Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Попов Александр Викторович

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ЯНЗ 2С12

Ульяновск - 2011 г.

005007927

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится "15"февраля 2012 г. в 1430 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ.ВПО "Ульяновский государственный университет"™ адресу: ул. Набережная р. Свияги, 106, кори. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета. С авторефератом можно ознакомиться на сайте http://www.uni.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ http://vak.ed.gov.ru

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан "__"_____201_ г.

профессор

Мищенко Сергей Петрович

профессор

Зайцев Михаил Владимирович

кандидат физико- математических наук Череватенко Ольга Ивановна

Ведущая организация: Национальный исследовательский

университет "Московский государственный институт электронной техники"

II

диссертационного совета

Ученый секретарь

М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из традиционных подходов в исследовании линейных алгебр над некоторым полем является изучение тождественных соотношений, выполняющихся в алгебрах, а также изучение многообразий, т.е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений 1 2. При этом, наиболее изученными, по праву можно назвать многообразия ассоциативных и лиевых алгебр 3 4. Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию об их структуре, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными.

В случае основного поля F нулевой характеристики, хорошо известно, что вся информация о тождествах многообразия V содержится в его полилинейных частях, — подпространствах Р„ (V) полилинейных элементов от образующих ц, • ■ • ,хп относительно свободной алгебры F{X, V} от счетного числа образующих X = {xi,---}. Всюду далее мы будем считать, что основное поле имеет нулевую характеристику.

Обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Одной из таковых является последовательность так называемых коразмерностей сп (У) многообразия V, которая определяется как последовательность размерностей полилинейных частей Р„ (V). Для краткости, будем говорить просто о последовательности коразмерностей многообразия V.

В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия, экспоненциального, полиномиально-

1 Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1970.

2 Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Лань. 2005.

3 Бахтурин Ю.А.Тождества н алгебрах Ли. М.: Наука., 1985.

4 Giainbruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys

and Monographs 122. American Mathematical Society. Providence. RI., 2005.

го, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.

В случае ассоциативных алгебр известно, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью 5 6.

В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко 7 - многообразия алгебр Ли, определенного тождеством Oix2x3) (у^у2уз) = О, имеющего сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр не существует многообразий промежуточного роста, а также не существует многообразий с экспонентой роста, расположенной в интервале (1; 2), и построен пример многообразия с дробной экспонентой, расположенной и интервале (3; 4) 8.

Большой интерес представляют многообразия с экстремальным поведением их числовых характеристик. Например, когда само многообразие имеет рост выше полиномиального, а всякое его собственное подмногообразие имеет уже полиномиально ограниченный рост. Такие многообразия называют многообразиями почти полиномиального роста.

В классе ассоциативных алгебр существует только два многообразия почти полиномиального роста 9. Это многообразие, порожденное алгеброй Грассмана G от бесконечного числа порождающих и многообразие, порожденное алгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка 2. В лиевском случае известны всего пять многообразий почти

6 Drensky V. Relations for the cocl.aract.Rr sequences of T-ideals// Contemporary Mathematics. 1992 V.131 (Part 2). P. 285-300.

6 Giambnmo A., Zaicev M.V. Exponential «.dimension growth of PI algebras: an exact estimate // Adv. in Math. 1999. V.142. P. 221-243.

7 Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тиждеством [[xbx2,i3],[x4,x5,x6]j = 0 над полем характеристики нуль // Сиб. матем. журнал. 1984. T.2D. №3. С. 40-54.

8 Zaitcev M.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent /,/ Journal Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P. 977-982.

9 Кемер A.P. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журнал 1978 С 37-48.

полиномиального роста. Первое, — это многообразие уаг(в^2) 10. Второе, — многообразие лиевых алгебр, определенное тождеством {Х1Х2) (2:3X4) {х^хъ) = О п. Третье многообразие порождается алгеброй

— нулевая алгебра. Два других примера лиевских многообразий почти полиномиального роста построены С.П. Мищенко12.

Одним из классических примеров многообразий неассоциативных алгебр, является класс йордановых алгебр, определяемых тождествами коммутативности и "йордановости" (ух2) х = (ух)х2.

Поведение числовых характеристик многообразий йордановых алгебр, в отличие от случая ассоциативных и лиевых алгебр, исследовано значительно меньше. Существуют примеры многообразий полиномиального, экспоненциального и сперхэкспоненциального роста13 14.

Первый пример многообразий йордановых алгебр почти полиномиального роста был построен В. Дренски15.

Поиск многообразий неассоциативных алгебр с экстремальным свойствами является интересной и важной задачей современной алгебры.

Объектом настоящего исследования являются многообразия неассоциативных алгебр и их числовые характеристики. В качестве предмета исследования нами выбраны многообразия йордановых алгебр и их числовые характеристики.

Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является поиск примеров многообразий неассоциативных линейных алгебр,

10 Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. — 1973. — Т.12, №1 — C.S3-113.

