Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Рацеев Сергей Михайлович

СТРУКТУРА И ТОЖДЕСТВА НЕКОТОРЫХ АЛГЕБР ЛИЕВСКОГО ТИПА

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Латышев Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Богомолова Ирина Викторовна

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 11 октября 2006 г. в 12 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 272.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская Набережная, 1, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Управление научных исследований.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан "О { " сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Верёвкин А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории многообразий линейных алгебр в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому исследование строения полилинейных частей относительно свободной алгебры некоторого многообразия дает полную информацию об этом многообразии.

Одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {c„(V)}rl>i размерностей пространств полилинейных элементов степени п от переменных xi,x2, ••-, хп, принадлежащих относительно свободной алгебре данного многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V.

При экспоненциальном росте многообразия V для более точного изучения его роста вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:

EXP(V) = lim л/oniV), EXP(V) = Ilm a/c^V).

n—oo

Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как EXP(V). В ассоциативном случае для поля нулевой характеристики А. Джамбруно и М.В. Зайцев 1 доказали целочисленность экспоненты произвольного многообразия. В случае многообразий алгебр Ли (char К = 0) построен пример многообразия 2, врхняя и нижняя экспоненты которого находятся в интервале (3,4). В.М. Петроградский доказал, что в случае основного поля произвольной характеристики многообразия алгебр Ли с нильпотентным коммутантом имеют целую экспоненту 3.

В случае многообразий ассоциативных алгебр существуют только два

1 Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential (»dimension growth of PI algebras: an exact estimate// Adv. in Math. V. 142. 1999. P. 221-243.

2 ZaitcevM.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent// Journal Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P.977-982.

® Петроградский В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли// Матем. сб. 1999. Т.190. №6. С.111-126.

многообразия почти полиномиального роста 4. Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана G, другое — алгеброй верхнетрс-угольных матриц UT-¿ порядка 2. В настоящее время известно только пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста 5.

Одной из важных проблем в теории многообразий является так называемая проблема Шпехта, связанная с вопросом о возможности задания многообразия конечным набором тождеств. В случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером 6 положительно решен вопрос о конечной базируемости произвольного многообразия. Для многообразий алгебр Ли этот вопрос остается открытым, за исключением некоторых частных случаев. Например, многообразия алгебр Ли полиномиального роста являются шпехтовыми 1. А.Н. Кра-сильниковым 8 доказана шпехтовость многообразий алгебр Ли NSA над полем нулевой' характеристики. В.В. Стовба 9 доказал, что система тождеств Капелли порядка к в свободной алгебре Ли допускает конечный базис.

Цель работы. Целыо работы является исследование числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница и многообразий алгебр Пуассона.

Методы исследования. В диссертации используются понятия и методы теории линейных алгебр, теории многообразий линейных алгебр, теории представления симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы и элементы математического анализа,

4 Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей// Снб. матем. журнал. 1978. №19. С. 37-48.

5 см. обзорную статью Мшцсико С.П. Рост многообразий алгебр Ли// Успехи мат. паук. 1990. T.45. №6(270). С. 25-45.

8 Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр// ДАН СССР. 1988. Т.298. N 2. С. 273-277.

7 Бенедиктович II.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР: Сер. ф!з. матем. наук. 1980. N 3. С. 5-10.

8 Красильников А.Н- Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли// Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. N 2. С. 31-38.

9 Стовба В.В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр// Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. N 2. С. 54-58.

Научная новизна. Получен ряд результатов для многообразий алгебр Лейбница и многообразий алгебр Пуассона. Все теоремы и следствия, которые приводятся ниже при изложении содержания диссертации, являются новыми.

Научные положения, выносимые на защиту.

1) Доказано отсутствие многообразий алгебр Лейбница, в частности, многообразий алгебр Ли, с промежуточным ростом между полиномиальным и экспоненциальным в случае основного поля с положительной характеристикой, не равной двум.

2) Показана целочисленность экспонент многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем произвольной характеристики.

3) В теории многообразий алгебр Лейбница для случая основного поля нулевой характеристики построено многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной, а также получены новые экстремальные свойства многообразия алгебр Лейбница, связанного со стандартными тождествами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться при исследовании многообразий линейных алгебр.

Апробация работы. Апробация результатов настоящей диссертации прошла на XIV ежегодной научно-практической конференции молодых ученых УлГУ (Ульяновск, 2004), международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005"(Казань, 2005), пятой международной алгебраической конференции (Одесса, 2005), пятой международной научной конференция "Ломоносов - 2000"(Севастополь, 2006), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Личный вклад. Все основные результаты получены автором самосто-

ятелыю.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых помещен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация, имеющая объем 103 страницы, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 84 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем и следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы. Приводится аннотация диссертации.

Алгебры Лейбница определяются тождеством (ху) z = (xz)y+x(yz) и являются обобщениями алгебр Ли. Одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе A.M. Блоха 10.

Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр, К(Х, V) — относительно - свободная алгебра данного многообразия, где X = ...} — счетное множество свободных образующих. Известно, что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn(V), п = 1,2,..., где Рп = Pn(V) — это линейное подпространство в пространстве К(Х, V), состоящее из полилинейных элементов степени п от неременных xi, Важную роль при изучении V играет последовательность cn{V) = dim Pn(V), п = 1,2,..., асимптотическое поведение которой называют ростом многообразия V.

Пусть основное поле К имеет нулевую характеристику. Действие cr(xi) = Xv(i) симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры I<(X,V). Пространство Fn(V) ста-

10 Блох А.М. Об одном обобщетш понятия алгебры Ли. Доклады Академии наук СССР. 1965. Том 18. №3. С. 471-473.

новится при этом ^„-модулем. Хорошо известно, что этот модуль является вполне приводимым. Неприводимые представления Sn можно описывать па языке разбиений и диаграмм Юнга. Последовательность Л = (Ai, А2,..., А*) называют разбиением числа п и обозначают Ahn, если Ai + А2 + ... + Ajt = п и Ах > Аг > ... > A/t > 0. По каждому разбиению А строится диаграмма Юнга, которая представляет собой таблицу из к строк, где г-я строка состоит из А; клеток. Известно, что каждой диаграмме Юнга соответствует неприводимый модуль из разложения полилинейной части и два модуля изоморфны тогда и только тогда, когда они соответствуют одной диаграмме.

