Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр

Мищенко, Сергей Сергеевич

Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Мищенко, Сергей Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ульяновск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр»

Автореферат диссертации на тему "Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр"

На правах рукописи

Мищенко Сергей Сергеевич

ЭКСПОНЕНТЫ МНОГООБРАЗИЙ КОММУТАТИВНЫХ И АНТИКОММУТАТИВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

005007039

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

1 2 ЯНВ 2072

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Ульяновск - 2011 г.

005007039

Работа выполнена на кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Петроградский Виктор Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Латышев Виктор Николаевич

кандидат физико-математических наук Рацеев Сергей Михайлович

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский)

государственный университет"

Защита состоится 15 февраля 2012 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО "Ульяновский государственный университет" по адресу: ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета. С авторефератом можно ознакомиться на сайте http://www.uni.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ http://vak.ed.gov.ru

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной алгебре исследование классов универсальных алгебр, выделенных по признаку выполнения в них фиксированного набора тождеств, является общепринятым. Класс всех алгебр, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием.

Традиционными объектами исследований являются линейные алгебры над некоторым полем и их многообразия, в частности интенсивно изучались многообразия ассоциативных алгебр, алгебр Ли, йордановых алгебр. Можно отметить некоторые монографии на эту тему 1 2 3.

Так же, в последнее десятилетие появилась серия работ, посвященных исследованию многообразий линейных алгебр без каких-либо ограничений. Среди авторов можно назвать таких математиков, как А. Джам-бруно, А. Валенти (Италия), М.В. Зайцев (МГУ, Москва), С.П. Мищенко (УлГУ, Ульяновск).

Около тридцати лет назад С.П. Мищенко доказал, что многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа имеет экспоненциальный рост 4.

Напомним строение простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Wk. Пусть R - Ф[[гь ..., zk}\ - кольцо формальных степенных рядов от к переменных над полем Ф. Дифференциальные операторы D : R-> R вида D = /¡(/¿, где /г- € R, а сЦ — формальное дифференцирование по г-й переменной \DiyD2] — Z?iA>—-D2A образуют необходимую алгебру Ли Wk-

1 Бахтурин Ю.А.Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука., 1985.

2 Giambruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs 122 - American Mathematical Society. Providence. lil., 2005.

'Жевлаков К.А. Кольца, близкие к ассоциативным. К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Ше-стаков, А.И. Ширшов. Москва: Наука., 1078.

4 Мищенко С.П. К проблеме эпгелевости. Математический сбориик,- 1984,- Т. 124(166).- №1(5).-С. 56-67.

Диссертационная работа связана с исследованием многообразий, порожденных алгебрами а также с поиском примеров коммутативных и антикоммутативных многообразий линейных алгебр, числовые характеристики которых отличаются от традиционных объектов исследова-нией. Характеристика основного поля предполагается равной нулю, поскольку А.И. Мальцевым было доказано, что в этом случае всякое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств.

Объектом исследования в работе являются многообразия коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, в частности алгебр Ли и их числовые характеристики.

Исследование экспонент многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, в частности алгебр Ли является предметом исследования.

Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является исследование значений экспонент многообразий коммутативных или антикоммутативных линейных алгебр над полем нулевой характеристики, В частности, экспонент многообразий, порожденных простыми бесконечномерными алгебрами Ли картановского типа общей серии. Для достижения поставленой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Уточнение верхней оценки экспоненты многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии \¥к-

2. Уточнение нижней оценки экспоненты многообразия, порожденной алгеброй W■l■

3. Наложить дополнительные условия на серию построенных алгебр с изначально заложенными в них характерами роста коразмерностей.

4. Найти малоразмерную алгебру с дробным ростом коразмерностей.

Методы исследования. В работе использованы методы теории много-

образий линейных алгебр, теория представлений симметрической группы, техника, связанная с диаграммами Юнга, комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Построены примеры многообразий с любой экспонеитой в классе коммутативных или антикоммутативных алгебр. Впервые указана классическая простая алгебра Ли, порождающая многообразие с дробной экспонеитой.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Верхняя оценка экспоненты многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Игк-

2. Пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой, порожденного классической простой алгеброй: простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии \У2. является дробным числом.

3. Континуальные серии многообразий линейных алгебр с любой экспонентой большей единицы в классе коммутативных или антикоммутативных алгебр, а также в этих же классах алгебр континуальные серии многообразий промежуточного роста.

4. Четырехмерная алгебра с дробным ростом последовательности ко-размертностей.

Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется строгими доказательствами, опирающимися на методы теории представлений симметрической группы, комбинаторные методы, а также аппробацией работы на конференциях и научных семинарах.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях многообразий линейных алгебр.

Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации об-

суждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

— Международная математическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (МГУ, Москва, 2008).

— Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 2011);

— Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Личный вклад автора. Идея доказательства верхней оценки экспоненты многообразия, порожденного простой алгеброй Ли принадлежит научному руководителю. Проработка деталей, в частности, нахождение конкретного вида не нулевого элемента, необходимого для нижней оценки проделаны лично автором. Результаты третьей главы полностью получены лично автором.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержит 81 страницу машинописного текста, список литературы состоит из 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация теорем, предложений и следствий в данной работе соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

Линейной алгеброй называется векторное пространство, в котором определена операция умножения векторов, со свойством линейности по каждому аргументу. Классическими примерами служат: многочлены, алгебра матриц и, например, трехмерное пространство с операцией

векторного умножения векторов, которое является знаменитой простой трехмерной алгеброй Ли.

При изучении линейных алгебр используются два естественных подхода. Первый состоит в непосредственном исследовании конкретной алгебры, второй - в исследовании не отдельной алгебры, а некоторого класса алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. Обычно таким классом алгебр является многообразие, которое определяется как совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств. Задание набора тождеств может быть неявным, например, можно определить многообразие, порожденное какой-нибудь фиксированной алгеброй. И вообще, по теореме Биркгофа многообразием алгебр является класс алгебр, который устойчив относительно перехода к подалгебрам, гомоморфным образам и декартовым произведениям.

В случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, поэтому вся информация про многообразие V содержится в последовательности специальным образом определенных пространств Рп(V), п = 1,2,..., полилинейных элементов относительно свободной алгебры многообразия. Или, так называемые пространства коразмерностей многообразия V. Отметим, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства и приемы исследования алгебр и их многообразий. Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля на протяжении всей работы имеет характеристику ноль.

Одной из основных числовых характеристик многообразия является, так называемая последовательность коразмерностей, которая определяется как числовая последовательность неотрицательных целых чисел Сп(У) — (ИтР„(V), п = 1,2,..., размерностей пространств полилинейных элементов. Рост этой последовательности определяет рост многообразия. Выделяют многообразия полиномиального роста, экспоненциального роста, промежуточного между полиномиальным и экспоненциаль-

ным роста, сверхэкспонеициального роста. Уже в случае алгебр Ли по сравнению со случаем ассоциативных алгебр последовательность с„(А) не обязательно является экспоненциально ограниченной. Было доказано, что существую многобразия алгебр Ли сверх экспоненциально роста 5 , а позже введена целая шкала сверх экспоненициального роста многообразий полинильпотентных алгебр Ли 6 .

В случае экспоненциального роста последовательность чисел á/c„(V) ограничена, поэтому существуют нижний и верхний ее пределы, которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия. Если существует обычный предел, то говорят об экспоненте многообразия. Например, для многообразия ассоциативных алгебр, порожденного алгеброй Грассмана, последовательность коразмерностей имеет вид c„(V) = 1 и поэтому экспонента этого многообразия равна 2.

Существование экспоненты любого многообразия, похоже, очень сложная и интересная задача. Пока все доказательства существования экспонент и нахождения их точных числовых значений даются авторам с большим трудом, хотя совпадение верхней и нижней экспонент выглядит очень правдоподобным и естественным. Еще одно направление развития теории многообразия линейных алгебр - это поиск многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента является дробным числом.

В 80-х годах прошлого столетия Амицур выдвинул гипотезу, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента соответствующего многообразия является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была подтверждена А.Джамбруно и М.В.Зайцевым 7 8. Впервые пример

8 Воличенко И.Б. Многообра-зио ajri-cGp Ли с тождеством [[Xj, Л'з], = 0 над

полем характеристики пуль// Сибирский математический журнал - 1984,- Т. 25.- №3,- С. 40-54.

6 Петроградский B.M. Рост полинильпотентных многообразий алгебр Ли и быстро растущие функции// Математический сборник.- 1997 - Т.- 188 - №6.- С. 119-138.

7 Giamhruno A., Zaiccv М. On codimension growth of finitely generated associative algebras// Adv. Math - 1998.- V. 140.- P. 145-155.

8 Giambruno A.. Zaicev M. Exponential codimcnsion growth of P.I. algebras: an exact estimate// Adv. Math.- 1999 - V. 142,- P. 221-243.

многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой был построен более десяти лет назад 9 , а год назад доказано существование и найдено точное значение экспоненты этого многообразия 10. В настоящее время доказана целочисленность экспоненты многообразий алгебр Ли во многих случаях. Например, в случае конечномерной алгебры Ли 11 , алгебры Ли с нильпотентным коммутантом 12.

В этих же классических случаях, когда рассматриваются многообразия ассоциативных алгебр или алгебр Ли было показано отсутствие многообразий промежуточного роста. Например, для алгебр Ли это сделано в работе 13 .