11 Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли с диуступгнно нилыютентным коммутантом // Вссщ АН БССР. - 1987. - №6. С. 39-43.

" Мищенко С.П. Роет многообразий алгебр Ли. Успехи Мат .Наук 45 (1990), У>. 6(276), 25-4.5

13 Dreiisky V. Ou the identities of the three-dimensional simple Jordan algebra, Annuaire de l'Univ. de Sofia, Рас. de Math, et Mecan., Livre 1, Math. 78 (1984), 53-67.

14 Dreiisky V. Polynomial identities for the Jordan algebra of a Symmetric Billineai Form, Journal of algebra 108 (1987), 66-87.

15 Drerisky V. Rashkova T. Varieties of metabelian Jordan algebras // Serdica. 1989. 15:4 . P. 293-301.

бесконечнопорожденная алгебра Грассмана, a 0

имеющих экстремальные свойства в поведении их числовых характеристик, а также поиск многообразий неассоциативных алгебр, представляющих интерес с точки зрения иных свойств, выполняющихся в них. Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Построение критерия полиномиальности роста многообразий йор-дановых алгебр;

2. Исследование многообразий коммутативных алгебр с дополнительным тождеством степени 3. Оценка роста многообразия йордановых алгебр, определенного тождеством х3 = 0;

3. Исследование многообразия йордановых алгебр, определенного тождеством разрешимости порядка 2

(ххх2) (х3х4) = 0;

4. Доказательство свойства почти полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр, порожденного алгеброй 1/Т2(+) верхнетреугольных матриц порядка 2, а также вычисление точных значений его коразмерностей и поиск определяющих тождеств.

Методы исследования. В работе использованы следующие методы: методы теории многообразий линейных алгебр, в частности, теория многообразий йордановых алгебр;

- теория представлений симметрических групп с применением техники диаграмм Юнга;

- теория собственных тождеств; комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр и доказана полиномиальное ограниченность любого многообразия коммутативных алгебр с тождеством степени 3. Построен пример алгебры, порождающей многообразие всех йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2. Получен второй пример многообразия

йордановых алгебр почти полиномиального роста.

Положения, выносимые на защиту.

1. Критерий полиномиалыюсти роста многообразий йордановых алгебр;

2. Полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр с тождеством х3 = 0.

3. Пример алгебры, порождающей многообразие всех йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2;

4. Почти полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр, порожденного алгеброй Ut!^\ в классе неунитарных алгебр.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях многообразий линейных алгебр.

Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется строгими доказательствами, опирающимися на методы теории представлений симметрической группы, комбинаторные методы, а также аппробацией работы на конференциях и научных семинарах.

Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

— Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов"(Самара, 2009г.);

— Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы"(Ульяновск, 2010г.);

— 7th International Algebraic Conference in Ukraine (Kharkov, 2010);

— 8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011);

— Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел:

современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г;

- Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Личный вклад автора. Идеи, использованные при доказательствах, частично принадлежат научному руководителю, частично автору работы. Сами доказательства получены автором самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Содержит 80 страниц машинописного текста, список литературы состоит из 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем, предложений и следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Первая глава диссертации содержит только предварительные сведения, связанные с вопросами рассматриваемыми в диссертации. В частности, изложены вопросы применения теории представлений симметрических групп при изучении полилинейной части многообразий линейных алгебр.

Известно, что пространство полилинейных элементов Рп с Г {X} можно рассматривать как модуль над групповым кольцом где £>„-симметрическая группа порядка п. Для этого достаточно определить действие а на базисных элементах пространства Рп как перестановку значений индексов букв XI,... ,хп.

По теореме Машке, ^¿'„-модуль Рп можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей. Неприводимые представления 5„ описываются на языке разбиений и диаграмм Юнга.

Набор А = (Ai, Лг,.. ■, А к) называют разбиением числа п и обозначают Ahn, если Ai + Аг + . ■ ■ + At = n и Aj > Аг > ■ •. > Ajt > 0. По каждому разбиению А строится диаграмма Юнга, которая представляет из себя таблицу из к строк, где г-я строка состоит из А,- клеток. Сопряженной диаграммой А к диаграмме А называется диаграмма, получаемая из А "отражением" относительно главной диагонали клеток диаграммы, делающим строки столбцами, а столбцы строками. Косой диаграммой Юнга А\7г называется диаграмма, получаемая "вырезанием"из диаграммы А ее "поддиаграммы"7г.

Размещая числа 1,2,..., п по клеткам диаграммы Юнга А, можно получить так называемые таблицы Юнга, соответствующие диаграмме А. Таблица Юнга, соотвествующая разбиению А. обозначаются Таблица Юнга называется стандартной, если в каждой ее строке и в каждом ее столбце элементы расположены в порядке возрастания.

Для полилинейной части многообразия V кратности неприводимых модулей, соответствующих разбиению А, будем обозначать т\ (I7).

Коразмерности многообразия V могут быть подсчитаны по формуле:

= (V") dim М\.

