Унитарные косет-конструкции SU(2)х*SU(2)1/SU(2)х+1 в конформной теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ6 од

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Г' .'мГ 'Я: Российской Академии наук

на правах рукописи

Лашкевич Михаил Юрьевич

УНИТАРНЫЕ КОСБТ-КОНСТРУКЦИИ 5<7(2)4 х 517(2),/5{7(2)н, В КОНФОРМНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность |01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Доценко Вл. С.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Белавин А. А.; кандидат физико-математических наук Белов А. А.

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной физики Российской Академии наук.

Защита состоится 1 июля 1994 г. на заседании специализиро- _ ванного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии наук. ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии наук.

. Автореферат разослан " аг^^ЛЛИ_1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета: доктор физико-математических наук Фальковский Л. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Двумерные конформные модели квантовой теории шля во многих случаях допускают точное и полное решение. Они оказываются эффективным средством изучения критических точек фазовых переходов в двумерных системах, позволяют исследовать эффект Кондо, доставляют флуктуацион-ные поправки к закону Колмогорова—Обухова и корреляционные функции для развитой турбулентности в двумерной жидкости. Значительные усилия направлены на использование результатов конформной теории поля для построения некритических (низкоразмерных) теорий струн, на обобщение методов конформной теории шля на трехмерные и четырехмерные системы с перспективой исследования трехмерных фазовых переходов, и процессов рассеяния адронов. Многообещающим кажется применение конформных косет-моделей к исследованию черных дыр и космологических струн.

Косет-конструкция является однпм из наиболее общих способов построения конформных теорий. В то же время косет-конструкции изучены значительно хуже обычных, основанных на дополнительных симметриях, конформных моделей.

Научаная новизна работы заключается в следующем:

1. Рассматриваются не только вопросы, связанные с изучением пространства состояний косет-моделей, но и вопросы, касающиеся вычисления корреляционных функций.

2. Доказана однозначность процедуры вычисления конформных блоков косет-конструкции, получены условия существования косет-модели, причем не только в частном случае моделей Весса—

Зумпно.

3. Доказана на уровне конформных блоков эквивалентность косет-конструкции 5(7(2)t х SU(2)i/SU(2)k+i и "почти минимальных" моделей Кастора—Мартинека—Киу. До сих пор было известно лишь, что числа состояний соответствующих моделей совпадают на каждом уровне.

4. Для исследования моделей SU{2)* х SU(2)i/SU(2)t+¡ использована косет-конструклия минимальных моделей.

Автор защищает результаты:

1. Косет-конструкция однозначно определена при выполнении определенных условий на согласование представлений киральных алгебр числителя и знаменателя.

2. Косет-модель SU(2)k х SU(2)í¡SU(2)k±¡ эквивалентна почти минимальным моделям с теми же значениями центрального заряда.

3. Косет-конструкция MtMjt+i... Mí+í_i/Aí"i ... Aí;_i, где M¡ — минимальная модель с центральным зарядом с = 1 — 6/(¿+2)(í+3), может быть строго определена и порождает ту же модель, что и SU(2)t х SU(2)i/SU(2)k+h Использование косет-конструкции минимальных моделей позволяет вычислять структурные константы для большого набора полей. В частности, все структурные константы N = 1 суперконформных минимальных моделей, совпадающих с косет-конструкцией SU{2)¡¡ xSU(2)<¡/SU{2)í^ могут быть полностью выражены через структурные константы конформных минимальных моделей.

4. Косет-конструкция минимальных моделей MptsMs,()/

S = |(Р + Q) 6 Z (через Mp¡q обозначена, вообще говоря, неуни-

тарная минимальная модель М/у(ф_/>)-2) порождает серию неунитарных и, в общем случае, неминимальных моделей с центральными зарядами с = (3Q - 5Р)(ЗР - bQ)/\QPQ < 2/5.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Выводов и списка литературы из 63 наименований. Объем диссертации 81 страница включая оглавление и список литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении сформулированы основные проблемы, которые решались в диссертационной работе, показано их место в конформной теории поля, кратко сформулированы методы их решения, предложенные в диссертации.

