Лиевские многообразия с нецелочисленными экспонентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

У

Богданчук Ольга Александровна

ЛИЕВСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С НЕЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ЭКСПОНЕНТАМИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014 005554649

Ульяновск - 2014 г.

005554649

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО "Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации", профессор кафедры "Математика-!" Пчелинцев Сергей Валентинович кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н. Ульянова" , исполняющая обязанности заведующего кафедрой высшей математики Череватенко Ольга Ивановна Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Защита состоится 24 декабря 2014 г. в 1200 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет" по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная р. Свияги, 106, корпус 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом — на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ http://www.vak.ed.gov.ru. Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования. Автореферат разослан 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02

кандидат физико-математических наук А М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождественных соотношений является классическим направлением исследований. Этот подход является актуальным и при изучении алгебр Ли.

Вместе с исследованием конкретной алгебры продуктивно изучать целый класс алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. В качестве таг ких классов алгебр естественно выбирать их многообразия, определяемые как совокупности алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору тождеств1.

Хорошо известно, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства алгебр, их многообразий и приемы их исследования. Например, в случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером2 была положительно решена проблема Шпехта конечной базируемое™ идеала тождеств произвольного многообразия. В тоже самое время проблема Шпехта над полем положительной характеристики была решена отрицательно А.Я. Беловым3, A.B. Гришиным4 и В.В. Щиго-левым5. Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля, которое мы обозначим Ф, на протяжении всей работы равна нулю. В середине прошлого века А.И. Мальцев6 доказал, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в последовательности пространств Pn(V), п — 1,2,..., состоящих из полилинейных элементов относительно свободной алгебры этого многообразия. Поэтому важной характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей - неотрицательных целых чисел c„(V) = dimP„(V), n = 1,2,... — размерностей пространств полилинейных элементов. Рост

1 Мальцев, А. И. Алгебраические системы [Текст] / А. И. Мальцев. — М.: Наука, 1970.

2 Кемер, А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр [Тэкст] / А. Р. Кемер // ДАН СССР- 1988,- Т. 298.- № 2,- С. 273-277 - ISSN 0869-5652.

3 Белов, А. Я. О пепшехтовых многообразиях [ТЪкст] / А. Я. Белов // Фундаментальная и прикладная математика.- 1999 - Т. 5.- № 1- С. 47-66 - ISSN 1560-5159.

4 Гришин, А. В. Примеры не конечной базируемости Г-пространств и Т-вдеалов в характеристике 2 [Текст] / А. В.Гришин// Фундаментальная и прикладная математика-1999-Т. 5.-К»1.-С. 101-118-ISSN 1560-5159.

5 Щиголев, В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов [Текст] / В. В. Щиголев // Фундаментальная и прикладная математика -1999 - Т. 5 - № 1.- С. 307-313 - ISSN 1560-5159.

0 Мальцев, А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями [1Ъкст] / А. И. Мальцев // Математический сборник,- 1949.- Т. 25 - № 3.- С. 347-366.- ISSN 1027-9547.

этой последовательности называется ростом многообразия.

В случае экспоненциального роста последовательность \/с„(У) ограничена, поэтому существуют ее нижний и верхний пределы, которые называют нижней (Е2СР(V)) и верхней ( EXP(V) ) экспонентами многообразия соответственно. Если они равны, то есть существует предел этой последовательности, то его называют экспонентой многообразия.

EXP(V) = Um VcJV).

n-юо

Доказательство существования экспоненты конкретного многообразия экспоненциального роста является сложной проблемой. Интерес к этой задаче возрос еще больше после построения в 2013 году М.В. Зайцевым примера многообразия алгебр, у которых нижняя и верхняя экспоненты различны, и, следовательно, примера многообразия, у которого экспоненты не существует7. Еще одна интересная тематика исследования - изучение многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента не является целой.

