Автоморфизмы и вещественные формы простых комплексных супералгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ТРУД030Г0 КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. A.A. ЖДАНОВЯ

На правах рукописи УДК 519.46

СЕРГАНОВА Вера Владимировна

АВТОМОРФИЗМ И ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФОРЫЫ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ СУПЕРАЛГЕЕР ЛИ

/01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел/

Автореферат диссертации на соискание учено*! степени кандидата физико-математических наук •

Ленинград - 1988

Работа выполнена в Ярославском государственном университете. ¡¿~

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических

наук, профессор Онишик А.Л. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук,

професоор Винберг Э.Б.

- кандидат физико-математических наук, доцент .Пдуиадильдаев A.C.

ЩВДАЯ ОРГАНИЗАЦИЙ - Институт математики АН БССР

Зашита состоится ийс. на заседании специализированного совета К 063.£7.45 по Присуждению ученой степени кандидата физико-математических Наук в Ленинградском государственном университете Iадрес совета; 196904, Ленинград, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, мате-Иатико-механический факультет ЛГУ).

Зашита будет проводиться по адресу: 191011, Ленинград, Д-11, Набережная р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А4Е.Горького Ленинградского университета.

Автореферат разослан "26" 1988 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

р.А.шедг

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность „темы. С 19ТО-Х годов в теоретической физике систематически используются калибровочные группы - группы токов и их алгебры Ли - алгебры токов. Наиболее часто иопользуемнми алгебрами являются алгебры функций на окружности со значениями в алгебре Ли и поточечным коммутатором.. Такие алгебры называются алгебрами петель, а их подалгебры, выделяемые внешним автоморфизмом, - скрученными алгебрами петель. Кх центральные расширения называются аффинными алгебрами Ли, которые составляют подкласо градуированных алгебр конечного роста в алгебрах Каца-Муди С открытием суперсимметрий актуальной сделалась задача описания оупералгебр петель, особенно простых и их центральных расширений - аффинных супералгебр. ' .

В диссертации дается полный описок скрученных супералгебр петель. Его вывод опирается на описание групп внешних автоморфизмов конечномерных простых супералгебр Ли. Заметим,, что внешние автоморфизмы полупростых алгебр Ли были описаны еще Картаном в Гантмахером. Ими были также описаны инволютивнне автоморфизмы полупростых алгебр Ли, которым соответствуют римановы симметрические пространства 2К В работах Картана было доказано что между клаосама сопряженных инволютивных автоморфизмов и классами

^ Као V.G. XaflnltedlmenatonaX Lie algebras. Cambridge Univ. Press: 1986. <

o\

л/ Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., 1964.

q\

Винберг Э.Б., Онищик АД.. Семинар по алгебраическим группам и группаи Ля. М., 1988

■изоморфных вещественных структур полупросгых комплексных алгебр, Ли имеется взаимно-однозначное соответствие. Как показывают результаты настоящей диссертации, такого соответствия нет для комплексных простых супералгебр Ли.

Существенным отлитием конечномерных простых супералгебр Ли от. простых алгебр Лв является несопряхенность борелевских подалгебр, что. приводит к наличию нескольких систем простых корней у одной и той же супералгебры Ли. Задача опиоания всех оистем простых корней, помимо чисто математического интереоа, связана с суперсимметричными обобщениями уравнений математической физи-к*1).

Цель работы. I) Описать внешние автоморфизмы проотых комплексных конечномерных супералгебр Ли и связанные с ними скрученные супералгебры петель ; 2) описать системы простых корней кон-трагрвдвентных конечномерных супералгебр Ли и скрученных оупералгебр петель ; 3) описать группы автоморфизмов скрученных супералгебр петель ; 4) клаосифипировать вещественные отруктуры конечномерных простых оупералгебр Ли.

Научная новизна. Все нижеследующие основные результаты диссертации являютоя новыми:

1. Описаны группы внешних автоморфизмов простых конечномерных оупералгебр Хи и связанные с ними супералгебры петель.

2. Для контрагредиент«« конечномерных простых супералгебр я окрученных оупералгебр петель' класоифицированы системы

Лейтес Д.А., Савельев Н.В., Серганова В.В. Вложения судер-•жг«бры Да и связанные с ним* нелинейные су-

персимметричтга уравнения. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. М., 1906, т. I, с. 377-394.

простых корней.

3. Описаны внешние автоморфизмы скрученных супералгебр петель.

4. Описаны вещественные структуры простых конечномерных супералгебр Ли.

Приложения. Диосертация носит теоретический характер- Ее . результаты могут быть применены в теоретической и математической физике, дифференциальной геометрии на супермногообразиях,' ' теории представлений супералгебр Ли и супергрупп Ли.

