Представления квантовых супералгебр и интегрируемые структуры суперконформной теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЦЕЙТЛИН Антон Михайлович

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ СУПЕРАЛГЕВР И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СТРУКТУРЫ СУПЕРКрНФОРМНОЙ

ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность 01 01 03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00316302 1

Санкт-Петербург 2007

003163021

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Отделении Математического Института им. В.А. Стеклова РАН.

Научный руководитель-

д. ф.-м. н. проф. Решетихин Николай Юрьевич Официальные оппоненты:

д ф -м н проф. Белавин Александр Абрамович к. ф.-м. н. Фок Владимир Владимирович

Ведущая организация

Математический Институт им. В А Стеклова РАН

Защита состоится И /^¿432007 г в ^^' ^^час на заседании диссертационного совета Д 212 232 24 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб , д.7/9, ауд. 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета

Автореферат разослан У ПЦ-^с^&у^п 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат наук

Щекин А.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы В течение последних 20 лет двумерные модели конформно-инвариантной квантовой теории поля (КИКТП) и интегрируемые системы являются объектами интенсивного исследования, как в связи с большим количеством приложений, так и в связи с развитием математических методов их изучения Особенный интерес вызывают как классические, так и квантовые интегрируемые системы, непосредственно связанные с КИКТП, такие как система Кортсвега-де Фриза (КдФ) и ее обобщения, которые могут помочь при изучении возмущений КИКТП Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми", сохраняют абелеву алгебру пнте1ралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории

Основным инструментом исследования квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) *-}тобы использовать КМОЗ для изучения интегрируемых возмущений КИКТП, было предложено следующее сначала использовать конформную симметрию для того чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущенную теорию

Обычная система КдФ, связанная с аффинной алгеброй 2), и ее обобщения, ассоциированные с аффинными и твистованными аффинными (су-пер)аш ебрамн, являются подходящими кандидатами на роль классического предела соотвеютвующей квантовой интегрируемой модели Действительно, непременным атрибутом любой иерархии тппачКдФ является подалгебра в алгебре скобок Пуассона, являющаяся классическим пределом алгебры Ви-расоро - алгебры симметрии КИКТП Пот 1 ому одной из основных задач в данном направлении является квашовапне моделей типа КдФ Ключевым объектом, образующимся в результат квантования, является так называемое ЯТТ-соогношепис, в котором квантовая II-матрица "сплетает" квантовые аналоги матриц монодромии и обеспечивает интегрируемость на квантовом уровне, те приводит к абелевой алюбре инюгралов движения

Далее, посредством чисто алгебраических методов, используя свойства теории представлений соответствующей данной модели квантовой аффинной ими 1в1к гованой аффинной (( уиор)ал1 обры, можно получить соогиопле-ния стияинн для фансфер-м.ириц (с юдов квантовой матрицы монодромии

в различных представлениях соответствующей супералгебры) Можно также попытаться найти аналог Q-оператора Бакстера и соотношения слияния между Q-оператором и трансфер-матрицей

В диссертации изучается ряд вопросов, возникающих в описанных выше исследованиях

Цель работы и задачи исследования Исследование фермионных расширений уравнения КдФ посредством метода обратной задачи н получение со-литонных решений, изучение алгебраической структуры и построение процедуры квантования интегрируемых моделей типа КдФ, связанных с аффинными и твистованными аффинными супералгебрами, изучение "evaluation" представлений квантовых аффинных и твистованных аффинных супералгебр ранга 2, получение правил слияния для трансфер-матриц и построение Q-оператора для моделей КдФ, связанных с супералгебрами ранга 2 Научная новизна Построена процедура квантования суперсимметричных иерархий типа Кортевега - де Фриза (КдФ) Сконструированы вспомогательные операторы, удовлетворяющие RTT-соотношению Эти операторы являются универсальными R-матрицами с нижней подалгеброй Бореля, представленной вертекс-операторами Квантовый аналог матрицы монодромии совпадает со вспомогательным оператором с точностью до экспоненциального множителя Сама матрица монодромии удовлетворяет уравнению отражения, которое позволяет получить условие интегрируемости суперследы матрицы монодромии в представлениях соответствующей квантовой супералгебры коммутируют

Показано, как в классическом, так и в квантовом случае, что генераторы суперсймметрии коммутируют с интегралами движения соответствующей иерархии только в случае, когда связанная с ней супералгебра имеет чисто фермионную систему простых корней

Схема квантования детально разобрана па примере иерархий, cootbcici ву-ющих аффинной супералгебре osp'''(2|l) (иерархия супер-КдФ) и тписгован-ной аффинной супералгебре s/<2'(2|1) (иерархия СУСИ N=1 КдФ)

Явно построены так называемые "evaluation" представления для кпанго-вых аффинной супералгебры osp^(2|l) и твистопанноп аффинной супсрлл-гебры s42)(2|1)

Построены аналоги бакстеровского Q-оперлтора для иерархии КдФ, связанной с аффинной супералгеброй ч/'2'(2|1) Дня этой модепи получены соотношения слияния для трансфер-матриц в различных представлениях В

случае, когда параметр деформации в соответствующей квантовой супералгебре является корнем из единицы, оказалось возможным преобразовать эти соотношения в уравнения термодинамического анзатца Бете

Изучена алгебраическая структура нестандартных N = 2 иерархий и построена процедура их квантования

При помощи метода обратной задачи рассеяния исследовано уравнение супер-КдФ из интегрируемой иерархии, связанной с аффинной супералгеброй ospW(l|2), и получены солптонные решения

Апробация работы Материал!,! диссертации докладывались на международных школах, конференциях и семинарах

СПбГУ, Кафедра Физики Высоких Энергий и Элементарных Частиц (2007), Yale University, Department of Mathematics (2006), III Simons Workshop in Mathematics and Physics, С N Yang Institute for Theoretical Physics, State Umveisity of New York (SUNY), Stony Brook, USA (2005), Prospects m Theoretical Physics, Institute for Advanced Study, Princeton, USA (2005), Strmgs05, Fields Institute for Reseaich in Mathematical Sciences, Tordnto, Canada (2005), Summer School on Strings, Gravity and Cosmology, Penmeter Institute for Theoretical Physics, Waterloo, Ontario, Canada (2005), Weizmann Institute of Science, Department of Physics (2005), Физико-технический институт им А Ф Иоффе (2005), International Advanced Summer School on Modern Mathematical Physics, Dubna, Russia (2004), Stung Theoiy Fiom Gauge Interactions to Cosmology, Caigese, France (2004), GAMM 75th Annual Meeting, Dresden, Germany (2004), IFSAP - 2003 International V A Fock School for Advances of Physics, Xllth session, St Petersburg, Russia (2003), Mysteries, Puzzles and Paradoxes in Quantum Mechanics, Garda Lake, Italy (2003), PWTA'2002, Patterns and Waves Theoiy and Applications, St Peteisbuig, Russia (2002)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1|-[12], перечисленных в конце автореферата

Структура и объем работы Диссертция состоит из введения, пяти глав и заключения

Основное содержание работы

Введение Во введении обсуждает(я амуальность темы, а также содержание нос юдующнх глав и повитпа порученных резульгаюв Первая глава В первой 1лапе рассматривается квантование суиерспммег-

ричных иерархий КдФ связанных с аффинной супералгсброй osp'I'(2|l) (иерархия супер-КдФ) и твистованной аффинной супералгеброй s2^(2|l) (иерархия N = 1 СУСИ КдФ) соответственно Первый параграф посвящен иерархии супер-КдФ Вначале мы рассматриваем основные аспекты классической теории, а именно мы приводим сответствующий фермионный (матричный) L-оператор (в форме Миуры) CF = Du,e + DUig$(u, 9)hao - (eai + 9eao), где hao, eai, eao генераторы Шевалле верхней подалгебры Бореля алгебры osp(2|l)^' рассмотренные в "evaluation" представлении, те hao = —h, еа, = iv+, еао = АХ_ где в свою очередь Х±, v± and h - генераторы супералгебры osp(l|2)

[Л,Хь] = ±2Х±, [h,v±] = ±v±, [X+,X.} = h, (1)

[и±,и±] = ±2Хь, W-] = —h, =и±, [Х±,и±1 = 0

Du,e — д$ + вди - суперпроизводная, переменная и лежит на цилиндре окружности 2тт, 9 - грассманова переменная, Ф(и,в) = ф(и) — бозонное суперполе, а бозонное поле ф и фермнонное поле £ удовлетворяют следующим граничным условиям ф(и + 27т) = ф(и) + 2пгр, £(и + 2п) = ±£(и) Соответствующая же гамильтонова структура задается скобками Пуассона, которые имеют вид {Ои^Ф(и,9),Пи^в'Ф(и',9')} = Duj(5(u-u')(9-9')) Совершая калибровочное преобразование, чтобы перейти к L-оператору обычного уравнения супер-КдФ мы получаем новое суперполе Ы{и, 9) = Ои^Ф(и, в)диФ(и, 9) — (и, 9), так что Ы{и, 9) = — 9U(и) — m(u)/%/2, где U и а образуют суперконформную алгебру относительно скобок Пуассона

{U{u),U{v)} = 8"'{u-v) + 2U'{u)8{u-v)+4U{v)5'(u-v), (2) {(7(u),a(u)} = 3a(u)S'(u — v) + a'(u)6(u — v), {a(u),a(v)} = 25"(и - г>) + 2U{u)S{u - v)

В случае, когда имеют место периодические граничные условия, для ферми-онного поля £ можно определить тгератор суперснмметрии Gо = /Q2lrа(и) Вводя вспомогательный L-операюр