В 80-х годах прошлого столетия С.А. Амицур предположил, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента соответствующего многообразия является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была доказана А. Джамбруно и М.В. Зайцевым в 1999 году8.

Первый пример многообразия алгебр Ли, экспонента которого не является целым числом, был построен в 1999 году С.П. Мищенко и М.В. Зайцевым9. Позже ими же в соавторстве с A.B. Веревкиным10 было доказано существование экспоненты этого многообразия и найдено ее значение, которое оказалось приблизительно равным 3,61. М.В. Зайцевым была установлена целочисленность экспоненты роста коразмерностей любой конечномерной алгебры Ли11, а С.П. Мищенко и В.М. Петроградский доказали,

7 Зайцев, М. В. Существование PI-эксповент роста тождеств [Текст] / М. В. Зайцев // тезисы докладов международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, Россия, 11 - 15 ноября 2013 г.).- Новосибирск, 2013 - С. 130.

sGiambruno, A. Exponential codimension growth of P.L algebras: an exact estimate [Text] / A. Giambruno, M. Zaicev // Adv. Math.- 1999 - V. 142,- P. 221-243,- ISSN 0001-8708.

9 Mishchenko, S. P. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent [Text] / S. P. Mishcheako, M. V. Zaicev // J. Math. Sei. New York.- 1999 - V. 93,- № 6 - P. 977-982 - ISSN 1072-3374.

Веревкин, А. Б. Достаточное условие совпадения нижней н верхней экспонент многообразия линейных алгебр [Текст] / А. Б. Веревкин, М. В. Зайцев, С. П. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика. - 2011. - № 2. - С. 36-39. - ISSN 0579-9368.

"Зайцев, М. В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли [Текст] / М. В. Зайцев // Известия РАН. Сер. Математика - 2002,- Т. 66 - № 3.- С. 23-48.- ISSN 0002-3329.

что это верно и для алгебры Ли с нилыютентным коммутантом12. Заметим, что в случае произвольных линейных алгебр аналогичное утверждение неверно: для любого действительного числа а > 1 А. Джамбруно, С.П. Мищенко и М.В. Зайцев построили алгебру, которая порождает многообразие экспоненты а13. Аналогичный результат в классе алгебр Ли в случае счетного основного поля означал бы существование бесконечно баг зируемого многообразия алгебр Ли, что явилась бы существенным вкладом в теорию многообразий алгебр Ли. Недавно С.С. Мищенко нашел еще один пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой14. Им оказалось многообразие, порожденное бесконечномерной простой алгеброй картанов-ского типа общей серии W¡ или, другими словами, алгеброй Ли векторных полей на плоскости. Тем самым указан классический объект, у которого экспонента роста коразмерностей не является целым числом.

А. Джамбруно и М.В. Зайцев15 доказали, что в классе ассоциативных алгебр экспонента многообразия, порожденного простой конечномерной алгеброй, равна размерности алгебры. Позже ими же в соавторстве с А. Регевым16 было доказан этот факт и в случае алгебр Ли. Первый пример простой четырехмерной алгебры с единицей, у которой экспонента соответствующего многообразия оказалась приблизительно равной 3,61, был найден М.В. Зайцевым, Д. Реповшем17. В этой же работе было доказано существование конечномерных простых алгебр с единицей, экспонента которых является дробной и строго меньшей их размерности.

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Ли и алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Предметом исследования являются числовые характеристики многооб-

12 Mishchenko, S. P. Exponents of Varieties of Lie Algebras with a Nilpotent Commutator Subalgebra [Text] / S. P. Mishchenko, V. M. Petrogradsky // Communications in Algebra- 1999- V. 27- № 5-P. 2223-2230.- ISSN 0092-7872.

13 Giambruno, A. Codimensions of Algebras and Growth Functions [Text] / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances of mathematics.- 2008.- V. 217.- P. 1027-1052.- ISSN 0001-8708.

