Инварианты и представления классических супералгебр Ли и их приложения к квантовым интегрируемым системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003464573

На правах рукописи

Сергеев Александр Николаевич

ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАНТОВЫМ ИНТЕГРИРУЕМЫМ СИСТЕМАМ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

• з;.:/.?

Санкт-Петербург - 2008

003464573

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Научный консультант : доктор физико-математических наук, профессор А.М. Вершнк

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Э.Б. Винберг доктор физико-математических наук П.П. Кулиш доктор физико-математических наук С.М. Хорошкин

Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации им, A.A. Харкевича РАН

Защита состоится /Л ¿¿/¡СП^-Х Л 2009 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д. 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан f fi/J

2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико математических наук

А.Ю. Зайцев

1. Общая характеристика работы

Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представления". В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централизаторные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терия централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Вендля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория супемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [16], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда-Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга-Юциса-Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [4] проективных аналогов симметризаторов Юнга. В работе [13] проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиана супералгебр Ли серии q.

Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от конечного числа векторов и ковекторов, т.е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [1], [2], [6], [7]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей

з

теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вейля и описание централизаторных алгебр. Централизаторные алгебры и дуальные пары Хау классических супералгебр Ли изучались в работах А. Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи, X. Ванг, С. Ченг и В. Ванг и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно централизаторными легко следует из супсраналога классической теории инвариантов.

Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах [8] и [9]. Эти работы послужили началом ситематического исследования квантовых интегрирыемых систем с точки зрения суперал-герб Ли и наоборот, использованию методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических супералгебр Ли. Впервые предельные случаи таких аналогов (суперфункции Шура) появились в работах А. Вершика и С. Керова по асимтотической теории представлений симметрической группы и в более общем виде (суперполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькова и Г. Ольшанского. Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [8] и [9], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суперполиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Весе-лова, М, Фейгина и О.Чалых под названием деформированных квантовых систем Калоджеро-Мозера. Аналогично, в работе [10] классические проективные функции Шура были интерпретированы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.

Следующим естестванным шагом было построение общей теории квантовых интегрируемых систем связанных с системами корней простых супералгебр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Сергановой под названием обобщенной системы корней. В работе [11] было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интегралов был предложен в работах [12], [15]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро-Мозера

типа А (включая и разностный аналог) может быть получена как ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это последнее кольцо было описано в работе [14] (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [3]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Гротендика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естественнй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгебр Ли.

Актуальность темы. В работе изучаются современные вопросы теории инвариантов и представлений супералгебр Ли, а также их связи с квантовыми интегрируемыми системами. Построен аналог классической теории инвариантов для неисключительных классических простых супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов. Для образующих типа скалярных произведений, приводится описание соотношений. Развивается общая теория базисов Гель-фанда-Цетлина и на ее основе, с помощиью метода Вершика-Окунькова строится полунормальная и ортогональная формы Юнга для проективных представлений симметрической группы. Строятся также проективные аналоги симметризаторов Юнга, отличные от симметризаторов построенных М. Назаровым. Доказана гипотеза Г. Ольшанского о центра-лизаторной конструкции Янгиана для сунералгебр Ли серии q.

Показано, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керовым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским при значениях параметра 1,1/2 могут быть интерпретированы как сферические функции на некоторых симметрических суперпространствах. Кроме того доказано, что сами полиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на некоторых симметрических суперпространствах. Построена алгебра дифференциальных операторов для которых эти фунции являются общими собственными. В частности, это дает есстественную интерпретация результатов полученных ранее Р. Стембриджем в контексте алгебр Гекке связанных с определенными парами Гельфанда.

Описаны кольца конечномерных представлений классических супералгебр Ли. В качестве следствия, приводится еще одно доказательство теоремы описывающей инвариантные полиномы на простых конечномерных классических супералгебрах Ли. По каждой обобщенной системе корней построен деформированный аналог оператора Калоджеро-Мозе-ра, что является обобщением соответствующего результата М. Ольша-нецкого и А. Переломова для полупростых алгебр Ли. Показано, что

деформированные операторы Калоджеро-Мозера для систем корней типа А могут быть получены, как ограничения бесконечномерных классических систем того же типа. Это обстоятельство позволяет доказать еще одним способом интегрируемость соответствующей деформированной системы и получить все основные формулы для соответствующих собственных функций. В случае общего значения параметра получено описание идеалов п алгебре симметрических функций инвариантных относительно алгебры интегралов задачи Калоджеро-Мозера-Сазерленда.

Цель работы состоит в развитии теории представлений и теории инвариантов супеалгебр Ли и разработке связей этой теории с классическими задачами теории представлений и математической физики.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построен аналог классической теории инвариантов для классических неисключительных супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов и соотношений между ними.

2. Разработано обобщение классической теории базисов Гельфанда-Цетлина на случай цепочки конечномерных полупростых Ъч - градуированных алгебр. В качесстве приложения, на основе метода Вершика-Окунькова, строится теория проективных представлений симметрических групп. Построены аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп.

3. Проведена централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли серии ч.

4. Дана интерпретация деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда как радиальных частей операторов Лапласа на некоторых симметрических суперпространствах.

5. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на определенных симметрических суперпространствах.

6. Описаны кольца Гротендика категории конечномерных представлений классических супералгебр Ли. Показано, что описание может быть задано в терминах инвариантов некоторого конечного группоида, который естественно считать аналогом группы Вейля в случае полупростых конечномерных алгебр Ли.

7. Предложена общая теория деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда на основе понятия обобщенной системы корней. В случае классических серий приводится доказательство их интегрируемости.

8. Построены бесконечномерные аналоги систем Калоджеро-Мозера типа А. Показано, что деформированные системы типа А(п,т) могут быть получены как ограничения соответствующих бесконечномерных.

Достоверность полученных результатов обеспечивается полнотой и строгостью приводимых доказательств, апробацией результатов работы на многочисленных конференциях и семинарах, проверкой части результатов работы в работах других авторов.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты применимы в теории представлений, теории интегрируемых систем, теории специальных функций, математической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Математическом Инститите Стокгольмского Университета (Швеция), Математическом Институте Ньютона в Кэмбридже (Англия), Университете Манчестера (Англия), Университете Глазго (Англия), Университете Лавборо (Англия), на семинаре Э. Винберга в Московском Государственном Университете, на семинаре A.M. Вершика в ПОМИ, на семинаре Дж. Фелдера (Цюрих);

на международных конференциях:

- Теоретико- групповые методы в физике (Дубна,1999)

- Специальные функции 2000 (Аризона, 2000)

- Некоммутативные структуры в математике и физике (Киев, 2000)

- Полиномы Джека, Холла-Литтлвуда и Макдональда (Эдинбург, 2003)

- Квантовые симметрии и суперсимметрии (Дубна, 2005)

- Алгебраические аспекты интегрируемых систем (Глазго, 2007)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

Структура и объем диссертации. Дисертация состоит из введения,

пяти глав, разбитых на секции и списка литературы. Работа занимает 252 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 175 наименований.

Основное содержание работы

Во введении подробно изложены мотивировки данного исследования, дан краткий литературный обзор, описано содержание диссертации по главам и приведены формулировки основных результатов. Сформулированы гипотезы и перспективы дальнейших исследований.

Содержание главы 1. Эта глава посвящена построению "супераналога" классической теории инвариантов. Предметом классической теории инвариантов является описание инвариантных (относительно заданной группы) полиномиальных функций зависящих от заданного числа векторов и ковекторов из некоторого фиксированного представления. Для супералгебр Ли естественной является следующая постановка задачи.