Ahn

Кодлипой идеала тождеств Т (V) или кодлиной многообразия V называют длину модуля Рп (V):

Ahn

Помимо последовательности кодлин многообразия V, определяют также последовательность кохарактеров многообразия:

= X>AG0xa, (1)

Ahn

где Ха — характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующий разбиению А числа п.

Также в первой главе изложены необходимые сведения по теории многообразий йордановых алгебр.

Важный класс йордановых алгебр составляют специальные йордано-вы алгебр, которые определяются следующим образом: пусть А - ассоциативная алгебра. Заменим в ней операцию умножения на новую операцию ©, определяемую правилом:

© : а © 6 ^ (об + Ьа).

Для таких алгебр вводится обозначение Специальными йорда-новыми алгебрами называются алгебры и их подалгебры.

Для изучения тождеств специальных йордановых алгебр вводят конструкцию свободной специальной йордановой алгебры SJ(X).

Пусть X — множество свободных образующих. Обозначим через J (X) свободную йорданову алгебру, порожденную множеством X.

Пусть Ass (X) — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством X. Подалгебру алгебры Ass (Х){+\ порожденную множеством X, назовем свободной специальной йордановой алгеброй от множества порождающих X и обозначим SJ(X). Алгебра S.7 (X) является свободной в том смысле, что всякая специальная йорданова алгебра является ее гомоморфным образом. Элементы алгебры SJ (X) (относительно ассоциативной операции умножения) называются йордановыми многочленами (j-многочленами).

Пространства полилинейных j-многочлеиов обозначаются PJn = РпП SJ, где Рп е Ла-s (X).

Вторая глава посвящена многообразиям йордановых алгебр полиномиального роста. Для исследования многообразий полиномиального роста удобно иметь критерий, по которому их можно выделить среди остальных многообразий как можно более простым способом. Для случая неассоциативных линейных алгебр таким критерием является критерий, доказанный Джамбруно и С.П. Мищенко. Основываясь на нем, нами

была построена упрощенная версия этого критерия для случая йордано-вых алгебр:

Терема 2.1.1 Пусть V — многообразие йордаиовых алгебр. Следующие условия эквивалентны:

1. V — многообразие полиномиального роста;

2. Существует целое N такое, что дляУп > 1, в разложении коха-рактера Хп(У) = кратности тЛ(У) = 0 для разбиений А с условиел1 п — \\ > N или п — Х[ > N (число клеток вне первой строки (столбца) ограничено).

Из полученного критерия полиномиалыюсти, как следствие, можно получить критерий нильпотентности многообразий йордановых алгебр при условии их полиномиальной ограниченности:

Следствие 2.1.1 Пусть V - многообразие йордановых алгебр с полиномиально ограниченным ростом. V - нильпотентно тогда и только тогда, когда выполнены ниль-тождество индекса к и стандартное тождество порядка т.

Неизвестно, верен ли данный критерий без условия полиномиальной ограниченности, и, судя по всему, этот вопрос является достаточно сложной проблемой, аналогичной проблеме энгелевости в алгебрах Ли.

В отличие от лиевых алгебр, в которых всякое слово может быть представлено как линейная комбинация левонормированных слов, в йордановых алгебрах число расстановок скобок, необходимых для представления любых слов, неограниченно возростает с ростом длины слов. Поэтому интерес представляют многообразия йордановых алгебр с дополнительным набором тождеств таким, чтобы можно было выделить какой-то небольшой набор "базисных"расстаповок скобок, т.е. таких расстановок, чтобы любое слово из относительно свободной алгебры многообразия было представимо в виде линейной комбинации слов с соответствующими расстановками скобок.

В качестве такого дополнительного набора тождеств было выбрано тождество а;3 = 0, которое за счет коммутативности совпадает с тождеством Якоби. Для полноты исследования мы рассмотрели в качестве дополнительного тождества все тождества степени 3, а точнее тождества вида:

х(уг) = а {ху)г + /3 (хг)у.

Алгебра, в которой выполняется такое тождество, называется алгеброй лиевского типа16.

Утверждение 2.2.1 Пусть А - коммутативная алгебра лиевского типа. Тогда для А возможны три альтернативы:

1. В алгебре А выполнено нилъ-тождество индекса 3

г3 = 0. (2)

А также алгебра А — йорданова алгебра;

2. Алгебра А — ассоциативно-коммутативная алгебра;

3. Алгебра А — нилгтотентная алгебра индекса 3.

Таким образом, для целей нашего исследования интерес представляет только первый случай утверждения 2.2.1. Многообразие, определяемое тождествами коммутативности и (2) в дальнейшем мы будем обозначать как У,7. Это многообразие представляет интерес тем, что, во-первых, имеет сходство с многообразием алгебр Ли в плане определяющих тождеств, а во-вторых оказывается многообразием йордановых алгебр.

