Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.554

Твалавадзе Теймураз Вахтангович

РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР И СУПЕРАЛГЕБР В СУММУ ПРОСТЫХ ПОДАЛГЕБР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук профессор Ю.А.Бахтурин.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор А.А. Михалев; кандидат физико-математических наук с.н.с А.П.Пожидаев.

Ведущая организация

Ярославский Государственный университет.

Защита диссертации состоится 14 января 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.,в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992-ГСП-2, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 декабря 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.М в МГУ доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию всех возможных типов разложений простых супералгебр Ли и простых йордановых алгебр в сумму (необязательно прямую) двух собственных простых подалгебр. В случае супералгебр Ли, основное поле предполагается алгебраически замкнутым нулевой характеристики, а в случае йордановых алгебр, основное поле алгебраически замкнутое характеристики отличной от двух.

Задача о классификации простых разложений в простых комплексных и вещественных алгебрах Ли изучалась Онищиком еще в 1969 году. В работе1 им была получена полная классификация всех возможных факторизаций редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить описание разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр. Метод доказательства, который использовал Онищик в своей работе, является топологическим и поэтому предположения о том, что основное поле является полем комплексных или вещественных чисел, являются существенными. В настоящей диссертации показано, что, на самом деле, если мы расширим поле до произвольного алгебраически замкнутого нулевой характеристики, то новых разложений в простых алгебрах Ли помимо тех, которые указаны в классификации не возникнет. Как следствие этого, простая матричная ассоциативная алгебра не может быть представлена в виде суммы двух собственных простых подалгебр. Для произвольного поля этот результат был доказан Бахтуриным и Кегелем 2.

Многие известные математики, такие как Капланский, Scheunert, Nahm, Rittenberg внесли свои вклад в изучений структуры супералгебр Ли. Но стоит особо отметить работу В.Каца3, в которой была получена полная классификация всех типов простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. На

1nishchik, A.L., Decompositions of reductive Lie groups. Mat. Sbornik, 8O(122)(1969), no.4, 515-554.

2Bahturin Yu.A., Kegel O.H. Sums of simple subalgebras., Algebra, 11. J. Math. Sci. (New York) 93,1999, 830-835.

3Kac V. Lie superalgebras Advances in Math., 26 0 0<: _

Í' РОС. национальная ! библиотека I

C.ffcrrpW*/? i ' 09 Щи.'РУ I

основе этой классификации, применяя ТКК-конструкцию, которая, как известно, связывает алгебры Ли с йордановыми, Кац также описал все типы простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.4 Согласно классификации супералгебр Ли, выделяют 9 типов классических супералгебр Ли и 4 типа картановских супералгебр Ли. В частности, в настоящей диссертации изучены все типы простых разложений в супералгебрых Ли типа з1(т, п).

Цель работы

Целью настоящей работы является описание всех типов разложений в сумму двух собственных простых подалгебр для йордановых алгебр типов Я(72Т1) (полная матричная алгебра порядка п относительно операции и (множество всех симплектических матриц

порядка 2п) над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух, а также классификация всех типов простых разложений в специальных простых супералгебрах Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

Методы исследования

В работе используются методы структурной теории супералгебр Ли и йордановых алгебр, теория представлений полупростых супералгебр Ли и йордановых алгебр и другая алгебраическая техника.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Получено полное описание всех типов разложений в сумму двух простых подалгебр для йордановых алгебр типов над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух.

2) Получена классификация всех типов простых разложений в простых супералгебрах Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

4Кас V.G. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and Jordan superal-gebras, Comm. Algebгa, 13, 1977,1375-1400.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории ассоциативных, йордановых алгебр и супералгебр Ли. Полученные результаты могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ имени М.В. Ломоносова, Новосибирском и Ульяновском университетах, МИ им. В.А.Стеклова.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались в 2001, 2002 годах на кафедральном семинаре "Основные структуры в алгебре"под руководством М.В.Зайцева и И.А.Чубарова; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры под руководством В.Н.Латышева на мех-мате МГУ; на международной конференции "CMS/CMIS Summer Meeting" (Галифакс, 2004) и на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованны в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 99 страницах. Список литературы содержит 28 наименований.

Содержание работы

Во введении даётся краткий исторический обзор и излагаются результаты диссертации.

Первая глава является кратким изложением всех необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики и йордановых алгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух.

