Рост разрешимых супералгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Клементьев Сергей Георгиевич

РОСТ РАЗРЕШИМЫХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ

Специальность 01.01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель' доктор физико-математических наук, профессор Петроградский Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация- Казанский государственный университет

Защита состоится 21 декабря 2005 г в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 272.278 02 при Ульяновском государственном университете по адресу, г Ульяновск, Университетская набережная, 1, ауд.703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г Ульяновск, ул.Л.Толстого, 42, УлГУ, Управление научных исследований

Латышев Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Васильева Ирина Романовна

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета

Автореферат разослан ■чъ ■■ ноября 2005

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Версвкин А.Б

JLOOG^

^ТШЪ

1Ш0А

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр.

Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр1. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр нильпотент-ных алгебр Ли2 Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения

С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре1. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Он является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность пространства. Поскольку ряд Гильберта несет информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта1.

В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики, которые оказываются более грубыми чем функция роста, а именно- размерность Гельфанда-Кириллова2, суперразмерность4 и г.д Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста.

Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост5'6. Конечно-норожденные ассоциативные Р1-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный росг1.

Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального7. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций,

'Уфнаровский В А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // Итоги науки и техн , Совр нробл матем. Фуидам. направления, т. 57, M • ВИНИТИ, 1989, 5-177

2Gelfand I M., Kirillov A.A. Sur les corps lies aux algébres enveloppantes des algébres de Lie // Inst. Hautes Études Sei. Publ Math. 31, (1966), 509-523.

31Цварц A.C. Объемный инвариант накрытий // Докл АН СССР 105 (1955), № 1, 32-34.

4Borho W., Kraft H. Über die Gelfand-Kirillov-Dimension // Math Ann 220, no 1, (1976), 1-24.

6Бахтурин Ю.А Тождества в алгебрах Ли Москва, Наука, 1985

eBahturin Yu A., Mikhalev А А , Petrogradsky V M , and Zaicev M V., Infinite dimensional Lie superalgebras. de Gruyter Exp Math vol 7, de Gruytcr, Berlin, 1992.

7Lichtman A.I., Growth in enveloping algebras // Israel J Math 47, no 4, (1984), 297-304.

групп3.

с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста8'9 Первая ступенька шкалы соогветствует конечномерным алгебрам Вторая - алгебрам полиномиального роста Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (9-размерногти) Оказалось, что размерности уровня 2 соответствуют размерностям Гельфанда-Кириллова2,10, а уровня 3 -суперразмерностям4. Размерности следующих уровней соответствуют субзкспонен-циальным ростам

С помощью (/-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста9'11. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на 9-ой ступеньке введенной шкалы, а именно, ее (/-размерность равна к

Целью работы является.

1 Изучение роста свободных конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли.

2. Изучение роста почти разрешимых алгебр Ли.

Основная методика выполнения исследований.

Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций Используется аналог известной для свободных групп формулы Шрайера, а также точная производящая функция для разрешимых (более шире, полинильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М Используются различные комбинаторные соображения, элементарные оценки и свойства функций аналитичных в единичном круге. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полинильпотентности шире понятия разрешимости Действительно, любая полинильпотент ная (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер)алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полинильпотентности

Достоверность результатов.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

8Петроградский В М. О некоторых типах промежуточного роста в алгебрах Ли // Успехи Ма-тем наук, 48, № 5, (1993), 181-182

'Petrogradsky V М., Intermediate growth in Lie algebras and their enveloping algebras // J Algebra 179, (1996), 459-482.

'"Krause G R and Lenagan T H , Growth of algebras and Geifand-Kirillov dimension Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 22 AMS, Providence, RI, 2000

"Petrogradsky V M , Growth of finitely generated polymlpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle // Internat J Algebra Comput, 9 (1999), no 2, 179-212.

Научная новизна.

Вер основные результаты являются новыми и состоят в следующем.

1. Описан рост свободных конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли.

2. Получена точная верхняя оценка роста почти разрешимых алгебр Ли.

Практическая и теоретическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в теории многообразий линейных алгебр, при изучении алгоритмических проблем в алгебрах и супералгебрах Ли.

Основные положения, выносимые на защиту

1 Классификация роста свободных конечно порожденных разрешимых (полинильпотентных) супералгебр Ли с помощью введенного понятия (/-размерностей, а также точная асимптотика их роста.

