Представления простой супералгебры В(1,2) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1Га правах рукописи

РГ5 ОД

18 днк гт '

ТРУШИНА Мария Николаевна

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТОЙ СУПЕРАЛГЕБРЫ В(1,2)

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория

чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Московском городском педагогическом университете на кафедре алгебры и геометрии математического. факультета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ С.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого.

ственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д.14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан " 2А" НА? . 2000 года.

профессор ЗАЙЦЕВ М.В.

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ А.А.

Ученый секретарь

Диссертационного Сове:

КАРАСЕВ Г.А.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Изучение алгебр и их представлений (модулей) является классическим направлением алгебраических исследований. Линейные представления играют важную роль при изучении конечных групп [14], компактных топологических групп [10] , тождеств, выполняющихся в данной алгебре [12]. На протяжении фундаментальных исследований многих выдающихся алгебраистов (Ф.Э.Молин, Ф.Фробениус, Д.Веддерберн, Э.Картан, Р.Д.Шейфер, А.А.Алберт, А.И.Мальцев и др.) в рамках структурной теории конечномерных алгебр был выработан общий подход к их изучению. Для важнейших классов алгебр (ассоциативных, лиевых, альтернативных, мальцевских и йордановых) доказано, что каждая конечномерная алгебра над хорошим полем является прямой суммой разрешимого радикала и полупростой подалгебры; полупростая компонента является прямым произведением простых идеалов.

Заметим, что радикал алгебры (как и произвольный ее двусторонний идеал) является модулем над полупростой компонентой.

Первым классом неассоциативных алгебр, подвергшихся серьезному и систематическому изучению, являются алгебры Ли. Описание простых конечномерных алгебр Ли можно найти, например, в монографии [2]. Хорошо известна теорема Г.Вейля о полной приводимости представлений любой полупростой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0. Аналог .этого замечательного результата справедлив и для других многообразий алгебр, в частности, альтернативных и йордановых.

Классическим примером альтернативной неассоциативной алгебры является алгебра чисел Кэли, построенная еще в 1845 г. Эта алгебра и ее обобщения — так называемые алгебры Кэли-Диксона — играют важную роль в теории альтернативных алгебр: конечномерная простая альтернативная алгебра либо ассоциативна, либо есть алгебра Кэли-Диксона над своим центром [22]. Р.Д.Шейфер [21] и Н.Джекобсон [17] описали строение альтернативных бимодулей над конечномерными альтернативными алгебрами: если А — конечномерная альтернативная алгебра, М — точный неприводимый альтернативный .А-бимодуль, то либо М — ассоциативный бимодуль над ассоциативной алгеброй, либо М — регулярный бимодуль над алгеброй Кэли-Диксона, либо М — бимодуль Кэли над алгеброй обобщенных кватернионов.

Структура неприводимых представлений простых йордановых алгебр была описана около 50 лет назад Н.Джекобсоном [18].

Таким образом, всякий модуль над простой конечномерной алгеброй является прямой суммой неприводимых компонент, структура которых полностью описана. К настоящему времени по модулю простых ассоци-

ативных описаны простые альтернативные, мальцевские и йордановы алгебры без ограничения на размерность [3], [13], [4].

В последние два десятилетия наметился серьезный интерес к изучению суцералгебр—Каждая-супералгебра-является-объектом, состоящим-из обычной алгебры и модуля над ней. Особый интерес представляют простые супералгебры, в которых соединены некоторым естественным образом простая алгебра и ее неприводимое представление. Целесообразность изучения супералгебр в значительной степени связана с возможностью их использования при решении известных теоретико-кольцевых проблем. Так с помощью супералгебр А.Р.Кемер [8] решил проблему Шпсхта(появилась возможность сводить полилинейные тождества к тождествам от меньшего числа переменных). Е.И.Зельманов решил проблему А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса над полем характеристики 0 [5], показав, что не существует соответствующих первичных супералгебр. В работе [6] Е.И.Зельманов и И.П.Шестаков доказали нильпотентность квазирегулярного радикала свободной альтернативной алгебры над полем нулевой характеристики (проблема К.А.Жевлакова). Также супералгебры используются для построения контрпримеров [15]. С.В.Пчелинцев доказывал нетривиальность тождеств, опровергая их с помощью некоторой вспомогательной супералгебры [11],

Для решения проблемы Шпехта [8] потребовалось описание простых ассоциативных супералгебр. Для решения проблемы Жевлакова [6] оказалось необходимым описание первичных альтернативных супералгебр. Задача изучения представлений простых супералгебр в различных многообразиях была сформулирована И.П.Шестаковым в Днестровской тетради [1].

Алгебра А над полем Р называется супералгеброй, если она предста-вима в виде прямой суммы А = А0 ф Ах подпространств и AiA¡ С где г,^ 6 Например, обычная алгебра Грассмана С = © является супералгеброй, где Со и 61 — линейные пространства, порожденные словами четной и нечетной длины соответственно. Грассмановой оболочкой С(А) супералгебры А называется обычная алгебра С?(А) = Ао ® Со + -<4.1 ® йг. Супералгебра А называется альтернативной (йор-даповой), если ее грассманова оболочка С?(А) является альтернативной (йордановой) алгеброй. Тем самым, супералгебра А является альтернативной она удовлетворяет тождествам

(а;,а^,сць) = (-1),;,+1(<1.;,а;,аь) = (-1)1к+1 (а;, ак, а3-)> (ао, а0, а;) = О,

где 1,3, к е {0,1}, а{ 6 А^

йордановой она удовлетворяет тождествам

(ца, = (—

где г,з, к, I £ {0,1}, а,- € А(.

