Рост в алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

0. Обзор результатов

0.0. Общие определения, обозначения и соглашения . . ,.

0.1. Подалгебры свободных супералгебр Ли и производяпще функции

0.2. Рост конечно порожденных алгебр Ли

0.3. Рост конечно порожденных полинильпотентных групп и алгебр Ли

0.4. Функции сложности и рост коразмерностей.

0.5. Числовые характеристики многообразий.

Понятие роста, по-видимому, появилось в начале 50-ых годов в работах геометров: В. А. Ефремович предложил понятие инварианта объема ([58], 1953); а А. С. Шварц доказал, что инвариант объема компактного многообразия совпадает с ростом фундаментальной группы этого многообразия ([106], 1955). В работах Е. С. Голода и И. Р. Шафаревича асимптотические оценки позволили решить ряд фундаментальных проблем алгебры ([44], [43], 1964). В 1968 году работы Дж. Мил-нора [155] и Дж. А. Вольфа [176] о росте разрешимых групп и проблема Дж. Милнора о росте конечно порожденных групп [156] действительно привлекли внимание к росту групп. Далее, были совершены два значительных прорыва. А именно, М. Громов дал полное описание групп полиномиального роста ([132], 1981); и Р. И. Григорчук построил примеры групп промежуточного роста ([46], 1983).

Независимо понятие роста также возникло и в других разделах алгебры. Во-первых, И. М. Гельфанд и А. А. Кириллов использовали Цонятие роста для проблемы изоморфизма тел частных универсальных обертываюпщх алгебр ([128], 1966). Позднее В. Боро и X. Крафт начали изучение различных типов роста и предложили термин "размерность Гельфанда-Кириллова" для степени нолиномиальности роста ([116], 1976). Во-вторых, В. Кац классифицировал простые градуированные алгебры Ли "конечного" (т.е. полиномиального) роста при некоторых дополнительных условиях ([63], 1968). Позднее эти условия были сняты в работе О. Матье ([154], 1992).

На данный момент чисто работ о росте в различных областях алгебры стремительно растет и трудно дать полный и систематический обзор; Назовем основные ссылки. Г. Краузе и Т. Ленаган собрали в небольшой монографии ([145], 1985) всю известную на тот момент времени информацию о росте и размерности Гельфанда-Кириллова, главным образом для ассоциативных алгебр. Исследования последнего времени существенно дополнили второе издание, вышедшее в 2000г. В частности, в него попали и формулировки некоторых результатов автора о А-размерностях. Вопросам рациональности в алгебре и топологии посвящен обзор И. К. Бабенко ([31], 1986). Систематический обзор комбинаторных и асимптотических вопросов в алгебре сделан в обзоре В. А. Уфнаровского ([94], 1989).

В настоящей работе мы изучаем главным образом производящие функции и рост алгебр Ли, а также некоторые приложения для групп и ассоциативных алгебр. Объектом исследования являются два типа роста: 1) рост конечно порожденных алгебр Ли и 2) последовательность коразмерностей многообразий алгебр Ли. Термин "последовательность коразмерностей" был предложен А. Регевым ([163], 1971); на данный момент этот тип роста для ассоциативных алгебр достаточно хорошо изучен (см. обзор А. Регева [166]).

Конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост. Для роста коразмерностей алгебр Ли и ассоциативных алгебр мы имеем функцию факториала в качестве верхней границы. Важным условием для нас является наличие нетривиального тождества, алгебры с тождеством получили название Р1-алгебр. Напомним положение дел в ассоциативном случае. По теореме Ширшова о высоте [59] конечно-порожденные ассоциат1Евные Р1-алгебры имеют полиномиальный рост, в то время как рост коразмерностей ограничен сверху экспо-нентой [163].

Для алгебр Ли наличие нетривиального тождества оказывается существенно более слабым с точки зрения роста. В этом случае конечно порожденные алгебры могут иметь рост быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального, что впервые было обнаружено в работах М. Смит ([171], 1976) и В.А. Уфнаровского ([95], 1978). Такой рост называется'промежуточным. Интересным примером алгебр промежуточного роста являются конечно порожденные алгебры Ли векторных полей (A.A. Кириллов, М.Л. Концевич, 1983; [66]). Для изучения промежуточного роста автором построена бесконечная шкала. При этом удобно считать, что первая ступенька этой шкалы соответствует конечномерным алгебрам, вторая ступенька населена алгебрами полиномиального роста, следующее счетное число ступенек соответствует различным типам промежуточного роста. Таким образом, мы получаем иерархию типов роста, идупчую вверх к экспоненте и не достигающую ее.

Для роста коразмерностей многообразий алгебр Ли был известен ряд разрозненных фактов: такой рост может быть еверхэкспоненциальным (И. Воличенко [39], 1981), А.Н. Гршпков нашел грубую верхнюю оценку ([48], 1988). Для роста коразмерностей многообразий алгебр Ли автором обнаружена аналогичная иерархия типов роста. В этом случае имеет место счетное число ступенек, стремящихся к факториалу. При этом первая ступенька соответствует нильпотентным многообразиям, и только часть второй ступеньки населена многообразиями экспоненциального роста.

Эти две шкалы типов роста появились в результате изучения разрешимых алгебр Ли. В частности, мы определяем место разрешимых алгебр и многообразий на этих шкалах. Эти результаты получены в общности полинильпотентных алгебр.

Мы также находим асимптотики для соответствуюпщх типов роста. Важными инструментами при этом являются производящие функции. Для изучения роста конечно порожденных гишебр используются ряды Гильберта-Пуанкаре, которые оказываются аналитичными в единичном круге. Для последовательности коразмерностей мы применяем экспоненциальные производяпще функции. Впервые они были применены для изучения многообразий В. С. Дренски ([53], 1987) и Ю. П. Размы-словым ([89], 1988), вслед за которым мы называем их функциями сложности многообразий. Эти функции оказываются целыми функциями комплексного аргумента. В обоих случаях мы изучаем рост соответствующих функций для того, чтобы получить информацию о росте их коэффициентов.

Для свободных групп хорошо известна формула Шрайера. Автором найдены аналогичные формулы для свободных (супер)алгебр Ли в терминах производящих функций, как обычных, так и экспоненциальных. Эти формулы играют важную роль в дальнейших построениях. Для разрешимых (более общо, полинильпотент-ных) многообразий и алгебр мы находим точные формулы производящих функции. Таким образом, настоящая работа, также относится к "комбинаторному перечислению", см. обзоры Е. А. Бендер ([112], 1974) и А. М. Одлыжко ([159], 1995). В качестве приложения мы получаем асимптотики для обобщенных разбиений и гг-свернутых разбиений.

Основные результаты настоящей диссертации состоят в следующем:

• Построена ппсала типов промежуточного роста для конечно-порожденных ал гебр Ли. В терминах этой шкалы описано изменение роста при переходе от алгебры Ли к ее универсальной обертывающей алгебре (теорема 2.2.1, также стр. 15).

• Найдена асимптотика роста конечно-порожденных алгебр Ли, свободных при зафиксированной ступени разрешимости (теорема 3.1.1, также стр. 18). В качестве приложения получена асимптотика для рангов факторов нижнего центрального ряда свободной конечно-порожденной разрешимой группы (следствие 3.1.1, также стр. 18). Этот результат можно также рассматривать как асимптотический аналог формулы Витта для свободных разрешимых (поли-нильпотентнысх) алгебр Ли и групп конечного ранга.

• Построена шкала типов роста коразмерностей многообразий алгебр Ли. Вычислен рост коразмерностей разрешимых (полинильпотентных) многообразий алгебр Ли (теорема 4.6.1, также стр. 24).

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры Высшей алгебры МГУ им. М.В. ЛоА моносова (неоднократно), филиале МГУ в Ульяновске (преобразованном в УлГУ), университетах Билефельд, Париж-7, Дрезден, Ньюфаундленд, Висконсин-Мадисон; а также на международной алгебраической конференции (Красноярск 1993), международной алгебраической конференции (Казань 1994), конференции по теории колец (Мишкольц, Венгрия 1996), конференции по теории колец (Тренто, Италия 1997), конференции FPSAC'97 (Вена 1997), .международной алгебраической конференции памяти А.Г. Куроша (Москва 1998), международном конгрессе математиков, (1СМ'98 Берлин 1998), конференции по теории представлений (ICRTA 8.5, Билефельд, ФРГ 1998), международных алгебраических семинарах кафедры высшей алгебры МГУ (1999, 2000), конференции "Комбинаторная алгебра" (MSRJ, Беркли, 2000), конференции по теории роста в институте Вайцмана, (Израиль 2000), конференции "Асимптотическая теория гр\тш", (Иерусалим 2000), конференции FP-SAC'OO (Москва 2000).