2. Вопрос о рациональности рядов Гильберта и условия конечномерности для свободных конечно порожденных разрешимых (полинильпотентных) супералгебр Ли.

3. Точная верхняя оценка роста почти разрешимых алгебр Ли

Апробация работы.

Результаты настоящей диссертации докладывались на

• XII ежегодной научно-практической конференции молодых ученых УлГУ (Ульяновск, 2002),

• V международной конференции по алгебре и теории чисел (Тула, 2003),

• международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004),

• VI международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 2004).

Личный вклад

Постановка задачи и идея метода исследования предложены научным руководителем. Ему также принадлежат технические детали доказательства точности нижних оценок в полученных асимптотиках Доказательства результатов осуществлялись автором самостоятельно.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Объем и структура диссертации.

Диссертация объемом 52 страницы состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 35 наименований и списка публикаций автора по теме диссертации из 7 наименований.

Содержание работы

Основными результатами настоящей диссертации являются теоремы 3, 4, 5, 6 (нумерация утверждений в диссертации иная).

Во введении обоснована актуальность работы.

В первой главе вводятся основные определения и формулируются основные утверждения диссертации.

Многообразием (супер)алгебр (Ли) называют класс (супер)алгебр удовлетворяющих некоторому фиксированному набору (градуированных или неградуированных) тождеств5,6.

Пусть Ь — (супер)алгебра Ли. Определим нижний центральный ряд итерированием Ь1 = Ь, ¿'+1 - [Ь, Ьг], г = 1,2,____Назовем Ь нилъпотентной ступени в если

Ь'+1 = {0}, V ф {0}. Все нильпотентные алгебры Ли ступени не выше з образуют многообразие обозначаемое Это обозначение мы также будем использовать для многообразий нильпотентных супералгебр Ли ступени не выше 5. Напомним что Ь — полинилъпотентпная алгебра с последовательностью (.5,,..., ьъ, 41), если и только если существует цепочка идеалов 0 = Ья+1 С Ьч С ■ ■ С С Ь\ = Ь, такая что ¿,/¿^1 £ г = 1, ,<7. Все полинильпотентные (супер)алгебры Ли с фиксированным набором («,,..., я1) образуют многообразие обозначаемое Г^ • • ■ 14«IV.,,. В случае яч = ■•■ — яг = 1 получаем многообразие А' разрешимых (супер) алгебр Ли ступени q. Полинильпотентные многообразия групп и алгебр Ли и их взаимосвязь изучены А.Л. Шмелькиным12.

Рассмотрим супералгебру Ли Ь, разложение на четную и нечетную компоненты обозначим через Ь — Свободную алгебру многообразия М, порожденную X,

обозначим через ,Р(М, X), где X = Х+иХ - разложение порождающего множества на четную и нечетную компоненты В случае |Х+| = т, |Х. | — к также обозначаем Г(М,ЛГ) = ^(М,т, к).

Любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли разрешима, 1 е лежит в некотором

|2Шмелькин А Л Свободные полинильпотентные группы // Изв. АН СССР. Сер мат 28, 1964, № 1, 91-122.

А* для достаточно большого q Поэтому изучая свободные полинилгьпотентные (су-пер)алгебры Ли мы, во-первых, изучаем некоторые разрешимые (супер)алгебры Ли. Во-вторых, исследование свободных разрешимых (супер)алгебр Ли является частным случаем нашего исследования, т.к. F(A®,X) = F(.Nt ■ ••N^X).

q раз

Обозначим через ((+), Г(+). ¡i(*) дзета-функцию Римана, Гамма функцию и функцию Мёбиуса соответственно Символом StJ обозначим символ Кронексра Символы О, о, и ~ имеют свое обычное значение.

Рассмотрим алгебру А порожденную конечным множеством X и однородную от-

оо

носительно степени по отношению к X. Получаем А = ® Ап В этом случае можно

п=0

определить ряд Гильберта-Пуанкаре

оо

nx(A,t) = Y,àimAnt".