Приведем примеры неассоциативных альтернативных супералгебр:

1) Супералгебра 5(1,2). Характеристика .Р равна 3,

5(1, 2) = Ао + Аг — коммутативная супералгебра над .Р, у которой А0 = .Р-1, Ах = Р-г+Р-у,где 1 — единица супералгебры, и ху = —г/г = 1.

2) Супералгебра В(4,2). Характеристика Р равна 3, Ао = Мо(Р) — алгебра 2x2 матриц над Р, Ах = Р-тпг — 2-мерный неприводимый бимодуль Кэли над Ао; т.е., Ао действует на А\ следующим образом

еу • та*: = г, к 6^1,

т • а = а • т\

где а € Ао,т 6 Ах, а >-» о — симплектическая инволюция в М2(Р)-Нечетное умножение на А1 определено равенствами

т* = —е21, т2 = е12, тхт2 = еи, тгтпх = —е22.

3) Скрученная супералгебра векторного типа 5(Г, 5,7). Характеристика Р равна 3, Г — коммутативная и ассоциативная супералгебра над Р, 5 — ненулевое четное дифференцирование Г и 7 € Го. Пусть Г означает изоморфную копию векторного пространства Г с отображением изоморфизма а и ». Тогда рассмотрим прямую сумму векторных пространств В(Г,В,у) = Г + Г и определим на ней умножение по правилам

а ■ Ь = аЬ,

а - Ъ— аЪ,

а-Ь={-

а ■ Ь = (-1)1%аЬ + 25(а)Ь + а5(Ь)),

где а, Ь е Го и Г2, аЪ — их произведение в Г. Градуировка на 5(Г, 5,7) задается так: Г0 + Гх полагается четной частью, а Гх + Г0 — нечетной частью супералгебры.

4) Супералгебра Кэли-Диксона 0(4,4). Характеристика Р равна 2 0(4 4) = Н + ьН — алгебра Кэли-Диксона нал Р с естественной градуировкой, индуцированной процессом Кэли-Диксона, примененным

- к~алгебре-1эбобщенных-кватеряионов Н-

5) Двойная супералгебра Кэли-Диксона 0[и]. Характеристика F рална 2, 0[и\ = Ж ®г О = О + Ои, где = ^ + ^ 0 € -Р,

- простая 2-мерная супералгебра с четной частью ^ я нечетной частью Ри. Градуировка на 0[«] определяется так: О является четной частью,

а Ом — нечетной частью супералгебры.

В работе [6] Е. И. Зельманов и И. П. Шестаков описали простые альтернативные супералгебры характеристики ф 2, 3. Они оказались либо ассоциативными, либо с нулевой нечетной частью (четная часть при этом является кольцом Кэли-Диксона). И. П. Шестакову в работе [16] удалось снять ограничение на характеристику. Было получено, что всякая простая неассоциативная альтернативная супералгебра с ненулевой нечетной частью изоморфна одной из супералгебр: \-chaTF = 3, .6(1,2);

2.сЬагР = 3,В(4,2);

3.сЬагР = 3, В(Г, I),7),где Г = Г0 — Д-щюстм ассоциативно-коммутативная алгебра над ф О € £егГ,-у 6 Г;

^.скатР = 2,0(4,4); Ъ.скатР = 2,0{и].

Йордановы супералгебры менее изучены, чем альтернативные. И работах В. Г. Каца [19] и Кантора [7] получена классификация простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики 0: Всякая простая конечномерная нетривиальная (т.е., с ненулевой нечетной частью) йорданова супералгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 либо специальная, либо супералгебра Каца, либо супералгебра грассмановых скобок Пуассона.

Над полями положительной характеристики ф 2 классифицированы простые конечномерные йордановы супералгебры с полупростой четной частью [20]. Среди этих супералгебр встречается супералгебра 3(1,2), как супералгебра билинейной формы^и аналог эрмитовых матриц с коэффициентами из В (1,2) .

Эквивалентные общие понятия модуля над алгеброй и представления алгебры восходят к Эйленбергу. В случае супералгебр они принимают следующий вид. Альтернативным (йордановым) сунермодулем над супералгеброй А - А0 + Ах называется линейное пространство М = М0 © Мг над полем Р, для которого расщепляемое нулевое расширение Д = Ме А является альтернативной (Йордановой) супер алгеброй относительно градуировки Но = М0 Ф -Ао, Я1 = М\®

Н.А.Писаренко в своей кандидатской диссертации [9] получил описание всех неприводимых конечномерных представлений простых альтернативных супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2 и 3. Согласно [9] альтернативные супермодули, не являющиеся альтернативными модулями, возникают только над ассоциативной супералгеброй матриц вида

где первое слагаемое - четный элемент, а второе - нечетный, и х,у -скаляры. Эти модули являются 2-мерными над Р и имеют один из трех возможных типов:

1)М = Рп® Ртп,

пи = от, т.и ~ 0, ип = —2т, ит = —п (5 = 0, а = — 1)

2)М = Рп ® ^т,

пи = тутпи = 2га,ип = 0,шп = п (6 = 0,а = 1)

3)М = Рп © ^т,

где а£ Г — параметр, 5 - ненулевой корень уравнения Р + а8 + а2 = 0.