Пусть V будет конечномерным суперпространством над С и g произвольная матричная супералгебра Ли, т.е., подсупералгебра Ли в д!^). Под классической теорией инвариантов для 0 мы подразумеваем описание g-инвариантных элементов алгебры

а*« = s{vp © п(у)я ® v*k ф п(к)*'),

где для 0 модуля L, LP обозначает прямую сумму р копий L. На алгебре естественным образом действует супералгебра Ли Ql(U) и ее

обертывающая алгебра 2J = U(gl(i/)®0i(W)), где dim U = (jp, q), dim W —

7

(к, I). Элементы из Ш коммутируют с естественным действием д[(К). Они будут называться операторами поляризации. Следовательно алгебра инвариантов является модулем над алгеброй 23. Так как алгебра 21 является полупростым 58 модулем, то и алгебра инвариантов также является полупростым 23 модулем. В каждом случае мы явно описываем разложение алгебры инвариантов на простые 23 модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр. Мы также описываем минимальное множество образующих. Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих М обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над ЯЗ. В случае супералгебр Ли, не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтому, в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных 23 подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих можно взять любой базис этого модуля. Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает алгебру инвариантов. Явное описание образующих основанное на симметризато-рах Юнга приведено в работах [2],[7]. Но это описание выглядит все еще недостаточно простым. Интересной представляется задача описания инвариантов в полном кольце частных алгебры 21^.

В качестве примера, приведем описание алгербы инвариантов для ортогонально симплектической супералгебры Ли. Существование четной 05р(У)-инвариантной формы определяет изоморфизм алгебр и озр(У)-модулей 21^ ~ Следовательно мы можем ограничиться случаем

р — д = 0 и рассматривать только алгебру 21^. Далее, поскольку все рассматриваемые д модули являются тензорными, то они допускают продолжение действия зо(Уо) до действия ортогональной группы О(Уо), что позволяет определить 2/22 градуировку на алгебре инвариантов

= {/ е % 19/=свд/, ^ £ от

Как уже говорилось выше,описание алгебры инвариантов удобно давать в терминах модулей со старшим весом. Обозначим через ТУЛ супермодуль Вейля над алгеброй операторов поляризации 21 к,1 отвечающий разбиению А. Заметим, что модуль определен только в случае когда Ак+1 < I но, для удобства формулировок мы рассматриваем этот модуль и в том случае, когда А^+г > I, считая, что что IVх = 0.

Теорема 1.1. Пусть д = а5р(У). Тогда:

I) алгебра (21® ;)о содержит единственный подмодуль изоморфный И^2) и порождена этим подмодулем. Любой базис этого модуля является минимальным множеством образующих,

8

и) подпространство (21^)1 содержит единственный подмодуль изоморфный И/(т+1)п; алгебра^., порооюдена подмодулеми любой базис этого модуля является минимальным множеством образующих.

Отметим, что в частных случаях п = 0 или то = 0, теорема дает описание инвариантов ортогональной или симплектической алгебры Ли в тензорном произведение симметрической и внешней алгебры нескольких копий стандартного представления. В общем случае описание базиса в модуле и элементов модуля \у(гп+1'>п (так же как и их условия обращения в нуль) зависят от п, т, к, I. Приведем описание в случае к > п. Для этого выберем базис {и^} в модуле IV так, что г^ для 1 < Ь < к является базисом подпространства \¥о, и ин для к < Ь < к +1 является базисом подпространства Согласно пункту 1) преыдущей теоремы определены скалярные произведение "векторов"

К, и3) е С (21 к,1)в, 1 < 5 < к +1 которые порождают алгебру (Ж*,;)®- Кроме того, можно показать, что

^|(М)Г+1, 1<*,я<п

является полиномом и принадлежит модулю 1у(т+1)п. Отметим также, что для т — 0 предыдущее утверждение хорошо известно и соответствующий полином является определителем составленным из координат векторов. Следующая теорема описывает соотношения между скалярными произведениями.

Теорема 1.2. 1) Алгебра как модуль над 0((И/), содержит

единственный подмодуль изоморфный где ц — (п + 1)(т+2).

11) Ядро естественного гомоморфизма 5(И^) —► {Ащ)® как идеал, порождено подмодулем УУ>1 и любой базис этого модуля является минимальным множеством соотношений.

Так же как и в случае предыдущей теоремы, координатное описание соотношений (или их отсутствие) зависит от п,т,к.1. В случае I >т + 2 одно из таких соотношений имеет вид

у^Ки^)!""*"1, п<5,£<п + т + 2

Отметим, что вопрос об описании соотношений между образуюими алгебры Щ. г = (21®/)о ® (21® г)* остается открытым.

Содержание главы 2. Главный результат этой главы состоит в перенесении индуктивного метода построения теории представлений, - метода алгебр Гельфанда-Цетлина, - развитого в работах А. Вершика и А.

9

Окунькова на случай Ъ^-градуированных алгебр, и в частности, позволяет использовать этот метод для построения полунормальной и ортогональной формы Юнга для прЬективных представлений симметрических групп. Проективные представления симметрических групп изучались многими авторами; мы используем этот пример для иллюстрации нового подхода к задаче о представлениях Йг-градуированных цепочек алгебр. Прежде всего, определяются условия простоты ветвления представлений цепи полупростых Z2-гpaдyиpoвaнныx алгебр. Наиболее существенную роль играет обобщение понятия алгебры Гельфанда-Цетли-на, для цепи 21 = /1(1) С А(2) С • • • С А(п) полупростых 22-градуирова-нных алгебр. Прежде всего, следует обобщить понятие центра и определить, так называемый, суперцентр Ег-градуированной алгебры.

Понятие алгебры Гельфанда-Цетлина цепи расслаивается для Z2-гpa-дуировапных алгебр на несколько понятий, поскольку в отличие от не-градуированного случая алгебра порожденная суперцентрали-

заторами последовательных подалгебр цепи, называемая далее супералгеброй Гелъфанда-Цетлинаые совпадает с алгеброй SZ(2)), порожденной суиерцентрами алгебр А{к). Алгебры 8СЕ(%)), вообще говоря, не коммутативны даже в случае простого ветвления, но их структура оказывается стандартной: это есть тензорное произведение коммутативной алгебры и алгебры Клиффорда. Между алгебрами SGZ(<X¡) и находится

место для обычной алгебры Гельфанда-Цетлина - GZ(%)) - четной части цепи 2). Анализ представлений и характеров этих алгебр составляет суть метода. Аналогично методу работ А. Вершика и А. Окунькова находится спектр (перечень неприводимых представлений) алгебры это

делается по существу таким же приемом - сведением к описанию спектра аналога алгебры Гекке, что в свою очередь позволяет описать неприводимые представления алгебры А(п). Этот способ используется для описания проективных представлений симметрической группы, построения аналога форм Юнга, базисов и т.д. Как и в работе А. Вершика и А. Окунькова параметризующие базис в представлениях так называемые строгие таблицы Юнга оказываются точками спектра надлежащей алгебры Гельфанда-Цетлина, а неприводимые проективные представления 5„ параметризуются строгими диаграммами, т.е. орбитами допустимых подстановок точек спектра. Это описание проективных представлений и является одной из целей работы. Более точно, пусть Б к - симметрически группа, С1к - алгебра Клиффорда порожденная к образующими р\,..,, рк подчиненными соотношениям

р1 = -1, РгРу + РзРг = О для I ф

Симметрическая группа действует на С1п переставляя образующие, поэтому мы можем образовать полупрямое произведение Н^ = ¡х С1к-Положим ц — 1)«й+1 и обозначим через 2^ подалгебру порож-

денную этими элементами. Чтобы описать действие этих элементов в

ю

неприводимых модулях, рассмотрим цепь йг-градуированных алгебр

Ссн1сн2---снк.