п=0

Во второй главе изучаются производящие функции некоторых свободных поли-нильпотентных супералгебр Ли, а именно изучен случай двух факторов и исследован вопрос рациональности ряда Гильберта. Кроме того, строятся некоторые базисные семейства для свободных супералгебр Ли. Эти результаты играют важную роль при доказательстве основного результата. Кроме того, они представляют непосредственный интерес. В частности, построен базис совместный с рядом коммутантов, это обобщение базиса Бокутя13. Базис для свободных алгебр Ли впервые был построен Холлом14, он применялся для изучения нижних центральных рядов свободных групп. На сегодняшний день известно много различных базисов для свободных алгебр Ли, например базис Линдона-Ширшоиа6 Построена, например, общая конструкция базисов для свободных супералгебр Ли15.

Имеет место аналог формулы Шрайера, но для свободных градуированных супералгебр Ли и на языке производящих функций16'17. Эта формула используется нами при изучении роста почти разрешимых алгебр Ли. Доказательство результатов о росте разрешимых супералгебр Ли опирается на точную формулу производящей функции для свободной полинильпотентной супералгебры Ли17.

"Бокуть Л А. База свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика 2, № 4, (1963), 13-20.

uHall M., A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc Amer Math Soc 1:575-581, 1950.

"Mikhalev A A. and Zolotykh A A , Combinatorial aspects of Lie superalgebras. CRC Press, Boca Raton, 1995.

16Petrogradsky V.M., Schreier's formula for free Lie algebras // Arch Math., 75 (2000), 16-28.

"Petrogradsky V M , On generating functions for subalgebras of free Lie superalgebras // Discrete Math (Conference proceedings FPSAC'99), 246 (2002), no 1-3, 269 284.

Случай двух множителей NCN¿ служит базой доказательства основной теоремы о росте по л и н и л ь п отр нт н ы X супералгебр Ли А именно, рассмотрим случай алгебры L — F(NcNd,m, к), и т + к > 1, доказано, что ряд Гильберта Hx{L, ¿,у) рационален и рост алгебры полиномиален. Случай m = 0 и d = 1 называем вырожденным Такая супералгебра опускается на ступеньку вниз относительно шкалы функций, а именно алгебра становится конечномерной. Возникает рациональность ряда Гильберта еще в одном случае, а именно для алгебры L = F(NsNtA,0, к), рост такой алгебры полиномиален.

В третьей главе доказан основной результат диссертации.

Рассмотрим линейную алгебру А над полем К, порожденную конечным множеством X Обозначим через подпространство, образованное всеми мономами, состоящими из элементов множества X длины не превышающей п Введем функции роста

1А{п) = 7а(Х, п) = dims: п € N;

Ал(я) = 7 А(п) - 7л(п - 1), ne N.

На функциях / : N -» R+, где — {et € RI Ос > 0}, введем частичный порядок-

а

/(n) < а{п), если и только если существует N > 0, такое что }{п) < д[п), п> N.

Рост, меньший любой экспоненты, называется субжгпоненциалъным Если он к тому же больше любого полиномиального роста, тогда его называют промежуточным. Для изучения субэкспоненциального роста конечно порожденных разрешимых групп и алгебр Ли была предложена следующая шкала функций8'4 Обозначим In'1' п = Inn; n = ln(ln'®' n), q = 1,2,____Рассмотрим последовательность

функций Ф%(п), q = 1,2,3,... натурального аргумента с параметром а 6 Rf :

Ф1 (n) = а; 9 = 1;

*î(n)=ne; 9 = 2;

Ф*(п) = exp(na^tt+1>); 9 = 3;

w = 9 = 4'5"-

Пусть /(л) - положительная функция натурального аргумента Определим (верхнюю) размерность уровня q, q = 1,2,3, , и нижнюю размерность уровня q

Dim' / (n) = inf{a € R+ | f(n) < Ф«(п)},

Dim" fin) = sup {a e R+ | f{n) > Ф»(п)}.

Рассмотрим алгебру A, порожденную конечным множеством X Определим д-размерность и нижнюю q-размерностъ, q = 1,2,3,..., алгебры А через

DimM = Dira" уА(п), Dim9 А = Dim' уА (п).