Структура диссертации. Настоящая диссертация состоит из вводной главы О, пяти основных глав и одной дополнитатьной главы. Глава О начинается с параграфа 0.0, в котором собраны необходимые определения, обозначения и соглашения. Далее вводная глава состоит из 6 параграфов, каждый из которых содержит обзор литературы и краткое изложение результатов соответствзтощей ему главы диссертации. Утверждения нумеруются так: теорема 1.2.3 является третьей теоремой в параграфе 2 главы 1. Если эта теорема также цитируется в главе О, то формулировка приводится с тем же номером, т.е. теорема 1.2.3. Если формулировка теоремы изменена, то она цитируется как теорема 1.2.3А.

Автор пользуется возможностью выразить глубокую признательность научным консультантам СП. Мищенко и C.B. Булярскому, а также В.Н. Латьппеву, А.Л. Шмелькину, Ю.А. Бахтурину, М.В. Зайцеву и А.Б. Веревкину за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения результатов.

Глава О.

Обзор результатов

0.0. Общие определения, обозначения и соглашения

Обозначаем No = Ни{0}, Ж+ = {г € К|г > 0}. Через С(*),Г(*) и мы обозначаем соответственно дзета-функцию Римана, гамма-функцию и функцию Мёбиуса.

Используем стандартные обозначения /{х) т д{х), х —> оо в случае Птхлоо1{х)/д{х) = 1; также/(а;) = о{д{х)), если с некоторого момента /(х) — а{х)д{х), где Цтх-*ооа(а;) = 0; /(а;) = 0{д1х)), если /(гг) = где функция

3{х) ограничена. Для двух функций /{х), д{х) мы пишем /(а;) < р(а;), если существует такое К, что f{x) < д{х), х > Е, будем называть это асимптотическим неравенством. Все эти обозначения будут использоваться как для функций вещественного, так и натурального аргумента.

Пусть мы имеем функцию натурального аргумента Ту{п), которая непрерывна и возрастает по отношению к параметру 7, будем называть эту функцию эталонной (см. например (0.2)). Тогда мы сравниваем произвольную функцию натурального аргумента /(п) с эталонной функцией следуюпщм образом. Пусть число с е Ш зафиксировано. Мы вводим следующее обозначение. а п) Тс(п) М{71 /(п) < тл{п)} — с.

Предположим, что из соотношения,ж — гл{п) мы можем выразить параметр 7 = д{х,п). Тогда выше приведенное условие эквива-тентно следующему.

Во МНОГИХ случаях такие выражения выглядят громоздко, поэтому мы часто используем первое обозначение.

Формальные ряды мы сравниваем покоэффициентно: Ап-г" -< Ап-г" тогда и только тогда, когда йп < Ьп, п > 0. Аналогично мы сравниваем также и кратные ряды.

Пусть /{г) — функция комплексного переменного, тогда мы обозначаем М/(г) = тах|2|=г 1/(2)1, г е К1. Если мы используем ряд /(г) = 12Ао<АА" д"а перечисления какого-либо множества, то коэффициенты а„, п > О являются целыми неотрицательными числами. В таких случаях имеем М/(г) = /(г), г £ Ж1*".

Определим по итерации функции

Ы(°) х = х, 1п(*+А) X = 1п(1п'*) х); 5 = 0,1,2,.: ехр(") а; = ж, ехрАА+ААж = ехр(ехр(*А2;), з = 0,1,2,

Если итерация логарифма встречается в формуле, то эта формула рассматривается с точки, где эта итерация определена и неотрицательна.

Функция /(п) : N С называется квазиполиномом, если f{n) = 13А=оЛзС*Л) где \jiTi) : N С — периодические функции, а = 0,1,., 5 [93]. Если ЛвСп) Ф О, то 5 называем степенью квазиполинома.

Основное поле мы обозначаем через К. Рассмотрим множество X, тогда К<Х> обозначает свободную ассоциативную алгебру и К{Х — кольцо многочленов, порожденные этим множеством. Лиевы скобки левонормированы, т.е. [а1,.,а„] = [. [01,02], .,а„]. Если Ь — (супер)алгебра Ли, то и{Ь) обозначает ее универсальную обертывающую алгебру.

Многообразием (супер)алгебр (Ли) называется класс всех (супер)алгебр (Ли), которые удовлетворяют некоторому множеству (градуированных или неградуиро-ванных) тождественных соотношений.

Пусть V — многообразие сунералгебр Ли, тогда через Р{у,Х), X = Х4. и Х мы обозначаем его Относительно свободную алгебру, порожденную множеством X. Пусть Х+ = {жг|г е Х- = {хЛЦ е /}. Алгебра а(У,Х) порождена множеством X и обладает следующим универсальным свойством: для любой алгебры Н ~ Н+ ф Я € V и произвольных у,- Е Я+, г Е /+; Е Нл, ] Е /, существует гомоморфизм ф : Пу,Х) —>• Н такой, что ф{х1) — уг, г € /+ и /. Для свободной алгебры многообразия алгебр Ли, порожденной конечным множеством \Х\ — к, мы также используем обозначение Р{\',к), и называем ее свободной алгеброй ранга к. Пусть V — многообразие (алгебр Ли), рассмотрим произвольную алгебру Н, тогда У(Я) обозначает вербАсмьиый идеал, это идеал в Я порожденный всеми элементами /(«!,.,«„), щ Е Н, где /{х1,.,Хп) — все тождественные соотношения многообразия V. Для многообраизий ассоциативных алгебр вербальные идеалы принято называть Т-идеалами. О теории многообразий алгебр Ли см. монографию [32].

Пусть Ь — (супер)алгебра Ли, тогда определяют нижний центральный ряд =

Ь, и'лл = [Ь,и], г = 1,2,Алгебра Ь называется нильпотентной ступени если Х*"^ = {0}, Ф {0}. Через N5 обозначаем класс всех (супер) алгебр Ли, нильпотентных ступени 8.

Пусть V — полиоднородное многообразие, удовлетворяющее условию Кв-х А V С такое многообразие мы обозначаем V = N(5). Такое многообразие не; единственно, но всякий раз используя это обозначение мы подразумеваем какое-то одно зафиксированное многообразие.

Алгебра Ь называется полинильпотентной с набором (з,,. .,82,зг), если существует цепочка идеалов О = Ьд+х С Ьд С • • • С ^2 С Ь\ = Ь, причем I,i/Xi4.l € N5A, г = 1,.,д. Все полинильпотентные (супер)алгебры Ли с фиксированным набором {вд,.,82,81) образуют многообразие, обозначаемое • • • Ns2NsA. В качестве частного случая при = • • • = = 1 мы патучаем многообразие разрешимых (су-пер)алгебр Ли А' ступени д.

Пусть М, V — многообразия алгебр Ли. Определено их произведение М • V, это класс всех алгебр Ли Ь, таких что существует идеал Н С Ь, такой что Я € М,

LfH G V [32]. Например, многообразие V = NsA---Ngi является произведением: V = NjA •. • • . Екхяи основное поле бесконечно, то все многообразия алгебр Ли образуют полугруппу с нулем и единицей по отношению к этой операции [32].

Рассмотрим алгебры Ли Л, В, где А принадлежит многообразию М. Тогда определено сплетение W = Aw£-KB [32]. Это алгебра Ли, обладающая следуюхцими свойствами. Имеет место разложение векторного пространства = Л ф Я, где А — идеал в W и Л G М. Пусть дополнительно Л = F(M, Z) — свободная алгебра со свободным порождающим множеством Z = {zi\i G N}, где М полиоднородно [32]. Тогда Л является свободной алгеброй для М со следуюпщм множеством свободных порождающих:

Е = {[zj,«ij,Ui2,.,UiJi < .<Uin > О, Zj G Z}; где —• элементы упорядоченного базиса для В. Дополнительно предположим, что В = F{Y, Y) — также свободная алгебра некоторого многообразия V со свободным множеством порождающих Y = {у»|г G N}. Рассмотрим свободную алгебру произведения L = F(M • У,Х), X — {xi\i G N}. Тогда отображение —yi-\-Zi,iEN продолжается до мономорфизма Ф : L —> W" [32]. В случае М = А мы шиееъл абелево сплетение, обозначаемое Л wr Б.

Пусть Л = фАоЛ„.— градуированная алгебра. Тогда рассматриваем ряд Гильберта-Пуанкаре ЩА, i) = dimA Ла f. Предположим, что М — полиоднородное многообразие алгебр Ли и алгебра L = Р{Ш,к) порождена множеством = {xi,Xfc}. Тогда мы имеем градуированную алгебру А

L = ф Ьп, Ln = {[xi,,Xi2,.,XiJ X- e X)kв частности, имеем такое разложение для полинильпотентных многообразий. Мы обозначаем ?{fc(V,i) = ?ЦР(^Те), Г).

