Операторы Лапласа и представления супералгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение . стр.

ГЛАВА I. ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ . . стр.

§ I. Конструкция функтора.точек.и.его.свойства . » стр.

§ 2. Теорема Шевалле . стр.

§ 3. Алгебры и z(p(4)стр.

§ Ц. Гомоморфизм Хариш-Чандры . стр.

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В

ПРОСТРАНСТВЕ ТЕНЗОРОВ . .стр.

§ I. Предварительные сведения.и.вспомогательные конструкции . . . .стр.

§ 2. Разложение тензорного пространства: случай. алгебры .стр.

§ 3. Разложение тензорного.пространства:.случай алгебры .стр.

Теория супергрупп и супералгебр Ли и их представлений интенсивно развивается в настоящее время. Бурное развитие этой теории вызвано многочисленными приложениями суперсимметрий в физике. Как известно, основной задачей теории представлений является задача описания неприводимых представлений (включая их явные модели) и вычисления их характеров, С этой задачей тесно связаны задачи описания алгебр операторов Лапласа, а также алгебр инвариантных полиномов. Первой из работ в которых использовались операторы Лапласа, была работа Ф.А.Березина [i] . В ней, используя счетное семейство операторов Лапласа и выделяя их радиальные части, была получена формула для характеров невырожденных неприводимых конечномерных представлений супергруппы \J(p,<j) . В.работе [33] было дано обобщение идей Ф.А.Березина на простые супералгебры Ли.с невырожденной формой Килинга. Выделяя класс типических представлений (т.е. тех представлений, которые однозначно определяются своим инфинитезимальным характером) и доказывая аналог теоремы Шевсшле об инвариантных полиномах, автор получает формулы для характеров этих представлений. Кроме того, отмечается наличие симметризации между симметрической о обертывающей алгеброй и строится аналог гомоморфизма Хариш-Чандры. Позднее в работе [2l] было указано явное правило для симметризации и описаны алгебры операторов Лапласа важных для физических приложений супералгебр Ли малых размерностей.

Первые серьезные результаты о структуре алгебр операторов Лапласа были получены Ф.А.Березиным в серии работ [25] , [2б] , [27] , [28] [29] посвященных теории конечномерных представлений супергрупп. Особенно следует отметить работу [28] . Пусть - конечномерная комплексная супералгебра Ли с невырожден

- ц ной четной инвариантной билинейной формой, причем ^ -редуктив-на j - подалгебра Картана совпадающая со своей четной частью, IV - группа Вейля 6V- . Пусть кроме того = © (Я* , cLlm ofo ^d. для всякого . Если £ ограничение инвариантной формы на ^ ' ^ а » то теорема 3.1 из [287 утверждает, что гомоморфизм ограничения индуцирует изоморфизм алгебры инвариантных полиномов на 6Р и подалгебры в W состоящей из таких полиномов, что для любого нечетного корня оС . Здесь / - производная £ по направо лению вектора , а (оС) - идеал порожденный оС в S(^) •

Ввиду наличия невырожденной инвариантной билинейной формы эта теорема описывает также инвариантные элементы симметрической алгебры и следовательно (ввиду наличия .симметризации) операторы Лапласа, как векторное пространство над {Г

В работе [32J выписанв последовательности операторов Лапласа через элементы канонического базиса для супералгебр Ли серии , st(n,,m)(ibti7i), osp(m,zъ) (случай супералгебр 0j£(n,/n>)9 osp(ze,Z%) рассмотрен также в [26J ). Кроме того для этих операторов указаны тождества порядка равного размерное- • ти подалгебры Картана в терминах старших весов. Наконец в последнее время появилось большое число работ относящихся к теоретической физике (см. например [22j , [23j , [24] , [3l] ) использующих диаграммы Юнга для описания представлений супергрупп Ли в тензорных пространствах. Однако, существенным недостатком этих работ является отсутствие строгих доказательств и прямой связи с симметрической группой, как это имеет место для групп Ли.

Изучению конечномерных неприводимых представлений, алгебр операторов Лапласа, алгебр инвариантных полиномов и посвящена диссертация.

Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава начинается обзором известных результатов по соответствующему вопросу;

Первая глава посвящена исследованию алгебр операторов Лапласа и инвариантных полиномов; Теорема Ф.А-.Березина обобщается на все простые конечномерные супералгебры Ли ( кроме серий Q и

Ы ). При этом используется вариант фактора точек близкий к тому который использовал Ф.А'^Березин. Более точно каждой супералгебре Ли сопоставляется алгебра Ли = > где А -грассманова алгебра с достаточно большим числом независимых образующих. При этом элементы алгебры ) реализуются как, функции специального вида на л со значениями в А доказывается (Лемма 4)» что инвариантность полиномиальной функции относительно (fj, , эквивалентна инвариантности соответствующей функции на , относительно fyА . Это позволяет использовать теории групп и алгебр Ли при описании инвариантов, в § 2 главы I содержится доказательство аналога теоремы Шевалле. Пусть 0J. - простая супералгебра Ли отличная от <2 и Н . Д о и множество четных и нечетных весов относительно подалгебры Картана / ^ . Пусть Л£ /-jSeЛг и Zf<£Adj

W - группа Вейля для супералгебр Картановского типа, и группа Вейля для остальных супералгебр. Если гыь{dim fy* , olir* (f^j для всякого ^ » то

Теорема I §2 утверждает, что ^алгебра инвариантных полиномов изоморфна подалгебре в $>(£*) » состоящей из таких / , что да * € Si , bifeM • где ^ efcfyi'ff6!) * Пусть dchb ft, ^^fti = г< (друГИХ слУчаев не встречается) Zi ^ € (Jk00 такие, что [ Y± рс , * = ^ 1 /"£ ^ tZ.cJu Тогда Теорема 2 утверждает, что алгебра инвариантных полиномов на изоморфна подалгебре /е S(£*) таких, что € fo6j для к £ , Ю^Я)^ /е .