Обозначим через характер неприводимого представления симметрической группы, соответствующий разбиению А числа п. Тогда, в силу вполне приводимости Sn~ модуля Pn(V), для многообразия V имеет место разложение

х»(*0 = Z>aOOx

Ahn

где m\(V) — степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению А числа п. Кодлина многообразия определяется следующим образом:

Ahn

В неассоциативных элементах свободных алгебр будем опускать скобки при их левонормированной расстановке, то есть ftia2...a„ = (...(aia2)...an). Пусть многообразие алгебр Лейбница NSA определяется тождеством

(Х1Х2)(хзХ4)...(х2е+1Х2з+2) = 0.

Во второй главе исследуются свойства многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом, то есть таких многообразий, которые являются подмногообразиями в NSA для некоторого s.

В пункте 2.2. получены асимптотические оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем произволь-

ной характеристики. Как частный случай мы получим, что экспоненты таких многообразий всегда существуют и являются целыми числами. Здесь также доказывается отсутствие многообразий алгебр Лейбница с промежуточным ростом между полиномиальным и экспоненциальным в случае основного поля положительной характеристики, не равной двум.

Теорема 2.1. Пусть V — подмногообразие в NSA. Тогда существуют такие константы d, N, аир, причем d, G {0,1,..., s}, что для любого п > N будет выполняться неравенство

nPdJ1 < Cn(V) < па(Г.

Следствие 2.1. Пусть V — подмногообразие в NSA. Тогда экспонента многообразия V существует и является целым числом.

Следствие 2.2. Пусть для многообразия алгебр Лейбница V выполняется. нера,венет,во ЕХР(У1 < \/2 и char К ф 2. Тогда многообразие V имеет полиномиальный рост. В частности, не существует многообразий алгебр Лейбница, экспоненты которых лежат в интервале (1,у/2).

Следствие 2.3. Не существует подмногообразий в N3A, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Над полем конечной характеристики, отличной от двух, это свойство распространяется на все многообразия алгебр Лейбница, то есть не существует многообразий алгебр Лейбница с промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным ростом.

Отметим, что отсутствие многообразий алгебр Лейбница промежуточного роста для поля нулевой характеристики было получено в работе и

11 Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2005. Т.31. С. 103-104.

Далее везде считается, что основное поле имеет нулевую характеристику. В пункте 2.3 многообразие NSA исследуется с помощью диаграмм Юнга.

Для многообразия V С NSA введем следующие значения: <ln(i, V) = max{\i | Л Ь n, m\(V) > 0}, p{V) = maxii I lim gn(i, V) = +00, i = 1,..., s}.

П-ЮО

где m\(V) — степени неприводимых представлений симметрической группы порядка п, соответствующих разбиению А числа п.

Теорема 2.2. Пусть V — подмногообразие, в NSA, не являющееся нильпотептиым. Тогда для любого t 6 {1,2, ...,p(V)} и любого п будет выполняться следующее неравенство:

n-tqn(t,V) <2s + t-l.

Данная теорема говорит о том, что для многообразия V, указанною в условии, существует такая константа С — 2s + p(V) — 1 < 3s — 1, что для любого t € {1,2, ...,р(1/)} и любого п найдется ненулевой неприводимый ¿"„-модуль из разложения Pn(V), который соответствует диаграмме Юнга степени п, содержащей прямоугольник с боковой стороной t и число клеток вне прямоугольника < С.

Следствие 2.4. Пусть V С NSA. Тогда, существуют такие, константы N, А, а и ß, что для для любого п > N будут выполняться такие неравенства:

nß(p{V))n < ^{V) < na(p(V))n.

В пункте 2.4 для случая основного поля нулевой характеристики показывается конечная базируемость системы тождеств Капелли произволь-

9

ного фиксированного порядка к в свободной алгебре Лейбница, шпех-товость многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом, а также шпехтовость многообразий алгебр Лейбница полиномиального роста.

Пусть к — некоторое положительное целое число, Ск — многообразие алгебр Лейбница, определяемое всеми тождествами вида /л = 0, где полином /л соответствует разбиению А = (А1,..., Ат) числа п со значениями т > к.

Лемма 2.8. Многообразие С\: умеет конечный базис тождеств.

Теорема 2.4. Многообразие алгебр Лейбница Л^А является шпех-товым.

Следствие 2.7. Любое многообразие алгебр Лейбница полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

В третьей главе изучаются два многообразия, которые обладают экстремальными свойствами.

Пусть С — алгебра Грассмана с порождающим множеством Е = {еъвг,..., е„,...}. Тогда относительно операции коммутирования из алгебры (2 получим алгебру Ли а с операцией нулевого умножения из (2 получим абелеву алгебру Ли <7°. Зададим действие элементов С^ на С0 следующим образом: д\д, = (ад)0, = 0, где д\, (ад)0 из <3° и

из С^'К Такое действие задает представление С^ на С0. Определим О как прямую сумму (3 = ф С?0 векторных пространств и <2° с умножением (51+5?) (52+ 5°) = Ььй'-.г]+ <??№!• Полученная алгебра будет алгеброй Лейбница.

Обозначим через — многообразие алгебр Лейбница, порожденное алгеброй С. Это многообразие было построено в диссертационной работе Л.Е. Абаниной 12. Там же построен базис пространства РП(И>)> показано

12 Абанкна Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск. УлГУ. 2003.

строение полилинейной части как ^-модуля и свойство почти полино-миальности роста многообразия

В пункте 3.1 получены новые экстремаш.пые свойства многообразия алгебр Лейбница 14-

Теорема 3.4. Уг — наименьшее многообразие алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество.

Данной теореме можно дать следующую эквивалентную формулировку: в произвольном многообразии алгебр Лейбница V тогда и только тогда выполняется некоторое стандартное, тооюдество, когда Уг не является подмногообразием, а V. Заметим, что в отличие от лиевского случая здесь стандартные полиномы предполагаются такого вида:

Теорема 3.5. Базисом тождеств многообразия \72 являются следующие тождества:

у\{у2(ут)) = о,

г(ху)(ху) = 0.

Следствие 3.1. Многообразие Уг является шпехтовым.

Теорема 3.6. Многообразие имеет бесконечный базисный ранг. Любое собственное подмногообразие в Уг имеет конечный базисный ранг.

Определим многообразие алгебр Лейбница 11г тождествами У\{У2Уз){УаУъ) = 0, хх(ху)у = 0, ххуг = 0,

а также всеми тождествами вида /а = 0, где полином /а соответствует разбиению А = (Ах,..., А^) числа п, удовлетворяющего условию п — Х\ > 2. В пункте 3.2. представлена структура полилинейной части

многообразия С/2, а также доказывается следующее экстремальное свойство:

Теорема 3.7. Кодлина многообразия U2 является почти конечной.