L<d>(A) = тг3{\)(е-п,р'1°°Рехр [2\\и(^{и)е-ф{и)е^-с-2ФМс^ ^ Jo v2 1

+ е2^'еО0)), (3)

мы получаем, что матрица монодромии выражается через этот L^-оператор следующим образом тгДА)(М^) = М(/°(А) = 7г5(А)(е~,"Р'1"°)ь£'')(А) L<c'>-операторы в различных представлениях удовлетворяют следующему соотношению относительно скобок Пуассона {L(sr,)(A) ® =

[г55/(Л/и_1),ь1сг)(Л) ® где г55,(Лд-1) = тгДА) <8> 71>(д)(г) - класси-

ческая тригонометрическая 05р(1)(2|1) г-матрица Отсюда получаем соотношение интегрируемости на классическом уровне {ticí'(Л),= 0, где разложения логарифма ^(А) (индекс 1 соответствует определяющему представлению оэр(2|1)) по А мы получаем локальные интегралы движения (ИД)

/{сг' = I и(и)йи, 4е" = I (и2{и)/2 + а(и)а'(и))<1и,

4е" = I ((и')\и) - 2и\и) + 8а'{и)а"(и) + 12а'{и)а{и)и(и))йи,

Мы видим, что для этой иерархии I еиератор суперсимметрии не коммутирует с (ИД) (тк уже /3е'' не коммутирует с бо)

При квантовании соответствующей системы г-матричные скобки Пуассона для Ь-операторов переходят в ИТТ-соотиошение

К^(АМ-1)(Ь<"»(А) ® 1)(1 ® ь^(м)) (4)

где п55'(а/л-1) - универсальная 11-матрица для аффинной супералгебры а5/;(1)(2|1), которая действует в пространстве 1Т3(Х) ® яу(д), так что (4) приводит к интегрируемости уже на квантовом уровне [¿^(Л), = 0 Было получено, что Ь',7'(А) имеет вид

Ь^(А) = 7г<">(А)(Ь«>)

= е0,+ е2^' еО0)),

где !гао,еа,еао - 1енераторы уже кваиювой аффинной супералгебры одр^1 ^(211), а означают нормальное упорядочение Здесь параметр деформации <7 = е1"^ где /З2 имсег смысл постоянной Планка при квантовании соответствующих скобок Пуассона

Мы видим, что один член в Р-экспопепге отсутствует по сравнению с классическим вариантом (З)-это ю, что отличает квантование иерархии КдФ от квантования се фермпопною расширения

Мы показываем, как операюрпые произведения пар £(и) е-^"' еа, ^(?¿') е-0^') еп внутри Р-экспопепгы приводят в классическом пределе к образованию необходимых в ктассичсском случае членов

В конце первого параграфа мы приводим явную форму и обсуждаем структуру представлений 7г^(Л) (так называемых "evaluation" представлений) квантовой аффинной супералгебры osp^'(2|l) и приводим правила слияния для следов матрицы монодромии ts(A) - трансфер-матриц в различных представлениях ti'V^t^OT17^) = ti^1(q^2X)t<f]1(q^X) + t'f)(X) Иерархия супер-КдФ является хорошим примером для изучения процедуры квантования, однако генератор суперсимметрии не коммутирует с интегралами движения этой иерархии, поэтому данная система является лишь фермнонным, а не суперсимметричным расширением иерархии КдФ Для изучения возмущений суперконформной теории поля более пригодно суперсимметричное расширение КдФ, иерархия N = 1 СУСИ КдФ, которую мы рассмотрим во втором параграфе этой главы В случае этой модели разумно вначале рассмотреть фермионный £-оператор Ср = — Du^ha — (eQo + е„,), где ha, еао, eQl - генераторы Шевалле твистованной аффинной супералгебры sZ(2|l)'2) = osp(2|2)(2' = С(2)^ с коммутационными соотношениями

[hai,hQ 0] = 0, [ftQ0:e±ai] = Те±П1, [/io,,e±Q0] = Те±О0, (5) [Ла,1е±а,1 = ±е±а,, [e±Ql, eTQj] = 5t}hat, (г, j = 0,1),

ad3e±o0e±°i = а<^е±о, е±°о = 0

где генераторы е±а,,е±О0 - фермионные, а Ф(и, в) = ф(и) — - бо-

зонное суперполе с такими же скобками Пуассона как и в модели супер-КдФ Производя калибровочное преобразование £-операюра, чтобы перейти к ^-оператору уравнения N = 1 СУСИ КдФ, мы получаем опять суперполе Ы(и,в) из передыдщего параграфа Матрица монодромии, соответствующая данному £-оператору, имеет следующий вид

М(с/) = e2npA.lPexp f^ du(^(u)e-^n)ea, Jo v 2

__L£(и)е^е0в - - - [eQ,,eO0\) (6)

Аналогично модели супер-КдФ мы можем определить операторы L'c'' = е-тггр/г0]jyjtci)^ КОТОрые удовлетворяют r-матричному cooiношению для скобок Пуассона с соответствующей классической r-матрнцой Таким образом мы аналогично получим интегрируемость на классическом уровне и, разтагая суперслед матрицы монодромии по спектральному nap.iMeipy, мы получим

локальные законы сохранения

= ¿У и(и)ди,4с1) = (и2(и) + а(и)а'(и)/2)йи, 4С" = ^ I (и\и) - (и')2(и)/2 - а'(и)а"(«)/4 - а'(«)а(к)С/(и))с1и)

которые уже будут коммутировать с генератором суперснмметрин - доказа-тельс!во этого факта для этой и других моделей, связанных с супералгебрами с полностью фермиопной системой простых корней, мы отложим до третьей главы

Квантовое обобщенно матрицы монодромии может быть представлено посредством квантовой Р-экспоненты (объяснение этого термина см ниже) М(<?) = с2тГН^рехр{Ч) (Щ\У-(и)е01 + IУ+(и)еао) Вертексные операторы

определены следующим образом 1У±(и) = / ¿в е±ф(и'0' = е±о(и) Обозначая редуцированную универсальную И-матрицу (те уннвер-

I

сальную Г1-матрицу без картановских сомножителей) в которой нижняя подалгебра Бореля представлена посредством (</-1 — д)~1 (1и[¥±(и), через Ь^Цщ, гм) мы получаем, что Ь'7' обладает осповпам свойством Р-экспоиенты Ь(,?'(ыз, «1) = Ь^(и^,и2)Ь^(и2, и^ Однако, представить ее в виде упорядоченных интегралов мы не можем из-за сингулярностей в операторных произведениях фермиопных оператороп Поэтому мы называем ее квантовой экспо-пентой и обозначаем таким образом Ь^Цщ, И]) = Регр^ /ц"2 ¿и(\У^(и)еа1 + Пл+(и)еО0) Соответственно, кванюпая Р-экспонента из определения квантовой матрицы монодромин - это (2л, 0) Аналогично иерархии супер-КдФ мы можем определить вспомогаюльные операторы I/') = е~1"1'1,а'М^4' По построению эти операторы удовлетворяют ШТ-соотношешпо с квантовой II-мафпцей, соответствующей квантовой супералгебре Сч(2)'2' Таким образом суперследы матриц монодромии (трансфер матрицы) 1, = эЬгМ, коммутируют, обеспечивая интегрируемость на квантовом уровне Соотношения слияния для этой модели, а также пос1 роение (^-оператора рассмотрены в главе 2

Вторая глава Вюрая глава посвящена построению бдкетеровгкого ф-опс-раюра п нахождению сосннонкчшй слияния для трансфер-мафиц в разлпч-Н1,IX продсывленнях для иерархии /V = 1 СУСП КдФ

используя с]-с уперос цимляюрпые представления верхней подалгебры Бо-

реля квантовой твистованой аффинной супералгебры Сд(2)^

X±W eQl -» Ае-±, eQo hax = -hQo -> ±11, (7)

где

[Я, £±] = ±е±, q*£+£- + q~h-e+ = i' (8)

мы определяем Q±(A) операторы Трансфер-матрицы в разных "evaluation" представлениях могут быть выражены таким образом 2cos(7rP)ts(A) =

где s пробегает целые и полуцелые неотрицательные числа, которые нумеруют "evaluation" представления Сд(Q-t-операторы удовлетворяют соотношению типа квантового супер-Вронскиана 2cos(nP) = Q+(q*\)Q_(q~*X) + q+((j~j\)Q_(qi\) Отметим, что мы используем только 4s + 1-мерные "evaluation" представления супералгебры С(иногда называемые атипичными Эго позволяет, однако, построить соотношения слияния между трансфер-матрицами, см ниже Чтобы построить соотношение типа баксгеровского, мы построим "руками" дополнительные операторы, построенные посредством q-операторов 2cos(7rP)t|(A) = Q+(gi+iA)Q_(g-i-5A) - Q+(<7"4-3A)Q_(g!+7А), где к положительное нечетное целое Бакстеровские соотношения тогда имеют вид

ti(A)Q±(A) = ±Q±(qh) Т Q±(q~h), ti(9U)Q±(A) = ti(<75A)Q±(i/-l\) + Q±(i?A)

Затем мы можем построить соотношения слияния для грансфер-матрнц, отмечая их сходство с обычным Л;1' случаем

М9*А)Цд-*А) = tJ+. (A)t,_{(A) + (-l)4j

Но в отлнчие от А^ случая, в этих соотношениях присутствуют как трансфер-матрицы, соответствующие представлениям Ся(2)'2\ так и искусственно построенные операторы, не отвечающие каким-бы то ни было представлениям указанной алгебры В случае, когда q корень из единицы qN = ±1, N £ Z+, N > О, полученные соотношения слияния редуцпруЮ1ся t v(A) + t«_i(A) = 2cos(irNP) В случае, когда собственные значения Р имеют вид р = где I > О, I € Z, получается дополнительная редукция =