14 Мшцевко, С. С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой [Текст] / С. С. Мищенко // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика. - 2011,- № 6 - С. 4447,- ISSN 0579-9368.

15Giambruno, A. On coditneiision growth of finitely generated associative algebras [Tbct| / A. Giambruno, M. Zaicev // Advanced in Mathematics - 1998 - № 140 - P. 145-153,- ISSN 0001-8708.

leGiambruno, A. Simple and semisimple Lie Algebras and codimension growth [Text] / A. Giambruno, A. Regev, M. Zaicev // Trans. Amer. Math. Soc.- 2000 - V. 352 - № 4 - P. 1935-1946 - ISSN 0002-9947.

173айцев, M. В. Четырехмерная простая алгебра с дробной PI-экспонентой [Текст] / M. В. Зайцев, Д. Реповш // Математические заметки - 2014.- Т. 95,- № 4 - С. 538-553,- ISSN 0025-567Х.

разий, в основном, экспонента многообразия.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение новых примеров многообразий алгебр Ли (алгебр Лейбница), экспоненты которых не являются целыми, исследование свойств этих многообразий и исследование их асимптотических характеристик. Второй целью работы является изучение многообразий, порожденных простыми конечномерными алгебрами с единицей со значительным расхождением размерности и экспоненты. Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучение асимптотики размерностей неприводимых представлений симметрической группы, форма соответствующих диаграмм Юнга которых имеет некоторое ограничение.

2. Построение дискретной серии алгебр Ли, обобщающих известный ранее первый пример алгебры Ли, которая порождает многообразие, имеющее дробную экспоненту.

3. Исследование взаимосвязи тождеств построенных примеров многообразий алгебр Ли с тождествами простых бесконечномерных алгебр кар-тановского типа общей серии.

4. Исследование значений экспонент многообразий в других классах алгебр, таких как класс алгебр Лейбница, а также в случае, когда многообразие порождено простой конечномерной алгеброй с единицей.

Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, методы теории представлений симметрической группы, теории колец, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые построено счетное семейство алгебр Ли с различными дробными экспонентами, доказана принадлежность построенной дискретной серии алгебр Ли многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии построена серия многообразий с дробной экспонентой в классе алгебр Лейбница и в классе простых алгебр с единицей.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Оценка размерности неприводимых модулей, соответствующих диаграммам Юнга специального вида.

2. Дискретная серия новых примеров алгебр Ли над полем нулевой ха-

рактеристики с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей и теорема о принадлежности этих алгебр многообразию, порожденному алгеброй Ли векторных полей на плоскости.

3. Серия многообразий с дробной экспонентой в классе алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

4. Серия простых алгебр с единицей, которые имеют разные дробные экспоненты, ограниченные числом 4, при этом последовательность их размерностей стремится к бесконечности.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Практическая значимость диссертационного исследования заключается в возможности использования полученных теоретических результатов в исследованиях многообразий алгебр.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем профессором С.П. Мищенко и доцентом А.Б. Веревкиным. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих конференциях и семинарах:

— 8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 5-12 July 2011);

— Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 2012 г.);

— XXII ежегодная научно-практическая конференция ульяновского государственного университета (Ульяновск, апрель-май 2012 г.);

— Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" , посвященной 75-летию Э.Б.Винберга (Тольятти, Россия, 25-30 июня 2012 г.);

— International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012.);

— XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" , посвященная восьмидесятилетию Виктора

Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.);

— Международная конференция "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" (Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.);

— Научно-исследовательские семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе четыре статьи в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 67 источников. Общий объем диссертации составляет 91 страницу, основной текст диссертации изложен на 64 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описываются цель работы и решаемые задачи. Приводится краткий обзор наг учных работ по рассматриваемой тематике, формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, используемые в дальнейшем. Во втором параграфе данной главы сформулированы необходимые результаты, полученные автором диссертации совместно с доцентом A.B. Веревкиным, связанные с асимптотикой размерностей неприводимых ¿¡"„-модулей, форма соответствующих диаграмм Юнга которых имеет некоторое ограничение. А именно: для неотрицательных вещественных переменных Qi, аг, • • •, аа определим функцию

