Представления алгебр токов, квази-частицы и конформная теория поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л.Д.ЛАНДАУ

На правах рукописи

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР ТОКОВ, КВАЗИ-ЧАСТИЦЫ И КОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка 1997

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук Фейгин Б.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Белавип A.A., кандидат фзэико-математических паук Левин A.M.

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной физики

Защита состоится 27 июня 1997г. на заседании диссертационного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослал «__»

.199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор

физико-математических наук

Фальковский Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Б последнее десятилетие двумерные конформно-инвариантные квантовые теории поля (ККТП) иптепспвпо изучались как физиками, так и математиками. Интерес к ККТП во многом вызван тем, что эти теории точно решаемы, т. е. корреляционные фупкции в них могут бить явно вычислены. Основная причина точной решаемости ККТП — наличие у них бесконечномерных алгебр Ли внутренних симметрии: алгебры Вирасоро и, более общо, расширенных конформных алгебр.

Замечательным примером ККТП являются модели Весса - Зумино - Новикова -Виттена (\\,7%М\У-модели). В пионерской работе [1] В.Г. Книжпяк и А.Б. Замолодчиков показали, что расширенные конформные алгебры симметрии WZNW-мoдeлeй — это аффинные алгебры Каца - Муди (или алгебры токов). Таким образом, гильбертовы пространства состоянии \У2ШУ-моделей (в голоморфном секторе) имеют структуру представлений аффинных алгебр со старшим весом.

Возникает математическая задача изучения представлений аффинных алгебр и применения результатов к решению проблем ККТП (исследованию трансформационных свойств локальных полей под действием генераторов симметрии, нахождению корреляционных функций и т. д.). Интерес к этой задаче огромен, см., папример, фундаментальную монографию [2] и список литературы к пей.

В пастоящей диссертации развивается новый подход к теории представлений аффинных алгебр Каца - Муди и к ККТП.

Пусть 0 — конечномерная комплексная простая алгебра Ли, Ьд — алгебра Ли петель

(отображении окружности в алгебру 0), и д — аффинная алгебра, т. е. одномерное це1 тральное расширение алгебры Ли Ьд. Основная идея состоит в том, что нелриводимс представление V алгебры Ли § ограничивается на подалгебру Ли Ьп петель со значен! л ми в максимальной ныьнотентыой подалгебре п алгебры Ли 5. Возникающая струь тура на пространстве V тщательно изучается, и это приводит к новым результата! теории представлений и к новому алгебро-геометрическому описанию пространств конформных блоков ККТП на римановой поверхности.

Особую роль в исследовании играет так называемое подпространство квази-ча . стид \\т в пространстве представления V. Подпространство получается действие] универсальной обертывающей (/(£п) алгебры Ли Ьп на вакуумный вектор V € V (век тор старшего веса). Строится модель пространства IV в пространстве симметрически функций от нескольких переменных с некоторыми условиями обращения в нуль на дна гопалях. Симметрические функции можно интерпретировать наглядно как волповы функции наборов «квазл-частиц», а условия на диагоналях — как правила «взаимодей ствия» этих квази-частиц друг с другом. Термин «квази-частицы» появился ранее в ра ботах Б.М. Мак-Коя и др. [3] по минимальным моделям ККТП и термодинамическом; анзатцу Бете. В настоящей работе выводится формула характера для подпростран ства V/ (см. формулу (*) ниже), похожая на «кваэи-частичные» формулы характер; Мак-Коя и др. для неприводимых представлений алгебры Вирасоро. Здесь проявляет ся сходство нашей теории с теорией минимальных моделей (в подходе Мак-Коя и др.) до конца пока не понятое.

Напрашиваются естественные обобщения «квази-частичной» конструкции на дру

гпе типы взаимодействий (т. е. другие условия на диагоналях для волновых функций). Основная гипотеза здесь состоит в том, что каждый новый тип взаимодействия порождает новую модель ККТП.

Цель работы состояла в изучении представлении аффинных алгебр Капа - Муди вышеуказанным методом, а также в применении полученных результатов к описанию структур ККТП.

Научная новизна работы.