В случае произвольных линейных алгебр ситуация оказалась более разнообразной. В последнее десятилетие вышла серия работ, в которых были построены обширные серии линейных алгебр, для которых поведение последовательности чисел Сп(А), п~ 1,2,..., сильно отличалось от классических случаев. Особенно плодотворной оказалась конструкция линейных алгебр с тождеством х\{х2х3) = 0, то есть левонильпотентных ступени два линейных алгебр, связанная с бесконечными вправо двоичными словами 14. Авторам, используя теорию двоичных слов, в частности слов Штурма, удалось для любого действительного числа а > 1 построить такую алгебра Аа, что ЕХР(Л„) = а. На этих же идеях была построена серия многообразий промежуточного роста последовательно-

9 Mishehenko S. P., Zaicev М. V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent// J. Math. Sei. (New York).- 1999 - 93.- if« 6 - P. 977-982.

10 Веревкин А.Б., Зайцев M.B., Мищенко С.П., Достаточное условие совпадения нижней и верхней экспонент многообразия линейных алгебр// Вестник Московского университета. Сер. Математика. Механика,- 2011. - №2. - С. 36-39.

11 Зайцев М.В. Цслочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли// Известия РАН. Сер. математика- 2002 - Т. 66.- №3 - С. 23-48.

12 Mishehenko S. P., Pctrogradsky V. М. Exponents of Varieties of Lie Algebras with a Nilpotent Commutator Subalgebra// Communications in Algebra- 1999,- 27,- № 5.- P. 2223-2230.

13 Мищенко С.П. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста// Весщ АН БССР. - 1987.-T. 126,- №2 - С. 42-45.

14 Giainbruno A., Mishehenko S., Zaicev М. Codimensions of Algebras and Growth Functions// Advances of mathematics.- 2008 - V. 217 - P. 1027-1052.

сти коразмерностей 15.

Данная диссертационная работа посвящена исследованию экспонент многообразий линейных алгебр, в которых выполняется тождество коммутативности или антикоммутативности, в частности многообразий алгебр Ли, в которых, кроме тождества Якоби, по определению выполняется тождество антикоммутативности. Все алгебры рассматриваются над полем нулевой характеристики. Основным результатом работы является доказательство, что экспонента многообразия, порожденного алгеброй векторных полей на плоскости, то есть простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии Wo, является дробным числом. Тем самым указан классический объект, у которого экспонента роста коразмерностей не является целым числом. Кроме того, в диссертационной работе для любого действительного числа а построены алгебры с условием коммутативности или антикоммутативности, экспонента соответствующих многообразий которых равна в точности а. В этих же классах коммутативных и антикоммутативных алгебр доказана возможность реализации промежуточного роста коразмерностей. Построены целые серии таких многообразий.

Перейдем к изложению структуры работы и подробным точным формулировкам основных результатов. Отметим, что нумерация теорем сквозная внутри каждой главы, причем первая цифра указывает номер главы. Так теорема 2.2 является второй теоремой во второй главе, а теорема 3.4 - четвертой теоремой третьей главы. Данная система нумерации довольно распространена и не должна вызвать путаницы.

15 Giaiiibriuio A., Mishcheiiko S., Zaicev М. Algebras with intermediate growth of the codimensions// Adv. in Appl. Math- 2006,- V. 37.-№. 3 - P. 360-377.

применение этой теории к исследованию многообразий линейных алгебр над полем характеристики нуль. В частности, содержит асимптотическую оценку размерностей неприводимых модулей симметрической группы в случае, когда соответствующая диаграмма расположена в полосе, то есть имеет ограниченное число строк. Во втором разделе приведена классификация и анализ типов роста многообразий, роста кодлин и кратностей в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли. В третьей части показано, что в случае алгебр Ли многообразие может иметь экспоненциальный рост, но при этом, так называемый, кохарактер, не расположен в крюке. Таким многообразием являются например многообразие, порожденное алгеброй Ли векторных полей на прямой. Заметим, что в случае многообразия ассоциативных алгебр такого быть не может.

Вторая глава посвящена исследованию роста коразмерностей бесконечномерных простых алгебр Ли картановского типа общей серии I¥к, к = 1,2,----Напомним определение алгебры И^-. Пусть

кольцо многочленов от переменных • • •, Бесконечномерная простая алгебра Ли картановского типа \¥к состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида /Д, где дг оператор взятия частной производной по и, а Д е Я*, г = 1,...,к, относительно операции коммутирования.

До семидесятых годов прошлого столетия существовала гипотеза, что любая простая алгебра Ли с тождеством является конечномерной. Позже был найден контрпример, было установлено, что в алгебре \¥к выполняется стандартное лиево тождество вида

(~1)РХоХ1Х2 ■ - - хт = 0, . ,

РбА'т

в котором суммирование ведется по элементам симметрической группы, (-1)р равно плюс или минус единице в зависимости от четности

перестановки р, скобки расставлены левонормированным способом и тп > к2 + 2к +1.