Доказывается, что супералгебра Гельфанда-Цетлина этой цепи порождена р1,..., рк и следующими антикоммутирующими аналогами элементов Юнга-Юциса-Мерфи

7Г1 =0, ТТ2 — Т12, ■ ТТк - У^Ш-

г<к

Пусть Т сдвинутая стандатняа таблица. Определим последовательность ат = (аь..., а к), где щ — \[р — д)(р — д + 1), если число г занимает клетку (р, д) в таблице Т. Формой стандартной таблицы называется такое разбиение а такое, что ат с точностью до перестановки совпадает с а. Фиксируем строгое разбиение а и пусть Уа соответствующий неприводимый модуль. Обозначим через У£1 общее собственное подпространсво элементов ..., с собственными значениями ат = (ец, • • •, ак). Доказывается, что У° = ®Ур, где сумма берется по всем стандартным таблицам формы а и каждое является неприводимым модулем над супералгеброй Гельфанда-Цетлина. Рассмотрим теперь подпространство У^ соответствующее стандартной сдвинутой таблице, заполненной по строкам. Пусть Т - любая стандартная сдвинутая таблица формы а. Тогда существует единственный € такой, что Т — зТо и мы полагаем 1(Т) равной длине приведенного разложения 5. Обозначим через Рт отображение У£0 —> Ур которое является композицией в и проекции Уа на Ур параллельно фт'фтУт'-

Теорема 1.3. Пусть а строгое разбиение и, Т любая таблица формы а. Тогда, действие г,- 6 21„ задается следующими формулами: 1) если а* + сц+1 = (а, — щ+х)2, тогда

^ р Я» ~ ^1+1 р щ - а,+1

и) если щ +аг+1 ф (щ — а{+х)2 и 1{в{Т) > 1{Т), тогда

прТ - Ъ.—1Ш.рт + (pi _ рш) р5.Т)

a^ - сц+1 л/2

ш) если ai + а^ц ф (щ — а;+1)2 и ¡(в^Г) < 1(Т), тогда

щ- тг,+1 1 Л а» + \ р

ТгРт = -Рт + -гг(Рг- Рг+1) 1 - , , п Рв^Г.

аг-аг+1 у/2 \ г)

В пятой секции строятся аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп. Заметим, что аналоги симметризаторов Юнга для алгебры Нк были построены в работе М. Назарова, следуя идеям И. Чередника в случае обычных симметризаторов Юнга. Здесь предлагается другая конструкция таких аналогов основанная на предыдущей теореме. Фиксируем строгое разбиение а и пусть

То как и прежде будет строгой таблицей формы а заполнен-ной по строкам. Положим

где Нт0 является строковым стабилизатором таблицы То в группе Я.

Теорема 1.4. Элемент еа = сага является с точностью до ненулевого множителя идемпотентом в алгебре Нь, и алгебра еаИ\:еа изоморфна алгебре Клиффорда порядка равного числу ненулевых частей строгого разбиения а.

В частности из утверждения теоремы следует, что модуль Н^еа равен прямой сумме определенного числа (которое несложно подсчитать явно) копий модуля Vе* и его противоположного модуля Р(Уа). Отметим, что предложенный метод построения идемпотентов годится по видимому и во многих других ситуациях, когда известна полунормальная форма Юнга.

Оставшаяся часть второй главы посвящена централизаторной конструкции Янгиана, для супералгебр Ли серии я. Это возможно наиболее интересный супераналог общей линейной супералгебры. Рассмотрим комплексную матричную супералгебру Ли ЛГ) со стандартными образующими Еу и определим инволютивный автоморфизм Т] супералгебры 0[(ЛГ, Л7) по формуле т](Ец) = Е-^-у Супералгебра я(1У) является неподвижной подалгеброй в д[(Лг, Лг) относительно г). Рассмотрим скрученную супералгебру Ли полиномиальных токов

Обертывающая алгебра [/(д) супералгебры Ли д имеет деформацию, называемую Янгианом У(д). Для каждого М = 1,2 ... обозначим через Ам централизатор я(М) в ассоциативной супералгебре 1/(ц(М)). Мы строим последовательность сюрьективных гомоморфизмов £/(ч(.¡V)) А]у <— Ад, <— ... и описываем обратный предел последовательности централизаторных алгебр Адг, АЪ, ... в терминах Янгиана У(д).

Теорема 1.5. Обратный предел последовательности алгебр А^, А^, ... антиизоморфен алгебре У(ч(.ЛГ))®Л, где У^(ЛГ)) - Янгиан супералгебры 5(7У), а А - свободная коммутативная алгебры со счетным числом независимых образующих.

Содержание главы 3. Одним из наиболее важных результатов теории конечномерных представлений полупростых конечномерных алгебр Ли является следующее утверждение:

Кольцо конечномерных предсталеий Д(д) полупростой комплексной алгебры Ли 0 изоморфно кольцу 1У-инвариантов целочисленного

группового кольца %[Р], где Р - соответствующая решетка весов и\¥ -

12

к

<*€Ят0

д = { X® € вЦМ, : ч(Х(!)) = *(-«) } .

группа Всйля. Изоморфизм задается отображением, которое каждому модулю сопоставляет его характер Ск : Д(д) —> ■

Основная цель этой главы обобщить этот результат на комплексные классические супералгебры Ли. Мы предполагаем, что знание структуры кольца представлений поможет пролить дополнительный свет на проблему вычисления характеров конечномерных представлений, которая до сих пор остается не полностью решенной.

Пусть д будет основной классической супеалгеброй Ли отличной от Л(1,1) и I) будет ее подалгеброй Картана (которая в этом случае является также подалгеброй Картана алгебры Ли до) - Пусть Ро С I)* будет группой весов до, И'о будет группой Вейля до и 2[Ро]и'*° будет кольцом И^-инвари-антов в целочисленном групповом кольце ЩРо]- Разложение д относительно присоединенного действия (], дает (обобщенную) систему корней й супералгебры Ли д. По определению д имеет невырожденную билинейную форму на I) и следовательно на ()*. В отличие от теории полупростых алгебр Ли некоторые корни а е II являются изотропными: (а, а) = 0. Для изотропных корней невозможно определить отражение в обычном смысле, что объясняет трудность с понятием группы Вейля в этом случае. Определим кольцо экспоненциальных суперинвариантов </(д), заменяющее кольцо инвариантов группы Вейля в случае классических алгебр Ли:

./(д) = {/ е : € (е°-1) для любого изотропного корня а}

где (еа - 1) обозначает главный идеал в 2[Ро]^° порожденный еа - 1 и производная определяется свойством Ва(е13) = (а,/3)е^. Это кольцо является вариантом кольца инвариантных полиномов для супералгебр Ли расмотренном в работах Ф. Березина, автора и В. Каца. Для специального случая супералгебры .<4(1,1) необходимо слегка изменить определение, так как в этом случае изотропные корни имеют кратность 2.

Основным результатом является следующая теорема

Теорема 1.6. Кольцо Гротендика К(д) конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли д изоморфно кольцу J(з). Изоморфизм задается отображением взятия суперхарактера БсН : К{д) —»

т-

Тот факт, что суперхарактер принадлежит кольцу 7(д) относительно прост, Доказательство сюрьективности гораздо более сложное и основывается на нетривиальной геометрической интерпретации результатов В. Каца об ограничениях на старший вес конечномерного модуля. Затем доказывается, что множество сташих весов описанное В. Кацем и множество максимальных показателей кольца К (о) относительно некоторого естественного упорядочения совпадают. Элементы У(д) могут быть также описаны как инварианты действия некоторого группоида 2В, который естественно назвать группоидом Вейля. Он определяется как несвязное

13

объединение

ЯГ(Д) = WoHWbKii

где Ti,,o - группоид с базой Ris0 состоящей из всех изотропных корней g и множество морфизмов а —> ß является непустым если и только если ß — ±а и в этом случае состоит из единственного элемента та. Мотивировкой понятия группоида здесь является работа [11] описывающая деформированные квантовые системы Калоджеро связанные с обобщенными системами корней. Группа Wq действует на %so естественнм способом, тем самым определено полупрямое произведение Wo к %so- Можно также определить естественное действие 20 на!} так, что та действует посредством сдвига па а в гиперплоскости (а, х) — 0. Если исключить специальный случай Л(1,1), то предыдущая теорема может быть переформулирована в виде аналогичном классическому:

Кольцо Гротпендика K(q) категории конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу ZfPo]20 инвариантов группоида Вейля 20.