1. Изучено ограничение интегрируемых неприводимых представлений аффинной алгебры Каца - Муди 5 на подалгебру Ли lu токов со значениями в максимальной ниль-дотентной подалгебре алгебры Ли в; построены модели представлений с простым действием подалгебры L П; найдены формулы характера для представлении.

2. Исследовано «подпространство' квази-частнц» W = U(Ln) -v в интегрируемом неприводимом представлении, и интерпретировано как пространство симметрических функций (в пашей терминологии, волновых функций наборов квази-частйд) с-некоторыми условиями на диагоналях (условиями взаимодействия).-

3. Изучена геометрия замыкания орбиты алгебры Ли In в многообразии флагов аффинной алгебры g.

4. Найдены различные формулы характера для пространства квази-частиц, что дает доказательство и обобщения комбинаторных тождеств Роджерса - Рамануджана -Гордона.

5. Найдена простая конструкция пространства конформных блоков WZNW-моделей ККТП на компактпой римановой поверхности; исследованы связи этой конструкции с

геометрией многообразия модулей векторных расслоений на римаиовой поверхности.

6. Предложена общая конструкция «квази-частичных» моделей ККТП.

Автор защищает результаты:

1. Подпространство кваэи-частиц IV = {/(Лп) -V в вакуумном интегрируемом неприводимом представлении аффинной алгебры д на уровне к, к & X, к ^ 0, естественно двойственно к пространству симметрических функций с некоторыми условиями на диагопалях. Это дает следующую формулу характера пространства квази-часткц (для алгебр Ли 5 типа Л, О, Е):

где г — ранг алгебры Ли в, (ч)т = (1 — <т)(1 — д2)... (1 — qm) и с,,- - матричные элементы матрицы С = ® — половины тензорного произведения матрицы Картана Аа алгебры Ли 0 на обратную симметриэованную матрицу Картапа В)ь,

2. В случае д = я!(2) сравнение формулы (*) с другой формулой характера пространства кваэи-частиц (формулой.Лефшеца на многообразии флагов) доказывает тождества Гордона, а в случае д = 51(2™ + 1) дает серию родственных комбинаторных тождеств.

3. Постороенк модели неприводимых интегрируемых представлений аффинной алгебры д — 51(2), с простым действием подалгебры £п; в случае произвольной алгебры Ли 5 найдены формулы характера для представлений.

4. Пространство конформных блоков 6Х(2)* \УгК\¥-модели ККТП на компактной

.....О

(Дь 1 )<> = т»п(г,;'), 1 < Ь^ ^ к.

римановой поверхности X естественно изоморфно пространству мероморфних симметрических дифференциалов на Хш с единственным полюсом порядка 2N в отмеченной точке б X по каждому множителю, обращающихся в пуль на (к -{- 1)-даагояали

А*+1 = {(31, € : х1 = 12= •■• =®ц+1}.

Здесь Лг — любое число, большее или равное роду поверхности X. Это описание эквивалентно геометрической аппроксимации Бертрама - Таддеуша [4] многообразия модулей векторных расслоений ранга 2 на римановой поверхности.

5. Доказана пквивалентиость двух определений (теорегико-представлснческого и алгебро-геометрического) для модулярного функтора па компактной римановой поверхности в случае д = 51(п).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы из 52 наименований. Объем диссертации 78 стралиц, включая оглавление, 2 рисунка и список литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении кратко обрисовываются основные теми диссертации и план работы.

Глава I (§§1-2) носшпцена локальной теории (связанной с проколотым диском, в ' противоположность глобальной теории, связанной с компактпой римановой поверхностью) в случае 0 = 51(2). На этом простейшем примере демонстрируются ключевые идеи и логика теории.

В- §1 вводится основной объект изучения — подпространство квази-частиц И' = ЩЬп) ■ V в неприводимом представлении V алгебры £1(2). Строится конструкция двой-

стланного прострапства IV" в пространстве симметричных полиномов /{ху,... , х„) обращающихся в нуль на диагонали = х2 = ■ ■ ■ = Хк+1- Здесь к — уровень инте грируемого представления (целое неотрицательное чнсло). Доказывается формула ха рактера для пространства квати-частиц, совпадающая с левой частью комбииаторвы: тождеств Гордона.