Четвертая глава посвящена исследованию полилинейных частей Qm специального вида многообразий алгебр Пуассона. Алгебра А = А(+, -,{,}, К) называется алгеброй Пуассона, если А(+, -, К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, А(+, {, }, К) — алгебра Ли ("{,} "означает умножение и называется скобками Пуассона) и выполняется следующее тождественное соотношение:

{а • Ь, с} = а • {Ь, с} + Ь ■ {о, с}, а, Ъ, с 6 А.

В свободной алгебре Пуассона рассмотрим полилинейные пространства следующего вида:

<?2га = {{Ят(1)>Ят(2)} • {^т(3)»жт-(4)} • ••• • хт(2п)} I Т 6

т(1) < т(2), т(3) < т(4), ...,т(2п - 1) < г(2п),

т(1) < г(3) < ... < т(2п - 1))к.

Обозначим через Т-2п множество перестановок г из £>гп, которые удовлетворяют свойствам, указанным выше. Пространства Q2n были введены Д. Фаркасом 13' 14. Там же было доказано, что любое нетривиальное тождество в алгебре Пуассона приводит к нетривиальному тождеству вида

<Хт{Хт(\),Хт(2)} ■ {^(З))^^)} ■ ■•• • {хг(2„-1),а;Т(2„)} = 0.

Это обстоятельство показывает важность рассмотрений пространств Q->n(V)- Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона. Верхняя и нижняя экспоненты для последовательности dim Q2n{V)-, п = 1,2,...,

13 Farkas D. R. Poisson polynomial identities// Comm. Algebra. 26 (1998), №2, 401-416.

14 Farias D. R. Poisson polynomial identities. II// Arch. Math. (Basel). 72 (1999), Jf>. 4, 252-260.

вводятся также, как и в общем случае. Если для данной последовательности экспонента существует, то ее обозначают как EXPQ(V). В работе 15 доказано, что для любого нетривиального многообразия алгебр Пуассона EXPq(V) существует и является целым числом.

В пункте 4.1 приводятся общие факты для свободных алгебр Пуассона. В пункте 4.2 доказываются следующие свойства.

Теорема 4.3. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона, в котором выполняется нетривиальное тождество. Тогда существуют такие целые константы d, N, а и ß, что для любого четного п > N будет выполняться неравенство

па<Р < dim Qn(V) < nß(P.

Следствие 4.2. Не существует многообразий алгебр Пуассона V, рост последовательности dim Q2n{V), n = 1, 2,..., которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным.

Введем в рассмотрение такой полином из Q2rn:

St2m = St2m(xi,...,x2m) = ^ (-1)Т{а;т(1),^т(2)} • ••• • {хТ[2т-1),хт(2т)}-

тег2т

Теорема 4.4. Для многообразная алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны:

1) последовательность dim Q2n{y),n — 1,2,..., ограничена полиномом;

2) ненулевые подмодули о Q2n{V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток вне первого столбца ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

3) существует такое четное N, что в многообразии V выполняются, тождества St% = 0 и St2N — 0;

ls Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras// Transactions of the AMS. 2006.

4) существует такое. N и такой многочлен f(x) € ^[х], что для любого четного п > N выполняется равенство dim Qn{V) = f(n).

Теорема 4.5. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны:

1) последовательность кодлин = 1,2,..., ограничена некоторой константой;

2) EXPq(V) < 2 гг ненулевые подмодули в Q'2n{V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток во втором столбце ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

3) EXP4(V) <2 и существует такое четное N, что в V выполняется тождество St2N = 0;

4) существуют такие константы N и R, что для любого четного п > N выполняется равенство = R.

Выводы.

1) Доказано отсутствие многообразий алгебр Лейбница с промежуточным ростом между полиномиальным и экспоненциальным в случае поля с положительной характеристикой, пе равной двум.

2) Получены оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпо-тептным коммутантом для произвольного поля. В частности, доказана целочисленность экспонент данных многообразий.

3) Для случая основного поля нулевой характеристики построено многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлипой, а также получены новые экстремальные свойства многообразия алгебр Лейбница, связанного со стандартными тождествами.

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами// Вестник Самарского государственного университета. 2005. № 6. С. 36-50.

Публикации в прочих журналах

[2] Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбиица с почти конечной код-линой// Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета. Труды докладов студентов и аспирантов на XIV ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск. 2004. С. 4-5.

[3] Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбиица с почти конечной код-линой// Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики. 2004. Выпуск 1(14) С. 34-45.

[4] Рацеев С.М. Некоторые многообразия алгебр Лейбница с целыми экспонентами// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2005. Т.31. С. 133-135.

[5] Рацеев С.М. О росте многообразий алгебр Лейбница с нильпотент-ным коммутантом// V международная научная конференция "Ломоносов - 2006". Севастополь. 2006.

[С] Ratseev S.M. Exponents of varieties of Leibniz algebras with a nilpotent commutator subalgebra// 5th International Algebraic Conference in Ukraine. 2005. P. 167-168.

Подписано в печать 27.07.06. Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ K»1

Отпечатано с оригинал-макета в типографии Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные определения и обозначения.

1.2. Некоторые оценки роста, связанные с диаграммами Юнга.

Глава 2. Многообразия алгебр Лейбница с нилыютентным коммутантом

2.1. Понятие m-алгоритма и его свойство

2.2. Рост подмногообразий в NSA.

2.3. «9п-модули многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

2.4. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница

Глава 3. Экстремальные многообразия алгебр Лейбница.

3.1. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами

3.2. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной.

Глава 4. Тождества в алгебрах Пуассона.

4.1. Свободные алгебры Пуассона

4.2. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона.

Алгебры Лейбница определяются тождеством (xy)z = (xz)y + x{yz) и являются обобщениями алгебр Ли. Если в алгебре Лейбница выполняется тождество х2 = 0, то она является алгеброй Ли. Одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе A.M. Блоха [7]. Эта тематика начала активно развиваться в 90-х годах, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов: А.А. Михалев, V. Drensky, G.M.P. Cattaneo [67], J.-L. Loday, Т. Pirashvili [77] и др.

Одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {cn(V)}n>i размерностей пространств полилинейных элементов степени п от переменных Х\,Х2, .,хп, принадлежащих относительно свободной алгебре данного многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V.

О росте многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А. Регева [82]: многообразие ассоциативных алгебр V, в котором выполнено нетривиальное тождество степени т, удовлетворяет неравенству cn(V) < (га — 1)2п для любого п.

В отличие от ассоциативных алгебр существуют многообразия алгебр Ли, в которых выполняются нетривиальные тождества, со сверхэкспоненциальным ростом (т.е. сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли AN2, определяемое тождеством {х\х2х^){х^хг)^б) — 0 (см. [9], [12], [19], [38], [71]). Для последовательности cn(A/V2) выполняется следующее равенство ([41]): cn(AN2) = Vn!(l -I- o(l))n.