О, tf (А) = t*_±(A) = (-1)'+\ U_i_,(AgT) = ( —1)4Ч,(А)( —1)'+1' Э.п ре-дукцни позволяют переписать соотношения слияния как уравнения термодинамического анзатца Бете типа Огдг

Третья глава В первой главе были рассмотрено квантование иерархий типа КдФ, связанных с супералгебрами ранга 2 В этой главе мы рассмотрим квантование произвольной иерархии, построенной исходя из ^-оператора, заданного согласно стандартной конструкции Дринфельда-Соколова (ДС) применительно к аффинным н твистованным аффинным супералгебрам

В отличие от первой главы, где мы строили изложение от классической теории к квантовой, в данном случае мы идем в обратном направлении, те предъявляем явную формулу для квантовой матрицы монодромии и затем, рассматривая классический предел, приходим к выражению матрицы монодромии, связанной со стандартным £-оператором, соответствующим стандартной конструкции ДС

Сг = Д. о - А^ФЧ". в)1Г - с0, + веаь), (9)

/ ь

где еапеоь - генераторы, отвечающие простым корням аффинной и твисто-ваной аффинной суперлгебры Ли, #г-образуют базис в подалгебре Карга-на, лежащей в основе простой супералгебры, а Фк{и,9) = фк{и) — бозонные суперполя Выражение для квантовой матрицы монодромии, которое мы предлагаем исходя из изучения примеров, разобранных в главе 1, имеет следующий вид

М(,) = е^"-ретр«,) Г <]„(£ <(«)е0/ + £ (10)

•/2л- ,

где

\УГ

" с)

>) = I АО е-<л-*(ив» е~м{и)) (11)

И'£(и) = ¡т е-(»"'М«в)) = е-(п,,«(»))

и е0/,е0ь,//! соотве1с1вующпе 1еператоры уже квантовой супералгебры Символ Ретр^ квантовой Р-окснонешы распикировывается также как и в параграфе 2 главы 1, те это редуцированная универсальная Я-матрица (универсальная П-ма1рпца без каргановских сомножителе»), соответствующая данной аффинной или твисюванон аффинной супералгсбре, где нижняя подаем ебра Бореля преде гавчена нос роде гном вор 1 ом пых операторов (И) иро-ннкч рировапных 01 0 до 2тг

Соотетствспио, вепомснаючьпые Ь^'-операюры, определенные согласно форму 10 Ь'1'' = е~7пр'//'М''/', удондсч воряюг ЯТТ-соотношеншо, что приводи!

к интегрируемости на квантовом уровне В свою очередь матрица монодро-мии удовлетворяет более сложному соотношению, так называемому уравнению отражения

R12(A/i--1)Mi9)(A)Ff21M^(Ai) = M^(/i)Ff21M(1')(A)R12(AM-1), (12)

где F = K~l картановский множитель из универсальной R-матрицы, Ri2(-Vi_1) = jF,^21IIi2(A/x—1)i7i2, а индексы 1,2 указывают порядок сомножителей в тензорном произведении Спектральные параметры А, /1 в выражении для М^ и R означают что пространства, обозначенные 1 и 2, находятся в каком-то "evaluation" представлении

Оператором суперсимметрии для указанных моделей является следующее выражение Go = ß~2V2f^* ducf>'l(u)£l(и) Мы показываем, что Go коммутирует с суперследом М'9^(А) в случае, когда система простых корней соответствующей супералгебры является чисто фермионной Тем самым генератор суперсимметрии коммутирует с локальными интегралами движения сответствующей интегрируемой иерархии как на классическом, так и на квантовом уровне

В конце главы мы вычисляем классический предел выражения М'9' и получаем выражение

/■2 л-

M(d) = eWPexv / du{J2 W^{u)ea, + £ W?t(u)eab -Jo / ь

h>h

которое совпадает с классической матрицей монодромии, соответствующей ^-оператору (9)

Четвертая глава В предыдущих главах мы рассматривали квантование стандартных иерархий типа КдФ, с аффинными и твисювапыми аффинными супералгебрами, для которых /^-оператор построен исходя из стандартной конструкции Дринфельда-Соколова В четвертой главе мы расширяем этот подход для так называемых нестандартных иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрамн

т+ l|w). Мы подробно рассматриваем модель N=2 СУСИ-КдФ, построенную с помощью супералгебры sZ'''(2|l), при этом все конструкции прямо обобщаемся на случай старшего раша Интерес к таким интегрируемым моделям вызван тем, что процедура квантования становится более содержательной по сравнению со сландаршыми иерархиями Дринфельда-Соколова

Для того, чтобы приступить к квантованию данной модели, мы начинаем с соответствующей классической теории Классическая версия ассоциированной матрицы монодромни представлена посредством Р-экспоненты, но ее показатель состоит не только из генераторов, соответствующих простым корням и их суперкоммутаторам, но также из генераторов, соответствующих более сложным составным корням Мы доказываем, что также, как в "стандартном" случае, все эти члены, соответствующие составным корням, исчезают из первой итерации квантового обобщения Р-экспоненты, кроме тою, мы показываем, что эта "квантовая" Р-экспонента совпадает с редуцированной универсальной R-матрицей, связанной с квантовой супералгеброй s/7(2|1) мы также доказываем, чго суперследы квантовой версии матрицы монодромни, так называемые трансфер-матрицы (по очевидной аналогии с решеточным случаем), коммутируют с генераторами суперсимметрии Следовательно, эти генераторы могут быть включены в семейство интегралов движения как па классическом, гак и на квантовом уровне В последнем разделе мы обсуждаем связь n=2 СУСИ-КдФ с топологическими теориями и их интегрируемыми возмущениями

Пятая глапа В пятой главе исследуется обобщение уравнения Кортевега-де Фриза на супер-случай (супер-КдФ)

Ut = — Uxxx — 6 UUX — 6«rvti, a* = —4axxx — GUax — 3Uxa (14)

где a(x,t) - функция со значениями в нечетной части алгебры Грассма-на A(n)i, a U(x,t) -функция со значениями в ее четной части A(n)g Это уравнение является гамильтоновым со скобками Пуассона, генерирующими суперконформную алгебру (2) Соответствующий гамильтониан - это Н = f(U2{i)/2 + а(л )а'(х))(1т Как и обычное КдФ, это уравнение интегрируемо и допускает представление Лакса С = \А, С]

Именно получению пуассоиоиой структуры и представления Лакса для су-пср-КдФ посвящена первая часть данной главы, а вторая часть посвящена псстедовапню и решению данного уравнения с помощью МОЗР- метода обратной задачи рассеяния Причем, в основном, исследуется случай одномерной длюбры Грассмлна, где уравнение супер-КдФ редуцируется к системе

Ut = -Uxxx - 6UUT, с, = -4сххх - 6Uex - 3Uxe, (15)

где U{ i, 1),е(з , I) обычные функции < о значениями в R

Эта система е< гсствеино гюзннклег для ipact маповой алгебры любой размерное ги, если мы распишем исходное уравнение но базису мономов

0й©'2 0*" Действительно, в первом порядке по 0" у нас и получится N линейных уранений из системы (15) (М-число генераторов в алгебре Грассма-на)

Кроме того, стоит отметить, что единственным нелинейным уравнением (в разложении по базису уравнения супер-КдФ) является обычное уравнение КдФ, все остальные линейны, так что система уравнений имеет "треугольный" вид

Одномерный случай интересен тем, что (15) можно записать так

Ь = [Ь,А], е( = —Ае (16)

где Ь = —д\ — и(х),А = 43^ + 3(1/дх + дх1/) - Ь-А пара для обычного КдФ Отсюда легко вывести то, что если е(х, £) - решение при заданном и(х, ¿), то Ьпе, п = 1,2, - тоже решение при заданном II Так мы получаем бесконечную цепочку решений данного уравнения кроме того случая, когда е(х, £) является собственной функцией Ь Например, если в качестве II взять самое известное решение уравнения КдФ 1/(х, £) = —-у—-г, то, исходя из

предположения, что е[х, £) - собственная функция Ь, легко получить решение

е(х,Ь) = —-¡-^-г (а е И) Эти же решения получены методом обратной

^Ч г (х~с1)) задачи во второй части этой главы

Заключение. В заключении приводятся основные результаты работы Основные выводы и результаты работы

1. Построена процедура квантования для обобщенных иерархий типа КдФ, связанных с аффинными и твистоваными аффинными супералгебрами

2. Показано, как в классическом, так и в квантовом случае, что операторы суперсимметрии коммутируют с интегралами движения для модели типа КдФ только в случае, когда связанная с ней супералгебра имеет чисто фер-мионную систему простых корней

3. Найдена явная реализация "еуа1иа(поп"представле1шй для квантовых аффинных супералгебр и <«р^'(2|1)

4 Построены аналоги бакстеровского (^-оператора для иерархии КдФ, связанной с твистованной аффинной супералгеброй й/'2)(2|1)

5 Получены соотношения слияния для трансфер-матриц в модели СУСИ N = 1 КдФ, связанной с твистованной аффинной супералгеброй 5/'2'(2|1)

6 Построена процедура квантования для нестандартных N = 2 иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами si'1'(m+ l|m) Она изучена в деталях на примере иерархии N = 2 СУСИ КдФ, базирующейся на супералгебре si'1'(2|l) Показано, что как в классическом, так и в квантовом случае оба генератора суперсимметрин коммутируют с интегралами движения