Гл. 1 содержит краткий обзор основных принципов и методов конформной теории поля, устанавливает основные обозначения. В §1.1 описаны конформные минимальные модели и их бозон-ное представление, приведены правила вычисления трехточечных • корреляционных функций. Эти правила, с небольшими изменениями, используются в дальнейшем при построении киральных токов сверток различных моделей. В §1.2 описаны SU{2)* модели Весса—Зумино и их бозонное представление.

В Гл. 2 дан обзор метода косет-конструкции. В §2.1 описана свертка двух конформных моделей — одни из основных математических трюков, используемых в диссертации. Пусть у нас есть две модели Ф и Ф с вершинными операторами фьдл(г) и фма(г) соответственно, причем индексы L, А, 1 нумеруют первичные поля, а Aza — потомки. Если матрицы сплетания моделей Ф и Ф факто-ризуются в виде А5,Ав) и «^(Л5,Дб)В,%(/5,/в)

соответственно, мы можем построить свертку их конформных блоков

г^э^з'зЛзаз.^А^Ллщ / г > , \

= £ 1ъ\*), (1)

Лв

с матрицей сплетания А^(15,1б)В^(15,16), где — ре-

шение уравнения Доцеико—Фатеева для матрицы сплетания «^(Ай, Ад). Модель, построенная из конформных блоков Л"1, и называется сверткой моделей Ф и Ф. Свертка обладает обычно более высокой симметрией, чем исходные модели. Это можно объяснить тем что свертка представляет собой усечение пространства состояний прямого произведения двух моделей. Остаются, обычно, состояния, на которых сохраняется больший набор величин.

В §2.2 описана обратная к свертке операция факторизации конформных блоков, или косет-конструкция. Именно, выражение (1) рассматривается как уравнение на конформные блоки Ф при известных Г иФ. Тогда Ф называется косет-моделью Г/Ф. Такое определение косет-конструкции было предложено Дагласом (1987). Халперн и Оберс (1992) показали эквивалентность этого определения другим в случае моделей Весса—Зумино.

В §2.2 доказало, что уравнение (1) может быть разрешено, причем единственным способом (в смысле пространства конформных • блоков), если киральная алгебра определяет модель Ф и является подалгеброй киральной алгебры модели Г, причем

1) киральная алгебра модели Ф действует с одинаковыми показателями локальности в Ф пвГ (локальность);

2) сопряжение состояний в модели Ф согласовало с сопряжением в модели -Р (отсутствие твиста).

Для доказательства уравнение (1) переписано в виде матричного уравнения. Если усечь это уравнение по индексам а;, так чтобы матрица конформных блоков Ф стала квадратной, ее определитель окажется равным вронскиану линейно-незавпсимых решений дифференциальных уравнений, определяющих модель Ф. Это доказывает единственность решения. Существование решения следует из независимости решения матричного уравнения от способа усечения матрицы Ф до квадратной. Достаточными условиями этой независимости являются локальность и отсутствие твиста.

В §2.3 в качестве примера воспроизведена известная формула для корреляционных функций топологических косет-моделей С/С.

В Гл. 3 описано бозоняое представление косет-конструкдии 311(2)^ х £>[/(2)|/5[/(2))ь+| и доказана его корректность. В §3.1 описаны почти минимальные модели Кастора—Мартинека—Киу и их бозонизадия через бозонизацию входящих в них параферми-онов. Описаны некоторые .особенности этой бозонизации, сильно затрудняющие вычисления. Известно, что серия почти-минимальных моделей имеет тот же набор значений центрального заряда, что и унитарная серия косет-моделей Би(2)* х 311(2) ¡/Би (2) Более того, для моделей- с одинаковыми центральными зарядами двух этих серий числа состояний совпадают,на каждом уровне. В §3.2 произведено отождествление некоторых-полей почти минимальных моделей фр^д с полями косет-конструкции 5¿7(2)* х 5?7(2)|/5С(2)к+| для |р-р'| + 1 < д < р+р'г-1 (в.предположении, что модели совпадают). В §3.3 доказана эквивалентность почти

минимальных моделей косет-моделям 5(7(2)4 х 5(7(2);/5£/(2)*+/. Для этого рассмотрена свертка 7^,5(7(2)*+/ почти минимальной модели с центральным зарядом 0 = 3 — ^- ^ + и мо" дели Весса—Зумино В этой свертке построена алгебра

киральных токов ¿/(2) ф ¿-/(2) на уровне (А;,/). Отсюда, с учетом информации о числах состояний следует, что теория N¡¡15(7(2)*+, совпадает с 5(7(2)1 ® 5(7(2)/. Это завершает доказательство.