Так для к — 1 получаем, что выполнено тождество степени пять. Для к = 2 установлено 16 , что наименьшая степень стандартного тождества для алгебры равна как раз 10. Сложности, которые пришлось при этом преодолеть показывают, что поиск наименьшей степени для стандартного тождества в алгебре Wk в общем случае при произвольном к очень трудная задача.

Тождествам алгебр Wk посвящена целая глава монографии17. В частности, отмечено, что проблема выполнения тождества в этих алгебрах является алгоритмически разрешимой проблемой.

В 80-х годах прошлого столетия была доказана экспонениальность роста многообразия varWk, порожденного алгеброй \\\ 18. Более точно, было доказано, что

£*,(varWk) < (4fc)\

При к = 1 получаем верхнюю оценку экспоненты 4. Позже в работах A.A. Кириллова , M.J1. Концевича и А.И. Молева было доказано, что многообразие var W\, порожденное алгеброй Ли W\ или, что тоже самое, алгеброй Ли векторных полей на прямой, имеет экспоненту равную 4.

Используя идею доказательства, предложенную в статье 18, удалось уточнить полученную в этой работе оценку роста последовательности коразмерностей многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа.

Основным результатом первого раздела второй главы является такая теорема.

16 Кагарманов A.A. Стандартный лисп полином степени 8 на алгебре Ли Wh/'/ Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика.- 1989 - JY" 3 - С. 66-68.

17 Размыслив Ю.П. Тождества алгебр н их представлений.- М.: Наука., 1989.

18 Мищенко С.П. К проблеме энгелевости// Математический сборник - 1984.-124(166).- № 1(5).-С. 56-67.

Теорема 2.1. В случае поля нулевой характеристики ЕХР(шг \Ук) < к( 1 + к)(1 + 1/к)к.

Таким образом, при всех к > 1 верхняя оценка экспоненты многообразия уаг Н'к является дробным числом. В частности, для основного объекта исследований второй главы алгебры 1У2 получаем, что экспонента ЕХР(«аг ограничена сверху дробным числом 27/2. При к=1 как и должно быть получаем 4.

После доказательства этой теоремы возникло понимание, что экспоненты многообразия гаг \Ук при к = 2,3,... должны быть дробными числами. Удалось получить нижнюю оценку для случая к = 2. Этому результаты посвящена вторая часть второй главы. Приятно отметить, что в ходе поиска доказательства пришлось привлечь современные компьютерные технологии. При помощи написанной программы был найден вид элемента, который не является тождеством в алгебре Щ, но при этом легко проверяемый, как говорится, вручную. Это дало возможность доказать, что найденный элемент не является тождественно равным нулю в алгебре Ш2 без ссылки на полученные при помощи ЭВМ результаты. Непосредственное доказательство получилось естественно технически сложным, но понятным в идейном плане, так как. является непосредственным перебором случаев. Еще раз отметим, что доказательства предложений 1-4 приведены в явном виде, чтобы выдержать требования классических доказательств. Иначе пришлось бы приводить тексты программ и полагаться на их корректную работы.

Центральным результатом всей работы является следующая теорема, доказанная во втором разделе второй главы.

Теорема 2.2 В случае поля нулевой характеристики экспонента

многообразия var W2 является дробной:

13,1 < EXP(uar W2) < ЁХР(шг W2) < 13,5.

Отыскание конкретного вида элементов большей степени, чтобы их значение было отлично от нуля, является сложной вычислительной задачей, не принципиальной для данной работы. Однако, это позволило бы значительно приблизить нижнюю оценку к величине 13,5. Хотя эта работа была проделана и соответствующие результаты были получены, но они не вошли в диссертационную работу. В этом случае пришлось бы часть доказательства приводить со ссылкой на компьютерные вычисления или приводить очень громоздкие ручные вычисления. Тем не менее с большой уверенностью в качестве гипотезы можно высказать следующее:

Гипотеза. Экспонента многообразия, порожденного алгеброй W,t, существует и равна верхней оценке из теоремы 2.1, т.е.

EXP(war W2) = k(k + 1)(1 + 1 [kf. '

Третья глава диссертации посвящена проблеме построения примеров многообразий линейных алгебр с заранее заданной экспонентой, а также построению многообразий промежуточного роста. Как уже отмечалось в статье 19 для любого действительного числа а > 1 была построена такая алгебра Аа, что

ЕХР(Л„) = а,

а в работе 20 построена серия многообразий промежуточного роста. Более точно, для любого действительного числа ß, 0 < ß < 1, построена такая

19 Giambruno А., Mishchenko S., Zaicev М. Codimensions of Algebras and Growth Functions// Advances of mathematics.- 2008 - V. 217,- I1. 1027-1052.

20 Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions// Adv. in Appl. Math - 2006 - V. 37.-№. 3 - P. 360-377.

алгебра Вд, что

то есть последовательность (^{Вц), п= 1,2,..., ведет себя как

Пп\ П= 1,2,....

