Структура и представления конечномерных альтернативных супералгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

П~1 А П ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

4 ! О и .4

УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

ПИСАРЕНКО НИКОЛАЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

СТРУКТУРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ СУПЕРАЛГЕБР 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

ОМСК 1994

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шестаков И.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Пчелиниев C.B.

кандидат физико-математических наук, Штерн A.C.

Ведущая организация - Московский государственный университет

Защита состоится " /п " tpc^j^J.j 1994г. в ^ часов на заседании Специализированного Совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 64407?,Омск,Проспект Мира,55- .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского гос. университета.

Автореферат разослан " /"э " 1994г.

Учёный секретарь специализированного совета—. /7

д.ф.-м.н. /wJ&m^^1^^^/ В.А.Романьков

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В последнее время супералгебры были весьма эффективно применены для решения ряда трудных проблем в теории колец. Так, например, с помощью супералгебр А.Р.Кемер решил проблему Шпехта [11], Е.И.Зельмановым была установлена глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса [7] и решена проблема А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса [6], Е.И.Зельмановым и И.П.Шестаковым доказана нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры [8] . Этот ряд важных результатов стимулировал изучение самих супералгебр, наряду с изучением способов их применения.

В настоящей диссертации изучаются альтернативные супералгебры и их представления. Структурная теория конечномерных альтернативных алгебр была построена еще в 30-е - 40-е годы усилиями М.Цорна [31] и Р.Д.Шейфера [24,25]. Затем Р.Д.Шейфером [26] было дано описание неприводимых альтернативных бимодулей над альтернативными алгебрами.

, Альтернативные супералгебры впервые появились в неопубликованной диссертации Д.Санжаны [18], выполненной в' 1982 году под руководством профессора К.Маккриммона. В этой работе описываются, в частности, простые конечномерные, альтернативные супералгебры над полем, характеристики не 2,з в предположении, что четная часть полупроста. Позднее (1990 г.) Е.И.Зельмановым и: И.П.Шестаковым [8] было показано| что всякая первичная альтернативная'супералгебра над полем характеристики не г,з является альтернативной алгеброй. После появления этого результата, естественно было рассмотреть вопрос о строении конечномерных альтернативных .супералгебр и их представлений. Вопрос об ойисании неприводимых • альтернативных

супербимодулей был поставлен И.П.Шестаковым [1]. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Перенесение теоремы Веддерберна об "отщеплении" разрешимого радикала, доказанной' для' альтернативных алгебр' Р.Д.ШеЙфером [25], на случай конечномерных альтернативных супералгебр; описание альтернативных супербимодулей. над полупростыми альтернативными супералгебрами и изучение сингулярных расширений альтернативных супералгебр с помощью альтернативных-супербимодулей.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе широко применены метода Нирсовских разложений и линейной алгебры. В третьей главе применены также методы гомологической алгебры. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. ' •

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.'Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть полезны для рецюния аналогичных проблем в других классах супералгебр. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на II Международной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова в г. Барнауле (1991 г.), на спец. семинарах "Кольца близкие к ассоциативным","Теория колец" им. А.И.Ширшова в Институте математики СО РАН и семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском гос. университете.'

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора 32,33,34.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 54 страницы машинописного текста. Содержит введение, три главы/ 9 параграфов, список литературы из 34 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении дан краткий обзор работ по рассматриваемой тематике, сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и описаны методы их получения. Глава I. В §1 даются основные определения и развивается аппарат пирсовских разложений для альтернативных супералгебр.

Пусть А0 ,А1 - векторные пространства над полем .

Альтернативная супералгебра А над Р - это г2-градуированная алгебра над Р с операцией 1 умножения удовлетворяющей следующим условиям:

Где (х,у,г)=(ху)г-х(уг) , ^,J,ke 0,1 И а^е AJ,z}e Ак .

Идеал I- супералгебры А называется градуированным .если 1-1аА0 + 1пА1 .

Супералгебра А называется простой .если А2*«» и она не содержит собственных градуированных идеалов.