Указанные модули попарно неизоморфны при различных наборах параметров.

Из приведенного обзора видна актуальность диссертационного исследования.

Дели диссертационного исследования:

1. Получить классификацию неприводимых альтернативных представлений супералгебры 5(1,2).

2. Получить классификацию неприводимых йордановых представлений супералгебры 5(1,2).

3. Исследовать неразложимые альтернативные представления супералгебры 5(1,2).

4. Исследовать неразложимые йордановы представления супералгеб-

пи = —-—тп,ти = $п,ип = т,ит = (1 — а)п,

ры 5(1,2).

Новизна результатов.

В результате диссертационного исследования получен ряд новых результатов. Выделим следующие из них:

1. Получека классификация конечномерных неприводимых альтернативных представлений супералгебры 3(1,2) над алгебраически замкнутым полем.

2. Получена классификация конечномерных неприводимых йордано-вых представлений супералгебры В(1,2) над полем характеристики 0.

3. Получена классификация конечномерных неприводимых йордано-вых представлений супералгебры 5(1,2) над алгебраически замкнутым полем характеристики -ф 2.

4. Получен способ пострения неразложимых альтернативных представлений супералгебры 5(1,2), содержащих заданный цоколь.

5. Получен способ построения неразложимых йордановых представлений сулералгебры 5(1,2). В случае характеристики 3 этим методом получены примеры йордановых неразложимых супермодулей над В( 1,2) любой размерности, кратной 3, не являющихся альтернативными. Также построен пример йорданового неразложимого супермодуля над В(1,2) в случае характеристики 5.

Методы исследования. Результаты данной работы получены использованием различных методов линейной алгебры. Построение неразложимых супермодулей проводится определенным достраиванием базиса Жорданз для некоторого оператора.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Применяемые в ней методы могут быть использованы для изучения представлений других супералгебр, в частности 3-мерной супералгебры Капланского.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова в г. Новосибирске (2000 г.), на международном семинаре памяти профессора Л. А. Скорнякова в г.Волгограде (1999 г.), на семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях. Их список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, девяти параграфов основного текста и списка литературы, содержащего 26 работ отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 62 листах печатного текста.

Представленная диссертация посвящена изучению альтернативных и иор-дановых представлений алгебры 5(1,2), играющей важную роль при описании структуры простых альтернативных и йордановых супералгебр.

Супералгебра 5(1,2) может быть получена следующим образом из алгебры .F[tj обычных многочленов над полем F. Пусть х = R(t) — оператор правого умножения, у = D(t) — оператор дифференцирования по переменной f, 1 - тождественное отображений. На линейной оболочке операторов 1 ,х,у введем градуировку, считая 1 - четным элементом, хну- нечетными, и умножение: произведение нечетных элементов определим как коммутатор [а, Ъ] = ab — Ьа, a произведение любых двух других однородных элементов определим как йорданово произведение а о Ь = з(аЬ + 6а). Эта супералгебра и является алгеброй 5(1,2). Отметим, что алгебра 5(1,2) является йордановой, а в характеристике 3 - альтернативной.

Легко понять, что пространство многочленов F[£j (относительно естественной градуировки) является неприводимым модулем над 5(1,2), если характеристика равна 0.

Заметим, что группой автоморфизмов супералгебры 5(1,2) является Sl2(F). Автоморфизм с.а. 5(1,2) : х м- —у, у х назовем стандартным.

В первом параграфе даются основные определения и доказывается критерий йордановости супермодулей над 5(1,2):

Суперкоммутативный супермодуль M над супералгеброй 5(1,2) является йордаповым <£> выполнены операторные соотношения:

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

=х,

(1)

[Х,У2] = У,

(2)

где X = R(x),Y = R(y).

Во втором параграфе вводится понятие стандартного йорданова супермодуля. Пусть А/=А/в© А// - линейное пространство над полем И с

базисом т0,тоХ,т0Х2,... ,т0Х2к~2, где т0 принадлежит четной компоненте Мо- Допустим, что умножение базисных элементов гщ и базис-вых-здаментов 1, д,у супералгебры 5( 1,2) унитально, супер-коммутативно и выполнены равенства:

т0Х2к~1 = О,

Такой супермодуль назовём стандартным йордановым.

. Получена классификация неприводимых конечномерных йордановых супермодулей над 5(1,2) в случае характеристики 0, а именно, справедлива .

Теорема 1. Каждый конечномерный неприводимый йорданое супермодуль над супералгеброй 5(1,2) над полем характеристики 0'является стандартным или получен из него заменой градуировки.