Как и в лиевском случае, всякое слово из относительно свободной алгебры Р{Х,Уз} представимо как линейная комбинация левонорми-рованных слов. В ходе дальнейшего исследования был установлен ряд тождеств выполненных в

16 Мищенко С.П. Одно достаточное условие нильпотентности коммутанта алгебры Ли// Известии ВУЗов. 1998. №8 (435). С. 43-47.

Утверждение 2.2.2 В любой алгебре из Vj выполнены следующие тождества:

Х\ (Х2Х3) ~ -X1X2X3 - XiXZX2,

ух2 = —2ухх,

уххх = О,

ух2х = О,

(Угх) (у2х) = --утх2,

2/1... укх =Y^aka- хуа{г]... уа{к), oeSk

где ака - некоторые коэффициенты, определяемые индуктивно.

Примером алгебры из многообразия Vj является алгебра, построенная Жевлаковым и Шестаковым 17:

Пусть М — векторное пространство над полем F с базисом {ei,.:.,e„,...}, Л(М) — его внешняя алгебра и Л°(М) — подалгебра алгебры Л (М), порожденная множеством М. Рассмотрим пространство Aj = Л° (М) ф М и определим умножение на Л./ правилом

(и + mi) (v + т2) = v A mi + и A т2,

где и, v е Л° (М), а х:у е М.

Базис тождеств алгебры Aj составляют тождество коммутативности, тождество Якоби i3sOh тождество разрешимости порядка 2

(х\Х2) (г/1?/2) = 0.

Кратности т\ в ^^-представлении (1) полилинейной части Рп (Aj) многообразия var (Aj) равны 1 для А = (ln_1,l), для остальных диаграмм А кратности гп\ равны 0.

17 Женлаков К.А., Сликько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным,- М.: Наука, 1978.

Многообразие уаг (А /) имеет полиномиальный рост и конечную код-лину:

Сп = п- 1, /п = 1-

Всякое собственное подмногообразие уах (Л/) нильнотентно.

Иных примеров алгебр из многообразия V] найти или построить пока не удалось.

В начале исследования строились гипотезы относительно поведения числовых характеристик подмногообразий V}, аналогичных лиевским многообразиям. Как оказалось, они в большинстве своем не верны. В частности, выполнено следующее утверждение:

Лемма 2.2.1 Пусть ТУ — подмногообразие V'], в котором выполнено тождество

ЫУо) {хт) ■ ■■■■ (аЧУ л) = 0 (3)

для некоторого в, > 0. Тогда многообразие IV имеет полиномиальный рост.

Следующая лемма дополняет результат леммы 2.2.1:

Лемма 2.2.2 Пусть \¥ — подмногообразие V/, в котором выполнено тождество разрешимости порядка 3

((2:12:2) (У1У2)) ({^гг) (Ы2)) = 0.

Тогда а IV выполнено тождество (3) для некоторого <1.

Е. Зельмановым в 80-х годах было доказано, что в йордановых алгебрах из тождества ниль следует тождество разрешимости18. Основываясь на этом результате и леммах 2.2.1 и 2.2.2, нами было доказано, что VJ имеет полиномиально ограниченный рост:

Теорема 2.2.1 В многообразии V} для некоторого й выполнено тождество (3) и оно имеет полиномиальный рост.

18 Зельманов Е.И. О йордановых ниль-алгебрах ограниченного индекса // ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1986, №647.

Таким образом, несмотря на кажущуюся "близость"к многообразию лиевых алгебр, многообразие V} оказалось кардинально отличным от него и имеющим совершенно иные свойства. В частности, по следствию 2.1.1 всякое подмногообразие К/. в котором выполняется стандартное тождество, нильпотентно.

Третья глава посвящена многообразиям йордановых алгебр иочти полиномиального роста. Первый пример такого многообразия, — многообразие А2 всех йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2, был найден В. Дренски. Нами был повторно и независимо получен данный результат. Новым оказалась только конструкция алгебры, порождающей многообразие. Также это многообразие исследовалось С.Р. Сверчковым. Им было показано, что оно является специальным многообразием, т.е. все алгебры, в него попадающие, являются специальными йорда-новыми алгебрами 19.

В диссертации нами приведен наш вариант доказательства свойства почти полиномиальное™ указанного многообразия и конструкция алгебры, порождающей его.

Пример йордановой алгебры удовлетворяющей тождеству

{х\х2) (ут) = 0, (4)

и порождающей многообразие А2, строится следующим образом: возьмем в качестве порождающих элементов алгебры буквы t, Ьи г = 1,2,— Определяющие соотношения зададим таким образом, чтобы произведение было коммутативным. Кроме того, потребуем чтобы выполнялось тождество (4), то есть произведение любых двух слов, не являющихся порождающими, равнялось нулю. Выпишем явно остальные определяющие соотношения: ща^ = 0, Ьф^ = 0, £2 — 0, ^ = О,

= 0, а, = 0, г-.М, = 0, х = -г.-.щ+^щ,

Ь... 6,%6г+1 = -1.... для всех г, .у.

