Равномерные представления алгебр Каца-Муди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение . 2

Глава 1. Алгебры Каца-Муди: необходимые определения и факты ,. 10

Глава 2. Равномерные модули.18

1лава 3. Алгебры .22

Глава 4. Образующие и соотношения алгебр ф(Ап) и (¿^А^)

Глава 5. Неприводимые конечномерные представления алгебры <5(Аг) .41

Глава 6. Равномерные Аг-модули А) .46

Глава 7, Подмодули модулей V у, А) .51

Глава 8. Равномерные модули на д Ап и А^1' с кратностью весов . .74

1) <-.-•

Глава 9. А] '-модули с кратностью весов . 81

Работа посвящена введенному автором классу весовых модулей над алгебрами Каца-Муди — равномерным модулям. Одной ио особенностей этого класса является то, что нетривиальный равномерный модуль не может быть модулем старшего веса. Равномерные модули представляют собой обобщение модулей бев кручения, определенных в работах [4], [6] (см. определение 1.10 настоящей диссертации).

История вопроса. В 1920-х - 1940-х годах в трудах Э. К ар тана, В. Киллинга, Г. Вейля была получена классификация полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли. Каждой такой алгебре была взаимно однозначно сопоставлена целочисленная матрица, удовлетворяющая определенным условиям (матрица Картана). Была выписана система образующих и соотношений, зависящая от матрицы Картана и задающая полупростую алгебру Ли.

В 1968 году В.Г.Кац [1] и Р.В.Муди [2] определили класс алгебр Ли, естественно обобщающий полупростые конечномерные алгебры Ли. Обобщение состоит в снятии одного из условий на матрицу Картана — условия положительной определенности этой матрицы. При этом формулы, определящие по матрице систему образующих и соотношений, остались практически прежними. Получающиеся алгебры Ли называются алгебрами Каца-Муди. Алгебры Каца-Муди бесконечномерны, за исключением тех, чья матрица Картана положительно определена.

Алгебры Каца-Муди и их представления являются популярным объектом исследований. Особенно интенсивно изучались так называемые модули старшего веса над этими алгебрами. Интерес к этим модулям связан, прежде всего, с двумя обстоятельствами. Во-первых, все конечномерные представления конечномерных алгебр Каца-Муди являются модулями старшего веса; при этом многие методы, разработанные для конечномерного случая, могут быть в той или иной мере перенесены на модули старшего веса над общими алгебрами Каца-Муди. Во-вторых, модули старшего веса над некоторыми бесконечномерными алгебрами

- 3

Каца-Муди (а именно, над так называемыми аффинными алгебрами), естественно возникают в теории струн, важном разделе математической физики.

Модули, рассматриваемые в настоящей диссертации, не являются модулями старшего веса. Упомянем некоторые работы, посвященные близким классам модулей. Все модули, рассмотренные в этих работах, являются весовыми (т.е., разлагаются в прямую сумму подпространств, собственных относительно действия картановской подалгебры). В большинстве работ рассматриваются лишь конечнократные модули (т.е., предполагается, что все весовые подпространства конечномерны). Кроме того, в большинстве работ рассматриваются лишь конечномерные алгебры Каца-Муди (т.е., конечномерные полупростые алгебры Ли).

Прежде всего следует отметить работу С. Фернандо [4]. В этой работе введено понятие модуля без кручения над конечномерной полупростой алгеброй Ли. Показано, как задача о классификации всех конеч-нократных весовых модулей над конечномерными полупростыми алгебрами Ли может быть сведена к задаче о классификации одних лишь модулей без кручения. Гам же показано, что нетривиальные конечно-кратные модули без кручения существуют лишь над алгебрами Ап, Сп и их прямыми суммами.

Опираясь на результаты Фернандо (полученные и описанные последним в своей диссертации еще в 1983 г.), Д. Бриттен и Ф. Лемайр в своей работе [Б] расскласифицировали весовые модули над конечномерными полупростыми алгебрами Ли, имеющие одномерное весовое подпространство. Для этого они описали по семейству модулей без кручения над каждой алгеброй Ли типов А и С, после чего доказали, что любой модуль без кручения с одномерными весовыми подпространствами над этими алгебрами изоморфен одному из модулей описанных семейств.

В работе [7] Бриттен, Лемайр и В. М. Футорный описали все неприводимые конечнократные модули без кручения над алгеброй Аг — sl(3,С) (см. утверждение 1.12 настоящей диссертации).