Последовательность размерностей полинильпотентного многообразия алгебр Ли NSq.NS2NSl представляет собой еще более быстро растущую функцию натурального аргумента ([42]):

1+о(1)-1 п!) ■■ , 9=2, ,>3,

1п(9-2)п)1Гн^17' ' где х = ln(ln^ х), ln^ х = Inх. В случае многообразий алгебр Лейбница построен пример многообразия, похожего по своим свойствам на многообразие AN2. Оно определяется тождеством У\{у2{узУа)) = 0 и имеет сверхэкспоненциальный рост ([61]).

Известно ([14]), что для произвольного числа а рост нетривиального многообразия алгебр Ли не превосходит Если для произвольного многообразия V определить функцию сложности On(V)n n!

71=1

-Z то она будет являться целой функцией комплексного аргумента для нетривиальных многообразий алгебр Ли (см. [45]). В.М. Петроградским в [40] и [42] была предложена шкала типов сверхэкспоненциального роста и доказан следующий аналог теоремы А. Регева ([42]): для многообразия алгебр JIu V, удовлетворяющего нетривиальному тождеству степени т > 3, существует такая бесконечно малая, зависящая только от т, что

Cn{V)<—^г— (1 + 0(1))».

При экспоненциальном росте многообразия V для более точного изучения его роста вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:

EXP(V) = Иш УспОО, ЕХР(У) = lim $/cn{V). n—> 00 n—>00

Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как EXP(V). В случае основного поля нулевой характеристики известны следующие результаты: в ассоциативном случае А. Джамбруно и М.В. Зайцев

72]) доказали целочисленность экспоненты произвольного многообразия; в случае многообразий алгебр Ли построен пример разрешимого многообразия (см. [84]), верхняя и нижняя экспоненты которого находятся в интервале (3,4), то есть экспоненты данного многообразия либо не существует, либо она является дробной; в работе [34] С.П. Мищенко показал, что не существует многообразий алгебр Ли с экспонентой, принадлежащей интервалу (1,2) и приведены примеры многообразий экспоненциального роста с экспонентой 2. Пусть NSA — многообразие алгебр Ли, определяемое тождеством (xiX2)—{x2s+iX2s+2) = 0. В работе [78] с использованием техники диаграмм Юнга показано, что экспоненты подмногообразий в NSA над полем нулевой характеристики являются целочисленными. Позже В.М. Петроградский доказал, что этот результат верен в случае основного поля произвольной характеристики (см. [41]).

Пусть для многообразия алгебр Лейбница V над полем с характеристикой, отличной от двух, для некоторого п выполнено неравенство Сп(У) < 2^1, где квадратные скобки означают целую часть числа. Тогда коммутант многообразия V оказывается нильпотентным ([39]). В этой же работе показано, что в случае нулевой характеристики основного поля не существует многообразий алгебр Лейбница, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Если V является многообразием алгебр Ли (характеристика основного поля равна нулю) и выполняется данное неравенство для некоторого п, то V имеет полиномиальный рост ([36]).

Если многообразие V не удовлетворяет некоторому свойству Q, а любое собственное подмногообразие в V обладает этим свойством, то многообразие V называют экстремальным по отношению к свойству Q. Также можно сказать, что V почти обладает свойством Q. Такие многообразия могут играть важную роль в теории многообразий.

В случае многообразий ассоциативных алгебр существуют только два многообразия почти полиномиального роста (А.Р. Кемер [26]). Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана G, другое — алгеброй верхнетреугольных матриц UT2 порядка 2, идеал тождеств которой порождается тождеством [^ъя^П^з»^] = 0 [31].

Известны всего пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Для однородности записи обозначим их через Vo, Vi, V2, V3, V4.

Vo (или var(sl2)) — многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц порядка 2 со следом 0. Это единственное известное многообразие алгебр Ли почти полиномиального роста, не являющееся разрешимым. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [43], [44] и B.C. Дренски [17].

Многообразие алгебр Ли V\ (N2А) определяется таким тождеством (см. [32]): xix2){x3x4)(x5x6) = 0.

Интересным примером многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста является многообразие V2, построенное И.Б. Воличенко в работах G G\

10] и [11]. Оно порождается алгеброй Ли [ I , где G — бесконеч 0 0 J номерная алгебра Грассмана, а 0 — нулевая алгебра. Это многообразие является наименьшим в классе многообразий алгебр Ли, в которых не выполняется ни одно стандартное тождество. Напомним, что в случае алгебр Ли стандартным полиномом называется полиномом вида

2(-iyx0xa{iy.xa{n), aeSn где в элементах скобки опущены при их левонормированной расстановке, то есть abc = ((об)с). Элементы из свободной алгебры Лейбница будем записывать по такому же принципу. В ассоциативном же случае под стандартным тождеством понимают тождество следующего вида: аХо(1)-Ха(п) = 0. aesn

Данные тождества могут играть важную роль. Например, известен такой результат ([21], [22]): многообразие ассоциативных алгебр тогда и только тогда имеет конечный базисный ранг, когда в нем выполняется некоторое стандартное тождество.

Многообразия V3 и V4 построены С.П. Мищенко следующим образом ([35]). Рассмотрим кольцо многочленов R = K[t] от переменной t, трехмерную нильпотентную алгебру Гейзенберга N3 с базисом {а. 6, с} и таблицей умножения Ъа = с, ас = be = 0, и двумерную метабелеву (разрешимую ступени 2) алгебру М2 с базисом {h, е] и таблицей умножения he = h. Гомоморфизмы сг: N3 —» DerR и ф : Мч —> DerR определяются так: a(e)f(t) = tf(t), <7(a)/(f) = */(*); ф(а)№ = f'(t), ф(Ь)№ = tf(t), <«c)/W = f(t).

Полупрямые произведения алгебр N = R\ N3, М = R\ М2 порождают соответственно многообразия V3 и V4.

Заметим, что все перечисленные выше многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста имеют целые экспоненты ([33]), а четыре из них, за исключением Vi, имеют почти конечную кодлину. В работе [36] С.П. Мищенко показал, что многообразия Vi, V2, V3, V4 исчерпывают весь набор разрешимых многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста.

В случае многообразий алгебр Лейбница построены некоторые многообразия почти полиномиального роста, которые имеют соответствующие аналогичные свойства рассмотренных выше лиевых многообразий. Многообразие алгебр Лейбница Vi, которое определяется тождеством у\{у2уъ){у^уь) = 0, исследовано в работе [80]. О многообразии V2 подробно можно прочитать в данной работе. Многообразия V3 и V4 определяются следующим образом (см. [2]). Рассмотрим кольцо многочленов R от переменной t как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Алгебру R будем считать правым Д'з-модулем алгебры Гейзенберга N3 со следующим действием: f(t)a = f(t), f(t)b = tf(t), f(t)c = f(t).