В Гл. 4 исследуется косет-конструкция минимальных моделей. Наивный вывод такой косет-конструкции приведен в §4.1. Вопрос можно поставить так. Мы знаем, что теория N¡¡1 ~ 5(7(2)* х 5(7(2)1/5(7(2)ц+1 совпадает с минимальной моделью А/*. Но минимальные модели хорошо изучены независимо от их косетной структуры. Можем ли мы как-нибудь использовать эту информацию для изучения более общих моделей Оказывается, можем. Можно написать

МкМк+\.■. Мк+1-1 , .

--•' (2)

Действительно, если представить каждое М; в правой части в виде 5(7(2),- х 5С/(2)1/5(7(2),+1 и сократить "общие множители", получится 5£/(2)* х 5(7(2),/5С/(2)*+,.

Однако пока что это была только эквилибристика с символами. Строгое построение косет-конструкции минимальных моделей и доказательство эквивалентности моделей (2) моделям 5(7(2)* х 5(7(2);/5(/(2)*+, изложены в §4.2. Для того, чтобы аккуратно построить косет-хонструкцию минимальных моделей, нужно построить тензоры энергии-импульса моделей ..., М;_] из полей свертки Такие тензоры энергии-импульса невозможно построить просто как линейные комбинации тен-

зоров энергии-импульса моделей А/*,..., ь Однако свертка МкМк+1... обладает огромным количеством дополнитель-

ных токов. В частности, все свертки Ф^ ... ф^\){г)

являются киральными токами спила 2 (свертки "убивают" нетривиальную монодромию, связанную с индексами 3) п могут быть добавлены к выражениям для тензоров энергии-импульса. Громоздкие вычисления, использующие бозонное представление, позволяют вычислить коэффициенты в линейных комбинациях. Для доказательства эквивалентности косет-конструкции минимальных моделей и обычных косет-кояструкций рассматривается свертка М1М2... Способом, аналогичным описанному, можно по-

строить тензоры энергии импульса моделей А/*, Мк+ъ • • • > Мк+1-1 из полей модели М1М2... М/-!^/.

В §4.3 полученные результаты использованы для отождествления полей почти минимальной модели ТУ*/ и косет-конструк-цип МкМк+1. ■. Мк+1-\/М\... А//_1. Такое отождествление наиболее полно проводится в случае 1 = 2, когда почти минимальные модели совпадают (при подходящем спаривании голоморфных и антиголоморфных частей) с N = 1 суперконформными моделями. В этом случае удается построить представители всех первичных полей суперконформной алгебры в секторах Неве—Шварца и Ра-мона, а также суперпартнеров в секторе Неве—Шварца. Теперь структурные константы этих полей легко выразить через хорошо известные структурные константы минимальных конформных моделей. Трехточечные корреляционные функции остальных полей определяются теперь тождествами Уорда, поэтому задачу можно считать полностью решенной.

В случае общих I ситуация сложнее. Явно выписать представи-

тели полей наименьших размерностей Ф^у, [(^(р—1), |(р'—1), 1)) — старший вес представления квантовой группы 11^(81(2)) X и,ф1{2)) х и%щ(81{2)), 9(*) = ехр(|%)] удается лишь прир' -1 = р —д(тос1 2/) или 21-р' + 1 = р-д(то<1 2/). Для более общихр, р', q представители имеют вид линейных комбинаций полей модели Мк ... Мк+,-1 с коэффициентами, являющимися решениями системы I линейных уравнений. Общее решение этой системы (кроме случая / = 2) пока не найдено. Ситуация осложняется также тем, что, по-впдпмому, общие косет-моделп не имеют'киральной алгебры, определяющей спектр.