Затем изучаются свойства йордановых супермодулей в случае конечной характеристики, и в параграфах 4-6 приводится описание неприводимых конечномерных йордановых супермодулей над 5(1,2) в случае алгебраически замкнутого поля характеристики р ф 2'

Теорема 2. Любой неприводимый конечномерный унитальный йорданов супермодуль М над алгебраически замкнутым полем характеристики р ф 2 с точностью до стандартного автоморфизма с.а. совпадает с одним из модулей:

I. (т - однородный элемент)

(a) т,тХ,тХ2,... ,тХ2,р~1 образуют базис модуля,

тХ2р = тУ = О,

_ ( ¿тпХ1'1, если г — 21,1 ф 0;

тЛУ~\ (А - а + 1)тХ*'\ если г = 21 + 1

а - параметр, причем а не является целым числом.

(b) т,тХ,тХ2,... ,т.Х2к образуют базис модуля

(* = 0,1,... ,р-1), тХ2Ш = тУ = 0,

( I

1тХ'~х, если г = 21,1 ф 0;

(I — ЩтХ'*1, если г = 21 + 1

II. (т 6 Мо) т,тХ,тХ2,... ,тХ!р_1 образуют базис модуля,

тХ2р = Лт,тУ = А '1ЬтХ2р-\

тХ2р = 7т,ту = -а- ^т^1'"1,

¡ Г (/3 — а — | + 1)тХ{~1, если I = 21,1 ф О-\(/3 + е^и г' = 2/ + 1

тХТ =

2 .

г^е ^ ф 0,Р и /3 — а не являются целыми числами. Модули, соответствующие параметрам (/?1,,у1,а1) и (/32 , 72 , 32) изоморфны тогда и только тогда, когда (71 = 7г)&(а1 = ~ Челое число).

В параграфе 7 из этих результатов получена классификация неприводимых конечномерных альтернативных супермодуясй над В( 1,2) (доказывается, что неприводимые супербимодули являются суперкоммутативными). Стандартным альтернативным называется супермодуль одного из типов:

1) т., тХ,тХ2,... ,тХь образуют базис модуля,

где 7 ф 0, Р не является целым числом.

Неприводимый альтернативный супермодуль с точностью до градуировки совпадает либо с регулярным, либо со стандартным. Неприводимые альтернативные супермодули можно интерпретировать на языке многочленов:

тХ6 = \т,тпУ = 0,

если г = 21,1 Ф 0; X''1, если г = 2! + 1

А - ненулевой параметр.

2) т,тХ,тХ2,... ,тХ5 образуют базис модуля,

тХ8 = -ут,ту =7-1(/?+ 1 )тХъ,

(Р + 1 + 1)тХ{~\ если i = 21,1 ф 0; {Р + 1)тпХ1-\ если г = 21+1

■>-1

над алгебраически замкнутым полем кроме регулярного модуля и модуля, полученного из него заменой градуировки, существуют, 2 серии неизоморфных неприводимых правых правоальтернативных супермодулей, которые можно получить следующим образом:

п.рпфпктпр1г}у1>и лF^] т)п идеалу, поуожденно-му многочленом t9 + te — ß(t3 + 1), где ß — ненулевой параметр. В полученной фактор-алгебре возьмем в качестве базиса Mq элементы 1 + i3, i2 + i5,i4 + t7. Оператор X является умножением на —t, опера-mopY имеет вид D-i-ß'1 -(а + 1)Х5, где D -обычное дифференцирование, а — параметр.

В параграфе 8 дается способ построения альтернативных неразложимых супермодулей над 5(1,2). Доказана

Теорема 3. Пусть М — альтернативный неразложимый супермодуль над В(1,2), содержащий Reg (или Reg) в качестве подмодуля. Предположим, что ei из М образуют базис Жордана оператора X, причем матрица Жордана состоит из одной клетки, то есть eiX = 0,е;Х = 1. Тогда размерность М кратна 3 и для любого г > 3

е;У = ¿ei+1 г aiti-s + Н-----1- Зеь

где а;-некоторые скаляры, а.гк =0.

Кроме того, строятся примеры неразложимых альтернативных супермодулей, содержащих в качестве подмодуля стандартный неприводимый супермодуль.

Наконец, в параграфе 9 доказывается утверждение о размерности йор-данова супермодуля с цоколем Reg (или Reg), для которого базис Жордана оператора X состоит из одной клетки (такие супермодули неразложимы):

Пусть М — йердапое супермодулъ над 5(1,2), для которого базис Жордана оператора X состоит из одной клетки, р- характеристика

_ , .. I 21, I делится на р,

основного поля. 1огоа dim М = < , , , ,, . ,

| 21 -f 1 j I = 1 (mod р)

В случае характеристики 3 строятся примеры различных йордановых неразложимых супермодулей над #(1,2), в том числе и не являющихся альтернативными:

ei, ег, ез,... , езк^ > 2^эбразуют базис модуля (ei,е^,ез отвечают Reg или Reg),

е{Х = ej_i, ejJC = О, е4У = е5,е5К = -es,eeY = О,

для любого г > О

sa-цУ = е«+з + 7ев;-4,

&U+2Y = — eei+3!

еб.'+зУ =

cei+4^" = ев;+5,

esi+5^ = —eei+e + 7ее;,

esi+6^ = О,

где 7 — некоторый ненулевой скаляр.

Также приводится пример неразложимого супермодуля с цоколем Reg (Reg) в случае характеристики 5:

ei, е2,... , ею образуют базис супермодуля,

е\Х = 0,е;Х = e;_i,

ei У = е2, c2Y — -с3, е3У = О,

е4У = Зе5,е5К = -е6,

евУ = — Зе7, е7У = Зе8) esY = е9, e$Y — -Зе10, ewY = 0.