Целью данной главы было построение коммутативных алгебр и антикоммутативных алгебр с аналогичными свойствами роста соответствующих многообразий. Эта цель была достигнута, по двоичному бесконечному слову из по аналогии с алгеброй Л(го), строение которой приведено в упомянутых выше статьях была построена антикоммутативная алгебра Аапи{ю) и коммутативная алгебра Ас/т1(и!) с желаемыми свойствами. Этому построению посвящен первый раздел третьей главы.

В начале второго раздела третьей главы приведен результат о взаимосвязи коразмерностей построенных алгебр.

Теорема 3.1. Пусть алгебра А(ги) совпадает с коммутативной алгеброй Асот(и>) или антикоммутативной алгеброй Аапц(т). Тогда для любого п выполняются неравенства

^ ■ Сп(А(ь,)) < с„(ЛИ) < ■ ^(ЛН), (1)

П(П _ !) • С«ИИ) < Сп(А(-ш)) < п ■ с^ДН). (2)

После доказательства этой технической вспомогательной теоремы приведенные ниже теоремы 2.2 и 2.3 являются по существу следствиями из доказанных ранее теорем в упомянутых ранее статьях 19'20.

Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы, сформулированные и /(оказанные во втором разделе третьей главы.

Теорема 3.2. Для любого действительного числа а, а > 1 существует такое двоичное слово и)а, что ЕХР(Лсот(ша)) =

EXP(^QTtti(w„)) = а.

Теорема 3.3. Для любого действительного числа ß,0 < ß < 1, существует такое двоичное слово Wß, что

lim log„ logn с,!(Лгетп(^)) = lim к^к^с^Л^шд)) = ß,

Л—»00 71—► 00

то есть последовательности CnlAcmn (■Wß)) и CniAantiiwß)) ведут себя, как nnS, п = 1,2,____

Таким образом, в диссертационной работе получено, что в классе коммутативных алгебр и в классе антикоммутативных алгебр существуют многообразия произвольной экспоненты и многообразия промежуточного роста последовательности коразмерностей.

Последний результат диссертационной работы изложен в последнем, третьем, разделе третьей главы. Он состоит из построения 4-х мерной алгебры с дробной экспонентой соответствующего многообразия.

Пусть А линейная алгебра с базисом z, t,d,b и таблицей умножения zd — t, td = b, bb = z, остальные произведения базисных элементов равны нулю, а V многообразие, порожденное алгеброй А.

Сформулируем полученную теорему.

Теорема 3.4. Для экспонент многообразия V выполняются следующие строгие неравенства

2,3 < ЕХР(У),ЁХР(У) < 2,9.

Отметим, что наименьшая размерность алгебры с дробным экспоненциальным ростом коразмерностей известная ранее была равна пяти. Кроме того, известно, что дробной экспоненты роста коразмерностей не может быть в случае алгебр размерности два 21. А недавно

21 Gïambnmo A., Mishchcnko S., Zaicev M. Codimension growth of two-dimensional non-associative algebras// Proc. Amer. Math. Soc.-2007.- V. 135.- P. 340,5-3415.

М.В.Зайцевым было доказано, что при наличии у алгебры единицы дробная экспонента невозможна также и в случае трехмерных алгебр.

Автор выражает благодарность научному руководителю В.М. Петроградскому за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

ВЫВОДЫ

В диссертационной работе в случае нулевой характеристики основного поля:

• Уточнены верхние оценки экспонент многообразий, порожденных бесконечномерными простыми алгебрами Ли картановского типа общей серии И^.

• Установлено, что верхняя и нижняя экспоненты (или просто экспонента, в случае ее существования) многообразия, порожденного алгеброй И^г, являются дробными числами. Тем самым впервые в классе алгебр Ли над полем нулевой характеристики найден классический объект: бесконечномерная простая алгебра, рост коразмерностей которой задается экспонентой с дробным основанием. До этого был известен только единственный пример алгебры с аналогичным свойством. Однако эта алгебра была специально построенной и не являлась известной алгеброй Ли. Полученный при проведении исследований опыт позволил с большой долей уверенности сфомулировать гипотезу о дробности экспоненты в случае многообразия, порожденного бесконечномерной простой алгеброй Ли картановского типа общей серии при к > 3.

• В классах коммутативных или антикоммутативных алгебр доказана возможность реализации любой действительной экспоненты большей единицы. Построены соответствующие континуальные серии многообразий линейных алгебр. До этого аналогичные результаты были доказаны в более широком классе всех линейных алгебр без дополнительного

условия коммутативности или антикоммутативности. В этих же классах впервые построены также континуальные серии многообразий промежуточного роста последовательности коразмерностей.

