Расширенные суперконформные модели Весса-Зумино и топологические теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ

Р Г 5 ОД

На правах рукописи

Л;.а

ПАРХОМЕНКО Сергей Евгеньевич

РАСШИРЕННЫЕ СУПЕРКОНФОРМНЫЕ МОДЕЛИ ВЕССА-ЗУМИНО И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

доктор физико-математических наук Ольшанецкий М. А., кандидат физико-математических наук Андреев О. Д.

Защита состоится 23 декабря 1994 г. па заседании специализированного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук Белапнн А. А. Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Физический институт им. П. И. Лебедева РАН

Автореферат разослан

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор

физико-математических наук

Фальковскнй Л. А.

© Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау

ОБ! {ЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ . '

*

Актуальность работ. Интерес к двумерным расширенным суперкон» формным теориям поля вызван, главным образом, их приложениями и Струнной теория паяя- единственным, известным в настоящее время кап. дйдатом на роль единой теории всех фундаментальны* взаимодействие элементарных частиц. Первым приложением была конструкция вакуумных состояний сунерструнных теорий с простоаиственко-временной суперсиммет-'ией. Анализ этих конструкций выявил глубокую связь между определенным классом N 2 суперконформных теорий и су-. . • персимметричными »-моделями на многообразиях Калаби-Яо. При этом •' казалось, что так называемые "твистоваииые N — 2 суперкомформ-ные теории" соответствуют топологическим версиям этих с-моделей, т.е. физические состояния твистовашшх N — 2 суперконформных теорий являются топологическими объектами многообразия. Вопрос о том как в N — 2 суперконформных теориях закодированы геометрические свойства этих (т-моделей является открытым и требует дальнейшего изучения. Второе приложение расширенных суперконформны'х теорий возникает в теории некритической струны. В БРСТ-формулировке некритическая бозонная струна обладает симметрией N -- 2 твистованнрй су перке. I* формной теории. Это позволяет рассматривать всякую твистоваипую N - 1 суперхонформну. . теорию как обойденную теорию некритической бозоиной струны, в которой струнный БРСТ-оператор соотве1Ствуе»

I

одному из суперзарядов тиистованиой N — 2 супералгебры Вирасоро Q г- О*, в иоле ((-духов соответствует сунертоку этг^ алгебры. Обобщение заключается в том, что в обычно» бозошюй струне 6-когомологии тривиальны, в то . время как в твистоаанной N ~ 2 суперксшформкой теории О"чсогомоло1'ии в общем случае нетривиальны.

Расширенные суперконформные модели Вессд-Зумино предо , пляют новый класс супермМформных точнорешаемых теорий. Точная решаемость этих м лелей обеспечивается бес^оя^чиомерной алгеброй симметрии, которая является суперсимметричным расширением алгебры Каиа-Муди. В связи с этим естественно предположив, что теория представлений суиералгсбр Кчца-Муди окажется полезной в струнных приложениях. В нолыу этого предположения говорит иоя| .ение регулярных представлений алгебр Каца-Муди в то- ^логических С/(3-Косет-моделях, я также применение этих представлений для описания струн в А < I-мерном пр лранстяе. ' >

Лауч/шАа ноеиша работы заключается в следующем:

1. Рассматриваются N — 2,4 суперконформные модели ВесСа-Зумино на основе конечномерных троек Манина.

2. Показано, что /V = 8 супе^симметричные модели Г*>са-Зумино сводятся к прямым суммам N — 4 суперснмметричных моделей Ве.оа-Зуминп.

1. Рассматриваются тпистоваимме N 2 суперконформнмо мод-

2

ели Весса-Зумино. Изучены спектры и алгебры слиянии физических.

г

состояний а твистованных N =» 2 суперконформных моделях Весса-Зумино на группах 5£/(2)®Сф) и

4. Построены регулярные представления алгебр Каца-Муди. • 5. Методом гамильтоновой редукции Чринфельдя-Сокошоиа регулярны^ представлений ли(2)4-алгцбры Каца-Муди построены "регулярные" пред. ставлеьпя алгебры Вирасоро.

Автор защищает результаты: . .