Обозначим через N прямую сумму алгебр N3 и R. Умножение в N задается так: x + f(t))(y + g(t)) = xy + f(t)y, где х,у G N3, f(t),g(t) 6 R. V3 — многообразие алгебр Лейбница, порожденное алгеброй N. Зададим действие элементов двумерной метабелевой алгебры Ли Мч на элементы R:

Д*)е = */'(*), f(t)h = tf(t).

Пусть М — прямая сумма алгебр N3 и R с умножением mi + f(t))(m2 + g{t)) = rriim2 + f(t)m2, где mi,m2 E M2, f(t),g(t) 6 R. Тогда определим V4 = var(M).

A.P. Кемером в работах [23] и [25] получен критерий полиномиальности роста для многообразий ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики: г) рост многообразия V полиномиально ограничен; и) многообразие V не содержит алгебр G и UT2; Hi) V имеет конечную кодлину.

В работе [б] И.И. Бенедиктович и А.Е. Залесский для случая алгебр Ли сформулировали и доказали критерий полиномиальности роста, используя понятие высоты полинома. В работах [34] и [36] С.П. Мищенко получил еще одно эквивалентное условие. В результате, для многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики получились следующие эквивалентные условия: i) многообразие V имеет полиномиальный рост; п) для некоторого s выполнено условие N2A (jL V С NSA; in) ненулевые подмодули модуля Рп(У) соответствуют лишь диаграммам с ограниченным числом, не зависящем от п, клеток вне первой строки.

Из этой теоремы следует, что N2A является наименьшим подмногообразием в NSA, которое имеет рост выше полиномиального.

Последовательность размерностей полиномиального многообразия ассоциативных алгебр V при основном поле нулевой характеристики растет строго полиномиально ([66]), то есть существуют такие целые положительные константы k = k(V) и а = a(V), что будет выполняться равенство Cn(V) = апк + 0{пк~1) для всех достаточно больших п. То же самое верно и для многообразий алгебр Ли (см. там же).

Кодлина любого многообразия ассоциативных алгебр ограничена полиномом [62]. В случае многообразий алгебр Ли построены примеры многообразий, у которых последовательность кодлин растет выше любого полинома ([20], [38]). Отметим, что последовательность кодлин многообразия алгебр Ли AN2 растет быстрее любого полинома, но медленнее любой экспоненты, причем кодлина данного многообразия является еще и почти полиномиальной [38]. Специфика алгебр Ли позволяет построить многообразия со сверхэкспоненциальным ростом кодлины. Такими, например, являются многообразия алгебр Ли NbNa при а > 3, b > 1 и многообразия разрешимых алгебр Ли Aq ступени q > 3 (см. [18]):

ШъМа)>ъЧп\)а-£, /П(Л3)>-^.

1пп)п

Как сказано выше, многообразие ассоциативных алгебр имеет конечную кодлину тогда и только тогда, когда его рост полиномиально ограничен. В случае многообразий алгебр Ли И.Р. Васильевой построен пример многообразия, которое имеет полиномиальный рост, в то же время обладающего полиномиальной кодлиной ([55]). Данное многообразие U2 определяется всеми тождествами вида /д = 0, где полином /д соответствует разбиению А = (Ai,., Afc) числа п, удовлетворяющего условию п — \\ > 2. Критерий конечности кодлины для многообразий алгебр Ли выглядит следующим образом ([55], [56]): г) кодлина многообразия V конечна;

И) существует число s > 3; для которого U2 <£V С NSA. Из данного критерия и критерия полиномиальности роста для многообразий алгебр Ли, в частности, следует, что многообразие алгебр Ли не может одновременно иметь и конечную кодлину, и сверхполиномиальный рост.

Хорошо известная проблема Шпехта в общем случае над полем положительной характеристики решается отрицательно ([5], [13], [59]). В случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером ([24], [74]) положительно решен вопрос о конечной базируемо-сти произвольного многообразия. Для многообразий алгебр Ли этот вопрос остается открытым, за исключением некоторых частных случаев.

Многообразия алгебр Ли полиномиального роста в случае основного поля нулевой характеристики являются шпехтовыми [6]. В частности, все известные многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста также шпехтовы (об этом можно найти в [36]). В работе [27] А.Н. Красильнико-вым доказана шпехтовость многообразий алгебр Ли NSA над полем нулевой характеристики. Это свойство для данных многообразий не распространяется на случай поля произвольной характеристики, так как в [16] B.C. Дренски показано, что многообразие алгебр Ли А3 П NPA над полем с характеристикой р > 0 не является шпехтовым. Если характеристика основного поля не равна двум, то многообразия алгебр Ли N2А (см. [64]) и NSA П N2Ns ([57]) шпехтовы.

Наряду с ассоциативными и лиевыми алгебрами, естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии и т.д. возникают и алгебры Пуассона. Алгебра А = Л(+, •, {, }, К) называется алгеброй Пуассона, если Л(+, •, К) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, {, }, К) — алгебра Ли ("{,}"означает умножение и называется скобками Пуассона) и выполняется следующее тождественное соотношение: а • 6, с} = а • {&, с} + b • {а, с}, а, 6, с G А.

В свободной алгебре Пуассона рассмотрим полилинейные пространства следующего вида:

Q2n = ({Ят(1)>Ят(2)} ' {xt(S)ixT{4)} * — ' {^т(2п— 1) > %т(2тг)} | Т G S2n, т( 1) < т(2), т(3) < т(4),., т(2п - 1) < т(2п), т(1) < т(3) < . < т(2те — 1)}к

Обозначим через Т2П множество перестановок т из S2n, которые удовлетворяют свойствам, указанным выше. Пространства Q2n были введены Д. Фаркасом в работах [68] и [68]. Там же было доказано, что любое нетривиальное тождество в алгебре Пуассона приводит к нетривиальному тождеству вида

У^ &т{Хт{ 1)»®т(2)} * {^г(3)5^т(4)} • ••• • {^r(2n-l),^r(2n)} = 0. тег2„

Это обстоятельство показывает важность рассмотрений пространств Q2n{V)- Пусть V — некоторое многообразие алгебр Пуассона. Верхняя и нижняя экспоненты для последовательности dim Q2n(Y),n = 1,2,., вводятся также, как и в общем случае. Если для данной последовательности экспонента существует, то ее обозначают как EXP^(V). В работе [79] доказано, что для любого нетривиального многообразия алгебр Пуассона EXPQ(V) существует и является целым числом.

