e1

(e2.e3,e3)=e1

11.2. Ve3=-e3

11.3. е2.е3=-ег

11.4. ег,ез=-е1

(е2,е3,е3)=е1 (We3)=ei

О)

Теорема III.2.2. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа 2 и канонической обертывающей алгеброй Ли о размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола вида 11.1-11.3.

Теорема III.2.3. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа II и канонической обертывающей. алгеброй Ли о размерности 5 изоморфна одной из алгебр Бола вида

e_»e = -jaf

2 3

е1,03= e1

e_»e = -1,

2 3 ä

еГез= e1

■■§-•4*1

a bj 1

+е_

II.

II.3. е„•е_

в,.е3=

at +

7 ib т ib

2

+ oa +( а y.

a a £ TT

е1-е2

(e2'e3'e3^=ei

(е2'е3'е3)=е1

(e2,e3>e3)=e1

bo. a

§111. 3 "Алгебры Бола с трилинейными операциям! типа III". Рассмотрения разбиваются на два подслучая: пш ш_ и тип III+. В рамках кавдого из них рассматриваются алгебры Бола с каноническими обергывакцтн! алгебрами Ли размерности 4. Показано, что в типа ill" и типе III4 о точностью до изоморфизма существуют два семейства алгебр Бола и одна исключительная алгебра Бола. • Производится идентификация алгебр Бола, полученных из работы 17]. Описываются соответствующие три-тканп.

Георема III.3.1. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа III- и канонической -обертывающей алгеброй Ли в размерности 4 изоморфна одной из алгебр Бола вида ..

III".1. е1'е2=-е2 (е1,в2,ег)=+е} '

Ц1".2. et •ег=-хе1 (e1 шег,вг)-а1 (б)

Ш~.3. «egS-xe^Bg (e1 ,е2,е2)=е1 &3

При этом выделенные алгебры мэкду собой не изоморфны. • ■

Теорема III.3.2. Произвольная алгебра Бола*размерности 3 с .трилинейной операцией - типа III+ . и канонической' обертывающей алгеброй Ли в размерности 4 изоморфна одной'из алгебр Бола вида •

III+.1. e1 »e2=-e2 (е., .в^е^-е^

III+.2. e1»e2=-ze1 (е1,в2,е2)=-е1 х^О (7)

И1+.Э. e1 »e^-xe^eg (е1 ,е2,е2)=-е1

При этом выделенные алгебры между собой не изоморфны

Теорема щ.3.3. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа III" и канонической обертывающей алгеброй Ли о размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

111.1. е^е^-вд (е, ,е2,е2

111.2. e1«e2=-ze3 [е ,ег,е2)=е( z=0,1

где

jaf + 4 ' ja«

+ Ja + £b

cta fb

(I

Теорема III.3.4. Произвольная алгебра Бола .размерности 3 £ •трилинейной операцией типа lll+ и канонической обертывающей алгеброй Ли о размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

III.1. ei'°г~~ег (е,,е2,е2)=-е1

* т

Ш.2. VVK (е1.е2-е3)=-е1 а=0'1

§111.4. "Алгебры Бола с трилинейными операциями типа IV". Рассмотрение разбивается на два подслучая: тип ГУ+ и тип IY-. В рамках каждого из них рассматриваются алгебры Бола с каноническими обертывающими алгебрами размерности 4. Показано, что в обоих типах IVт к iv~ с точностью до изоморфизма существуют .два семейства алгебр Бола. Построены соответствующие три-ткаш.

Теорема Ш.4Л. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной, операцией типа гГ и канонической обертывающей алгеброй Ли с размерности 4 изоморфна одной из алгебр Бола вида IV-. 1. е1 <ег=хе1+ре£+е3 . (е- .ег,е3 )=е, (в1 ,е3 ,е£)=-е1, х<Ю

(!|»е3=-хв,-ре0-о3 -(в1>ег,е3)=в1 • (е1,е3,ер=-е1, р-дабоо

. (6) 'IV-.2. у, •ег--'Х£!1+сг (а, ,ег,е3)=о1 (в, ,е3>в2)=-е1 ,

' е1,езя"хвГ®г (е1,вг,е3)=е1 " ^ .о^е^-е, . ■ ■

Тиорема IV.4.2. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной' операцией'''типа IV*"" я '■ канонической обертывающей ьлпрброй Ли » размерности 4 изоморфна одной из алгебр Бола вида, .