Отдельно рассмотрен случай супералгебры Q, . Для неё теорема Шевалле справедлива в своем обычном варианте: существует конечная супергруппа (т действующая на так, что гомоморфизм ограничения индуцирует изоморфизм алгебры инвариантных полиномов и G инвариантных элементов из . В §3 главы I описаны алгебры операторов Лапласа для супералгебр Ли й и Р . Доказывается (Теорема 5),-что для К » 3 центр сосг*тоит из констант. Пусть р Q, j? $ проекция параллельно Q - & Q , тогда Теорема 4 §3 утверждает, что для осе А±

M'i сС*0 о относительно fa ), гомоморфизм ограничения индуцированный проекцией задает изоморфизм алгебры инвариантных элементов в и подалгебры тех / е S (fa) (И/ - группа Вейля й 5- ), для которых flccf 6(1*) , где е [q?, Q~*-j , Последний параграф главы посвящен доказательству того, что гомоморфизм Хариш-Чандры определенный в [33] является изоморфизмом Z(fy) жЩ) '-{i^^tjf. для где hc^eC&jf, FJ^^J} при условии, что простая супералгебра Ли с невырожденной формой Килинга в нечетные корневые подпространства одномерны. В этом же параграфе построен гомоморфизм Хариш-Чандры для супералгебры Q, и доказано, что он осуществляет изоморфизм и подалгебра в S описанной выше.

Вторая глава посвящена описанию конкретных моделей неприводимых представлений в пространстве тензоров и их применениям. Первый параграф содержит необходимый подготовительный материал, в частности, конструкцию представления симметрической группы в тензорном пространстве, теорию проективных представлений симметрической группы и т.д',; Эти результаты объясняют в частности использование диаграмм Юнга для описания подпредставлений супергруппы QL и других в тензорной алгебре как это сделано в [22] ,

23] . Известно, что все неприводимые представления алгебр Ли серии А К/ можно получить, разлагая тензорные степени тождественного представления. В §2 главы 2 мы разлагаем тензорные степени тождественного представления супералгебр Ли серии (fits , обобщая результаты работ [22] , |23] , М , [24] .

Теорема 2 §2 утверждает, что коммутант алгебры в тензорах £ -того ранга является групповой алгеброй симметрической группой порядка /С . В частности, тензорная алгебра тождественного представления - вполне приводимый (jjt, модуль. Доказывается результат, который можно назвать первой основной теоремой теории инвариантов супералгебры Gjt . Указаны ограничения на старший вое неприводимого f модуля при которых он является подмодулем в тензорной алгебре,, а также формула для кратности веса. В §3 главы 2 аналогичные соображения применяются к супералгебре v d . В Теореме 4 §3 утверждается, что коммутантом алгебры & в тензорах К -того ранга является полупрямое произведение групповой алгебры симметрической группы и Клифордовой алгебры порядка tt . Это позволяет используя теорию представлений этого полупрямого произведения, получить формулу для характеров неприводимых GL подмодулей в тензорной алгебре.

Основные изложенные в диссертации результаты опубликованы в работах автора [тб] , [[7] , [l8j , [ад] ,

1. Березин Ф.А. Представление супергруппы X/(p,Cj).-функц.анализ., 1976, т. 10, в. 3, с.70-71.

2. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-щими переменными. М.: МГУ, 1983.

3. Бернштейн И.Н., Лейтес Д.А. Неприводимые представления конечномерных супералгебр Ли серии Л/ , в сб. Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯГУ1979.

4. Бернштейн И.Н., Лейтес Д.А. Формула для характеров неприводимых конечномерных представлений супералгебр Ли серийQri и . S t . ДАН Болгарии 1980, т.ЗЗ, J28, с.1049-105I.

5. Бурбаки Н Алгебра. Кольца, модули,формы. М.: Наука, 1966.

6. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971.

7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. I-Ш, УП-У1Е, М,: Мир, 1976, 1978.

8. Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления, М. : ИЛ., 1948.

9. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Мир, 1982.

10. Диксмье 1. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.

11. Дьедоне 1., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974.

12. Лейтес Д.А. Спектры градуированно-коммутативных колец,- УИН, 1974, т.29, в.З, с.209-210.

13. Лейтес Д.А. Формулы для характеров неприводимых представлений простых супералгебр Ли. Функц.анализ. 1980, т.14,в.2, с.35-38.

14. Лейтес Д.А. Введение в теорию супермногообразий. УМН, 1980, т.35, в.1, с.3-57.

15. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: Карельский филиал АН СССР, 1984.

16. Сергеев А.Н. Инвариантные полиномиальные функции на супералгебрах Ли. ДАН Болгарии, 1982, т.35, 15,с.573-576. .

17. Сергеев А.Н. Представление супералгебр Ли OJt (л} т,) и Qfo) в пространстве тензоров, функц. анализ, 1984, т.18,в.1, с.80^-81.

18. Сергеев А.Н. Тензорная алгебра тождественного представления как,модуль над супералгебрами Ли, и di^u) .Мат. сборник, 1984, т. 123, J3, с.422-430.

19. Харстхорн Р. Алгеброическая геометрия, М,: Мир, 1981.

20. Kcu Y, Qr, eZassCcaC ^oe su,peia,lge£bCL£, — tn, :Notes in, Mat&. v. Yo%& : Sptc^cjet, 19 ЪЦ, Кал У,of eCcLssCca? goe, s, Comnv- ACgetw, l ir. 5~, p. 889 - 89?.