В параграфе §4.4 приведена формула, выражающая структурные константы полей, представители которых известны, через структурные константы минимальных моделей. Кроме того, отмечена одна особенность, которую нужно принимать во внимание при вычислении структурных констант. Дело в том, что одно поле теории N¡¡1 имеет несколько представителей в косет-конструкции МкМк+1... Мь-ы-х/Му... М)_1. Это обычное явление в косет-кон-струкцпях. Поэтому правильное выражение для отличных от нуля структурных констант получается, только если подставить представители, слияние которых разрешено.

Косет-конструкции минимальных моделей позволяют не только исследовать уже известные конформные теории поля, но и строить новые. Пример таких новых теорий приведен в §4.5. Обозначим через Мрд (Р, С? — 2,3,...) модель Мр/(д_р)_2, вообще говоря, неунитарную. Тогда косет-конструкция

^а, 5 = (з)

Дает серию неунитарных конформных моделей со значениями цен-

трального заряда алгебры Внрасоро

с_(ЗР-5д)(3£-5Р) 2 10 РЦ 5'

Корректность такой косет-конструкции доказана, некоторые первичные поля построены. При этом использована техника, развитая в предыдущих параграфах Гл. 4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Показана однозначность косет-конструкции как процедуры вычисления конформных блоков косет-модели по конформным блокам двух моделей, определенных киральнымп алгебрами.

2. Изучены почти минимальные модели, которые строятся из парафермионов и свободного бозона. Показано, что они действительно совпадают с косет-моделями Зи(2)к х

3. Предложен новый тип косет-конструкции — косет-конструкции минимальных моделей. Эти новые косет-конструкции использованы для изучения конструкции 5'6Г(2)(: х £77(2)|/577(2)|с+|. С их помощью удалось вычислить структурные константы для набора полей, корреляционные функции которых не удавалось эффективно вычислять другими способами. В случае 1 = 2, когда почти минимальная модель совпадает с N = 1 суперконформнйй минимальной моделью, косет-конструкппя минимальных моделей позволяет выразить все структурные константы N = 1 суперконформной модели через структурные константы конформных минимальных моделей.

4. Косет-конструкцпя минимальных моделей позволяет построить серию новых неунитарных моделей с центральным зарядом с < 2/5. Некоторые из этих моделей совпадают с минимальными

конформными моделями, а некоторые представляют собой совершенно новые модели.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Результаты были доложены на заседаниях Ученого совета ИТФ РАН, на Семинаре по теории поля ИТФ РАН, на 2-й Международной конференции "Двумерная гравитация, интегрируемые модели и матричные модели", 11-26 июня 1993 г., Алушта (Украина), на IV Международной конференции по математической физике, струнам и квантовой гравитации, 12-20 февраля 1994 г., Рахов (Украина).

1. M. Yu. Lashkevich, Bosonization of 2D conformai minimal-like field theories // Int. J. Mod. Phys. A, 1992, V. 7, No. 26, PP. 6623-6637.

2. M. Yu. Lashkevich, Conformai blocks of coset construction: zero ghost number // Landau Institute preprint LANDAU-92-TMP-1, hep-th/9301094, October 1992, 11 pages

3. M. Yu. Lashkevich, Superconformai 2D minimal models and an unusual coset construction // Mod. Phys. Lett. A, 1993, V. 8, No. 9, PP. 851-859.

4. M. Yu. Lashekvich, Coset construction SU(2)ixSU(2)l/SU(2)k+i and minimal-like theories // Mod. Phys. Lett. A, 1993, V. 8, No. 13, PP. 1243-1258.

5. M. Yu. Lashkevich, Coset construction of minimal models // Int. J. Mod. Phys. A, 1993, V. 8, No. 32, PP. 5673-5699.

6. M. Yu. Lashkevich, New conformai models with с < 2/5 // Landau Institute preprint LANDAU-93-TMP-6, hep-th/9309071, September 1993, 7 pages

Подписано в печать,^. Формат 60x84/16 Заказ

Усл. печ. л. С\ Тираж:

Типография Россельхозакадемии 115598, Москва, ул. Ягодная, 12.