19 Сверчков С.Р. О разрешимых индекса 2 йордановых алгебрах // Матем. сб. 1983. 121:1 С. 40-47.

По определению алгебры А\ в ней выполнено тождество коммутативности и тождество (4). Отдельного внимания требует только вопрос выполнения в алгебре Ах тождеств йордановых алгебр. Это легко проверяется путем подстановки в их полные линеаризации базисных элементов алгебры.

В теоремах 3.1.1 и 3.1.2 утверждается, что рассматриваемое многообразие имеет почти полиномиальный рост и порождается алгеброй А\.

Теорема 3.1.1 Многообразие А2 порождается алгеброй А\, то есть А2 = уаг(Л].). В РЭп-представлении (1) для полилинейной части многообразия Л2 т\ — 0, если А = (1п), или Х\ > 4, или Хх — Х2 — 3, в остальных случаях кратности т\ равны 1. Кроме того, для последовательности коразмерностей и кодлины многообразия выполняются следующие равенства

= 1п(А2)=п- 1,

где &=[§].

Теорема 3.1.2 Всякое собственное подмногообразие многообразия А2 имеет полиномиальный рост.

Второй пример многообразия йордановых алгебр почти полиномиального роста был навеян работой В. Дренски13, в которой им была описана структура многообразия унитарных алгебр, порожденного алгеброй симметрических матриц порядка 2. В этой статтье им была такжа указана конструкция алгебр, порождающих все подмногообразия. Автором настоящей работы было выяснено, что одна из этих алгебр изоморфна алгебре верхнетреугольных матриц. Из результатов Дренски следует, что подмногообразие, порождаемое этой алгеброй имеет почти полиномиальный рост в категории унитарных алгебр. Следующая теорема утверждает более сильный результат:

Теорема 3.2.1 Пусть V — многообразие йордановых алгебр уаг (иТч порожденное йордановой алгеброй верхнетреугольных

матриц иТ2 Тогда:

1. Базис полилинейной части РЗп — Р(К) состоит из элементов вида [х;,,... ,х,-к] © © ... © Х{и, где к нечетно;

2. Последовательность коразмерностей сп (V) = (п — 2) 2"~2 + 1;

3. Всякое собственное подмногообразие, многообразия V имеет полиномиально ограниченный рост.

В дополнение к основному результату параграфа, было проведено дальнейшее исследование многообразия и доказано, что в отличии от ассоциативного случая, в йордановом случае базис тождеств многообразия содержит не менее двух тождеств:

Утверждение 3.2.1 В алгебре [/Т2(+) (/•') выполнены тождество ви(у,Х1,... ,х4) = £ (~1)а Ухо(1)Х<,(2)Х<,(з)Ха{4) и тождество

<7654

2 ((х2у) у + (у2х) X - ((ух) х)у- ((ху) у) х) = х2у2 - (ху)2. Эти тождества являются независимыми и собственными.

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордано-вых алгебр.

2. Доказана полиномиальная ограниченность последовательности коразмерностей многообразия йордановых алгебр, определенного тождеством х3 = 0.

3. Построен пример алгебры, порождающей многообразие йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2.

4. Доказано, что многообразие йордановых алгебр, порожденное алгеброй [/Т2(+) верхнетреугольных матриц порядка 2, имеет экспоненциальный рост, а именно ст = (п - 2) 2п~2+1, и имеет среди определяющих тождеств два собственных тождества, — йорданово стандартное тождество St.^ и тождество 2 ((г2у) у + (у2х) х - ((ух) х)у- ((ху) у) х) =

х2у2 - (ху)2 . Всякое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному, руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Мищенко, С.П. Многообразие йордановых алгебр, определяемое тождеством (ху) (zt) = 0, имеет почти полиномиальный рост / С.П. Мищенко, A.B. Попов // Математические заметки. — 2010. — т. 87, вып. 6. — стр. 877-884.

Публикации в прочих журналах

[2] Мищенко, С.П. О многообразиях коммутативных алгебр лиевского типа / С.П. Мищенко, A.B. Попов // Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов: тезисы докладов летней школы-конференции. - Самара, 2009. - С. 36-37.

[3] Попов, A.B. Нильпотентность некоторых подмногообразий многообразия йордановых алгебр / A.B. Попов // Материалы международного научного молодежного форума. — Ульяновск 2010. — С.282-284.

[4] Mishchenko, S.P. An example of the Jordan algebras variety with the almost polynomial growth / S.P. Mishchenko, A.V. Popov // 7th International Algebraic Conference in Ukraine: Book of abstracts. — Kharkov, 2009. - P. 97-98.

[5] Popov, A.V. The variety of Jordan algebras generated algebra of upper triangular matrix UT2 has almost polynomial growth / A.V. Popov // 8th International Algebraic Conference in Ukraine: Book of abstracts. — Lugansk, 2011. - P. 218.

[6] Попов, A.B. Некоторые примеры многообразий йордановых алгебр / А.В. Попов // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докладов VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова. — Саратов, 2011. - С. 58-59.