Грубо говоря, условие Dim' А — Dim'' А = а означает, что функция роста 7л(п) ведет себя как Ф'(п). Введенные ^-размерности не -зависят от порождающего миожеова X9 Заметим, что 1-размерность соотнесетвуег размерности векторни о прост ранства А над полем К Размерности уровня 2 — это в точности верхняя и нижняя размерности Гельфанда-Кириллова2,10 Размерности уровня 3 соохветствую! суперразмерностям Borho и Kraft4 с точностью до нормализации3 Обозначим универсапьную обертывающую алгебру (супер)алгебры Ли L через U{L) Следующие две теоремы являются важными фактами, объясняющими введение ^-размерностей.

Теорема 1. 8,9 Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли и Dim' L = а >

О, для некоторого q = 1,2,____Если q > 3, то предположим, что Dim11 L = а; если

q = 2, то предполагаем' что Dim2 \i{n) = а — 1 и а > 1 Тогда

Dim'+1 U{L) = Dim'+1 U(L) = a.

Напомним, что свободные конечно порожденные (суиер)алгебры Ли имеют экспоненциальный рост5,8 А. Лихтман доказал, что рост конечно порожденных разрешимых алгебр Ли субэкспоненциален7. Следующий результат описывает рост таких алгебр с помощью введенной выше шкалы функций

Теорема 2. 9 Рассмотрим свободную полинильпотентную алгебру Ли L = F(NSi • • • N>2Nä,, к) ранга к, где k > 2, q > 2. Тогда

Dim1' L = Dim' L — s2 dim* F{N„, k).

Как частный случай, йолучаем:

Следствие 1. 8 Пусть L = F(Aq, к) — свободная разрешимая алгебра Ли ступени q и ранга к, где к > 2, q > 1. Тогда Dim1' L = Dim' L = к.

Точная асимптотика для свободных полинильпотентных алгебр Ли L = F(Nis • ■ • N„, к) найдена в11. Этот результат также дал ответ на вопрос Каргопо-лова18 об описании рангов нижних центральных рядов свободных пояинилыютенг-ных конечно порожденных групп Ранее Егорычевым была найдена точная рекурсивная формула19. Описав асимптотическое поведение этих рангов, Петроградский В.М предложил новое решение этой проблемы11. Решение проблемы в основном опирается на технику производящих функций и изучение их роста.

18Коуровекая тетрадь, нерешенные проблемы теории групп Новосибирск- Наука, 1967

19Егорычев ГП Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм // М Наука, 1977.

Основным результатом диссертации являются следующие теоремы. Сформулируем первую теорему, которая описывает рост свободных конечно порожденных поли-нильпотентных супералгебр Ли с помощью введенной выше оценочной шкалы функций.

Теорема 3. Пусть L = F(NSi • • • NjjNj,, т, к) — свободная полинильпотентная супералгебра Ли, где т + к >2 и q >2. Тогда

1. Dim' L ~ Dim" L = s7 dim F+ (N,,, m, k) ■

2 условие dim Ft (NSl, m, к) = 0 эквивалентно Si = 1 u m = 0. Если в этом случае выполнено q > 3, тогда Dim'-1 L = Dim'-1 L = Si dim Ft (N,2A, 0, k).

Получаем описание роста свободных разрешимых супералгебр Ли.

Следствие 2. Пусть L = F(A'l,m,k) - свободная разрешимая супералгебра Ли ступени q, где т + к > 2, q > 2. Тогда

1. Dim' L — Dim' L — т;

2. Если m = 0 uq>3, тогда Dim' 1L = Dim«"1 L = 1 + (к - 1)2*_1.

Сформулируем основной результат диссертации.

Теорема 4. Рассмотрим полинилъпотентное многообразие супералгебр Ли V = Nj, • -NS1, q > 2. Пусть L = F(V,m,k) — ее свободная супералгебра пороэ/сденная множеством X = Х+ UА'_, где А'+ = {х1;... ,хт}, X_ — {xm+i, ■ ■ ■ ит + к >

2 Тогда функция роста га) относительно множества X имеет следующую асимптотику при п —у оо

1. Если si > 1 или т > 0 тогда

я = 2-

TV! ' 4

yL(X,n)= iexp((C + o(l))nsii), g = 3,

где константы следующие

j / 2d,m/?-(N'i 'm'k) N = s2A\mF+{Nn,m,k), A - — (то + k - 1)

В SiAC(N + 1) (l - i^) , С = (l + (BN)rh;

и ф+(з) = dimF^l+(Ns,,т,к), 1 < J < - размерности четных частей однородных компонент степени ] алгебры F(N,¡,m, к).