- 4

Б, Дидский в своей работе [9] описал семейство бесконечнократных весовых /1п-модулей (п > 2). В качестве частных случаев ©то семейство включает приводимые модули, обладающие конечнократными подмодулями. Для пары весовых модулей, имеющих общий вес, определено понятие "изоморфности в данном весе" (что означает изоморфность соответствующих весовых подпространств как модулей над подалгеброй универсальной обертывающей алгебры, сохраняющей весовые подпространства). Дидский доказал, что с точностью до изоморфности в каком-либо весе конечнократные подмодули модулей семейства исчерпывают все конечнократные скалярные неразложимые Ап-модули (модуль называется скалярным, если центр универсальной обертывающей алгебры действует на нем скалярными операторами).

Ю. А. Дрозд, С. А. Овсиенко и В. М. Фу торный в работе [10] описали широкий класс (вообще говоря, бесконечнократных) Лг-модулей, включающий, в частности, все неприводимые конечнократные весовые модули.

Что касается бесконечномерных алгебр Каца-Муди. то примеры ко-нечнократных весовых модулей, не являющихся модулями старшего веса и отличных от самой алгебры (присоединенного представления), исчерпываются так называемыми модулями петель над аффинными алгебрами. Модули петель определены и исследованы в работах [11], [12], [13].

В работе Бриттена, Лемайра и Зоритто [6] приведено определение модуля без кручения над произвольной алгеброй Каца-Муди. Там же доказано, что все модули без кручения с кратностью весов 1 над аффинными алгебрами являются модулями петель. Следует отметить также работу Бриттена и Лемайра [8], в которой доказан важный факт о ко-нечнократных модулях над аффинными алгебрами. Именно, доказано, что если кратности весов модуля ограничены сверху, то центр алгебры действует на модуле тривиально.

Актуальность темы. Важной и трудной задачей теории представлений конечномерных полупростых алгебр Ли является классификация

- 5 всех конечнократных весовых модулей над этими алгебрами. Результаты Фернандо [4] сводят эту задачу к классификации конечнократных модулей без кручения над алгебрами Ли Ап и Сп.

Как уже было сказано, равномерные модули представляют собой обобщение модулей без кручения. Тем самым классификация модулей без кручения может быть выведена из классификации равномерных модулей.

Развитые в работе методы исследования равномерных модулей над произвольными алгебрами Каца-Муди могут быть полезны также при изучении модулей петель над аффинными алгебрами, а возможно и других, еще не изученных классов модулей над бесконечномерными алгебрами Ли.

Основные результаты.

1. Разработан метод изучения,нового класса представлений алгебр Каца-Муди, обобщающего модули без кручения.

Введено понятие равномерного модуля. Для любого линейного функционала А на картановской подалгебре определена категория Е\ , объектами которой являются равномерные модули, содержащие А среди своих весов.

Изучение модулей категории Е\ над алгеброй Каца-Муди 6? сведено к изучению представлений определяемой в работе конечно порождённой ассоциативной алгебры ф7(С?), где 7 — ограничение А на центр алгебры Каца-Муди. Если матрица Картана алгебры С? невырождена (например, в случаях, когда С конечномерна), алгебра (^-¿(Сг) оказывается не зависящей от А и обозначается нами • Явно описан функтор М Е(М, А) из категории (¿(С)-моцупеж в категорию Е\ для произвольного А , задающий эквивалентность этих категорий.

2. Упомянутый метод применён в простейших случаях. Для алгебр Ли С? = А\ и С — Л2 явно описаны алгебры , все их неприводимые конечномерные представления, а также соответствующие равномерные (^-модули.

Случай А\ — з1(2) почти тривиален. Для случая Л2 = з1(3) рав

- 6 номерные Аг-модули, соответствующие неприводимым конечномерным представлениям алгебры Q(A2), обраоуют семейство модулей, обозначенных V(d, г/, Л), где d — натуральное число, и — комплексное число, а Л — линейный функционал на картановской подалгебре. Это семейство представляет двоякий интерес.

Во-первых, при общих значениях параметров модули V(d, v, Л) являются неприводимыми модулями без кручения. Более того, доказано, что все неприводимые конечнократные /^-модули без кручения принадлежат нашему семейству. Тем самым мы заново получаем классификацию таких модулей. Отметим, что доказательство классификационной теоремы у нас значительно проще, чем в работе [7]. Можно надеяться, что наш метод позволит получить классификацию неприводимых конечнократных модулей без кручения над другими простыми алгебрами Ли, в первую очередь над С2 = sp(4) и — sl(4).