Как следствие мы получаем описание кольца инвариантных полиномов [3] для классических простых конечномерных супералгебр Ли и, следовательно описание центров обертывающих алгебр для основных классических супералгебр Ли. Приведем теперь описание инвариантных полиномов на рассматриваемых супералгебрах Ли. Для этого рассмотрим следующее кольцо

1(g) = {/ € S(b*)lVo : Daf 6 (а) для любого изотропного корня а},

где (а) обозначает главный идеал в 5(b*)iV° порожденный а и производная Da определяется свойством Da{ß) — (a,ß).

Теорема 1.7. Кольцо инвариантных полиномов S(g*) основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу 1(g). Изоморфизм задается отображением ограничения res : S(q*) —► I{g).

Заметим,что В. Кацем был предложен совершенно другой метод описание центров обертывающих алгебр основных классических супералгебр Ли (полное докзазательство справедливости этого метода для супералгебр Ли было недавно дано М. Горелик). Следует также отметить, что кольца Гротендика основных классических супералгебр Ли допускают естественную деформацию с точки зрения квантовых интегрируемых систем. Инересным преставляется вопрос о примененимости такой деформации к методу В. Каца.

Содержание главы 4. В этой главе строится общая теория деформированных квантовых операторов Калоджеро-Мозера-Сазерленда (KMC), Эта задача, в ее первоначальном виде описывает поведение частиц на прямой попарно взаимодействующих с потенциалом

>2/.)2

А. Ольшанецский и А. Переломов предложили обобщение этой задачи на любую систему корней. Соответствующий квантовый гамильтониан имеет вид

где ^^-положительная часть систему корней R (которая может быть нередуцированной), и т(а) — та - функция на R которая инвариантна относительно соответствующей группы Вейля W. Оказалось однако, что существуют другие, несимметричные обобщения квантовой KMC задачи. Первая серия таких "деформированных"обобщений Ап(т) была найдена А. Веселовым, М. Фейгином и О. Чалых. Позже теми же авторами была найдена другая серия Cn(m, I). Хотя эти деформации появились также в контексте WDVV уравнения, их алгебраическая природа оставалась неясной. Важный шаг в выяснении природы этих деформаций был сделан автором в работах [8, 9]. В этих работах было доказано, что деформированный квантовый оператор KMC типа Ап(т) для специальных значений параметра может быть интерпретирован как радиальная часть оператора Лапласа-Бельтрами на определенном симметрическом суперпространстве. В четвертой главе систематически развивается теория деформированных квантовых операторов KMC связанных с системами корней простых конечномерных супералгебр Ли обладающих матрицей Картана. Описание основано на понятии обобщенной системы корней, которое было введено В. Сергановой. Все такие системы корней имеют частичную симметрию описываемую группой Вейля Wo соответствующей отражениям в неизотропных корнях. Для каждой такой системы корней R строится семейство деформированных квантовых KMC операторов следующим способом. Система корней остается прежней R, меняется скалярное произведение и кратности корней так, что:

1) новая билинейная форма В и кратности остаются инвариантными относительно Wo,

2) кратности всех изотропных корней равны 1,

3) соответствующий оператор Шредингера имеет радиальную форму.

Последнее условие приводит к определенным соотношениям между

кратностями и параметрами формы. Как показывает прямой анализ все допустимые формы зависят от одного дополнительного деформационного параметра (в случае D(2,1, А) существует три параметра, но два из них входят в определение этой супералгебры). Будем называть такие операторы деформированными KMC операторами связанными с обобщенными системами корней R. Согласно классификации В. Сергановой имеется две бесконечные серии таких операторов связанных с обобщенными системами корней R типа А(п, т) и ВС(п,т), и три исключительных случая, соответствующих исключительным системам корней G( 1,2), АВ( 1,3) и D(2,1, А). Система типа А(п, т) может быть рассмотрена как

взаимодействие двых типов частиц с массами 1 и | соответственно и параметром взаимодействия зависящим от к. Когда m = 1 (т.е. когда вторая группа частиц состоит только из одной частицы) такая система была впервые рассмотрена А. Веселовым, М. Фейгииым и О. Чалых. В случае общих пит соответствующий оператор был впервые введен в [8] но рациональный предел этого оператора был рассмотрен ранее Ю. Берестом и А. Якимовым, когда они искали преобазования типа Дарбу для систем Калоджеро-Мозера. Система ВС(п,т) может быть интерпретирована подобным же путем с предположением симметрии системы относительно начала координат. Хотя она зависит от 5 параметров только три из них независимы. Система ВС(п,т) с m = 1 и р = О была впервые рассмотрена в А. Веселовым М. Фейгиным и О. Чалых. Случай m = 1 является специальным, так как только в этом случае все параметры могут быть целыми. Оператор ВС(п, т) для общих ш, п так же как и деформированные системы относящиеся к исключительным системам G(l,2), АВ(1,3) и D(2,1, А) прежде не рассматривались. Введем алгебру Aptß состоящую из полиномов р(х) на V которые инвариантны относительно отражений соответствующим неизотропным юэрням (т.е. Wo-инвариантны) и удовлетворяют условиям

р(х + ^а) ее р{х - i«)

на гиперплоскости В(а,х) = 0 для каждого изотропного корня а.

Теорема 1.8. Для классической обобщенной системы корней R и общего значения параметра к в форме В существует мономорфизм х коммутативной алгебры Лд,в в алгебру диференциалъных операторов на V такой, что х(х2) является соответствующим KMC оператором для R.

Далее в этой главе дается интерпретация общей теории в случае симметрических суперпространств. В настоящее время не существует развитой теории такого типа несмотря на то, что классификация симметрических суперпространств была получена В. Сергановой около 20 лет назад. Работы [8] и [9] можно рассматривать как первый этап в построении такой теории. В этих работах были рассмотрены некоторые суперпространства связанные с супералгеброй Ли qI. Методы этих работ являются естественным развитием методов работ П. Этингофа и А. Кириллова (мл.), в которых дана интерпретация полиномов Джека и Макдональда с точки зрения теории представлений алгебр Ли. В работах [8], [9] были вычислены также сферические функции связянные с модулями Вейля и показано, что они являются собственными функциями для алгебры радиальных частей опереаторов Лапласа. Оказалось, что оператор второго порядка совпадает с деформированным оператором Калоджеро-Мозера при значениях параметра k = 1,1/2. Кроме того доказывается,

16

что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керовым, А. Окунько-вым и Г. Ольшанским являются собственными функциями этого оператора. Показано также, что при значениях параметра к = 1,1/2 эти полиномы можно интерпретировать как сферические функции связанные с модулями Вейля.

В оставшейся части главы рассматриваются симметрические суперпространства связанные с супералгеброй q. В работе [10] рассмотрены два таких суперпространства и построены две алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Доказывается, что эти алгебры изоморфны и минимальный порядок дифференциального оператора входящего в эти алгебры равен трем. Полиномиальные общие собственные фукции этих операторов совпадают с проективными функциями Шура. Эти функции также интерпретируются как бисферические и сферические функции для неприводимых представлений появляющихся в разложении тензорной алгебры тождественного представления. Как следствие мы получаем есстественную интерпретацию результатов полученных ранее Р. Стем-бриджем в контексте алгебр Гекке.