2. Если Si — 1, тп = 0, u q > 3 тогда

7L(X,n)

A + o( l)nw

exp exp

((C + o(l))n™) , ((B^ + oU))

(ln(«*4) и)1"*

9 = 3; 9 = 4; 9 >5,

в этом случае константы следующие

1 ! 2d,raF-(N'2A'0-'[) 7V = S3dimF+(NJ2A,0,fc), Л = - ( (k - 1)

(BJV)i

и ф(]) = dim F,(N„A, 0, k) — размерности однородных компонент конечномерной алгебры F(Ni2А,0, к).

Обратим внимание, что найденная асимптотика роста верна юлько для стандар!-ного порождающего множес!ва X Случай свободных разрешимых cyriepajneôp Ли L = F(A',m, к), q > 2 является частным случаем вышеизложенной теоремы и легко из нее получается.

Следующий результат играет важную роль в доказательстве полученных результатов, а также представляет независимый интерес

Теорема 5. Рассмотрим полинилъпотентное многообразие супералгебр JIu V = Ns, • ■ • N(,, q >2, пусть L = F(V, m, к), m + к > 2 Тогда ряд Гильберта-Пуанкаре по отношению к стандартному порождающему множеству X растет следующим образом при t -> 1 — о •

1 Если Si > 1 или m > 0, то

Hx(L,t) =

Г Л+ о(1)

9 = 2;

(l-t)W'

2 Если Si = 1, m = 0 и q > 3, то

nx(L,t) =

fX+ о(1) (1 - t)» '

exp

f.1-3)

(B + o(l)\

\(l-t)»J

9 = 3,

g > 4

Где константы N, A и В me же самые, что и в соответствующих случаях теоремы 4-

В четвертой главе доказывается, что конечно порожденные почти полинильпо-тентные алгебры Ли имеют субэкспоненциальный рост и дается оценка в терминах шкалы субэкспоненциальных функций.

Теорема 6. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли, причем существует подалгебра HCL конечной коразмерности, такая что H полинильпотентная вида (s,, .., S2, Si). Тогда L имеет субэкспоненциальный рост и

Dim**' L<3 ! • dim K(L/H).

Следующее следствие дает верхнюю оценку роста почти нильпотентных алгебр Ли, эта оценка также независимо получена в20.

Следствие 3. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли. Пусть HCL— подалгебра конечной коразмерности и нильпотентная ступени с. Тогда L имеет полиномиальный рост и

Dim2L <с- áimK(L/H).

Полагая в теореме 6 s, = ■ • • = s2 = Я1 = 1, получаем следующую точную верхнюю оценку роста почти разрешимых алгебр Ли

Следствие 4. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли. Пусть существует подалгебра HCL конечной коразмерности и разрешимая ступени q Тогда

Dim,+1 L < dimK(L/ff).

Из теоремы 2 следует точность этой оценки. Действительно, рассмотрим L = F(Aq+i,k) и ее коммутант H - L2 Тогда dim^ L/H = k, H разрешима ступени q и по теореме 2 имеем Dim,+1 L = к. С другой стороны, нахождение нижних оценок бессмысленно, так как алгебра L может быть конечномерной.

Основные выводы.

1 Дана классификация роста свободных конечно порожденных разрешимых (полинилъпотентных) супералгебр Ли с помощью введенного понятия ç-размерностей, а также найдена точная асимптотика их роста.

2 Исследован вопрос о рациональности рядов Гильберта и получены условия конечномерности для свободных конечно порожденных разрешимых (полиниль-потентных) супералгебр Ли.

3 Получена точная верхняя оценка роста почти разрешимых алгебр Ли

20Riley D., Usefi H , Lie algebras with finite Gelfand-Kinllov dimension // Proc. Amer Math Soc 133(6) (2005), 1569-1572.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Клементьев С.Г. Ряды Гильберта-Пуанкаре некоторых сунералгебр Ли // Сборник тезисов и докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции Выпуск 11 -Ульяновск: Издательство УлГУ, 2002, 9-12.