Доказано, что в случае характеристики 0 каждый неразложимый супермодуль над 5(1,2), для которого базис Жордана оператора X состоит из одной клетки, неприводим. , •

Литература

[1] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей, Новосибирск. Институт математики СО РАН. 1993.

[2] Джекобсои Н. Алгебры Ли, М.: Мир, 1964.

[3] Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

[4] Зельманов Е.И. О первичных йордановых алгебрах. II, Сиб. матем.

журнал, 24, выпуск 1(1983), 89-104.

[5] Зельманов Е.И. О разрешимости йордановых ниль-алгебр, Исследов.

по теории колец и алгебр,Труды инст. матем. СО РАН, 16 (1989), 37-53.

[6] Зельманов Е. И., Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры, Известия АН СССР, серия Математика, 54, 4(1990), 676-693.__

[7] Кантор И. Л. Йордановы и лиевы супералгебры, определенные алгеброй Пуассона, Алгебра и анализ, Томск, 1989, 55-80.

[8] Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр, Алгебра и логика, 26, 5 (1987), 597-641.

[9] Писаренко Я. А. Структура и представления конечномерных альтернативных супералгебр, Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук, Новосибирск, 1994.

[10] Понтрягин JI.C. Непрерывные группы, М.: Наука, 1984.

[11] Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии альтернативных алгебр над полем характеристики 3, Мат. сб., 2000, т. 191, 6, 127-144.

[12] Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений, М.: Наука, 1989.

[13] Филиппов В. Т. Простые алгебры Мальцева, Алгебра и логика, 15, 2 (1976), 235-242;

[14] И.Н.Херстейп И.Н. Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972,

[15] Шестаков И. П. Супералгебры и контрпримеры, Сиб. матем. журнал, 32, выпуск 6(1991), 187-196.

[16] Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики, Алгебра и логика,36, 6(1997), 675-716.

[17] Jacobson N. Structure of alternative and Jordan bimodules, Osaka Math. J., 6, 1(1954).

[18] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc., Providence, 1968.

[19] Kac V. G. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras, Communs algebra, 5(1977), v. 13, 13751400.

[20] Racine M., Zelmanov E. Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. by S. Gonzalez, KluweT Academic Publishers, 1994, 344-349.

[21] Schaftr R.D. Representation of alternative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. , 73(1953), 452-455.

[22] Schafer R.D. An introduction to nonassociative algebras, London: Acad. Press, 1966.

Публикации автора по теме диссертации:

[23] Трушина М.Н. Неприводимые йордановы супербимодули над простой супералгеброй 5(1,2), Универсальная алгебра и ее приложения: тез. межд. семинара памяти Л.А.Скорнякова, Волгоград, 1999, 65.

[24] Трушина М.Н. Неразложимые представления супералгебры 5(1,2), Тез. IV Межд. алгебр, конф., Новосибирск, 2000, 173-174.

[25] Трушина М.Н. Неприводимые конечномерные йордановы супербимодули над простой супералгеброй 5(1,2), Мат. сб., 2000, т, 191, 9, с. 123-138. .

[26] Трушина М.Н. Неприводимые супербимодули над супералгеброй 5(1,2), Универсальная алгебра и ее приложения:Тр. междунар. семинара, Волгоград: Перемена, 2000, с. 271^279.

Подп. к печ. 15.11.2000 Объем 1 п.л. Зак. 500 Тир. 100 Типография МПГУ

Введение.

1 Основные определения.

2 Иордановы представленияа. 5( 1,2) вучае нулевой характеристики.

3 Иордановы представления супералгебры 5(1,2) в случае конечной характеристики р ф 2.

4 Неприводимые супербимодули типа 1.

5 Неприводимые супербимодули типов 2 и 3.

6 Неприводимые супербимодули типа 4.

7 Неприводимые альтернативные супербимодули над альтернативной супералгеброй 5(1,2).

8 Построение альтернативных неразложимых представлений.

9 Иордановы неразложимые супербимодули над 5(1,2).

Изучение алгебр и их представлений (модулей) является классическим направлением алгебраических исследований. Линейные представления играют важную роль при изучении конечных групп [14], компактных топологических групп [10] , тождеств, выполняющихся в данной алгебре [12]. В рамках структурной теории конечномерных алгебр был выработан общий подход к их изучению. Для важнейших классов алгебр (ассоциативных, лиевых, альтернативных, мальцевских и йордановых) доказано, что каждая конечномерная алгебра над хорошим полем является прямой суммой разрешимого радикала и полупростой подалгебры; полупростая компонента является прямым произведением простых идеалов.

Заметим, что радикал алгебры (как и произвольный ее двусторонний идеал) является модулем над полупростой компонентой.

Первым классом неассоциативных алгебр, подвергшихся серьезному и систематическому изучению, являются алгебры Ли. Описание простых конечномерных алгебр Ли можно найти, например, в монографии [2]. Хорошо известна теорема Г.Вейля о полной приводимости представлений любой полупростой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0. Аналог этого результата справедлив и для других многообразий алгебр, в частности, альтернативных и йордановых.