Данная работа состоит из четырех глав. Первая глава носит вводный характер. В пункте "Основные определения и обозначения"приводятся необходимые сведения и определения из теории многообразий и представлений симметрической группы, а также вводятся некоторые обозначения для более упрощенных записей. Во втором пункте первой главы приводится формула размерности неприводимого б^-модуля, записанная через компоненты Ai,., А*; разбиения А числа п, и асимптотическое поведение размерностей неприводимых 5п-модулей, соответствующих диаграммам Юнга с некоторыми ограничениями.

Определим многообразие алгебр Лейбница NSA тождеством xiX2){XzXa).(X2s+IX2S+2) = 0.

Во второй главе исследуются свойства многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом. Сначала дается понятие га-алгоритма выделения убывающего набора цепочек. Это понятие было введено В.М. Петроградским в [41] и применено для комбинаторных оценок. Для аналогичных целей оно понадобится и нам. В пункте 2.2. получены асимптотические оценки роста многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем произвольной характеристики. Здесь также доказывается отсутствие многообразий алгебр Лейбница с промежуточным ростом между полиномиальным и экспоненциальным в случае основного поля произвольной характеристики, не равной двум.

Теорема 2.1. Пусть V — подмногообразие в NSA. Тогда существуют такие константы d, N, а и причем d £ {0, l,.,s}; что для любого п> N будет выполняться неравенство Cn(V) < nadn.

Следствие 2.1. Пусть V — подмногообразие в NSA. Тогда экспонента многообразия V существует и является целым числом.

Следствие 2.2. Пусть для многообразия алгебр Лейбница V выполняется неравенство ЕХР(У) < у/2 и char К ф 2. Тогда многообразие V имеет полиномиальный рост. В частности, не существует многообразий алгебр Лейбница, экспоненты которых лежат в интервале (1, у/2).

Следствие 2.3. Не существует подмногообразий в NSA, рост которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным. Над полем конечной характеристики, отличной от двух, это свойство распространяется на все многообразия алгебр Лейбница, то есть не существует многообразий алгебр Лейбница с промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным ростом.

Далее везде считается, за исключением пунктов 1.1 и 2.2, что основное поле имеет нулевую характеристику. В пункте 2.3 многообразие NSA исследуется с помощью диаграмм Юнга.

Для многообразия V С. NsА введем следующие значения: qn(i, V) = тах{Хг | Л Ь п, rri\(V) > 0}, p(V) = max{i I lim qn(i, V) = +oo, i = 1, .,s}. n—>oo где m\{y) — степени неприводимых представлений симметрической группы порядка п, соответствующих разбиению Л числа п. Число p(V) выбирается из множества {0, .,s} вследствие того, что lim qn(s + 1, NSA) < +оо. n—>00

Это обстоятельство является следствием следующего факта, который будет доказан в лемме 2.5: если в диаграмме Юнга будет больше чем 4s2 клеток вне первых s строк, то соответствующий такой диаграмме неприводимый 5^-модуль будет равен нулю в многообразии NSA.

Теорема 2.2. Пусть V — подмногообразие в NSA, не являющееся ниль-потентным. Тогда для любого t G {1,2, .,p(V)} и любого п будет выполняться следующее неравенство: n-tqn(t,V) <2s + t-l.

Данная теорема говорит о том, что для многообразия V, указанного в условии, существует такая константа С = 2s +p(V) — 1 < 3s — 1, что для любого t Е {1,2, и любого п найдется ненулевой неприводимый

5п-модуль из разложения Pn(V), который соответствует диаграмме Юнга степени п, содержащей прямоугольник с боковой стороной t и число клеток вне прямоугольника < С.

Следствие 2.4. Пусть V С NSA. Тогда существуют такие константы N, А, а и /3, что для для любого п > N будут выполняться такие неравенства: n?(p(V))n < Cn(V) < na(p(V))n.

Следствие 2.5. Пусть V С NSA. Тогда существует такое N, что для любого тг> N число ненулевых попарно неизоморфных неприводимых Sn-модулей будет > p(V).

В пункте "Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница"для случая основного поля нулевой характеристики показывается конечная базируемость системы тождеств Капелли произвольного фиксированного порядка к в свободной алгебре Лейбница, шпехтовость многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом, а также шпехто-вость многообразий алгебр Лейбница полиномиального роста.

Пусть к — некоторое положительное целое число, Ck — многообразие алгебр Лейбница, определяемое всеми тождествами вида /д = 0, где полином f\ соответствует разбиению Л = (Ai,., Am) числа п со значениями т> к.

Лемма 2.8. Многообразие Ck имеет конечный базис тождеств.

Следствие 2.6. Пусть V С Сь Тогда аксиоматический ранг многообразия V не превосходит числа к2 + 1.

Далее будет показано, что NSA С Си для некоторого к, поэтому аксиоматический ранг любого подмногообразия в NSA ограничен сверху числом к2 + 1. Этот факт используется для доказательства шпехтовости многообразия NSA, так как теперь достаточно доказать вербальную нетеровость свободной алгебры K(Xr, NSA) конечного ранга г < к2 + 1.

Теорема 2.4. Многообразие алгебр Лейбница NSA является шпехто-вым.

Следствие 2.7. Любое многообразие алгебр Лейбница полиномиального роста допускает конечный базис тождеств.

В главе "Экстремальные многообразия алгебр Лейбница"приводятся два многообразия, которые обладают экстремальными свойствами.

Пусть G — алгебра Грассмана с порождающим множеством Е = {ei,e2, .,еп,.}. Тогда относительно операции коммутирования из алгебры G получим алгебру Ли а с операцией нулевого умножения из G получим абелеву алгебру Ли G0. Зададим действие элементов на следующим образом: = (дгд3)(\ д^ = 0, где {дгд3Т из G0 и д3 из

GH

Такое действие задает представление на G0. Определим G как прямую сумму G = G(~) ф G° векторных пространств G<-> и G0 с умножением (д\ + д\){д2 + 9®) — [<7ъ92] + 9i92- Полученная алгебра будет алгеброй Лейбница.

Обозначим через V2 — многообразие алгебр Лейбница, порожденное алгеброй G. Это многообразие было построено Л.Е. Абаниной в диссертационной работе [1]. Там же построен базис пространства Рп{У2), показано строение полилинейной части как 5п-модуля и свойство почти полиноми-альности роста

В пункте 3.1 исследуется многообразие V2- Далее приводятся новые свойства данного многообразия.

Теорема 3.4. V2 — наименьшее многообразие алгебр Лейбница, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество.