В начале второй главе изучаются разложения простых алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики в сумму редуктивных подалгебр. Известно, что Онищиком были классифицированы все такие разложения над полем комплексных и вещественных чисел. Несложные рассуждения показывают, что этот результат остается верным и над любым алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

Теорема (Онищик)

Любая нетривиальная неприводимая факторизация в = ас связной простой компактной группы Ли О в произведение двух связных подгрупп С и С эквивалентна одной из следующих:

Эти факторизации порождают следующие представления соответствующих алгебр Ли в сумму редуктивных подалгебр:

где spin,, обозначает касательную алгебру к группе Spin„. Отметим, что spinn — son.

Оказывается, что над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики верно следующее предложение.

Предложение Пусть L = L\ + L2 разложение простой алгебры JIu L над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики в сумму двух полупростых подалгебр L\ U L2. Тогда это разложение эквивалентно одному из следующих:

Далее мы переходим к рассмотрению разложений простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли С называется Е'г-градуированная алгебра, то есть удовлетворяющая следующим тождествам:

1. Тождество суперкоммутативности

2. Обобщенное тождествоЯкоби

где

В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.

Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям специальной простой супералгебры Ли sl(m,n) в сумму собственных простых подсупералгебр Ли.

Основным результатом этой главы является классификация простых разложений специальных линейных супералгебр Ли в сумму двух собственных классических простых подалгебр. Оказывается, что верна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть супералгебра С имеет тип sl(m,n), где п,т > 0. Если т,п — нечетные числа, то С не имеет разложений в сумму двух собственных простых подсупералгебр. Если один из индексов, например т, — четное число, а другой индекс — нечетное число, то в этом случае единственным возможным разложением С в сумму собственных простыхподсупералгебр С\ и Ci является разложение вида С = С\ + Hi, где С\ имеет тип osp(m,n), a Hi имеет тип sl(m,n- 1). Если оба индекса — четные, супералгебра С допускает два разложения следующего вида:

1. С = С\ + ¿2» где С\ и Ci имеют типы osp(n,m) и sl(n — l,m), соответственно.

2. С = С\ + Ci> где А и А имеют типы osp(m, п) u sl(n, т — 1), соответственно.

Основным методом исследования простых разложений супералгебры Ли типа является изучение структуры модуля для

подалгебры С, участвующей в разложении. Для этого используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.

Хорошо известно, что если в матричной алгебре Mat(n) вместо операции матричного умножения XY рассмотреть операцию коммутирования то мы получим алгебру Ли

относительно операции коммутирования. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию то мы получим йорданову алгебра.

Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.

Глава 3 посвящена доказательству следующей теоремы.

Теорема 2. Предположим, что J — конечномерная простая специальная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым

полем F характеристики отличной от двух. Тогда единственными разложениями 3 в сумму двух простых подалгебр 3\ и Зг являются следующие:

2. J а Н{п/и 3i J^BU), либо 3 = Н(Пп), п > 3,

3\ = H(Fn) и Зг изоморфна одной из следующих алгебр: H(Fn), H(Fn-x)

Этот результат был получен в работе совместной с М.В.Твалавадзе. Согласно этой теореме, только алгебра симметрических матриц произвольного порядка п > 3 не допускает разложений в сумму двух собственных простых подалгебр. Автору принадлежит рассмотрение случаев, когда 3 = Я(&тЛ и 3 = H(Qn), п > 3.

В алгебре Я(Tin) существует три типа неизоморфных простых разложений: Я(%п) = А + В, где А — H(Fn) и В изоморфна одной из следующих алгебр: H(FnH(Fn) или Я(T£n-i). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру Л мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр H(Fn-1), H(F„) или H{JLn-\) под действием автоморфизма алгебры H(1Zn) вида <р(Х) — (!+") д

где D — невырожденная матрица с коэффициентами из поля F, И имеет вид F ф vF.

Наконец, алгебра H(Qn) допускает разложения только в сумму подалгебр Ли В, обе из которых имеют тип Я(7£п).

Теорема 3. Пусть Н(Ип) представлена в виде суммы двух собственных простых подалгебр Ли В. Тогда, с точностью до порядка слагаемых, А = H(Fn) и при ЭТПОМ В = H(Fn), Н(Чп.-\) или Я(Р„_i).

Пример 1. Пусть п > 3,тогда Я(2„) = А + В,гдеА,В = Я(Яп).

Для построения примера рассмотрим алгебру H(Q„) в виде:

где А — произвольная матрица порядка п, В и С — кососимметрические матрицы порядка п.