7 При помощи метода обратной задачи рассеяния исследовано уравнение супер-КдФ из интегрируемой иерархии, связанной с аффинной супералгеброй osp^(2|l), и получены солнтонные решения

Работы автора по теме диссертации

1 AM Цейтлин, Квантование N = 2 суперсимметричной иерархии КдФ, Теоретическая и Математическая Физика, т 147, н 2, стр 303-314, 2006 Engl transl Theoietical and Mathematical Physics, v 147, n 2, pp 698-708, 2006, hep-th/0606129

2 PP Kulish, AM Zeithn, Quantization of N=1 and N=2 SUSY Korteweg-de Vries models, in "Problems of Mathematical Physics and Applied Mathematics IofFe Physico-Technical Institute (Сб "Вопросы математической физики и прикладной математики Физико-технический институт им А Ф Иоффе), рр 80-100, St Pcteisbnrg, 2005, hcp-th/0601019

3 Р Р Kulish, А М Zeithn, Quantum supeisyminetric Toda-mKdV hierarchies, Nuclear Physics B, Volume 720, Issue 3, pp 289-306, 2005, hep-th/0506027

4 PP Kulish, A M Zeithn, Supeiconfoimal held theory and SUSY N=1 KdV hieiaichy II the Q-operator, Nuclear Physics B, Volume 709, Issue 3, pp 578-591, 2005, hep-th/0501019

5 A M Zeithn, Integiabihty of Supeiconfoimal Field Theory and SUSY N=1 KdV, in Stung Tlieoiy from Gauge Interactions to Cosmology, NATO Advanced Study Institute, Proc of Caigese Summer School, 2004, NATO Science senes C, pp 393-396, Springer, 2005, hep-th/0501150

G П П Кулиш, A M Цейтлин, Квантовый меюд обратной задачи и (супер) конформная юория поля, Теоретическая и Математическая Физика, г 142, н 2, rip 252-264, 2005, Engl tiansl Theoretкal and Mathematical Physics, v 142,n 2 pp 211-221, 2005, hep-th/0501018

7 PP Kulish, A M Zeithn, Supeiconfoimal Held Theoiy and SUSY N=1 KdV Ilieraichy 1 Veitex Opeiatois and Yang-Baxtei Equation, Physics Lettcis B,

Volume 597, Issue 2, pp 229-236, 2004, hep-th/0407154

8 P P Kulish, A M Zeitlin, Integrable Structure of Superconformai Field Theory and Quantum super-KdV Theory, Physics Letters В, Volume 581, Issues 1-2, pp 125-132, 2004, hep-th/0312159

9. PP Kulishj A M Zeitlin, Quantization of integrable models with hidden symmetries super-KdV equation, Journal of Modern Optics, Volume 51, Numbers 6-7, pp 1107- 1108,2004

10. P P Kulish, A M Zeitlin, Super-KdV equation classical solutions and quantization, Proceedings m Applied Mathematics and Mechanics (PAMM), Volume 4, Issue 1, pp 576 - 577, Wiley InterScience, 2004

11. PP Kulish, A M Zeitlin, Superconformai field theory and quantum inveise scattering method, m Symmetries m Gravity and Field Theory (eds by V Aldaya, J M Cervero, Y P Garcia), Salamanca University Press, pp 435-447, 2004

12. П П Кулиш, A M Цейтлин, Теоретико-групповая структура и метод обратной задачи для уравнения супер-КдФ, Записки Научных Семинаров ПО-МИ, т 291, стр 185-205, 2002, Engl transi Journal of Mathematical Sciences (Spnnger/Kluwer), v 125, Issue 2, pp 203-214, 2005, hep-th/0312158

Подписано в печать 30 07 2007 Тираж 100 экз

199178 Санкт-Петербург, В О Большой проспект, 61, ИПМаш РАН

Заказ N 19

Введение

Супер)конформная теория поля и квантовый метод обратной задачи

Публикации.

1 Представления квантовых аффинных супералгебр ранга и квантование иерархий супер-КдФ и СУСИ N = 1 КдФ

1.1 Иерархия супер-КдФ.

1.1.1 Обзор классической теории уравнения супер-КдФ.

1.1.2 Представление суперконформной алгебры в терминах свободных полей. Вершинные операторы.

1.1.3 Квантовая матрица монодромии и соотношения слияния

1.2 Иерархия N=1 СУСИ-КдФ.

1.2.1 Интегрируемая Иерархия СУСИ N=1 КдФ.

1.2.2 Квантовая матрица монодромии и ШТ-соотношение

2 (^-оператор и соотношения слияния

2.1 Построение (^-оператора и Соотношения Слияния.

2.2 Редукция соотношений слияния

3 Вертекс-операторные представления аффинных супер) алгебр и квантование иерархий КдФ

3.1 Квантование бозониых иерархий типа Тоды-мКдФ.

3.2 Квантование иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами.

3.3 Интегралы движения и инвариантность относительно преобразования суперсимметрии.

4 Квантование нестандартных суперсимметричных иерархий КдФ

4.1 Нестандартная форма иерархии N=2 СУСИ-КдФ.

4.2 Квантовая И-матрица и базис Картана-Вейля для (211)

4.3 Построение квантовой матрицы монодромии.

4.4 Замечания и возможные приложения.

5 Теоретико-групповая структура и метод обратной задачи рассеяния для уравнения супер-КдФ

5.1 Теоретико-групповая структура уравнения супер-КдФ

5.1.1 Теоретико-групповая схема и редукция Дринфельда-Соколова для супералгебры озр(1|2)

5.1.2 Бесконечная последовательность гамильтонианов. Уравнение супер-КдФ.

5.2 Метод обратной задачи рассеяния для уравнения супер-КдФ.

5.2.1 Прямая задача.

5.2.2 Обратная задача.

В течение последних 20 лет двумерные модели конформно-инвариантной квантовой теории поля (КИКТП) и интегрируемые системы являются объектами интенсивного исследования, как в связи с большим количеством приложений, так и в связи с развитием математических методов их изучения. Особенный интерес вызывают как классические, так и квантовые интегрируемые системы, непосредственно связанные с КИКТП, такие как система Кортевега-де Фриза (КдФ) и её обобщения, которые могут помочь при изучении возмущений КИКТП. Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми", сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории.

Супер)конформная теория поля и квантовый метод обратной задачи

Основным инструментом исследования квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи (КМОЗ). Чтобы использовать КМОЗ для изучения интегрируемых возмущений КИКТП, было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того, чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.

Квантовый метод обратной задачи появился в работах Ленинградской школы математической физики в конце 70-х годов [1],[2]. Он возник в результате синтеза двух подходов к теории интегрируемых систем. Первый подход, так называемый метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), был открыт в 1967 г. [3], по имеет более глубокие корни в работах по классической механике 19-го века, а второй подход до конца 70-х годов применялся к задачам статистической физики на решётке и квантовой механики [4],[5]. МОЗР дал возможность находить целые классы (иерархии) интегрируемых двумерных нелинейных эволюционных уравнений и получать их решения. В дальнейшем, в течение нескольких лет после открытия МОЗР была понята алгебраическая структура метода [6] и получена гамильтонова интерпретация [7]. Оказалось, что гамильтоповы системы, соответствующие этим уравнениям, вполне интегрируемы и обладают бесконечным числом законов сохранения. Алгебраическая структура МОЗР даёт возможность рассматривать исследуемое нелинейное уравнение, как условие совместности системы линейных уравнений дх* = Щх,г,\)% (1) д& = У{х,Ь,\)% (2) так называемое условие нулевой кривизны [8]: дхУ - др + [и, V] = о, (3) где функции и и V принимают значения в некотором представлении алгебры Ли g. Гамильтонова интерпретация [7] позволила рассматривать преобразование к данным рассеяния линейной задачи (1), как переход к переменным типа "действие-угол", в терминах которых задача сводится к линейным уравнениям. Это преобразование вместе со своим обратным даёт решение задачи Коши для данного уравнения. Соответствующее бесконечное семейство интегралов движения можно извлечь из разложения по спектральному параметру следа матрицы монодромии уравнения (1). Скобки Пуассона для элементов матрицы монодромии Т(А) при различых значениях спектрального параметра часто удаётся представить в такой форме:

Т(А)®,Т(д)} = [г(Х^1),Т(\) ® ЗД (4) где г - классическая г- матрица [8]. Отсюда легко вывести, что {¿(А), ¿(/г)} =0, где £(А) = ЬгТ(А), т.е. условие интегрируемости, как наличие ипволю-тивных интегралов движения. При квантовании (4) переходит в ИТТ-соот-ношение:

Л(А/х-1)(Т<«>(А) ® /)(/ ® Т®{ц)) = (/ ® А) ® 7)Л(А^"1), (5) где Я - квантовая Л-матрица [9],[10]. Как и па классическом уровне, отсюда легко получить, что [¿^(А), ^(/л)] = 0, т.е. интегрируемость на квантовом уровне. Соотношение (5) является отправной точкой уже упоминавшегося второго подхода в теории интегрируемых систем. Используя ИТТ-соотношение, с помощью различных методов, например, алгебраического анзатца Бете, можно найти спектр трансфер- матрицы и различные корреляторы. Часто, для того чтобы получить (5) для двумерных интегрируемых систем теории поля, приходится рассматривать их на решётке.