Во-вторых, среди приводимых Аг-модулей семейства {V(d, A)} встречаются такие, которые включают в качестве подфактора любой наперёд заданный конечномерный неприводимый А.2-модуль. Тем самым, модули V(d, v, А) могут оказаться полезными для изучения конечномерных представлений алгебры Ли А2 = 5/(3) . Существует определённая аналогия между семейством {V(d, 1/, А)} и хорошо изученными модулями Верма: общие модули Верма неприводимы, а среди фактор-модулей приводимых модулей Верма над любой полупростой конечномерной алгеброй Ли G встречаются все конечномерные G-модули.

3. Определенные результаты получены также для равномерных модулей над конечномерными алгебрами Ап = sl(n + 1) при п > 2 и над аффинными алгебрами А^К Выписаны образующие и соотношения алгебр Q(An) и QC(A^). Явно описаны равномерные Ап-модули и А^-модули с одномерными весовыми подпространствами. Для простейшей и (1Л аффинной алгебры А{' описаны все весовые модули с однократными весами.

Краткое содержание работы.

Заключение

В работе введено понятие равномерного модуля над алгеброй Каца-Муди. Классификация таких модулей сведена к классификации представлений ассоциативной конечно порожденной алгебры (}7(0), определяемой по алгебре Каца-Муди О и линейному функционалу 7 на центре алгебры С. Явно описаны все равномерные представления алгебры А2 — , имеющие конечную кратность весов, изучены их конечномерные подфакторы. Для алгебр Ап при п > 2, а также для аффинных алгебр А\р выписаны образующие соответствующих алгебр выписаны также операторные многочлены, коэффициентами которых служат эти образующие, и соотношения на, эти многочлены, из которых следуют все соотношения на образующие (явный вид соотношений на обр-аоуютпие слишком громоздок). Описаны все равномерные модули над алгебрами Ап и имеющие однократные веса, а также все (не только равномерные) модули над алгеброй Ар'. имеющие однократные веса. Можно надеятся, что развитые методы помогут описать все равномерные модули с конечнократными весами, а тем самым, как частный случай, и все модули без кручения над алгебрами Каца-Муди, QQ v и

1. В. Г. Кац. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста,. Известия АН СССР, серил математическая. 1968. Т. 32. No. 6. С. 1323-1367

2. R. V. Moody. A new class of Lie algebras. Journal of Algebra, v. 10 (1968), 211-230

3. В. Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. M., "Мир", 1993

4. S. Fernando. Lie algebra modules with finite dimensional weight spaces I. Transactions of the American Mathematical Society, v. 322 (1990), no. 2, 757-781

5. D. J. Britten, F. W. Lemire, A classification of simple Lie modules having a 1-d.iim.ensional weight space. Transactions of the American Mathematical Society, v. 299 (1987), no. 2, 683-697

6. D. J. Britten, F. W. Lemire, Zoritto. Pointed torsion free modales for affine Lie algebras. Communications in Algebra, v. 18 (1990), no. 10, ¿307 3321

7. D. J. Britten, F. W. Lemire, V. M. Futornyj. Simple ^-modules with a finite dimensional weight space. Communications in Algebra, v. 23 (1995), no. 2, 467-510

8. D. J. Britten, F, W. Lemire. On level 0 affine Lie modules. Canadian Math. Bull., v. 37 (1994), no. 3, 310-314

9. Б. В. Лидский. з/(п)-модули с конечной кратностью веса. Функциональный анализ и его приложения. 1992. Т. 26. Вып. 2. С. 74-76

10. Ю. А. Дрозд, С. А. Овсиенко, В. М. Футорныи. Неприводимые весовые а!(3)-модули. Функциональный анализ и его приложения. 1989. Т. 23. Вып. 3. С. 57-58- 100

11. V, Cliari. Integrab]e representations of affine Lie algebras. Invent. Math., v. 85 (1986), no. 2, 317-335

12. V. Cliari, A. Pressley. New unitary representations of loop groups Math. Ann., v. 275 (1986), no. 1

13. S. E. Rao. A new class of unitary representations for affine Lie algebras Journal of Algebra, v. 120 (1989), no. 1, 54 -73- 101