Через мы обозначаем размерность пространства элементов степени п в свободной алгебре Ли ранга А По формуле Витта [32], [37], [108]: feW = AEMa)fc"/"

0.1)

0.1. Подалгебры сво*бодных супералгебр Ли и производящие функции

Хорошо известны формулы Витта для размерностей однородных компонент (0.1) и полиоднородных компонент свободной алгебры Ли [37], [108]. В случае градуированных свободных супералгебр Ли аналогичные формулы известны для некоторых частных случаев, они не являются полными и удовлетворительными [30], [162], [86], [141], [139], [142]. Мы предложим другие ана.тоги формул Витта для свободной супералгебры Ли. Наш подход основан на явной формуле производящей функции (характера) для всей свободной супералгебры Ли. Отметим также, что в [86] использовались характеры в слзАае действия симметрической группы, их определение отлично от нашего. в параграфе 1.1 мы рассматриваем супералгебры Ли, градуированные полугруппой, удовлетворяющей некоторым разумным условиям; возникают характеры — элементы пополненной полугрупповой алгебры. Мы находим связь между характерами супералгебры Ли и ее универсальной обертывающей йлгебры. Теорема 1.2.1 дает фор*1улу характера всей свободной супералгебры Ли, приведем ее следствия.

Следствие 1.2.2. Пусть Ь — Ь{Х) — свободная супералгебра Ли с не более чем счетным множеством порождающихX = {Хг\г € /}, где 1 — 1^1)1- и Х+ = {xi\i € Х- = {хл\л е /} — множества четных и нечетных порождающих. Тогда адЬ,«А|г €/) = - £л 1п (1 - 2 -Ь 1: И,)-).

Следствие 1.2А. Пусть Ь = Ь{Х), X — Х+и Х- — свободная супералгебра Ли и а+ = • • • 5 Х- = {хт+1,. -., Хт+к}- Тогда а 1 а , ,(m-(-l)4)"/''-t-(ra-A;)"/' 2 on

Ln,- = -21 Ко)---— Оa|n sdimL„ = -Х)/*(а)("г-А;)"/''; oln а (-1)'"-! а , . (|t.|/a)! (-I)! -!/"

I {ai/a)\'—{am+klo)\'

Здесь a = {ai,. ,am+k) —полистепень и La —полиоднородная компонента; а\ = «1 Н-h OLm+k, \oi-\ - aA+i Л-h «m+fc. Пусть также L„ = ф L„ разложение однородной компоненты на четную и нечетную части; и sdim L„ = dim L„,+ - dim Ьп,л обозначает суперразмерность.

Ранее размерностные формулы для свободной супералгебры Ли были получены следующим образом [108]. Из структуры базиса свободной супералгебры Ли вытекает, что dim La = dimWo -|- dainiWa/ii где — размерность полиоднородной /А-компоненты свободной а. 1гебры Ли с тем же множеством свободных образующих; и а = 1 в случае, если 2|о; и | а -1 / 2 нечетно; иначе а = 0. Так получаются формулы, состоящие из двух случаев (см. гшалогичные формулы также в [162]). Наша формула для полиоднородной компоненты La в случае X = Х была получена ранее [86 . Формула для суперразмерности sdimL„ также была известна [139]. Остальные формулы, насколько известно автору, являются новыми. Другая постановка задачи рассмотрена в [30]: свободная супералгебра Ли порождена No-градуированным конечным множеством X = UAjX„, где четность элементов Хл совпадает с четностью п; при этом получены неявные размерностные формулы.

В теории свободных групп имеет место следующая формула Шрайера [170 . Пусть G — свободная группа ранга п, любая подгруппа Н в ней свободна, причем если |G : Я| < ос и m — ранг для Я, то m - 1 = (п — 1) • |G : Я .

Опишем ситуацию для свободных алгебр Ли. Любая подалгебра свободной алгебры Ли свободна по результатам А. И. Ширшова [104] и Е. Витта [175]. Хорошо известно, что ранг подалгебры Н С L бесконечен, если aimh/H < оо [32], [108]. Таким образом, прямой аналог формулы Шрайера для свободной алгебры Ли не существует. Он был найден для р-алгебр и супералгебр Ли. Любая ограниченная подалгебра свободной р-алгебры Ли свободна [175], и имеет место "формула Шрайера" для ее ранга (Г. П. Кукин [69]). Рассмотрим свободную супералгебру Ли L = Lo Ф Li, тогда любая однородная подалгебра Н = НоФ Hi С L свободна, и в случае lq = hq-, dimli/hi < oo существует аналог формулы Шрайера (А. А. Михалев [74]). Также существует аналогичная формула и для свободных р-супералгебр Лли [75], см. также [108].

В настоящей работе важную роль играет аналог формулы Шрайера для (су-пер)алгебр Ли, он сформулирован в терминах характеров (теорема 1.3.1). Приведем его формулировку в терминах формальных степенных рядов.

Следствие 1.3.1. Пусть L = F{X) — свободная супералгебра Ли, порожденная не более чем счетным множеством X — {xi\i € /}, где J = /+ U / и Х+ — {xi\i € 1+}, Х- = {xj\j Е I-} — четные и нечетные порождающие. Предположим, что Н С L — однородная подалгебра имеющая Y в качестве однородного свободного порождающего множества. Тогда n(Y,t) - 1 = (ЕП - l) •m(L/H,t)).

Здесь мы использовали следуюпщй важный оператор: пусть супералгебра Ли имеет производящую функцию 0(t) = ф{Ир El), тогда ее универсальная обертывающая алгебра имеет производящую фзтасцию Е{ф){^, она также вьгшсляется по формуле е{ф){г) = exp(f;l0H(t)\, где флл'Чл) = ф\лt, = e{tr*Hr\iEIY и £{ti) = ±1 в зависимости от четности переменных.

Основное приложение этого результата состоит в следующем. Первоначально доказательство автора теорем 3.1.3.4.1 опиралось на громоздкие вычисления и оценки [7]. Но применение форм>'л Шрайера позволило найти точную формулу для Аядов Гильберта-Пуанкаре, что сделало более понятным доказательство, ё| также происхождение констант N, А.

Следствие 1.4.1. Пусть L = F(Ns, • • • NAj,Jf) — свободная полинильпотентная супералгебра Ли, порожденная не более чем счетным множеством X = {xi\i Е /}, где I = IAU I- и Х+ = {xi\i Е 1+}, Хл = {xj\j El-} — четные и нечетные порождающие. Определим ряды gi{t),fi{t) Е Q[[t]], г = О, полагая до{1) — О, o(t) = E.e/*b и т=1 а\т т = l + (E,,/i-l)-A(At)), 1 <г<д .

ТогдаПх{Ь,1) = дд{1).

В параграфе 1.5 рассмотрены аналогичные задачи для ограниченных (супер) алгебр Ли. А именно, вычислены характеры и ряды Гильберта-Пуанкаре для свободных ограниченных алгебр Ли, найдены размерностные формулы, доказана аналогичная формула Шрайера. Из найденных формул Шрайера легко следуют упомянутые выше результаты Г. П. Кукина и А. А. Михалева о рангах подалгебр для р-алгебр, супералгебр и р-супералгебр Ли (следствие 1.5.3).

Далее найденные формулы для производящих функций свободной супералгебры Ли использованы также для изучения инвариантов действия конечных групп на свободных супералгебрах Ли.

Пусть конечная грзппа С С СЬт{К) диагонально действует автоморфизмами на кольце многочленов Ш = К[Х], X = { жх, . . . гд е поле имеет характеристику ноль. Тогда имеет место классическая формула Т. Молина для производящей функции кольца инвариантов [158], [38]: n{K[xr,t)*-*Y.

Имеет место критерий свободы подалгебры инвариантов (Шеппард-Тодд) [172]; инварианты многочленов изучаются давно, см. обзор [173].

Напомним также ситуацию в ассоциативном случае. Пусть А = K<xi,., Хт> — свободная ассоциативная алгебра, и G — Конечная подгруппа в GLA(A'); поле произвольно. Действие группы диагонально продолжается на всю алгебру А. В отличие от произвольной подалгебры, подалгебра инвариантов K<xi,. .,Хт>л всегда свободна (Харченко [98]); причем подалгебра инвариантов конечно порождена тогда и только тогда, когда G действует скалярами (Дикс-Форманек [119], Харченко [143]); см. также монографию [99].

Перейдем к инвариантам свободных алгебр Ли. Пусть L = L{xi,.,Xm) — свободная алгебра Ли. Предположим, что G — конечная группа автоморфизмов алгебры Ли L. Рассмотрим подалгебру инвариантов H = Ьл = {xEL\g-x = x, дЕ G}. По теореме Ширшова-Витта любая подалгебра в свободной алгебре Ли свободна [104], [175]. Подалгебра инвариантов бесконечно порождена в слл'чае конечной группы однородных автомор>физмов (Брайант [117]). Дренски доказал аналогичный результат для конечной группы (не обязательно однородных) автоморфизмов, если порядок группы обратим в К, при этом он также рассматривал более общий случай относительно свободных а.тгебр [123]. Бесконечная порожденность в случае произвольной конечной группы над любым полем недавно доказана в [118].

Нас будет интересовать другой югляд на подалгебру инвариантов. В качестве приложения форм>'л характеров свободных супералгебр Ли (следствие 1.2.3) мы опишем строение свободного порождающего множества подалгебры инвариантов в тер>-минах производяпщх функций.