Содержание главы 5. Главный результат этой главы состоит в том, что мы интерпретируем деформированные квантовые системы Кало-джеро-Мозера типа А как ограничения недеформированных бесконечномерных систем того же типа. В частности, это позволяет получить более концептуальное доказательство интегрируемости квантовых деформируемых систем Калоджеро-Мозера типа А(п, т). Первая половина главы основана на разультатах работы [12]. В этой работе было показано, что оператор типа А(п,т) может быть описан как ограничение обычного оператора Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие. Более точно, пусть А будет алгеброй симметрических функций от бесконечного числа переменных, т будет алгеброй полиномов которые симметричны относительно х\,...,хп и г/1...., ут и удовлетворяют условиям

OXi dyj

на гиперплоскости х% = у у Рассмотрим гомоморфизм <р : А —> действующий на степенных суммах по правилу

п 1 m

в-

i=l j=1

Пусть Св бесконечномерный Калоджеро-Мозера оператор введенный И. Макдональдом и £П)т,в деформированный оператор Калоджеро-Мозера введенный в [8]

»=1 4 j=1 4 1 <i<j<n ' 3 4

17

д_ _ _д_ дх{ 3 dij

у г + X j ( д

-- i II:-

yiWi yjWi

д д

)п т . / Xi + Vj /

i=U=1 v

Теорема 1.9. Следующая диаграмма коммутативна

Л

1<Р

Л

1<р

-п,т,в >

и при общем значении параметра в ядро гомоморфизма <р является простым идеалом линейно порожденным полиномами Джека диаграммы Юнга которых содержат прямоугольную диаграмму (п + l)m+1.

Для доказательства используется теория полиномов Джека и теория сдвинутых полиномов Джека развитая в недавних работах А. Окунько-ва, Г. Ольшанского, Ф. Кноппаи С. Сахи. Доказывается также, что квантовые интегралы построенные в работе [И] могут быть получены как ограничение определенных интегралов обычной задачи Калоджеро-Мо-зера от бесконечного числа переменных. Рассматривается также более общая задача об описании идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно всех квантовых интегралов. Оказывается, что прямоугольные диаграммы выделяются тем свойством, что соответствующая фактор алгебра не имеет делителей нуля. Приводятся также комбинаторные формулы для суперполиномов Джека и их сдвинутых аналогов. В общем случае доказывается, что инвариантные идеалы находятся в биекции с фильтрами в множестве диаграмм Юнга. Понятие фильтра было введено А. Регевом в связи с исследованием идеалов в тензорной алгебре. В частности множество диаграмм содержащих данную диаграмму Л является фильтром. Обозначим соответствующий идеал в алгебре Л через /(Л). Доказывается, что алгебра Л//(А) является конечно порожденной, поэтому Х(Х) — Spec (Л/'1(А)) является афинным алгебраическим многообразием.

Теорема 1.10. Неприводимыми компонентами многообразия -Х(Л) являются подмногобразия вида Х(тг), где тг пробегает множество максимальных прямоугольников содержащихся в диаграмме А.

Во второй части этой главы исследуется аналогичная задача для деформированного Макдональда-Рудженариса оператора введенного в [11]

1 п 1 т

—JXiu -1) + г- -1),

1 1 i-1

где

Л ■ _ ТТ (ж' ~ txk) П (Xi ~ ВД) R - ТТ (yj - ixi) ГТ (yj - ш)

и Tq^i, являются операторами сдвига: {Tq,xJ)(x 1,... , Zj,... , X„, У1,. . . , ym) = f(x 1,. .. , qxi, ...,Хп,У1,...,Ут)

{Tt,Vjf)(xi,... ,xn,yi,... ,yj,.. .,ym) = f(x I,. .. ,xn,yi,.. ,,tyj,.. .,ym).

Этот параграф основан на результатах работы [15], которая является естественным обобщение результатов работы [12]. Показывается, что деформированный оператор Макдональда-Рудженариса может быть описан как ограничение обычного оператора Макдональда-Рудженариса от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие. Так же как и работа [12] эта работа основана на теории полиномов Макдо-нальда развитой Кнопом, Сахи и Окуньковым.

Список литературы

[1] Сергеев А.Н. Аналог классической теории инвариантов для супералгебр Ли. Фупкдиои. анализ и его приложения, т.26 (1992), в. 3, 88-90.

[2] Сергеев А.Н. Векторные и ковекторные инварианты супералгебр Ли. Функцион. анализ и его приложения, т.ЗО (1996), в. 3, 90-93.

[3] Sergeev A. The invariant polynomials on simple Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 250-280 (electronic).

|4] Sergeev A. The Howe duality and the projective representations of symmetric groups. Represent. Theory 3 (1999), 416-434 (electronic).

[5] Sergeev A. Irreducible representations of solvable Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 435-443.

[6] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. I. Michigan Math. J. 49 (2001), no. 1, 113-146.

[7] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. II. Michigan Math. J. 49 (2001), no. 1, 147-168.

[8] Sergeev A. Superanalogs of the Calogero operators and Jack polynomials. J. Nonlinear Math. Phys. 8 (2001), no. 1, 59-64.

[9] Сергеев A.H., Оператор Калоджеро и супералгебры Ли. Теоретичекая и математическая физика, т.131 (2002), по. 3, 355-376.

[10] Sergeev A. Projective Schur functions as bispherical functions on certain homogeneous superspaces. The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000), 421-443, Progr. Math., 213, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2003.

[11] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed quantum Calogero-Moser problems and Lie superalgebras. Comm. Math. Phys. 245 (2004), no. 2, 249-278.

19

(12| Sergeev A.N.,Veselov, A.P. Generalised discriminants, deformed Calogero-Moser-Sutherland operators and super-Jack polynomials. Adv. Math. 192 (2005), no. 2, 341-375.

[13] Nazarov M., Sergeev A. Centralizer construction of the Yangian of the queer Lie supt'ralgebra. Studies in Lie theory, 417-441, Progr. Math., 243, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2006.

[14] Sergeev A.N., Veselov A.P. Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras. Loughborough University preprint 07-35. arXive: 0704.2250.

[15] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed Macdonald-Ruijsernaars operator and super Macdonald polynomials. Loughborough University preprint 07-36. (принято к публикации в Communication in Mathematical Physics).

[16] Vershik A.M., Sergeev A.N. A new approach to the representation theory of the symmetric groups. IV. z2-graded groups and algebras. Moscow Mathematical Journal, v.8 (2008), no. 4, 1-30.

Подписано в печать 02.03.2009. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0302. П. л. 1.25. Уч.-изд. д. 1.25. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, уд. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

Введение (

Глава 1. Классическая теория инвариантов и супералгебры Ли

1. Введение

2. Инварианты супералгебр Ли д[(У)

3. Инварианты супералгебр Ли з^У)

4. Инварианты супералгебр Ли озр(У)

5. Инварианты супералгебр Ли ре(У)

6. Инварианты супералгебр Ли 5рг(У)

Глава 2. Супералгебры и проективные представления симметрических групп

1. Введение

2. Основные определения.

3. Алгебры Гельфанда-Цетлина

4. Проективные представления симметрических групп

5. Проективные аналоги симмегризаторов Юнга

6. Централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли серии (3(п)

7. Доказательство Теоремы 6.

8. Доказательство Теоремы 6.

Глава 3. Кольца Гротендика классических супералгебр Ли

1. Введение

2. Основные классические супералгебры Ли и обобщенные системы корней

3. Кольцо J(g) и суперхарактеры

4. Геометрия множества старших весов

5. Доказательство основной Теоремы

6. Явное описание колец </(0)

7. Специальный случай А(1,1)

8. Группоид Вейля

9. Инвариантные полиномиальные функции

10. Явное описание алгбер /(д)

Глава 4. Супералгебры Ли и деформированные квантовые интегрируемые системы

1. Ввведение

2. Обобщенные системы корней и квантовая задача KMC

3. Конструкция квантовых интегралов для классических серий

4. Алгебра Лд^ и гомоморфизм Хариш-Чандры

5. Обобщения : эллиптическая и разностная версия

6. Алгебра дуальная к обертывающей алгебре

7. Сферические функции и инвариантные дифференциальные операторы на симметрических суперпространствах

8. Проективные функции Шура как бисферические функции на некоторых симметрических суперпространствах

Глава 5. Деформированные интегрируемые системы как ограничения бесконечномерных классических систем

1. Введение

2. Симметрические функции и полиномы Джека

3. Сдвинутые полиномы Джека.