Апробация работы. Результаты дисоертации докладывались на . семинарах в ЖУ и ЯрГУ в 1981-1987 гг. и Международных семинарах по теоретико-групповым методам в физике в Звенигороде в 1982 г. . в Грмале в 1985 г.

Публикация. Основные результаты диооертации опубликованы . в работах [г] - [4] - *

Структура дисоертации. Диосертация состоит ив введения я шаоти параграфов ; материал изложен на 92 страницах. В списке

литературы 21 наименование.

[

.H

СОДЕРШИЗ РАБОТЫ '

В § I сообщаются необходимые предварительные сведения о супералгебрах Ли, достаточные для того, чтобы сделать изложение независимым.

В § 2 дано описание внешних автоморфизмов простых конечномерных комплексных супералгебр Ли.

Пусть - супералгебра Ли-Похожим Iп.t<f€*/>ас/ж где ( X") - группа, порожденная множеством / . Группу

, где IniíJ нормальная подгруппа группы AutO^ М0Х автоморфизмов оупералгебры Ли , назовем группой внешних автоморфизмов.

Введем следующие обозначения для автоморфизмов супералгебр:

(бЛ) -где

VC «» Ттл í-i. Jfe^ft'nUrO,

rt/<98, /Л 361 . »? л _2.

*э V с î) / * I я ■'с ь}'. Для произвольного элемента с- Z ti ?t ^

¡'i 5'

ri J ( '

положим

гдв "I $ 4 > , ¿<Чх..'..лл*!г

1 u» • . Аля произвольного Ve. Ai Pf.

черва У обозначим образ / при проекции /W ^ — Pué

Теодема^^ Пусть - простая конечномерная супералгебра 1а. Тогда CuíC¡ * { if , ддя Of-UTCn) , ' fi' (Zn)t .

0ipC2rn*dlZn) , UcL) при «C t r-J* с ¡T)/¿ }

¿г

)

Для (п|п) вмеетоя точная последовательность:

М ^ с* — ои^еып) ЛЛ

где Ю2.

При четном п группа ОиМ ръё (п|п) разлагается в

подупряыов произведение * С .

В остальных случаях группы Ои^ перечислены в таб-

лице 1

"9

(мм)

'(>Ш2|2)

Оьр Сгт12 п)

Р^С^Сп) (п>2)

»(А)

¿ТГСп)

Я(п)

$Н (1п)

. < /?г| Т^ >

Ж- з . -С*-

<1г*С*) * </«>,

»

В § 3 дано перечисление связанных о автоморфизмами?е0и^О£ бесконечномерных градуированных простых оупералгебр Ля (окрученных) оупералгебр петель.

Пуоть - проотая конечномерная оулералгебра Ли, </> -автоморфизм супералгебры. Ли конечного порядна к . Тогда у задает не -градуировку = „ где

( £ - примитивный корень к -ой степени из I).

Рассмотри». Ж-- градуированную оупералгебру

В частности, положим .1 Такие суперая-

гебры назовем аффинными оупералгебрами или (скрученными) супералгебрами петель.

Супералгебру Ля можно отоадеотвить о супералгеброй

полиномиальных функций на окружности 5* • Пусть Р- € $*»{1еС1 41*1} . Тогда

Теорема 3.2. а) Аффинная супералгебра (Ц^ не содержит нетривиальных однородных относительно 2 - градуировки идеалов.

б) Пусть 1>11 уг - автоморфизм супералгебры Ли £ порядков <<1 я 1ц ооответотвенно. Ксли е "(Ч. . то

(к ) О у

У!?/ " ' ГАв ^ У связная компонента

единицы Аи

в) В таблице перечислены все попарно неизоморфные вранные супералгебрн.

% Л ' % ' ^ ' ' ^ '

ЙУ) - -

V •

0 ж

л^ »

рЪшг^оМфАп) <Нри*Чь) ^)/0>

о л тг С у) ТГ( ^

тг

ТТо(-5 I)

1

>С<0

—Я~ pMJ.Cn) £-4 Си)

Л

4ТГСп)

¿Г

СНр(2гг\-±\2п)

*с1

«£См.) ао1 г- -

/'(Г)

Примечание.. Вое С^с описаны как -модули ; через V обозначен стандартный модуль, через ¿±> - тривиальный, а через . - присоединенный ; через $Я(У) обозначен

- подшдуль коразмерности I в модуле- 52(V) , заданный условием ( } 0 для любого хе $2(У)

-и о

В § 4 описаны все системы простых корней простых супераят, гебр Ли (конечномерных и окрученных супераягебр петель).