Теорема 1.6.1. Пусть G С GL(VA) х GL(F) — конечная подгруппа, где V+ = {xi,. .,Хт)к U V = {хт+1• *,Хт+к)к векторныс пространства над полем характеристики нуль. Рассмотрим диагональное действие группы G на свободной супералгебре Ли, порожденной четным множеством Х+ = {xi,. .,Хт}, и нечетным Х- = {хт+1,.,Хт+к}- Для д Е G МЫ обозначаем д = {д+,д-), д+ € GL{V+),

5 е СЬ(У). Предположим, что подалгебра инвариантов Н — свободно порождена множеством У = иА2о1АА, где — множество элементов в ¥ степеней {и j относищелъно и Х-. Пусть ?{(У,*+,*) = Х)аа=о 1лл,л+*л — производящая функция для У. Тогда

1) л л

ЩУ,и,1.) = 1 - П П "'1/П.„ (1 - txigl)tl + tv{9t){-trYЛ'ЛЛ; деа п=1 V '

2) Если д Е С имеет порядок со следующим разложением на простые множители • • *р'Л, то во втором произведении можнё ограничиться множителями для пЛрЛЛЛ »»»р'лл, аг>0;

3) g — е дает один множительл 'А1 — mt+-K kt-.

Отсюда мы находим асимптотику для — числа свободных порождающих степени п; получаем экспоненциальный рост с показателем экспоненты m + fc (следствие 1.7.1). В частности, подалгебра инвариантов бесконечно порождена и в случае свободных супералгебр Ли (для |G| > 1). Эта теорема также дает примеры бесконечных произведений радикалов, являющихся целочисленными формальными степенными рядами.

0.2. Рост конечно порожденных алгебр Ли

Пусть А — алгебра над полем К, порожденная конечным множеством X, в этом случае мы используем обозначение А = alg(X). Обозначим через лаа'") подпространство, натянутое на мономы из элементов X степени не выше п (с любой расстановкой скобок). Рассмотрим следующие функции роста

7д(п) = 7л(Х,п) = (1 1шкЛ(А'"\ n GN;

Лл(гг) = 7л(п) - 7А(П - 1), тг 6 N; где dimjfi: обозначает размерность векторного пространства над полем К. Если А — ассоциативная алгебра с единицей, то мы считаем что единица принадлежит всем множествам Ал-л'л\ n > О, и 7л (0) = А.4(0) = 1. Поведение этих функций является важной характеристикой алгебры А.

На функциях / : N —> R"*" мы рассматриваем следуюпщй частичный порядок: f{n) а д{п) если и только если существ\тот константы N > О, С > О, такие что fin) < д(Сп), п > N. Эквивалентность f(ft) л д(п) означает что /(п) > д{п), f{n) л д{п). Нетрудно видеть, что любое другое порождающее множество X' дает эквивалентную функцию 7д(Х, п) ~ 7A(X',n) [145]. Существуют другие, более грубые характеристики, чем эта эквивалентность.

Если алгебра Ли L конечномерна: (\\тпк L — к, то 7a(L)(n) является полиномиальной функцией и 7i7(L)(n) ~ п''. Заметим что для к ф к' получаем неэквивалентные функции п* Ф п*'. Произвольная функция fin) сравнивается с полиномиальными функциями путем вычисления верхней и нижней размерностей Гельфанда-КирилАова [128]:

GKdim/(n) = lim ': GKdim/(n) = lim , n-Aoo In n — Я=?5о In n

Верхняя и нижняя размерности Гельфанда-Кириллова для алгебры А определяются так

СК(11т Л = СКа1т 7д (п), СК(11т А = СК(11т 7л (п).

Эти величины были введены И.М.Гельфандом и А.А.Кирилловым в 1966г. как важ-ный'инструмент для изучения проблемы изоморфизма тел частных универсальных обертывающих алгебр [128].

Самым быстрым для ассоциативных алгебр и алгебр Ли является экспоненциальный рост. Если Ь — свободная гшгебра Ли конечного ранга, то 7ь(и) ~ Уи{ь){п) ~ ехр(п) (это непосредственно вытекает из формулы Витта). Предположим, что алгебра Ли Ь бесконечномерна, тогда 7{7(£,)(п) >ехр(-А/п) [171], что означает СКд1ти{Ь) — ОС. Для алгебры ВиттаХ = \¥\ имеем в точности 7и(ь)(гг) ~ exp(^vM)^ Рост, меньше экспоненты (в смысле <) называется субэкспоненциальным. Субэкспоненциальный рост, больший любого полиномиального, называется промежуточным. Для изучения такого роста в 1976г. В. Боро и X. Крафт предложили понятия суперразмерности и нижней суперразмерности [116]:

Sdim/(n) = lim —1——: ScfirV/fn) = lim /( ) а П-+00 Inn — • , Inn

Если Sdim /(n) = Sdim/(n) = a, 0 < o; < 1, то это означает, что f{n) ведет себя как функция ехр(п°). Возникают также и соответствующие понятия для конечно порожденной алгебры А:

Sdim Л = Sdim 7л(п), Sdim Л = Sdim 74 (п).

Промежуточный рост такого вида имеют конечно порожденные алгебры Ли векторных полей, они исследовались в работах A.A. Кириллова, М.Л. Концевича и А.И. Мо-лева [65], [66], [67], [84], [85]. Свойства упомянутых размерностей можно найти в монографии Г. Краузе и Т. Ленагана [145], а также в обзоре В. А. Уфнаровского [94].

Субэкспоненциальный рост алгебры Ли влечет субэкспоненциальный рост ее универсальной обертывающей алгебры (М. Смит [171], 1976; и В. Уфнаров-ский [95], 1978). Этот факт позволил А. Лихтману доказать, что конечно порожденная разрешимая алгебра Ли имеет субэкспоненциальный рост [149], 1984. Алгебры Ли субэкспоненциального роста представляют интерес, поскольку их универсальные обертываюпще алгебры удовлетворяют условию Ope, т.е. имеют классическое кольцо частных [149].

Таким образом возникает заЛча: описать как можно точнее изменение роста при переходе от алгебре Ли к ее универсальной обертывающей алгебре. Для алгебр Ли полиномиального роста это было сделано в работе А. Е. Березного, ([35], 1983; но вычисления для более быстрого роста ошибочны); также в работах В. А. Уфнаров-ского ([95], 1978), А. Лихтманаи В. А. Уфнаровского ([150], 1995) изучается случай нетривиальной суперразмерности алгебры Ли. Один из примеров Д. Бергмана ([115], 1996) фактически касается патиноАшального роста алгебры Ли. Также, для случая полиномиального роста имеют место сильные асимптотики Г. Мейнардуса ([107], см. также теорему 3.3.2 и комментарии к ней в следующем параграфе).

Для изучения этой задачи мы предлагаем иерархию размерностей. Определим сначала серию функций натурального аргумента фА(п), g = 1,2,3,. с параметром

ФЦп) = а,

9 = 1 фЗ(п)= exprnA'/A'A+i)), 9 = 3 (0.2)

Предположим, что /(п) — функция натурального аргумента, принимающая положительные значения. Для фиксированного 5 G N мы определяем (верхнюю) размерность уровня q и нижнюю размерность уровня q следуюпщм образом

Dim«/(n) = inf {aGM + l/(n)< Ф«(п)} = шГ{аеЕ + |/(гг) <фА(п)}, Dm' fin) = sup {« е 1 fin) > ФЦп)} = sup {a € R+ 1 f{n) > ФЦп)}. инфимумы и сухфемумы совпадают, см. лемму 2.1.2). Будем также называть эти размерности д-размерностями.

Рассмотрим произвольную конечно порожденную алгебру А. Для фиксированного 9 G N мы определяем д-размерность и нижнюю д-размерность алгебры А

Dim' А = Dim'' 7л(п), Dim" А = Щщ' 7А(П) .

Эти размерности не зависят от порождающего множества X, поскольку мы используем в нашем определении порядок < и, меняя порождающее множество X, мы получаем эквивалентную функцию ~ (см. например [145]).

Эти размерности образуют шкалу, каждая размерность измеряет свои алгебры. А именно, имеет место наблюдение.

Следствие 2.1.1. Предположим, что функция f{n) имеет нетривиальную q-размерность для некоторого уровня g G N, т.е. Dim' f{n) ~ а, О < а < оо. Тогда

1) размерности следующих уровней s > q равны нулю DimK f{n) = 0,

2) размерности предыдущих уровней s < q равны бесконечности Dim* f{n) - оо.

Поэтом}' в случае О < Dim' А < Dim' А < оо мы говорим, что алгебра А принадлежит уровню q.

Заметим, что 1-размерности совпадают с обычной размерностью векторного пространства над полем К: DimA,4 = DmK А = dimArA. Размерности уровня 2 являются в точности верхней и нижней размерностями Гстьфанда-Кириллова. Размерности уровня 3 соответствуют суперразмерностям с точностью до нормализации (следствие 2.1.3). Размерности уровней g = 4,5,. соответствуют субэкспоненциальным ростам, большим любой фА'нкции вида ехр(п'А), /5 <1. Такие типы роста ранее не изучались. Назовем их логарифмическгши ростами.