1. Любая N ~ I -уперконформная модель Весса-Зумино с группой Д допускает У. = 2- расширение если и только если алгебра Ли д группы С допускает разложение в тройку Манииа

2. Любая N - 2 суперконформная модель Весса-Зумино с груп >й О допускает N - Л расширение если и только если на изотропны* подалгебрах д+,в- тройки [д,в+,д-) заданы невырожденные 2-коциклы г+,г_, которые в некотором ортонормированием базисе на алгебре д представляются взаимно-обратными матрицами.

3. Любая N = 4 суперконформная модель Весса-Зумино с группой С допускает N = 8 расширение ¿ели и только если алгебра у является

прямой суммой двух подалгебр, каждая из которых удовлетворяет усло-

*

виям N - 4 расширения. >

4. N = 2 суперконгЪормные модели Весса-Зумино обобщают модели Казама-Сузуки. Модели Казама-Сузуки соответствуют тройкам Мамина

3

ассоциированным с парами (g,p), где р-простая комплексная алгебра Ли, р-е ппрЖкишческая подалгебра.

5. Физические состояния в твистои.цшых JV -- 2 суперконформных наделе* Becca-Зумина "являются элементами i-руины полубесконечных когомодпгни алгебр токов с ко;к|)фиииь'нтямц в представлениях агич алгебр. Тьистованние N --■ 2 сунерконформцые Sf/(2) $ U{l) и SU(3) модели liecca-Зумина зкннпплетны топологическим о- моделям на максимальных тора" сооткетстиующих групп.

6. Регулярные пре.алавленля алгебр Кнца-Муди существу юг. Они естественно возникают в косет-моцелнх О¡G. Редукция регулярного предайiwemm ít<(2)t-алгебры Каца-Муди дает "регулярное" представление алгебры Пирсоро. Это представление опиемпает двумерную гравитацию, взаимодействующую с матеру'й с центральным зарядом с ~ 1 -Щк 4 2 , l/(fc 2)).

. Стр}кту|ч лна:р|паи«ч. Диссертация состоит из Введения, четырех глав,

Выводон V списка литературы из 48 наименований. Объем диссертации

*

61 tipaiiniiu включая оглппление и список литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РЛЬОТЫ ■

■ Во Hícu-imti сформулированы och.jiiüi.ie проблемы! которые решались в днг'-ершннонной |ыбоге, показано их место в конформной теории ьо.чя и i сорим eipui, кратко сформулированы методы их решения, нрелло-жп'(!Ы1' н диссертации.

4

Гл. 1 содержит краткий обзор основных особенностей суперсим»

(

метричных конформных теорий поля, их приложений в теории струи и устанавливает основные обозначения. В §1.1 описаны N -- 2,4 , су-перкоиформиые теории и рассмотрены их Пространства состояний. В §1.2 описаны топологические теории п 1« и основные свпйстиа их корреляционных функций. Описана процедура построения топологических теорий из N = 2 суперконформных теорий- пропел ура тпистования. Дается интерпретация физических соотояний твис'гованных N « 2 суперконформных те<н .й в терминах топологических а-моде.пей на многообразиях Калаби-Яо. В §1.3 дана КРСТ-формулировка некритической бозонной струны Полякова и показано, что, как 2-мерная теория, струна является твистованной N = 2 суперконформной теорией поля.

В Гл. 2 даны конструкции расширенных суперконформных моделей Весса-Зумино па основе конечномерных троек Манина. В §2.1 описаны N — 1 суперконформные модели Весса-Зумино. Кратко рассмотрены представления N -— 1 суперконфор ной алгебры токов- алгебры симметрии этих молелен. В §2.2 найдены условия при которнч N - 1 супер» : чформная модель Весса-лумино с трупной С обладает N -- 2 суперконформной симметрией. Показано , что ^ти услоплч эквивалентны существованию комплексной тройки Манина {д\<!.,п ) для алгебры Ли з группы '7. С ка:кдой конечномерной тройной Машша связывается семейство ТУ = 2 суперконформных теорий . парам 'рилус