IV+ . 1,- б, •ен=хе1+рог+е3 (о1 ,ег,е3)«-ат. ; • (в)-,в3,-рг)=-е1, х»0

•s3'-+io1+pe.,+e3 . (е1,ег,е3)=е1 (е1^е3,.е3)-е1,. р-любое

. . . СП

lY+.2; е, • fe2 (е, , og ,е3 >=-0, (о1 ,е3,о2)=-е1,

'VV^'V'5? (ei>Ve3)=ei <W°3)=ei

Теорема III.4.3- Произвольная алгебра Бола размерности, 3 с трилинейной операцией, типа IV" и канонической обертывающей алгеброй Ли ® размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

IV".1 .е, •е2=±бе1-+ре2+в3 (е1 ,е2,е3)=е1

еГез=тбеГрог-ез

(е1,е2,е3)=о1

(e1,e3.e2)=e1, <Ve3'e3)=-V

5^0

iv .2.et'e^ise^og

(о1,0г.о3)=01

р-любое

О)

(о1,е3,о2)=-о1, 6>0

Теорема III.4.4. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа IV"1' и канонической обертывающей алгеброй Ли в размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

IV^.I.et•е2=±бв1+рег+е3 еГез=±6е1+р0г+ез

IV .2.0, •е2=±бе.|+02 0,.е3=±бе1+е2

(в,

(в,.еэ.вг)—в,, (а1,в3.в3)=в1.

(9)

(е,,в2,е3)=-01 (е,,е3,02)=-е), (в1'е2'е3)=е1 (е,.еЭ'03)=в1'

§111.5 "Алгебрн Шла с трилинейными опоращшш типа V". Рассмотрение разбивается на два подслучая: тип Vf и ш V". В рамках каждого из шп рассматриваются алгебры с каноническими обертывающими алгебрами Ли размерности 4. Описываются соответствующие три-ткани.

Теорема III.5.1. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной операцией типа V- и канонической обертывающей алгеброй Ли » размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

V .1.в2.в3=-в3 V~.2.e2*e3=-ye2

(We2,=ei

(е2,е3,ег )=0f

(в2.е3.е3)=02 (е2,е3,е3)=02,

УЮ

Георема III.5.2- Произвольная алгебра Бола размерности 3, о трилинейной операцией типа у+ и канонической обертывающей алгеброй Ли в размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

вр,вз=_ез (е2-ез'ег,=е1 (е2'ез'вз)=_ег <

Георема III.5.3. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной операцией типа V" и канонической обертывающей: алгеброй Ли в размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

у-.1.ег.е3=-е3 (е^е^е,,^ (ег-е3'е3 )=ег

• у"-2*ег'?з=-е2 <вг'ез'ег)=е1 <ег'ез'ез)=ег

у-.Э.ег.в3=-е1-е2 (е2,е3,е2)=е, (ег,е3,е3)=ег

V .4. • (в£,е3,ег)=е1 (е2>е3,е3)=е.

г

Теорема III.5.4. Произвольная алгебра Бола размерности 3, с трилинейной операцией типа V* и канонической обертывающей алгеброй Ли ® размерности 4 изотопна одной из алгебр Бола

у+-1' вг'ез"'~вэ (ее'ез'0г)=о1 (е2'ез'ез)=_ег ,

У+.2. ег,е3=ег (е2,е3,вг)=в, ■ (ег1е3,е3)=-б2

<ег'ез'ег)=е1 <вг'ез'ез)="е2

5111.в "Алгебры Бола с трилинейными операциями типа VI". • ; Обертывающая алгебра Ли 5-мерная. Показано, что с точностью до изоморфизма существуют три сеыейстЕа алгебр Бола и,; устанавливается, что произвольная' алгебра Бола с трилинейными операциями ?кш VI изоморфна одной из алгебр Бола принадлежащей этим семействам.

Теорема. III.6.1. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией тика VI и канонической обертыващэй алгеброй Ли © размерности 5 изоморфна одной аз алгебр Бола:

VI. 1. йг»е3-~Я1е1 (ег,е3,о3)=е1 Л.^0, д2ИО

о, <е3=-?.?ог-§ог (е3,е1 ,е3)=у,,

■ J

VI.2. e2»e3=-(a+ßn)e1-ßV02 v>0, ß>0

e1»e3=-|-'(1+(J.2)e1-(a-n)ße2 ц,о»0.