[2] Клементьев С.Г., Петроградский В.М. Рост разрешимых супералгебр Ли // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Междунар. конф. (Тула, 19-24 мая 2003 г.). -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2003, 67-68

[3] Клементьев С.Г., Петроградский В М On growth of almost solvable Lie algebras // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры Тезисы докладов -М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2004, 218 219

[4] Клементьев С.Г., Петроградский В.М. Рост почти разрешимых алгебр Ли // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов VI Междунар. конф , посвященной 100-летию Н Г Чудакова (Саратов, 13 - 17 сентября 2004 г.). -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004, 67-68.

[5] Клементьев С.Г., Петроградский В.М Рост почти полинильпотентных алгебр Ли // Тезисы докладов Междунар. алг. конф. к 100-летию со дня рождения П Г Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина. (Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г.) -Екатеринбург Изд-во Екатсринб. ун-та, 2005, 108-109.

[6] Klementyev SG., Petrogradsky V.M., Growth of solvable Lie superalgebras // Comm. Algebra., 32 (2005), no.3, p.865-895.

[7] Клементьев С.Г., Петроградский В.М., О росте почти разрешимых алгебр Ли // Успехи Матем. наук, 60, Л4 5, (2005), 165-166.

Подписано в печать 16.11.05. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №155/£<5 9

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

\

)

1?2 6 5 9

РНЬ Русский фонд

2006-4 23483

Введение

1 Обзор результатов

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли

1.3 Рост конечно порожденных полинильпотентных супералгебр Ли.

1.4 Рост почти полинильпотентных алгебр Ли

2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли

2.1 Формула Шрайера для градуированных супералгебр Ли.

2.2 Производящие функции для разрешимых супералгебр Ли.

2.3 Базисы свободных супералгебр Ли

3 Рост разрешимых супералгебр Ли

3.1 Рост функций аналитичных в единичном круге.

3.2 Рост универсальных обертывающих алгебр.

3.3 Рост полинильпотентных супералгебр Ли

4 Рост почти разрешимых алгебр Ли 45 Литература 49 Публикации автора по теме диссертации

Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр.

Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр [ 12]. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр нильпотентных алгебр Ли [ 19]. Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения групп.

С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре [ 12]. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Он является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность, пространства.

Поскольку ряд Гильберта несет всю информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта. Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта [12].

В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики/которые оказываются более грубыми чем функция роста, а именно: размерность Гельфанда-Кириллова [19], суперразмерность [17] и т.д. Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста.

Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост [1 ], [16]. Конечно-порожденные ассоциативные PI-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный рост [12].

Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального [23]. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций, с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста [8], [28]. Первая ступенька шкалы соответствует конечномерным алгебрам. Вторая — алгебрам полиномиального роста. Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее.

Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (^-размерности). Оказалось, что размерности уровня 2 соответствуют ранее изучавшимся размерностям Гельфанда-Кириллова [19], [22], а уровня 3 — суперразмерностям [17]. Размерности следующих уровней соответствуют субэкспоненциальным ростам, которые были названы логарифмическими.

С помощью g-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста [27], [28]. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на q-ой ступеньки введенной шкалы, а именно, ее g-размерность равна к.

В настоящей работе основным объектом исследования является рост конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли, а также рост почти разрешимых алгебр Ли. Дается классификация их роста с помощью введенного понятия д-размерностей и находятся асимптотики их роста.

Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций. Используется аналог известной для свободных групп формулы Шрай-ера [30], [31], а также точная производящая функция для разрешимых (более шире, поли-нильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М. [31]. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полинильпотентности шире понятия разрешимости. Действительно, любая полинильпотентная (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер)алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полинильпотентности.

Кратко опишем структуру диссертации. В главе 1 вводятся основные определения, обозначения и формулируются основные результаты. Глава 2 носит скорее технический характер. Здесь мы изучаем производящие функции некоторых полинильпотентных супералгебр Ли, изучаем их асимптотику. Глава 3 содержит основной результат — теорему 3.6 о росте свободных разрешимых супералгебр Ли. В главе 4 при помощи полученной техники доказывается еще один результат о росте почти разрешимых алгебр Ли.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]—[42]. Они докладывались на конференции молодых ученых в г. Ульяновске (2002 г.), Международных конференциях по алгебре проходивших в г. Туле (2003 г.), г. Москве (2004г.), г. Саратове (2004 г.).