Приведем определение контрагредиентной супералгебры Ля . согласно Пусть /?= (Я^) - произвольная комплексная матрица размера ■ пхп и ранга С . Фиксируем комплексное векторное пространство £ размерности и .двойственное простран-

ство Выбереу векторы кп€ / а

так, что )*= Л^',

Пусть 1= { и ¿п ] - последовательность с элемен-

^ ч

тами из . Рассмотрим свободную супералгебру (А,1) о образующими Ь,...г&п>е1,...,еп, Лг» где

р(£р» рС 1'<.) * ^ и определяющими соотношенияш:

пусть 4~*{def Id'tZviiki

i<l «h '

где ni ^ 3 . Для «£ • £ n; e £ положим kl M-2»,

Назовем б (соответственно (J ) множеством положительных (отрицательных) весов (соответственно просто весов), а А/ высотой. Пуоть - подалгебры, порожденные элементами (соотв.).

Среда идеалов супералгебры Ли fyfd.ï) . имеющих с под- . алгеброй р нулевое пересечение, существует максимальный идеал 7 . причем 1 -- Щ К ® Л 1П_ ■ всть прямая сумма идеалов.

^ J. »ал de Leur. Солtrugredlent Lie tuperuigebrb« of finite growth. Tbeele, Utrecht, 19Ô6.

Супералгебра О^ (АЛ ) * 1 называется.контрагр«-

диентной супералгеброй Ла. Центр С супералгебры состоит из элементов /с ^ таких, что чсСА)"*? для всех £ = ^ > ■>>> >г . Супералгебры

мы также будем называть контрагредиентныма.

•Две пары С/?,-О и (А',11) будем называть эквивалвнтнн-ма, еоли С Л', I1) получается из перестановкой индексов

и домножением А справа на невырожденную диагональную матрицу, т.е. А'-А-^а^ ( к > Яп) . Очевидно, что эквивалентным парам '. (/),!) >№'>2') соответствуют изоморфные суперал-гебрыЛи . I) и ЦСА',!').

Матрица й называется матрицей Картвна контрагредяентной супералгебры Ли 0£,(А,1) , а подалгебра £ С (/),!) -подалгеброй Картана.

Пусть далее - одна из контрагредиантных супералгебр

Для произвольного положим ^Ы. '

I для любого } .Вектор называ-

ется корнем супералгебры , если * {°} . Множество всех корней супералгебры обозначим через I? . Тогда ^ '• Определим четность на множестве , положив

р( А) -- Где ^ ^ ^ е

для произвольного подмножества В= в Я , по-

логим = {«(сЯ Г* --(-)£ щас ,, где п, « £ }.

./.;.•• Подмножество В.- {¿а, ¿п] называется сиотемой

№

простых корней контрагредиентной супералгебры , если линейно независимы и существуют элементы е ^¿^

4е ••■» Ц-б*. такие, что б^ , где

(соогв.^з ) - подсупералгебра,. поровденная элементами (соотв. К,-.-, Тп. )• ^ ^

Пусть 6 - система простых корней,е± 6л, ,...,1п -соответствующий ей набор образующих в алгебре » Положим

С;- Гее, &

рС^к)} . Матрица называется матрицей Картана системы простых корней , В. Очевидно* что элементы ,---Д"к , ?!

л- О— У 3

»1,---,'л. удовлетворяет соотношениям (эе). Так как в контрагредиентной супералгебре нет идеалов,, имеющих с / ненулевое пересечение, то ф = -,В диссертации показано,

что элементы в£ , /с , не порождают подсупераягебру, изоморфную а и«*; , биеаю или в)

Две системы простых корней и: Вд назовем эквивалентными если пары{7?01 я(А&г)Тзг) эквивалентны. Домножвм матри-

цу на диагональную так, чтобы диагональные элементы стали равными 2, О или I соответственно случаям а) - в). Такую матрицу будем называть нормированной» В дальнейшем будем рассматривать только нормированные матрицы /¡^ - (ау) . Пусть лежат в некоторой 8 = .... > п.} . Корень ^

-А^ При

o¿¿ при асС-1

при Сис*С> *С при = I = 0

//

назовем корнем, полученным отражением корня относительно корня Ai.

Предложение 4.8. Пусть Be {«¿i., .../л] - система простых корней. Тогда

а) тоже система простых корней .

б) Если Qcü 4« О , то 8 и töLife-) эквивалентны.

в) «е, \ fk^c } = 4 .«в к б А/

"Скажем, 4Toßt к В^ овязаны цепочкой отражений, если найдется набор систем простых корней ßi, ..., 6 , набор корней

oL.eß1 такие, что. ßi+ 1 - T*i С В ' ) В4, 6а-В™ Если все л; таковы, что =.0 , то окажем, что B.i и связаны цепочкой нечетных отражений.

Предложение 4.10. Пуать и в^ - две системы простых корней контрагредиентной оуперадгвбры СJ . Воли - конечномерна, го и ftj связаны цепочкой отражений, а если - аффинная, то либо Bj. и 9>г , либо ßi > - связаны цепочкой отражений.