5

мое 1«фоцикламц изотропных подалгебр тройки. Далее рассматриваются rrfwepw этой конструкции. В примере 1 рассматривался копструкция тройки Минина, для произвольной простой комплексной алгебры Ли в и ее (шраболическоЛ подалгебры р. В этом случае N = Й суперконформные модели совладают с БРСТ-формулировкой моделей Казама-Сузукя. Рассматривая компактную форму построенной тройки Манина мь> получаем N - 2 суперконформную модель Весса-Зумино иа компактной группа с Алгеброй Ли а®в, где А полупростая часть пнраболичес' ->й ггададгебры р, Явные формулы для генераторов N — 2 супералгебры Ви-расоро приведены для простейшего случая а ~ ¿1(2), р - Ь+ -борелевская подал i-ебра в вЦ2). В случае, когда р = а АГ = 2 суперконформная модель совпадает с БРСТ- формулировкой косет-модели Л/Л, где Л группа Ли с алгеброй Ли о. Явные формулы даны для а = з!(2). В примере 2 рассматривается конструкция тройки Манина для алгебры д, е= ai(?n -f 1). В этом случае картаноаская подалгебра является чет-HOMCpiioii • и может быть представлена в виде суммы изотропных относительно формы Киллинга на g подпространств Ь- © В качестве изотропных подал!ебр выбираются =■ ф , , р.. ■= h-, где

п+,п. нильпотентные подалгебры n g. Явные формулы длй генераторов » * *

Ы -1 • иералгебры Внрасоро приведены для случая g = ?/(3). В §2.3 найдены условия при которых N ~ 2 суперконформная модель Весса--Чумино соответствующая комплексной трой<е Минина (я,яцй) обладает

б

N = 4 сулерконформной симметрией. Показано, что эти условия зквнва- ' лентяи существованию невырожденных 2-копиклов г+,г_ на изотропных подалгебрах таких, что в некотором ортонормирование базисе

они являются взаимно обратными матрицами. С каждым таким набором данных связываются две N - 4 суперал-ебры Вирасоро,

Далее рассмотрены примеры /V = <1 суперконформных моделей Ресси- Зу-мино. В первом примере рассматривается тройка Манича примера I из §2.2 длт простейшего случая о = «1(2). Построены две Н 4 онералге-бры Вирасоро с центральными зарядами С1 = 6,с» = где к уровень

я1(2)*-алгебры Каца-Муди. Во втором примере рассматривается • оойка Мани на примера 2 кз §2.2 для случая д = зЦз). Построены две N — 4 супералгебры Вирасоро с центральными зарядами «, = 12,г, - где

к уровень в/(3)*-алгебры Кана-Муди. В §2.4 расрматр»1па«тгся уемтия при которых N - 4 суперконформная модель Весса-Зумино обладаем N ~ 8 суперконформной симметрией. Показано, что при выполнении этих условий конечномерная алгебра Ли являете* прямой суммой двух подалгебр, каждая из которых удовлетворяет условиям существования N щ 4 сунерконформной симмет чи.

В Гл. Я изучены тв.ястоаанные ¿V - 2 суперконформные моД ти Весса-Зумино связанные с тройками Малина примеров 1,2- из 52.2. Вычислены спектры и алгебры слиялия физических состояний этих моделей яла а = «<{2},г - л/(3) соответственно. В §3.1 задача о вычислении спектра

7

физических состояний в твистованных N ~ 1 суперконформных моделях Веод-Зумино сводится к задаче о вычислении полубесконечных кого-мологий алгебр токов изотропных подалгебр. В §3.2 эта задача решается с помлцю полубесконечного аналога теоремы Бореля-Вейля-Ботта. В §3.3 • приведены явные формулы для представителей физических сотояний в секторе Района. Показано, что онк являются старцл и векторами представлении N - 2 супералгебры Вирасоро, лежащих на границе унитарности. В §3.4 вычислены алгебры слияния, найденных физических состояний.