Классическим примером альтернативной неассоциативной алгебры является алгебра чисел Кэли, построенная еще в 1845 г. Эта алгебра и ее обобщения — так называемые алгебры Кэли-Диксона — играют важную роль в теории альтернативных алгебр: конечномерная простая альтернативная алгебра либо ассоциативна, либо есть алгебра Кэли-Диксона над своим центром [22]. Р.Д.Шейфер [21] и Н.Джекобсон [17] описали строение альтернативных бимодулей над конечномерными альтернативными алгебрами: если А — конечномерная альтернативная алгебра, М — точный неприводимый альтернативный Л-бимодуль, то либо М — ассоциативный бимодуль над ассоциативной алгеброй, либо М — регулярный бимодуль над алгеброй Кэли-Диксона, либо М — бимодуль Кэли над алгеброй обобщенных кватернионов.

Структура неприводимых представлений простых йордановых алгебр была описана около 50 лет назад Н.Джекобсоном [18].

Таким образом, всякий модуль над простой конечномерной алгеброй является прямой суммой неприводимых компонент, структура которых полностью описана. К настоящему времени по модулю простых ассоциативных описаны простые альтернативные, мальцевские и йордановы алгебры без ограничения на размерность [3], [13], [4].

В последние два десятилетия наметился серьезный интерес к изучению супералгебр. Каждая супералгебра является объектом, состоящим из обычной алгебры и модуля над ней. Особый интерес представляют простые супералгебры, в которых соединены некоторым естесственным образом простая алгебра и ее неприводимое представление. Целесообразность изучения супералгебр в значительной степени связана с возможностью их использования при решении известных теоретико-кольцевых проблем. Так с помощью супералгебр А.Р.Кемер [8] решил проблему Шпехта(появилась возможность сводить полилинейные тождества к тождествам от меньшего числа переменных). Е.И.Зельманов решил проблему А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса над полем характеристики 0 [5], показав, что не существует соответствующих первичных супералгебр. В работе [б] Е.И.Зельманов и И.П.Шестаков доказали нильпотентность квазирегулярного радикала свободной альтернативной алгебры над полем нулевой характеристики проблема Жевлакова). Также супералгебры используются для построения контрпримеров [15]. С.В.Пчелинцев доказывал нетривиальность тождеств, опровергая их с помощью некоторой вспомогательной супералгебры [И].

Для решения проблемы Шпехта [8] потребовалось описание простых ассоциативных супералгебр. Для решения проблемы Жевлакова [6] оказалось необходимым описание первичных альтернативных супералгебр. Задача изучения представлений простых супералгебр в различных многообразиях была сформулирована И.П.Шестаковым в Днестровской тетради [1].

В работе [6] Е. И. Зельманов и И. П. Шестаков описали простые альтернативные супералгебры характеристики ф 2, 3. Они оказались либо ассоциативными, либо с нулевой нечетной частью (четная часть при этом является кольцом Кэли-Диксона). И. П. Шестакову в работе [16] удалось снять ограничение на характеристику. При этом среди простых неассоциативных альтернативных супералгебр с ненулевой нечетной частью встречается супералгебра 5(1,2).

Йордановы супералгебры менее изучены, чем альтернативные. В работах В. Г. Каца [19] и Кантора [7] получена классификация простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики 0: Всякая простая конечномерная нетривиальная (т.е., с ненулевой нечетной частью) йорданова супералгебра над алгебраически замкнутым, полем характеристики 0 либо специальная, либо супералгебра Каца, либо супералгебра грассмановых скобок Пуассона.

Над полями положительной характеристики ф 2 классифицированы простые конечномерные йордановы супералгебры с полупростой четной частью [20]. Среди этих супералгебр встречается супералгебра 5(1,2) как супералгебра билинейной формы и аналог эрмитовых матриц с коэффициентами из 5(1,2) .

Эквивалентные общие понятия модуля над алгеброй и представления алгебры восходят к Эйленбергу. Н.А.Писаренко в своей кандидатской диссертации [9] получил описание всех неприводимых конечномерных представлений простых альтернативных супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2 и 3. Согласно [9] альтернативные супермодули, не являющиеся альтернативными модулями, возникают только над ассоциативной супералгеброй матриц вида п \ / х О х! \ где первое слагаемое - четный элемент, а второе - нечетный, ж х, у -скаляры. Эти модули являются 2-мерными над Р и имеют один из трех возможных типов: 1 )М = Рп ф Рт, пи = то, ти = 0, ип = —2т, ит. = —та (# = 0, а = —1)

2)М = Рп ф ^то, пи = то, ти = 2п, ип = 0, ит = п (8 = 0, а = 1)

3 )М = Рп® Рт,

1 + а У таи = —-—то, той = ип = то, шгг = (1 — а)и, где а £ Р — параметр, 8 - ненулевой корень уравнения 82 + а8 + а2 = 0.

Указанные модули попарно неизоморфны при различных наборах параметров.

Представленная диссертация посвящена изучению альтернативных и йордановых представлений алгебры 5(1,2), играющей важную роль при описании структуры простых альтернативных и йордановых супералгебр.