Результаты о пространстве квази-частиц используются для описания всего пространства представления V. Строится модель неприводимого представления в «полубесконечных ограниченных симметрических степенях» алгебры Ьп и выводится формула характера для неприводимых представлений, совпадающая с «парафермионной» формулой Леповского - Иримка.

В §2 изучается геометрия замыкания орбиты алгебры Ли £п в многообразии флагов алгебры 51(2). Интересно отметить, что, хотя алгебра Ли Ьп состоит аз вещественных корней, замыкание орбиты содержит миогопараметричсские семейства орбит, параметризованные мнимыми направлениями. Применение голоморфной формулы Лефше-ца для неподвижных точек к этому бесконечномерному пеособому многообразию дает вторую формулу характера для пространства квази-частиц. Сравниваются две формулы характера и доказываются тождества Гордона. Далее приводятся математическое обоснование метода с использованием формулы Демазюра. Также доказывается ключевой результат §1 о соотношениях в пространстве И7, с помощью резольвенты Кузена

- Гротендика.

- В главе II (§§3-5) результаты главы I обобщаются на случай произвольной алгебры Ли 0. Эта глава параллельна главе I. .

В §3 пространство квази-частиц W реализуется в пространстве волновых функции, которым теперь разрешается иметь простые полюсы на некоторых диагоналях. Технической основой здесь служит теория вычетов Паршина, которая кратко напоминается в начале параграфа. Выводится формула характера (*) для пространства IV, того же типа, что и формулы Мак-Коя и др. для характера пространства квази-частиц в термодинамическом анзатце Бете. Приведен также вывод формулы характера для представления V методом, обобщающим метод §1.

В §4 обсуждается геометрия замыкания орбиты алгебры Ли Lu в многообразии флагов. В отличпе от случая g = зГ(2), в общем случае замыкание орбиты имеет особенности. (Возникает предположение, что эти особенности можно разрешить конструкцией типа Демазюра.) Однако в случае д = s[(n) после замены подалгебры Ли п на меньшую подалгебру Ли матриц с единственным ненулевым последним столбцом замыкание орбиты становится неособым.

В §5 выводится другая формула характера для пространства квази-частиц в случае Ö = s((2n +1) при помощи деформации верхпетреуголыгой подалгебры Ли п в симплек-тическую алгебру Ли, и доказывается серия комбинаторных тождеств, родственных тождествам Гордона.

В главе III излагается глобальная теория. Основная цель — описать пространство конформных блоков на фиксированной компактной римановой поверхности X.

Данная глава разделена па две части.

Часть 1 (§§6-11) посвящена квази-частицам на римановой поверхности.

В §6 напоминаются два определения модулярного функтора (или, что то же самое,

пространства конформных блоков): первое использует теорию представлении аффинной алгебры, а второе — алгебраическую геометрию пространства модулей расслоений. Эквивалентность двух определений доказана С.Кумаром и др. [5]; в §13 будет дано другое доказательство в случае д — з[(п).

В §7 формулируется основная теорема этой части работы, по существу утверждающая, что для построения пространства конформных блоков достаточно знать ограничение представлений аффинной алгебры на подалгебру Ли Ьп. Используя эту теорему, мы находим простую алгебро-геометрическую конструкцию пространства конформных блоков (см. выше п. 4 в разделе «Автор защищает результаты»). Конформные блоки представляются как волновые фуикции квази-частдц, живущих на этот раз на римановой поверхности X, с теми же ограничениями на диагоналях, что и раньше в локальной теории.

В §§8-10 приводится доказательство основной теоремы, сформулированной в §7. В §8 разбирается случай д — 51(2), к — 1 и заодно доказывается изоморфизм пространства конформных блоков с пространством тэта-функций второго порядка. В §9 идея §8 применяется в случае 0 = з!(2) и.произвольного к. Для этого вводится вспомогательная вертекс-оцераторнал алгебра /Ц; модулярный функт.ор относительно Аь изоморфен пространству тэта-функций порядка 2к. Доказательство основной теоремы в случае 0 = я[{2) завершается в §10, и там же случай произвольной алгебры Ли 5 сводится к случаю д = яГ(2). '

В §11 предложен комбинаторный способ вычисления размерностей пространств волновых функций в случае д = з!(2). Комбинаторика здесь такая же, как и классическая

комбинаторика, разбиений в тождествах Гордона (§1), с заменой луча па тривалент-ныа плоский граф — дискретную модель кривой А'. В применении к пространствам конформпых блоков эта комбинаторика эквивалентна правилам слияния.