В качестве подалгебры Л выберем подалгебру, состоящую из матриц вида

" X О О X'

где X — произвольная матрица порядка п. Далее рассмотрим автоморфизм <р алгебры Я(2П) такой, что для любого У 6 Н(0,п),

у[У) = М~1УМ, где М — ^ £ ^ , С = (^{аь-.-.а,,}, а, ф

а; Ф 0. Положим В = у{А), то есть подалгебра В состоит из матриц вида

((Е + С)А-А1С {Е + С)А-Аг(Е + в)\ АЮ-вА + )>

где Е — единичная матрица порядка п, Л — произвольная матрица порядка п. Несложно убедиться, что эти подалгебры в сумме составляют всю алгебру

Теорема 4. Разложение, построенное в примере 1, является единственным возможным разложением Н(Оп) в сумму двух собственныхпростыхподалгебр.

В заключение мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора Бахтурина Ю.А. за огромное влияние и помощь при работе над диссертацией.

Публикаций автора по теме диссертации

[lj Bahturin Yu., Tvalavadze M., Tvalavadze T. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, pp. 44554471

[2] Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т. В. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002

[3] Твалавадзе Т.В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1175-В2004.

В совместных работах, написанных в соавторстве с М.В. Твалавадзе мне принадлежат следующие результаты:

1. Доказательство первой части теоремы I в статье «О разложениях алгебр типа В(0 в сумму простых подалгебр», Вест. Моск. Ун-та., Сер. I, Математика. Механика, 2002,2,63-68.

2. Все результаты, полученные в третьем и четвертом разделах в статье «Разложения простых специальных йорляновых алгебр», ВИНИТИ, № 2287-В20О2.

3. Доказательство пункта 1 в предложении I, а также теорем 4.3 и 5.1 в статье « Sums of simple and nilpolent subalgebras», Comm. in Algebra, vol.30,2002, 9,4455-4471 (совместно с Ю.Л.Бахтуринмм)

Подписано в печать 7, /2, ОЦ Формат 60x84/16. Усл.печ л. О, £ Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в Отделе печати МГУ

1 Основные определения и факты 6

2 Разложения простых супералгебр Ли типа sl(m,n) 13

2.1 Некоторые замечание о разложениях простых алгебр

Ли. 13

2.2 Разложение супералгебры sl(m, га) в сумму подалгебр типов sl(p,k) и osp(l,q). 19

2.3 Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k))nsl(l,q)(osp(l,q)). 48

2.4 Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k)) и P(l) (Q(l)). 75

3 Разложения простых специальных йордановых алгебр 79

3.1 Простые конечномерные йордановы алгебры. 79

3.2 Предварительные замечания. 80

3.3 Разложения йордановых алгебр типа H(TZn). 82

3.4 Разложения йордановых алгебр типа H(Qn). 89

Данная работа посвящена изучению простых разложений некоторых типов неассоциативных алгебр и супералгебр Ли в сумму простых подалгебр. Под простым разложением мы понимаем разложение простой алгебры в сумму двух собственных простых подалгебр, причем сумма в разложении не обязательно прямая.

Задача о классификации простых разложений впервые изучалась Онищиком для случая комплексных и вещественных групп Ли. В его работе [7] была получена полная классификация всевозможных факторизаций редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить классификацию разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр.

В работе [16] Бахтуриным и Кегелем было показано, что не существует разложений простой ассоциативной алгебры в сумму простых подалгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем.

В настоящей работе рассматривается вопрос о нахождении простых разложений в простой супералгебре Ли з1(т,п) и простых специальных йордановых алгебрах Н(Нп), Н{(^п) над алгебраически замкнутым полем которое имеет нулевую характеристику, в первом случае, и произвольную характеристику отличную от двух, во втором случае.

Первая глава является кратким изложением необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых супералгебр Ли и йордановых алгебр.

Во второй главе изучаются разложения простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли £ называется ^-градуированная алгебра, то есть С — Со ф £1, удовлетворяющая следующим тождествам:

1. Тождество суперкоммутативности х,у] = -(-1 )аЪ,х]

2. Обобщенное тождество Якоби где х € Са, у € £р и г Е С.

В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.

В настоящей работе при расмотрении супералгебр термин "подалгебра"означает ^-градуированная подалгебра.

Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям супералгебры Ли з1(т,п) в сумму собственных простых подалгебр Ли классического типа.

Основным результатом этой главы является описание простых разложений супералгебр Ли в/(т, п) в сумму двух собственных классических простых подалгебр с точностью до типа разложения. Под типом разложения имеется в виду следующее. Если С — где £1, £2 ~ простые подалгебры, то тип разложения есть пара (£х,£2) с точностью до изоморфизма подалгебр С\, £2- Изучение всевозможных вложений подалгебр (£х,£2) данного типа в £ не являлось целью даной диссертации.

Основным методом исследования простых разложений супералгебры Ли типа sl(m,n) является изучение структуры £о-модуля С\ для подалгебры учавствующей в разложении. Для этого используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.