Подписано в печать 27.12.2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Бумага книжно-журнальная. Тираж 100 экз. Заказ № 237 /f/áT

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

61 12-1/527

Ульяновский государственный университет Факультет математики и информационных технологий

На правах рукописи УДК 512.554

Попов Александр Викторович

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБР

/ 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел /

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор С.П. Мищенко

Ульяновск — 2011

Оглавление

Введение 3

1 Предварительные сведения 10

1.1 Многообразия неассоциативных алгебр......................10

1.2 Йордановы алгебры............................................16

1.3 Элементы теории представлений симметрической группы . 20

1.4 Собственные тождества и их применение в исследовании многообразий....................................................25

2 Многообразия йордановых алгебр полиномиального роста 28

2.1 Критерий полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр ......................................................28

2.2 Многообразие коммутативных алгебр лиевского типа ... 35

3 Многообразия йордановых алгебр почти полиномиального роста 59

3.1 Многообразия йордановых алгебр с тождеством разрешимости (х\х-1) (у\уг) = 0 ........................................59

3.2 Многообразие порожденное йордановой алгеброй верхнетреугольных матриц иТ.....................................67

Заключение 74

Литература 75

Введение

Изучение многообразий линейных алгебр над некоторым полем, т.е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений, является традиционной задачей современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных и лиевых алгебр. Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию о структуре многообразий, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными. Одним из таких примеров является многообразие йордановых алгебр.

Йордановы алгебры определяются тождествами коммутативности и "йордановости":

ху = ух, (ух2) X = (ух) X2.

Они возникли в работе немецкого физика П. Йордана, посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. [49]).

Среди вопросов, возникающих при изучении многообразий линейных алгебр можно выделить два основных.

Первый, — имеет ли данное многообразие конечный базис тождеств и как он устроен. Для многообразий линейных алгебр в случае ассоциативных Р1-алгебр над полем нулевой характеристики данный вопрос впервые был поставлен Шпехтом в 1950 г. (см. [54]). Для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики конечная базируемость была доказана А.Р.Кемером в 1986 г. (см. [11],[13]). В лиевском случае

(над полем нулевой характеристики) конечная базируемость доказана при выполнении различных дополнительных тождественных соотношений. В случае поля положительной характеристики существуют примеры бесконечно базируемых многообразий как в лиевском, так и в ассоциативном случае (см. [34],[55]). В целом же (для неассоциативных алгебр) вопрос является очень сложным.

Второй вопрос, — как устроено многообразие, задаваемое данной системой тождественных соотношений.

Как для первого, так и для второго вопроса, обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Важнейшей числовой характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей идеала тождественных соотношений многообразия в свободной алгебре. Для краткости, говорят просто о последовательности коразмерностей многообразия.

В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия экспоненциального, полиномиального, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.

В случае ассоциативных алгебр в 1971 г. Регевым было доказано, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений рост многообразия экспоненциально ограничен (см. [53]). Позже было доказано, что не существует многообразий промежуточного роста, и вообще, последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью (см. [40],[44]).

В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко (см. [3]), — многообразие алгебр Ли, порожденное тождеством (х 1X2X3) (У1У2У3) = 0, имеющее сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр, было доказано С.П. Мищенко, что не существует многообразий промежуточного роста. Также им было доказано, что не существует

многообразий с экспонентой роста, расположенных в интервалах (1; 2) и (2; 3), и построен пример многообразия с дробной экспонентой, расположенной в интервале (3; 4) (см. [18],[56]).

Случай йордановых алгебр исследован значительно меньше. Существуют примеры многообразий полиномиального, экспоненциального и сверхэкспоненциального роста (см. [37],[38],[39],[41]).

Особый интерес представляют многообразия с экстремальным поведением их числовых характеристик. Например, когда само многообразие имеет рост выше полиномиального, а всякое его собственное подмногообразие имеет уже полиномиально ограниченный рост. Такие многообразия называют многообразиями почти полиномиального роста. Аналогично, можно определить многообразия почти экспоненциального роста.

В классе ассоциативных алгебр существует только два многообразия почти полиномиального роста (см. [12]). Это многообразие, порожденное алгеброй Грассмана С от бесконечного числа порождающих и многообразие, порожденное алгеброй иТо, верхнетреугольных матриц порядка

В лиевском случае известны всего пять многообразий почти полиномиального роста. Первое, — это многообразие уаг (в^), порожденное алгеброй матриц порядка 2 со следом равным нулю (см. [6],[27],[28]). Второе, — это многообразие лиевых алгебр, порожденное тождеством (Х1Х2) (Ж3Ж4) (х^хо) = 0 (см. [19]). Третье многообразие можно определить как наименьшее лиевское многообразие, в котором не выполнено ни одно стандартное тождество (см. [4],[5]). Оно порождается алгеброй

О — нулевая алгебра.