Опираясь на результаты работ А.Р.Кемера [10], Е.И.Зельманова, И.П.Шестакова [8] получаем описание простых альтернативных супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики не г,з:

1) В=В0=С - алгебра Кэли-Диксона над

2) { § 3 | Х.УеМ^},

-о= {кю}. ник

гдеРЧР,[|] , . Р Ч '

4) в=В0=Мпг?; .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть'А - конечномерная альтернативная супералгебра над алгебраически замкнутым полем ? характеристики *г,з, N - ее

разрешимый радикал. Тогда фактор-супералгебра является суммой

простых супералгебр вида 1)-4).. ,

В §2 доказывается основной результат этой главы. Супералгебру А над полем. Р будем называть . супералгеброй типа С , г1! <"Р;,М гР;и, ы[р,ч)(Р) ш Ы (I) -если для некоторого

«I Л Т1» Т1

расширения К поля Р супералгебра А^ изоморфна соответственно супералгебрам С , (М г/О.Н,(К)) . М(„Р,Ч)(К) с/О•

П <1 Т» Т1 ■ ;

ТЕОРЕМА. Пусть А - альтернативная супералгебра над полем Р характеристики *г,з, N - ее разрешимый радикал, А/Я=В1+..+ВЬ , где В{ '- простые супералгебры. Пусть, далее, "алгебра А/И.

сепарабельна.и В - подалгебра в А/Н вида В=В( +..+В{ ,где среди

< р

Bt нет супералгебр типов <"Р;,Ы(сРл и Ы2''' ''гР; . ) •

Тогда в Л найдется подсупералгебра 5 , изоморфная В . Доказательство этой теоремы опирается на результаты работы [25] и на результаты §1.

В §3 приведены два примера альтернативных супералгебр А : и А/И* и(21'1)(Р) , у которых радикал не

отщепляется.

ПРИМЕР I. Рассмотрим супералгебру А ,где Л0=Р<?+Рп ,

А; =Ти.+?т .Элемент е - единица. Радикал #=Рп+Рт ,

Н2= (о> . Остальная часть таблицы умножения следущая : 2

и =е+и , пи=—т , ип=т , ти=-п , ит=п

Очевидно,что А/Я - простая супералгебра вида 2) при п=) . ПРИМЕР 2. В этом примере супералгебра А/И вида з) при п=2 . Четная и нечетная части следующие : Л0=Рег(+Ре22+Рвв2<+Ре©;2 , 4?=Рееп+Рев'22+Р©2?+Ре)2 .Элемент е лежит в центре супералгебры А .и е2=о .Умножение между элементами eiJ , Iт,2 задается

также,как умножение между матричными единицами, за исключением элементов е21 и е?2 : е2^=е<?(2 , . Радикал

Существование этих примеров показывает существенность ограничений в теореме §2 и наряду с этим ставит задачу о вычислении второй группы "когомологий для. супералгебр гМ}(?) ,МТ(?)) и

с коэффициентами в супербимодулях над ними. Однако для. выполнения . этой задачи необходимо • иметь описание альтернативных супербимодулей над отмеченными супералгебрамн. Глава 2. В этой главе производится описание альтернативных, супербимодулей над полупростыми альтернативными супералгебрами. §1. Сначала дается определение: Пусть А=А0+А) призвольная альтернативная супералгебра, а М=М0®М; бимодуль над ней. Вимодуль М называется альтернативным А-супербимодулем, если нулевое расщепляемое расширение А®М= (А0ъЫ0 )+(А1®Н1) является альтернативной супералгеброй. Затем свойства пирсовского разложения переносятся с супералгебр на супербимодули и подобно тому, как в работах [26¡29] делается редукция к рассмотрению унитальнах альтернативных супербимодулей над простыми альтернативными .супералгебрами. Заметим также,'что случай тривиально градуированных супералгебр 1Г и 4) можно опустить . в силу работы Р.Д.Шейфера [26], так как супербимодули над такими супералгебрами есть просто альтернативные бимодули над альтернативными алгебрами, описание которых-известно [28].

Результаты §2 можно выразить коротко. Альтернативные супербимодули над супералгебрами типа 2) при п>г и типа 3) над полем характеристики не г ассоциативны.

?

