Базисы Гребнера-Ширшова аффинных нескрученных алгебр Каца-Муди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1 Предварительные сведения и результаты

2 Описание алгоритма

§2.1 Поиск базиса Гребнера — Ширшова для алгебры ^(Х^).

§2.2 От д+ (Х£>) к д(х£]).

3 Построение базисов Гребнера — Ширшова

§3.1 Базис Гребнера — Ширшова алгебры <7+(А^).

§3.1.1 Случай п = 1.

§3.1.2 Случай n ^

§3.1.3 Случаи п = 2ип = 3.

§3.2 Базис Гребнера— Ширшова алгебры

§3.3 Базис Гребнера— Ширшова алгебры

§3.4 Базис Гребнера — Ширшова алгебры

Историю базисов Гребнера и Гребнера — Ширшова можно раделить на две части: предысторию и, собственно, историю. К предыстории относятся такие широко известные методы, как алгоритм Евклида, метод Гаусса решения систем линейных уравнений, а также работы Гильберта, Гордона, Херманн, Маколея, Гребнера и некоторых других авторов.

Сама история начинается в 60-х годах XX столетия. А. И. Ширшов в 1962 г. в [8] ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле неявно это было сделано даже раньше, в 1958 году в [9]), а Б. Бухбергер в 1965 г. в [21] — аналогичное понятие для коммутативных многочленов (понятие S-миогочленов). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминология была введена JT. А. Бокутем в [2]) или 5-многочленов. Фактически, замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Бухбергер назвал базисами Гребнера [22]. В последнее время для алгебр Ли и ассоциативных алгебр эти множества стали называть базисами Гребнера — Ширшова.

Этот метод нашел применение сразу же после появления работы А.И.Ширшова [8]. Первые применения были сделаны в этой же работе, а именно, была решена проблема равенства и доказана теорема о свободе для алгебр Ли с одним определяющим соотношением. Им же в [10] с помощью метода базисов Гребнера — Ширшова была опровергнута гипотеза о строении подалгебр свободного произведения алгебр Ли.

Первый пример множества лиевских полиномов, не являющегося замкнутым относительно композиции, появился в работе Л. А.Бокутя [1]. Там было построено замыкание относительно композиции некоторого множества лиев-ских соотношений, то есть базис Гребнера — Ширшова идеала, порожденного исходным множеством и с помощью этого доказано, что любая алгебра Ли вложима в алгебраическую алгебру Ли.

В настоящее время базисы Гребнера и Гребнера — Ширшова активно используются как в теоретических исследованиях, так и в вычислительной алгебре. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что с его помощью можно алгоритмизировать процесс поиска ответов на большое число вопросов (см., например, в [23]). Как следствие, становится возможным применение вычислительной техники для их решения. Например, пусть Liek(-X') — свободная алгебра, со множеством порождающих X над полем к и S — некоторое множество лиевских полиномов, a Id(S) — идеал, порожденный S. Если базис Гребнера — Ширшова алгебры Liek(X|S) = Lieic(X)//c?(S) рекурсивен, то вопрос о принадлежности произвольного лиевского полинома идеалу решается алгоритмически. Также из наличия рекурсивного базиса Гребнера — Ширшова алгебры следует, что для этой алгебры существует и рекурсивный линейный базис. Последнее утверждение является непосредственным следствием так называемой леммы о композиции — Diamond леммы (сокращенно CD-лемма, это название было предложено в [14]), которая в общем случае (для коммутативных, некоммутативных и лиевых многочленов) формулируется так:

CD-лемма. Пусть S — множество нормированных полиномов. Тогда S базис Гребнера — Ширшова (т.е. замкнуто относительно композиции), тогда и только тогда, когда множество так называемых S -редуцированных слов образует линейный базис соответствующей алгебры.

Впервые утверждение, названное впоследствии Diamond леммой, появилось в работе Ньюмена [29]. Линейный вариант Diamond леммы Ньюмена приведен, в частности, в известной работе Дж. Бергмана [11].

CD-лемма в свою очередь является следствием следующего утверждения:

Лемма о композиции [8]- Теорема Бухбергера [21]. Если множество S замкнуто относительно композиции (^-многочленов), и / € Id{S), то / = asb для некоторого s G S. Верно и обратное.

Здесь / — старшее (ассоциативное) слово, определения см. в главе 1.

Таким образом, базисы Гребнера — Ширшова являются очень важным объектом для изучения. Активное изучение этого объекта началось в 90-х годах. JI. А. Бокутем совместно с А. А. Кляйном были найдены базисы Гребнера — Ширшова для простых конечномерных алгебр типа An, Bn, С„, Dn, Е6, Е7, Е8, F4, G2 [16, 17, 18]. Кроме того, им же совместно с П. Малькомсоном было доказано, что множество лиевых полиномов является базисом Гребнера — Ширшова соответствующей алгебры Ли в лиевом смысле тогда и только тогда, когда оно является базисом Гребнера — Ширшова в ассоциативном смысле [20], а также найдены базисы Гребнера — Ширшова для квантовых универсальных обертывающих типа Ап [19].

В то же время, идея базисов Гребнера — Ширшова, начинавшаяся, как уже было отмечено, со случаев коммутативных алгебр, и алгебр Ли (да пожалуй еще и ассоциативных алгебр, тем более, что лиевский случай, по существу, .опирается на ассоциативный), начала осваивать новые горизонты.

Распознаванию некоторых свойств алгебр, заданных базисами Гребнера — Ширшова, посвящена работа Т. Гатевой-Ивановой и В. Н. Латышева [24].