Но для определённого сорта систем, таких, как иерархия Кортевега- де Фриза (КдФ), оказывается возможным вывести ИТТ-соотношение и получить явный вид матрицы монодромии, используя непрерывную теорию поля [11]-[15]. Уравнение КдФ также допускает квантование иным способом, с помощью бозоп-фермионного соответствия [16], а также на решётке [17], [18].

В данной диссертации мы существенно расширим класс систем, поддающихся квантованию в терминах непрерывных полей, включив туда иерархии КдФ, базирующиеся на супералгебрах.

Иерархии КдФ и их супераналоги играют важную роль при анализе интегрируемых структур, возникающих в конформной теории поля и её супер-расширениях.

В 1970 г. была высказана гипотеза [19] о том, что теория поля, отвечающая неподвижной (критической) точке ренорм-группы, обладает не только масштабной, но и конформной инвариантностью. В двух измерениях, благодаря тому факту, что двумерная конформная симметрия бесконечномерна и связана с алгеброй Вирасоро:

Ьп, Ьт] = (га - т)Ьп+т + — (и3 - п)6п-т, (6) оказывается возможным классифицировать все поля в теории и вычислять корреляционные функции.

Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми" [20], сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории.

В статьях [11]-[15] было показано, что в этом случае задача может быть решена с помощью КМОЗ в терминах непрерывных полей. Было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.

Обычная система КдФ, связанная с аффинной алгеброй в 1(2) и её обобщения, ассоциированные с аффинными и твистованными аффинными (су-пер)алгебрами являются подходящими кандидатами на роль классического предела соответствующей квантовой интегрируемой модели. Действительно, непременным атрибутом любой иерархии типа КдФ является подалгебра в алгебре скобок Пуассона, являющаяся классическим пределом алгебры Вирасоро - алгебры симметрии КИКТП. Поэтому одной из основных задач в данном направлении является квантование моделей типа КдФ. Ключевым объектом, образующимся в результате квантования, является так называемое RTT-соотношение, в котором квантовая R-матрица "сплетает" квантовые аналоги матриц монодромии и обеспечивает интегрируемость на квантовом уровне, т.е. приводит к абелевой алгебре интегралов движения.

Далее, посредством чисто алгебраических методов, используя свойства теории представлений соответствующей данной модели квантовой аффинной или твистованой аффинной (супер)алгебры, можно получить соотношения слияния для трансфер-матриц (следов квантовой матрицы монодромии в различных представлениях соответствующей супералгебры). Можно также попытаться найти аналог Q-опсратора Вакстера и соотношения слияния между Q-оператором и трансфер-матрицей.

В диссертации изучается ряд вопросов, возникающих в описанных выше исследованиях. Мы дадим описание этой диссертации по главам.

В первой главе рассматривается квантование суперсимметричпых иерархий КдФ, связанных с аффинной супералгеброй osp^ (2|1) (иерархия супер-КдФ) [21]-[24], и твистованной аффинной супералгеброй (иерархия N = 1 СУСИ КдФ) [25] соответственно. Первый параграф посвящен иерархии супер-КдФ. Вначале мы рассматриваем основные аспекты классической теории, а именно, мы приводим сответствующий фермионный матричный ^-оператор в форме Миуры:

CF = Dufi + Du^(u, e)hao - (eai + веао), (7) где hao, eav eao - генераторы Шевалле верхней подалгебры Бореля алгебры osp(l|2)^\ рассмотренные в "evaluation" представлении, т.е. haa = ~h, eai = iv+, eao = где, в свою очередь, Х±, v± and h - генераторы супералгсбры osp( 1|2): h,X±] = ±2Х±, [h,v±] = ±v±, [X+,X] = h, (8) v±,v±] = ±2X±, [v+,v-] = -h, \X±iv^] = v±, [X±,v±}=Q.

Du,e — дд + 6ди - суперпроизводная, переменная и лежит на цилиндре окружности 27г, в - Грассманова переменная, Ф(и,0) = ф(и) — бозонное суперполе, а бозонное поле ф и фермионпое поле £ удовлетворяют следующим граничным условиям: ф(и + 2тг) = ф(и) + 2тр, + 27т) = ±£(и), (9) соответствующая же гамильтоиова структура задаётся скобками Пуассона, которые имеют вид:

Бщв Ф(«, в), Ои,в,Ф(и', 0')} = ~ и) (0 - в')). (10)

Совершая калибровочное преобразование, чтобы перейти к Ь-оператору обычного уравнения супер-КдФ, мы получаем новое суперполе:

Щи,в) = Ои,вФ{и,в)диФ{щО) так что

Щи, в) = -911 {и) - 1а{и)/у/2, где и и а образуют суперконформную алгебру (И) относительно скобок Пуассона: и{и), и{ь)} = 5"'{и-у) + 2и'{и)5{и-у) + 4и(и)5'{и-у), (11) {17(и),а(у)} — 2>а(и)5'(и — у) + а'(и) 6 (и — у), {<*(«),«(*;)} = 25"{и-у)+2и{и)6{и-у).

В случае, когда имеют место периодические граничные условия для фер-миопного поля можно определить генератор суперсимметрии: г2ж о= / а(и). оо

Для того чтобы построить процедуру квантования, нам понадобится следующий объект, а именно Ь-оператор, который определяется следующим образом: г>2тг е еа1 е еа1

Ь^(А) = тг,(А)(е-^Рехр у е2^еао)), (12) так что матрица монодромии выражается через -оператор следующим образом:

7Г5(А)(М^) = М^(А) - тг,(А)(е-7Г^о)ь(сг)(А).

Ь^-операторы в различных представлениях удовлетворяют следующему соотношению относительно скобок Пуассона:

Ъ^(А) Ь^)} = [г.ЛА//"1), Ь^(А) ® Ь^Ы], (13) где

А/Г1) = 7гДЛ) ® 7Гв/(^)(г)

- классическая тригонометрическая овр^(2|1) г-матрица. Отсюда получаем соотношение интегрируемости на классическом уровне:

14) где ^(А) = в£гМ^(А). Из разложения логарифма tl (Л) (следа матрицы монодромии в определяющем представлении 05р(2[1)) по А мы получаем локальные интегралы движения (ИД): с° = J Щи)аи, (15)

1^ = I (и2{и)/2 + а{и)а'{и))<1и,

I[ ((и')2{и)-2и3{и) + 8а'{и)а"{и) + 12а'{и)а(и)и{и))аи,

Мы видим, что для этой иерархии генератор суперсимметрии не коммутирует с ИД, так как уже /3 не коммутирует с СоПри квантовании соответствующей системы соотношение типа (13) переходит в ИТТ-соотношение:

К,ЛА/г-1)(Ь^(А)®1)(1®^)(д)) (16) где ^(А/Г1) - универсальная 11-матрица, которая действует в пространстве 7г5(А) <8> яу(/л), что приводит к интегрируемости уже на квантовом уровне:

Ьа{\)Ми)] = 0- (17)

Было получено, что имеет вид: #(А)(е-^оРехр : е"«и> : еа1+ : е2^ : еао)), где haа,еа,еао - генераторы уже квантовой аффинной супералгебры ospg1'(211), а :: означают нормальное упорядочение. Здесь параметр деформации q — , где ¡З2 имеет смысл постоянной Плапка при квантовании скобок Пуассона (156).

Мы видим, что один член в Р-экспоненте отсутствует по сравнению с классическим вариантом (12). Это именно то, что отличает квантование ирархии КдФ от квантования её фермионного расширения.

Мы показываем, как операторные произведения пар f(u) : : efl, : : еа внутри Р-экспонепты приводят в классическом пределе к образованию необходимых в классическом случае членов е~2ф^2е2а. В главе 1 мы приводим явную форму и обсуждаем структуру представлений 7Г^(А) (так называемых "evaluation" представлений) квантовой аффинной супералгебры ospq^ (2|1), а также пприводим гипотетические правила слияния для следов матрицы монодромии ts(A) - трансфер-матриц в различных представлениях: t^iq^X^iq-^X) = + t?)(A). (18)

Иерархия супер-КдФ является хорошим примером для изучения процедуры квантования, однако генератор суперсимметрии не коммутирует с интегралами движения этой иерархии, поэтому данная система является лишь фермионным, а не суперсимметричным расширением иерархии КдФ. Для изучения возмущений суперконформной теории поля более пригодно суперсимметричное расширение КдФ, иерархия N = 1 СУСИ КдФ, которую мы рассмотрим во втором параграфе первой главы. В случае этой модели разумно вначале рассмотреть фермионный /^-оператор: f = Dufi — Dufi$ha — (еО0 + eai), (19) где ha, еао, eai - генераторы Шевалле твистованной аффинной супералгебры s/(2|l)^ = osp{2\2)W * С{2)^ с коммутационными соотношениями hai,haQ] = 0, [hao,6±aJ = [ha^ е±а0] = Т6±а0> (20)

Ко e±aJ = ±e±Qi, [e±Qi) e¥aJ = 5ijhai, (i,j = 0,1), ade±a0e^i = 0, 43±aie±a о = °> где генераторы е±а1, е±ао - оба фермионные, а ф (и,е) = ф(и)--^=ваи)

- бозоныое суперполе со скобками Пуассона (10). Производя калибровочное преобразование ^-оператора, чтобы перейти к £-оператору уравнения N — 1 СУСИ КдФ мы получаем опять суперполе Ы(и,0) из первого параграфа первой главы. Матрица монодромии, соответствующая ^-оператору (19), имеет следующий вид:

2тг •

М^ = е2"рЛ°1Рехр J ¿и(-д£{и)е~ф{и)еа1

- - е^ - [е^]). (21)

Аналогично модели супер-КдФ мы можем определить операторы е~пгрка1М.(с1\ которые удовлетворяют г-матричному соотношению (13) с соответствующей классической г-матрицей. Аналогично мы получаем условие интегрируемости на классическом уровне. Разлагая сунсрслед матрицы монодромии по спектральному параметру, мы получим локальные законы сохранения:

А(С° = ^ / Щи)йщ- (22)

4с1) = (и2(и) + а(и)а'(и)/2)<Ли,

IМ = 1.I {и\и)~{и')2{и)12-а\и)а\и)1А~а'{и)а{и)и{и))Ащ которые уже будут коммутировать с генератором суперсимметрии. Доказательство этого факта для этой и других моделей, связанных с супералгебрами с полностью фермионной системой простых корней, приведено в главе 3.