Супералгебра 5(1,2) может быть получена следующим образом из алгебры F[t] обычных многочленов над полем F. Пусть х = li(t) — оператор правого умножения, у = D(t) — оператор дифференцирования по переменной t, 1 - тождественное отображение. На линейной оболочке операторов 1 ,х,у введем градуировку, считая 1 - четным элементом, х и у - нечетными, и умножение: произведение нечетных элементов определим как коммутатор [а, 6] = ab — ba, а произведение любых двух других однородных элементов определим как йорданово произведение а о Ъ = |(аЬ + Ъа). Эта супералгебра и является алгеброй 5(1,2). Отметим, что алгебра 5(1,2) является йордановой, а в характеристике 3 - альтернативной.

Легко понять, что пространство многочленов (относительно естественной градуировки) является неприводимым модулем над 5(1,2), если характеристика равна 0.

Заметим, что группой автоморфизмов супералгебры 5(1,2) является

В первом параграфе даются основные определения и доказывается критерий йордановости супербимодулей над 5(1,2):

Суперкоммутативный супермодулъ М над супер алгебр ой 5(1,2) является йордановым выполнены операторные соотношения:

Sl2(F).

X\Y}=X,

1)

Х,У2] = У,

2) где X = R(x), Y — R(y).

Во втором параграфе вводится понятие стандартного йорданова су-пербимодуля; получена классификация неприводимых конечномерных йор-дановых супербимодулей над 5(1,2) в случае характеристики 0, а именно, справедлива

Теорема 1. Каждый конечномерный неприводимый йорданов супер-бимодулъ над супералгеброй 5(1,2) над полем характеристики 0 является стандартным или получен из него заменой градуировки.

Затем изучаются свойства йордановых супербимодулей в случае конечной характеристики, и в параграфах 4-6 приводится описание неприводимых конечномерных йордановых супербимодулей над 5(1,2) в случае алгебраически замкнутого поля характеристики р ф 2:

Теорема 2. Любой неприводимый конечномерный униталъный йорданов супербимодуль М над алгебраически замкнутым, полем характеристики р ф 2 с точностью до стандартного автоморфизма с.а. совпадает с одним из модулей:

I. (гп - однородный элемент) а) т,тХ,тХ2,. ,тХ2р~1 образуют базис модуля, тХ2р = тУ = О, а - параметр, причем а не является целым числом.

Ь) т,тХ, тХ2,. ,тХ2к образуют базис модуля тХ2к+1 = тУ = 0, тХгУ =

II. (то £ Mo) то, mX, mX2,. . ,mX2p 1 образуют базис модуля, mX2p = Xm,mY = А ~1ЪтХ2р-\ а, X - параметры, 6=0 или Ъ = —а + | не является целым, причем

Л ^ 0. Для различных пар (а, Л) модули неизоморфны. III. (m £ Мо) т,тХ,тХ2,. . ,тХ2р~1 образуют базис модуля, где 7 / 0,/? и — а не являются целыми числами. Модули, соответствующие параметрам (^1,71,01) и (/32; 72; аг) изоморфны тогда и только тогда, когда (71 = 7г)&(а1 = ~ Р2 ~ целое число).

В параграфе 7 из этих результатов получена классификация неприводимых конечномерных альтернативных супербимодулей над #(1,2) (доказывается, что неприводимые супербимодули являются суперкоммутативными). Стандартным альтернативным называется супербимодуль одного из типов:

1) т,тХ,тХ2,. ,тХ5 образуют базис модуля, тХ2р = 7 т,ту = 7 1{ß — а--)тХ2р 2 1 если г = 21,1 ф 0; если г = 21 + 1 тХв — Xm,mY = 0,

1тХг 1, если г = 21,1 ф 0;

I - 1 )тХ{-г, если г = 21 + 1

Л - ненулевой параметр.

2) т, тХ, тХ2,. , тХ5 образуют базис модуля, тХ6 = 7 т,ту = 71(/3 + 1 )тХ5, (ß + l + tymX*-1, если i = 21,1 ф 0; тХгУ = < + tymX*-1, если г = 2/ + 1 где 7 ф 0,/? не является целым числом.

Неприводимый альтернативный супербимодуль с точностью до градуировки совпадает либо с регулярным, либо со стандартным. Неприводимые альтернативные супербимодули можно интерпретировать на языке многочленов: над алгебраически замкнутым полем кроме регулярного модуля и модуля, полученного из него заменой градуировки, существуют 2 серии неизоморфных неприводимых правых прав о альтернативных супермодулей, которые можно получить следующим образом: профакторизуем алгебру многочленов F[t] по идеалу, порожденному многочленом t9 + t6 — ß(t3 -f 1), где ß — ненулевой параметр. В полученной фактор-алгебре возьмем в качестве базиса М0 элементы 1 + i3, t2 + ¿5, t4 + t7. Оператор X является умножением на —t, оператор Y имеет вид D + ß~1 -(а + 1)Х5, где D -обычное дифференцирование, а — параметр.

В параграфе 8 дается способ построения альтернативных неразложимых супербимодулей над 5(1,2). Доказана

Теорема 3. Пусть М — альтернативный неразложимый супербимодуль над В(1,2), содержащий Reg (или Reg) в качестве подмодуля. Предположим, что ei из М образуют базис Жор дана оператора X, причем матрица Жор дана состоит из одной клетки, то есть е\Х — 0, eiX = 1. Тогда размерность М кратна 3 и для любого i > 3 eiY — iei+1 + aie;3 + а2е^ 4 + • • • + 3ei, г<9е ^-некоторые скаляры, a2k = 0.