или

вг'в3=-ав1+рег е1•е3=-рв1-ае2

COO, ß>0

§111.7 "Алгебры Бола с трилинейными операциями типа VII". Обертываюая алгебра Ли 5-мерная разрешимая. Показано, что с точностью до изоморфизма существуют 6 семейств и 4 исключителыше алгебры Бола. Устанавливается, что произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа VII изоморфна одной из алгебр Бола из этих семейств. Вычислены соответствующие три-ткани Бола. Классификация с точностью до изотопии не приводится по причине громоздкости рассмотрений, которой на данном этапе работы пока не удалось избежать.

Теорема III.7.1. Произвольная алгебра Бола размерности 3 с трилинейной операцией типа VII и канонической обертывающей алгеброй Ли » размерности 5 изоморфна одной из алгебр Бола вида:

VII.1. Тривиальная (e2 ез,е1 =e

билинейная

операция (ез е1 ,e2 =e

VII.2. е2*е3=~е1 (e£ ез-е1 =e

е1'е2 =e

VII.3. Ve3="e3 (e2 ез'е1 =e

<ез e,,e2 =e

VII.4. е2*ез=-е1 <ег ез'е1 -e

<ез е1 ,e2 =e

VII.5. Ve3=-ei-e3 (e2 e3'01 =e

(e3 е1-е2 =e

VII.6. е2,е3=_ив1 <e2 ез,е1 =e

еГез=-е1 <e3 е1 ' e2 =e

VII.7- Ve3=-Set (ег =e

и>о

s?0

ib

ef.fe3=-\e1-e2-e3 (ез,е1,е2)=е1 Х>0

VII.8. ег'еэ~~Ее1 (ег,е3,в1)=в1 вЮ

• (ва,е1,е2)=е1 Х>0

YII.9. °e,eae-Tei-°э (e^'eg.e,)^ t,7>0

ere3="tere3 (в3,в1,е2)=е1

VII. 10. •ег.е3=-т}в1-хе3 (ег,е3,е1)=в1

е4.в3=-теГе3 (e3,ej,е£)=в1 Х>0. но Х&

• I. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ЦИТИРУЕМОЙ В АВТОРЕФЕРАТЕ

1. Аки'вис M;JL 00 Изотопных трй-тканях и Их интерпретации в, линейчатой npöb'j'pakfcTbe аффинной связНостй// ОНО 4 Möt • жур • • 1976;- Т; 17;- J6 I.- С. 5-II. *

2. AKifelic М.А. Ö ГаодозИЧескйх лупах И локальных тройных системах пространства аффййноЙ ctmaHoctii// Сйб. Мат. кур..- 1978,- Т. 19.Л Z.- С. 243-253. " ■

3. Аль-Хужейри М.Ю. AJteöpa Bcijia» порожденная пространствами постоянной кривизны: проблемы теории тканей и квазигруппы. • Калинин: КРУ, 1985.- С. 20-25.

А. Кобояси К., Номвдзу К. Осйош дифференциальной геометрии.-: М.: Наука Т. I. ' . . : I

5. Лосе 0. Симметрические Пространства.- М.: Наука, 1981. fe. Мальцев А.И. Акали tirtecKiie душ// Матем, Сб.- 1955.- Т.; 3Sl[78)s- JS 3.- С. 38У-373. ; /

'(. i.'jiXfceB U.U. Ьравоаль1врнативные. 3-марные алгебры/ Новосиб. гос. JtJ-i.- Новосибирск.- Рус.- Деп, ВИНИТИ № 24.6.B9I. а. Й^бфа^сзяйбЬ Г.М. Классификация вещественных стуктур алгебр Ли ПЯТОГО Порядка// Изв. вузов: .Сер. Ыатем.- 34 99(1963) 9. Сьбаг/Л X.Ü. йэтода йеассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии. Uböавлошю к кн.: Кобояси Ш., Намидзу'К. Основы ду-Деренциальшй геометрии).- М.: Наука, '1981.- Т. I.- С. £143-339.

10. Сабинин Л.В., Михеев 11.0. Итоги науки }i техники: ' Сер. "Проблемы геометрии",-rM., 1988.- Т. 20.- С. 'V5-II0. . II.. Сабинин Л.В., Михеев П.О. О законе ,сложения скоростей в-спациальной теории относительности// Успехи :матвм. ,неук.- 1993.Т. 48,- Вып. 5(293).

12. .Феденко A.C. Симметрические .пространства ,с простыми некомпактными фундаментальными грушами// Удпохи :матем. ;наук.-1993.- Г. 48. Вып. 5(293).

13. Федорова В.И. Многомерные три-ткачи Боля//. Дио..кан.... М. 1978.

14. Шелехов А.Н. О дифференциально-геометрических объектах высших порядков многомерной три-ткани// Проблемы геометрии,.- -iIS87.- Т. 19.- С. I0I-I54.