Квантовое обобщение матрицы монодромии может быть представлено посредством квантового Р-экспоненциала (объяснение этого термина см. ниже): г2к

М(9) = е2мП1рехр(ч) / + ]^+{и)еао).

Jo

Вертексные операторы \¥± определены следующим образом:

И'±{и) = 1^0: е±ФМ := : е±ф{и) : .

Обозначая редуцированную универсальную 11-матрицу (т.е. универсальную И-матрицу без картановских сомножителей), в которой нижняя подалгебра Бореля представлена посредством гиг

От1 с1и\¥±(и) через мы видим, что полученный объект обладает основным свойством Р-экспоиенты:

Однако, представить её в виде упорядоченных интегралов мы не можем из-за сингулярпостей в операторных произведениях фермиоииых операторов. Поэтому мы называем её квантовой экспонентой и вводим для нее следующее обозначение: ги2

1(<1]{и2,щ) = Рехр{д) / ¿и(\¥-{и)еа1+\¥+{и)еао). (23) и и 1

Соответственно, квантовая Р-экспонента из определения квантовой матрицы монодромии может быть записана как Ь^(27Г, 0). Аналогично иерархии супер-КдФ мы можем определить вспомогательные операторы

По построению эти операторы удовлетворяют ШТ-соотношению с квантовой И-матрицей соответствующей квантовой супсралгебре Сд(2)(2\ Таким образов!, суперследы матриц монодромии (трансфер матрицы) — коммутируют, обеспечивая интегрируемость на квантовом уровне. Соотношения слияния для этой модели, а также построение (^-оператора рассмотрено в главе 2.

Вторая глава посвящена построению Бакстеровского (^-оператора [26], [27] и нахожению соотношений слияния для трансфер-матриц в различных представлениях для иерархии N — 1 СУСИ КдФ.

Используя q-суперосцилляторныс представления верхней подалгебры Бо-реля квантовой твистованой аффинной супералгебры Cq(2)^

Х±(А) : eai -* Хе±, еао -> ^Ае^, hQi = -hao ±Н, (24) где ^

Н, е±} = ±£±, q^e+e- + q~*£-£+ =-г, (25) q-q 1 мы определяем Q±(A) операторы. Трансфер-матрицы в разных "evaluation" представлениях могут быть выражены таким образом:

2cos(rrP)t$(X) = Q+(qs+h)Q4q-s~h) + Q+(q's~h)Q4qs+h), где s пробегает целые и полуцелые неотрицательные числа, которые нумеруют "evaluation" представления Cq(2)(2\ Q-¡--операторы удовлетворяют соотношению типа квантового супер-Вронскиана:

2cos(nP) = Q+(g?A)Q(g-3A) + Q+{q-*\)Q-(qh).

Отметим, что мы используем только 4s + 1-мерные "evaluation" представления супералгебры С(2)^\ иногда называемые атипичными. Это позволяет, однако, построить соотношения слияния между трансфер-матрицами, см. ниже. Чтобы сконструировать соотношение типа Бакстеровского, мы построим "руками" дополнительные операторы посредством Q-операторов:

2cos{irP)U(X) = Q+{qi+h)Q4q-i~i\) - Q+(<fHA)Q(gHA), 4 где к - положительное нечётное целое. Тогда бакстеровские соотношения имеют вид: ti(A)Q±(A) = ±Q±(qh) т Q±(q-h), ti(^A)Q±(A) - t. (qh)Q±(q-h) + Q±(q\).

Следом мы можем построить соотношения слияния для трансфер-матриц, отмечая их сходство с обычным случаем: tj(qh)tj(q-h) = tjH(X)tH(\) + (-1)4

Но в отличие от А^ случая, в этих соотношениях присутствуют как трансфер-матрицы соответствующие представлениям Cq(2)(2\ так и искусственно построенные операторы, не отвечающие каким бы то ни было представлениям указанной алгебры. В случае, когда q ~ корень из единицы: ±1, N £ N > 0, полученные соотношения слияния редуцируются:

В случае, когда собственные значения Р имеют вид р — где I > О, I € Ъ, получается дополнительная редукция:

- О,

1(Х) = = (-1)г+\

Эти редукции позволяют переписать соотношения слияния как уравнения термодинамического анзатца Бете типа О^ы

В главе 1 было рассмотрено квантование иерархий типа КдФ, связанных с супералгебрами ранга 2. В главе 3 мы рассмотрим квантование произвольной иерархии построенной исходя из ^-оператора заданного стандартной конструкции Дринфельда-Соколова (ДС) применительно к аффинным и твистованным аффинным супералгсбрам [28].

В первом параграфе третьей главы мы дадим обобщение процедуры квантования моделей КдФ предложенной в [11], [15] для иерархий связанных с аффинными алгебрами ^з на случай ииерархии связанной с произвольной аффинной алгеброй Ли. А именно, стартуя с Ь-оператора записанного в форме Миуры, мы определяем классическую матрицу мо-нодромии и вспомогательную Ь-матрицу и затем предъявляем их квантовые аналоги. Мы также даём два доказательства того, что квантовые Ь-операторы удовлетворяют ЮТ-соотношению.

Во втором параграфе мы непосредственно переходим к квантованию иерархии типа КдФ, связанной с произвольной аффинной супералгеброй. В противоположность главе 1, где мы строили изложение от классической теории к квантовой, в данном случае мы идём в обратном направлении, т.е. предъявляем явную формулу для квантовой матрицы монодромии и затем, рассматривая классический предел, приходим к выражению матрицы монодромии, связанной со стандартным ^-оператором, соответствующим стандартной конструкции ДС:

СР = Д,>9 - Д^Ф\и, в)Н1 - еа/ + £ 0еаь), (26) ь где еагеаь - генераторы, отвечающие простым корням аффинной и тви-стованой аффинной суперлгебры Ли, Н1 образуют базис в подалгебре Кар-тана, лежащей в основе простой супералгебры, а

Ф к(и,9) = фк(и)-~ве(и)

-бозонные суперполя. Основываясь на примерах из главы 1, мы задаем квантового матрицу монодромии следующим образом:

М(?) = е^Рехр{ч) И^(«)ев/ + £<(«)еаь), (27) где у£(и) = у : ; : (28)

У%{и) = ! т : :=: . (2д) и еареаь,Нг - соответствующие генераторы уже квантовой супералгебры. Символ Рехр^ квантовой Р-эксиоиенты расшифровывается также как и в параграфе 2 главы 1, т.е. это редуцированная универсальная 11-матрица (универсальная 11-матрица без картановских сомножителей), соответствующая данной аффинной или твистованой аффинной супералгсбре, где нижняя подалгебра Бореля представлена посредством вертексных операторов (28), проинтегрированных от 0 до 27г.

Соответственно, вспомогательные -операторы, определённые формулой И/9) = е~трЧ1'М.(д\ удовлетворяют ИТТ-соотношению, что приводит к интегрируемости на квантовом уровне. В свою очередь, матрица монодромии удовлетворяет более сложному соотношению, так называемому уравнению отражения: адл/^м^л^м^) = М^(//)^-21м19)(Л)К12(Л/Г1), (30) где F = К- это картановский множитель из универсальной И-матрицы,

Н12(Л//-1) = ^^(А/Г1)^, а индексы 1,2 указывают порядок сомножителей в тензорном произведении. Спектральные параметры А, // в выражении для и II означают, что пространства, обозначенные 1 и 2 находятся в каком-то "evaluation" представлении.

В конце второго параграфа третьей главы мы вычисляем классический предел выражения М^ и получаем выражение

M(d) = ¿WiPPexp / du(£ WFaf(u)ea¡ + Y, К№°ь

Jo y V l>/2 которое совпадает с классической матрицей монодромии, соответствующей ¿-оператору (26).

В последнем, третьем параграфе третьей главы мы изучаем инвариантность иерархий КдФ базирующихся на супералгебрах относительно преобразования суперсимметрии. Оператором суперсимметрии для указанных моделей является следующее выражение:

Go = Г2V2¿"1/2 / <1иф'\ч)£{ч) = ß~^naln. (32)

1=0 neZ

Мы показываем, что Go коммутирует с суперследом М^(А), в случае когда система простых корней соответствующей супералгебры является чисто фермионной. Тем самым генератор суперсимметрии коммутирует с локальными интегралами движения сответствующей интегрируемой иерархии как на классическом, так и на квантовом уровне.

В главах 1-3 мы рассматривали квантование стандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными и твистоваными аффинными супералгебрами, для которых ¿-оператор построен, исходя из стандартной конструкции Дринфельда-Соколова. В четвёртой главе мы расширяем этот подход для так называемых нестандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными супералгебрами sl^(m + 1|т) [29], [30]. Мы подробно рассматриваем модель N=2 СУСИ-КдФ, построенную с помощью супералгебры s№( 2|1), при этом все конструкции прямо обобщаются на случай старшего ранга. Интерес к таким интегрируемым моделям вызван тем, что процедура квантования становится более содержательной по сравнению со стандартными иерархиями Дринфельда-Соколова.