Важность д-размерностей для а.агебр Ли объясняется двумя следуюпщми теоремами.

Теорема 2.2.1. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли и Dim' L = а > О для фиксированного 5 G N. Тогда

1) В случае qA2 имеем Dim.a u{L) = а.

2) Предположим дополнительно, что в случае g > 3 имеет место нижняя оценка Dim' L = а, а для q = 2 предположим, что DimA А/,(п) = а — 1, а > 1. Тогда

Dim'-'' U{L) = Dim'+' U{L) = a.

Друпйми словами, если алгебра Ли L находится на уровне q с параметром а шкалы (0.2), то ее универсальная обертываюш;ая алгебра U{L) поднимается на следующий уровень q + 1 с тем же самым параметром а.

Теорема 2.3Л. Пусть L = F(NsA • *-NsaNAi, А;), q >2 — свободная йолинильпо-тентная алгебра ранга к, к>2. Тогда

Dim'L = Dim'L = S2 dimji F(N5a, А;). i 1

Где по формуле Витта (0.1) имеем dim«AF(Nsj, А) = Е —eaj*a)a"*a" m=l ojm

Следствие 2.3.1. Пусть L = F(A', А) — свободная разрешимая алгебра Ли ступени q и ранга к, к >2. Тогда

Dim" L = Dim" L = к.

Вопрос о рациональности рядов Гильберта-Пуанкаре имеет большое значение во многих областях алгебры и топологии (см. обзор И.К. Бабенко [31], 1986). Известно, что ряд Гильберта-Пуанкаре H{F{A^,k),t) рационален. Этот результат был получен в общности цветных сзшералгебр Ли Ю. А. Бахтуриным и В. С. Дренски ([33], 1987; см. также [108]). Теорема 2.3.1 позволяет доказать следующее.

Следствие 2.3.2. Ряд Гильберта-Пуанкаре для алгебры L — F(NsA • "Asi, к) рационален тогда и только тогда, когда q <2.

Пусть Wn — алгебра Витта и W„ = var(W„) обозначает многообразие, порожденное этой алгеброй. Конечно порожденные алгебры этого многообразия изучались А. А. Кирилловым и его учениками [66], [67], [84], [85]. Ими был получен ряд асимптотических формул. В терминах д-размерностей из этих результатов вытекает следующее.

Теорема 0.2.1 (А. И. Молев, [84], 1986). Предположим, что L = F{Wn,k), к>п-{-1. Тогда DimAL = DimAL = п.

Интересно отметить, что для W„, а также для всех полинильпотентных многообразий, все свободные алгебры конечного ранга лежат на одном и том же уровне. Отметим также интересную идею, принадлежащую Л. Г. Ковач и С. М. Вовси; они изучали функцию f{k) • GKdimF(M,A;) для некоторых многообразий представлении групп 144

Позднее мы увидим, что аналогичная писала для роста коразмерностей многообразий алгебр Ли полна (в смысте теоремы 4.7.1). Поэтому мы высказываем ана-логичнлто гипотезу, что шкала (0.2) также полна.

Гипотеза. Пусть L — конечно порожденная алгебра Ли, удовлетворяющая некоторому нетривиальному тождеству. Тогда Dim' L < оо для некоторого числа qeN.

Перейдем к обсуждению вопроса целочисленности д-размерностей. Мы уже видели, что д-размерности для свободных полинильпотентных алгебр конечного ранга целочисленны. Напомним сначала известные факты о целочисленности размерности Гельфанда-Кириллова (совпадающей с 2-размерностью) для ассоциативных алгебр.

Теорема 0.2.2 (В. Воро, X. Крафт, 1976, [116]). Для любого а Е [2,+оо) существует два-порожденная ассоциативная алгебра А с данной размерностью ГельфандаКириллбва:ША A = I>iB:?A = a.

Размерность Гельфанда-Кириллова не может иметь значений между О и 1, это тривиальный пробел (см., например параграф 2.4). Более интересен другой, весьма нетривиальный пробел.

Теорема 0.2^3 (Дж.Бергмая [145]). Размерность Гельфанда-Кириллова ассоциативной алгебры не может принадлежать интервалу {1,2).

Таким образом, размерность Гельфанда-Кириллова ассоциативных алгебр может принимать следуюпще значения (и только их): О, 1, [2, оо), оо. Интересно, что для йордановых алгебр имеет место та же самая картина. Интервал [2, оо) заполнен в работе G. Мартинез [153], 1996; наличие пробела (1,2) установлено в работе С. Мар-тинез и Е. Зельманова [152], 1996.

О возможных значениях сзперразмерностей ассоциативных алгебр был известен лишь следующий результат, который мы сформулируем в наших обозначениях.

Теорема 0.2.4 (В. Боро, X. Крафт, 1976, [116]). Для любого числа а Е (0,1] существует два-порожденная ассоциативная алгебра А, такая что DimA Л = а.

Сформулируем наш основной результат о значениях д-размерностей для алгебр

Ли.

Теорема 2.4.1. Для уровня q = 2,3. . и любого о Е [1,+оо) существует два-порожденная алгебра Ли HEA'AANjA, s = \а\, такая что Dim'L = Dim'L — а, где \oi\ — наименьшее натуральное число большее, либо равное а.

В частности, мы видим другую картину для размерности Гельфанда-Кириллова а.1гебр Ли: значения [1,оо) заполнены два-порожденными алгебрами Ли из многообразия NcA. Напомним, что для ассоциативных алгебр интервал (1,2) не заполнен по теореме 0.2.3. Но ситуация меняется, если мы рассмотрим многообреизие АА.

Лемма 2.4.3. Пусть L Е — конечно порожденная метабелева алгебра Ли. Тогда DimA l = DimA l является целым числом.

Для уровня q = 2 пробел а Е (0,1) в теореме 2.4.1 естественен. Но для более высоких уровней g = 3,4,. вопрос о существовании алгебр Ли с Dim' L = Dim' L (J. где a E (0,1) является открытым.

Как видно из доказательства теоремы 2.4.1, алгебры Ли L с условием DimA l = 1 могут иметь достаточно аморфную структуру. Однако в работе А. Шалева и

Е. Зельмалова получена классификация алгебр Ли при более сильном условии, а именно, что 71,(и) ограничена линейной функцией [169 .

Также наш результат имеет приложения к росту ассоциативных алгебр.

Следствие 2.4.1. Для уровней д — 1,2,3,. существуют конечно порожденные ассоциативные алгебры А со следующими ненулевыми д-размерностями:

N, g = 1;

1 }и[2,+оо), д = 2;

0,+оо), 9 = 3; [ 1 ,+оо), 9 = 4,5,,

Для уровней 9 = 4,5,. интервалы а € (0,1) также остаются неисследованными.

0.3. Рост конечно порожденных полинильпотент-ных групп и алгебр Ли

Основным результатом главы 3 является асимптотика, уточняюш;ая теорему 2.3.1.

Теорема 3.1.1. Пусть V = • • - NA1, д>2— многообразие полинильпотентных алгебр Ли. Пусть Ь = F(V, к) — относительно свободная алгебра ранга к, свободно порожденная множеством X = {хг,. .лх/с}. Тогда существует бесконечно малая, такая что д = 2,

N1 " '

71,(Л',п) = \ ехр ((С+о(1)) пА), 9 = 3, expfffiA/'A-hoCl)) п д > 4; где константы вычисляются по следующим формулам:

N = S26M,FifH.,,k)., Л = l ( л £ I i л ) л B = szAC{N-hll ' C=(l-bI/iV)(J5iV)V(^r)

Пусть С — группа, рассмотрим ее нижний центральный ряд 7п(&), п== 1,2,

Стандартным образом строится алгебра Ли [146]:

LKIG) = ©(7«(C)/7n+ia?)) к n=l

Пусть G — свободная полинильпотентная группа, тогда L}({G) является свободной полинильпотентной алгеброй Ли того же ранга и с тем же набором (А. Л. Шмель-кин, [105], 1964). Этот факт позволяет вывести следуюш;ее утверждение.

Следствие 3.1.1. Пусть G — свободная полинильпотентная группа ранга к для многообразия Ngg • • • NAj, 9 > 2. Рассмотрим нижний центральный ряд jn{G), п = 1,2,.

1) Обозначим bn ~ гапк7„(С)/7„+1(С); тогда

Г А + о{\)

Ъп д = 2; .{N-1)1 ехр((С + о(1))пл), q = 3; ехр

В1/л+о(1)) п где константы N, А, В, С те же, что и в теореме 3.1.1.

2) Предположим, что основное поле К произвольно, А — пополняющий идеал в К[0\, и йп = (Ишй-Д'А/А'А+А, п — 0,1,2,Тогда последовательность а„ I п = 0,1,2,.} не зависит от поля К и exp((C+o(l))n'V+i), 9 = 2;

On = < ехр (Bi/A+o(l)) п 9>3; где константы N, А, В, С вычисляются, как и в теореме 3.1.1 (в случае q = 2 мы полагаем S3 = I).