15. Barlotti А. Starmbaoh К. The geomgtry .af ibdpary .nystemb// Adv. Uaths.- 1983.- 0. 1-105.

16. Bol G. Gerrabe und gruppen// Math. -Ann.- .1927.- -У. 1-T4.- P. 414-431. ; . ;

17. Cartan s. Lea gtoupca d'holononie dea .есраъез .genoralises, Aota Math., 48(1926), У. . 1-42.

18. Kikkawa !l. Anote on subloopn of a homogepeouo ,LIe loop and Qubßy3tems of its Lie triple algebra// Hiroshima liath J.- 1975,

.Toi. 5. Р. '433-446.

il9. UovLlang R. Alternative korper und der etz vom'Tolistandigen •verseilt// Aber..Math. Sem. Univ. Hamburg.- 19ЭЗ.- P. 207-222.

I i

II. СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буэту Буэту Т. Классификация разрешимых тройных систем Ли размерности 3// Тез. сообщ. XVII науч. конф. фак-та физ.-математ. наук. УДН, 18-25 мая, I992/M.: изд-во УДН.- 1992.-'с. 22.

2. Буэту Буэту Г. Классификация разрешимых тройных систем Ли размерности 3// УДН.- M.-, 1992.- 9с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.93, Л 3101 В.92. V

3. Буэту Буэту Т. Алгебры Бола с - нулевыми трилинейными операциями// Тез. сообд. XXX науч. конф. фак-та физ.-математ. наук РУДН, 17-31 мая I993/M.: изд-во РУДН.- 1993.- С. 38.

4. • Буэту Вузту Т. Алгебры Бола с нулевыми трилинейными операциями// УДН.- M.-, 1992.- 5с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.93, & 3IÛ0 В.93.

5. Bouetou Eouötou T., îiikheev P.'o. On isotopy of Bol algebras. Web3 and quasigroups.- Wer: Hver st. Uni: 1994.- P. 47-496. Буэту Буэту T. Об одном классе алгебр Бола// Тез. сообщ. XXX науч.'конф.фак-та фаз.-мат. наук/ М.: изд-во РУДН, 1994.- С. 34.

7. Буэту Буэту Т. Алгебры Бола с трилинейными операциями специального типа/ РУДН.- 17 е.- Рус. Деп. в ВИНИТИ, 30.06.95, . » 1939 В.95. ' .

8. Буэту Бузту Т. О вычислении три-тканей для алгебр Бола с нулевыми трилинейными операциями// Тез. сообщ. XXXI науч. конф. фак-та физ.-мат.наук РУДН, /М.: изд-во РУДН, 1995.- С. 73.

9. Буэту Буэту Т. Об. алгебрах Бола// Тез. сообщ. XXXI науч. конф. фак-та физ.-мат.наук РУДН, / К.: изд-во РУДН, 1995.- С. 74.

10. Bouetou Bouetou Т., On Bol algebras. Yíebs and quasigroups.-Tver: Tver ct. Uni. (to appear)-

. БУЭТУ БУЭТУ томе ( Камерун )

О ГЕОМЕТРИИ ТЕЕХМЕШХ АЛГЕБР БОЛА С РАЗРЕШИМЫМИ ОБЕРТЫВАЮЩИМИ АЛГЕБРАМИ Ш МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В работе исследуется совокушость 3-мерных алгебр Бола. •Интерес к данному .классу алгебр стимулируется прилокеши&и в геометрии расслоенных . пространств и , в часности, геометрии тканей.

Получено описание коллекции 3-мерных агебр Бола ( над полем -действительных чисел) с каноническими обертывающими алгебрами Ли размерности <6. Описаны соответствующие им три-ткани. •

BOUETOU BOUETOU THOMAS * Caaoroon )

. Oil GEOÎfETRY OP 3 - DIMENSIONAL BOL ALGEBRAS WITH SOLVABLE ENVELOPING LIE ALGEBRAS OP SMALL DIMENSIONS.

This work is required to investigate the collection of 3-dimensional Bol algebras. The interest to this given olass of algebras ia stimulated by its application in the geometry of fiber spaoes and, in particular webs geometry. •

* In this way, the description of the oolleotion of 3-dimensional Bol algebras ( over the field of real numbers) with oano-- ' nioal enveloping Lie algebras of dimension <6 is obtained. Their correspondings 3-webs are described.

28.II.95r.

Объем Г п.л. Ткр. 100 Зап. 613

Типография РУДН, Орджоникидзе 3.