• Впервые построен пример алгебры размерности четыре со свойством дробной экспоненты порожденного ею многообразия. Ранее была известна алгебра размерности пять, а также отсутствие такой возможности в случае алгебры размерности два и алгебры с единицей размерности три.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Мищенко С.С. Новый пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика - 2011.- № 6.- С. 44 - 47.

Публикации в прочих журналах

[2] Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр// Фундаментальная и прикладная математика.- 2008.- Т. 14.- №5-С. 165-170.

[3] Мищенко С.С. О росте многообразий коммутативных линейных алгебр/ /Международная математическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов, (28 мая - 3 июня 2008, МГУ, Москва), 2008 - С. 168-169.

[4] Мищенко С.С. Экспонента коразмерностей одной четырехмерной алгебры// Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. Математика и информационные технологии. - 2011. - Выпуск 1(3). - С. 67-68.

[5] Мищенко С.С. Рост коразмерностей коммутативных и антикоммутативных алгебр// Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, и молодежной школы-конференции "Современные проблемы алгебры и математической логики"; Казань, 25-30 сентября 2011- Казань: КФУ, 2011- С. 144-145.

Подписано в печать 26.12.2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Бумага книжно-журнальная. Тираж 100 экз. Заказ № 235 /¿У-5

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мищенко, Сергей Сергеевич, Ульяновск

61 12-1/498

Ульяновский государственный университет Факультет математики и информационных технологий

На правах рукописи УДК 512.554

Мищенко Сергей Сергеевич

ЭКСПОНЕНТЫ МНОГООБРАЗИЙ КОММУТАТИВНЫХ И АНТИКОММУТАТИВНЫХ ЛИНЕЙНБ1Х АЛГЕБР

/ 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел /

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук В.М. Петроградский

Ульяновск — 2011

Содержание

Введение ....................................................... 3

Глава 1. Предварительные сведения ..........................13

1.1. Основные определения и обозначения ............................13

1.2. Рост многообразий в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли 25

1.3. Многообразия ассоциативного типа и многообразия экспоненциального роста ...............................................................31

Глава 2. Экспоненты многообразий, порожденных алгебрами 33

2.1. Верхняя оценка экспонент многообразия уагШк .................33

2.2. Нижняя оценка экспонент многообразия уагЦ72 .................37

Глава 3. Реализация любой экспоненты в случае многообразия коммутативных или антикоммутативных алгебр..............64

3.1. Бесконечное слово ги и построение алгебр Асот(ю) и Аапц{ги).

3.2. Доказательство теоремы об экспонентах многообразий иат Асот(1и) и уагАапы^) ............................................................67

3.3. Построение 4-х мерной алгебры с дробной экспонентой роста многообразия ................................................................72

Литература....................................................77

Введение

В случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, поэтому вся информация про многообразие V содержится в последовательности специальным образом определенных пространств РП(У), п — 1,2,..., полилинейных элементов относительно свободной алгебры многообразия. Отметим, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства и приемы исследования алгебр и их многообразий. Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля на протяжении всей работы имеет характеристику ноль.

Одной из основных числовых характеристик многообразия является,

так называемая последовательность коразмерностей, которая определяется как числовая последовательность неотрицательных целых чисел сп(V) = (ИтРп{V), п = 1,2,..., размерностей пространств полилинейных элементов. Рост этой последовательности определяет рост многообразия. Выделяют многообразия полиномиального роста, экспоненциального роста, промежуточного (между полиномиальным и экспоненциальным) роста, сверхэкспоненциального роста. Уже в случае алгебр Ли по сравнению со случаем ассоциативных алгебр последовательность сп(А) не обязательно является экспоненциально ограниченной. Так, в работе [3] впервые было доказано, что существуют многообразия алгебр Ли сверх экспоненциального роста, а в работах [26], [27], [28] введена целая шкала сверх экспоненциального роста многообразий полинильпотентных алгебр Ли.

В случае экспоненциального роста последовательность чисел уСп(У) ограничена, поэтому существуют нижний и верхний ее пределы, которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия. Если существует обычный предел, то говорят об экспоненте многообразия. Например, для многообразия ассоциативных алгебр, порожденным алгеброй Грассмана, последовательность коразмерностей имеет вид сп(\^) = 2П~1 и поэтому экспонента этого многообразия равна 2.

Существование экспоненты любого многообразия, похоже, очень сложная и интересная задача. Пока все доказательства существования экспонент и нахождения их точных числовых значений даются авторам с большим трудом. Еще одна интересная проблема - поиск многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента является дробным числом.

В 80-х годах прошлого столетия Амицур выдвинул гипотезу, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была подтверждена в работах [40]

и [39].

Впервые пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой был построен более десяти лет назад в работе [43], а год назад в работе [2] доказано существование и найдено точное значение экспоненты многообразия, построенного в работе [43]. Однако во многих случаях доказана це-лочисленность экспоненты многообразий алгебр Ли. Например, в случае конечномерной алгебры Ли, [6], алгебры Ли с нильпотентным коммутантом [44].