В §3 рассмотрен случай супералгебры 2) при п=г и предполагалось, что основное поле алгебраически замкнуто. В этом случае возникает серия неразложимых супербимодулей в , где г=о,),... ; а,в связаны соотношением а2+ас+«2=г . Существование, единственность и строение таких супербимодулей устанавливает

ТЕОРЕМА 2. Для любого г=о,/,... и пары (а,б) такой, что а2+ав+в2=т существует единственный с точностью-до изоморфизма . неразложимый альтернативный сМггР.>,лР;;>-супербимодуль М с .. цоколем Ка е и' сИтМ0~г+1 . ,

Здесь К к=К° - неприводимый Л-супербимодуль. Опишем кратко

ОС ^ О С11 о . 1

как устроен супербимодуль ¿и=Я£ в предположив для простоты, что 6*0 и ' .( Эти ограничения являются не существенными и супербимодули е при а~о или в=в' устроены аналогично). Итак,

й1т(И0)=<Игя(и1)=г+1 , Ы0- £ п{ , Мг=иМ0 и=Р©+Ри,и2=е)

т{±ип{ . Таблица умножения имеет вид:(считаем,что п_г,т_г=о) где элемент определяется следующим образом. Положим

х=-са+2а.) , у=-(2б+а) , Т0ГДЭ чс=агп(+.. .+а(+}п0 , ГДв <*,=~ ,

После описания альтернативных супербимодулей можно перейти к подсчету второй группы когомологий для супералгебр

и и(г1,1)(Р) . Это делается в главе 3. Глава 3. В §1 даются основные определения,: и доказываются ' необходимые результаты о расширениях альтернативных супералгебр.. Пусть Л - альтернативная супералгебра, Я,Ж - альтернативные

Л-сударбимодули.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Однородное линейное отображение агН-Я называется

супергомоморфизмом супербимодулей, если а.(та)=а.(т)а ,

а«ш)=(-1 р^ымп) , где аеЛ- , аeL-(•S,4J . •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Альтернативная супералгебра В называется расширением

альтернативной супералгебры 1.с помощью альтернативного Л-суперби-

модуля М, если существует короткая точная последовательность

о —► М В А -—» о , где ¡3 - эпиморфизм; • а - супермономорфизм В-супербимодулей. Сутарбимодуль М в этой последовательности рассматривается как индуцированный В-суперби-модуль и считается супералгеброй с тривиальным умножением. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Два расширения В,В' называются эквивалентными, если существует гомоморфизм ср такой, что является коммутативной следующая диаграмма:

о — й | — о . а' В' р»

Пусть Ье{0,1}, положим 2^(А,Н)={П/1г:АхА~Ы,П(А1,А^)5М . Ь. удовлетвор. условию Р(а,Ъ,0)=<-1)аЬ+1?(Ъ,а,с)=<-1)Ъс+1¥(а,с,Ъ) , Где ?(а,Ъ,с)=1Ка,Ь)о+Ь(аЬ,о)-(-1 )кааЬ(Ь,о )-Н(а,Ьс ) >,

Ъг(А,Ы)=г^(А,Ы)Ф^(А,М) - пространство коциклов , В2 (А,М)-{Н/?1(а,Ъ)=-^(аЪ)+(-1 ^фСЬЛ-Ц^аЛЪ , ¡1=1! } , В2<А,Ы)=Вд(А,М)®Вг1(А,М) - пространство кограниц . ОПРЕДЕЛЕНИЕ.(основное) Фактор-группа Н2(А,И)=г2(А,Ы)/В2(А,Ы) называется второй группой когомологий альтернативной .супералгебры А с коэффициентами в 4-супербимодуле М.

Как обычно в теории когомологий, доказывается, что имеется взаимно однозначное соответствие между множеством классов экви-

валентных расширений А с помощью II и элементами группы Нг(А,М) .

Основной результат §2 следующий: ТЕОРЕМА. Пусть %(2)*2, A-H^',1)(F) , тогда И2(A,reg(A))=(0}®(F®F> , Н2(A,reg(A))=(F<bF}®<0} . В §3 доказана

ТЕОРЕМА. Пусть & неразложимый Л-супербимодуль, x<F)*3 . Тогда Ez(A,Kr0ti>=<oyфР , Н2(А,К^_1 )=F®<0} ,

H2(A,K^sj=<o) , если fa.ajst((o,i),(0,-i)> .