Кроме того, строятся примеры неразложимых альтернативных су-пербимодулей, содержащих в качестве подмодуля стандартный неприводимый супербимодуль.

Наконец, в параграфе 9 доказывается утверждение о размерности йорданова супербимодуля с цоколем Reg (или Reg), для которого базис Жордана оператора X состоит из одной клетки (такие супербимодули неразложимы):

Пусть М — йорданов супер.м,одуль над 5(1,2), для которого базис

Жордана оператора X состоит из одной клетки, р- характеристика

21, I делится на р,

2/ + 1 l=l(modp) В случае характеристики 3 строятся примеры различных йордановых неразложимых супермодулей над 5(1,2), в том числе и не являющихся альтернативными: е2-, сз- • ■ ■ • (fe > 2)образуют базис модуля (ei, е2- е3 отвечают Reg или Reg), eiX = e^-i, t\X = О, e4Y = e5, ebY = -e6, e6Y = 0, для любого i > 0 eei+iY = e6i+2 + -fe6i-4, ббг+2^ — —Сбг+3, eei+зУ = 7e6i-2, = e6i|5, eei+s^ — -t'6i+6 + 7 ее;, z&i+eY — О, где 7 — некоторый ненулевой скаляр.

Также приводится пример неразложимого супербимодуля с цоколем Reg (Reg) в случае характеристики 5: е1,е2,. , ею образуют базис супербимодуля, е\Х = 0 ,eiX — e;i, i Y — е2, е2У = -с3, е3У = О, е4У = Зе5, е5У = -е6, е6У = — Зе7. е7У = Зе8, е8У = е9, е9У = —Зе10. е10У = 0.

Доказано, что в случае характеристики 0 каждый неразложимый с.упер-бимодуль над 5(1,2), для которого базис Жордана оператора X состоит из одной клетки неприводим.

Результаты диссертации докладывались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерз-лякова в г. Новосибирске (2000 г.) и на международном семинаре памяти профессора JI. А. Скорнякова в г.Волгограде (1999 г.). Результаты диссертации находятся в работах автора [23], [24], [25], [26].

1. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. Новосибирск. Институт математики СО РАН. 1993.

2. Джекобсон Н. Алгебры Ли, М.: Мир, 1964.

3. Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

4. Зелъманов Е.И. О первичных йордановых алгебрах. II, Сиб. матем. журнал, 24. выпуск 1(1983). 89-104.

5. Зелъманов Е. И. О разрешимости йордановых ниль-алгебр, Исследования по теории колец и алгебр,Труды института математики СО РАН, 16(1989), 37-53.

6. Зелъманов Е. И., Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры, Известия АН СССР, серия Математика, 54, 4(1990), 676-693.

7. Кантор И. Л. Йордановы и лиевы супералгебры, определенные алгеброй Пуассона, Алгебра и анализ, Томск, 1989, 55-80.

8. Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр, Алгебра и логика, 26, 5 (1987), 597-641.

9. Писаренко Н. А. Структура и представления конечномерных альтернативных супералгебр, Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук, Новосибирск, 1994.

10. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, М.: Наука, 1984.

11. Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии альтернативных алгебр над полем характеристики 3, Мат. сб., 2000, т. 191, 6, 127-144.

12. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений, М.: Наука, 1989.

13. Филиппов В. Т. Простые алгебры Мальцева, Алгебра и логика, 15, 2 (1976), 235-242;

14. И.Н.Херстейн И.Н. Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972.

15. Шестаков И. П. Супералгебры и контрпримеры, Сиб. матем. журнал, 32, выпуск 6(1991), 187-196.

16. Шестаков И. П. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики,. Алгебра и логика,36, 6(1997), 675-716.

17. Jacobson N. Structure of alternative and Jordan bimodules, Osaka Math. J., 6, 1(1954).

18. Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc., Providence, 1968.

19. Kac V. G. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras, Communs algebra, 5(1977), v. 13, 13751400.

20. Racine M., Zelmanov E. Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. by S. González, Kluwer Academic Publishers, 1994, 344-349.

21. Schafer R.D. Representation, of alternative algebras, Trans. Amer. Math. Soc. , 73(1953), 452-455.

22. Schafer R.D. An introduction to nonassociative algebras, London: Acad. Press, 1966.

23. Трушина M.H. Неприводимые йордановы супербимодули над простой супералгеброй 5(1, 2), Универсальная алгебра и ее приложения: тез. межд. семинара памяти Л.А.Скорнякова, Волгоград, 1999, 65.

24. Трушина М.Н. Неразложимые представления супералгебры В( 1, 2), Тез. IV Межд. алгебр, конф., Новосибирск, 2000, 173-174.

25. Трушина М.Н. Неприводимые конечномерные йордановы супербимодули над простой супералгеброй £?(1,2), Мат. сб., 2000, т. 191, 9, с. 123-138.

26. Трушина М.Н. Неприводимые супербимодули над супералгеброй 5(1, 2), Универсальная алгебра и ее приложения:Тр. междунар. семинара, Волгоград: Перемена, 2000, с. 271-279.