4. Операторы Данкла-Чередника и гомоморфизм Хариш

Чандры

5. Обобщенный дискриминант и деформированный KMC

6. Сдвинутые симметрические функции и квантовые интегралы деформированной задачи KMC

7. Фильтры и KMC инвариантные идеалы в А

8. Комбинаторные формулы

9. Полиномы Макдональда и сдвинытуе полиномы Макдональда

10. Операторы Чередника-Данкла и гомоморфизм Хариш-Чандры

11. Деформированный оператор Макдональда-Рудженарса как ограничение

12. Сдвинутые суперполиномы Макдональда и гомоморфизм Хариш-Чандры

13. Комбинаторные формулы

Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представления" [61]. В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централиза-торные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терия централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау [63]. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория супемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [159], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда-Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга-Юцнса-Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [143] проективных аналогов сим-метризаторов Юнга. В работе [100] проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиапа супералгебр Ли серии ц.

Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от конечного числа векторов и ковекторов, т.е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [140], [141], [144], [145]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вей-ля и описание централизаторных алгебр. Централизаторные алгебры и дуальные пары Хау классических супералгебр Ли изучались в работах А. Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи [169, 170], С. Ченг и В. Ванг [29, 30] и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно дентрализаторными легко следует из супераналога классической теории инвариантов.

Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах [146] и [147]. Эти работы послужили началом ситематического исследования квантовых интегрирыемых систем с точки зрения суперал-герб Ли и наоборот, использованию методов квантовых иитегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических супералгебр Ли. Впервые предельные случаи таких аналогов (суперфупкции Шура) появились в работах А. Вершика и С. Керова [164] по асимтотической теории представлений симметрической группы и в более общем виде (суперполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькова и Г. Ольшанского [65]. Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [146] и [147], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суперполиномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Веселова, М. Фейгина и О.Чалых [166] ,[165],[23] под названием деформированных квантовых систем Калоджеро-Мозера-Са-зерленда. Аналогично, в работе [148] классические проективные функции Шура были интерпретированы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.

Следующим естественным шагом было построение общей теории деформированных квантовых интегрируемых систем связянных с системами корней простых супералгебр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Сергановой под названием обобщенной системы корней. В работе [149] было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интегралов был предложен в работах [138], [136]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро-Мозера типа А (включая и разностный аналог) может быть получена ках< ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это последнее кольцо было описано в работе [137] (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [142]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Гротендика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естественнй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгебр Ли. Опишем теперь содержание дисертации по главам.

Первая глава посвящена построению "супераналога"классической теории инвариантов. Предметом классической теории инвариантов является описание инвариантных (относительно заданной группы) полиномиальных функций зависящих от заданного числа векторов и ковекторов из некоторого фиксированного представления. Для супералгебр Ли естественной является следующая постановка задачи.

Пусть V будет конечномерным суперпространством над С и д произвольная матричная супералгебра Ли, т.е., подсупералгебра Ли в д[(У). Под классической теорией инвариантов для д мы подразумеваем описание д-инвариантных элементов алгебры

21™ = ф П(У)4 © Ук © ЩК)*1), где для д модуля Ь, 1? обозначает прямую сумму р копий Ь. На алгебре 21естественным образом действует супералгебра Ли д[(£/) ©д[(Ж) и ее обертывающая алгебра © = £/(д1(£0©д[(И0), гдесНтС/ = (р,(]), сНтЖ = (к, I). Элементы из 03 коммутируют с естественным действием д[(У). Они будут называться операторами поляризации. Следовательно алгебра инвариантов (21^)° является модулем над алгеброй 03. Так как алгебра 21является полупростым 93 модулем, то и алгебра инвариантов также является полупростым 03 модулем. В каждом случае мы явно описываем разложение алгебры инвариантов на простые 03 модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр. Мы также описываем минимальное множество образующих. Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих М обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над 03. В случае супералгебр Ли, не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтому, в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных 93 подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих можно взять любой базис этого модуля. Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает алгебру инвариантов. Явное описание образующих основанное на симметризато-рах Юнга приведено в работах [141],[145]. Но это описание выглядит все еще недостаточно простым. Интересной представляется задача описания инвариантов в полном кольце частных алгебры Заглавный результат второй главы состоит в перенесении индуктивного метода построения теории представлений, - метода алгебр Гельфанда-Цетлина, - развитого в работах А. Вершика и А. Окунькова на случай ^-градуированных алгебр, и-в частности, позволяет использовать этот метод для построения полунормальной и ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп. Проективные представления симметрических групп изучались многими авторами; мы используем этот пример для иллюстрации нового подхода к задаче о представлениях Хг-градуированных цепочек алгебр. Прежде всего, определяются условия простоты ветвления представлений цепи полупростых йг-градуированных алгебр. Наиболее существенную роль играет обобщение понятия алгебры Гельфанда-Цетлина, для цепи 21 = А (1) С А (2) С ■ • • С А(п) полупростых 22-градуированных алгебр. Прежде всего, следует обобщить понятие центра и определить, так называемый, суперцентр ^-градуированной алгебры.

Понятие алгебры Гельфанда—Цетлина цепи расслаивается для градуированных алгебр на несколько понятий, поскольку в отличие от неградуированного случая алгебра порожденная суперцентрализаторами последовательных подалгебр цепи, называемая далее супералгеброй Гельфанда-Цетлина не совпадает с алгеброй порожденной суперцентрами алгебр А(к). Алгебры SGZ(%)), вообще говоря, не коммутативны даже в случае простого ветвления, но их структура оказывается стандартной: это есть тензорное произведение коммутативной алгебры и алгебры Клиффорда. Между алгебрами ¿УС-З^Й)) и ¿'^(2)) находится место для обычной алгебры Гельфанда-Цетлина - (3^(2)) -четной части цепи 2). Анализ представлений и характеров этих алгебр составляет суть метода. В пятой секции строятся аналоги симметризато-ров Юнга для проективных представлений симметрических групп. Заметим, что аналоги симметризаторов Юнга для алгебры Н^ были построены в работе М. Назарова, следуя идеям И. Чередника в случае обычных симметризаторов Юнга. Здесь предлагается другая конструкция таких аналогов основанная на предыдущих результатах. Оставшаяся часть второй главы посвящена централизаторной конструкции Янгиана, для супералгебр Ли серии q. Это возможно наиболее интересный супераналог общей линейной супералгебры. Мы описываем обратный предел последовательности централизаторных алгебр в терминах Янгиана .

В третьей главе дается описание колец конечномерных представлений. Мы предполагаем, что знание структуры кольца представлений поможет пролить дополнительный свет на проблему вычисления характеров конечномерных представлений, которая до сих пор остается не полностью решенной. Определим кольцо экспоненциальных суперинвариантов J (в), заменяющее кольцо инвариантов группы Вейля в случае классических алгебр Ли:

J(g) = {/ g Ъ[Ро]ху° : Daf g (еа—1) для любого изотропного корня а} где (са — 1) обозначает главный идеал в 7,[Pq]w° порожденный еа — 1 и производная Da определяется свойством Da(e^) — (а, /3)еР. Это кольцо является вариантом кольца инвариантных полиномов для супералгебр Ли расмотренном в работах Ф. Березина, автора и В. Каца. Для специального случая супералгебры Л(1,1) необходимо слегка изменить определение, так как в этом случае изотропные корни имеют кратность 2.