Для того чтобы приступить к квантованию данной модели, мы начинаем с соответствующей классической теории. Классическая версия ассоциированной матрицы монодромии представлена посредством знакомой Р-экспонепты, но её показатель состоит пе только из генераторов, соответствующих простым корням и их квадратичным комбинациям, но также из генераторов, соответствующих более сложным составным корням. Мы доказываем, что также как в в "стандартном" случае все эти члены, соответствующие составным корням, исчезают из первой итерации квантового обобщения Р-экспоненты; кроме того, мы показываем, что эта "квантовая" Р-экспонента совпадает с редуцированной универсальной И-матрицей, связанной с квантовой супералгсброй 5/9(2|1). Мы также доказываем, что суперследы квантовой версии матрицы монодромии, так называемые трансфер-матрицы (по очевидной аналогии с решёточным случаем), коммутируют с генераторами суперсимметрии. Следовательно, эти генераторы могут быть включены в семейство интегралов движения как на классическом, так и на квантовом уровне. В последнем разделе мы обсуждаем связь N=2 СУСИ-КдФ с топологическими теориями и их интегрируемыми возмущениями.

В пятой главе исследуется обобщение уравнения Кортевега-де Фриза на супер-случай (супер-КдФ) [31], [35]: где а(х^) - функция со значениями в нечетной части алгебры Грассмана А(п) 1, а и(х,Ь) -функция со значениями в ее четной части А(п)д. Это уравнение является гамильтоновым со скобками Пуассона, генерирующими суперконформную алгебру (11). Соответствующий гамильтониан - это

Как и обычное КдФ, это уравнение интегрируемо и допускает представле

Собственно первая часть главы 5 посвящена вышесказанному, то есть получению пуассоновой структуры и представления Лакса для супер-КдФ.

Вторая часть главы 5 посвящена исследованию и решению данного уравнения с помощью МОЗР - метода обратной задачи рассеяния. Причем, в основном, исследуется случай одномерной алгебры Грассмана, где уравнение

Щ = ~иххх ~ виих - 6аахх, а* = ~4аххх — 61/ах — 3 иха,

33)

34) ние Лакса С — [Л,£]. супер-КдФ редуцируется к системе эд = -иххх - биих, е1 = -4еххх - 61/ех - Шхе, (35) где и(х, Ь), е(х, Ь) - обычные функции со значениями в К.

Эта система естественно возникает для грассмановой алгебры любой размерности, если мы разложим исходное уравнение по базису мономов Он(д12. .04 Действительно, в первом порядке по 6г у нас и получится система (35).

Кроме того, стоит отметить, что единственным нелинейным уравнением (в разложении по базису уравнения с-КдФ) является обычное уравнение КдФ, все остальные - линейны и выражаются друг через друга, так что тут имеет место некоторого сорта "треугольность" данной системы. Одномерный случай интересен тем, что (35) можно записать так: где

Ь = -д2х-и(х), А = 4дЦ + 3(идх + дхи)

- есть Ь-А пара для обычного КдФ. Отсюда легко вывести то, что если е(х, £) - решение при заданном и(х, ¿), то Ьпе, п = 1,2,. - тоже решение при заданном и. Так мы получаем бесконечную цепочку решений данного уравнения кроме того случая, когда е(х, ¿) является собственной функцией Ь. Если в качестве и взять самое известное решение уравнения КдФ:

2сЬ2(^ (х - с£)) то, исходя из предположения, что е(х, ¿) - собственная функция Ь, легко получить решение

-- (аеЯ). (38) сЦЩх - а))

Эти же решения получены методом обратной задачи в части 5.2.

Наконец, в заключении приведены основные результаты, полученные в данной работе. Они базируются, в основном, на следующих публикациях.

Публикации

1. A.M. Цейтлин, Квантование N = 2 суперсимметричной иерархии КдФ, Теоретическая и Математическая Физика, т. 147, н. 2 (2006) 303-314 Engl. transí.: Theoretical and Mathematical Physics, v. 147, n. 2, pp. 698-708, 2006; arXiv preprint: hep-th/0606129

2. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Quantization of N=1 and N=2 SUSY Korteweg-de Vries models, in "Problems of Mathematical Physics and Applied Mathematics Ioffe Physico-Technical Institute (Сб. "Вопросы математической физики и прикладной математики Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе), pp. 80-100, St. Petersburg, 2005; arXiv preprint: hep-th/0601019

3. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Quantum supersymmetric Toda-mKdV hierarchies, Nuclear Physics B, Volume 720, Issue 3, pp. 289-306, 2005; arXiv preprint: hep-th/0506027

4. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal field theory and SUSY N=1 KdV hierarchy II: the Q-operator, Nuclear Physics B, Volume 709, Issue 3, pp. 578-591, 2005; arXiv preprint: hep-th/0501019

5. A.M. Zeitlin, Integrability of Superconformal Field Theory and SUSY N=1 KdV, in String Theory: from Gauge Interactions to Cosmology, NATO Advanced Study Institute, Proc. of Cargese Summer School, 2004, NATO Science series C, 393-396, Springer, 2005; arXiv preprint: hep-th/0501150

6. П.П. Кулиш, A.M. Цейтлин, Квантовый метод обратной задачи и (супер) конформная теория поля, Теоретическая и Математическая Физика, т. 142, н. 2 (2005) 252-264; Engl. transí.: Theoretical and Mathematical Physics, v. 142, n. 2, 211-221, 2005; arXiv preprint: hep-th/0501018

7. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal Field Theory and SUSY N=1 KdV Hierarchy I: Vertex Operators and Yang-Baxter Equation, Physics Letters B, Volume 597, Issue 2, pp. 229-236, 2004; arXiv preprint: hep-th/0407154

8. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Integrable Structure of Superconformal Field Theory and Quantum super-KdV Theory, Physics Letters B, Volume 581, Issues

1-2, pp. 125-132, 2004; arXiv preprint: hep-th/0312159

9. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Quantization of integrable models with hidden symmetries: super-KdV equation, Journal of Modern Optics, Volume 51, Numbers 6-7, pp. 1107- 1108, 2004

10. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Super-KdV equation: classical solutions and quantization, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM), Volume 4, Issue 1, pp. 576 - 577, Wiley IntcrScience, 2004

11. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal field theory and quantum inverse scattering method, in Symmetries in Gravity and Field Theory (cds. by V. Aldaya, J.M. Cervero, Y.P. Garcia), Salamanca University Press, pp. 435-447, 2004

12. П.П. Кулиш, A.M. Цейтлин, Теоретико-групповая структура и метод обратной задами для уравнения супер-КдФ, Записки Научных Семинаров ПОМИ, т. 291 (2002) 185-205; Engl. transí. : Journal of Mathematical Sciences (Springer/Kluwer), v. 125, Issue 2, pp. 203-214, 2005; arXiv preprint: hep-th/0312158

Заключение

В этом разделе мы приводим основные результаты диссертации:

1. Построена процедура квантования для обобщённых иерархий типа КдФ, связанных с аффинными и твистоваными аффинными супералгебрами.

2. Показано, как в классическом, так и в квантовом случае, что генераторы суперсимметрии коммутируют с интегралами движения для модели типа КдФ только в случае, когда связанная с ней супералгебра имеет чисто фермионную систему простых корней.

3. Найдена явная реализация "evaluation"представлений для квантовых аффинных супералгебр s/g^(l|2) и ospP(2\1).

4. Построены аналоги Бакстеровского Q-оператора для иерархии КдФ, связанной с твистованной аффинной супералгеброй s/(2)(2|l).

5. Получены соотношения слияния для трансфер-матриц в модели СУ-СИ N = 1 КдФ, связанной с твистованной аффинной супералгеброй 2|1)

6. Построена процедура квантования для нестандартных N = 2 иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами l|m). Она изучена в деталях на примере иерархии N — 2 СУСИ КдФ, базирующейся на супералгебре s/W(2|l). Показано, что как в классическом, так и в квантовом случае оба генератора суперсимметрии коммутируют с интегралами движения.

7. При помощи метода обратной задачи рассеяния исследовано уравнение супер-КдФ из интегрируемой иерархии, связанной с аффинной супералгеброй osp^(211), и получены солитонные решения.