Два других примера лиевских многообразий почти полиномиального роста построены С.П. Мищенко (см. [21],[22]).

В случае йордановых алгебр, первый пример многообразия почти

2.

Ли

, где С — бесконечнопорожденная алгебра Грассмана, а

полиномиального роста, — многообразие разрешимых порядка 2 йорда-новых алгебр (или по аналогии с алгебрами Ли, многообразие метабеле-вых йордановых алгебр), — был построен В. Дренски и Т. Рашковой в 1989 г. (см. [41]). Нами был повторно построен данный пример (см. [23]), и в дополнение к старым результатам найдена алгебра, порождающая многообразие. Также это многообразие исследовалось в работе [29].

Второй пример, — многообразие йордановых алгебр, порожденное алгеброй ит!^ верхнетреугольных матриц порядка 2, был построен нами и анонсирован в [52]. Заметим, что из результатов В. Дренски (см. [37]) также следует, что указанное многообразие имеет почти полиномиальный рост, но только в категории унитарных алгебр.

Предметом настоящей работы являются многообразия линейных алгебр с экстремальным поведением числовых характеристик, а также многообразия, представляющие интерес в связи с другими их свойствами. Объектом нашего исследования являются многообразия йордановых алгебр над полем характеристики 0, представляющие собой один из классических примеров многообразий неассоциативных алгебр.

Цель настоящего исследования состоит в поиске новых примеров многообразий с экстремальным поведением числовых характеристик, а также, имеющих интерес с точки зрения других свойств многообразий. С этой целью нами решаются следующие задачи:

— доказательство критерия полиномиальности роста многообразия в случае йордановых алгебр;

— исследование многообразия йордановых алгебр с дополнительным тождеством степени 3. Доказательство полиномиальности роста в случае, если дополнительное тождество имеет вид ж3 = 0 (в иных случаях многообразие нильпотентно или ассоциативно).

— исследование многообразия йордановых алгебр, порожденного тождеством разрешимости порядка 2

(Х1Х2) (ж3ж4) = 0.

— доказательство почти полиномиальности роста многообразия йор-дановых алгебр, порожденного алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах и методах:

1. Для построения и доказательства критерия полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр был использован критерий полиномиальности роста неассоциативного многообразия, доказанный Джам-бруно и С.П.Мищенко (см. [43]), теория представлений симметрических групп и комбинаторные методы (см. [1],[6],[16],[42]).

2. В исследовании многообразия йордановых алгебр с тождеством ж3 = О были использованы теория представлений симметрических групп, комбинаторные методы и некоторые результаты Е. Зельманова о тождествах в йордановых алгебрах (см. [2],[8],[9],[10]).

3. Описание структуры полилинейной части многообразия йордановых разрешимых порядка 2 алгебр получено с применением теории представления симметрической группы.

4. Для исследования йорданова многообразия верхнетреугольных матриц были использованы результаты об ассоциативном многообразии верхнетреугольных матриц (см. [17]), некоторые результаты по теории многообразий йордановых алгебр (см. [7]) и теория собственных тождеств алгебр (см. [33],[36]).

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр.

2. Доказана полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр с ниль-тождеством ж3 = 0.

3. Построена алгебра, порождающая многообразие метабелевых йордановых алгебр.

4. Доказано свойство почти полиномиальности роста йорданова многообразия, порожденного алгеброй 1/Т^ верхнетреугольных матриц порядка 2, и найдены два независимых тождества из тождеств его порождающих.

Структура работы

1. В первой главе даны основные определения и предварительные сведения. В первом параграфе изложены основные определения из теории многообразий и тождеств в линейных алгебрах. Второй параграф посвящен йордановым алгебрам и содержит основные определения и результаты необходимые для исследования многообразий йордановых алгебр. В третьем параграфе даны основные сведения из теории представлений симметрических групп и ее применении к исследованию Т-идеалов. В четвертом параграфе изложены некоторые сведения и результаты по теории собственных тождеств в линейных алгебрах.

2. Вторая глава посвящена многообразиям йордановых алгебр полиномиального роста. В первом параграфе формулируется и доказывается критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр. Второй параграф посвящен коммутативным алгебрам лиевского типа и содержит в себе результаты по исследованию многообразия йордановых алгебр с тождеством х2 = 0.

3. Третья глава посвящена многообразиям почти полиномиального роста йордановых алгебр. В первом параграфе исследуется многообразие метабевых йордановых алгебр. Во втором параграфе представлен новый пример многообразия почти полиномиального роста, — многообразие, порожденное алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию в докладах на конференциях и семинарах:

1) Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы "(Ульяновск, 2009г.).

2) Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические груп-

пы и теория инвариантов" (Самара, 2009г.).

3) Ith International Algebraic Conference in Ukraine (Kharkov, 2010).

4) 8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011).

5) Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г.

6) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [23], [24], [25], [26], [51] и [52].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Мищенко Сергею Петровичу за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Многообразия неассоциативных алгебр

Все необходимые сведения о многообразиях алгебр, удовлетворяющих полиномиальным тождествам, можно также найти, например, в монографиях [1], [7], [36] и [45].