8

F(a 1, а2,..., as) = Д at~tti , >=i

где по непрерывности справа полагаем 0° = 1 для нулевых значений переменных. Определим Т - компакт арифметического пространства Rs, заданный условиями:

c*i + а2 + ... + as = 1

Е(2-0-оч > о (1)

¿=1

а?1 > ос2 > ■ ■ ■ > а« > 0.

Максимумы функций Р(а\,а2,... ,а1) при различных а мы обозначим ^(в), з = 3,4,.... Тогда:

Предложение 2.Функция Р(а\,а2,..., а„) на компакте Т достигает максимальное значение в точке с ненулевой последней координатой -ая ^ 0, и при этом второе неравенство из условий (1) становится равенством. Кроме того, Нт Р(з) = 4 и выполняются строгие неравенства:

3 = 3) < < < Из + 1) < • • ■ < 4.

Пусть — множество разбиений (Аь... ,Ла) числа п, удовлетворяющих следующему условию:

А1 + Лг + ... + А« = п

¿(г-2)-А, < О ¿=1

\ Ах > А2 > ... > А8 > 0.

Обозначим через А(п) разбиение, принадлежащее такое что размерность соответствующего неприводимого модуля является максимальной, то есть = тахлео- й\ . Тогда Пгп =

Предложения, сформулированные во втором параграфе первой главы, используются при доказательстве теорем во второй и третьей главах.

Вторая глава диссертации содержит два новых результата. Результат первого параграфа второй главы связан с построением дискретной серии алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей. Второй результат, доказанный во втором параграфе второй главы, касается такого классического объекта как простая бесконечномерная алгебра картановского типа общей серии Опишем эти результаты более подробно.

Пусть А2 - многообразие всех метабелевых алгебр Ли, определяемое тождеством

{х\х2){хгх^) = 0.

Обозначим через Ма~ 1 = ^_г(А2), а = 3,4,... относительно свободную алгебру этого многообразия с множеством свободных образующих {^1,22, Рассмотрим линейное преобразование й векторного пространства <2х, гг,..., га~1>, действующее по правилу г^й = 2^+1, г = 1,2,..., в — 2,

гц-хй = 0. В этом случае <1 можно продолжить до дифференцирования алгебры Ма-х, которое мы обозначим той же буквой. Линейную оболочку этого дифференцирования «¿> в пространстве всех эндоморфизмов алгебры можно считать одномерной алгеброй Ли с нулевым умножением. Построим полупрямое произведение алгебр и <й>, которое обозначим Ьа = Ме-1 X <й>. Многообразие, порожденное алгеброй Ья, будем обозначать Ъ3, где 5 = 3,4,... .

Теорема 1. Для экспонент роста коразмерностей алгебр Ли Ья выполняются строгие неравенства:

3 = ЕХР{Ъ3) < • • < ЕХР(и) < ЕХР{Ь8+1) < • • ■ < 4, где « = 4,5,____

Доказательство этого утверждения содержится в первом параграфе второй главы.

Обозначим через где к = 1,2,..., простые бесконечномерные алгебры Ли картановского типа общей серии, а через \Ук — многообразия, порожденные соответствующими алгебрами. Алгебры Ли Ьв, где в = 3,4,..., не лежат в многообразии "\Уь так как стандартное лиевское тождество степени пять не выполняется в Ь3, но, как хорошо известно, выполняется в Оказалось, что многообразию рассматриваемая серия алгебр уже принадлежит.

Теорема 2. Дискретная серия алгебр Ли Ь3 с различными дробными экспонентами роста коразмерностей принадлежит многообразию, порожденному простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Шъ-

Доказательство этой теоремы изложено во втором параграфе второй главы.