Данной теореме можно дать следующую эквивалентную формулировку: в произвольном многообразии алгебр Лейбница V тогда и только тогда выполняется некоторое стандартное тождество, когда V2 не является подмногообразием в V. Заметим, что в отличие от лиевского случая, здесь стандартные полиномы предполагаются такого же вида, как и в ассоциативном случае.

Теорема 3.5. Базисом тождеств многообразия V2 являются следующие тождества:

2/1 (2/2(2/32/4» = О, z(xy){xy) = 0.

Следствие 3.1. Многообразие V2 является шпехтовым.

Теорема 3.6. Многообразие V2 имеет бесконечный базисный ранг. Любое собственное подмногообразие в V2 имеет конечный базисный ранг.

Определим многообразие алгебр Лейбница U2 тождествами 2/1 (2/22/з)(2/42/5> = 0, хх(ху)у = 0, xxyz = О, а также всеми тождествами вида /д = 0, где полином /д соответствует разбиению А = (Ai,Ачисла п, удовлетворяющего условию п — \\ >2. В пункте 3.2. представлена структура полилинейной части многообразия U2, а также доказывается следующее экстремальное свойство:

Теорема 3.7. Кодлина многообразия U2 является почти конечной.

Четвертая глава посвящена исследованию специальных полилинейных частей Q2n многообразий алгебр Пуассона. В пункте 4.1 приводятся общие факты для свободных алгебр Пуассона. В пункте 4.2 доказываются следующие свойства.

Теорема 4.3. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона, в котором выполняется нетривиальное тождество. Тогда существуют такие целые константы d, N, а и (3, что для любого четного п > N будет выполняться неравенство nadn < dim Qn(V) < п^сР.

Следствие 4.2. Не существует многообразий алгебр Пуассона V, рост последовательности dim Q2n(Y),n — 1,2,которых был бы промежуточным между полиномиальным и экспоненциальным.

Введем в рассмотрение такой полином из Q2m:

St2m = St2m(xi,.,X2m) = ( —1)Г{а;т( l)»^r(2)} ' — ' {xt(2tti-1)i хт(2тп)}• тет2т

Теорема 4.4. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны:

1) последовательность dim Q2niY)in = 1> 2,ограничена полиномом;

2) ненулевые подмодули в Q2n(V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток вне первого столбца ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

3) существует такое четное N, что в многообразии V выполняются тождества St2 = 0 и St2N = О;

4) существует такое N и такой многочлен f(x) е К[х], что для любого четного п> N выполняется равенство dim Qn(V) = f(n).

Теорема 4.5. Для многообразия алгебр Пуассона V следующие условия эквивалентны:

1) последовательность кодлин = 1,2,., ограничена некоторой константой;

2) EXPQ(V) <2 и ненулевые подмодули в Q2n(V) соответствуют лишь диаграммам Юнга, у которых число клеток во втором столбце ограничено некоторой константой, не зависящей от п.

3) EXPQ(V) <2 и существует такое четное N, что в V выполняется тождество St2N = 0;

4) существуют такие константы N и R, что для любого четного п> N выполняется равенство /^(V) = R.

Пусть Л — некоторое разбиение целого положительного числа п. Тогда под обозначением Л' понимается сопряженное разбиение к Л. Если число п четное и в диаграмме Юнга, соответствующей разбиению Л, длины всех столбцов четные, то это будем обозначать как Л \= п.

Следствие 4.3. Пусть V — многообразие алгебр Пуассона. Кодлина = 1,2,., растет строго полиномиально тогда и только тогда, когда в V выполняется нетривиальное тоэюдество и является верным одно из следующих условий: i) EXPq(V) > 3; li) для любого M > 0 существует такое четное п и такое разбиение А \= тг, что Л'2 > М и rri\(V) > О;

Ш) ни для какого четного N > О тождество St2N = О eV не выполняется.

Следствие 4.4. Последовательность dim Q2n{Y) некоторого многообразия алгебр Пуассона V растет строго экспоненциально тогда и только тогда, когда в V выполняется нетривиальное тождество и является верным одно из следующих условий: г) ни для какого четного N > О тождество St% = О в V не выполняется; и) последовательность l^niY) растет строго полиномиально.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за предложенную тематику исследований, постоянное внимание к работе и поддержку.

1. Абанина J1.E. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница// Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ульяновск. УлГУ. 2003.

2. Абанина Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница/ / Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. Москва: Союз. 2002. С. 95-99.

3. Абанина Л.Е., Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами// Вестник Самарского государственного университета. 2005. №6. С. 36-50.

4. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

5. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях// Фунд. и прикл. математика. 1999. Т.5. т. С. 47-66.

6. Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР: Сер. ф1з. матем. наук. 1980. №3. С. 5-10.

7. Блох A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли. Доклады Академии наук СССР. 1965. Т.18. №3. С. 471-473.

8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ. 1947.

9. Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [#ьж2>жз], [а^,:^,^]] = 0 над полем характеристики нуль// Сиб. матем. журнал. 1984. Т.25. №3. С. 40-54.

10. Воличенко И.Б. О многообразиях алгебр Ли AN2 над полем характеристики нуль// ДАН БССР. 1981. Т.25. №12. С. 1063-1066.

11. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2// Фунд. и прикл. математика. 1999. Т.5. №1. С. 101-118.

12. Гришков А.Н. О росте многообразий алгебр Ли// Матем. заметки. 1988. Т.44. т. С. 51-54.

13. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Мир. 1982.

14. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли// Алгебра и логика. 1974. Т.13. ШЗ. С. 265-290.

15. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т.115. №1(5). С. 98-115.

16. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Асимптотика функций роста кодлины многообразийалгебр Ли// УМН. 1999. Т.54. №3. С. 161-162.

17. Зайцев М.В., Мищенко С.П. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли AN2// Вестник Московского университетата. Матем., механ. 1999. №5. С. 18-23.

18. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О полиномиальности роста кодлины многообразий алгебр Ли// Алгебра и логика. 1999. Т.38. №2. С. 161-175.

19. Кемер А.Р. Замечание о стандартном тождестве// Мат. заметки. 1978. Т.23. №5. С. 753-757.

20. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно-порожденной PI-алгебры. Докл. АН СССР. 1980. Т.255. №4. С. 793-797.

21. Кемер А.Р. Многообразия конечного ранга// Красноярск: 15 Всесоюзная алгебраическая конференция. 1979. Т.2. С. 73.

22. Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр// ДАН СССР. 1988. Т.298. №2. С. 273-277.

23. Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерностей// Сиб. матем. журнал. 1978. Т.19. №1. С.54-69.

24. Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей// Сиб. матем. журнал. 1978. №19. С. 37-48.