Автор выражает признательность своему научному руководителю И.П.Шестакову за постановку задачи, внимание к работе и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Днестровская тетрадь, сборник нерешенных задач по теории колец и модулей, Новосибирск, Изд.4, 1993.

2. Джекобсон Н., Теория колец, М., ИЛ, 1947.

3. Джекобсон Н., Отроение колец, М., ИЛ, 1961.

4. Джекобсон Н., Алгебры Ли, М., Мир, 1964. •

5. Жевлаков К.А.,Слинько A.M..Шестаков И.П..Ширшов А.И., Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.

6. Зельманов Е.И., 0 разрешимости йордановых ниль-алгебр,

*

Исследования по теории колец и алгебр, Труды института математики СО РАН, 16(1989), 37-53.

7. Зельманов Е.И., Об энгелевых алгебрах Ли, ДАН СССР, 292, >66 (1987), 265-268.

8. Зельманов Е.И..Шестаков И.П., Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной

альтернативной алгебры, Изв. АН СССР, сер. матем., 54,' М( 1990), 676-693.

9. Картан А.,Эйленберг С., Гомологическая алгебра, М.,ШГ,1960.

10» Кемер А.Р., Многообразия и ¿^-градуированные алгебры, Изв. АН СССР, сер. мат., 48, ^65(1984), 597-641.

11. Кемер А.Р..Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр, Алгебра и логика, 26, Jfc (1987),597-641.

12. Кузьмин Е.Н..Шестаков И.П., Неассоциативные структуры, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 57(1990),179-266.

13. Маклейн С., Гомология, М., Мир,1986.

14. Пирс Р., Ассоциативные алгебры, М.Мир,1986.

15. Херстейн И., Некоммутативные кольца, М., Мир,1972.

16. Шестаков И.П., Неприводимые представления альтернативных алгебр, Мат. заметки, 26, J©(1979), 673-686.

17. Benamor Н..Pinczon G., Extension of representation of Lie superalgebras, J.Math.Phis..32, Ж3(1991),621-629.

18. Sanjana D.M., Associative and. alternaitive superalgebras, Department of Math., University of Virginia, 1982.

19. Gersterihaber M., A Uniform cohomology theory for algebras, Proc.Nat.Acad.Sci.,52(1964),626-629.

20. Gerstenhaber M., On the deformations of rings and algebras, Ann. of Math.,79(1964),59-103.

21. Glassman N.D., Cohomology of nonassooiative algebras, Bull. Amer. Math. Soo.,74(1968),590-594.

22. Glassman N.D., Cohomology of Jordan algebras, J. Algebra, 15(1970),167-194.

23. Glas8man N.D., Oohomology of nonassociative algebras, Pacific J. Math., 33, *3(1970),617-634.

24. Schafer R.D., Alternative algebras over an arbitrary field, Bull. Amer. Math. Soc., 49(1943),549-555.

25. Schafer R.D., The Wedderburn prinoipal theorem for alternative algebras, Bull. Amer. Math. Soc.,55(1949), 604-614.

26. Sohafer R.D., Representation of alternative algebras, Trans. Amer. Math. Soo.,73(1953),452-455.

27. Schafer R.D., An introduction to nonassociative algebras, London, Aoad. Press,1966.

28. Jacobson N., Structure of alternative and Jordan bimodules, Osaka Math. J. ,6,JiI(I954).

29. Jacobson N., Structure and representation of Jordan algebras, Providence,R.I.,1968,X,453.

30. Wedderburn J.H.M., On hypercomplex numbers, Proc. bond. Math. Soo.,2, Jf6(I908),77-118.

31. Zorn M.,.Theorie der alternativen ring, Abh. Math. Semi. Hamburg. Univ.,8(1930),123-Г47.

32. Писаренко H.A., Ведцерберново разложение в конечномерных альтернативных супералгебрах, Тез. Межд. конф. по алгебре, Барнаул, 1991,93-93. .

33. Писаренко H.A., Ведцерберново разложение в конечномерных альтернативных супералгебрах, Алгебра и логика,32,*4(1993), 428-440.

34. Писаренко H.A., Строение альтернативных супербимодулей, Алгебра и логика, в печати.