М.И. Каргаполов поставил проблему 2.18 в Коуровской тетради [68]: найти ранги факторов нижнего центрального ряда для конечно порожденных полинильпотент-ных групп. Точные рекурсивные формулы были найдены Г. П. Егорьпевым [57], он опирался на базис Л.А. Бокутя для свободной алгебры Ли [36]. Но указанные формулы не дают представления о характере роста этих рангов. Следствие 3.1.1 дает другой ответ на поставленную проблему, описывая асимптотику поведения этих рангов. (Отметим, что первое продвижение в этом направлении было сделано в работе А.Е. Березного [35]). Также теорему 3.1.1 и первое утверждение следствия 3.1.1 можно рассматривать как асимптотические аналоги формулы Витта, которая дает ранги нижнего центраггьного ряда для свободной группы. А именно, пусть Ь = фАхАп — свободная а.1гебра Ли ранга к я С — свободная группа ранга к, тогда факторы нижнего центрального ряда 7„(С)/7„ + 1(С) являются свободными абелевыми группами и их ранги равны rank7„(G)/7„+i(G) = diniKLn = Мп) = - а / а н а . а .

ТЬ I п

В параграфе 3.5 мы из\'чаем два вида р-центральных рядов для полинильпотент-ных групп. Эти ряды явились важным инструментом в положительном решении ограниченной проблемы Бернсайда Е. Зельмановым [180], [174 .

Пусть р простое число. Во-первых, мы рассматриваем нижний р-экспоцентраль-ный ряд

G=*GiDG,D.; Gi = G, GA+i = (Gi, G) • , i G N;

L(G) = Д G./G.+i: К = dimj^ G„/G„+i, где ассоциированное кольцо Ли L{G) оказывается алгеброй Ли над конечным полем Fp порядка р. Асимптотика для Ь„ отличается от приведенной выше асимптотики для Ьп = Tank^n{G)/^n+i(G) только для g = 2, в этом случае степень полинома возрастает на единицу (теорема 3.5.1).

Во-вторых, мы изучаем нижний р-центральный ряд, появившийся в работах Брауэра, Дженнингса и Цассенхауза [137], [179], [146]:

G = Di,p DD2,,D., = Dr^^iG) = П brn{G)f, n € N. mpj>n

При этом ассоциированное кольцо Ли является р-алгеброй над полем Fp (см. например [160]). Рассмотрим соответствующие ряды Гильберта-Пуанкаре:

ОО

A(G) = ДО„,р/£>„-+а,р,

ОО n{L^{G),t) = Y.dr,e, rf„ = dimF (D„,p/L>„+iA), n е N. n=l

В этом случае изменения в асимптотике происходят только в случае q = 2. А также мы получаем интересный пример полиномиально растущих коэффициентов в то время как соответствующая функция Гильберта-Пуанкаре HiL-л {G),t) не рациональна (теорема 3.5.3).

Важный момент в наших рассуждениях — это изучение асимптотического поведения фушащи Гильберта-Пуанкаре'Н^А(У,А;))*) Щ>и |t| -4A 1—0, где V — поли-нильпотентное многообразие.

Теорема 3.4.1. Пусть V = NA, —Nsi, q>2, — полинильпотентное многообразие. Рассмотрим его свободную алгебру L = F(V, A) ранга к. Тогда

А, q = 2, ssaN+l)A, q>3; где lnA°AX = X и константы N, А те же самые, что и в теореме 3.1.1:

Следующее соотношение играет важную роль в наших да-льнейших построениях. Предположим, что мы имеем последовательность {Ь„ £ Щ\п = 1,2,.}, тогда мы можем построить другую последовательность {а„ 6 Nojn = 0,1,2,.} следуюпщм образом: с» 1 ОО zzl \л *• ) п=0

В случае Ь„ = 1, п G N, мы палл"1аем Оп = р{п) — число разбиений для п [107]. В общем случае будем называть пал\'ченную последовательность обобщенными разбиениями. Мы можем иллюстрировать их значение аледуюпщм образом. Величина Оп есть число разбиений п = Ai + Л2 + • • - + As, Ai > А2 > • • • > /s, Ai G N; где числа Aj, равные m, раскрашены в 6А цветов, т ~ 1,.,п; причем порядок равных чисел, но разных цветов, в наших разбиениях считается несущественным.

Важность для нас соотношения (0.3) объясняется следуюпщм фактом. Рассмотрим конечно порожденную алгебру Ли L, считаем, что ее универсальная обертывающая алгебра порождена тем же самым множеством. Тогда две последовательности {6„ = \hip)\ п = 1,2,.} и {а„ = \v{L){n)\ п = 0,1,2,.} связаны соотношением (0.3). Это факт хорошо известен [171], см. также параграф 2.2.

Мы доказываем следующую асимптотику.

Теорема 3.3.2. Пусть две последовательности {Ь„ G Mojn = 1,2,.} и {а„ € Щ\п — 0,1,2,.} связаны соотношением (0.3). Если Ь„ имеет одну из следующих асимптотик, то Оп имеет соответствующую асимптотику:

1). Если Ьп = {а+о{1))п'Л-'Л, а>1: то a„ = exp((0-bo(l))n'A/("+i)).

2а). Если Ь„~'Аехр(£гп"/(" + 1)), то а„ ехр (к —%тт-] •

2b). Если 6„ = exp((a4-o(l))n°/(°+A'), то а„ = ехр((,с + о(1))ааа).

За). Если Ьп ехр (а —г-г-], s >1, то

36). Если Ьп ' ехр \Л{а Ч- о(1)) лл(5) A)i/aj' а а 1' о„ = ехр ( ( а + 0(1» а j - 5 5 а ) . где константы равны: в = (1-Ы/а)(аС(о + 1)Г(а + 1))а''('*+'\ к = а (а/(а + 1))а+а'".

Утверждение 1), также как и утверждение 1) теоремы 3.3.1 яв.1яются вариантом асимптотики Г. Мейнардуса [107]. Однако они из указанной асимптотики не выводятся. Дело в том, что в [107] поллАены весьма точные асимптотики для а„ при условии, что Ьп растет полиномиально. Но при этом наложено еще одно условие — об аналитическом поведении в левой по.1\т1лоскости некоторой дзета-функции, проверять которое в произвольном случае весьма проблематично. Кроме того, есть соображения, что в произвольном случае оно просто не будет выполнено. Наши подход основан на изучении роста при |i| а 1—О функции, аналитических в единичной окружности. Кроме того, используются непосредственные оценки. Для доказательства нижней оценки утверждения 1) мы испо.сьзуем результат Ра.мануджана [161, р.258], прямые оценки также возможны, но весьма весьма сложны. Асимптотики 2а), 2Ь), За) и ЗЬ) являются новыми.

Рассмотрим также приложение этого результата к г-свернутым разбиениям числа п [138]. Двойным разбиением {2-свернутым разбиением) числа п называется представление п в виде двойной суммы п = ахЛ-\-ак,

ОС1 = /311 + --- + Ат1, где «г, — натуральные числа; порядок « х , . . . , и Рц,.,Amn г = 1,.,к считается несущественным. Итерируя этот процесс, т.е. раскладывая далее числа мы получаем г-свернутые разбиения, их число обозначим через р(г, те). В частности, р{1,п)=р{п).

Следствие 3.3.1. Для числа г-свернутых разбиений справедлива следующая асимптотика р(г, п) = ехр + о(1)) , г > 2.

Для случая г = 2 известна более точная асимптотика [138], в случае г > 3 этот результат является новым.

0.4. Функции сложности и рост коразмерностей

Пусть V — многообразие линейных алгебр и F(V, Х),Х = {xi\i € N} — его свободная алгебра счетного ранга. Обозначим через P„(V) С F(Y,X) подпространство полилинейных элементов степени п, составленных их букв Xi,.,Xn- Возникает последовательность коразмерностей, которая является важной характеристикой многообразия V:

Cn{Y)=Cn{F(V,X),X) = dimKPn(V), п € N.

Для ассоциативных алгебр хорошо известен следующий факт.

Теорема 0.4.1 (А. Регев, [163, 164], 1971; также В. Н. Латышев [71], 1972).

Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр, удовлетворяющее нетривиальному тождеству степени д. Тогда с„(У)<(л-1)2", пеж

Понятие последовательности коразмерностей было предложено в работе А. Регева, где приведенная теорема была использована для доказательства того, что тензорное , произведение ассоциативных алгеблл с тождеством также удовлетворяет некоторому тождеству [164]. Поведение последовате-тьности коразмерностей для ассоциативных алгебр в нулевой характеристике хорошо иззЛено, в частности, найдены асимптотики для первичных многообразий (см. обзор [166]).

Многообразия алгебр Ли с полиноЛшальньш ростом коразмерностей описаны в [34], [78]. Рост коразмерностей д.1я а.1гебр Ли, не превышающий экспоненту, достаточно хорошо изучен, см. обзор [81] (СП. Мищенко, 1990), где основным объектом являются многообразия почти полиномиального роста, т.е. многообразия, каждое собственное подмногообразие которых имеет полиномиальный рост. Экспоненциальный рост также имеют многообразия W™, порожденные алгеброй Витта иа""а, свободные алгебры которых можно также рассматривать как векторные поля общего положения в К"*. Для "NA1 описана структура й'п-модуля РпСА"!) [85], из нее вытекает асимптотика.