ТеоЕвма_4.И. Пуоть ßj и ¡^две системы простых корней конечномерной или аффинной оупералгебры 0J, . Тогда найдутся эквива лентнне.им системы простых корней в 8^, связанные цепочкой нечетных отражений,

С помосы) теоремы 4.II проводится классификация всех о точ-носты! до эквивалентности систем простых корней конечномерных а аффинных контрагредиентных супералгебр Ли.

Заметим, что классификация систем простых корней конечномерных супералгеЗр Дя была анонсирована Капем Но для исключи-

1) Кас "/.G. Lie euperalgsЬгав. Adv. Math., 1977,26,К 1,p.8-96.

Ht

тельных супералгебр Ли она содержит пропуски, которые восполнена в настоящей работе. >

Недавно в своей диссертации ван де Люр классифицировал кон-трагредиентные супералгебры Ли конечного роста е неразложимой симметризуемой матрицей Каргана. При атом оказалось, что всякая такая супераягебра Ли либо конечномерна в проста, либо является скрученной супералгеброй петель. С другой стороны,, среди сручевных супералгебр петель, классифицированных в § 3 настоящей диссертации, содержатся контрагредиевтные супералгебры Ли с весимметризуеиши матрицами Картана, Пока неизвестно, содержит ля наш список все контрагредиентные супералгебры Ли конечного роста с неразложимой штрицей Картава.

В § 5 описаны внешние автоморфизмы (скрученных} супералгебр

(к)

петель. Очевидно, что в fini: CQ\f> содержится подгруппа, изоморфная С* » -f I SÀ подгруппа

для t - е*ргтаъ /к , Группу Ini q^L €*>

(к)

назовем группой внутренних автоморфизмов супералгебры Ли (fy у . Аналог грудяы In.è определен также для гладких петель ^ Пусть OL - оупералгёбра Ли полиномиальных или гладких петель во значениями в

Теорема 5.3. Подгруппа lai ОС нормальна в

Mot.

Пусть Oui ос - АЛ ОС /Inl а , а S - образ ёй/iui ОС при естественной проекции ftU ty Oui Ot . Тогда: X) Oui SOU fy? •

2) пРя . OU '«'г»;

• £

in и- С g. ®il) - § y "

/э

3) црвК»г О J Oi{f s(cwy<-?>> с

4) Otii 0(s>«> - , где 6 - автоморфизм an-гебры Ли 0(5) , ивдупированный какой-нибудь инволюцией ссгвма Дынкйяа;

5) Oui » <iinv«jre>9" ¿г яр» m* n . где П - ^ ^ Л?" • О; _

6) Old pd(ln*i » z где Ух е/?«/ («¿«Ы1)зедан формулой:

7) iU = /"i} ;

8)(U fi] fî mi/•*)).

В § 6 описаны вещественные структуры простых конечномерных супералгебр Ли.

Пусть Oj, - комплексная супералгебра Ли. Следуя назовем вещественной структурой на CJ, типа (Îi. , где

для i = I, 2, 3 , четное линейное отображение S: CJ такое, что для произвольных ае (С, дДе

eMCa-flbïW, .

Две вещественные структуры и на супералгебре Ли

Манин Г.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. M.: 1084..

ft-

назовем эквивалентными,если существует автоморфизм f супералгебры Oj. такой, что Si " У У

В § 6 показано, что существует взаимно-однозначное соответствие между множествами вещественных структур типов (£», (г .¿ъ)

и (£i,-£»,-£3) , и классифицированы все с точностью до эквивалентности вещественные структуры типов (1,-1,-1) и (-1,-1,-1).

От-этим, что классификация вещественных структур ( 1,-1,-1) была анонсирована В.Г.Кацем в но приведенный там список содержит неточности. Результат Каца для матричных супералгебр уточ-2)

нила М.Паркер в , но полная классификация по-прежнему отсутствовала.

Рабдты_автода_по__теме_^ссе2тации:

1. Серганова В. В. Классификация простых вещественных супералгебр Ли и симметрических суперпространств. $ункц. анализ и его прилож., 1983, 17, вып. 3, с. 46-54.

2. Серганова В. В. Автоморфизмы простых супералгебр Ли. Известия АН СССР, 1984, № 3, с. 585-598.

3. Серганова В.В. Внешние автоморфизмы-и вещественные формы супералгебр Каца-Муди. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. М., 1984, т. I, с. 279-284.

4. Серганова В.В. Классификация систем простых корней прос--тых супералгебр Ли. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике, 1986, т. I, с. 391-394. _

Кас V.G. Lie superalgebras. Adv. Bath., 1977, v. 26, N 1, p. 8-96

2) Parker U. Classification of real simple Lie superalgeb-ras of classical type. J. Math. Phjs., 1980, v. 21, N

p. 689-697-