коразмерностей не является целым числом. Для любого действительного числа а построены алгебры с условием коммутативности и антикоммутативности, экспонента соответствующих многообразий которых равна в точности а. В этих же классах коммутативных и антикоммутативных алгебр доказана возможность реализации промежуточного роста коразмерностей. Построены целые серии таких многообразий. Кроме того, найдена четырехмерная алгебра с дробным ростом коразмертностей.

Перейдем к изложению структуры работы и подробным точным формулировкам основных результатов. Отметим, что нумерация теорем сквозная внутри каждой главы, причем первая цифра указывает номер главы. Так теорема 2.2 является второй теоремой во второй главе, а теорема 3.4 -четвертой теоремой третьей главы. Данная система нумерации довольно распространена и не должна вызвать путаницы.

Работа состоит из введения и трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер и не содержит результатов, полученных автором. Первая часть содержит определения линейной алгебры, тождества, многообразия. Элементы теории представлений симметрической группы и применение этой теории к исследованию многообразий линейных алгебр над полем характеристики нуль. В частности, содержит асимптотическую оценку размерностей неприводимых модулей симметрической группы в случае, когда соответствующая диаграмма расположена в полосе, то есть имеет ограниченное число строк. Во втором разделе приведена классификация и анализ типов роста многообразий, роста ко длин и кратностей в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли. В третьей части показано, что в случае алгебр Ли многообразие может иметь экспоненциальный рост, но при этом, так называемый, кохарактер, не расположен в крюке. Таким многообразием являются например многообразие, порожденные алгеброй Ли векторных полей на прямой. Заметим, что в случае многообразия ассоциативных ал-

гебр такого быть не может.

Вторая глава посвящена исследованию роста коразмерностей бесконечно мерных простых алгебр Ли картановского типа общей серии Напомним определение алгебр Пусть

Як = Ф[*ъ ¿2,

кольцо многочленов от переменных ¿1, ¿2> • • •, ¿>к- Бесконечно мерная простая алгебра Ли картановского типа \¥к состоит из дифференциальных операторов первого порядка вида Хл/г<9г, где д{ оператор взятия частной производной по а € Як, г — 1, • • •, к, относительно операции коммутирования.

До семидесятых годов прошлого столетия существовала гипотеза, что любая простая алгебра Ли с тождеством является конечномерной. Позже был найден контрпример, было установлено, что в алгебре выполняется стандартное лиево тождество вида

.. .хт = О,

в котором суммирование ведется по элементам симметрической группы, (—1)р равно плюс или минус единице в зависимости от четности перестановки р, скобки расставлены левонормированным способом и т > к2 + 2к+1.

Так для к — 1 получаем, что выполнено тождество степени пять. Для к — 2 в работе [11] установлено, что наименьшая степень стандартного тождества для алгебры И^ равна, как раз 10. Сложности, которые пришлось при этом преодолеть показывают, что поиск наименьшей степени для стандартного тождества в алгебре И7^ в общем случае при произвольном к очень трудная задача.

Тождествам алгебр посвящена целая глава монографии [29]. В част-

ности, отмечено, что проблема выполнения тождества в этих алгебрах является алгоритмически разрешимой проблемой.

В 80-х годах прошлого столетия в работе [17] была доказана экспоненциал ьн ость роста многообразия ьагУУк. Более точно, было доказано, что

сп(иаг\¥к)<( 4*)\

При к = 1 получаем верхнюю оценку экспоненты 4. Позже было доказано, что многообразие порожденное алгеброй Ли \¥\ или, что тоже самое, алгеброй Ли векторных полей на прямой, имеет экспоненту равную 4, см. [12], [13].

Используя идею доказательства, предложенную в статье [17], удалось уточнить полученную в этой работе оценку роста последовательности коразмерностей многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа.

Основным результатом первого раздела второй главы является такая теорема.

Теорема 2.1 .В случае поля нулевой характеристики ШР(уаг]¥к) < к{ 1 + к)( 1 + 1 /к)к.

Таким образом, при всех к > 1 верхняя оценка экспоненты многообразия уаг является дробным числом. В частности, для основного объекта исследований второй главы алгебры И^ получаем, что экспонента ЕХР (шг^) ограничена сверху дробным числом 27/2. При к — 1 как и должно быть получаем 4.

После доказательства этой теоремы возникло понимание, что экспоненты многообразия иаг при к = 2,3,... должны быть дробными числами.

Удалось получить нижнюю оценку для случая к = 2. Этому результаты посвящена вторая часть второй главы. Приятно отметить, что в ходе поиска доказательства пришлось привлечь современные компьютерные технологии. При помощи написанной программы был найден вид элемента, который не является тождеством в алгебре И^- Но самое приятное, что после этого удалось, как говориться, вручную без ссылки на полученные при помощи ЭВМ результаты доказать, что найденный элемент не является тождественно равным нулю в алгебре И^- Непосредственное доказательство получилось естественно технически сложным, но понятным в идейном плане, так как является непосредственным перебором случаев. Еще раз отметим, что доказательства предложений 2.1, 2.2, 2.3 и 2.4 приведены в явном виде, чтобы выдержать требования классических доказательств. Иначе пришлось бы приводить тексты программ и полагаться на их корректную работы.