Автор пользуется возможностью выразить признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Петроградскому В.М., за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за полезные обсуждения и советы.

1. Фридман Г.А. Медленно возрастающие функции и их приложениеИ Сиб. матем. ж., 7, (1966), 5, 1139-1160.

2. Шмелькин A.JI. Свободные полинильпотентные группы/Изв. АН СССР. Сер. мат. 28, 1964, № 1,91-122.

3. Штерн А.С. Свободные супералгебры Ли/Сиб. мат. журн—1986—Т.27.-С. 170—174.

4. Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. М. Petrogradsky, and М. V. Zaicev, Infinite dimensional $ Lie superalgebras. de Gruyter Exp. Math. vol. 7, de Gruyter, Berlin, 1992.

5. W. Borho and H. Kraft, Uber die Gelfand-Kirillov-Dimension//Afa^. Ann. 220, no 1, (1976), 1-24.

6. J. Desarmenien, D. Duchamp, D. Krob, G. Melancon, Quelques remarques sur les super-algebres de Lie libres,//C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math. 318:419-424, 1994.

7. I. M. Gelfand and A. A. Kirillov, Sur les corps lies aux algebres enveloppantes des algebres de Lie//Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 31, (1966), 509-523.

8. M. Hall, A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups/Proc. Amer. Math. Soc. 1:575-581, 1950.21 . Seok-Jin, Kang, Graded Lie superalgebras and the superdimension formula//: Algebra 204 (1998), no 2, 597-655.

9. G. R. Krause and Т. H; Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 22. AMS, Providence, RI, 2000.

10. A. I. Lichtman, Growth in enveloping algebras //Israeli. Math. 47, no 4, (1984), 297-304.

11. J.C. McConnell and J.C. Robson, Noncommutative Noetherian rings. AMS, Providence, RI, 2001.

12. G. Melancon, Reecritures dans le groupe libre, I'algebre libre et l'algebre de Lie libre. Ph.D. thesis, Univ. de Quebec a Montreal, 1991.

13. A.A. Mikhalev and A.A. Zolotykh, Combinatorial aspects of Lie superalgebras. CRC Press, Boca Raton, 1995.

14. V. M. Petrogradsky, Intermediate growth in Lie algebras and their enveloping algebras/ J. Algebra 179, (1996), 459-482.

15. V. M. Petrogradsky, Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups, generalized partitions, and functions analytic in the unit circle И Internat. J. Algebra Comput., 9 (1999), no 2, 179-212.

16. V. M. Petrogradsky, On Witt's formula and invariants for free Lie superalgebras / Formal power series and algebraic combinatorics (Moscow 2000). 543—551, Springer, 2000.

17. V. M. Petrogradsky, Schreier's formula for free Lie algebras // Archiv der Mathematik, 75 (2000), 16-28.

18. V. M. Petrogradsky, On generating functions for subalgebras of free Lie superalgebras/ Discrete Math. (Conference proceedings FPSAC'99), 246 (2002), no 1-3,269-284.

19. S. Ramanujan, Collected papers. Chelsea, New-York, 1962.

20. C. Reutenauer, Free Lie algebras. Clarendon Press, Oxford, 1993.

21. D. Riley, H. Usefi, Lie algebras with finite Gelfand-Kirillov dimension IIProc. Amer. Math. Soc. 133(6) (2005), 1569-1572.

22. M. Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction. Lecture Notes in Mathematics. 716, Springer, 1979.Публикации автора по теме диссертации

23. Клементьев С.Г. Ряды Гильберта-Пуанкаре некоторых супералгебр Ли/Сборник тезисов и докладов студентов и аспирантов на XII ежегодной научно-практической конференции. Выпуск 11. —Ульяновск: Издательство УлГУ, 2002 г. стр. 9—12.

24. Клементьев С.Г., Петроградский В.М. Рост разрешимых супералгебр Ли/Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Междунар. конф. (Тула, 19 -24 мая 2003 г.). -Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2003. -299 с. стр. 67-68.

25. Klementyev S.G., Petrogradsky V.M., Growth of solvable Lie superalgebras / Comm. Algebra., 32 (2005), no.3, p.865-895.

26. Клементьев С.Г., Петроградский В.Мм О росте почти разрешимых алгебр Ли II Успехи Матем. наук, 60, № 5, (2005), 165-166.