Основным результатом является следующая теорема

Теорема 0.1. Кольцо Гротендика К(д) конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли g изоморфно кольцу J(g). Изоморфизм задается отображением суперхарактера Sch : K(q) —>

•7(0).

Как следствие мы получаем описание кольца инвариантных полиномов [142] для классических простых конечномерных супералгебр Ли и, следовательно описание центров обертывающих алгебр для основных классических супералгебр Ли. Заметим,что В. Кацем был предложен совершенно другой метод описание центров обертывающих алгебр основных классических супералгебр Ли (полное докзазательство справедливости этого метода для супералгебр Ли было недавно дано М. Горелик [57|). Следует также отметить, что кольца Гротендика основных классических супералгебр Ли допускают естественную деформацию с точки зрения квантовых интегрируемых систем. Инересным представляется вопрос о примененимости такой деформации к методу В. Каца.

В четвертой главе строится общая теория деформированных квантовых операторов Калоджеро-Мозера-Сазерленда (KMC), обобщающая классические результаты Олыпанецкого и Переломова. Оказывается что существуют несимметричные обобщения классической квантовой KMC задачи. Первая серия таких "деформированных"обобщений Ап(т) была найдена А. Веселовым, М. Фейгином и О. Чалых. Позже теми же авторами была найдена другая серия Сп(т, I). Хотя эти деформации появились также в контексте WDW уравнения, их алгебраическая природа оставалась неясной. Принципиальный шаг в выяснении природы этих деформаций был сделан автором в работах [146, 147]. В этих работах было доказано, что деформированный квантовый оператор KMC типа Ап{т) для специальных значений параметра может быть интерпретирован как радиальная часть оператора Лапласа-Бельтрами на определенном симметрическом суперпространстве. В четвертой главе систематически развивается теория деформированных квантовых операторов KMC связанных с системами корней простых конечномерных супералгебр Ли обладающих матрицей Картана. Описание основано на понятии обобщенной системы корней, которое было введено В. Сергановой. Согласно классификации В. Сергановой имеется две бесконечные серии таких операторов связанных с обобщенными системами корней R типа А(п, тп) и ВС(п, т), и три исключительных случая, соответствующих исключительным системам корней G(l, 2), АВ( 1,3) и D(2,1, А). Система типа А(п, т) может быть рассмотрена как взаимодействие двух типов частиц с массами 1 и ^ соответственно и параметром взаимодействия зависящим от к. Когда тп — 1 (т.е. когда вторая группа частиц состоит только из одной частицы) такая система была впервые рассмотрена А. Веселовым, М. Фейгиным и О. Чалых. В случае общих пит соответствующий оператор был впервые введен в [146] но рациональный предел этого оператора был рассмотрен ранее Ю. Берестом и А. Якимовым, когда они искали преобразования типа Дарбу для систем Калоджеро-Мозера. Система ВС(п, т) может быть интерпретирована подобным же путем с предположением симметрии системы относительно начала координат. Хотя она зависит от 5 параметров только три из них независимы. Система ВС(п,т) с т = 1 и р = 0 была впервые рассмотрена в А. Веселовым М. Фейгиным и О. Чалых. Случай тп — 1 является специальным, так как только в этом случае все параметры могут быть целыми. Оператор ВС(п,т) для общих in, п так же как и деформированные системы относящиеся к исключительным системам G(l, 2), АВ{1,3) и .0(2,1, А) прежде не рассматривались. Далее в этой главе дается интерпретация общей теории в случае симметрических суперпространств. В настоящее время не существует развитой теории такого типа несмотря на то, что классификация симметрических суперпространств была получена В. Сергановой около 20 лет назад. Работы [146] и [147] можно рассматривать как первый этап в построении такой теории. В этих работах были рассмотрены некоторые суперпространства связанные с супералгеброй Ли gl. Методы этих работ являются естественным развитием методов работ П. Этингофа и А. Кириллова (мл.), в которых дана интерпретация полиномов Джека и Мак-дональда с точки зрения теории представлений алгебр Ли. В работах [146], [147] были вычислены также сферические функции связянные с модулями Вейля и показано, что они являются собственными функциями для алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Оказалось, что оператор второго порядка совпадает с деформированным оператором

Калоджеро-Мозера при значениях параметра к — 1,1/2. Кроме того доказывается, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керо-вым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским являются собственными функциями этого оператора. Показано также, что при значениях параметра к = 1,1/2 эти полиномы можно интерпретировать как сферические функции связанные с модулями Вейля.

В оставшейся части главы рассматриваются симметрические суперпространства связанные с супералгеброй я. В работе [148] рассмотрены два таких суперпространства и построены две алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Доказывается, что эти алгебры изоморфны и минимальный порядок дифференциального оператора входящего в эти алгебры равен трем. Полиномиальные общие собственные фукции этих операторов совпадают с проективными функциями Шура. Эти функции также интерпретируются как бисферические и сферические функции для неприводимых представлений появляющихся в разложении тензорной алгебры тождественного представления. Как следствие мы получаем есстественную интерпретацию результатов полученных ранее Р. Стем-бриджем в контексте алгебр Гекке.

Главный результат пятой главы состоит в том, что мы интерпретируем деформированные квантовые системы Калоджеро-Мозера типа А как ограничения недеформированных бесконечномерных систем того же типа. В частности, это позволяет получить более концептуальное доказательство интегрируемости квантовых деформируемых систем Калоджеро-Мозера типа А(п,т). Первая половина главы основана на разульта-тах работы [138]. В этой работе было показано, что оператор типа А(п, т) может быть описан как ограничение обычного оператора Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие.

Для доказательства используется теория полиномов Джека и теория сдвинутых полиномов Джека развитая в недавних работах А. Окунько-ва, Г. Ольшанского, Ф. Кноппа и С. Сахи. Доказывается также, что квантовые интегралы построенные в работе [149] могут быть получены как ограничение определенных интегралов обычной задачи Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных. Рассматривается также более общая задача об описании идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно всех квантовых интегралов. Оказывается, что прямоугольные диаграммы выделяются тем свойством, что соответствующая фактор алгебра не имеет делителей нуля. Приводятся также комбинаторные формулы для суперполиномов Джека и их сдвинутых аналогов. В общем случае доказывается, что инвариантные идеалы находятся в биекции с фильтрами в множестве диаграмм Юнга. Понятие фильтра было введено А. Регевом в связи с исследованием идеалов в тензорной алгебре. Следующий параграф основан на результатах работы [136], которая является естественным обобщение результатов работы

138]. Показывается, что деформированный оператор Макдональда-Ру-дженариса может быть описан как ограничение обычного оператора Макдональда-Рудженариса от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие.

1. М. Atiyah, 1.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969.

2. M. Atiyah, Mathematics: Art and Science. Bull, of AMS, 2005, Vol. 43, Number 1, pp.87-88.

3. Ф.А. Борезин, Г.П. Похил, B.M. Финкельберг Уравнение Шрсдингера для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием. Вестник МГУ, в.1, 1964, 21-28.

4. Ф.А.Березин Операторы Лапласа на полупростых группах Ли. Труды Московского Мат. Общества 6, 1971, 371-463.

5. Ф.А. Березин, Лапласа-Казимира операторы (Общая теория). Препринт ITEP-66, Reprinted in: F.A. Berezin Introduction to Superanalysis. Springer, 1987, 279311.

6. Ф.А.Березин, Представления супергруппы U(p,q), Функц. анализ и его приложения, т. 10 (1976), 70-71.