Теорема 0,4.2 (А. И. Молев [85], 1987). в отличие от ассоциативного случая, рост коразмерностей достаточно маленького многообразия алгебр Ли АМг является сверхэкспоненциальньш (т.е. не ограничивается никакой экспонентой) [39].

Для свободной алгебры Ли Р = Р{Х) имеем Сп{Р) = (п — 1)! Для нетривиального же многообразия алгебр Ли имеет место следующая оценка.

Теорема 0.4.3 (А. Н. Гришков [48], 1988). Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Ли. Тогда для любого а> 1 существует такое М, что спт<А, п > л г .

В комбинаторике пшроко используются экспоненциальные производящие функции [93]. Для изучения последовательности коразмерностей ассоциативных алгебр и алгебр Ли их стали применять В. Дренски ([53], 1987), и Ю. П. Размыслов ([89], 1988). Для многообразия алгебр Ли V (более общо, лиевых пар) Ю. П. Размыслов предложил называть соответствующую экспоненциальную производящую функцию функцией сложности:

Результат Гришкова эквивалентно переформлАлируется следуюпщм замечатачьным образом.

Теорема 0.4.4 (Ю. П. Размыслов [89], 1988). Пусть V — нетривиальное многообразие алгебр Ли. Тогда функцш сложности С(У, г) является целой функцией комплексного переменного.

В некотором смысле, сверхэкспоненциальный рост является типичным для многообразий алгебр Ли. Для изучения различных типов роста между экспонентой и факториалом автором предложена следующая шкала функций.

• (п!)А-а/°/г/", а > 1 , а>0; д = 2;

Наиболее существенным здесь является параметр д е {2,3,.}, потом а и, наконец параметр /5; экспоненциальный множиталь уточняет первый главный множитель.

Имеет место аналог теоремы 3.3.2: при переходе от алгебры Ли к ее универсальной обертывающей алгебре рост поднимаемся на следующую ступеньку, т.е. д увеличивается на единицу, а параметры а,/3 остаюАтся неизменными (теорема 4.5.1).

Центральным в главе 4 является следующий результат, определяющий место по-линцльпотентных многообразий на указанной хпкале.

Теорема 4.6.1. Рассмотрим полинильпотентное многообразие V = N(4A) • • • N(Al), д > 2. Обозначим /3 — Cs^{M^Sl))\{^1 — 1)! Тогда существует такая бесконечно малая, что

Г (n!)A-'/'4s2/? + o(l))"/*\ g = 2-.

П\ (S2fi

J + 0(1) , g = 3,4,.

JnA'.AAn)M/A|

Для многообразия V над полем нулевой характеристики определяют ко длину 1п{У) как число слагаемых в разложении 5„-модуля Р„(У) на неприводимые подмодули. Теорема 4.6.1 недавно нашла следующее применение: /А(АбМг) ведет себя как экспонента 6"/a, а для AN и кодлина сверхэкспоненциальна (СП. Мищенко, М.В. Зайцев, [157], 2000).

Следуюпщй результат показывает, что построенная шкала является достаточно полной для описания роста коразмерностей многообразий алгебр Ли.

Теорема 4.7.1. Пусть V — многообразие алгебр Ли, удовлетворяющее нетривиальному тождеству степени ш > 3. Тогда существует такая бесконечно малая (зависящая только от ш), что п\

Важным инструментом в доказательстве этой теоремы является понятие т-лиево неразбиваемых слов, предложенное Ю.П. Размысловым, он также нашел оценки в терминах функций сложности [89]. В работах Ю.А. Бахтурина и М.В. Зайцева была обнаружена важность этого понятия для из}Аения тождеств различных градуированных алгебр, см. обзор [110]. НезависиАшй интерес представляет асимптотика для числа т-лиево неразбиваемых (правильных) с.юв (теорема 4.7.2).

Для изучения роста коразмерностей не выше экспоненты типично применение техники диаграмм Юнга [81]. Однако уже для многообразия V = AN 2 по теореме 4.6.1 имеем c,j(V) = \/п!(1 + о(1))"- Д-1я неприводимого представления тг симметрической группы Sn легко видеть, что длшктг < Уп!. Число же неприводимых представлений достаточно мало: р(п) w ехр(7г-А211/3). Поэтому, с точки зрения размерности, 5„-мо.дуль Рп{У) может содержать все неприводимые 5п-модули (это почти так [40]). Таким образом, для изучения многое "разий алгебр Ли необходима и другая техника.

Первоначально асимптотика для пшини-тьпотентных многообразий была найдена автором с точностью до параметра а, т.е. без экспоненциального множителя в теореме 4.6.1; этот результат был пап'чен путем непосредственных оценок [2]. В доказательстве приведенной формл'лировки слтпественно применяются функции сложности.

Необходимые нам факты доказаны в общности кратных функций сложности, определяемых для так называемых равномерных множеств (§4.1). Первоначально ряд результатов был доказан путем непосредственных вычислений [2], [5], [8]. Однако следующий аналог формулы Шрайера для функций сложности сделал многие рассуждения более естественными.

Теорема 4.2.1. Пусть Ь — свободная алгебра Ли, порожденная счетным множеством X. Предположим, что Н является X-равномерной подалгеброй. Тогда Н обладает Х-равномерным свободным порождающим множеством и для любого такого множества У выполнено

Сх{У, г) - 1 = (г - 1) • ехр{Сх{Ь/Н, z)).

Этот результат позволяет найти точные формулы для функций сложности в двух следующих случаях.

Теорема 4.3.1. Пусть МУ — произведение полиоднородных многообразий алгебр Ли. Тогда функция сложности произведения равна

С{Ы • V, г) = С(У, г) + С(М, 1 + (г - 1) ехр(С(У, г))).

Теорема 4.3.2. Рассмотрим полинильпотентное многообразие У = 'Nsg • • • Ns^. Определим функции /Зо{г) = О и

ТогдаС{У,г)=13д{г).

Важным шагом в доказательстве теоремы 4.6.1 является следующая оценка на рост функции сложности как целой функции.

Теорема 4.3.3. Рассмотрим полинильпотентное многообразие У = n(8,) • • • n(5a), д>2 и его функцию сложности /{г) — С{У,г). Тогда

Если для целой функции /(г) ее модуль растет как МА(г) = тах|2|=г |/('2)| = ехр((тг''), то говорят, что функция /(г) конечного порядка, и числа р, а называются ее порядком и типом (см. строгие опреде.тения в §4.4). Согласно этой теореме в случае д = 2 функция сложности имеет конечный цорядок, а для д > 3 она имеет бесконечный порядок.

Имеет место классическая формула, связывающая порядок и тип с асимптотикой коэффициентов ряда Тейлора целой функции конечного порядка (теорема 4.4.1). Для излАения целых функций бесконечного порядка мы доказываем и используем следующий ее аналог.

Теорема 4.4.2. Предположим, что /(г) = Е а о АпА'* — целая функция. Тогда для любых зафиксированных чисел д 6 К, д >2;Л>О имеет место равенство

Для верхней оценки в теореме 4.6.1 можно использовать только грубую верхнюю асимптотику на рост функции сложности, полученную в теореме 4.3.3 (см. [5]). Однако теорема 4.3.2 дает точную формулу для функции сложности. Возникает вопрос, возможно ли уточнить асимптотику теоремы 4.6.1? Для NANd мы получаем вполне удовлетворительные формулы (теорема 4.8.1). Мы также получим более точную асимптотику в случае (теорема 4.8.2).

0.5. Числовые характеристики многообразий

Изучение функций сложности и их роста ведет к понятию сложности для многообразий алгебр Ли. Сначала нгшомним понятие сложности (или Р1-степени) для многообразий ассоциативных а.лгебр, предложенное В. Н. Латышевым. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр. Определим n(V) как максимум таких п, что матричное кольцо Мп{К) принадлежит V. Для Р1-алгебры А обозначаем через var А многообразие, заданное всеми тождествами алгебры А; определяем также сложность п{А) — n(varyl). По теореме Амицура [51] сложность для PI-алгебры всегда является конечным числом.

Теорема 0.5.1 (Т.В. Гатева, [41], [42], [127]). Для ассоциативных Р1-алгебр А, В имеют место неравенства п{А) • п(В) < гг(А Б) < 2 п{А) • п{В).

Рассмотрим нетривиальное многообразие алгебр Ли V. Грубо говоря, если модуль функции сложности /(г) = C(V, z) ведет себя как ехр('~АА(аг''), г -Ьос, то сложностью многообразия называем набор Comp V = (g, /э, а). Более строго, мы определяем следуюлще числа.

Comp' V = min{g G N | Зр > О : М/(г) < ехрАА-'ААг")};

Сотр2 V = inf{p > О I М/(г) < ехр('-А)(г''), q = CompA V } ;

CompA V = Ы{а > О | М/(г) < ехрА'-АА{аг") р = СотрА V > 0}.