Третья глава посвящена исследованию экспонент многообразий алгебр Лейбница и простых алгебр с единицей. Полученные результаты связаны с применением классических методов алгебры в рассматриваемых неклассических случаях.

Первый параграф третьей главы посвящен построению серии многообразии с дробной экспонентой в классе алгебр Лейбница. Напомним, что алгеброй Лейбница называется линейная алгебра, удовлетворяющая тождеству

(ху)г = (хг)у + х(уг).

Многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты об алгебрах Ли на алгебры Лейбница. Так, в первом параграфе третьей главы получен аналог теоремы, доказанной в первом параграфе второй главы. А именно:

Пусть 2N — многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz) = 0, а М„_ 1 = Fs_i(2N) — относительно свободная алгебра этого многообразия с множеством свободных образующих {21, z2,..., zs-1}. Рассмотрим линейное преобразование d векторного пространства <zi, Z2,..., z3-1>, определенное правилом Zid = Zj+i, i = 1,2,..., s - 2, zs-id = 0. В этом случае d может быть продолжено до дифференцирования алгебры Ma_j. Тогда можно построить алгебру Лейбница Z^ как прямую сумму векторных пространств Ме-Х и D = < cf >, где D — линейная оболочка дифференцирования d в пространстве всех эндоморфизмов алгебры. То есть LB = Ms_i © D. Определим умножение векторов таким образом

(mi + ad)(m2 + ßd) - m\,m2 + ßm\d, ть € Ms~ 1, a, ß e Ф.

Многообразие, порожденное алгеброй Ls, обозначим через Ls.

Теорема 3. В случае поля нулевой характеристики для экспонент роста коразмерностей алгебр Лейбница Ls выполняются строгие неравенства:

3 = ЕХР{Ъ3) < ■ < ЕХР{U) < ЕХР(СГх) < • ■ • < 4, где s — 4,5,____

Доказательство этой теоремы приводится в первом параграфе третьей главы.

Второй параграф третьей главы обобщает результат М.В. Зайцева и Д. Реповша18 для четырехмерной простой алгебры с едницей на случай сколь угодно большой размерности. Была построена серия простых алгебр с единицей, последовательность размерностей которых стремится к бесконечности и которые имеют разные дробные экспоненты, ограниченные числом 4.

183айцев, М. В. Четырехмерная простая алгебра с дробной PI-эксповентой [Текст] / M. В. Зайцев, Д. Реповш // Математические заметки,- 2014,- Т. 95 - .V 4,- С. 538-553,- ISSN 0025-567Х.

Пусть Ат (тп > 3) — алгебра размерности то с базисом аа, з = —1,0,..., тп — 2. Определим таблицу умножения так, чтобы ао был единицей алгебры, то есть для любого в выполняются равенства аеао = = ая. Если же г, з ф 0, то положим а^щ = при выполнении неравенств ъ>] и —1 < г + з < т — 2. В остальных случаях, когда или г + з < —1, или г + з > т — 2, или г < з будем считать, что сца^ = 0.

Теорема 4. Экспонента многообразия, порожденного алгеброй Ат, при тп > 4 существует и равна дробному числу Р{т).

Доказательство этой теоремы находится во втором параграфе третьей главы.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Доказана теорема об асимптотике размерностей неприводимых модулей симметрической группы, форма соответствующих диаграмм Юнга которых имеет некоторое ограничение.

2. Исследованы числовые характеристики многообразий алгебр Ли, в частности многообразия, порожденного алгеброй Ли векторных полей на плоскости.

3. Исследованы экспоненты многообразий в других классах алгебр, таг них как класс алгебр Лейбница, а также в случае, когда многообразие порождено простой конечномерной алгеброй с единицей.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Малюшева, (Богданчук) О. А. О числовых характеристиках некоторых многообразий алгебр Лейбница [Текст] / О. А. Малюшева, С. П. Мищенко, Ю. Ю. Фролова // Ученые записки Орловского государственного университета, Серия Естественные, технические и медицинские науки,- 2012,- № 6, часть 2. - С. 136-145 - ISSN 1998-2720.