Центральным результатом всей работы является следующая теорема, доказанная во втором разделе второй главы.

Теорема 2.2 В случае поля нулевой характеристики экспонента многообразия иаг И^ является дробной:

13,1 < ЕХР(уаг Ш2) < ЕХР(тг И^) < 13, 5.

ства проводить со ссылкой на компьютерные вычисления. Тем не менее с большой уверенностью в качестве гипотезы можно высказать следующее:

Гипотеза. Экспонента многообразия, порожденного алгеброй Wk, существует и равна верхней оценке из теоремы 2.1, т.е.

EXP (mrW2) = к(к + 1)(1 + 1 /к)к.

Третья глава диссертации посвящена проблеме построения примеров многообразий линейных алгебр с заранее заданной экспонентой и построению многообразий промежуточного роста. Как уже отмечалось в работе [35] для любого действительного числа а > 1 была построена такая алгебра Аа, что

ЕХР(Аа) = а.

В работе [36] построена серия многообразий промежуточного роста. Более точно, для любого действительного числа ß, 0 < ß < 1, построена такая алгебра Bß, что

lim lognlogncn(ßg) = ß,

п—¥ оо

то есть последовательность cn(Bß), п — 1,2,..., ведет себя как

пп\ п= 1,2,....

Целью данной главы было построение коммутативных алгебр и антикоммутативных алгебр с аналогичными свойствами их роста тождеств. Цель была достигнута, по двоичному бесконечному слову w была построена антикоммутативная алгебра Aanu(w) и коммутативная алгебра Acom{w) с желаемыми свойствами. Эти алгебры строились по аналогии с алгеброй A(w), структура которой приведена в упомянутых выше статьях. Этому построению посвящен первый раздел третьей главы.

В начале второго раздела третьей главы приведен результат о взаимосвязи коразмерностей построенных алгебр.

Теорема 3.1. Пусть алгебра А(и>) совпадает с коммутативной алгеброй Асот{и)) или антикоммутативной алгеброй Аапц{и}). Тогда для любого п выполняются неравенства

- ■ СпЩт)) < сп(А(т)) < п(п~ 1} • сп(А(гп)), (1)

п 2

--- • cn(Ä(w)) < cn(A(w)) < п ■ cn(Ä{w)). (2)

п(п — 1)

После доказательства этой технической вспомогательной теоремы приведенные ниже теоремы 2.2 и 2.3 являются по существу следствиями из доказанных в работах [35] и [36] результатов.

Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы, сформулированные и доказанные во втором разделе третьей главы.

Теорема 3.2. Для любого действительного числа а, а > 1, существует такое двоичное слово wa, что EXP(Acom(u>a)) = ЕХР(Аапц(и)а)) = су..

Теорема 3.3. Для любого действительного числа /3,0 < ß < 1, существует такое двоичное слово Wß, что

lim lognlogncn{Acom(wß)) = lim lognlogncn{Aanti(wß)) = ß,

n—>00 n—»CO

то есть последовательности cn(Acom(vjß)) и cn(Aanti(wß)) ведут себя, как пп\ п = 1,2,....

Таким образом, получаем, что в классе коммутативных алгебр и в классе антикоммутативных алгебр существуют многообразия с полученными в работах [35], [36] свойствами роста.

Последний результат работы изложен в последнем третьем разделе третьей главы. Он состоит из построения 4-х мерной алгебры с дробной экс-понентой соответствующего многообразия.

Пусть А линейная алгебра с базисом с/, Ь и таблицей умножения гс1 =

Ы — Ь, ЬЬ — г, остальные произведения базисных элементов равны нулю, а V многообразие, порожденное алгеброй А.

Сформулируем полученную теорему.

Теорема 3.4. Для экспонент многообразия V выполняются следующие строгие неравенства

2,3 < ЕХР(У), ЕХР(У) < 2,9.

Отметим, что наименьшая размерность алгебры с дробным ростом коразмерностей в работе [35] равна пяти. Дробной экспоненты роста коразмерностей не может быть в случае алгебр размерности два, [38]. А при наличии у алгебры единицы дробная экспонента невозможна также и в случае трехмерных алгебр, [7]. Построенная 4-х мерная алгебра повышает интерес к доказательству, что дробная экспонента невозможна для любой трехмерной алгебры.

Изложенные в диссертации результаты опубликованы в пяти работах, [21], [22], [23], [24], [25], три из которых - статьи, в том числе одна из списка ВАК.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные опреде