В гл. 4 построены регулярные представления алгебр Каца-Муди. Ноказа- о, что они естественно возникают в БРСТ-формулировке косет-модели G/G. Кратко рассмотрена редукция Дрннфельда-Соколопа регулярных представлений в связи с теориями W-гравитации. В §4.1 изложены основные геометрические идеи, лежащие в основе конструкции регулярных представлений алгебр Каца-Муди. Рассмотрена связь этих представлений с БРСТ-формулировкой косет-модели G/G. В Ц.2 кратко рлссиотрена конструкция регулярного представления в простейших случаях G ~ S 1(2),Г, -- 5/(3). В §4.3 дана аффинная версия конструкции нз §4.2, т.е. построены регулярные представления sl(2)- и «((З)-алгебр Каца-Муди. Рассмогрена связь этих пред явлений с представлениями Lia ки Mo го. В §4.4 дана конструкция регулярного представления sl{n + 1)-алгебрн Каца-Муди. В §4.5 рассмотрена конструкция IV-аналога

8

регулярных представлении алгебр Каца-Муди с помощк» редукции Дрчн-фельда-Соколова, Явные формулы получены для "регулярного" представления алгебры Вирасоро.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена новая конструкция расширенных сукеркпиформнмх теорий поля.-расширенные суперконформные модели Вессл-Зумтю. Показано, что для nocrpcvmr. N =.- 2 супЕрконформной модели Лессй-Зумгшо достаточно задать конечномерну к> комплексную троЗку Млнигя (g,gt,g.). Для построения Л'- 4 суперконформной модели Всссв-.Чуминп дг паточно задать конечномерную комплексную Tpo.lny Mamnu и невырожденные 2-коинюы rt,r. ил изотропных нод.игебгах g, ,д , соответственно. Доказано, что конс1рукщ;ч N - 8 суперконформних моделей Вессн-Зумико сводится к конструкции N - Л cjnepKt «формных модел i Вееса-Зуми..>.

'2. N = 2 суперкоцформные модели Вссса-Зуммно кключакг в себя модели Казама-Сузуки й косст-модсли (;> С. Модели K;u-.ava С улукн соответствуют комплексным тройкам Млниия ассомиирпзчнным с парат» (<7Л>). '"Де а простая комплексная алгебра Ли и р е-; параболическая подалгебр:. В случае р-д конструкция даст косет-модсль (7/(7 Компактные формы комплексных троек Маиина дают расширенны. с\перкон-формнне модели Иссса-Зумнно на компактных группах ,'1и.

3. Твистоканнме /V - 2 суперкстфпрмыме модели Весса-Зумжю ivt

9

компактных группах эквивалентны топологическим с- мотелям на максимальных торах этих групп. Явные вычисления сш :тров физических состояний проделаны для твистоаанных N = 2 суперконформных моделей Лесса-Зумино с группами 6*1/(2) ® 1/(1) и 51/(3).

4. Построены регулярные представления аффинных алгебр Кааа-Муди, Покг. а но, что эти представления описывают к осет-.модели О/С?.

5. Методом гамильтоновой редукции Дринфельда-Сокалова регулярных представлений я/(2(-алгебры Каца-Муди получены "регулярные" представления алгебры Вирасоро. Показано, что эти представления описывают двумерную гравитацию, взяимодейстоующук» с матерней с централы» ! зарядом е = 1-6(1с + 2 + 1/(к + 2)), где к уровень «¿(2)-алгебры Каца-Муди.

10

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

. Рез-чьтаты были доложены »а заседаниях Учеиого. совета НТФ РАН, на Семинаре по теории паля ИТФ РАН, на 2-й Международной конференции "Двумерная гравитация, интегрируемые модели н матричные г одели", 11—26 июня 1993 г., Алуппа (Украина).

1. S. Б. Park ho men' , Extended eupereonforrnaienrrent algebra« and flnited-imensional Manin triples // Zb. Kbp. Teor. Fir. 1992, V.102, PP. 3-11.

2. S B. Parkhomenko, Physical states in top logical N~2. »upirsymmetrit WZW modeb // Mod. Phys. Lett. A, 19!M, V. 9, No. 22, PP. 2CM9-2032.

a. B. L. Foigin, S. E. Parkhomenl'o, Utgijtar representations Cf afllnv Knc-Moody algebras // Kyoto Imiverfity preprint R1MS-943, September 1903, 13 pages.

И

I^.II.I^r. Вак. 327 -ÚZLcr. 0.75п.л. . Тир. ЮОакг. Типография '11У5Ч РАН