Хорошо известно, что если в матричной алгебре Mat(n) вместо операции матричного умножения XY рассмотреть операцию коммутирования [X,Y] = XY — YX, то мы получим алгебру Ли. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию X © Y = XY + YX, то мы получим йорданову алгебру.

Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.

Глава 3 посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной йордановой алгебре J одного из двух типов H(Rn) и H(Qn) (см. определение в главе 1).

В алгебре H(lZn) существует только три типа неизоморфных простых разложений: Н(Лп) = А + В, где А = H(Fn) и В изоморфна одной из следующих алгебр: H(Fn-.i), H(Fn) или H{lZn-\). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру А мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр H(Fn-1), H(Fn) или H(7Zn-1) под действием автоморфизма алгебры Н(Пп) вида <р(Х) = ^p-D^XD + ^&XiD1)-1, где D — невырожденная матрица с коэффициентами из поля F, 71 имеет вид F 0 vF.

Наконец, алгебра H(Qn) допускает разложения только в сумму подалгебр Ля В, обе из которых имеют тип H(1Zn).

Все упомянутые результаты работы являются новыми.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору Ю.А.Бахтурину за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии.

Список научных работ автора

1. Bahturin Yu., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, pp. 4455-4471

2. Твалавадзе M.B, Твалавадзе T.B. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002

3. Твалавадзе Т.В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1174-В2004

1. Бурбаки Н. Модули, Кольца, Формы., Наука, Москва, 1966.

2. Дынкин Е.Б. Регулярные полупростые подалгебры в полупростых алгебрах Ли. Доклады акад. наук СССР 73(1950), 877 880.

3. Жевлаков К.А, Слинько А.М, Шестаков И.П, Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным., Москва, 1976.

4. Жевлаков К.А, Слинько А.М, Шестаков И.П, Ширшов А.И. Йордановы алгебры., Новосибирск, 1976.

5. Зельманов Е. Первичные йордановы алгебры., Сибир. мат. журнал, 24, 73-85.

6. Кац В. Классификация супералгебр Ли., Прилож. функц. анализа, 9, 1975.

7. Онищик А.Л. Разложения редуктивных групп Ли, Мат. сборник, 80(122), 1969, 4, 515-554.

8. Онищик А.Л. Топология транзитивных групп преобразований., М., Физматлит, 1995.

9. Сударкин A.B. Глобальные разложения супералгебр Ли Р(п) и Q(n), Вопросы теории групп и гомолог, алгебр, ЯрГУ, Ярославль 1988, 221-229.

10. Твалавадзе Т.В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебрдепонир. в ВИНИТИ, 1175-В2004.

11. Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002.

12. Шестаков И. П. Альтернативные и йордановы супералгебры., Сибир. мат. журнал, 9, 83-89.

13. Эльбаради М. О разложениях классических групп. Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1981, 115124.

14. Albert A. On Jordan algebras of linear transformations., Trans. Amer. Math. Soc., vol. 59(1946), 524-555.

15. Bahturin Yu, Tvalavadze M, Tvalavadze T. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, 4455-4471.

16. Bahturin Yu.A, Kegel O.H. Sums of simple subalgebras., Algebra, 11. J. Math. Sei. (New York) 93 (1999), 830-835.

17. Bahturin Yu, Mikhalev A.A, Petrogradsky V.M, ZaicevM.V. Infinite Dimensional Lie Superalgebras. Walter de Cruyter, Berlin, 1992.

18. Frappat L, Sciarrino A. Dictionary on Lie algebras and Su-peralgebras. Academic Press, London, 2000.

19. Frappat L, Sciarrino A, Sorba P. Structure of basic Lie su-peralgebras and of their affine extensions. Commun. Math. Phys. 121,1989.

20. Goto M, Grosshans F.D. Semisimple Lie algebras, Marcel Dekker, INC., New York, 1978.

21. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, Berlin Heidelberg New York, 9, 1972.

22. Jacobson N. General representation theory of Jordan algebra Trans. Amer. Math. Soc., 70, 1951, 3, 509-530.

23. Kac V.G. Lie superalgebras., Adv. Math., 26, 1977.

24. Kac V.G. Representations of classical Lie superalgebras., Lecture Notes in Mathematics, 676, 1978, Springer-Verlag, Berlin.

25. Kac V.G. A sketch of Lie superalgebra theory., Commun. Math. Phys., 53, 1977.

26. Kegel O.H. On the solvability of some factorised linear groups., Illinois J. Math., 9, 1965, 535 547.

27. Racine M.L. On Maximal Subalgebras, J. Algebra, 30,1974,155180.

28. Scheunert M. The Theory of Lie Superalgebras., 716,1979, 271, Springer-Verlag, Berlin.