Часть 2 (§§12-13) посвящена геометрии многообразия модулей расслоений.

В §12 напоминается конструкция геометрической аппроксимации многообразия модулей расслоений ранга 2 на римановои поверхности, принадлежащая Бертраму и Тад-деушу.

Наконец, и §13 наше описание пространства конформных блоков сравнивается с конструкцией Бертрама - Таддеуша и доказывается эквивалентность двух определений пространства конформных блоков в случае д = з((п).

В Заключении содержится обзор проделанной работы и обсуждаются некоторые открытые вопросы.. В частности, формулируется гипотеза, согласно которой каждый тип симметрии волновых функций п условий на диагоналях порождает свою модель ККТП. Рассматриваются некоторые примеры ККТП (кроме \У^К\У-моделей), получаемых этим методом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Исследовано ограничение интегрируемых представлений аффинной алгебры Каца Муди д на подалгебру Ли Ья п-значных петель, где п — максимальная нильпотентная

подалгебра алгебры Ли 0.

2. Изучена геометрия действия алгебры Ли Ьп на многообразии флагов аффинной алгебры д.

3. Развито исчисление квази-частиц, т. е. симметрических функций с условиями

обращения в нуль па некоторых диагоналях. Выведены формулы характера для пространств квази-частиц, аналогичные «квази-частичным» формулам Мак-Коя и др. для неприводимых представлений алгебры Вирасоро.

4. Найдена простая алгебро-геометрическая конструкция пространств конформных блоков в WZNW-модели KKTIÍ (квази-частицы на римановой поверхности); в случае 0 = sí(2) доказана эквивалентность этой конструкции п геометрической аппроксимации многообразия модулей расслоений ранга 2.

5. Найдено новое теоретико-групповое доказательство й обобщения комбинаторных тождеств Гордона.

6. Предложена общая конструкция «вази-частичлих» моделей ККТП.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ.

Результаты были доложены на заседании ученого совета ИТФ РАН, на семинаре по теории поля и интегрируемым системам ИТФ РАН, па семинарах в ИТЭФ, МИАН им. В. А. Стек лова, на мех-мате МГУ, в математических институтах в Киото и Бомбее, на III международной конференции (.Конформная теория поля и интегрирумые модели», Черноголовка, 23-30 июня 1996г.

Результаты опубликованы в следующих работах:

1. Feigin B.L. and Stoyanovsky A.V. Quasi-particles models for the representations of Lie algebras and geometry of flag manifold, preprint RIMS-942, Kyoto, September 1993; hep-th.

2. Стоянобсюш А.Б., Фсйгип Б.Л. Функциональные модели представлений алгебр токов и полубесконечные клетки Шуберта, Функциональный анализ и его приложения, 1994, т. 28, вып. 1, с. 68-90. "

3. Стояповский А.В., Фейгпп B.JI. Реализация модулярного функтора в пространстве дифференциалов и геометрическая аппроксимация многообразия модулей G-pac-слоснин, Функциональный анализ и его приложения, 1391, т. 28, вып. 4, с. 42-65.

4. Стояновский Д.В. Деформации алгебр Ли и формулы характера, препринт; Функциональный анализ и его приложения, 1997, в печати.

Список литературы к автореферату

[1] Knizhnik V.G., Zamolodchikov А.В. Current algebra and Wess - Zumino model in two dimensions, Nucl. Phys. B247 (1984), 83-103.

[2] Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли, М.:Мир, 1993.

[3] Kedem R., Klassen T.R., McCoy B.M., Melzer E. Fermionic sum representations for conformal field theory characters; preprint ITP-SB-93-05, RU-93-01, hep-th/9301045.

[4] Bertram A. Moduli of rank 2 vector bundles, theta-divisors, and the geometry of curves in projective space. J. Dill. Geom., 35, 429-469 (1992). Thaddeus M. Stable pairs, linear systems, and the Verlinde formula. Thesis, Oxford (1992).

[5] Kumar S., Narasimhan M.S., Ramanathan A. Infinite grassmannians and moduli spaces of Grbundles, preprint (1993).