[2] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева, С. П. Мищенко // Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия Экономика - 2013. - № 1(20). - С. 75 - 84 - ISSN 2077- 7353.

[3] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Comptes Rendus de l'Academie Bulgare des Sciences-

2013. - V. 66 - № 3. - P. 321 - 330.- ISSN 086&-5652.

[4] Богданчук, О. А. О серии подмногообразий многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии W2 [Текст] / О. А. Богданчук // Известия Саратовского уни-версита. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика-

2014. - Т. 14 - № 2. - С. 125-129 - ISSN 1816-9791.

Публикации в прочих журналах

[5] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. An example of Leibniz algebra variety with fractional exponent [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko // Book of abstract of the 8th International Algebraic (Lugansk, Ukraine, 5-12 July 2011).- Lugansk, 2011- P. 213.

[6] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева // Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на XXII ежегодной научно-практической конференции (Ульяновск, апрель-май 2012 г.).- Ульяновск, 2012. - С. .22-23.

[7] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной экспоненты [Текст] / О. А. Малюшева // Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук: сборник работ победителей - Ульяновск, 2012. - С. 21-22

[8] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной эскпо-ненты [Текст] / О. А. Малюшева // Третья международная школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" , посвященной 75-летию Э.Б.Винберга (Тольятти, Россия, 25 -30 июня 2012 г.).- Тольятти, 2012. - С. 31.

[9] Malyusheva, (Bogdanchuk) О. A. The infinite series of Lie algebras variety with different fractional exponents [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko // Book of abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012).-Kyiv, Ukraine, 2012 - P. 90.

[10] Malyusheva, (Bogdanchuk) O. A. New example of variety of Lie algebras with fractional exponent [Text] / O. A. Malyusheva // Book of abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M.Chernikov (Dragomanov National pedagogical University, Kyiv, Ukraine, 20-26 August 2012).- Kyiv, Ukraine, 2012,- P. 89.

[11] Малюшева, (Богданчук) О. А. Лиевское многообразие дробной эскпо-ненты [Текст] / О. А. Малюшева // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии - 2012 - № 1(4).- С. 63-70.

[12] Богданчук, О. А. PI-экспоненты некоторых простых алгебр с едини" цей [Текст] / О. А. Богданчук, С. П. Мищенко // Фундаментальная

и прикладная математика - 2013. - Т. 18. - № 4. - С. 121-128 - ISSN 1560-5159.

[13] Богданчук, О. А. О подмногообразиях многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии W<i [Текст] / О. А. Богданчук // XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятилетию Виктора Николаевича Латышева (Тула, Россия, 21-25 апреля 2014 г.). - Тула, 2014 - С. 150-151.

[14] Bogdanchuk, О. A. Growth codimensions some simple linear algebras with unit [Text] / O. A. Bogdanchuk, S. P. Mishchenko // Материалы международной конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" и сопутствующей молодежной летней школы "Вычислимость и вычислимые структуры", посвященной 210-летию Казанского университета 80-летию со дня основания кафедры алгебры Казанского университета Н. Г. Чеботаревым и 70-летию со дня рождения заг ведующего кафедрой члена-корреспондента АН РТ М. М. Арсланова (Казань, Россия, 2-6 июня 2014 г.).- Казань, 2014 - С. 45.

[15] Bogdanchuk О. A. On Lie algebras with exponential growth of the codimensions [Text] / O. A. Malyusheva, S. P. Mishchenko, A. B. Verevkin // Serdica Math. J.- 2014. - V. 40. - № 3. - P. 209-240.- ISSN 1310-6600.

Подписано в печать 20.10.2014. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 120. Заказ № 1101*>2У

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. JI. Толстого, 42