Всюду далее в данной работе мы будем работать только над полем нулевой характеристики и будем обозначать его Р.

Пусть X ~ {х\,х2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через Р {X} свободную неассоциативную линейную алгебру, порожденную множеством X над полем Р. Элементами алгебры Р {X} являются неассоциативные многочлены от переменных из множества X, т.е. многочлены в которых порядок умножения переменных в мономах играет роль. Например, мономы (слова) (х\ (жг^з)) и {х\Х2) {Х3Х4) являются различными элементами Р {X}. В данной работе, договоримся опускать скобки в словах при их левонормированной расстановке. Тогда, например, (х\ (жг^з)) Ж4 и (Х1Х2) (Ж3Ж4) можно переписать в более простой записи как х\ {х^х^) х\ и Х\Х2 {х^х^) ■ Также договоримся в случае, когда левонормированное слово или подслово содержит одноименные буквы, записывать его как соответствующую степень буквы. Например, слово х\ {Х2Х2Х2) Х2 (жз^з^з) Х2 будем писать как х\х\х2х\х2■

Пусть А — произвольная F-алгебра. Тогда любое отображение из X в А единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебры F {X} в А.

Говорят, что в алгебре А выполнено тождество f(xi,X2, ■ ■ ■ ,хп) = О, где f(x\,x 2,...,хп) — элемент свободной алгебры F {X}, если f(xi,x2)...,xn) принадлежит ядру любого гомоморфизма алгебры -^{ЛГ} в алгебру А, т.е. в А выполняется соотношение /(а 1, <22,..., ап) = 0 для любых элементов а\, а2,. ■., ап из А. Степень полинома f(xi,X2,... ,хп) называется степенью тождества. Очевидно утверждение, что все тождества алгебры А составляют идеал алгебры неассоциативных слов F {X}. Такой идеал называется идеалом тождеств алгебры А. Аналогичным образом определяются тождества семейства алгебр {Аа} и идеал тождеств семейства алгебр.

Тождество g(xi,x2,... ,хт) = 0 называется следствием тождества f(x 1, Ж2,. .., хп) = 0, если оно выполнено в любой алгебре, в которой выполнено тождество f(x\,x2, ■.. ,хп) = 0. Также говорят, что тождество д(хi,x2, • • •, хт) = 0 порождено тождеством f(xг,Х2,.. ■, хп) = 0.

Тождества fag называются эквивалентными, если они являются следствиями друг друга.

Система тождеств {/j = 0 | i € /} называется независимой, если никакое из тождеств данной системы не является следствием остальных.

Т-идеалом или вербальным идеалом свободной алгебры F {X} называется такой ее идеал, который при любом эндоморфизме г € End (F {X}) отображается в себя.

Базисом тождеств Т-идеала называется независимая система тождеств (принадлежащих ему), порождающая все элементы рассматриваемого Т-идеала. Естественным образом формулируется вопрос конечной базируемости Т-идеалов.

Справедливо утверждение, что всякий Т-идеал I является идеалом тождеств некоторой алгебры А (в качестве такой алгебры можно взять

алгебру F {X}/j И) в свою очередь, всякий идеал тождеств является Т-идеалом. Поэтому для идеала тождеств алгебры А используют обозначение Т (А).

Многообразием линейных алгебр (см. [16]) или, в реже используемой терминологии Куроша А.Г. (см. [14]), примитивным классом алгебр называют класс всех F-алгебр, удовлетворяющих заданному набору тождеств {fi}ieI ■ Естественным образом определяется понятие подмногообразия. Таким образом, изучение Т-идеалов алгебры F {X} равносильно изучению многообразий линейных алгебр.

Естественным образом на многообразия переносится определение базиса тождеств и конечной базируемости. Многообразие V называется шпехтовым, если каждое подмногообразие в V является конечно базируемым.

Многообразие алгебр, определяемое идеалом Т (А), где А — некоторая алгебра, обозначается var (А) и говорят, что многообразие var (А) порождено алгеброй А.

Одним из фундаментальных фактов теории многообразий является теорема Биркгофа:

Теорема (Биркгоф) (см. [36]). Класс F -алгебр V является многообразием тогда и только тогда, когда в V вместе с любой алгеброй А находятся ее подалгебры и гомомрфные образы, а также вместе с любым семейством алгебр {Aj, i G /} в V находится и их декартово произведение.

Для многообразия V определяют относительно свободную алгебру многообразия

F{X,V}=Fix}/T(V).

В этом случае тождествами алгебры из многообразия V называют элементы из F {X, V}, при любых подстановках в которые элементов алгебры получают ноль. Примером относительно свободной алгебры является свободная ассоциативная алгебра Ass (X), представляющая из

себя алгебру ассоциативных, но некоммутативных слов. Также эту алгебру обозначают как ^ (X).

Пусть /(х1,х2, •