1. Скляиин Е.К., Тахтаджян J1.A., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задачи I. ТМФ 40 (1979) 194

2. Kulish P.P., Sklyanin Е.К.: Quantum inverse scattering method and the Heisenberg ferromagnet. Phys. Lett. A 70 (1979) 461

3. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal S.M., Miura R.M.,: Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095

4. Bethe H.: Zur Theorie der Metalle I. Eigenwerte and Eigenfunktionen dcr linearen Atomkette. Z.Phys. 71 (1931) 205

5. Baxter R.J.: Exactly solved models in statistical mechanics. (Academic Press 1982)

6. Lax P.D.: Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968) 467

7. Захаров В.E.,Фаддеев Л.Д.: Уравнение Кортевега-де Фриза вполне интегрируемая гамильтонова система. Функц. Анализ 5 (1968) 18

8. Faddeev L.D., Takhtajan L.A.: Hamíltonian Method in the Theory of Solitons. (Springer 1987)

9. Faddeev L.D.: How algebraic Bethe Ansatz works for integrable models, in: Quantum symmetries/Symmetries quantiques, eds. A.Connes et al., Proc. of the Les Houches summer school, 1995, (North-Holland 1998) p. 149

10. Kulish P.P., Sklyanin E.K.: Quantum spectral transform method. Recent developments, eds. J.Hietarinta and C.Montonen, Lecture Notes in Physics, 151 Springer (1982) 61

11. Bazhanov V.V., Lukyanov S.L., Zamolodchikov А.В.: Integrable structure of Conformal Field Theory, quantum KdV theory and Thermodynamic Bethe Ansatz. Comm. Math. Phys. 177 (1996) 381 hep-th/9412229]

12. Bazhanov V.V., Lukyanov S.L., Zamolodchikov А.В.: Integrable structure of Conformal Field Theory. II: Q-operator and DDV equation. Comm. Math. Phys. 190 (1997) 247 hep-th/9604044]

13. Bazhanov V.V., Lukyanov S.L., Zamolodchikov А.В.: Integrable structure of Conformal Field Theory. Ill: The Yang-Baxter relation. Comm. Math. Phys. 200 (1999) 297 hep-th/9805008]

14. Fioravanti D., Ravanini F., Stanishkov M.: Generalized KdV and quantum inverse scattering description of conformal minimal models. Phys. Lett. В 367 (1996) 113 hep-th/9510047]

15. Bazhanov V.V., Hibberd A.N., Khoroshkin S.M.: Integrable structure of W(3) Conformal Field Theory, quantum Boussinesq Theory and Boundary Affine Toda Theory. Nucl. Phys. В 622 (2002) 475

16. Погребков А.К.: Бозон-фермионное соответствие и квантовые интегрируемые и бездисперсионные модели. Усп. Мат. Наук. 58 (2003) 164

17. L.D. Faddeev, A.Yu. Volkov, Phys. Lett. В 315 (1993) 311.

18. A.Yu. Volkov, Lett. Math. Phys. 39 (1997) 313.

19. Поляков A.M.: Конформная симметрия критических флуктуаций. Письма в ЖЭТФ 12 (1970) 538

20. Zamolodchikov А.В.: Integrable field theory from conformal field theory, in: Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, eds. M.Jimbo et al., (Academic Press, Inc. 1990) p. 641

21. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Integrable Structure of Superconformal Field Theory and Quantum super-KdV Theory, Physics Letters B, Volume 581, Issues 1-2, pp. 125-132, 2004; arXiv preprint: hep-th/0312159

22. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Quantization of integrable models with hidden symmetries: super-KdV equation, Journal of Modern Optics, Volume 51, Numbers 6-7, pp. 1107 1108, 2004

23. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal field theory and quantum inverse scattering method, in Symmetries in Gravity and Field Theory (eds. by V.

24. Aldaya, J.M. Cervero, Y.P. Garcia), Salamanca University Press, pp. 435447, 2004

25. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal Field Theory and SUSY N=1 KdV Hierarchy I: Vertex Operators and Yang-Baxter Equation, Physics Letters B, Volume 597, Issue 2, pp. 229-236, 2004; arXiv preprint: hep-th/0407154

26. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Superconformal field theory and SUSY N=1 KdV hierarchy II: the Q-operator, Nuclear Physics B, Volume 709, Issue 3, pp. 578-591, 2005; arXiv preprint: hep-th/0501019

27. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Quantum supersymmetric Toda-mKdV hierarchies, Nuclear Physics B, Volume 720, Issue 3, pp. 289-306, 2005; arXiv preprint: hep-th/0506027

28. A.M. Цейтлин, Квантование N = 2 суперсимметричной иерархии КдФ, Теоретическая и Математическая Физика, т. 147, н. 2 (2006) 303-314 Engl. transí: Theoretical and Mathematical Physics, v. 147, n. 2, pp. 698708, 2006; arXiv preprint: hep-th/0606129

29. P.P. Kulish, A.M. Zeitlin, Super-KdV equation: classical solutions and quantization, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM), Volume 4, Issue 1, pp. 576 577, Wiley InterScience, 2004

30. Kupershmidt B.A.: A super Korteweg-de Vries equation: An integrable system. Phys. Lett. A 102 (1984) 213

31. Kulish P.P.: An analogue of Korteweg-de Vries equation for the supercon-formal algebra. Zap. nauchn. sem. LOMI 155 (1986) 142

32. Mathieu P.: Representations of so(N) and u(n) superconformal algebras via Miura transformations. Phys. Lett. В 218 (1989) 185

33. Кулиш П.П., Цейтлин A.M.: Теоретико-групповая структура и метод обратной задачи и метод обратной задачи рассеяния для уравнения супер-КдФ. Зап. Научн. Семин. ПОМИ, 291 (2002) 185

34. English translation in: Journal of Mathematical Sciences, Kluwer Academic Publishers, hep-th/0312158.

35. A.E. Arinshtein, V.A. Fateev, A.B. Zamolodchikov, Phys. Lett. В 87 (1979) 389;

36. A.V. Mikhailov, M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 473;

37. V.G. Drinfel'd, V.V. Sokolov, J. Sov. Math. 30 (1985) 1975; E. Corrigan, hep-th/9412213.

38. V. A. Fateev, S. L. Lukyanov, Int.J.Mod.Phys. A7 (1992) 853; Int. J. Mod. Phys. A7 (1992) 1325.

39. A.A. Belavin, V.G. Drinfeld, Funct. Analysis and its Appl. 16 (1982) 1.

40. B. Feigin, E. Frenkel, Lect. Notes Math. 1620 (1996) 349; P. Bouwknegt, J. McCarthy, K. Pilch, hep-th/9110007.

41. S.M. Khoroshkin, J. Lukierski, V.N. Tolstoy, math.QA/0005145.

42. Scheunert M., Nahm W., Rittenberg V.: Irreducible representations of the osp(2,l) and spl(2,l) graded Lie algebras, J. Math. Phys. 18 (1977) 155

43. Berezin F.A., Tolstoy V.N.: The group with Grassmann structure UOSP{ 1|2). Comm. Math. Phys. 78 (1981) 409

44. Lukierski J., Tolstoy V.N.: Cartan-Weyl basis for Quantum Affine Superalgebra 6spq{ 1|2). hep-th/9710030]

45. Kulish P.P., Manojlovic N.: Trigonometric osp(l|2) Gaudin model. J. Math. Phys. 44 (2003) 676 hep-th/0204037]

46. Bershadsky M.A., Knizhnik V.G., Teitelman, M.G.: Supcrconformal symmetry in two dimensons. Phys. Lett. B 151 (1985) 31

47. Jimenez F.: Quantum group symmetry of N=1 superconformal field theories. Phys. Lett. B 252 (1990) 577

48. T. Inami, H. Kanno, Comm. Math. Phys. 136 (1991) 519.

49. A. Bilal, J.-L. Gervais, Phys. Lett. B 211 (1988) 95.

50. P. Mathieu, Phys. Lett. B 203 (1988) 287.

51. V.V. Bazhanov, A.G. Shadrikov, Theor. Math. Phys. 73 (1988) 1302.

52. P.P. Kulish, N.Yu. Reshetikhin, Lett. Math. Phys. 18 (1989) 143.

53. P.P. Kulish, Theor. Math. Phys. 86 (1991) 157.

54. R.J. Baxter, Exactly solved models in Statistical Mechanics. (London: Academic Press 1982)

55. Zamolodchikov Al.B.: On the TBA Equations for Reflectionless ADE Scattering Theories. Phys. Lett. B 253 (1991) 391

56. V.V. Bazhanov, S.L. Lukyanov, A.B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B 489 (1997) 487.

57. V.G. Drinfeld, in: Proceedings of the International Congress of Mathematics, Berkeley 1986 (Academic Press 1987) p. 798.

58. S.M. Khoroshkin, V.N. Tolstoy, hep-th/9404036.

59. P.P. Kulish, E. K. Sklyanin, J.Phys. A25 (1992) 5963; P.P. Kulish, R. Sasaki, Prog. Theor. Phys. 89 (1993) 741.

60. L.A. Ferreira, J.F. Gomes, R.M. Ricotta, A.H. Zimerman, Int. J. Mod. Phys. A 7 (1992) 7713.

61. F. Delduc, L. Gallot, solv-int/9802013.

62. M. B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory. Vol. 1: Introduction. (Cambridge University Press 1987).

63. A. Gualzetti, S. Penati, D. Zanon, Nucl. Phys. B 398 (1993) 622.

64. J.M. Evans, J.O. Madsen, Nucl. Phys. В 503 (1997) 715.

65. V.G. Kac, Adv. Math. 26 (1977) 8.

66. J.E. Marsden, T.S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, 1999.

67. S. Klevtsov, hep-th/0110148.

68. W. Lerche, C. Vafa, N.P. Warner, Nucl. Phys. В 324 (1989) 427.

69. M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson, Solitons,Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, CUP, 1991

70. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория со-литопов. Метод обратной задачи, М:Наука, 1980.

71. P. Mathieu, Open problems for the super-KdV equations , Preprint: math-ph/0005007.

72. А.Г.Рейман, M.A. Семенов-Тян-Шанский, Теоретике-групповые методы в теории конечномерных интегрируемых систем, Итоги пауки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: Фундам. направления, 1987, 16.

73. L. Feher, J. Harnad, I. Marshall, Generalized Drinfeld-Sokolov reductions and КdV type hierarchies, Preprint: hep-th/9210037.

74. M. Scheunert, J. Math. Phys. 28 (1987) 1180.

75. R. Floreanini, D.A. Leites, L. Vinet, Lett. Math. Phys. 23 (1991) 127.

76. Ф.А.Верезин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными,М.:Изд МГУ, 1983.

77. L. Frappat, P. Sorba, A. Sciarrino, Dictionary on Lie Superalgebras, Preprint, hep-th/9607161.