В восьмидесятых годах А.А.Михалев распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр [6, 28, 7]. Л. А. Бокуть, С.-Дж. Кант, К.-Х. Ли и П.Малькомсон нашли базисы Гребнера — Ширшова для простых конечномерных супералгебр Ли типа

Am Сп, Г)и [15].

С.-Дж. Канг и К.-Х. Ли доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей над алгебрами Ли, построили теорию базисов Гребнера — Ширшова для этого случая и нашли базисы Гребнера — Ширшова (которые в этом случае называется парами Гребнера — Ширшова) для неприводимых sln+i-модулей [26, 27].

Кроме того, теория базисов Гребнера — Ширшова получила распространение и для случаев конформных и вертексных алгебр. В работах Ройтма-на [30, 31] было доказано существование свободных конформных алгебр (этот факт не является следствием теорем универсальной алгебры, так как конформные алгебры не образуют многообразия), JI. А.Бокуть, И.Фонг и В.-Ф. Ке в своей работе [12] получили результат Ройтмана другим способом. Затем эти же авторы распространили идеи и технику базисов Гребнера — Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр [14]. Изложение истории развития теории базисов Гребнера — Ширшова можно найти в [3, 4].

Данная работа посвящена изучению базисов Гребнера — Ширшова алгебр Ли, более точно, так называемых аффинных нескрученных алгебр Када — Муди. Получены следующие основные результаты:

1) Описан алгоритм для нахождения базисов Гребнера — Ширшова аффинных алгебр Каца — Муди.

2) С помощью этого алгоритма построены базисы Гребнера — Ширшова для всех бесконечных серий аффинных нескрученных алгебр Када — Муди, а именно, для алгебр Ап\~Вп \ Сп \

Результаты работы были представлены на XXXVIII Международной студенческой конференции (Новосибирск, 2000), на Международной конференции "Мальцевские чтения " (Новосибирск, 2001), на XXXIII Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2002), а также на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета.

Все основные результаты опубликованы в [32]-[39].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы (кроме главы 1),кроме того §3.1 разбит на 3 подпараграфа и списка литературы. Все утверждения и формулы нумеруются двумя цифрами, первая из которых обозначает номер главы, вторая — номер утверждения или формулы в главе. Список литературы содержит 39 наименований. Объем диссертации составляет 95 страниц.

1. Л. А. Бокуть, Вложение алгебр в алгебраические алгебры, Докл.Акад. Наук СССР, 154, 5 (1962), 963-964.

2. Л. А. Бокуть, Неразрешимость проблемы тождества и подалгебры конечно представленных алгебр Ли, Изв. АН СССР, 6 (1972), 1153-1199.

3. Л. А. Бокуть, B.-Ф.Ке, П. С. Колесников, Ю.Фонг, Базисы Гребнера — Ширшова в алгебре и конформных алгебрах, Фундаментальная и прикладная математика, 6, 3 (2000), 679-716

4. Л. А. Бокуть, П. С. Колесников, Базисы Гребнера — Ширшова от зарождения до наших дней, Записки научных семинаров ПОМИ, Вопросы представлений алгебр и групп, 7, 272 (2000), 26-67.

5. В.Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, Москва, Мир 1993.

6. А.А.Михалев, Лемма о композиции и проблема равенства для цветных супералгебр Ли, Вестник МГУ, Сер. I Математика, Механика, 44, №5 (1989), 88-91. Мат. Заметки, 43, 2 (1988), 178-191.

7. А.А.Михалев, Техника композиции А. И.Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Гребнера), Труды семинара им И.Г.Петровского, 18 (1995), 277-289.

8. А.И.Ширшов, Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли, Сиб. мат. журнал, 3 (1962), 292-296.

9. А. И. Ширшов, О свободных кольцах Ли, Мат. сборник, 45(87), 2 (1958), 113-122.

10. А. И. Ширшов, Об одной гипотезе теории алгебр Ли, Сиб. мат. журнал, 3 (1962), 297-301.

11. G.M.Bergman, The diamond lemma for ring theory, Adv. in Math, 29 (1978), 178-218.

12. L. A. Bokut', Y. Fong, W.-F. Ke, Free associative conformal algebras, Proceedings of the 2nd Tainan-Moscow Algebra and Combinatorics Workshop, Tainan 1997, 13-25, Springer-Verlag.

13. L. A. Bokut', Y. Fong, W.-F. Ke, Grobner-Shirshov bases and composition lemma for associative conformal algebras: an example, Contemporary Math., N 264, 2000, 63-91.

14. L. A. Bokut', Y. Fong, W.-F. Ke, Composition-Diamond lemma for associative conformal algebras, J.Algebra (to appear).

15. L. A. Bokut', S.-J.Kang, K.-H. Lee, P. Malcolmson, Grobner-Shirshov bases for simple Lie super algebras and their universal enveloping algebras, Л. Algebra 217 (1999), 461-495.

16. L. A. Bokut, A. A. Klein, Serre Relations and Grobner-Shirshov Bases for Simple Lie Algebras I, II Internat. J. Algebra Comput., 4(1996), 389-412.

17. L. A. Bokut, A. A. Klein, Grobner-Shirshov Bases for Exceptional Lie Algebras E6,E7,E8, Algebras and combinatorics (Hong Kong, 1997), 37-46, Springer, Singapore, 1999.

18. L. A. Bokut, P. Malcolmson, Grobner-Shirshov bases for quantum enveloping algebras, Israel J. Math. 96 (1996), 97-113.