25. Красильников А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли// Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. №2. С. 34-38.

26. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Лань. 2005.

27. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука. 1969.

28. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1970.

29. Мальцев Ю.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц// Алгебра и логика. 1971. Т. 10. С. 393-400.

30. Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом// Весщ АН БССР: Сер. 4лз. матем. наук. 1987. №6. С. 39-43.

31. Мищенко С.П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметрических групп и показателей экспоненты многообразий алгебр Ли// Матем. сб. 1996. Т.187. №1. С.83-94.

32. Мищенко С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль// Математические заметки. 1986. Т.40. №6. С. 713-721.

33. Мищенко С.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли// ДАН СССР. 1990. Т.313. т. С. 1345-1348.

34. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли// Успехи мат. наук. 1990. Т.45. №6(276). С. 25-45.

35. Мищенко С.П. Цветные диаграммы Юнга// Вестник МГУ. 1993, №1. С. 90-91.

36. Мищенко С.П., Джамбруно А., Зайцев М.В. Кратности характеров полилинейной части многообразия AN2// Ученые записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики". Вып.1(5). 1998. С. 59-62.

37. Мищенко С.П., Череватенко О.И. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2005. Т.31. С. 103-104.

38. Петроградский В.М. О типах сверхэкспоненциального роста тождеств в PI-алгебрах Ли// Фунд. прикл. матем. 1995. Т.1. №4. С. 989-1007.

39. Петроградский В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр Ли// Матем. сб. 1999. Т.190. №6. С. 111-126.

40. Петроградский В.М. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие целые функции// Матем. сб. 1997. Т.188. №6. С. 119-138.

41. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр// Алгебра и логика. 1974. Т.13. №6. С. 685-693.

42. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль// Алгебра и логика. 1973. Т.12. №1. С. 83-113.

43. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука. 1989.

44. Рацеев С.М. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница// Известия высших учебных заведений. Поволжский регтон. Пензенский государственный университет. 2006.

45. Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодли-ной// Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета. Тезисы докладов студентов и аспирантов на XIV ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск. 2004. С. 4-5.

46. Рацеев С.М. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодли-ной// Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики. 2004. Выпуск 1(14) С. 34-45.

47. Рацеев С.М. Некоторые многообразия алгебр Лейбница с целыми экспонентами// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество. 2005. Т.31. С. 133-135.

48. Рацеев С.М. О росте многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом// V международная научная конференция "Ломоносов 2006". Севастополь. 2006.

49. Рацеев С.М. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона// Известия высших учебных заведений. Поволжский регтон. Пензенский государственный университет, (в печати).

50. Рацеев С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом// Матем. заметки, (в печати).

51. Рацеев С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница// Вестник Самарского государственного университета. 2006.

52. Стовба В.В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр// Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. №2. С. 54-58.

53. Ханина И.Р. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли// Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета. Тезисы докладов студентов и аспирантов на VIII ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск. 1999. С. 26-27.

54. Ханина И.Р. Необходимое условие конечности кодлины многообразий алгебр Ли в случае поля нулевой характеристики// Фунд. и прикл. математика. 2000. №2. С. 607-616.

55. Шеина Г.В. О некоторых многообразиях лиевых алгебр// Сиб. мат. журнал. 1976. Т. 17. №1. С. 194-199.

56. Шестаков И.П. Квантования супералгебр Пуассона и специальность йордановых супералгебр пуассонова типа// Алгебра и логика. 1993. Т.32. №5. С. 571-584.

57. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов// Фунд. и прикл. математика. Т.5. 1999. №1. С.307-313.

58. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука. 1982.

59. Abanina L.E., Mishchenko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = 0// Serdika Math. J. 29(2003). P. 291-300.

60. Berele A., Regev A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras// J. Algebra. 1983. V.82. P. 559-567.

61. Berele A., Regev A. Hook Young diagrams with applications to combinatorics and to representations of Lie superalgebras// Adv. in Math. 1987. V.64. №. P. 118-175.

62. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras// Quart. J. Math. 1972. V.23. №89. P. 107-112.

63. Drensky V. Free algebras and Pi-algebras. Graduate course in algebra. Springer-Verlag Singapore, Singapore, 2000.

64. Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of Т-ideals// Contemporary Mathematics. 1992. V.131 (Part 2). P. 285-300.

65. Drensky V., Cattaneo G.M.P. Varieties of Metabelian Leibniz Algebras// J. Algebra and its applications. 2002. V.l. №1. P. 31-50.

66. Farkas D. R. Poisson polynomial identities// Comm. Algebra. 1998. V.26. №2. 401-416.

67. Farkas D. R. Poisson polynomial identities. II// Arch. Math. (Basel). 1999. V.72. Ж 4. 252-260.

68. Fulton W. Young tableaux with aplications to representation theory and geometry. Cambridge university press. 1997.

69. Giambruno A., Mishchenko S.P., Zaicev M.V. On the colength of a variety of Lie algebras// International Journal of Algebra and Computations. 1999. V.9. №5. P. 483-491.

70. Giambruno A., Zaicev. M.V. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate// Adv. in Math. 1999. V.142. P. 221-243.

71. Giambruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs 122. American Mathematical Society. Providence. RI. 2005.

72. Kemer A.R. Ideal of Identities of Associative Algebras. Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs. V.87. Providence. R. I. 1991.

73. Kerber A. Representations of permutation groups I// Lect. Notes in Math. 1971. V.240.

74. Littlewood D.E. and Richardson A.R. Group characters and algebra// Phil. Trans. Royal Soc. London Ser. A. 1934. V.233. P. 99-141.

75. Loday J.-L. and Pirashvili T. Universal enviloping algebras of Leibniz algebras and (со)homology// Math. Ann. 1992. V.296. P. 139-158.

76. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M. Exponents of varieties of Lie algebras with a nilpotent commutator subalgebra// Communications in Algebra. 1999. V.27(5). P. 2223-2230.

77. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras// Transactions of the AMS. 2006.

78. Mishchenko S., Valenti A. A Leibniz variety with almost polynomial growth // J. Pure Appl. Algebra. 2005. V.202. №1-3. P. 82-101.

79. Ratseev S.M. Exponents of varieties of Leibniz algebras with a nilpotent commutator subalgebra// 5th International Algebraic Conference in Ukraine. 2005. P. 167-168.

80. Regev A. Existence of polynomial identities in A®B// Bull. Amer. Math. Soc. 1971 V.77. №6. P. 1067-1069.

81. Robbins H. A remark on Stirling's formula// Amer. Math. Monthly 1955. V.62. P. 26-29.

82. Zaitcev M.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent// Journal Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P. 977-982.