7. Bernstein J., Leites D., The superalgebra Q(n), the odd trace and the odd determinant. C.R. do l'acad. bulg. de Sci. v. 35, n.3, 1982, 285-286

8. Bourbaki, N. Algebre cornmutatif. Ch. V-VII, Masson, Paris, 1985

9. R. Brown, From groups to groupoids: a brief survey. Bull. LMS, 19 (1987) 113-134.

10. Bernstein J., Finite dimensional representations of semisimple Lie algebras. (Ver-ma module approach). In: Leites D. (cd.) Seminar on Supermanifolds, Reports of Stockholm University, n. 10, 1987-92

11. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie. Chap. VI, Hermann, Paris, 1968.

12. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie. Chap. VII-VIII, Hermann, Paris, 1975.

13. R. Brown, From groups to groupoids: a brief survey. Bull. LMS, 19 (1987) 113-134.

14. J. Brundan, Kazhdan-Lusztig polynomials and character formulae for the Lie superalgebra 0l(m|n). J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), no. 1, 185-231.

15. Brundan, Jonathan; Kleshchev, Alexander, Projective representations of symmetric groups via Sergeev duality. Math. Z. 239 (2002), no. 1, 27-68.

16. Brundan, Jonathan; Kleshchev, Alexander, Representation theory of symmetric groups and their double covers. Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), 31-53, World Sci. Publ., River Edge, N.T, 2003.

17. Brundan, Jonathan; Kleshchev, Alexander, Hecke-Clifford superalgebras, crystals of type A^j and modular branching rules for Sn. Represent. Theory 5 (2001), 317-403 (electronic).

18. Barcclo, Helene; Ram, Arun, Combinatorial representation theory. New perspectives in algebraic combinatorics (Berkeley, CA, 1996-97), 23-90, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

19. A. Khodarinova, On quantum elliptic Calogero-Moser problem. Vestnik MGU, Ser.I Math. Mech., 1998, n.5, 16-19.

20. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras. Phys. Rep. 94, 1983, 313-404.

21. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov Quantum systems related to root systems and radial parts of Laplace operators. Funct. Anal. Appl. 12, 1978, 121—128.

22. E. Opdam, Lectures on Dunkl operators. math.RT/9812007.

23. T. Oshima, Completely integrable systems with asymmmetry in coordinates. Asian .T. Math. 2., 1998, 935-955.

24. R.C. Orellana, M. Zabrocki, Some remarks on the characters of the general Lie superalgebra. math.CO/0008152.

25. Orellana, R. C.; Wenzl, H. G., q-centralizer algebras for spin groups. J. Algebra 253 (2002), no. 2, 237-275.

26. I. Penkov, Characters of typical irreducible finite-dimensional q(n)-modules, Funct. Anal. Appl. 20 (1986), 30-37.92 93 [94 [95 [96 [97 [98 [99 [100101 102103104105106107108

27. Penkov, Ivan; Serganova, Vera, Representations of classical Lie superalgebras of type I. Indag. Math. (N.S.) 3 (1992), no. 4, 419-466.

28. Penkov, Ivan; Serganova, Vera, Generic irreducible representations of finite-dimensional Lie superalgebras. Internat. J. Math. 5 (1994), no. 3, 389-419.

29. Pragacz P., Algebro-geometric applications of Schur S- and Q-polynomials. Lect. Notes Math., v. 1478, 1991, 130-191

30. Ram A., Seminormal representations of Weyl groups and Iwahori-Hecke algebras, Proc. London Math. Soc. (3), 75, 1997, 99-133

31. A. Regev, On a class of algebras defined by partitions. Adv. in Appl. Math. 31 (2003), no. 3, 544-561.

32. S.N.M. Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities. Comm. Math. Phys. 110 (1987), no. 2, 191-213.

33. S. Sahi, Interpolation, integrality, and a generalization of Macdonald's polynomials. Internat. Math. Res. Notices (1996), no. 10, 457-471.

34. J.-P. Serre, Algebres de Lie semi-simples complexes. W. A. Benjamin, inc., New York-Amsterdam 1966. English translation: J.-P. Serre Complex semisimple Lie algebras. Springer-Verlag, New York, 1987.

35. J.-P. Serre, Representations lineaires des groupes finis. Hermann, Paris, 1967. English translation: J.-P. Serre Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

36. V. Serganova, On generalization of root system. Commun. in Algebra 24(13), 1996, 4281-4299.

37. V. Serganova, Kazhdan-Lusztig polynomials and character formula for the Lie superalgebra g(m|n). Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), no. 4, 607-651.

38. V. Serganova, Characters of irreducible representations of simple Lie superalgebras. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. II, 583-593.

39. Serganova, V. V., Classification of simple real Lie superalgebras and symmetric superspaces. Funktsional. Anal, i Prilozhen. 17, 1983, no. 3, 46-54

40. Scheunert M., Invariant supersymmetric multilinear forms and the Casimir elements of P-type Lie superalgebras. J. Math. Phys. 28, no. 5, 1987, 1180-1191

41. Schur I., Uber die darstellung der symmetrischen und der alternierden Grouppe durch gebrochene lineare Substitutionen. J. Rein. Angew. Math., v. 139, 1911, 155250

42. Sahi S., A new scalar product for nonsymmetric Jack polynomials. Internat. Math.Res.Notices,20, 1996, 997-1004.

43. R. Stanley, Some combinatorial properties of Jack symmetric functions. Advances in Math., 77, 1989, 76-115.

44. S. Sahi, The spectrum of certain invariant differential operators associated to a Hermitian symmetric space. Progress in Math., 123, 1994, 569-576.

45. A.N. Sergeev, A.P. Veselov, Deformed quantum Calogero-Moser problems and Lie superalgebras. Comm. Math. Phys. 245 (2004), no. 2, 249-278.

46. Sergeev, A. N.; Veselov, A. P., Deformed Macdonald-Ruijsernaars operator and super Macdonald polynomials arXive: 0707.3129.

47. A.N.Sergeev, A.P. Veselov, Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras. arXive: 0704.2250.

48. Vershik, A.M. Vsemirnov, M.V., The local stationary presentation of the alternating groups and normal form. J. Algebra 319 (2008), no. 10, 4222-4229.

49. A.M. Vershik, S.V. Kerov, Asymptotic theory of characters of the symmetric group. Funct. Anal. Appl. 19, 1985, 21-31.

50. Veselov A., Feigin M., Chalykh O., New integrable deformations of the quantum Calogero-Moser problem. Uspehi Mat. Nauk, 51, 1996, no. 3, 185-186

51. A.P. Veselov, M.V. Feigin, O.A. Chalykh, New integrable deformations of quantum Calogero Moser problem. Russian Math. Surveys 51, no.3, 1996, 185-186.

52. A.P. Veselov, Deformations of the root systems and new solutions to generalized WDVV equations. Phys. Lett. A 261, 1999, 297-302.

53. A.P. Veselov, On generalisations of the Calogero-Moser-Sutherland quantum problem and WDW equations. J. Math. Phys. 43, 2002, no. 11, 5675-5682.

54. Yamaguchi M., A duality of the twisted group algebra of the symmetric group and a Lie superalgebra, J. Algebra 222 (1999), 301-327.

55. Yamaguchi M., A duality of the twisted group algebra of the hyperoctaedral group and the queer Lie superalgebra, Combinatorial methods in representation theory (Kyoto, 1998), 401-422, Adv. Stud. Pure Math., 28, Kinokuniya, Tokyo, 2000.

56. Wang, Weiqiang, Spin Hecke algebras of finite and affine types. Adv. Math. 212 (2007), no. 2, 723-748.

57. A. Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry. Notices Ainer. Math. Soc. 43 (1996), 744-752.1173. T. Wall, Graded Brauer groups, .1.Heine Angew.Matli. 213 (1964), 187-199.

58. Weyl H., Classical groups, their invariants and representations, Princeton Univ. Press, Princeton, 1946

59. J. Weyman, The equations of strata for binary forms. J. Algebra 122, 1989, 244-219.