Назовем набор CompV = (CompA v, CompA v, CompA v) сложностью многообразия. Параметр CompA v называем уровнем многообразия. Заменяя верхние пределы на нижние и меняя знаки неравенства, мы аналогично определяем также параметры ?«для оценки снизу CompV = (CompAy,CompAV,CompAV) (§5.1). Эти наборы мы сравниваем лексикографически слева направо.

Для изучения экспоненциального роста определяют (верхнюю) экспоненту и нижнюю экспоненту многообразия

ЕХРУ = ПЕ dcn(V), ЕХРУ = lim Ас„(У).

Мы выясняем связь введенного понятия сложности с ростом коразмерностей и местом многообразия на шкале (0.4) (теорема 5.1.1). В частности. Comp У = {q,p,a), где g > 2, /О > О, равносильно тому, что с„(У) а ф|А,.р(гг). Кроме того, условие ЕХРУ = сг, где 1 < а < со, эквивалентно соотношению Comp У = (2,1, а).

Мы предлагаем следующий аналог теоремы 0.5.1 для многообразий алгебр Ли.

Теорема 5.2.1. Пусть Ш, V — полиоднородные многообразия алгебр Ли. Предположим, что CompV = {q,p,a), где р,а — конечные ненулевые числа. Пусть также СошрА М=р и CompA М = О > 0. Тогда if

Согар(М • V) < a

Д (р + д,р,а), q>2.

2) В первом утверждении имеет место равенство, если выполнено одно из условий: а) CompV = CompV = (q^p,er) (в частности q = l); б) CompA м = p.

3) Если выполнены оба условия (2а) и (26), то Сотр(М • V) = Сотр(М • V).

Мы не можем утверждать равенство в теореме 5.2.1, не накладывая дополнительных предположений. Проиллюстрируем ситуацию аналогичным фактом: верхний предел композиции двух функций не всегда равен композиции верхних пределов. Хорошо известен другой аналогичный факт: размерность Гельфанда-Кириллова тензорного произведения ассоциативных алгебр не всегда равна сумме размерностей Гельфанда-Кириллова для множителей [145], что утверждалось в первоначальной работе [116]. Гипотетически неравенство в теореме 5.2.1 возможно в случае очень неравномерного и асинхронного роста функций сложности С(М, г) и C(V, г). Вопрос же о существовании многообразия с неравномерно растущей функцией сложности является открытым. Упомянем также, что вопрос о существовании многообразий алгебр Ли таких, что ЕХР V Ф ЕХР V, яв-гяется открытым.

Перейдем к обсуждению возможн1лх величин числовых характеристик многообразий, все цитируемые ниже результаты относятся к полю нулевой характеристики. Рассмотрим сначала вопрос целочисленности характеристик. Если последовательность коразмерностей для лиевого или ассоциативного многообразия ограничена полиномом, то показатель пшиномиальности является целым числом (В.Дрен-ски [122], 1992). Недавно устаноалена целочисленность экспоненты роста для произвольного многообразия ассоциативных алгебр (А. Джамбруно, М.В. Зайцев [130], 1999). Многообразия, порожденные конечномерными полупростыми алгебрами Ли и некоторыми их расширениями, имеют целую экспоненту (А. Джамбруно, А. Регев, М.В. Зайцев [129], 1999). Вообще, представляет интерес задача: когда экспонента является целым числом для многообразий алгебр Ли?

Следуюпщй резз'Альтат был первоначально установлен для нулевой характеристики с использованием техники представлений симметрической группы [28]. Применение некоторых комбинаторных рассуждений позволило установить его для произвольного поля.

Теорема 5.3.1. Пусть V — подмногообразие в NAA, основное поле произвольно. Тогда

1) EXPV = EXPV;

2) экспонента V является целым числом: ЕХР Ve {l,.,s}.

3) если ЕХР V = 1, то Cn(V) ограничена полиномом.

Из этого утверждения в частности вытекарт, что всякая конечномерная разрешимая алгебра Ли над полем нулевой характеристики имеет целую экспоненту. Это представляет интерес, поскольку разрешимые многообразия алгебр Ли могут иметь нецелАто экспоненту (М.В. Зайцев, СП. Мищенко [177], 1999).

Интересной является задача возможных значений параметров сложности и пробелов в их значениях. Для многообразий алгебр Ли в нулевой характеристике известно, что нет многообразий промежуточного роста .между полиномом и экспонен-той (СП. Мищенко [79], 1987); а также имеет место следутощий пробел для значений экспоненты: EXPV а (1,2) (СП. Мищенко [83], 1996). Два следуюпщх результата устанавливают подобного рода пробелы для расположения подмногообразий AN 2 и на шкале роста (0.4); эти результаты установлены над произвольным полем.

Известно следующее экстремальное свойство многообразия AN 2 над полем нулевой характеристики: каждое собственное подмногообразие имеет не более чем экспоненциальный рост (И. Б. Воличенко [40], 1984). Поэтому можно назвать рост коразмерностей для AN2 почти экспоненциа-льным. По теореме 4.6.1 имеем Cn(V) = \/п[(1 + о(1))". Таким образом, имеет место пробел для роста под.многообразий. Сложность этого .многообразия равна CompAN2 = СошрAN2 = (2,2,1) (следствие 5.1.1). Мы доказываем более слабое утверждение, но верное для любого поля.

Теорема 5.4.1. Пусть V — подмногообразие в AN 2 « СотрА V < 2. Тогда

1) Сошр а V = 1, или V нильпотентно;

2) последовательность коразмерностей Cn(V) ограничена экспонентой.

Техника, развитая для изучения экспоненциального роста подмногообразий в Nj A, находит также следующее приложение к изучению сверхэкспоненпиального роста подмногообразий в аа, поле произвольно. Салю многообразие находится на третьем уровне СотрАА = СотрА а = (3,1,1) (стедствие 5.1.1). Мы утверждаем, что всякое подмногообразие V С аа с меньшей сложностью лежит не выше второго уровня.

Теорема 5.5.1. Пусть V С Аа — подмногообразие, причем CompV < Conip Аа = (3,1,1). Тогда

1} CompAV<2,

2) c„(V) < (n! )А-А/" для некоторого р>1.

0.6. Приложение для ассоциативных алгебр

Функции сложности для иззЛения роста ассоциативных многообразий систематически не использовались. В §6.1 и §6.2 мы получаем новые результаты и есте-ственцые доказательства известных фактов, используя функции сложности.

Известно, что свободная ассоциативная алгебра является FI-кольцом, т.е. кольцом, где каждый односторонний идеал является свободным модулем [70]. Для ранга этого модзЛля имеет место аналог формулы Шрайера [148], который был также обобщен в терминах формальных степенных рядов [70]. Мы устанавливаем следлтощзто "формулу Шрайера" для функпий сложности односторонних идеалов.

Теорема 6.1.1. Рассмотрим свободную ассоциативную алгебру А = К<Х>, X = {xi\i G Щ. Произвольный X-равномерный левый (или правый) идеал J является свободным А-модулем — В Ау, где множество Y можно выбрать X-равномерным, причем

C[Y,z)-\ = {z-l)C{AlJ,z).

Эта теорема применена для излЛения произведения Т-идеалов. Показано приложение функций сложности для доказательства следлтощих известных резу.тьтатов: изучения асимптотики роста коразмерностей в сл\Лае произведения Т-идеалов и для собственных тождеств.

Через Uj мы обозначаем многообразие ассоциативных алгебр, заданное алгеброй верхнетреугольных матриц размера sx s. Многообразие иЛ, над полем шмевой характеристики задается одним тождеством [73]; для произвольного поля базис тождеств найден в [92]. О свойствах конечно-порожденных алгебр в Uj см. также [121 . В §6.2 иззЛаются различные свойства многообразия Uc над произвольны.м патем. А именно, полз'чена точная формула функции аюжности (теорема 6.2.1), над палем ну.тевой характеристики эта формзма была доказана в [53]. ПолзЛгена явная фор-млЛла фзЛнкции Cfi(Uc) в терлшнах экспонент и полиномов, а также доказано, что обычная производящая фз-нклия для последовательности коразмерностей является рациональной. Прослеживаются ана.югии междз' фл-нкциями сложности многообразий и рядами Гильберта-Пуанкаре конечно порожденных алгебр.

Недавно доказано, что экспонента произвольного многообразия ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики является целым числом (А. Джамбрз'но, М.В. Зайцев [130], 1999); этот реззльтат сзтцественно опирается на классификационные резз'льтаты А. Кемера [641. О росте же над патем положительной характеристики известно мало. Метод, развитый в главе 5, позвотяет доказать стедлтопщй факт.

Теорема 6.3.1. Пусть V — подмногообразие в Uj, основное поле К произвольно.

Тогда

1) ЕХРУ = ЕХРУ.

2) экспонента V является целым числом: ЕХР V € {1,. . ., s}.

3) если ЕХР V = 1, то c„(V) ограничена полиномом.